Solved Problems (taken from tutorials)

Transkripsi

1 Lampira Kumpula Soal soal Tutorial da PR Aalisis Real

2 Solved Problems (take from tutorials). Apakah f = {<x, y> x = y } suatu fugsi? Jawab: Utuk meujukka bahwa f suatu fugsi, maka perlu diigat kembali defiisi fugsi secara matematis, yaitu: f : X Y x X,! y Y <x, y> f (atau y = f(x)) x X, y i Y, i >, <x, y i > f (atau y i = f(x)) Karea x = X sehigga utuk y = da y = berlaku x =y da x = y, dega y y, maka f buka fugsi.. Apakah f = {<x, y> y = x } suatu fugsi? Jawab: f adalah fugsi Diambil sebarag x, x X dega x = x. Karea y = x, maka y = f(x ) = x da y = f(x ) = x. Karea x = x, maka x = x Dari sii, maka f(x ) = f(x ) atau y = y. Jadi, f fugsi. 3. Buktika bahwa, utuk sebarag himpua A, B X berlaku A B B c A c Pertama, aka dibuktika A B B c A c Diketahui A B. Aka dibuktika B c A c. Diambil sebarag x B c. Karea x B c maka x B. Karea A B maka x A. Karea x A maka x A c. Dega kata lai, terbukti bahwa B c A c. Kedua, aka dibuktika A B B c A c Diketahui B c A c. Aka dibuktika A B. Diambil sebarag x A. Karea x A maka x A c. Karea B c A c maka x B c. Karea x B c maka x B. Dega kata lai, terbukti bahwa A B. 4. Buktika bahwa, utuk sebarag himpua A, B X berlaku A B = B A A B= ( A~ B) ( B~ A) = ( B~ A) ( A~ B) = B A 5. Buktika bahwa, utuk sebarag himpua A, B X berlaku A B = A = B Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 4

3 Pertama, dibuktika bahwa A B = A = B. Diketahui A B =, aka dibuktika A = B c c Karea A B= ( A~ B) ( B~ A) = ( A B ) ( B A ) = maka A B c = da B A c = (bukti lagsug, it s mie) Karea A B c = maka x A berakibat x B c. Karea x B c maka x B. Diperoleh x A x B. Jadi, A B. Karea B A c = maka x B berakibat x A c. Karea x A c maka x A. Diperoleh x B x A. Jadi, B A. (bukti tidak lagsug, with Ve Diagrams illustrated) Adaika A B, misal A B. Karea A B, A B c = tetapi B A c. Kotradiksi dega B A c =. X B A X B A A B c B A c Misal B A. Karea B A, B A c = tetapi A B c. Kotradiksi dega A B c =. X X A B A B B A c A B c Jadi pegadaia salah, yag bear A = B. Kedua, dibuktika bahwa A B = A = B. Diketahui A = B, aka dibuktika A B =. A B= ( A~ B) ( B~ A) = ( A~ A) ( B~ B) = = 6. Jika ς kumpula himpua-himpua. Buktika bahwa utuk sebarag himpua B X berlaku B A = ( B A) A ς A ς x B A. x B da x A A ς A ς. x B da x A utuk suatu A ς. x B A utuk suatu A ς. x ( B A) A ς 7. Jika f : X Y fugsi, A, B X da G, H Y. Buktika bahwa: a) f(a B) = f(a) f(b) b) f Aλ = f [ Aλ ] λ λ c) f(a B) f(a) f(b). Berika cotohya! d) Jika f satu-satu, maka f(a B) = f(a) f(b). Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 5

4 e) f (G H) = f (G) f (H) f) f (G H) = f (G) f (H) g) f (Y ~ G) = X ~ f (G) a) Diambil sebarag y f(a B), maka y f( A B). x A B sehigga y = f( x). x A sehigga y = f( x) atau x B sehigga y = f( x). y f( A) atau y f( B). y f( A) f( B) b) Diambil sebarag y f A λ λ y f Aλ. y f( x), x Aλ utuk suatu λ λ. y f[ Aλ ] utuk suatu λ. y f A λ [ ] λ c) f(a B) f(a) f(b). Berika cotohya! Diambil sebarag y f(a B) maka terdapat x A B sehigga y = f(x). Karea x A B maka x A da x B sehigga y = f(x). Karea terdapat x A sehigga y = f(x) da terdapat x B sehigga y = f(x) maka x f(a) da x f(b). Jadi, x f(a) f(b). Cotoh: y = f(x) = x A = [,0] maka f(a) = [0,] B = [0,] maka f(b) = [0,} f(a) f(b) = [0,] da A B ={0} f(a B) = {0} Jadi, f(a B) f(a) f(b) tetapi f(a B) f(a) f(b) d) Jika f satu-satu, maka f(a B) = f(a) f(b). Dari c) telah dibuktika f(a B) f(a) f(b) Sehigga cukup dibuktika f(a B) f(a) f(b) Diambil sebarag y f(a) f(b). Karea y f(a) f(b), maka y f(a) da y f(b). Karea y f(a) maka terdapat x A sehigga y = f(x ) Karea y f(b) maka terdapat x B sehigga y = f(x ) Karea y = f(x ) = f(x ) da f satu-satu maka x = x. Sebut x = x = x. Diperoleh, x A da x B sehigga y = f(x). Jadi terdapat x A da x B sehigga y = f(x). Karea x A da x B maka x A B sehigga y = f(x). Karea terdapat x A B sehigga y = f(x), maka y f(a B). e) f (G H) = f (G) f (H) Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 6

5 ( ). sehigga = ( ) x f G H y G H y f x. y G atau y H sehigga y = f( x). x f ( G) atau x f ( H). x f ( G) f ( H) f) Diambil sebarag x f (G H) x f ( G H). y G H sehigga y = f( x). y G da y H sehigga y = f( x). x f ( G) da x f ( H). x f ( G) f ( H) g) f (Y ~ G) = X ~ f (G) x f ( Y ~ G). y Y ~ G sehigga y = f( x) c. y Y G sehigga y = f( x). y Y da y G sehigga y = f( x). x f ( Y) da x f ( G) sehigga y = f( x) c x X f G y f x. ( ) sehigga = ( ). x X ~ f ( G) 8. Misal f : X Y fugsi, E X da H Y. Jika f satu-satu, buktika bahwa: f (f(e)) = E Pertama, dibuktika f (f(e)) E Diambil sebarag x f (f(e)), maka terdapat y f(e) sehigga y = f(x ). Karea y f(e), maka terdapat x E sehigga y = f(x ). Karea y = f(x ) = f(x ) da f satu-satu, maka x = x. Karea x E, maka x = x E. Kedua, dibuktika f (f(e)) E Diambil sebarag x E. Karea f fugsi, maka terdapat y f(e) sehigga y = f(x). Karea y f(e) sehigga y = f(x) da f fugsi, maka x f (f(e)). 9. Misal g da f fugsi dari X ke Y. Buktika bahwa jika g f satu-satu, maka f satu-satu. Diambil sebarag x, x X dega f(x ) = f(x ). Karea f(x ) = f(x ), maka g( f( x)) = g( f( x)) ( g f )( x) = ( g f )( x) Karea g f satu-satu, maka x = x. Jadi f satu-satu. 0. Misal g da f fugsi dari X ke Y. Buktika bahwa jika g da f satu-satu maka g f satu-satu. Diambil sebarag x, x X dega ( g f )( x) = ( g f )( x). Karea ( g f )( x) = ( g f )( x) maka, g(f(x )) = g(f(x )) Karea g satu-satu maka f(x ) = f(x ) Karea f satu-satu maka x = x. Jadi g f satu-satu. Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 7

6 Solved Problems (take from tutorials) Tutorial # A terhitug A = {x, x, x 3, } A ~ N ada korespodesi satu-satu atara A da N. a. Tetuka fugsi bijektif f : N Z utuk membuktika Z terhitug Jawab: Didefiisika fugsi f : N Z dega atura +, =,3,5,... ( ) f =, =,4,6,... (ote that, image of f must be i Z ad it s domai i N, quite clear for this case. Uless, we have to defie aother differet fuctios) Sebagai cotoh, Jadi, f fugsi bijektif. Oleh karea itu, Z ~ N. Dega kata lai, Z terhitug. b. Tetuka fugsi bijektif h : Z N Jawab: Perhatika bahwa domai h adalah Z da image-ya ada di N. Didefiisika fugsi h dega atura sebagai berikut: (x + ), x =,, 3,... hx ( ) = (x + ), x = 0,,,3,... Terlihat h bijektif.. Misal fugsi f : N A bijektif da g : N B bijektif. Tetuka fugsi bijektif h : N A B. Jawab: Didefiisika fugsi h dega atura sebagai berikut: + f, =,3,5,... h ( ) = g, =,4,6,... Jadi, A = {f(), f(), f(3), } da B = {g(), g(), g(3), } 3. Misal fugsi f : A N bijektif da g : B N bijektif. Tetuka fugsi bijektif h : A x B N. Jawab: Didefiisika fugsi h dega atura Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

7 a+ c = b+ k+ l = ( b+ k+ l ) = bilaga geap a R c Jadi, R tidak trasitif. Oleh karea itu R buka relasi uruta parsial. Misal A = Defiisika relasi R pada A sebagai berikut, R ab cd, a + < > < > d = b + c 3. Buktika bahwa R relasi ekuivale pada A Bukti : Diambil sebarag <a, b>, <c, d>, da <e, f> A. a) Aka dibuktika R trasitif Misal <a, b> R <c, d> da <c, d> R <e, f>. Aka dibuktika <a, b> R <e, f> atau dibuktika a + f = b + e. Karea <a, b> R <c, d> maka a + d = b + c. (*) Karea <c, d> R <e, f> maka c + f = d + e.. (**) Dari (*) da (**) diperoleh a + d + c + f = b + c + d + e atau a + f = b + e. Jadi terbukti R trasitif b) Aka dibuktika R simetri Misal <a, b> R <c, d>. Aka dibuktika <c, d> R <a, b> atau dibuktika c + b = d + a Karea <a, b> R <c, d> maka a + d = b + c d + a = c + b c + b = d + a Jadi terbukti R simetri c) Aka dibuktika R refleksi, yaitu <a, b> R <a, b>. Karea a + b = b + a maka sesuai defiisi R diperoleh <a, b> R <a, b> Jadi terbukti R refleksi Karea terbukti R trasitif, simetri, da refleksi maka terbukti R relasi ekuivale. 4. Didefiisika operasi + pada A sebagai berikut <a, b> + <c, d> = <a + c, b + d> Jika <a, b> R <a, b > da <c, d> R <c,d > maka buktika R ab, + cd, a', b' + c', d' Bukti : R a+ b' = b+ a' ab, a', b' cd, R c', d' c + d' = d + c' Diperoleh, a+ b' + c + d' = b+ a' + d + c' ( a+ c) + ( b' + d') = ( b+ d) + ( a' + c') Jadi, meurut defiisi R da operasi + pada A, diperoleh R R a+ c, b+ d a' + c', b' + d' ab, + cd, a', b' + c', d' 5. Misalka F relasi uruta parsial pada A. Relasi R didefiisika sebagai berikut: x R y y F x Buktika R relasi uruta parsial pada A. Pertama, dibuktika R atisimetris Diambil sebarag x, y A. Misalka x R y da y R x. Aka dibuktika x = y. Karea x R y y F x da y R x x F y Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

8 Karea F uruta parsial maka F atisimetri. Karea y F x da y F x, da F atisimetri maka y = x. Jadi terbukti R atisimetri Kedua, dibuktika R trasitif. Diambil sebarag x, y, z A. Misalka x R y da y R z. Aka dibuktika x R z. Karea x R y y F x da y R z z F y Karea F uruta parsial maka F trasitif. Karea y F x da z F y, da F trasitif maka z F x. Karea z F x, sesuai dega defiisi R maka x R z. Jadi terbukti R trasitif Karea terbukti R atisimetri da trasitif maka terbukti R relasi uruta parsial pada A. 6. Misalka X himpua dega operasi/fugsi P : X x X X dega atura P(x, y) = xy da memeuhi (i) x(yz) = (xy)z (ii) xy = yx (iii) xx = x Didefiisika relasi R pada X sebagai berikut x R y xy = y Buktika R relasi uruta parsial pada X Pertama, dibuktika R atisimetri Diambil sebarag x, y X. Misalka x R y da y R x. Aka dibuktika x = y Karea x R y xy = y da y R x yx = x Karea xy = y da yx = x, maka yx = x xy = y yx = y x = y Jadi terbukti R atisimetri Kedua, dibuktika R trasitif Diambil sebarag x, y, z X. Misalka x R y da y R z. Aka dibuktika x R z atau dibuktika bahwa xz = z. Karea x R y xy = y da y R z yz = z Karea xy = y da yz = z, maka yz = z ( xy) z = z x( yz) = z xz = z Jadi terbukti R trasitif Karea terbukti R atisimetri da trasitif, maka terbukti R relasi uruta parsial. a = sup( A). ( i) a x, x A.( ii ) ε > 0, x A x > a ε 0 0 Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 3

9 7. Misalka A, A. A terbatas da didefiisika sa = {sa a A} Buktika a) Jika s > 0 maka sup(sa) = s.sup(a) b) Jika s < 0 maka sup(sa) = s.if(a) a) Misal a = sup(a). Utuk s > 0 aka dibuktika sup(sa) = sa. a = sup( A). ( i) a x, x A ε.( ii ) ε > 0, x0 A x 0 > a s Karea s > 0, dari (i) da (ii) diperoleh sa sx atau sa t, t = sx sa... (*) da, ε > 0, t0 = sx0 sa t0 > sa ε.. (**) Dari (*) da (**) terlihat sa = sup(sa). b) Misal b = if(a). Utuk s < 0 aka dibuktika sup(sa) = sb b = if( A). ( i) x b, x A ε.( ii ) ε > 0, x0 A x 0 < b + ( s ) Karea s < 0, dari (i) da (ii) diperoleh sb sx atau sb t, t = sx sa... (*) da, ε > 0, t0 = sx0 sa t0 > sb ε.. (**) Dari (*) da (**) terlihat sb = sup(sa). Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 4

10 Tutorial #3 Real Aalysis Khaeroi, S.Si oy Lisesi Dokume: Copyleft o khaeroi.wordpress.com Seluruh dokume di khaeroi.wordpress.com dapat diguaka, dimodifikasi da disebarka secara bebas utuk tujua buka komersial (oprofit) atau akademis (keaika pagkat, sertifikasi, da sebagaiya). Dibolehka melakuka peulisa ulag, dega tapa medapatka iji terlebih dahulu dari khaeroi.wordpress.com. Karea sifatya buka referesi, maka diperkeaka juga utuk tidak meyertaka lik dari dokume ii. Peulis tidak bertaggug jawab atas segala ketersesata yag ditimbulka oleh pegguaa dokume ii. a, b, c X R relasi ekuivale, jika : - Trasitif, yaitu : a R b da b R c a R c - Simetri, yaitu : a R b b R a - Refleksi, yaitu : a R a R relasi uruta parsial ( ), jika : - Atisimetri, yaitu : a R b da b R a a = b - Trasitif relasi uruta liear, jika : a b atau b a Jika relasi uruta liear pada X maka X disebut himpua yag terurut liear (terhadap relasi ). Berika cotoh himpua yag terurut liear. Jawab:,,, da adalah himpua-himpua terurut liear terhadap relasi <. Misal relasi R pada didefiisika sebagai berikut x R y x + y = bilaga gajil Periksa apakah: a) R relasi ekuivale? b) R relasi uruta parsial? Jawab: a) R buka relasi ekuivale sebab R tidak simetri. Cotoh R karea + buka bilaga gajil b) Diambil sebarag a, b, c dega a R b da b R c. Karea a R b a + b = k, k.. (*) b R c b + c = l, l.. (**) Dari (*) da (**) diperoleh Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

11 a+ c = b+ k+ l = ( b+ k+ l ) = bilaga geap a R c Jadi, R tidak trasitif. Oleh karea itu R buka relasi uruta parsial. Misal A = Defiisika relasi R pada A sebagai berikut, R ab cd, a + < > < > d = b + c 3. Buktika bahwa R relasi ekuivale pada A Bukti : Diambil sebarag <a, b>, <c, d>, da <e, f> A. a) Aka dibuktika R trasitif Misal <a, b> R <c, d> da <c, d> R <e, f>. Aka dibuktika <a, b> R <e, f> atau dibuktika a + f = b + e. Karea <a, b> R <c, d> maka a + d = b + c. (*) Karea <c, d> R <e, f> maka c + f = d + e.. (**) Dari (*) da (**) diperoleh a + d + c + f = b + c + d + e atau a + f = b + e. Jadi terbukti R trasitif b) Aka dibuktika R simetri Misal <a, b> R <c, d>. Aka dibuktika <c, d> R <a, b> atau dibuktika c + b = d + a Karea <a, b> R <c, d> maka a + d = b + c d + a = c + b c + b = d + a Jadi terbukti R simetri c) Aka dibuktika R refleksi, yaitu <a, b> R <a, b>. Karea a + b = b + a maka sesuai defiisi R diperoleh <a, b> R <a, b> Jadi terbukti R refleksi Karea terbukti R trasitif, simetri, da refleksi maka terbukti R relasi ekuivale. 4. Didefiisika operasi + pada A sebagai berikut <a, b> + <c, d> = <a + c, b + d> Jika <a, b> R <a, b > da <c, d> R <c,d > maka buktika R ab, + cd, a', b' + c', d' Bukti : R a+ b' = b+ a' ab, a', b' cd, R c', d' c + d' = d + c' Diperoleh, a+ b' + c + d' = b+ a' + d + c' ( a+ c) + ( b' + d') = ( b+ d) + ( a' + c') Jadi, meurut defiisi R da operasi + pada A, diperoleh R R a+ c, b+ d a' + c', b' + d' ab, + cd, a', b' + c', d' 5. Misalka F relasi uruta parsial pada A. Relasi R didefiisika sebagai berikut: x R y y F x Buktika R relasi uruta parsial pada A. Pertama, dibuktika R atisimetris Diambil sebarag x, y A. Misalka x R y da y R x. Aka dibuktika x = y. Karea x R y y F x da y R x x F y Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

12 Karea F uruta parsial maka F atisimetri. Karea y F x da y F x, da F atisimetri maka y = x. Jadi terbukti R atisimetri Kedua, dibuktika R trasitif. Diambil sebarag x, y, z A. Misalka x R y da y R z. Aka dibuktika x R z. Karea x R y y F x da y R z z F y Karea F uruta parsial maka F trasitif. Karea y F x da z F y, da F trasitif maka z F x. Karea z F x, sesuai dega defiisi R maka x R z. Jadi terbukti R trasitif Karea terbukti R atisimetri da trasitif maka terbukti R relasi uruta parsial pada A. 6. Misalka X himpua dega operasi/fugsi P : X x X X dega atura P(x, y) = xy da memeuhi (i) x(yz) = (xy)z (ii) xy = yx (iii) xx = x Didefiisika relasi R pada X sebagai berikut x R y xy = y Buktika R relasi uruta parsial pada X Pertama, dibuktika R atisimetri Diambil sebarag x, y X. Misalka x R y da y R x. Aka dibuktika x = y Karea x R y xy = y da y R x yx = x Karea xy = y da yx = x, maka yx = x xy = y yx = y x = y Jadi terbukti R atisimetri Kedua, dibuktika R trasitif Diambil sebarag x, y, z X. Misalka x R y da y R z. Aka dibuktika x R z atau dibuktika bahwa xz = z. Karea x R y xy = y da y R z yz = z Karea xy = y da yz = z, maka yz = z ( xy) z = z x( yz) = z xz = z Jadi terbukti R trasitif Karea terbukti R atisimetri da trasitif, maka terbukti R relasi uruta parsial. a = sup( A). ( i) a x, x A.( ii ) ε > 0, x A x > a ε 0 0 Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 3

13 7. Misalka A, A. A terbatas da didefiisika sa = {sa a A} Buktika a) Jika s > 0 maka sup(sa) = s.sup(a) b) Jika s < 0 maka sup(sa) = s.if(a) a) Misal a = sup(a). Utuk s > 0 aka dibuktika sup(sa) = sa. a = sup( A). ( i) a x, x A ε.( ii ) ε > 0, x0 A x 0 > a s Karea s > 0, dari (i) da (ii) diperoleh sa sx atau sa t, t = sx sa... (*) da, ε > 0, t0 = sx0 sa t0 > sa ε.. (**) Dari (*) da (**) terlihat sa = sup(sa). b) Misal b = if(a). Utuk s < 0 aka dibuktika sup(sa) = sb b = if( A). ( i) x b, x A ε.( ii ) ε > 0, x0 A x 0 < b + ( s ) Karea s < 0, dari (i) da (ii) diperoleh sb sx atau sb t, t = sx sa... (*) da, ε > 0, t0 = sx0 sa t0 > sb ε.. (**) Dari (*) da (**) terlihat sb = sup(sa). Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 4

14 Tutorial #4 Real Aalysis Khaeroi, S.Si oy Lisesi Dokume: Copyleft o khaeroi.wordpress.com Seluruh dokume di khaeroi.wordpress.com dapat diguaka, dimodifikasi da disebarka secara bebas utuk tujua buka komersial (oprofit) atau akademis (keaika pagkat, sertifikasi, da sebagaiya). Dibolehka melakuka peulisa ulag, dega tapa medapatka iji terlebih dahulu dari khaeroi.wordpress.com. Karea sifatya buka referesi, maka diperkeaka juga utuk tidak meyertaka lik dari dokume ii. Peulis tidak bertaggug jawab atas segala ketersesata yag ditimbulka oleh pegguaa dokume ii. (Barisa Koverge) <x > koverge ke a ( ε > 0)( N) ( x a < ε)( N). Tetuka bilaga asli N sehigga N berlaku a) < b) < Jawab: a) b) < < < < < + > > < + > 3 > N adalah bilaga asli dega N > N adalah bilaga asli dega N > ½. Buktika bahwa barisa koverge ke 0. Diambil sebarag ε > 0. Kemudia pilih bilaga asli N sedemikia sehigga Maka N berlaku 0 = N < ε Jadi, utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga asli N dega Terbukti bahwa koverge ke 0. 0 < ε N > < ε N ε. N > sehigga N berlaku ε Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

15 3. Buktika bahwa barisa { } = tidak koverge. Adaika {} koverge, misalka koverge ke L. Karea {} koverge ke L, maka ε > 0, N N berlaku L < ε. Karea ε sembarag misalka diambil ε =. Diperoleh, L < < L + Artiya setiap bilaga asli terletak pada selag yag pajagya. Hal ii tidak mugki, karea tidak ada bilaga asli yag demikia. Sehigga pegadaia salah, haruslah {} tidak koverge. 4. Buktika bahwa barisa {x } yag koverge ke l merupaka barisa Cauchy. Diambil sebarag ε > 0. Karea {x } koverge l. Maka N sehigga x l < ε/, N da x m l < ε/, m N Utuk N di atas, maka, m N sehigga ε ε x xm ( = x l) ( xm l) x l + xm l < + = ε 5. Buktika bahwa barisa Cauchy terbatas. ({x } terbatas M > 0, x M, N) Misalka {x } barisa Cauchy. Karea {x } barisa Cauchy maka ε > 0, N x x m < ε utuk setiap, m N. Utuk N berlaku x = ( x xn) + xn x xn + xn < ε + xn Utuk < N, pilih k = maks{ x, x,..., x N } sehigga x k, < N Dari sii, pilih M = maks{ε + x N, k}, maka N, x M. 6. Jika {x } terbatas da {y } koverge ke 0, buktika {x y } koverge ke 0. Diambil sebarag ε > 0. Karea {x } terbatas, maka M > 0, x M, N Karea {y } koverge 0, maka N sehigga N, berlaku y 0 < ε/m atau y < ε/m Utuk N di atas, maka N berlaku x y 0 = x y = x y < M.ε/M = ε. Jadi terbukti {x y } koverge ke Jika p bilaga prima, buktika bahwa p buka bilaga rasioal Adaika p bilaga rasioal, maka m, sehigga m p = dega (m, ) =. Dari sii m p = m = p Sehigga m kelipata p. Dari sii m kelipata p. Sebab, jika m buka kelipata p, maka k sehigga m = kp da m = (k p)p = tp, t = m p yag berarti m buka kelipata p. Kotradiksi, jadi m kelipata p. Hal yag sama, didapat kelipata kelipata p. Jadi (m, ) = p. Kotradiksi, jadi p buka bilaga rasioal. Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

16 8. Buktika bahwa tidak ada bilaga rasioal x sehigga x =. Adaika ada bilaga rasioal x sehigga x =. Karea x rasioal maka x = m/ utuk suatu m, dega (m, ) =. Dari sii maka m / = m =. Jadi m bil geap. Dari sii m geap. Sebab, jika m gajil, yaitu m = k + utuk suatu k maka m = (k +) = 4k + 4k + = (k + k) + yag berarti m gajil. Kotradiksi, haruslah m geap. Hal yag sama diperoleh geap. Akibatya (m, ) =. Kotradiksi, jadi tidak ada bilaga rasioal x sehigga x =. (Himpua Buka) A buka di x A, δ > 0 B(x, δ) A 9. Buktika (, ) buka di Ambil sebarag x (, ) Aka dibuktika δ > 0 B(x, δ) (, ) Pilih δ = mi{x, x} Aka dibuktika bahwa B(x, δ) (, ) Misal t B(x, δ). Maka, x δ < t < x + δ x ( x ) < t < x + ( x) < t < t (, ). 0. Buktika (a, b) buka di Diambil sebarag x (a, b), maka a < x < b. Aka dibuktika δ > 0 B(x, δ) (a, b) Pilih δ = mi{ x a, b x } Aka dibuktika bahwa B(x, δ) (a, b) Maka t B(x, δ) berlaku, t x < δ. Jika x a < b x, maka (x a) (b x) < 0 (x a + b x)(x a b + x) < 0 (b a)(x (a + b)) < 0. Karea b a > 0 maka x < a + b x a < b da, t x < x a (t x) (x a) < 0 (t x + x a)(t x x + a)<0 (t a)(t x + a)< 0 diperoleh a < t < x a < b. Jika b x < x a, maka (b x) (x a) < 0 (b x + x a)(b x x + a) < 0 (b a)(x (a + b)) > 0. Karea b a > 0 maka x > a + b a < x b da, t x < b x (t x) (b x) < 0 (t x + b x)(t x b + x)<0 (t x + b)(t b)< 0 diperoleh a < x b < t < b. Jadi, a < t < b atau t (a, b). Sehigga B(x, δ) (a, b). Terbukti bahwa (a, b) buka. Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 3

17 Tutorial #5 Real Aalysis Khaeroi, S.Si oy Lisesi Dokume: Copyleft o khaeroi.wordpress.com Seluruh dokume di khaeroi.wordpress.com dapat diguaka, dimodifikasi da disebarka secara bebas utuk tujua buka komersial (oprofit) atau akademis (keaika pagkat, sertifikasi, da sebagaiya). Dibolehka melakuka peulisa ulag, dega tapa medapatka iji terlebih dahulu dari khaeroi.wordpress.com. Karea sifatya buka referesi, maka diperkeaka juga utuk tidak meyertaka lik dari dokume ii. Peulis tidak bertaggug jawab atas segala ketersesata yag ditimbulka oleh pegguaa dokume ii. (Himpua Buka da Tutup) G buka di x G, δ > 0 B(x, δ) G. Jika A da B buka di, maka buktika A B buka di. Bukti : Misal x A B maka x = (a, b), a A da b B. Aka dibuktika δ > 0, B(x, δ) A B. Karea A buka da a A maka δ > 0 B(a, δ ) A Karea B buka da b B maka δ > 0 B(b, δ ) B Pilih δ = mi{δ, δ }. Tiggal dibuktika B(x, δ) A B. Misal t = ( t, t) B( x, δ ) maka ( t a) + ( t b) < δ Di lai pihak t a ( t a) + ( t b) < δ < δ artiya t B( a, δ ) sehigga t A. Da t b ( t a) + ( t b) < δ < δ artiya t B( b, δ ) sehigga t B. Jadi, t A da t B. Sehigga t = ( t, t) A B. Jadi, A B buka di. F tutup di F = F F F da F F (jelas) Jika x F maka x F x F δ > 0, y F y x < δ. Jika A da B tutup di maka A B tutup di. Misal x = ( a, b) A B Diambil sebarag δ > 0. Aka dibuktika bahwa x A B atau a A da b B Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

18 Karea x = ( a, b) A B maka y = ( y, y) A B Karea ( y a) + ( y b) < δ y a ( y a) + ( y b) < δ da y A, maka meurut defiisi a A. Karea A tutup, maka a A. Karea y b ( y a) + ( y b) < δ da y B, maka meurut defiisi b B. Karea B tutup, maka b B. Jadi, a A da b B. Sehigga x = ( a, b) A B 3. ( ) x F y F y x ) Misal x F, maka y F y x < = δ Karea koverge ke 0, maka utuk ε > 0 yag diberika N < ε, N. Jadi N y x < < ε Sehigga y x ) Misal δ > 0 diberika da y F sehigga y x. Karea y x maka N y x < δ, N. pilih y = y F sehigga diperoleh y x < δ Jadi, jika A = (0,) Apakah 0 A? Dipilih Apakah A? Dipilih y y = (0,) y 0. Jadi, 0 A. = (0,) y. Jadi, A. 4. = (. Jadi tidak tertutup) i) x y y x Karea y maka y, sehigga x. ii) x x δ, x + δ, δ > 0. Akibat dari Sifat Archimedes y x δ < y < x + δ, δ > 0 y y x < δ, δ > 0 x 5. Misal f : kotiu Buktika B = { x f( x) = 0} tertutup Cukup dibuktika bahwa B B. Diambil sebarag x B, maka (y ) B sehigga y x. Karea y B, maka f(y ) = 0. Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

19 Karea f kotiu da y x maka f(y ) f(x) Karea f(y ) = 0 maka f(x) = 0. Artiya x B. Jadi, terbukti bahwa B tertutup. (Fugsi Kotiu) f kotiu di x ε > 0, y, δ > 0 dega x y < δ sehigga f(x) f(y) < ε f kotiu pada A f kotiu x A 6. f(x) = x a) f kotiu seragam pada (0, ) (δ tidak bergatug pada x) Diambil sebarag ε > 0 da x, y (0, ). Pilih δ = ε/ dega x y < δ, maka ( ) f( x) f( y) = x y = x y x + y < x y x + y < x y < δ < ε b) f kotiu pada Kostruksi bukti: Misal x y <, maka x + y = y+ x y x + x = x y + x < + x Sehigga f( x) f( y) < δ x + y < δ ( + x ) < ε Diambil sebarag ε > 0 da x, y. ε Pilih δ = mi, dega x y < δ, maka + x ( ) f( x) f( y) x y x y x y x y x = = + < δ + < δ + < ε c) f tidak kotiu seragam pada Pilih ε =, da utuk setiap δ > 0 x = δ da y δ = δ + Sehigga y x = δ δ δ δ + δ = <. Tetapi, f( x) f( y) = x y = δ δ ε δ δ 4 = + 4 > = Bagi setiap lisa yag telah terkuci, bahka sampai kepada hatiya Maka izika da biarkalah selembar pegadua ii mejadi kata maaf yag sagat tulus Namu, jika ia terlambat da terkuci sudah segala pegabula maaf, maka biarkalah lembara ii haya mejadi baris yag memperidah kerajag sampah. Guakalah, jika ia berkea memaafka da buaglah, jika memag tidak berkea Namu percayalah, aku aka tetap medo aka kebaika bagi kita semua egkau suka atau tidak suka... "Ya Tuha kami, beri ampulah kami da saudara-saudara kami yag telah berima lebih dahulu dari kami, da jagalah Egkau membiarka kedegkia dalam hati kami terhadap orag-orag yag berima; Ya Tuha kami, sesugguhya Egkau Maha Peyatu lagi Maha Peyayag". (T.Q.S 59:0) pemiliha δ bergatug pada ε da x Karea x, y (0, ) maka ilai x da y palig besar adalah, sehigga jumlahya palig besar (tetapi tidak perah sama dega ) Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 3

20 Tutorial #6 Real Aalysis Khaeroi, S.Si oy Lisesi Dokume: Copyleft o khaeroi.wordpress.com Seluruh dokume di khaeroi.wordpress.com dapat diguaka, dimodifikasi da disebarka secara bebas utuk tujua buka komersial (oprofit) atau akademis (keaika pagkat, sertifikasi, da sebagaiya). Dibolehka melakuka peulisa ulag, dega tapa medapatka iji terlebih dahulu dari khaeroi.wordpress.com. Karea sifatya buka referesi, maka diperkeaka juga utuk tidak meyertaka lik dari dokume ii. Peulis tidak bertaggug jawab atas segala ketersesata yag ditimbulka oleh pegguaa dokume ii. (Tipe F σ da G δ ) Himpua D memiliki tipe F σ jika Himpua B memiliki tipe G δ jika D = F, F i tertutup. i = i = i i B = G, G i terbuka.. Setiap himpua tertutup memiliki tipe F σ Bukti : Misal F himpua tertutup, maka F = F... = Fi dega F = F, F = F 3 = F 4 =... = tertutup i =. Setiap himpua terbuka memiliki tipe G δ Misal G himpua terbuka, maka G = G... = Gi dega G = G, G = G 3 = G 4 =... = terbuka. 3. Tidak semua himpua yag memiliki tipe F σ adalah tutup Cotoh: ( 0, ] =, = (0,] memiliki tipe F σ tetapi (0,] tidak tutup. i = Gabuga terhitug dari himpua-himpua tutup Irisa terhitug dari himpua-himpua buka Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

21 4. Tidak semua himpua yag memiliki tipe G δ adalah buka Cotoh: ( 0,] = 0,+ = (0,] memiliki tipe G δ tetapi (0,] tidak buka. 5. Buktika memiliki tipe F σ m = m, m tutup, sehigga memiliki tipe F σ 6. Setiap selag higga memiliki tipe F σ ( ab, ) = a+, b [ ab, ] = [ ab, ] ab, = a+, b, = ab, ( ] [ ab) 7. Setiap selag memiliki tipe G δ ab, = ab, ( ) ( ) ab, = a, b+, = ab, + ab, = a, b [ ] ( ab] [ ) 8. Jika A memiliki tipe F σ maka buktika A c memiliki tipe G δ Karea A memiliki tipe F σ, maka : A = F = F F F... ; F i tertutup. i = Megguaka sifat De Morga, diperoleh : c c A = ( F F F3... ) c c c = F F F... 3 c Fi i = = Karea F i tertutup, maka F ic terbuka. Meurut defiisi, A c memiliki sifat G δ. i 3 Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

22 9. Setiap selag tak higga memiliki tipe F σ (, a) =, a ( a, ) = a+, (, ] = [, ] (Ukura Luar da Himpua Terukur) Ukura luar dari himpua A m*( A) = if l( I ) A I E disebut himpua terukur jika utuk setiap A berlaku: c m*( A) = m*( A E) + m*( A E ) 0. Tetuka m*(a), jika a) A = {} b) A = [0,] Jawab : a) Misal {I } koleksi selag-selag buka meyelimuti A. Misal I = {} I = (0,) dst m*( A) = if l( I ) = 0 A I b) Misal {I } koleksi selag-selag buka yag meyelimuti A. Dapat dipilih I =,+ l(i ) = + (ifimumya ) m*( A) = if l( I ) = A I. Jika A terhitug, maka buktika m*(a) = 0 Bukti : Karea A terhitug, maka : A = {x, x,... } A = i = { x } i Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 3 = ( i ) ( i ) m*( A) m* { x } m* { x } Karea m*({x i }) = 0, utuk setiap i, maka m*(a) = 0.. Misalka himpua A da ε > 0 diberika. Buktika bahwa ada himpua buka O sehigga A O da m*(o) m*(a) + ε Bukti : Misal {I } koleksi terhitug dari selag-selag buka yag meyelimuti A. m*( A) = if l( I ) Pilih O = { I } buka da jelas A O, da : A I i =

23 Karea maka Sehigga li ( ) m*( A) + ε m*( O) = if l( I ) O I m*( O) l( I ) m*( O) m*( A) + ε 3. Jika E da F terukur, buktika E F terukur. Bukti : Misalka A sembarag himpua diberika Aka dibuktika bahwa m*(a) = m*(a E F) + m*(a (E F) c ) Karea E terukur maka m*(a F) = m*(a F E) + m*(a F E c ). () Karea F terukur maka m*(a) = m*(a F) + m*(a F c ).() Dari (*) da (**) diperoleh, m*(a) = m*(a F E) + m*(a F E c ) + m*(a F c ) (3) Misal B = A (E F) c. Diperoleh : B F = (A (E c F c )) F = ((A E c ) (A F c )) F = ((A E c F) (A F c F) = A E c F = (A F) E c.. (4) da B F c = (A (E c F c )) F c = ((A E c ) (A F c )) F c = ((A E c F c ) (A F c F c ) = (A (E F) c ) (A F c ) = A F c.. (5) Karea F terukur, maka m*(b) = m*(b F) + m*(b F c ) Dega mesubstitusi (4) da (5) ke persamaa di atas, diperoleh m*(a (E F) c ) = m *((A F) E c ) + m*(a F c ).. (6) Sehigga, dari (3) da (6) diperoleh m*(a) = m*(a E F) + m*(a (E F) c ) seperti yag dimita. Bagi setiap lisa yag telah terkuci, bahka sampai kepada hatiya Maka izika da biarkalah selembar pegadua ii mejadi kata maaf yag sagat tulus Namu, jika ia terlambat da terkuci sudah segala pegabula maaf, maka biarkalah lembara ii haya mejadi baris yag memperidah kerajag sampah. Guakalah, jika ia berkea memaafka da buaglah, jika memag tidak berkea Namu percayalah, aku aka tetap medo aka kebaika bagi kita semua egkau suka atau tidak suka... "Ya Tuha kami, beri ampulah kami da saudara-saudara kami yag telah berima lebih dahulu dari kami, da jagalah Egkau membiarka kedegkia dalam hati kami terhadap orag-orag yag berima; Ya Tuha kami, sesugguhya Egkau Maha Peyatu lagi Maha Peyayag". (T.Q.S 59:0) Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 4

24 Tutorial #7 Aalisis Real Khaeroi, S.Si oy Lisesi Dokume: Copyleft o khaeroi.wordpress.com Seluruh dokume di khaeroi.wordpress.com dapat diguaka, dimodifikasi da disebarka secara bebas utuk tujua buka komersial (oprofit) atau akademis (keaika pagkat, sertifikasi, da sebagaiya). Dibolehka melakuka peulisa ulag, dega tapa medapatka iji terlebih dahulu dari khaeroi.wordpress.com. Karea sifatya buka referesi, maka diperkeaka juga utuk tidak meyertaka lik dari dokume ii. Peulis tidak bertaggug jawab atas segala ketersesata yag ditimbulka oleh pegguaa dokume ii.. Diberika fugsi f dega rumus f( x) =. x a) Buktika f kotiu pada (0, ) b) Tujukka f tidak kotiu seragam pada Bukti : a) Misal x (0, ) da ε > 0 diberika δ = mi, ε x x dega y x < δ, y (0, ), maka Pilih { } x y f ( y) f ( x) = = = y x < δ < ε y x xy x y x x Notes : Misal y x, maka y x x y x + y x y x x y x x b) Pilih ε = da ; x = ; y = + dega y x = = < δ, δ > 0 + ( + ) da f ( y) f ( x) = = ( + ) = > = ε y x Notes : ( + ) koverge ke 0. Artiya, δ > 0, 0 N < δ, 0. ( + ) Aalisis Real Compiled by : Khaeroi, S.Si

25 . Diberika fugsi f dega rumus f(x) = x 3 a) Buktika f kotiu pada (0, ) b) Tujukka f tidak kotiu seragam pada Bukti : a) Misal x (0, ) da ε > 0 diberika ε Pilih δ = dega y x < δ, y (0, ), maka f(y) f(x) = y 3 x 3 = (y x)(y + yx + x ) y x ( ) < δ. = ε b) Misal δ > 0 diberika. Pilih ε = da N > 3δ ; x = da δ δ y x = + = < δ maka, f ( y) f( x) = y x 3 3 = y x y + yx + x δ δ δ < δ δ δ = + δ δ y = + dega δ 3δ δ 3 δ = + + > + δ δ + > = ε Buktika χ A terukur dega A terukur., x A χ A( x) = 0, x A Aka dibuktika bahwa α, { x χa( x) > α} terukur α < 0, {x χ A (x) > α} = X terukur 0 α <, {x χ A (x) > α} = {x χ A = } = A terukur α, {x χ A (x) > α} = terukur α, x χ ( x) > α terukur sehigga χ A terukur. Jadi, { } 4. Misal f terukur da A = {x f(x) = } terukur B = {x f(x) = } terukur Serta f ( x), x A B f( x) = 0, x A B Buktika f terukur. α 0 {x f (x) > α} = {x f(x) > α} A α < 0 {x f (x) > α}= {x f(x) > α} B Notes : A Aalisis Real Compiled by : Khaeroi, S.Si

26 { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) } A = x f x = = x f x = = x f x x f x = = 5. Jika f terukur, buktika bahwa f terukur α 0 {x f(x) > α} = {x f(x) < α} {x f(x) > α} α < 0 {x f(x) > α}= X Soal-soal Latiha : 6. Misalka f terukur, maka buktika fugsi berikut terukur a) f + = sup {f, 0} b) f = sup { f, 0} 7. Misalka f terukur, maka buktika a) A = {x f(x) = } terukur b) B = {x f(x) = } terukur Bukti : a) A = { x f ( x) > } = b) B = { x f ( x) < } = o 0 o "Ya Tuha kami, beri ampulah kami da saudara-saudara kami yag telah berima lebih dahulu dari kami, da jagalah Egkau membiarka kedegkia dalam hati kami terhadap orag-orag yag berima; Ya Tuha kami, sesugguhya Egkau Maha Peyatu lagi Maha Peyayag". (T.Q.S 59:0) Aalisis Real Compiled by : Khaeroi, S.Si 3

27 Aalisis Real PR # Khaeroi, S.Si G Materi : Ukura Luar Buktika ) Jika A B, maka m*(a) m*(b) ) m*({a}) = 0, a 3) Misalka I adalah selag, maka m*(i) = l(i) 4) Misalka himpua A da ε > 0 diberika. Buktika bahwa ada himpua buka O sehigga A O da m*(o) m*(a) + ε. Ada himpua G G δ sedemikia sehigga A G da m*(a) = m*(g). Misalka {I } koleksi selag-selag buka yag meyelimuti B, maka B I Misalka {J } koleksi selag-selag buka yag meyelimuti A, maka A J Karea A B, maka m*( A) = if l( J ) if l( I ) = m*( B) Jadi, A J B I m*(a) m*(b). Diambil sebarag a da ε > 0. Dari defiisi ukura luar diperoleh bahwa 0 m*({a}). Dipilih ε ε { I} = x, x +,,, Dari sii maka, ε ε ε li ( ) = li ( ) = l a, a+ = < ε = da ε ε I = I = a, a + {} a = 6 6 Meurut defiisi ukura luar, diperoleh m*({a}) < ε. Karea 0 m*({a}) < ε, ε > 0 maka m*({a}) = 0 3. Kasus : Misalka [a, b] Karea [a, b] (a ε, b + ε), ε > 0 maka m*([a, b]) l((a ε, b + ε)) = b a + ε Karea m*([a, b]) b a + ε, ε > 0 maka Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

28 m*([a, b]) b a Selajutya, aka dibuktika m*([a, b]) b a. Hal ii sama saja dega membuktika bahwa jika {I } sembarag koleksi terhitug dari selag buka yag meyelimuti [a, b] maka li ( ) b a Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si Sebab, if li ( ) b a. Karea ifimum, maka li ( ) A b a. I Dega Teorema Heie-Borel, setiap koleksi selag terbuka yag meyelimuti [a, b] memuat subkoleksi berhigga yag juga meyelimuti [a, b], da karea jumlaha pajag selag dari subkoleksi berhigga tidak lebih besar dari jumlaha pajag selag dari koleksi asliya, maka pertidaksamaa di atas terbukti utuk koleksi berhigga {I } yag meyelimuti [a, b]. Karea a termuat di dalam I maka ada k sehigga I k memuat a. Misalka I k = (a, b ). Diperoleh a < a < b Jika b b, maka b [a, b] da karea b (a, b ) maka terdapat iterval (a, b ) di dalam {I } sedemikia sehigga b (a, b ). Jadi, a < b < b. Demikia seterusya, sehigga diperoleh barisa (a, b ), (a, b ),..., (a k, b k ) Dari koleksi {I } sedemikia sehigga a i < b i < b i. Karea {I } koleksi berhigga, proses di atas pasti berheti pada suatu iterval (a k, b k ). Tetapi proses ii haya aka berheti jika b (a k, b k ), yaitu jika a k < b < b k. Karea a i < b i, maka l( I) l( ai, bi) = ( bk ak) + ( bk ak ) + + ( b a) = bk ( ak bk ) ( ak bk ) ( a b) a > bk a Tetapi b k > b da a < a. Akibatya, b k a > b a. Jadi, l ( I ) > b a. Terbukti bahwa m*([a, b]) b a Kasus : Misalka I selag berhigga sebarag, maka utuk ε > 0 yag diberika, terdapat selag tertutup J I sehigga l(j) > l(i) ε Diperoleh, l(i) ε < l(j) = m*(j) m*(i) m*( I ) = l( I ) = l( I) Sehigga utuk setiap ε > 0, l(i) ε < m*(i) l(i) Jadi, m*(i) = l(i). Kasus 3 : Misalka I iterval tak higga, maka utuk setiap bilaga real yag diberika terdapat selag tertutup J I sehigga l(j) =. Diperoleh m*(i) m*(j) = l(j) = Karea m*(i) utuk setiap, maka m*(i) = = l(i). 4. Misalka ε > 0 diberika. i) Utuk kasus pertama, misalka m*(a) = diambil O = da berlaku m*(o) = + ε = m*(a) + ε Utuk kasus kedua, misalka m*(a) <. Meurut defiisi ukura luar, ada {I } koleksi terhitug dari selag-selag buka dega sifat A I da li ( ) m*( A) + ε

29 Berdasar proposisi da, diperoleh m* I m*( I ) = l( I ) m*( A) + ε ( ) Jika dipilih O = I, maka O memeuhi da Karea I buka, maka O = I buka. A O m*( O) m*( A) + ε ii) Kasus pertama, jika m*(a) = dipilih G = maka G G δ. Karea G = maka A G da m*(a) = = m*(g). Kasus kedua, m*(a) <. Meurut bukti bagia i), terlihat bahwa utuk setiap bilaga asli ada himpua buka O dega sifat A O da m*( O ) m*( A) + Didefiisika G = O. Karea O buka utuk setiap, maka G buka. Sehigga G G δ Karea A O da G = O utuk setiap maka A G Karea A G maka m*(a) m*(g). () Di lai pihak, karea G = O utuk setiap maka G O Karea G O utuk setiap, maka m*( G) m*( O ) m*( A) + Dari sii diperoleh m*(a) m*(g) () Dari () da () diperoleh m*(a) = m*(g) Misalka a, b da utuk setiap ε > 0 berlaku a b + ε. Buktika bahwa a b (Robert G. Bartle, Doald R. Sheibert, 000, Itroductio to real aalysis, 3 rd ed, Joh Wiley & Sos, USA, p.30 problem o. 8) Adaika a > b. Meurut Aksioma Archimedes, ada bilaga sedemikia sehigga > a b. Dari sii maka < a b a > b +. Kotradiksi dega hipotesis. Jadi haruslah a b. Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si 3

30 Aalisis Real PR # Khaeroi, S.Si G Materi : Fugsi Terukur ) Misalka f fugsi real dega daerah asal himpua terukur. Keempat peryataa berikut ekuivale. i) Utuk setiap bilaga real α, himpua {x f(x) > α} terukur ii) Utuk setiap bilaga real α, himpua {x f(x) α} terukur iii) Utuk setiap bilaga real α, himpua {x f(x) < α} terukur iv) Utuk setiap bilaga real α, himpua {x f(x) α} terukur Keempat peryataa di atas megakibatka v) Utuk setiap bilaga real α, himpua {x f(x) = α} terukur Buktika berlaku iii) iv) ) Jika f : D R dega D himpua terukur. Buktika bahwa jika f kotiu pada D maka f terukur 3) Misalka f fugsi terukur pada [a, b], da f berilai ± haya pada himpua yag berukura ol, maka utuk setiap ε > 0, terdapat fugsi tagga g da fugsi kotiu h yag memeuhi f g < ε da f h < ε Kecuali pada himpua yag berukura lebih kecil dari ε, yaitu : m{x f(x) g(x) ε} < ε, da m{x f(x) h(x) ε} < ε Jika m f M, dapat dipilih fugsi g da h yag memeuhi m g M da m h M. Diambil sebarag bilaga real α. Karea { x f( x) α} = x f( x) < α + = da irisa dari barisa himpua terukur adalah terukur maka himpua {x f(x) α} terukur. Sebalikya, karea { x f( x) < α} = x f( x) α = da gabuga dari barisa himpua terukur adalah terukur maka himpua {x f(x) < α} terukur.. Diambil bilaga real α sebarag. Karea f kotiu, maka himpua {x D f(x) > α} buka. Karea {x D f(x) > α} buka, maka f terukur. 3. Misalka f fugsi terukur yag didefiisika pada [a, b]. Asumsika bahwa merupaka fugsi berilai real a.e. Maka, utuk ε > 0 yag diberika ada fugsi kotiu h sedemikia sehigga m{x [a, b] f(x) h(x) ε} < ε Jika f(x) M dapat dipilih h sehigga h(x) M. Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

31 Kasus. f terbatas dega batas M. Misalka k bilaga bulat positif sedemikia sehigga M k Didefiisika himpua < ε. i i Ei = x M f( x) M k k k Ek = x M f( x) M k utuk i = k, k,..., k. Jelas bahwa himpua di atas terukur. Misalka k E = E. Utuk ε setiap i terdapat himpua tertutup F i E i sedemikia sehigga mf ( i) > me ( i). Misalka k k F = Fi. Diperoleh E ~ F = [ Ei Fi] sehigga m(e) m(f) < ε. Didefiisika p pada k himpua F dega atura p(x) = i M utuk x F i. Terlihat bahwa p fugsi kosta pada setiap k himpua tertutup F i yag megakibatka p kotiu pada F. Diperoleh juga bahwa utuk setiap x F, f(x) p(x) < ε da p(x) M. Jadi, ada fugsi kotiu h pada [a, b] yag bersesuaia dega p da berlaku h(x) M utuk setiap x [a, b]. Karea {x f(x) h(x) ε} [a, b] ~ F, maka h adalah fugsi yag dicari. Kasus. f tidak terbatas Karea suatu fugsi terukur a.e yag didefiisika pada suatu himpua dega ukura berhigga dapat diaproksimasi dega fugsi yag memiliki ukura terbatas kecuali pada himpua yag ε ukuraya sagat kecil, maka ada fugsi terbatas ϕ sedemika sehigga m{ f ϕ} <. Kemudia dari bukti kasus, disimpulka bahwa m{x h(x) ϕ(x) ε} < ε. Tetapi {x f(x) h(x) ε} {x f(x) ϕ(x)} {x h(x) ϕ(x) ε} Sehigga h adalah fugsi yag dicari. k i Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si

32 Aalisis Real PR #5 Khaeroi, S.Si G Materi : Itegral Fugsi Tak Negatif ) Misalka <f > adalah barisa fugsi terukur yag tak egatif yag koverge ke f, da misalka f f utuk setiap bilaga asli. Buktika bahwa f = lim f ) Teorema 7 : Misalka <g > barisa fugsi teritegralka yag koverge ke fugsi teritegralka g hampir dimaa-maa. Misalka <f > barisa fugsi terukur sedemikia sehigga f g utuk setiap da <f > koverge ke f hampir di maa-maa. Jika g = lim g buktika bahwa f = lim f 3) Tujukka bahwa jika f teritegralka pada E, maka f juga teritegralka da f f Apakah juga berlaku sebalikya? E E. Diambil <f > barisa fugsi terukur da tak egatif yag koverge ke f da utuk setiap bilaga asli, berlaku f f. Dega megguaka lemma Fatou diperoleh f lim f lim f () Karea f tak egatif, da f f maka f tak egatif. Akibatya, dega megguaka proposisi 8, karea f f maka f f Sehigga dega megambil limit superiorya diperoleh lim f lim f f Dari () da () disimpulka lim f f lim f lim f Akibatya lim f = f = lim f Jadi, f = lim f () Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si (

33 . Karea f g utuk setiap maka g f g utuk setiap. Dari sii utuk setiap berlaku : (i) g + f 0, da (ii) g f 0. Dega megguaka Lemma Fatou da sifat-sifat limit superior da iferior diperoleh ( g + f ) lim ( g + f ) da Dari sii diperoleh, Sehigga, Akibatya, g + f = ( g + f ) lim ( g + f ) lim g + lim f = g+ lim f f lim ( g f ) lim ( g f ) g f = ( g f ) lim ( g f ) lim g + lim ( f ) = g lim f f lim f f lim f f f lim f lim f da lim f lim f f lim f lim f f lim f lim f f = lim f = lim f = lim f 3. Karea f teritegralka, maka f + da f juga teritegralka. Akibatya f = f + + f teritegralka pada E da f = f f = f f f + f = f + f = f + f = f E E E E E E E E E E Bagaimaa dega sebalikya? Jika f teritegralka pada E, maka f + f < E E juga teritegralka pada E. Akibatya f = f + f teritegralka. da f f <. Sehigga f + da f E E Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si (

34 Aalisis Real PR #6 Khaeroi, S.Si G Materi : Turua Fugsi Mooto ) Jika f kotiu pada [a, b] da salah satu turuaya tak egatif pada (a, b) maka f adalah fugsi tak turu pada [a, b], yaitu : f(x) f(y) utuk setiap x y. ) Misalka f fugsi yag didefiisika dega f(0) = 0 da f(x) = x si(/x) utuk x 0. Tetuka D + f(0), D + f(0), D f(0), D f(0). 3) a. Tujukka bahwa D + [ f(x)] = D + f(x) b. Jika g(x) = f( x), maka D + g(x) = D f( x). Jika f kotiu pada [a, b] da salah satu turuaya tak egatif pada (a, b) maka f adalah fugsi tak turu pada [a, b], yaitu : f(x) f(y) utuk setiap x y. Bukti : Misalka f kotiu pada [a, b] da salah satu turuaya, kataka D+ f( x) 0, x ( a, b). Dari defiisi, f ( x + h) f( x) f( x + h) f( x) D f( x) = lim = sup if Karea D+ f( x) 0, x ( a, b) maka Karea h > 0, maka haruslah Jadi, utuk setiap x x + h berlaku + h + h 0 δ > 0 0< h<δ 0< h< δ f( x + h) f( x) if 0 h f( x + h) f( x) 0 f ( x + h) f( x) f ( x) f( x + h). Misalka f fugsi yag didefiisika dega f(0) = 0 da f(x) = x si(/x) utuk x 0 + f(0 + h) f(0) h.si( h ) D f(0) = lim = lim = lim si( h ) = h 0 + h h 0 + h h 0 + f(0 + h) f(0) h.si( h ) D+ f(0) = lim = lim = lim si( h ) = h 0 + h h 0 + h h 0 + f(0) f(0 h) h.si( h ) D f(0) = lim = lim = lim si ( h ) h 0 + h h 0 + h h 0 + = f(0) f(0 h) h.si( h ) D f(0) = lim = lim = lim si ( h ) = h 0 + h h 0 + h h 0 + h Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si (

35 3. Dari defiisi maka + a. D [ f x ] b. + D f( x) = lim [ f ( x + h) ] [ f( x) ] ( ) = lim+ h 0 h + f ( x + h) f( x) D [ f( x )] = lim+ h 0 h f( x + h) f( x) = lim + h 0 h = D+ f( x) + gx ( + h) gx ( ) D g( x) = lim+ h 0 h + f ( x h) f( x) D f( x) = lim+ h 0 h f ( x) f( x h) = lim + h 0 h f( x) f( x h) = lim + h 0 h = D f( x) + h 0 f ( x + h) f( x) h Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si (

36 Aalisis Real PR #7 Khaeroi, S.Si G Materi : Turua Itegral ) Misalka f teritegralka pada [a, b]. Didefiisika fugsi F dega atura: x Fx ( ) = ft ( ) dt a Buktika bahwa F kotiu pada [a, b].. Diambil sebarag ε > 0 da c [ a, b] Diketahui f teritegralka pada [a, b]. Asumsika f tak egatif maka, meurut proposisi (4.4), δ δ terdapat δ > 0 sehigga utuk himpua A = ( c 3, c + 3) [ a, b] dega ma ( ) = 3 δ < δ, berlaku f < ε A Sebalikya, jika f egatif maka f tak egatif da berlaku f < ε A Jadi, f < ε A δ δ x c, c + berlaku x c < δ < δ da Sehigga, utuk setiap ( ) Jadi terbukti F kotiu pada [a, b] 3 3 x c c F( x) F( c) = f f = f < f f < ε a a x A A 3 Real Aalysis Compiled by : Khaeroi, S.Si (