Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Transkripsi

1 Fungsi

2 Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya : 1 A, jika 1, ( ) ( ), maka 1 MA 1114 Kalkulus I

3 Pengertian Fungsi Jika adalah ungsi dari A ke B kita menuliskan : A B yang artinya memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari dan B disebut daerah hasil (codomain) dari. Relasi di bawah ini merupakan ungsi A a i u e o i B MA 1114 Kalkulus I 3

4 Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan ungsi : A a i u e o a mempunyai nilai B Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan disebut jelajah (range) / jangkauan dari. Perhatikan bahwa jelajah dari adalah himpunan bagian dari B. MA 1114 Kalkulus I 4

5 Pengertian Fungsi Jelajah : y ( ) { y, A} B Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan R Contoh : 1. Carilah domain dan range dari ungsi : ( ) Jawab : a. Mencari domain MA 1114 Kalkulus I 5

6 Pengertian Fungsi syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : Sehingga D b. Mencari Range {} 0 3 3,, 4 4 atau R R (,0) ( 0, ) atau R 3 R 4 Hal ini dikarenakan () tidak mungkin bernilai nol MA 1114 Kalkulus I 6

7 Contoh. Carilah domain dan range dari ungsi : + ( ) a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : Sehingga 0 D t 1 1,, 3 3 MA 1114 Kalkulus I 7

8 Contoh b. Range ( ) y y + y + 3y y ( 3y 1) y y 3 y 1 Syarat ungsi tersebut terdeinisi, 3y 1 0 y R Jadi Atau ,, R 3 MA 1114 Kalkulus I 8

9 Contoh 3. Carilah domain dan range dari ungsi : ( ) 5 6 a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : ( )( ) 0 TP -, Jadi [ 3, ] D MA 1114 Kalkulus I 9

10 Contoh b. Mencari Range ( ) y 5 6 y ( y + 6) 0 Agar R, maka D y 4y ( y + 6) MA 1114 Kalkulus I 10

11 Contoh TP ( 1+ y)( 1 y) 0 1 1, Jadi, R ,, [ 0 ) 1 1 0, MA 1114 Kalkulus I 11

12 Macam-macam Fungsi Macam-macam ungsi : 1. Fungsi polinom n ( ) a + a + a +... a n + -Fungsi konstan, 0 ( ) a0 -Fungsi linier, 1 ( ) a a Fungsi kuadrat, ( ) a + a a MA 1114 Kalkulus I 1

13 Macam-macam Fungsi. Fungsi Rasional Bentuk umum : p q ( ) ( ) contoh : ( ) ( + 1) 3 + p(), q() ungsi polinom dengan q() Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh : ( ) MA 1114 Kalkulus I 13

14 Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan n n n , 3 1, 5. Fungsi Genap Disebut ungsi genap jika terhadap sumbu y ( ) ( ) dan graiknya simetris MA 1114 Kalkulus I 14

15 Macam-macam Fungsi Contoh : ( ) ( ) ( ) cos( ) 6. Fungsi Ganjil Disebut ungsi ganjil jika simetris terhadap titik asal, contoh : ( ) sin( ) 3 ( ) ( ) ( ) dan graiknya MA 1114 Kalkulus I 15

16 Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi Diberikan ungsi ( ) dan g( ) ( ) g ( ) ( o g)( ) ( g( ) ) ( o g)( ), komposisi ungsi antara dan ditulis Domain dari adalah himpunan semua bilangan dengan domain g ( ) sehingga g( ) di dalam Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R g D φ D MA 1114 Kalkulus I 16

17 Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut : R g D φ MA 1114 Kalkulus I 17

18 Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, ( g o )( ) g( ( ) ) Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi R D g φ maka harus Domain dari komposisi ungsi dan g dideinisikan sbb : D D o g g o { D ( ) } g g D D ( ) D { } g Sedangkan deinisi dari Range komposisi ungsi komposisi R R g o o g { g() t R t R } g { () t R t R } g atau atau R R g o o g { y R ( ) } g y g t t R { y R y ( t) t R },, g MA 1114 Kalkulus I 18

19 Fungsi Komposisi Siat-siat ungsi komposisi : ( o g)( ) ( g o )( ) (( o g) o h)( ) ( o ( g o h) )( ) Contoh : 1. Jika diketahui g o D R dan [ 0, ) [ 0, ) o ( ) g( ) 1 g D g R g Tentukan beserta domain dan range-nya! R (,1] MA 1114 Kalkulus I 19

20 Contoh Karena R terdeinisi D g ( g o )( ) g ( ) D g o [, ) φ 0, maka ungsi g o ( ) g( ) 1 a. Mencari Domain g o { D ( ) D } { [ ) } 0, R { } 0 < < g MA 1114 Kalkulus I 0

21 Contoh { } 0 0 { 0 0} [ 0, ) [ 0 ) [ 0 ),, b. Mencari Range R R g o g o Jadi g o { y R ( ) } g y g t t R y (,1] y 1 t, t [ 0 ), { }, R go y (, 1] (,1] y (,1] MA 1114 Kalkulus I 1

22 Contoh Karena o g D R D ( 1] [ 0, ) g terdeinisi dengan ( o g)( ) ( g( ) ) c.domain o g o g, [ 0,1] φ ( 1 ) { D ( ) } g g D R1 [ 0 ) { } { R1 0}, { R 1 1} R [ 1,1 ] 1,1 [ ] 1, maka ungsi MA 1114 Kalkulus I

23 Contoh d. Range R o g o g { y R y ( t) t R }, { [ ) ( ]} y 0, y t,,1 t { } y 0 y t,0 1 t { y 0 0 1} y [ 0, ) [ 0,1] [ 0,1] g MA 1114 Kalkulus I 3

24 Contoh. Jika diketahui ungsi ( ) g( ) 1 D R Tentukan R g o R Rg R R D g R R R φ, sehingga g o terdeinisi a. Domain g o D g o D g R beserta domain dan range-nya! { D ( ) D } { R R} R R R g MA 1114 Kalkulus I 4

25 Contoh b. Range R g o g o { y R y g( t) t R }, g { y R y t 1, R} t R R R MA 1114 Kalkulus I 5

26 Graik dari ungsi 1. Garis Lurus y m + c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh : y MA 1114 Kalkulus I 6

27 Garis Lurus ( y y ) m( ) 1 1 Persamaan garis lurus melalui y y y 1 y 1 Persamaan garis lurus melalui 1 1 ( ) 1, y 1 (, y )& ( y ) 1 1,. Graik ungsi kuadrat (parabola) y a + b + c Diskriminan D b 4ac MA 1114 Kalkulus I 7

28 Graik Fungsi Kuadrat Titik puncak y b a, D 4a a >0 D>0 D0 D<0 MA 1114 Kalkulus I 8

29 Graik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah graik ungsi y a 1 jadi a > 0 graik menghadap ke atas D b 4ac < 0 tidak menyinggung sumbu MA 1114 Kalkulus I 9

30 Graik Fungsi Kuadrat Titik potong dengan sumbu koordinat Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu tidak ada Titik potong dengan sumbu y 0 y 1 dengan demikian graik melalui (0,1) Titik puncak b a, 1 3, 4 D 4a MA 1114 Kalkulus I 30

31 Graik Fungsi Kuadrat Gambar graik ungsi y Untuk persamaan kuadrat ay + by + c Titik puncak Sumbu simetri D 4a, b a b a -1 1 MA 1114 Kalkulus I 31

32 Graik Fungsi Majemuk 3. Graik Fungsi Majemuk Contoh : 1. Gambarkan graik ungsi,, < 0 0 ( ) y- y MA 1114 Kalkulus I 3

33 Graik Fungsi Majemuk. Gambarkan graik ungsi ( ) 1 + > Graiknya terdiri dari y bagian, yaitu garis untuk dan garis y + untuk > 1 y y 1 + MA 1114 Kalkulus I 33

34 Graik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan graik dari ungsi ( ) 4 () terdeinisi untuk setiap kecuali, sehingga domain dari () adalah semua bilangan riil kecuali Fungsi () dapat diuraikan sebagai berikut : ( ) ( + )( ) ( ) MA 1114 Kalkulus I 34

35 Graik Fungsi Majemuk atau ( ) +, jika Range dari () adalah semua bilangan riil kecuali 4. Jadi graiknya terdiri dari semua titik pada garis y + kecuali titik (,4). 4 y + MA 1114 Kalkulus I 35

36 Graik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan graik dari ungsi ( ) 1 3 Kita deinisikan : < y 1+ 3 y MA 1114 Kalkulus I 36

37 Translasi Untuk ungsi yang dinyatakan sebagai ( ) y ( a) graik ( a) y + graik ( ) a y + y graik ( ) a graik y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) y, a > 0 mengalami pergeseran sejauh a ke kanan mengalami pergeseran sejauh a ke kiri mengalami pergeseran sejauh a ke atas mengalami pergeseran sejauh a ke bawah MA 1114 Kalkulus I 37

38 Translasi Untuk ungsi yang dinyatakan sebagai ( y) ( y a) graik ( y a) + graik ( y) a + graik ( y) a graik ( y) ( y) ( y) ( y), a > 0 mengalami pergeseran sejauh a ke atas mengalami pergeseran sejauh a ke bawah mengalami pergeseran sejauh a ke kanan mengalami pergeseran sejauh a ke kiri MA 1114 Kalkulus I 38

39 Contoh Translasi 1. Gambarkan graik dari ungsi ( ) ( 4 + 4) ( ) y ( ) y y ( ) y digeser sejauh ke kanan MA 1114 Kalkulus I 39

40 Contoh Translasi Kemudian y ( ) maka akan terbentuk y digeser sejauh 1 ke atas ( ) + 1 y ( ) y ( ) MA 1114 Kalkulus I 40

41 Contoh Translasi. Gambarkan graik ungsi Kita lihat dahulu graik ( ) 1 3 y 3 3 y 3 y 3 : MA 1114 Kalkulus I 41

42 Contoh Translasi Graik y 3 y 1 3 dapat dipandang sebagai graik yang digeser 1 ke atas sejauh 1 satuan y 1 3 y 3 MA 1114 Kalkulus I 4

43 Soal Latihan Tentukan domain dan range dari ungsi di bawah ini ( ) ( ) ( 3) ( ) 3 + ( ) 5 + 6, 5 Diketahui ( ) 4 g ( ) Apakah o g terdeinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari o g dan domain dari o g. Gambarkan graik dari ungsi di bawah ini ( ) ( + ) ( ) MA 1114 Kalkulus I 43