Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN"

Transkripsi

1 Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi Fourier ataupu trasformasi osius Fourier da trasformasi Sius Fourier. Hal ii cukup petig, terutama dalam peyelesaia berbagai masalah syarat batas yag peyelesaiaya disajika dalam betuk deret fugsi sius-cosius. Pada bagia akhir modul ii dibahas pula berbagai aplikasi deret Fourier. Setelah mempelajari modul ii Ada diharapka mampu memahami masalah ekspasi deret Fourier ataupu trasformasi Fourier suatu fugsi, da mempuyai keterampila dalam megaplikasika Deret Fourier. Setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka:. mampu meyajika ekspasi deret Fourier ataupu trasformasi Fourier suatu fugsi,. terampil memperguaka trasformasi Fourier utuk meghitug ilai suatu itegral tertetu, 3. terampil meyelesaika suatu masalah syarat batas dega memafaatka ekspasi deret Fourier suatu fugsi.

2 . Metode Matematis I P Kegiata Belajar Deret Fourier ada kegiata belajar ii dibahas ekspasi suatu fugsi dalam betuk Deret Fourier. Deret Fourier merupaka suatu deret tak higga dega suku-suku memuat kompoe trigoometri, sius-cosius, yag koverge ke suatu fugsi periodik. FORMULA DERET FOURIER Suatu fugsi f merupaka fugsi periodik jika da haya jika terdapat kostata c, sehigga utuk setiap dalam domai f dipeuhi f ( c) f ( ), da c disebut periode dari fugsi f. Mudah dipahami apabila c merupaka periode dari fugsi f, maka c juga merupaka periode dari fugsi yag sama, fugsi f. otoh pada aplikasi, suatu gaya dega besar (magitude) kosta bekerja pada suatu sistem mekaik aka digambarka sebagai grafik fugsi periodik sebagaimaa disajika dega Gambar. di bawah ii. Gambar.

3 MATA443/MODUL.3 Misalka f, y f ( t ) suatu fugsi periodik dega periode, da disajika sebagai: a acos t bsi t L acos t bsi t L (.) dega a, b kostata, da jika utuk setiap deret tersebut koverge ke f, maka a f ( ) acos bsi L acos bsi L (.) Selajutya, deret (.) disebut deret Fourier utuk fugsi periodik f, dega periode. Jika kedua ruas persamaa (.) dikalika dega cosm (m iteger) da selajutya diitegralka terhadap dari higga, diperoleh: a f cos m d= cos m d+a cos cos m d b si cos m d + L +a cos cos m d +b si cos m d+ L da dega megigat: jika m cos cos m d jika m diperoleh π si cos m d= utuk setiap iteger m, π f ( )cos m d a, m,, K m atau dapat disajika sebagai a f ( )cos d,,, K (.3) da utuk =, a f ( ) d. (.4)

4 .4 Metode Matematis I Jika kedua ruas persamaa (.) dikalika dega si m (m iteger) da selajutya diitegralka terhadap dari higga, diperoleh a f si m d= si m d+a cos si m d+b si si m d L a cos si m d b si si m d L - dega megigat jika m si si m d jika m maka diperoleh b f ( )si d,,, K (.5) Dega demikia, setiap fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode selalu dapat disajika dalam betuk deret Fourier (.) dega a, b ditetuka dega persamaa (.3), (.4), da (.5). otoh. Diberika f, y f suatu fugsi periodik dega periode da f, f, f, f f

5 MATA443/MODUL.5 Gambar. Sajika y f () dalam betuk deret Fourier. Peyelesaia: Perdereta Fourier utuk fugsi f, y f di atas berbetuk f a acos bsi dega a a f d d a f cos d cos d si si utuk 3,7,,5,... utuk,5,9,3,... utuk,4,6,8,...

6 .6 Metode Matematis I b f si d si d cos cos utuk,, 3,.... Dega demikia deret Fourier di atas dapat ditulis f ( ) cos cos3 cos5 cos L. Selajutya, jika diambil: S( ) S( ) cos S( ) cos cos3 3 maka grafik kurva S, S, da S disajika dega Gambar.3. Gambar.3

7 MATA443/MODUL.7 Diketahui fugsi f, y f merupaka fugsi kotiu da terdefiisi pada iterval, da di luar iterval tersebut dipeuhi f ( ) f ( ), misalka f( ) merupaka fugsi kotiu da periodik dega periode, dega demikia fugsi f dapat disajika dalam betuk deret Fourier. Utuk meyusu perdereta Fourier fugsi f tersebut dilakuka substitusi variabel Sehigga t. f f t t dega suatu fugsi periodik dega periode da perdereta Fourierya adalah dega a f ( t) acos bsi (.6) a f t cos t dt f cos d atau dapat disajika sebagai a f ( )cos d,,,... da b f t si t dt f si d atau dapat disajika sebagai b f ( )si d,,,....

8 .8 Metode Matematis I Dega demikia persamaa (.6) dapat disajika sebagai a f ( ) acos bsi (.7) dega a f ( )cos d,,,... b f ( )si d,,,... (.8) dega a, b diperoleh dari persamaa (.8). Apabila f( ) suatu fugsi kotiu dega periode, maka perdereta Fourier fugsi f( ) dapat disajika dega persamaa (.7) di atas dega koefisie a da b disajika sebagai L a f ( )cos d,,,... L L b f ( )si d,,,... (.9) L dega L suatu bilaga real. otoh. Sajika fugsi apabila fugsi tersebut mempuyai periode 6. Peyelesaia: f ( ), 6 dalam deret Fourier

9 MATA443/MODUL.9 Fugsi f ( ) mempuyai periode 6 berarti 3 da dega megambil L, dega demikia koefisie Fourier (.9) mejadi L a f ( )cos d L 6 cos d 3 3 A,93 A A A 3 4,73,,68 L b f ( )si d L d B B B B si ,36 7,8,45 8,39 Dega demikia diperoleh f ( ) 4, 93cos, 73cos, cos, 68cos L , 36si 7,8si, 45si 8, 39si L

10 . Metode Matematis I DERET SINUS FOURIER, DERET OSINUS FOURIER Suatu fugsi f, y f terdefiisi pada selag a a dikataka fugsi geap jika f f da dikataka fugsi gajil jika f f, dega demikia dipeuhi a a f jika f fugsi gajil d a f d jika f fugsi geap (.) Karea cos merupaka fugsi geap da si merupaka fugsi gajil, maka persamaa (.8) mejadi a f cos d f cos d (.) jika f merupaka fugsi geap, da a f cos d jika f merupaka fugsi gajil, da b f si d jika f merupaka fugsi geap, da b f si d f si d (.) jika f merupaka fugsi gajil. Selajutya, jika f merupaka fugsi periodik dega periode da juga merupaka fugsi geap, maka perdereta Fourier (.7) utuk fugsi f tersebut mejadi a f a cos (.3) dega a,,,,..., diperoleh dari persamaa (.). Jika f merupaka fugsi periodik dega periode da juga merupaka fugsi gajil, maka perdereta Fourier (.7) utuk fugsi f tersebut mejadi f b si (.4)

11 MATA443/MODUL. dega b,,,..., diperoleh dari persamaa (.). Jika fugsi f, y f terdefiisi pada selag,, da selajutya didefiisika fugsi f, fugsi periodik dega periode, f f, f, berarti f merupaka fugsi geap, sehigga perdereta Fourier utuk fugsi f berbetuk a f a cos. Karea f ( ) f,, maka diperoleh a f a cos, (.5) dega a f cos d,,,,.... (.6) Persamaa (.5) disebut perdereta osius Fourier utuk fugsi f, y f,. Dega cara yag sama, didefiisika fugsi f, fugsi periodik dega periode, f f, f, berarti f merupaka fugsi gajil, sehigga perdereta Fourier utuk fugsi f berbetuk f b si. Karea f f utuk, maka diperoleh f b si, (.7)

12 . Metode Matematis I dega b f si d. (.8) Persamaa (.7) disebut perdereta Sius Fourier utuk fugsi f, y f,. otoh.3 Sajika fugsi f, dalam betuk deret osius Fourier. Peyelesaia: a d a a a cos d 4 Deret osius Fourier utuk f adalah 4 cos. otoh.4 Fourier. Sajika fugsi f, dalam betuk deret Sius Peyelesaia: b si d 3 3

13 MATA443/MODUL.3 Deret Sius Fourier utuk f adalah si. 3 3 LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Ekspasika fugsi f utuk 4, f 6 utuk 4 8, dalam betuk deret Fourier dega periode 8. ) Ekspasika fugsi, f, ke dalam betuk deret Sius Fourier. 3) Tetuka ekspasi deret Fourier utuk fugsi, t t, t f t t, t, t Petujuk Jawaba Latiha ) f cos cos cos L cos ) f si

14 .4 Metode Matematis I 4 8 3) a, a utuk,3,5,..., a utuk,6,,..., a utuk 4,8,, da b utuk,, 3,... RANGKUMAN Setiap fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode dapat disajika dalam betuk deret Fourier: a f acos bsi dega a a f cos d,,,... b f si d,,,.... f d Jika fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode, maka ekspasi deret Fourierya berbetuk a f acos bsi dega a f cos d,,,,... b f si d,,,... atau dapat pula disajika sebagai L a f ( )cos d, L,,... L b f ( )si d, L,,... dega L kostata.

15 MATA443/MODUL.5 Jika fugsi f, y f terdefiisi pada selag L da juga kotiu (kotiu bagia demi bagia), maka ekspasi deret osius Fourierya berbetuk: a f a cos, L dega L a f cos d,,,,... L L da ekspasi deret Sius Fourierya berbetuk f b si, L L dega L b f si d,,,... L L TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika fugsi f, 5 3, 5 fugsi periodik dega periode diperderetka ke dalam betuk deret Fourier, maka koefisie-koefisieya adalah. A. 3 cos a 3; a, ; b,,,3, K B. 3 cos a,,,,... ; b,,,3, cos a 3; a,,,... ; b,,,3, K 3 cos D. a,,,,... ; b,,,3,...

16 .6 Metode Matematis I ) Ekspasi deret Fourier fugsi f pada soal omor adalah. 3 cos A. f cos cos B. f cos 5 3 cos. f si cos D. f si 5 3) Berdasarka jawaba soal omor, deret di ruas kaa koverge titik demi titik ke f, da utuk deret tersebut koverge ke. A. B D. 3 4) Ekspasi deret Sius Fourier fugai f cos, adalah. 8 A. f si 8 B. f si 8. f si 4 8 D. f si 4

17 MATA443/MODUL.7 ocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

18 .8 Metode Matematis I P Kegiata Belajar Itegral Fourier ada kegiata belajar ii dibahas ekspasi suatu fugsi dalam betuk itegral Fourier. Itegral Fourier merupaka suatu itegral tak sebearya yag merupaka betuk pedekata suatu fugsi, dega demikia kegiata belajar ii didasarka pada itegral tak sebearya da juga kekovergea itegral tak sebearya. FORMULA INTEGRAL FOURIER Sebagaimaa telah dipelajari, apabila diberika fugsi f, y f (), terdefiisi pada selag ( cc, ) da juga merupaka fugsi periodik dega periode c, maka fugsi f dapat diperderetka dalam deret fourier sebagai a f ( ) acos bsi dega c a f ( ) d c c c a f ( )cos c c c d c b f ( )si c c c d atau dapat disajika sebagai c c f ( ) f ( ) d f ( )cos( c c c c c ( )) d. (.9) Apabila fugsi f terdefiisi da memeuhi kodisi di atas utuk setiap iterval, utuk setiap ilai c cukup besar tetapi berhigga, maka deret c c f ( ) d f ( )cos( ( )) d c c c c c koverge ke f( ).

19 MATA443/MODUL.9 Hal di atas meujukka suatu gambara bahwa deret tersebut koverge utuk c cukup besar dekat pada tak higga, da fugsi f buka fugsi periodik. Dalam hal ii suku pertama dari deret berilai ol, c ( ) f d c, utuk c, karea f( ) d c mempuyai ilai berhigga. Selajutya diambil c c c da deret di atas dapat disajika sebagai f ( )cos( ( )) d, c atau dapat pula disajika sebagai c f ( )cos( ( )) d, c c. Misalka diagap tetap, da υ positif cukup kecil, maka berjala sepajag sumbu υ positif, dega demikia diperoleh lim da c lim f ( )cos( ( )) d c f ( )cos( ( )) d d. Sehigga diperoleh hubuga f ( ) f ( )cos( ( )) d d (.) yag dikeal sebagai formula itegral Fourier utuk fugsi f( ). Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) sebagaimaa disajika dega persamaa (.) mudah dijabarka mejadi (.) f ( ) A( )cos B( )si d, A( ) f ( )cos d (.) B( ) f ( )si d. (.3)

20 . Metode Matematis I otoh.5 Bila diberika fugsi f ( ) e, tetuka betuk itegral Fourier utuk fugsi f( ) tersebut. a Peyelesaia: Formula itegral Fourier disajika sebagai f ( ) A( )cos B( )si d dega A( ) a e cos d a e acosb bsib a b a B( ) e si d a e asib bcosb a b sehigga diperoleh a a a e a cosb bsib e asib bcosb e cos si a b a b otoh.6 Tetuka formula itegral Sius Fourier utuk fugsi, f, c, c. c d. Peyelesaia: Fugsi f dapat diaggap sebagai fugsi gajil, sehigga formula itegral Sius Fourier utuk fugsi f tersebut adalah f f t si t si dt d f t si t dt si d.

21 MATA443/MODUL. f t si t dt f t si t dt f t si t dt c c si t dt cos c. Dega demikia formula di atas mejadi cos c f si d. otoh.7 Tetuka formula itegral osius Fourier utuk fugsi f e cos,. c Peyelesaia: Fugsi f, f e cos, dapat diaggap sebagai fugsi geap, sehigga formula itegral osius Fourier utuk fugsi tersebut adalah f f t cos t cos dt d f t cos t dt cos d. f t cos e cos t cos t dt t e cos t cos t dt t t e cos t dt e cos t dt 4 t 4 t dt.

22 . Metode Matematis I Dega demikia formula di atas mejadi f cos d. 4 4 Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) sebagaimaa disajika dega persamaa (.), f ( ) f ( )cos( ( )) d d dapat pula disajika sebagai i ( ) f ( ) f ( ) e d d. (.4) Apabila f( ) tidak kotiu di, maka persamaa (.4) disajika sebagai f ( ) f ( ) f ( ) i ( ) f ( ) e d d (.5) da apabila f( ) suatu fugsi geap maka persamaa (.) mejadi f ( ) f ( )cos cos d d, (.6) da apabila f( ) suatu fugsi gajil maka persamaa (.) mejadi f ( ) f ( )si si d d,. (.7) atata: f ( ) lim f ( ) limit kaa f ( ) lim f ( ) limit kiri otoh.8 Buktika bahwa cos, d e.

23 MATA443/MODUL.3 Bukti: Misalka f ( ) e, mudah ditujukka bahwa f( ) suatu fugsi geap, maka berdasarka formula itegral Fourier diketahui f ( ) f ( )cos cos d d. Dega demikia diperoleh e cos cos d d e Mudah ditujukka bahwa e cos d sehigga cos e cos cos d d d e terbukti cos d e atau cos d e. Selajutya teorema di bawah ii membuktika bahwa utuk setiap f( ) suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada selag berhigga f ( ) f ( ) da utuk setiap titik diskotiu dipeuhi f( ) maka fugsi f( ) juga dapat disajika dalam betuk formula itegral Fourier. Teorema. Misalka f suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk setiap titik diskotiu berlaku f f f.

24 .4 Metode Matematis I Jika f d ada, maka utuk setiap, fr da f L fugsi f dapat disajika dalam betuk formula itegral Fourier: f f t cos t dt d dega kiri fugsi f. f R da L Bukti: Ditijau itegral ada, (.8) f berturut-turut meyataka derivatif kaa da derivatif f t cos t dt d lim f tcos t dt d lim f t cos t d dt si t lim f t dt t dega demikia diperoleh si t f t cos t dt d lim f t dt. (.9) t Selajutya ditijau itegral si t a si t f t dt lim f t dt t a a t si t lim f t dt a a t a si t lim f t dt. a t Jika diambil substitusi t, diperoleh si t si f t dt f d t a a da jika diambil substitusi t, diperoleh a si t a si f t dt f d. t

25 MATA443/MODUL.5 Didefiisika fugsi g da h, dega g f da h f. Dega demikia diperoleh da dega g f da h f g f da h f R L f L da f R R R berturut-turut meyataka derivatif kiri da derivatif kaa fugsi f. Karea utuk setiap titik diskotiu fugsi f, amaka titik, berlaku f f f atau dapat pula ditulis f f f berlaku utuk setiap, dega demikia diperoleh a si t si t a si t f t dt f t dt f t dt a t a t t si si g d h d a a g a si a g g d si d h a si a h h d si d.

26 .6 Metode Matematis I Selajutya utuk diperoleh a si t a si a g g lim f ( t) dt g lim d lim si d a t h h f f f. h a si a h h lim d lim si d g g Dega demikia persamaa (.9) mejadi si t cos lim f t t dt d f t dt t a si t lim lim f t a a t lim f a f cos da diperoleh f f t t dt d. otoh.9 Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, f, dega f() f ( ). dt

27 MATA443/MODUL.7 Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk titik diskotiu da f f berlaku f, maka cos f A B si d dega A f cos d f cos d f cos d f cos d cos d si da B f si d f si d f si d f si d si d. Dega demikia diperoleh f si cos si cos d d. otoh. Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, da f( ) si,.

28 .8 Metode Matematis I Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga maka formula itegral Fourier utuk fugsi f adalah cos f A B si d dega B f si d f si d f si d f si d si si cos cos si si si d da A f cos d d f cos d f cos d f cos d si si d cos cos cos. si cos d

29 MATA443/MODUL.9 Dega demikia diperoleh cos si f cos si d cos cos cos si si d cos cos cos cos cos cos cos d d otoh. Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, f ( ), e,. Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga maka diperoleh cos f A B si d dega A f cos d f cos d f cos d e cos d.

30 .3 Metode Matematis I da B f si d e f si d f si d si d. Dega demikia diperoleh f cos si d cos si d. LATIHAN ) Tetuka represetasi itegral Fourier utuk fugsi a. b. Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! f f e e a, a, a,, ) Tetuka represetasi itegral Fourier utuk fugsi, t f, t, t, t

31 MATA443/MODUL.3 3) Jika diberika fugsi f( ) utuk, f ( ) e utuk, da f, maka buktika bahwa fugsi f( ) memeuhi kodisi formula itegral Fourier, da selajutya utuk setiap ilai berlaku cos si v f d,. 4) Perguaka formula itegral cosius Fourier utuk membuktika v e cos cos d, 4 4 5) Perguaka idetitas Parseval utuk meetuka ilai itegral d a. b. Petujuk Jawaba Latiha d a cos f d a 4 si cos b. f 3 ) a. ) f cos si d cos d 5) Perguaka trasformasi sius Fourier da trasformasi cosius Fourier utuk f ( ) e,. a. b. 4 4

32 .3 Metode Matematis I Apabila fugsi f terdefiisi da merupaka fugsi periodik dega periode c utuk setiap iterval, utuk setiap ilai c cukup besar tetapi berhigga, maka deret c c f ( ) d f ( )cos ( ) d c c c c c koverge ke f( ). Hal di atas meujukka suatu gambara bahwa deret tersebut koverge utuk c cukup besar dekat pada tak higga, da fugsi f buka fugsi periodik. Sehigga diperoleh hubuga f ( ) f ( )cos( ( )) d d yag dikeal sebagai formula itegral Fourier utuk fugsi f( ). Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) mudah dijabarka mejadi f ( ) A( )cos B( )si d, A( ) f ( )cos d B( ) f ( )si d. Selajutya apabila f suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk setiap titik diskotiu berlaku da jika RANGKUMAN f f f f d ada maka utuk setiap, f da f R dalam betuk formula itegral Fourier: f f t cos t dt d L ada, fugsi f dapat disajika

33 MATA443/MODUL.33 dega f R da f L berturut-turut meyataka derivatif kaa da derivatif kiri fugsi f. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika diketahui Fc f f cos d maka. A. f Fc f cos d f Fc f cos d f Fc f cos d B.. f Fc f cos d D. ) Jika diketahui, f cos d, maka f adalah. A. B.. D. si si cos cos

34 .34 Metode Matematis I 3) Dega memperguaka soal omor diperoleh ilai itegral si d adalah. A. B.. 3 D. 4) Betuk umum persamaa gelombag satu dimesi, jika sebuah sear diretagka dega kedua ujugya terikat, adalah. y, t y, t L A., t t y, t y( L, t), t y, f y, t g, y, t y, t L B., t t y, t y( L, t), t y, y, t g, y, t y, t L., t t y, t y( L, t), t y, f y, t, L L L

35 MATA443/MODUL.35 y, t y, t L D., t t y, t y( L, t), t y, y,, L t ocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

36 .36 Metode Matematis I Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) D ) A 3) B 4) Tes Formatif ) B ) 3) D 4) A

37 MATA443/MODUL.37 Daftar Pustaka Kreider D.L. et al. (966). Itroductio to Liear Aalysis. Massachusetts: Addiso-Wesley Publishig ompay. Wylie.R. ad Barrett L.. (98). Advaced Egieerig Mathematics. Sigapore: McGraw-Hill Iteratioal Book o. Murray R Spiegel, PhD. 97. Theory ad Problems of Advaced Mathematics for Egieers ad Scietists, Schaum s Outlie Series, New York: McGraw-Hill Book ompay. Ruel V hurchill Fourier Series ad Boudary Value Problems, New York: McGraw-Hill Book ompay.

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Buleti Ilmiah Math. Stat. da Terapaya (Bimaster) Volume 02, No. 1(2013), hal 1-6. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Demag, Helmi, Evi Noviai INTISARI Permasalaha di bidag tekik

Lebih terperinci

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

Induksi Matematik dan Teorema Binomial

Induksi Matematik dan Teorema Binomial Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka

Lebih terperinci

Analisis dan Visualisasi Representasi Deret Fourier Gelombang Sinyal Periodik Menggunakan MATLAB

Analisis dan Visualisasi Representasi Deret Fourier Gelombang Sinyal Periodik Menggunakan MATLAB ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro Aalisis da Visualisasi Represetasi Deret Fourier Gelombag Siyal Periodik Megguaka MALAB Ahmad Saudi Samosir Jurusa ekik Elektro Uiversitas Lampug, Badar Lampug

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai : Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

INTEGRAL CONTOUR. 2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel

INTEGRAL CONTOUR. 2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel INTEGRAL ONTOUR Tujua Perkuliaha: Mahasiswa dapat memahami kosep itegral cotour da meyelesaika masalah dalam itegral otour. Defiisi: Diberika fugsi z = z(t) utuk a t b, Mewakili sebuah litasa yag diperpajag

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka Jumlah Deret Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the Sum of Series Tri Mulyai,*), Moh Hasa ), Slami

Lebih terperinci

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali

Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali Jural Tekika ISSN : 285-859 Fakultas Tekik Uiversitas Islam Lamoga Volume No.2 Tahu 29 Kestabila Ragkaia Tertutup Waktu Kotiu Megguaka Metode Trasformasi Ke Betuk Kaoik Terkedali Suhariyato ) Dose Fakultas

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN : Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

ANUITAS DUE PADA STATUS HIDUP PERORANGAN BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE

ANUITAS DUE PADA STATUS HIDUP PERORANGAN BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE 2 ANUITAS DUE PADA STATUS HIDUP PERORANGAN BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE Sri Purwati 1, Johaes Kho 2, Aziskha 2 1 Mahasiswa Program S1 Matematika FMIPA Uiversitas Riau email : srii_purwatii@yahoo.co.id

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

METODE BEDA HINGGA DAN TEOREMA NEWTON UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET (Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series)

METODE BEDA HINGGA DAN TEOREMA NEWTON UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET (Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series) Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November 8 METODE BEDA HINGGA DAN TEOREMA NEWTON UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET (Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the um of eries)

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari BB I PENDHULUN. Latar Belakag Masalah Struktur rig (gelaggag) R adalah suatu himpua R yag kepadaya didefiisika dua operasi bier yag disebut pejumlaha da pergadaa yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu, yaitu:

Lebih terperinci

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau e-mail : spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii

Lebih terperinci

Persamaan Non-Linear

Persamaan Non-Linear Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1 Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

SINYAL WAKTU Pengolahan Sinyal Digital Minggu II

SINYAL WAKTU Pengolahan Sinyal Digital Minggu II SINYAL WAKTU Pegolaha Siyal Digital Miggu II 24 Goodrich, Tamassia PENDAHULUAN Defiisi Siyal x(t) Fugsi dari variabel bebas yag memiliki ilai real/skalar yag meyampaika iformasi tetag keadaa atau ligkuga

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

Modul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini

Modul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini Aritmetika odular da Aritmetika Sosial ARITETIKA ODULAR DAN ARITETIKA SOSIAL podul p p3p p p PENDAHULUAN odul ii adalah modul ke-3 dalam mata kuliah atematika. Isi modul ii membahas tetag aritmetika modular

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. Populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas VIII (delapan) semester ganjil di

III. METODE PENELITIAN. Populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas VIII (delapan) semester ganjil di 4 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah siswa kelas VIII (delapa) semester gajil di SMP Xaverius 4 Badar Lampug tahu ajara 0/0 yag berjumlah siswa terdiri dari

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci