Abstract

Transkripsi

1 Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus Hedry Dwi Sautro 1,2, Ika Hesti A. 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT- Uiversity of Jember 2 Deartmet of Mathematics Educatio - Uiversity of Jember 3 Deartmet of Iformatio System - Uiversity of Jember hedry.dws29@gmail.com; Hestyari@gmail.com; d.dafik@uej.ac.id Abstract A set D of vertices of a simle grah G, that is a grah without loos ad multile edges, is called a domiatig set if every vertex u V (G) D is adjacet to some vertex v D. The domiatio umber of a grah G, deoted by γ(g), is the order of a smallest domiatig set of G. A domiatig set D with D = γ(g) is called a miimum domiatig set. We will show domiatig set of grah oeratio of secial grah (P, K m, cycle C, W m, ladder L, Bt m, ad secial grah G 1, G 2. Keywords: Domiatig Set, Domiatio Number, Graf Hasil Oerasi. Pedahulua Sebuah graf G didefiisika sebagai asaga terurut himua (V (G), E(G)) dimaa V (G) adalah sebuah himua berhigga tak kosog yag elemeelemeya diamaka titik (vertex), sedagka E(G) adalah sebuah himua sisi (edge) berbetuk garis lurus atau legkug yag meghubugka dua buah titik. Salah satu kajia dalam teori graf adalah domiatig set. Himua D dari titik graf sederhaa G diamaka domiatig set jika setia titik u V (G) D adjacet ke beberaa titik v D [?]. Kardialitas terkecil dari domiatig set disebut domiatio umber yag diotasika dega γ (G). Domiatig set bayak dialikasika dalam kehidua sehari-hari, diataraya utuk memodelka keterkaita ada jariga komuikasi komuter, emasaga kamera egawas, teori jariga sosial, eemata os atau olisi, da lai sebagaiya. Pada artikel ii aka dielajari tetag domiatig set ada hasil oerasi graf hhusus, diataraya graf G 1 [G 2 ], P [K m ], C [W m ], L [K m ], P [Bt m ], Amal (G, v = x i, r), da Amal (Bt, v = x 2, r). Berikut adalah ejelasa dari oerasi graf yag diakai dalam eelitia ii. Comositio dari graf G 1 (V 1, E 1 ) da G 2 (V 2, E 2 ) diotasika dega G = G 1 [G 2 ], yaitu graf dega himua titik V (G 1 ) V (G 2 ) da dua titik (u 1, u 2 ) da (v 1, v 2 ) di G adjacet ketika (u 1 adj v 1 ) atau (u 1 = v 1 da u 2 adj v 2 ) [?]. Amalgamatio titik diotasika dega Amal (G, v, r) dimaa G adalah suatu keluarga graf berhigga, setia G memuyai suatu titik v yag disebut titik termial, da r meyataka bayakya graf G yag aka di-amalgamatio [?]. Sebelumya, [?] telah melakuka eelitia tetag domiatig set ada

2 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 100 graf jarig laba-laba W b, arasut P C, helm H,m, da regular A 2,m. Kemudia [?] juga melakuka eelitia tetag domiatig set ada graf rem cakram Db,m, risma D m,, lamio,m, tigkat tagga risma Dt,m, da Amal (C, 1, m). Peelitia megeai domiatig set ada graf tribu T, ratai etago BC, Shack (S m, ), C (P 4 + K 1 ), C + P, lobster L i,j,k, triagular ladder L, P 2 C, da P [C 3 ] telah dilakuka oleh [8]. [?] da [?] telah melakuka eelitia tetag alikasi teori domiatig set ada aalisis morfologi jala. Kemudia masih di tahu yag sama, [?] juga melakuka eelitia tetag domiatig set ada graf F l, ϑ,m, F,k, B,m, da CR,m, serta megalikasika teori domiatig set ada aalisis toologi jariga Wide Area Network (WAN). Berdasarka eelitia sebelumya, maka eeliti aka megembagka teori domiatig set ada hasil oerasi graf khusus, yaitu graf G 1 [G 2 ], P [K m ], C [W m ], L [K m ], P [Bt m ], Amal (G, v = x i, r), da Amal (Bt, v = x 2, r). Teorema yag Diguaka Teorema 1 Utuk sebarag graf G, maka 1+ (G) γ (G) (G). Bukti: Misalka S adalah sebuah domiatig set dari G. Utuk batas bawahya, setia titik daat sebagai domiatig set da memuyai (G) ke titik yag lai. Berakibat, γ(g) 1+ (G). Utuk batas atasya, misalka v adalah titik dega derajat maksimum ( (G)) da N[v] meruaka titik yag adjacet dega v. Maka v sebagai domiatig set dari N[v] da titik-titik di V N[v] meruaka domiatig set mereka sediri. Berakibat, V N[v] meruaka domiatig set dega kardialitas (G), sehigga γ(g) (G). Maka 1+ (G) γ(g) (G) [?]. Hasil Peelitia Dari hasil eelitia ii dieroleh 2 teorema da 5 akibat yaitu domiatio umber ada graf G 1 [G 2 ], P [K m ], C [W m ], L [K m ], P [Bt m ], Amal (G, v = x i, r), da Amal (Bt, v = x 2, r). Teorema yag ertama adalah domiatio umber ada hasil oerasi comositio dari sebarag dua graf sederhaa. Teoremaya adalah sebagai berikut: Teorema 2 Misal G 1 da G 2 adalah sebarag graf sederhaa dega (G 2 ) = V (G 2 ) 1. Maka domiatio umber dari γ (G 1 [G 2 ]) = γ (G 1 ).

3 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 101 Bukti. Comositio dari graf G 1 (V 1, E 1 ) da G 2 (V 2, E 2 ) diotasika dega G = G 1 [G 2 ], yaitu graf dega himua titik V (G 1 ) V (G 2 ) da dua titik (u 1, u 2 ) da (v 1, v 2 ) di G adjacet ketika (u 1 adj v 1 ) atau (u 1 = v 1 da u 2 adj v 2 ). Misal V (G 1 ) = m da V (G 2 ) = maka V (G 1 [G 2 ]) = m. Misal (G 1 ) = k, dimaa k m 1 maka m k+1 γ (G 1) m k da misal (G 2 ) = 1 maka (G 1 [G 2 ]) = (k+1) 1. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i y j ; 1 i V (G 1 ) ; x i V (G 1 ); x i adalah domiatig set di G 1 ; y j adalah sebarag satu titik di G 2 ; dimaa (y j ) = V (G 2 ) 1}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = γ (G 1 ) sehigga γ (G 1 [G 2 ]) = γ (G 1 ). Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (G 1 [G 2 ]) γ (G 1 [G 2 ]) (G 1 [G 2 ]), substitusika ilai da (G 1 [G 2 ]) mejadi m (k+1) γ (G 1[G 2 ]) m ((k + 1) 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu m k+1 γ (G 1[G 2 ]) m k +1. Utuk γ (G 1 ) = m k+1, maka γ (G 1[G 2 ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Utuk m k+1 < γ (G 1) m k aka ditujukka m k m k + 1. m k + 1 = m k( m k + 1 m k ). Utuk m > 1, 1, da k < m 1, ambil m da terkecil yaitu m = 2 da = 1 sehigga m k = = 1 2 da 1 m k = 1 2. Sehigga utuk m > 1, 1, da k < m 1 dieroleh m k 1 2 da 0 < 1 m k 1 2, sehigga m k + 1 m k 1. Hal ii megakibatka m k( ) m k. Sehigga dieroleh m k + 1 m k m k m k + 1. Maka γ (G 1 [G 2 ]) berada ada selag domiatio umber utuk m k+1 < γ (G 1) m k. Selajutya aka disajika akibat yag ertama dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf P [K m ]. Berikut adalah akibat yag ertama dari Teorema 2.1. Corollary 1 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf litasa P da graf legka K m, dimaa 2 da m 3, maka γ (P [K m ]) = 3. Bukti. Graf P [K m ] adalah graf dega V (P [K m ]) = {x i y j ; 1 i ; 1 j m}, E(P [K m ]) = {x i y j x i y k ; 1 i ; 1 j m; j k} {x i y j x i+1 y k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m}, V (P [K m ]) = m, E(P [K m ]) = m(m 1) 2 + m 2 ( 1), da terdaat dua kemugkia (P [K m ]), yaitu (P [K m ]) = 2m 1 utuk = 2 da (P [K m ]) = 3m 1 utuk 3. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i 1 y j ; 1 i ; i = keliata 3; y j adalah sebarag satu titik di K m } {x y j ; = 3k + 1; dimaa k A; y j adalah sebarag satu titik di K m }, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 3 sehigga γ (P [K m ]) = 3. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (P γ (P [K m]) [K m ]) (P [K m ]), substitusika ilai da

4 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 102 (P [K m ]). Utuk = 2 maka (P [K m ]) = 2m 1 sehigga 1+ (P γ [K m]) (P [K m ]) (P [K m ]) mejadi 2m 2m γ (P [K m ]) 2m (2m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (P [K m ]) 1. Maka γ (P [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Utuk 3 maka (P [K m ]) = 3m 1 sehigga 1+ (P γ (P [K m]) [K m ]) (P [K m ]) mejadi m 3m γ (P [K m ]) m (3m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 3 γ (P [K m ]) m 3m + 1. Maka γ (P [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Selajutya aka disajika akibat yag kedua dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf C [W m ]. Berikut adalah akibat yag kedua dari Teorema 2.1. Corollary 2 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf cycle C da graf roda W m, dimaa 3 da m 3, maka γ (C [W m ]) = 3. Bukti. Graf C [W m ] adalah graf dega V (C [W m ]) = {x i A, x i y j ; 1 i ; 1 j m}, E(C [W m ]) = {x i y j x i y j+1 ; 1 i ; 1 j m 1} {x i y m x i y 1 ; 1 i } {x i A x i y j ; 1 i ; 1 j m} {x i y j x i+1 y k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m} {x y j x 1 y k ; 1 j m; 1 k m} {x i A x i+1 A; 1 i 1} {x A x 1 A} {x i A x i+1 y j ; 1 i 1; 1 j m} {x A x 1 y j ; 1 j m} {x i A x i 1 y j ; 2 i ; 1 j m} {x 1 A x y j ; 1 j m}, V (C [W m ]) = (m + 1), E(C [W m ]) = m 2 + 4m +, da (C [W m ]) = 3(m + 1) 1. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i 1 A; 1 i ; i = keliata 3} {x A; = 3k + 1; dimaa k A}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 3 sehigga γ (C [W m ]) = 3. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (C [W m]) γ (C [W m ]) (C [W m ]), substitusika ilai da (C [W m ]) mejadi (m+1) 3(m+1) γ (C [W m ]) m (3(m + 1) 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 3 γ (C [W m ]) m 3m + 2. Maka γ (C [W m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Selajutya aka disajika akibat yag ketiga dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf L [K m ]. Berikut adalah akibat yag ketiga dari Teorema 2.1. Corollary 3 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf ladder L da graf legka K m, dimaa 3 da m 3, maka domiatio umber dari

5 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 103 (L [K m ]) adalah sebagai berikut: { γ (L [K m ]) = 2, dimaa = gajil , dimaa = gea. Bukti. Graf L [K m ] adalah graf dega V (L [K m ]) = {y i x j, z i x j ; 1 i ; 1 j m}, E(L [K m ]) = {y i x j y i x k ; 1 i ; 1 j m; 1 k m; j k} {z i x j z i x k ; 1 i ; 1 j m; 1 k m; j k} {y i x j y i+1 x k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m} {y i x j z i x k ; 1 i ; 1 j m; 1 k m} {z i x j z i+1 x k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m}, V (L [K m ]) = 2m, E(L [K m ]) = 4m 2 2m 2 m, da (L [K m ]) = 4m 1. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {y 4i 3 x j ; 1 i 4 ; y j adalah sebarag satu titik di K m } {{z 4i 1 x j ; 1 i 4 ; y j adalah sebarag satu titik di K m ; = 4k atau = 4k 1; dimaa k A} atau {z 4i 1 x j ; 1 i < 4 ; y j adalah sebarag satu titik di K m ; = 4k 2 atau = 4k 3; dimaa k A}} {y x j, y j adalah sebarag satu titik di K m m; = 4k; dimaa k A} {z x j, y j adalah sebarag satu titik di K m ; = 4k 2; dimaa k A}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 2 utuk gajil da D = utuk gea, sehigga γ (L [K m ]) = 2 utuk gajil da γ (L [K m ]) = utuk gea. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (L γ (L [K m]) [K m ]) (L [K m ]), substitusika ilai da (L [K m ]) mejadi 2m 4m γ (L [K m ]) 2m (4m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 2 γ (L [K m ]) 2m 4m + 1. γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber utuk gajil da γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber ditambah satu utuk gea. Selajutya aka ditujukka bahwa m 4m m 4m + 1 = 2 (4m 8m + 2 ). Utuk sebarag m 3 da 4 dimaa gea dieroleh 6 4m 8m < 4m da 2 1 2, sehigga 4m 8m + 2 > 6. Hal ii megakibatka 2 (4m 8m + 2 ) > Sehigga dieroleh 2 +1 < 2m 4m+1. Maka 2 +1 selalu berada ada selag domiatio umber. Maka γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber utuk gajil da γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber ditambah satu utuk gea. Selajutya aka disajika akibat yag keemat dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf P [Bt m ]. Berikut adalah akibat yag keemat dari Teorema 2.1. Corollary 4 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf litasa P da graf buku segitiga Bt m, dimaa 2 da m 2, maka γ (P [Bt m ]) = 3.

6 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 104 Bukti. Graf P [Bt m ] adalah graf dega V (P [Bt m ]) = {x i y j, x i z k ; 1 i ; 1 j 2; 1 k m}, E(P [Bt m ]) = {x i y j x i y j+1 ; 1 i ; j = 1} {x i y j x i z k ; 1 i ; 1 j 2; 1 k m} {x i y j x i+1 y l ; 1 i 1; 1 j 2; 1 l 2} {x i y j x i+1 z k ; 1 i 1; 1 j 2; 1 k m} {x i y j x i 1 z k ; 2 i ; 1 j 2; 1 k m} {x i z k x i+1 z l ; 1 i 1; 1 k m; 1 l m}, V (P [Bt m ]) = (m + 2), E(P [Bt m ]) = m 2 m 2 + 6m 4m + 5 4, da terdaat dua kemugkia (P [Bt m ]), yaitu (P [Bt m ]) = 2m + 3 utuk = 2 da (P [Bt m ]) = 3m + 5 utuk 3. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i 1 y j ; 1 i ; i = keliata 3; y j adalah sebarag satu titik di Bt m ; dimaa (y j ) = V (Bt m ) 1} {x y j ; y j adalah sebarag satu titik di Bt m ; dimaa (y j ) = V (Bt m ) 1}; = 3k + 1; dimaa k A}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 3 sehigga γ (P [Bt m ]) = 3. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (P γ (P [Bt m]) [Bt m ]) (P [Bt m ]), substitusika ilai da (P [Bt m ]). Utuk = 2 maka (P [Bt m ]) = 2m+3 sehigga 1+ (P γ (P [Bt m]) [Bt m ]) (P [Bt m ]) mejadi 2m+4 2m+4 γ (P [Bt m ]) (2m+4) (2m+3), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (P [Bt m ]) 1. Maka γ (P [Bt m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Utuk 3 maka (P [Bt m ]) = 3m + 5 sehigga 1+ (P γ (P [Bt m]) [Bt m ]) (P [Bt m ]) mejadi (m+2) 3m+6 γ (P [Bt m ]) (m + 2) (3m + 5), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 3 γ (P [Bt m ]) m 3m Maka γ (P [Bt m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Teorema yag kedua adalah domiatio umber ada hasil oerasi amalgamatio dari sebarag graf sederhaa. Teoremaya adalah sebagai berikut: Teorema 3 Misal G adalah sebarag graf sederhaa dega (G) = V (G) 1. Maka domiatio umber dari γ (Amal (G, v = x i, r)) = 1, dimaa x i V (G), (x i ) = V (G) 1, da r 2. Bukti. Amalgamatio titik dari suatu graf G diotasika dega Amal (G, v, r) dimaa G adalah suatu keluarga graf berhigga, setia G memuyai suatu titik v yag disebut titik termial, da r meyataka bayakya graf G yag aka di-amalgamatio. Misal G adalah sebarag graf sederhaa dega V (G) = m da (G) = m 1, maka V (Amal (G, v = x i, r)) = r(m 1) + 1 dimaa x i adalah titik termial berderajat m 1, sehigga (Amal (G, v = x i, r) = r(m 1). Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i ; (x i ) = V (G) 1}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 1 sehigga γ (Amal (G, v = x i, r)) = 1. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa

7 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus (Amal(G,v=x i,r)) γ (Amal (G, v = x i, r)) (Amal (G, v = x i, r)), substitusika ilai da (Amal (G, v = x i, r)) mejadi r(m 1)+1 r(m 1)+1 γ (Amal (G, v = x i, r)) (r(m 1) + 1) r(m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (Amal (G, v = x i, r)) 1. Maka γ (Amal (G, v = x i, r)) berada ada batas bawah domiatio umber. Selajutya aka disajika akibat dari Teorema 2.2, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf Amal (Bt, v = x 2, r). Berikut adalah akibat dari Teorema 2.2. Corollary 5 Misal G adalah graf hasil oerasi amalgamatio dari graf Bt, dimaa 2 da r 2, maka γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) = 1. Bukti. Graf Amal (Bt, v = x 2, r) adalah graf dega V (Amal (Bt, v = x 2, r) = {x 1,k, x 2 ; y j,k ; 1 j ; 1 k r}, E(Amal (Bt, v = x 2, r) = {x i,k x 2 ; 1 k r} {x 1,k y j,k ; 1 j ; 1 k r} {x 2 y j,k ; 1 j ; 1 k r}, V (Amal (Bt, v = x 2, r)) = r( + 1) + 1, E(Amal (Bt, v = x 2, r)) = r(2 + 1), da (Amal (Bt, v = x 2, r) = r( + 1). Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x 2 }, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 1 sehigga γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) = 1. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (Amal(Bt,v=x 2,r)) γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) (Amal (Bt, v = x 2, r)), substitusika ilai da (Amal (Bt, v = x 2, r)) mejadi r(+1)+1 r(+1)+1 γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) (r(+1)+1) r(+1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) 1. Maka γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) berada ada batas bawah domiatio umber. Kesimula Berdasarka hasil dari embahasa ada bagia sebelumya, daat disimulka bahwa: 1. γ (G 1 [G 2 ]) = γ (G 1 ), dimaa (G 2 ) = V (G 2 ) γ (P [K m ]) = 3, dimaa 2 da m γ (C [W m ]) = 3, dimaa 3 da m γ (L [K m ]) = { 2, dimaa 3, m 3, da = gajil , dimaa > 3, m 3, da = gea. 5. γ (P [Bt m ]) = 3, dimaa 2 da m 2.

8 Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus γ (Amal (G, v = x i, r)) = 1, dimaa x i V (G), (x i ) = V (G) 1, da r γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) = 1, dimaa 2 da r 2. Oe Problem 1 Peeliti memberika sara keada embaca suaya daat mecari domiatio umber ada hasil oerasi sebarag graf khusus yag berada ada batas bawah domiatio umber, yaitu graf G 1 G 2, G 1 G 2, G 1 [G 2 ] dimaa G 2 V (G 2 ) 1, da Shack (P 2 [K m ], v = x 1,k, r) dimaa r > 50. Refereces [1] Agusti. I.H ad Dafik O The Domiatio Number of Some Families of Secial Grahs. Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember. 1 (1). [2] Alfarisi. R Peeraa Tekik Kostruksi Graf, Raibow Coectio, da Domiatig Set dalam Aalisis Morfologi Jala. Tidak diublikasika Skrisi). Jember: Uiversitas Jember. [3] Alfarisi. R.,Dafik ad Fatahillah. A Aalisa Himua Domiasi ada Graf-Graf Khusus. Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember. 1 (1). [4] Ardiyasah. R ad Darmaji Bilaga Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf. Jural Sais da Sei Pomits. 2 (1). [5] Harrary. F Grah Theory. Addiso: Wesley. [6] Hayes. T. W., Hedetiemi. S. T. ad Slater. P. j Fudametals of Domiatio i Grahs.New York: Marcel Dekker. [7] Muharromah. A Aalisis Morfologi Jala Kota dega Peeraa Teori Graf Domiatig Set. Tidak diublikasika (Skrisi). Jember: Uiversitas Jember [8] Muharromah. A., Agusti. H. I. ad Dafik Bilaga Domiasi ada Graf Hasil Oerasi. it Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember.1 (1). [9] Wardai. D. A. R Aalisis Toologi Jariga Wide Area Network (WAN) dega Peeraa Teori Graf Domiatig Set. Tidak diublikasika (Skrisi). Jember: Uiversitas Jember.