Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
|
|
|
- Yohanes Budiman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi Fourier ataupu trasformasi osius Fourier da trasformasi Sius Fourier. Hal ii cukup petig, terutama dalam peyelesaia berbagai masalah syarat batas yag peyelesaiaya disajika dalam betuk deret fugsi sius-cosius. Pada bagia akhir modul ii dibahas pula berbagai aplikasi deret Fourier. Setelah mempelajari modul ii Ada diharapka mampu memahami masalah ekspasi deret Fourier ataupu trasformasi Fourier suatu fugsi, da mempuyai keterampila dalam megaplikasika Deret Fourier. Setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka:. mampu meyajika ekspasi deret Fourier ataupu trasformasi Fourier suatu fugsi,. terampil memperguaka trasformasi Fourier utuk meghitug ilai suatu itegral tertetu, 3. terampil meyelesaika suatu masalah syarat batas dega memafaatka ekspasi deret Fourier suatu fugsi.
2 . Metode Matematis I P Kegiata Belajar Deret Fourier ada kegiata belajar ii dibahas ekspasi suatu fugsi dalam betuk Deret Fourier. Deret Fourier merupaka suatu deret tak higga dega suku-suku memuat kompoe trigoometri, sius-cosius, yag koverge ke suatu fugsi periodik. FORMULA DERET FOURIER Suatu fugsi f merupaka fugsi periodik jika da haya jika terdapat kostata c, sehigga utuk setiap dalam domai f dipeuhi f ( c) f ( ), da c disebut periode dari fugsi f. Mudah dipahami apabila c merupaka periode dari fugsi f, maka c juga merupaka periode dari fugsi yag sama, fugsi f. otoh pada aplikasi, suatu gaya dega besar (magitude) kosta bekerja pada suatu sistem mekaik aka digambarka sebagai grafik fugsi periodik sebagaimaa disajika dega Gambar. di bawah ii. Gambar.
3 MATA443/MODUL.3 Misalka f, y f ( t ) suatu fugsi periodik dega periode, da disajika sebagai: a acos t bsi t L acos t bsi t L (.) dega a, b kostata, da jika utuk setiap deret tersebut koverge ke f, maka a f ( ) acos bsi L acos bsi L (.) Selajutya, deret (.) disebut deret Fourier utuk fugsi periodik f, dega periode. Jika kedua ruas persamaa (.) dikalika dega cosm (m iteger) da selajutya diitegralka terhadap dari higga, diperoleh: a f cos m d= cos m d+a cos cos m d b si cos m d + L +a cos cos m d +b si cos m d+ L da dega megigat: jika m cos cos m d jika m diperoleh π si cos m d= utuk setiap iteger m, π f ( )cos m d a, m,, K m atau dapat disajika sebagai a f ( )cos d,,, K (.3) da utuk =, a f ( ) d. (.4)
4 .4 Metode Matematis I Jika kedua ruas persamaa (.) dikalika dega si m (m iteger) da selajutya diitegralka terhadap dari higga, diperoleh a f si m d= si m d+a cos si m d+b si si m d L a cos si m d b si si m d L - dega megigat jika m si si m d jika m maka diperoleh b f ( )si d,,, K (.5) Dega demikia, setiap fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode selalu dapat disajika dalam betuk deret Fourier (.) dega a, b ditetuka dega persamaa (.3), (.4), da (.5). otoh. Diberika f, y f suatu fugsi periodik dega periode da f, f, f, f f
5 MATA443/MODUL.5 Gambar. Sajika y f () dalam betuk deret Fourier. Peyelesaia: Perdereta Fourier utuk fugsi f, y f di atas berbetuk f a acos bsi dega a a f d d a f cos d cos d si si utuk 3,7,,5,... utuk,5,9,3,... utuk,4,6,8,...
6 .6 Metode Matematis I b f si d si d cos cos utuk,, 3,.... Dega demikia deret Fourier di atas dapat ditulis f ( ) cos cos3 cos5 cos L. Selajutya, jika diambil: S( ) S( ) cos S( ) cos cos3 3 maka grafik kurva S, S, da S disajika dega Gambar.3. Gambar.3
7 MATA443/MODUL.7 Diketahui fugsi f, y f merupaka fugsi kotiu da terdefiisi pada iterval, da di luar iterval tersebut dipeuhi f ( ) f ( ), misalka f( ) merupaka fugsi kotiu da periodik dega periode, dega demikia fugsi f dapat disajika dalam betuk deret Fourier. Utuk meyusu perdereta Fourier fugsi f tersebut dilakuka substitusi variabel Sehigga t. f f t t dega suatu fugsi periodik dega periode da perdereta Fourierya adalah dega a f ( t) acos bsi (.6) a f t cos t dt f cos d atau dapat disajika sebagai a f ( )cos d,,,... da b f t si t dt f si d atau dapat disajika sebagai b f ( )si d,,,....
8 .8 Metode Matematis I Dega demikia persamaa (.6) dapat disajika sebagai a f ( ) acos bsi (.7) dega a f ( )cos d,,,... b f ( )si d,,,... (.8) dega a, b diperoleh dari persamaa (.8). Apabila f( ) suatu fugsi kotiu dega periode, maka perdereta Fourier fugsi f( ) dapat disajika dega persamaa (.7) di atas dega koefisie a da b disajika sebagai L a f ( )cos d,,,... L L b f ( )si d,,,... (.9) L dega L suatu bilaga real. otoh. Sajika fugsi apabila fugsi tersebut mempuyai periode 6. Peyelesaia: f ( ), 6 dalam deret Fourier
9 MATA443/MODUL.9 Fugsi f ( ) mempuyai periode 6 berarti 3 da dega megambil L, dega demikia koefisie Fourier (.9) mejadi L a f ( )cos d L 6 cos d 3 3 A,93 A A A 3 4,73,,68 L b f ( )si d L d B B B B si ,36 7,8,45 8,39 Dega demikia diperoleh f ( ) 4, 93cos, 73cos, cos, 68cos L , 36si 7,8si, 45si 8, 39si L
10 . Metode Matematis I DERET SINUS FOURIER, DERET OSINUS FOURIER Suatu fugsi f, y f terdefiisi pada selag a a dikataka fugsi geap jika f f da dikataka fugsi gajil jika f f, dega demikia dipeuhi a a f jika f fugsi gajil d a f d jika f fugsi geap (.) Karea cos merupaka fugsi geap da si merupaka fugsi gajil, maka persamaa (.8) mejadi a f cos d f cos d (.) jika f merupaka fugsi geap, da a f cos d jika f merupaka fugsi gajil, da b f si d jika f merupaka fugsi geap, da b f si d f si d (.) jika f merupaka fugsi gajil. Selajutya, jika f merupaka fugsi periodik dega periode da juga merupaka fugsi geap, maka perdereta Fourier (.7) utuk fugsi f tersebut mejadi a f a cos (.3) dega a,,,,..., diperoleh dari persamaa (.). Jika f merupaka fugsi periodik dega periode da juga merupaka fugsi gajil, maka perdereta Fourier (.7) utuk fugsi f tersebut mejadi f b si (.4)
11 MATA443/MODUL. dega b,,,..., diperoleh dari persamaa (.). Jika fugsi f, y f terdefiisi pada selag,, da selajutya didefiisika fugsi f, fugsi periodik dega periode, f f, f, berarti f merupaka fugsi geap, sehigga perdereta Fourier utuk fugsi f berbetuk a f a cos. Karea f ( ) f,, maka diperoleh a f a cos, (.5) dega a f cos d,,,,.... (.6) Persamaa (.5) disebut perdereta osius Fourier utuk fugsi f, y f,. Dega cara yag sama, didefiisika fugsi f, fugsi periodik dega periode, f f, f, berarti f merupaka fugsi gajil, sehigga perdereta Fourier utuk fugsi f berbetuk f b si. Karea f f utuk, maka diperoleh f b si, (.7)
12 . Metode Matematis I dega b f si d. (.8) Persamaa (.7) disebut perdereta Sius Fourier utuk fugsi f, y f,. otoh.3 Sajika fugsi f, dalam betuk deret osius Fourier. Peyelesaia: a d a a a cos d 4 Deret osius Fourier utuk f adalah 4 cos. otoh.4 Fourier. Sajika fugsi f, dalam betuk deret Sius Peyelesaia: b si d 3 3
13 MATA443/MODUL.3 Deret Sius Fourier utuk f adalah si. 3 3 LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Ekspasika fugsi f utuk 4, f 6 utuk 4 8, dalam betuk deret Fourier dega periode 8. ) Ekspasika fugsi, f, ke dalam betuk deret Sius Fourier. 3) Tetuka ekspasi deret Fourier utuk fugsi, t t, t f t t, t, t Petujuk Jawaba Latiha ) f cos cos cos L cos ) f si
14 .4 Metode Matematis I 4 8 3) a, a utuk,3,5,..., a utuk,6,,..., a utuk 4,8,, da b utuk,, 3,... RANGKUMAN Setiap fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode dapat disajika dalam betuk deret Fourier: a f acos bsi dega a a f cos d,,,... b f si d,,,.... f d Jika fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode, maka ekspasi deret Fourierya berbetuk a f acos bsi dega a f cos d,,,,... b f si d,,,... atau dapat pula disajika sebagai L a f ( )cos d, L,,... L b f ( )si d, L,,... dega L kostata.
15 MATA443/MODUL.5 Jika fugsi f, y f terdefiisi pada selag L da juga kotiu (kotiu bagia demi bagia), maka ekspasi deret osius Fourierya berbetuk: a f a cos, L dega L a f cos d,,,,... L L da ekspasi deret Sius Fourierya berbetuk f b si, L L dega L b f si d,,,... L L TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika fugsi f, 5 3, 5 fugsi periodik dega periode diperderetka ke dalam betuk deret Fourier, maka koefisie-koefisieya adalah. A. 3 cos a 3; a, ; b,,,3, K B. 3 cos a,,,,... ; b,,,3, cos a 3; a,,,... ; b,,,3, K 3 cos D. a,,,,... ; b,,,3,...
16 .6 Metode Matematis I ) Ekspasi deret Fourier fugsi f pada soal omor adalah. 3 cos A. f cos cos B. f cos 5 3 cos. f si cos D. f si 5 3) Berdasarka jawaba soal omor, deret di ruas kaa koverge titik demi titik ke f, da utuk deret tersebut koverge ke. A. B D. 3 4) Ekspasi deret Sius Fourier fugai f cos, adalah. 8 A. f si 8 B. f si 8. f si 4 8 D. f si 4
17 MATA443/MODUL.7 ocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
18 .8 Metode Matematis I P Kegiata Belajar Itegral Fourier ada kegiata belajar ii dibahas ekspasi suatu fugsi dalam betuk itegral Fourier. Itegral Fourier merupaka suatu itegral tak sebearya yag merupaka betuk pedekata suatu fugsi, dega demikia kegiata belajar ii didasarka pada itegral tak sebearya da juga kekovergea itegral tak sebearya. FORMULA INTEGRAL FOURIER Sebagaimaa telah dipelajari, apabila diberika fugsi f, y f (), terdefiisi pada selag ( cc, ) da juga merupaka fugsi periodik dega periode c, maka fugsi f dapat diperderetka dalam deret fourier sebagai a f ( ) acos bsi dega c a f ( ) d c c c a f ( )cos c c c d c b f ( )si c c c d atau dapat disajika sebagai c c f ( ) f ( ) d f ( )cos( c c c c c ( )) d. (.9) Apabila fugsi f terdefiisi da memeuhi kodisi di atas utuk setiap iterval, utuk setiap ilai c cukup besar tetapi berhigga, maka deret c c f ( ) d f ( )cos( ( )) d c c c c c koverge ke f( ).
19 MATA443/MODUL.9 Hal di atas meujukka suatu gambara bahwa deret tersebut koverge utuk c cukup besar dekat pada tak higga, da fugsi f buka fugsi periodik. Dalam hal ii suku pertama dari deret berilai ol, c ( ) f d c, utuk c, karea f( ) d c mempuyai ilai berhigga. Selajutya diambil c c c da deret di atas dapat disajika sebagai f ( )cos( ( )) d, c atau dapat pula disajika sebagai c f ( )cos( ( )) d, c c. Misalka diagap tetap, da υ positif cukup kecil, maka berjala sepajag sumbu υ positif, dega demikia diperoleh lim da c lim f ( )cos( ( )) d c f ( )cos( ( )) d d. Sehigga diperoleh hubuga f ( ) f ( )cos( ( )) d d (.) yag dikeal sebagai formula itegral Fourier utuk fugsi f( ). Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) sebagaimaa disajika dega persamaa (.) mudah dijabarka mejadi (.) f ( ) A( )cos B( )si d, A( ) f ( )cos d (.) B( ) f ( )si d. (.3)
20 . Metode Matematis I otoh.5 Bila diberika fugsi f ( ) e, tetuka betuk itegral Fourier utuk fugsi f( ) tersebut. a Peyelesaia: Formula itegral Fourier disajika sebagai f ( ) A( )cos B( )si d dega A( ) a e cos d a e acosb bsib a b a B( ) e si d a e asib bcosb a b sehigga diperoleh a a a e a cosb bsib e asib bcosb e cos si a b a b otoh.6 Tetuka formula itegral Sius Fourier utuk fugsi, f, c, c. c d. Peyelesaia: Fugsi f dapat diaggap sebagai fugsi gajil, sehigga formula itegral Sius Fourier utuk fugsi f tersebut adalah f f t si t si dt d f t si t dt si d.
21 MATA443/MODUL. f t si t dt f t si t dt f t si t dt c c si t dt cos c. Dega demikia formula di atas mejadi cos c f si d. otoh.7 Tetuka formula itegral osius Fourier utuk fugsi f e cos,. c Peyelesaia: Fugsi f, f e cos, dapat diaggap sebagai fugsi geap, sehigga formula itegral osius Fourier utuk fugsi tersebut adalah f f t cos t cos dt d f t cos t dt cos d. f t cos e cos t cos t dt t e cos t cos t dt t t e cos t dt e cos t dt 4 t 4 t dt.
22 . Metode Matematis I Dega demikia formula di atas mejadi f cos d. 4 4 Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) sebagaimaa disajika dega persamaa (.), f ( ) f ( )cos( ( )) d d dapat pula disajika sebagai i ( ) f ( ) f ( ) e d d. (.4) Apabila f( ) tidak kotiu di, maka persamaa (.4) disajika sebagai f ( ) f ( ) f ( ) i ( ) f ( ) e d d (.5) da apabila f( ) suatu fugsi geap maka persamaa (.) mejadi f ( ) f ( )cos cos d d, (.6) da apabila f( ) suatu fugsi gajil maka persamaa (.) mejadi f ( ) f ( )si si d d,. (.7) atata: f ( ) lim f ( ) limit kaa f ( ) lim f ( ) limit kiri otoh.8 Buktika bahwa cos, d e.
23 MATA443/MODUL.3 Bukti: Misalka f ( ) e, mudah ditujukka bahwa f( ) suatu fugsi geap, maka berdasarka formula itegral Fourier diketahui f ( ) f ( )cos cos d d. Dega demikia diperoleh e cos cos d d e Mudah ditujukka bahwa e cos d sehigga cos e cos cos d d d e terbukti cos d e atau cos d e. Selajutya teorema di bawah ii membuktika bahwa utuk setiap f( ) suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada selag berhigga f ( ) f ( ) da utuk setiap titik diskotiu dipeuhi f( ) maka fugsi f( ) juga dapat disajika dalam betuk formula itegral Fourier. Teorema. Misalka f suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk setiap titik diskotiu berlaku f f f.
24 .4 Metode Matematis I Jika f d ada, maka utuk setiap, fr da f L fugsi f dapat disajika dalam betuk formula itegral Fourier: f f t cos t dt d dega kiri fugsi f. f R da L Bukti: Ditijau itegral ada, (.8) f berturut-turut meyataka derivatif kaa da derivatif f t cos t dt d lim f tcos t dt d lim f t cos t d dt si t lim f t dt t dega demikia diperoleh si t f t cos t dt d lim f t dt. (.9) t Selajutya ditijau itegral si t a si t f t dt lim f t dt t a a t si t lim f t dt a a t a si t lim f t dt. a t Jika diambil substitusi t, diperoleh si t si f t dt f d t a a da jika diambil substitusi t, diperoleh a si t a si f t dt f d. t
25 MATA443/MODUL.5 Didefiisika fugsi g da h, dega g f da h f. Dega demikia diperoleh da dega g f da h f g f da h f R L f L da f R R R berturut-turut meyataka derivatif kiri da derivatif kaa fugsi f. Karea utuk setiap titik diskotiu fugsi f, amaka titik, berlaku f f f atau dapat pula ditulis f f f berlaku utuk setiap, dega demikia diperoleh a si t si t a si t f t dt f t dt f t dt a t a t t si si g d h d a a g a si a g g d si d h a si a h h d si d.
26 .6 Metode Matematis I Selajutya utuk diperoleh a si t a si a g g lim f ( t) dt g lim d lim si d a t h h f f f. h a si a h h lim d lim si d g g Dega demikia persamaa (.9) mejadi si t cos lim f t t dt d f t dt t a si t lim lim f t a a t lim f a f cos da diperoleh f f t t dt d. otoh.9 Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, f, dega f() f ( ). dt
27 MATA443/MODUL.7 Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk titik diskotiu da f f berlaku f, maka cos f A B si d dega A f cos d f cos d f cos d f cos d cos d si da B f si d f si d f si d f si d si d. Dega demikia diperoleh f si cos si cos d d. otoh. Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, da f( ) si,.
28 .8 Metode Matematis I Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga maka formula itegral Fourier utuk fugsi f adalah cos f A B si d dega B f si d f si d f si d f si d si si cos cos si si si d da A f cos d d f cos d f cos d f cos d si si d cos cos cos. si cos d
29 MATA443/MODUL.9 Dega demikia diperoleh cos si f cos si d cos cos cos si si d cos cos cos cos cos cos cos d d otoh. Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, f ( ), e,. Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga maka diperoleh cos f A B si d dega A f cos d f cos d f cos d e cos d.
30 .3 Metode Matematis I da B f si d e f si d f si d si d. Dega demikia diperoleh f cos si d cos si d. LATIHAN ) Tetuka represetasi itegral Fourier utuk fugsi a. b. Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! f f e e a, a, a,, ) Tetuka represetasi itegral Fourier utuk fugsi, t f, t, t, t
31 MATA443/MODUL.3 3) Jika diberika fugsi f( ) utuk, f ( ) e utuk, da f, maka buktika bahwa fugsi f( ) memeuhi kodisi formula itegral Fourier, da selajutya utuk setiap ilai berlaku cos si v f d,. 4) Perguaka formula itegral cosius Fourier utuk membuktika v e cos cos d, 4 4 5) Perguaka idetitas Parseval utuk meetuka ilai itegral d a. b. Petujuk Jawaba Latiha d a cos f d a 4 si cos b. f 3 ) a. ) f cos si d cos d 5) Perguaka trasformasi sius Fourier da trasformasi cosius Fourier utuk f ( ) e,. a. b. 4 4
32 .3 Metode Matematis I Apabila fugsi f terdefiisi da merupaka fugsi periodik dega periode c utuk setiap iterval, utuk setiap ilai c cukup besar tetapi berhigga, maka deret c c f ( ) d f ( )cos ( ) d c c c c c koverge ke f( ). Hal di atas meujukka suatu gambara bahwa deret tersebut koverge utuk c cukup besar dekat pada tak higga, da fugsi f buka fugsi periodik. Sehigga diperoleh hubuga f ( ) f ( )cos( ( )) d d yag dikeal sebagai formula itegral Fourier utuk fugsi f( ). Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) mudah dijabarka mejadi f ( ) A( )cos B( )si d, A( ) f ( )cos d B( ) f ( )si d. Selajutya apabila f suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk setiap titik diskotiu berlaku da jika RANGKUMAN f f f f d ada maka utuk setiap, f da f R dalam betuk formula itegral Fourier: f f t cos t dt d L ada, fugsi f dapat disajika
33 MATA443/MODUL.33 dega f R da f L berturut-turut meyataka derivatif kaa da derivatif kiri fugsi f. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika diketahui Fc f f cos d maka. A. f Fc f cos d f Fc f cos d f Fc f cos d B.. f Fc f cos d D. ) Jika diketahui, f cos d, maka f adalah. A. B.. D. si si cos cos
34 .34 Metode Matematis I 3) Dega memperguaka soal omor diperoleh ilai itegral si d adalah. A. B.. 3 D. 4) Betuk umum persamaa gelombag satu dimesi, jika sebuah sear diretagka dega kedua ujugya terikat, adalah. y, t y, t L A., t t y, t y( L, t), t y, f y, t g, y, t y, t L B., t t y, t y( L, t), t y, y, t g, y, t y, t L., t t y, t y( L, t), t y, f y, t, L L L
35 MATA443/MODUL.35 y, t y, t L D., t t y, t y( L, t), t y, y,, L t ocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
36 .36 Metode Matematis I Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) D ) A 3) B 4) Tes Formatif ) B ) 3) D 4) A
37 MATA443/MODUL.37 Daftar Pustaka Kreider D.L. et al. (966). Itroductio to Liear Aalysis. Massachusetts: Addiso-Wesley Publishig ompay. Wylie.R. ad Barrett L.. (98). Advaced Egieerig Mathematics. Sigapore: McGraw-Hill Iteratioal Book o. Murray R Spiegel, PhD. 97. Theory ad Problems of Advaced Mathematics for Egieers ad Scietists, Schaum s Outlie Series, New York: McGraw-Hill Book ompay. Ruel V hurchill Fourier Series ad Boudary Value Problems, New York: McGraw-Hill Book ompay.
KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.
Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...
4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut
Galat dan Perambatannya
Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Definisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Hendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Teorema Nilai Rata-rata
Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi
Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
B a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)
3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real
Himpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Hendra Gunawan. 14 Februari 2014
MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga
BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT
BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)
Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar
2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP
( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak
Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat
Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru
Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.8 No.2 (24) Hal. 39-45 APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE Aji Wiratama, Yui Yulida, Thresye Program Studi Matematika
EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2
EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus
Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i
![Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i](/thumbs/52/30271679.jpg "Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i")
INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval
Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Joas Lodewyk H 1, Zulkarai 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika
Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Pengertian Secara Intuisi
Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut
,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Bab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka
PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT
Buleti Ilmiah Math. Stat. da Terapaya (Bimaster) Volume 02, No. 1(2013), hal 1-6. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Demag, Helmi, Evi Noviai INTISARI Permasalaha di bidag tekik
1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk
OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma
Analisis dan Visualisasi Representasi Deret Fourier Gelombang Sinyal Periodik Menggunakan MATLAB
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro Aalisis da Visualisasi Represetasi Deret Fourier Gelombag Siyal Periodik Megguaka MALAB Ahmad Saudi Samosir Jurusa ekik Elektro Uiversitas Lampug, Badar Lampug
BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :
Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral
Induksi Matematik dan Teorema Binomial
Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka
ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak
(The Method of Separation of Variables). Metode ini dapat digunakan pada PDP linier, khususnya PDP dengan koefisien konstan.
METODE PEMISAHAN PEUBAH (The Method of Separatio of Variales) Metode ii dapat diguaka pada PDP liier, khususya PDP dega koefisie kosta Tujua Istruksioal : Setelah megikuti perkuliaha mahasiswa dapat: 1
An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi
SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT
Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI
BAHAN AJAR KALKULUS 2. Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc
BAHAN AJAR KALKULUS Disusu Oleh: Drs Moch Chotim, MS Muhammad Kharis, SSi, MSc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 0 i DAFTAR ISI DAFTAR ISI ii
Penyelesaian Persamaan Non Linier
Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode
REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
INTEGRAL CONTOUR. 2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel
INTEGRAL ONTOUR Tujua Perkuliaha: Mahasiswa dapat memahami kosep itegral cotour da meyelesaika masalah dalam itegral otour. Defiisi: Diberika fugsi z = z(t) utuk a t b, Mewakili sebuah litasa yag diperpajag
BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga
Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak
METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa
19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh
Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series
Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka Jumlah Deret Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the Sum of Series Tri Mulyai,*), Moh Hasa ), Slami
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak
Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram
Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T
BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN
PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,
SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15
SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih
TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.
3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4
Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali
Jural Tekika ISSN : 285-859 Fakultas Tekik Uiversitas Islam Lamoga Volume No.2 Tahu 29 Kestabila Ragkaia Tertutup Waktu Kotiu Megguaka Metode Trasformasi Ke Betuk Kaoik Terkedali Suhariyato ) Dose Fakultas
Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial
Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala
BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy
BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag
BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha
III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi
I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da