Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT

Transkripsi

1 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR KANNAN MAPPING IN THE MODULAR SPACE) Mariatul Kiftiah JurusaMatematika FMIPA Uiversitas Tajugpura, Potiaak kiftahmariatul@ymail.com, Jl. A Yai Potiaak ABSTRACT Modulared space is a liear space X that is equipped a modular- ρ. Defied a liear space X ρ = x X ρ λx <, for some λ > 0 as defied i the metric space. I this paper, that is called a modular space. Next, defied a Kaa Mappig i the Modular Space. I fact, a modular Kaamappig has a uique fixed poit i the modular space if the domai of it is modular closed ad modular bouded. Keywords: fixed poit, Kaa mappig, modular space ABSTRAK Ruag bermodular merupaka ruag liear X yag dilegkapi dega modular- ρ. Didefiisika suatu ruag liearx ρ = x X ρ λx <, utuk suatu λ > 0. Dalam artikel ii, ruag liear iidisebutdegaruag modular. Selajutya, didefiisikapemetaa Kaa di Ruag Modular sebagaimaa didefiisika pada Ruag Metrik. Diperolehsyaratcukup yag harusdipeuhi agar pemetaa tersebutmemilikititiktetaptuggal, yaitu domai daripemetaatersebuttertutup modular da terbatas modular. Katakuci:titik tetap, pemetaa Kaa, ruag Modular 1. PENDAHULUAN Lahirya bermacam-macam teorema titik tetap bergatug pada sifat pemetaa yag didefiisika dari suatu himpua ke diriya sediri. Salah satu teorema yag terkeal adalah Teorema Titik Baach, yag pertama kali dikealka oleh Stefa Baach pada tahu Teorema tersebut memberika syarat cukup utuk eksistesi da ketuggala titik tetap utuk suatu pemetaa kotraksi yag terdefiisi pada ruag metrik legkap. Selajutya, pada tahu 1968, R. Kaa berhasil meggeeralisasi pemetaa kotraksi Baach, da diamaka dega pemetaa Kaa. Dalam peelitiaya, eksistesi da ketuggala titik tetap utuk pemetaa Kaa yag didefiisika di ruag metrik legkap dibuktika keberadaaya. Tidak haya di ruag metrik, kosep titik tetap dapat juga dikembagka di ruag modular. Pada artikel ii, didefiisika pemetaa Kaa di Ruag Modular sebagaimaa didefiisika di ruag metrik. 23

2 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak 2. METODE PENELITIAN Secara khusus, tahapa yag dilakuka dalam peelitia ii adalah sebagai berikut. Peelitia ii dilakuka dega terlebih dahulu megkaji kosep ruag modular yag meliputi defiisi, barisa koverge, himpua tertutup da terbatas modular. Selajutya didefiisika kosep pemetaa Kaa di ruag modular sebagaimaa didefiisika di ruag metrik, da diselidiki syarat cukup yag harus dipeuhi oleh pemetaa Kaa utuk mejami eksistesi da ketuggala titik tetap di ruag modular legkap. Dari syarat cukup tersebut, kemudia diformulasika teorema titik tetap utuk pemetaa Kaa di ruag modular legkap. 3. PEMBAHASAN Defiisi 1[1]Diberika sebarag ruag liear X atas lapaga R. Suatu pemetaaρ X [0, ] disebut modular pada X jika utuk setiap x, y X berlaku (N1) ρ(x) = 0 jika da haya jika x = θ (N2) ρ( x) = ρ(x) (N3) ρ(x + βy) ρ (x) + ρ (y) utuk, β [0,1] dega + β = 1 Selajutya, ruag liear X yag dilegkapi dega suatu modular ρ, disebut ruag bermodular da dilambagka dega (X, ρ). Berikut ii merupaka beberapa sifat dalam ruag bermodular. Teorema 2[1]Diberika (X, ρ) ruag bermodular. (i) Jikax 1, x 2,, x X da 1, 2,, [0,1] sehigga i 1, maka ρ i i=1 x i (ii) Jika 1, 2 R sehigga0 1 2 maka utuk setiap x X berlaku x 1x 2 (iii) Jika ρ x < ε utuk setiap ε > 0 maka x = θ i=1 ρ x i i1 Defiisi 3[2] Diberika ruag bermodular X,. Ruag liear X ρ = x X ρ λx <, utuk suatu λ > 0 disebut ruag liear yag dibagkitka oleh modular ρ. Dalam pembahasa selajutya, ruag liear ii disebut ruag modular X ρ. 24

3 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak Di bawah iimerupakakosepbarisakoverge modular, barisa Cauchy modular, himpua tertutup modular da himpua terbatas modular. Defiisi 4[3]Diberika ruag modular X ρ. Barisa X x dikataka koverge modular (koverge ρ)ke x X, ditulis, utuk, jika utuk setiap 0 ada N sehigga utuk dega x 0 x 0 setiap N dega 0 berlaku x x. Lemma 5[2]Diberika ruag modular X ρ. Jikax X ρ, > 0 maka ada β N sehigga ρ x βρ x Teorema 6[2]Diberika ruag modular X ρ da barisa x X ρ. Barisa x koverge ρ ke x ε X ρ jika da haya jika utuk setiap R, barisa x koverge ρ ke x ε X ρ. Defiisi 7[2]Diberika ruag modular X ρ. Barisa x X disebut barisa Cauchy modular (barisa Cauchy- ρ), ditulis dega ρ x m x 0, utuk m,, jika utuk setiap 0 ada N sehigga utuk setiap m, N dega m, 0 berlaku x x. m 0 Teorema 8[2]Diberika ruag modular X ρ. x X ρ barisa Cauchy ρ jika da haya jika x X ρ barisa Cauchy ρ, utuk setiap R. Teorema 9[2]Diberika ruag modular X ρ. Jika barisa x X ρ koverge ρ maka x merupaka barisa Cauchy ρ. Defiisi 10[4]Ruag modular X ρ dikataka legkap-ρ jika setiap barisa Cauchy-ρ di dalam ruag modular X ρ bersifat koverge-ρ. Selajutya, ruag modular X ρ yag legkap-ρ disebut ruag legkap-ρ. Defiisi11[4]Diberika ruag modular X ρ. (i) Himpua B disebuttertutup modular (tertutup-ρ), jikasetiapbarisax B X yag koverge-ρke x, berakibat x B. X (ii) Himpua B disebut terbatas modular (terbatas-ρ), jika X δ ρ B = sup ρ x y ; x, y B < dega B disebutdiameter-ρ dari B. Defiisi 12Diberika ruag modular X ρ.pemetaaf: X ρ X ρ disebut pemetaa Kaa- ρ jika terdapat 0, 1 2 sehigga utuk setiap x, y X ρ berlaku 25

4 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak ρ f x f y ρ x f(x) + ρ y f(y) Lemma 13Diberika himpua X ρ da pemetaa f: X ρ X ρ. Jika f memeuhi pemetaa kotraksi Kaa- ρ maka utuk setiap x X ρ, {0, 1, 2, } berlaku ρ f +1 x f x ρ x f(x) Bukti. Diambil sebarag x B. Utuk setiap {0, 1, 2, }didefiisika barisa fugsi f x dega 1. f 0 x = x; 2. f +1 x = f f x Karea f memeuhi pemetaa kotraksi Kaa- ρ maka utuk setiap x X ρ, {0, 1, 2, } berlaku ρ f +1 x f x ρ f x f +1 x + ρ f 1 x f x ρ f x f +1 x + ρ f 1 x f x ρ f +1 x f x f 1 x f x Berdasarka ketaksamaa tersebut diperoleh ρ f +1 x f x f 1 x f x 2 3 f 2 x f 1 x f 3 x f 2 x ρ x f(x) Teorema 13Diberika himpua B X ρ dega X ρ ruag legkap- ρ. Jika B tertutup-ρ da terbatas-ρ serta f: B B merupaka pemetaa kotraksi Kaa- ρ maka f mempuyai titik tetap tuggal. Bukti. Diambil sebarag x B. Utuk setiap {0, 1, 2, }didefiisika 1. x = f x 2. f 0 x = x; f +1 x = f f x 26

5 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak Aka ditujukka x B merupaka barisa Cauchy- ρ. Karea f memeuhi pemetaa kotraksi Kaa- ρ maka meurut Lemma 12 utuk setiap {0, 1, 2, } berlaku ρ x +1 x = ρ f +1 x f x ρ x f x Diambil sebarag m, {0, 1, 2, }, diasumsika m >, maka m = + p, utuk suatu p N. Diperoleh, ρ 1 p x m x = ρ 1 p x +p x = ρ 1 p x +p x +p p x +p 1 x +p p x +1 x ρ x +p x +p 1 + ρ x +p 1 x +p ρ x +1 x = ρ f +p x f +p 1 x + ρ f +p 1 x f +p 2 x + +ρ f +1 x f x +p 1 + +p ρ f x x p 2 + p 1 + ρ f x x = +1 ρ f x x +1 δ ρ B dega δ ρ B = sup ρ f x x ; x B. Karea (0, 1 2 ) maka 1 +1 ρ f x x 0, utuk. Hal ii berarti utuk setiap ε > 0 ada N N sehigga utuk setiap {0, 1, 2, } dega N berlaku Akibatya +1 ρ f x x < ε ρ 1 p x m x < ε 27

6 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak Jadi, 1 x p merupaka barisa Cauchy di dalam di dalam B X ρ. Selajutya, dega megguaka Teorema 8 diperoleh x barisa Cauchy- ρ di dalam B X ρ. Karea X ρ merupaka ruag legkap- ρ maka ada u X ρ sehigga x koverge ρ ke u X ρ. Karea B tertutup-ρ maka u B. Jadi, terdapat u B sehigga barisa {x } koverge ρ ke u B. Artiya utuk setiap ε > 0 terdapat 0 N sehigga utuk setiap N dega 0 berlaku ρ x u < ε 2. Aka ditujukka bahwa u merupaka titik tetap dari pemetaaf. Karea fpemetaakaa ρ maka diperoleh ρ 1 2 u f u = ρ 1 2 u f 0+1 u f 0+1 f u ρ u f 0+1 u + ρ f 0 u f 0+1 u + ρ u f u ρ u f 0+1 u + = ρ u f 0+1 u ρ u f u + ρ u f u 0 ρ u f u Karea ρ 1 2 u f u ρ u f u maka diperoleh ρ 1 2 u f u 1 = < Selajutya, meurut Teorema 2 (iii) diperoleh 0 ρ u f 0+1 u 0 ρ u x ε 2 < 2 ε 2 = ε 1 2 u f u = 0 u f u = 0 u = f u Dega demikia, u merupaka titik tetap f. Selajutya, akaditujukkatitiktetapftuggal. Adaikaadav X ρ sehiggaf v = v, makadiperoleh ρ u v = ρ f u f v ρ u f u + ρ v f v = ρ u u + ρ v v = 0 Karea0 ρ u v makaρ u v = 0.Akibatyau = v. 28

7 Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak 4. PENUTUP Di ruag modular dapat didefiisika pemetaa Kaa sebagaimaa didefiisika di ruag metrik. Utuk mejami eksistesi da ketuggala titik tetap utuk pemetaa kotraksi Kaa- ρ di ruag modular, maka syarat cukup yag harus dipeuhi adalah domai dari pemetaa tersebut haruslah tertutup modular da terbatas modular. 5. PUSTAKA [1].Musielak, J. Orlicz Spaces ad Modular Spaces. New York : Spriger Verlag; [2]. Kiftiah, M, Supama. Fixed Poit Theorems for Cotractio Mappigs o Modular Spaces.It. Joural of Mathematica Aalysis. 2013; 7 (20) [3]. Orlicz, W.Liear Fuctioal Aalysis, Series i Real Aalysis Volume 4. Sigapura :World Scietific; [4]. Farajzadeh, A.P, Mohammad, M.B, Noor, M.A. Fixed Poit Theorems I Modular Spaces.Mathematical Commuicatios.2011;16,