KARAKTERISTIK NILAI EIGEN DARI MATRIKS LAPLACIAN

Transkripsi

1 JMP : Volume 3 Nomor, Jui 2 KARAKTERISTIK NILAI EIGEN DARI MATRIKS LAPLACIAN Siti Rahmah Nurshiami, Mutia Nur Estri, Noor Sofiyati Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal soedirma, Purwokerto urshiami@yahoo.co.id ABSTRAK. Matriks Lalacia dari suatu graf G adalah matriks diagoal dikuragi dega matriks ketetaggaa. Paer ii membahas karakteristik ilai eige dari matriks Lalacia da hubuga ilai eige matriks Lalacia dega ilai eige matriks ketetaggaa dari graf reguler. Kata kuci : Matriks Lalacia, Nilai Eige, Nilai Eige Lalacia, Graf Reguler ABSTRACT. The Lalacia matrix of a grah G is a diagoal matrix mius the eighborhood matrix. This aer discusses about the characteristics of the Lalacia matrix eigevalues ad the relatioshis of Lalacia matrix eigevalues with eighborhood matrix eigevalues of regular grahs. Keywords: Lalacia matrix, Eige Values, Eige Value Lalacia, Regular Grah. Pedahulua Sebuah graf daat direresetasika ke dalam matriks Lalacia. Jika D(G) meruaka matriks diagoal dega etri ada diagoal utamaya meruaka derajat dari titik vi ada graf G, da A(G) meruaka matriks ketetaggaa dari graf G, maka matriks Lalacia L(G) meruaka matriks bujur sagkar yag dieroleh dari matriks diagoal dikuragi matriks ketetaggaa. Nilai eige dari matriks Lalacia daat dieroleh dega megguaka oliomial karakteristik. Pada tahu 973, Fiedler memelajari salah satu karakteristik ilai eige dari matriks Lalacia, yaitu ilai eige terkecil kedua. Semetara itu, Juhasz(982) memelajari ilai eige dari graf reguler beserta multilisitasya, yag dikeal dega sektrum graf. Paer ii megkaji karakteristik lai ilai eige dari matriks Lalacia.

2 S. Rahmah Nurshiami, dkk Matriks Lalacia Suatu graf dikataka reguler berderajat r (r-reguler) jika utuk setia titikya memuyai derajat r. Misalka G = (V, E) adalah graf sederhaa dega titik da m sisi. Matriks ketetaggaa dari graf G adalah matriks A = A(G) dega etri a ij = {, jika (v i, v j ) E(G), jika (v i, v j ) E(G). Matriks isidesi N dari graf berarah G adalah matriks berukura m dega etri : +, jika titik v i meruaka titik awal dari sisi e j = (v i, v k ) N= [ij ] = {, jika titik v k meruaka titik akhir dari sisi e j = (v i, v k ), laiya. Matriks Lalacia dari graf berarah atau tak berarah G adalah L(G) = D(G) A(G) dega D(G) matriks diagoal dari graf G da A(G) matriks ketetaggaa dari graf G. Matriks D = [d ij ] meruaka matriks diagoal dari graf G dega etri d ij = { der (v i), jika v i = v j, jika v i v j Dega demikia, etri matriks Lalacia L(G) adalah, jika (v i, v j ) E(G) L = [l ij ] = { der(v i ), jika v i = v j, jika (v i, v j ) E(G). Karakteristik dari matriks Lalacia utuk sembarag graf G diberika oleh roosisi berikut; Proosisi [9] Karakteristik matriks Lalacia dari graf G, L(G) adalah sebagai berikut :. Jumlah etri setia baris ada matriks Lalacia L(G) sama dega ol. 2. Matriks L(G) adalah matriks berukura dimaa meyataka bayakya titik dari graf G. 3. Misalka N meruaka matriks isidesi dari graf berarah G dega titik. Maka matriks Lalacia L(G) daat diyataka dega L = NN t

3 Karakteristik Nilai Eige Perubaha elabela sisi ada graf G tidak beregaruh ada matriks Lalacia L(G). 5. Matriks L(G) meruaka matriks sigular. 6. Matriks Lalacia L(G) meruaka matriks simetris da semidefiit ositif. 3. Nilai Eige Matriks Lalacia Misalka G adalah graf sederhaa dega titik da matriks ketetaggaa dari G adalah A(G). Poliomial karakteristik dari graf G diotasika dega χ(g; ), diyataka sebagai χ(g; ) = det(i A(G)) = + C + C C dega adalah ilai eige dari matriks ketetaggaa A(G). Karea A(G) = [a ij ] = [a ji ], sehigga matriks A(G) adalah matriks riil da simetri. Akibatya ilai eige adalah bilaga riil, da multilisitas dari adalah dimesi dari ruag eige yag bersesuaia dega ilai eige. Karakteristik dari suatu graf G reguler berderajat r, diberika dalam roosisi 2 berikut; Proosisi 2[2] Misalka G adalah graf r-reguler dega titik. Maka: i. r adalah ilai eige dari G; ii. Jika G adalah graf terhubug, maka multilisitas r adalah ; iii. Utuk setia ilai eige dari G, berlaku λ r. Selajutya, karakteristik dari ilai eige matriks Lalacia diberika dalam roosisi 3 berikut; L(G) Proosisi 3 Jika meruaka ilai eige dari matriks Lalacia L(G), maka i. =, dega vektor eige [,,,]; ii. Jika G graf terhubug, > ;

4 S. Rahmah Nurshiami, dkk. 36 iii. Jika G graf regular berderajat k, maka k, dega =,,2,,- Bukti : dega adalah ilai eige dari matriks ketetaggaa graf G dega.... i. Misalka L = [l ij ] adalah matriks Lalacia dari G. Karea μ ilai eige dari matriks Lalacia L(G) maka, Lx = μ x, dega x = [x x 2 x ] t = [ ] t vektor eige yag bersesuaia dega μ. Perhatika bahwa l l l l l l l l l Lx = μ x j j 2 j j l l l j j = =. Karea jumlah etri dari setia baris ada matriks Lalacia sama dega ol, maka l =, dega i =, 2,...,. Akibatya =. ij j ii. Misalka dega =,,, - meruaka ilai eige dari L. Karea matriks Lalacia L(G) meruaka matriks semidefiit ositif, maka. Dari (i) vektor eige yag bersesuaia dega = adalah vektor x = [ ] t. Sehigga ruag eige dari L yag bersesuaia

5 Karakteristik Nilai Eige 37 dega ilai eige = daat ditulis RE() ={α[ ] t α, α R}. Selajutya daat dibuktika bahwa,,..., t basis dari RE(). Jadi, multilisitas dari ilai eige adalah. Karea utuk =,,,- da = maka. iii. Misalka λ meruaka ilai eige dari matriks ketetaggaa A(G), sehigga Ax x dega x R, x, =,,2,.,. Karea μ meruaka ilai eige dari matriks Lalacia L(G) sehigga L x x dimaa x adalah vektor eige yag bersesuaia dega ilai eige ke da x. Karea D(G) meruaka matriks diagoal dari graf G reguler berderajat k sehigga meurut roosisi (i), ilai eigeya adalah k. Akibatya Dx kx. Dari defiisi matriks Lalacia dieroleh Lx = Dx Ax utuk suatu x R. Akibatya Sehigga μ x = kx λ x. x x x x 2 x 2 x 2 μ [ ] = k [ ] λ [ ] x x x μ x μ x 2 [ ] = μ x kx λ x kx λ x 2 [ kx λ x ] μ x x μ x 2 x 2 [ ] = (k λ ) [ ] μ x x μ x = (k λ )x. Sehigga μ = k λ, =,,2,.,.

6 S. Rahmah Nurshiami, dkk Kesimula Berdasarka embahasa megeai matriks Lalacia, daat disimulka bahwa jika meruaka ilai eige dari matriks Lalacia L(G), maka ilai eige yag ertama adalah ol dega multilisitasya. Lebih dari itu, jika G graf terhubug maka ilai eige kedua lebih besar dari. Semetara jika G graf reguler berderajat k, maka jumlah dari ilai eige matriks Lalacia da ilai eige matriks ketetaggaa sama dega k. DAFTAR PUSTAKA [] Ato, Howard. 2. Dasar-dasar Aljabar Liear. Edisi 7, Jilid. Iteraksara, [2] Biggs, Norma Algebraic Grah Theory. Secod Editio. Cambridge Uiversity Press, New York. [3] Fiedler, Miroslav Algebraic Coectivity of Grahs. Czechoslovak Mathematical Joural vol. 23. Praha. [4] Jacob, Bill. 99. Liear Algebra. W. H. Freema ad Comay, New York. [5] Juhasz, F O The Sectrum of a Radom Grah. Colloq.Math.Soc.J.Bolyai 25. North-Hollad,Amsterdam. [6] Kolma, Berard. 24. Elemetary Liear Algebra. 8 th Editio. Pearso Educatio, New Jersey. [7] Leo, Steve. 2. Aljabar Liier da Alikasiya Edisi ke-5. Erlagga, Jakarta. [8] Wilso, Robi J., ad Joh J. Watkis. 99. Grah A Itroductory Aroach: A First Course i Discrete Mathematics. Joh Willey & Sos, Ic, New York. [9] Yacoub, Wafa.24. A Thesis : Eigevalues of Grahs :Algebraic Coectivity ad Acyclic Matrices. The faculty of The Deartmet of Mathematics. Sa Jose State Uiversity, Sa Jose States.