KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA"

Transkripsi

1 KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA Taggal Sidag: 04 Februari 0 Periode Wisuda: Februari 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebratas No.55 Pekabaru Diberika orma, (,. ) ABSTRAK, hasil kali dalam, (..,. ) ruag hasil kali dalam da diberika. X ruag berorma. Tujua dari tugas akhir ii adalah meujukka kekovergea pada ruag berorma da kekovergea pada ruag hasil kali dalam. Diperoleh juga bahwa barisa yag koverge kuat pada ruag berorma maka barisa tersebut koverge lemah pada hasil kali dalam. Kata Kuci: koverge, ruag berorma, ruag hasil kali dalam. xi

2 CONVERGENCE ON NORM SPACE AND INNER PRODUCT SPACE WINA DIANA Date of Fial Exam: February 04, 0 Graduatio Cremoy Priod: Februari 0 Mathematic Departemet Faculty of Scieces ad Techology State Islamic Uiversity of Sulta Syarif Kasim Riau HR. Soebratas Street No. 55 Pekabaru Let (,. ) ABSTRACT, is ier product, (..,. ) be a ier product psace ad let. is orm, X be a orm space. At the ed of this assigmet will be show the kovergece i the orm space ad the covergece i the ier product space. It is also produced that the strog covergece squecesi the orm space the weak covergece squeces i the ier product. Keywords : covergece, ier product space, orm space.. xi

3 DAFTAR ISI Halama LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR LAMBANG... DAFTAR GAMBAR... ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii xiv BAB I. PENDAHULUAN... I-. Latar Belakag... I-. Rumusa Masalah... I-.4 Tujua Peulisa... I-.5 Sistematika Peulisa... I- BAB II. LANDASAN TEORI... II-. Ruag Vektor... II-. Kekovergea pada Barisa Bilaga Riil... II-. Ruag Hasil Kali Dalam... II-9.4 Ruag Berorma... II- xi

4 BAB III. METODOLOGI PENELITIAN... BAB IV. PEMBAHASAN KEKONVERGENAN PADA DAN RUANG BERNORMA RUANG HASIL KALI DALAM... III- IV- 4. Kekoverge pada Ruag Berorma... IV- 4. Kekoverge pada Ruag Hasil Kali Dalam... IV- 4. Kekoverge pada Ruag Berorma da Ruag Hasil Kali Dalam IV- BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN... V- 5. Kesimpula... V- 5. Sara... V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xi

5 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Sejala dega perkembaga ilmu matematika, para pemikir matematika terus berusaha utuk megembagka teori-teori yag telah ada. Perkembaga ilmu matematika tersebut selalu bertambah maju dari zama ke zama. Sebagai cotoh perkembaga ilmu matematika adalah perkembaga ilmu aljabar. Aljabar telah diguaka matematikawa sejak beberapa ribu tahu yag lalu. Nama aljabar berasal dari kitab yag ditulis pada tahu 80 oleh matematikawa Persia berama Muhammad Ibu Musa Al-Kwarizmi dega judul Al-Kitab Al-Jabr Wal-Muqabala (yag berarti "The Compedious Book o Calculatio by Completio ad Balacig"), yag meerapka operasi simbolik utuk mecari solusi secara sistematik terhadap persamaa liier da kuadratik. Salah satu muridya, Omar Khayyam meerjemahka hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Aljabar bersama-sama dega geometri, aalisis da teori bilaga adalah cabag-cabag utama dalam matematika. Sekarag ii istilah aljabar mempuyai maka lebih luas daripada sekedar aljabar elemeter, yaitu meliputi ajabar abstrak, aljabar liier da sebagaiya. Para pemikir matematika terus berusaha utuk megembagka teori-teori yag telah ada, seperti kosep ruag hasil kali dalam, ruag berorma da ketaksamaa Cauchy-Schwarz. Pada peulisa ii aka dibahas tetag kosep kekovergea pada barisa riil, kekovergea pada ruag berorma da kekovergea pada ruag hasil kali dalam. Kosep kekovergea pada barisa bilaga riil pertama kali dibahas oleh Bartle da Sherbert (98). Seirig dega itu dikemukaka berbagai hasil tetag sifat-sifat ruag berorma da ruag hasil kali dalam yag dibahas oleh Ato (994), da selajutya dikembagka lagi oleh Guawa (00) yag megemukaka kosep ruag berorma- da ruag hasil kali dalam-. Setelah melihat da membaca hal tersebut di atas maka peulis tertarik utuk meulis sebuah skripsi dega judul Kekovergea pada Ruag Berorma da Ruag Hasil Kali Dalam I-

6 . Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag di atas maka dapat dirumuska masalahya adalah, bagaimaa kosep kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam?.. Batasa Masalah Permasalaha yag aka dibahas dalam tulisa ii dibatasi haya pada meujukka kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam..4 Tujua Peulisa Tujua dari peulisa ii adalah meujukka bahwa koverge pada barisa bilaga riil dapat diperumum ke ruag berorma da ruag hasil kali dalam, kemudia melihat betuk kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam..5 Sistematika Peulisa Sistematika dalam pembuata tulisa ii mecakup 5 bab yaitu : Bab I : Pedahulua Bab ii berisi latar belakag masalah, rumusa masalah, tujua, da sistematika peulisa. Bab ll : Ladasa Teori Bab ii berisika iformasi tetag teori-teori yag diguaka dalam peulisa ataupu metode/teorema yag dipakai. Dalam peulisa tugas akhir ii, ladasa teori yag dipakai atara lai tetag ruag vektor, barisa bilaga riil, ruag berorma da ruag hasil kali dalam. Bab III : Metode Peelitia Bab ii berisika cara-cara atau lagkah-lagkah dalam meyelesaika permasalaha keterkaita kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam. I-

7 Bab IV : Pembahasa da Aalisa Bab ii berisika peyelesaia masalah keterkaita kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam. Bab V : Peutup Bab ii berisi kesimpula da sara. I-

8 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ii aka aka dibahas megeai teori-teori yag mejadi ladasa atau acua utuk bab seterusya. Teori-teori yag dibahas atara lai megeai ruag vektor, koverge pada barisa bilaga riil, ruag hasil kali dalam, da ruag berorma.. Ruag Vektor Defiisi. : (Howard Ato, 997) Ruag vektor atas lapaga R adalah himpua tidak kosog X dega dua operasi yaitu peambaha da perkalia dega skalar atas vektor-vektor sifat-sifat sebagai berikut :. x + y X,. x + y y + x ( sifat komutatif ),. x + ( y + z) ( x + y) + z ( sifat asosiatif ), 4. Ada sebuah vektor 0 X sehigga 0 + x x + 0, x, y, z X dega skalar k, l R yag memeuhi 5. x di X terdapat vektor balika dari x atau x sehigga x + ( x) ( x) + x 0, 6. Jika k skalar da x sebarag beda vektor di X maka kx berada di kx X, 7. k ( x + y) kx + ky ( sifat distributif ), 8. ( k + l) x kx + lx, 9. k ( lx) ( kl)( x), 0. Utuk sebarag real da utuk setiap x X berlaku x x. Defiisi. : (Howard Ato, 997) Dua vektor u u, u,..., u ) da ( v v, v,..., v ) pada ( R diamaka sama jika v, u v,..., u v sedagka u II-

9 utuk pejumlaha u + v didefiisika dega u + v u + v, u + v,..., u + v ) da ( jika k adalah sebarag skalar, maka perkalia skalar ku didefiisika dega ku ( ku, ku,..., ku disebut dega operasi-operasi baku pada ). Operasi peambaha da perkalia skalar dalam defiisi ii R. Defiisi. : (Howard Ato, 997) Jika u u, u,..., u ) da v v, v,..., v ) ( ( adalah sebarag vektor pada R, maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidea ier product) u. v didefiisika dega u. v u v + u v u v. Cotoh : Diberika hasil kali dalam Euclidis dari vektor u da v masig-masig adalah u (,,6) da v (7,,). Tetuka hasil kali dalam Euclidisya. Jawab : Hasil kali dalam Euclidis pada u. v u v + u v u v ( )( 7) + ( )( ) + ( 6)( ) ( 7 ) + ( 6) + ( 6) 5 R adalah maka ilai 5 disebut sebagai hasil kali dalam Euclidis.. Koverge pada Barisa Bilaga Riil Defiisi.4 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa bilaga riil (barisa di R) adalah fugsi dari himpua bilaga asli N yag daerah hasilya terdapat dalam himpua bilaga riil R. II-

10 Defiisi.5 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) dikataka koverge ke x atau ( x ) x asli K ( ε ) sehigga utuk setiap K( ε ) lim, jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga sehigga x x < ε. Defiisi.6 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) dikataka terbatas jika terdapat bilaga riil m > 0 sehigga x < M utuk semua N. Defiisi.7 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Misal X adalah bilaga riil, ) Utuk setiap ε > 0 ligkuga dari x adalah himpua { a R : x a } V ε x < ε, ) Ligkuga dari x adalah semua usur yag terdapat pada ligkuga ε da x, utuk ε > 0. Defiisi.8 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Misalka ( x ) barisa pada bilaga riil, ( x ) dikataka mempuyai limit ke x jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga riil K( ) N terdapat x limit barisa ( x ) maka ( ) Jika barisa ( x ) koverge ke x dapat ditulis : ( ) x lim atau bisa juga ditulis x x. x ε sahigga K( ε ) da ( ) v ( x) x ε. Jika x koverge ke x (barisa mempuyai limit). Cotoh.:. Tetuka apakah barisa ( ) x adalah barisa koverge! + 7 II-

11 Jawab : lim ( x ) lim + 7 / + / lim / + 7 / + / lim + 7 / + / + 7 / jadi barisa ( ) mempuyai limit yaitu. x adalah barisa koverge kerea barisa tersebut + 7. Tetuka apakah barisa ( ) Peyelesaia : x adalah barisa koverge atau tidak! + 7 lim ( x ) lim + 7 lim / + / 7 / lim / + 7 / / + 7 / 0 II-4

12 karea barisa ( ) x tidak mempuyai limit maka barisa tersebut diverge. + 7 Selajutya aka ditujukka barisa terbatas da ketuggala limit. Teorema. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Jika barisa ( x ) koverge maka barisa tersebut terbatas. Bukti : Diketahui barisa ( x ) dalah barisa koverge, kataka ( x ) x da terdapat lim. Ambil ε, N. Berdasarka sifat ilai mutlak maka dari x x < ε diperoleh x < x +, utuk setiap N. Pilih { x, x, x,,,,, x } M sup +. karea x < x + maka berlaku x < M utuk semua N. maka terbukti bahwa ( x ) terbatas Teorema. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Jika barisa ( x ) koverge, maka ( x ) palig bayak haya mempuyai satu limit, dega kata lai limitya tuggal. Bukti : Diketahui ( x ) barisa koverge, aka dibuktika bahwa barisa koverge mempuyai satu limit. II-5

13 adaika lim( ) x' x da lim( ) x" x dega x' x", aka ditujukka x ' x" sehigga utuk sebarag terdapat K ", sedemikia higga dipilih max{ K', K" } K. ε > o terdapat K ', sedemikia higga ε x x" < utuk setiap K". dega megguaka ketaksamaa segitiga, maka utuk x' x" x' x + x x" x' x + x x" ε ε < + ε K diperoleh : ε x x' < da oleh karea ε > 0 sebarag, maka x ' x" 0 yag berarti x ' x". Kotradiksi dega pegadaia x' x". Jadi terbukti bahwa limitya tuggal. Defiisi.0 : Barisa ( ) terdapat H ( ) N m x x < ε. x diamaka barisa Cauchy jika utuk setiap ε > 0 ε sehigga utuk setiap m N, dega m H ( ε ), berlaku Lemma. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Jika barisa ( x ) koverge, maka ( x ) barisa Cauchy. Bukti : Diketahui ( x ) adalah barisa koverge da misalka ( ) x koverge ke x, aka dibuktika bahwa barisa bilaga riil yag koverge merupaka barisa Cauchy (utuk sebarag ε > 0 maka dipeuhi x x < ε ). m II-6

14 ε Ambil sebarag ε > 0, maka terdapat K N ε x < sehigga jika ε K, maka x, oleh karea itu jika H ( ε ) K da jika m H ( ε ) diperoleh: x xm < x x + x xm < x x + x x ε ε < + < ε m ε,, maka karea berlaku utuk sebarag ε > 0 berlaku x x < ε, maka terbukti bahwa ( x ) adalah barisa Cauchy. m Defiisi. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) pada bilaga riil, dikataka koverge lemah ke x jika utuk setiap ε > 0 terdapat K ( ε ) N, bila K( ε ) ( x ) f ( ) < ε f x. da f adalah fugsi pada bilaga riil sehigga Cotoh.: Selidiki apakah barisa bilaga riil ( ) dega f ( x) si x barisa yag koverge lemah atau tidak! x π merupaka Jawab : π Diketahui ( ) da f ( x) si x, aka ditetuka f ( x ) x π si. II-7

15 Berdasarka defiisi maka aka dibuktika : π f x ( x ) f ( x) < ε si si < ε ε > 0, maka > 0 ε Archimedes maka didapat K( ε ) K π si ( ε ). Misalka K ( ε ) adalah bilaga asli dega megguaka sifat maka aka didapat : K( ε ) > π si x + ε si > π si x + ε si π si < si x + ε maka π si si x < ε karea terbukti ( x ) f ( x) < ε si si x < ε π ( ) dega f ( x) si x x >, utuk setiap N dega si x + ε π f, maka barisa bilaga riil adalah koverge lemah. Defiisi. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) pada bilaga riil, dikataka koverge kuat jika terdapat x ( x ) sehigga berlaku : lim x x 0. II-8

16 Cotoh.: Selidiki apakah barisa lim 0 adalah koverge kuat. Jawab : Utuk ε > 0, maka > 0 ε Misalka K ( ε ) adalah bilaga asli dega ( ε ) ( ε ) K, maka aka didapat K( ε ) dega demikia. >, sehigga ε 0 < ε, sehigga < ε, jadi barisa tersebut koverge kuat. K >, utuk setiap N maka ε > da < ε, ε. Ruag Hasil Kali Dalam vektor vektor riil. Telah dibahas sebelumya megeai hasil kali dalam Euclidis pada ruag R. Selajutya aka dibahas megeai otasi hasil kali dalam dari sebarag Defiisi. : (Ato Howard, 994) Misalka X ruag liier atas lapaga R suatu pemetaa dari X X ke R yag ditulis.,. disebut hasil kali dalam bila memeuhi sifat-sifat berikut :. x, x 0; x, x 0 jika da haya jika x 0,. x, y y, x utuk setiap x, y X,. α x, y α x, y utuk setiap x, y X da α R, 4. x + y, z x, z + y, z utuk setiap x, y, z X. II-9

17 Cotoh.4 : Tujukka bahwa operasi perkalia titik-titik stadar di dalam! R merupaka hasil kali Jawab : Aka ditujukka bahwa perkalia titik stadar memeuhi keempat aksioma hasil kali dalam, yaitu : misalka x ( x, x x ), y ( y, y y ), ( z, z z ),. x, y y, x ( x y) x, y., ( x y + x y + x ) y ( y x + y x + y ) x z,, x, y, z R. y, x. x, x 0 ( x x) x, x. x, x 0 ( x + x + ) 0 x ( x + x + x ) 0, x ( 0,0,0) 0. α x, y α x, y ( x y) α x, y α. ( α x y + αx y + αx ) α( x.y) y II-0

18 α x, y 4. x + y, z (( x + y). z) (( x + y, x + y, x + y )(. z, z z )), (( x z + y z ) + ( x z + y z ) + ( x z + y )) z ( x z + x z + x z ) + ( y z + y z + y ) z ( x. z) + ( y. z) x, z y, z karea keempat aksioma terpeuhi maka operasi perkalia titik-titik stadar di merupaka hasil kali dalam. R.4 Ruag Berorma Defiisi.4 : (Ato Howard, 994) Jika X adalah ruag liier atas lapaga R adalah fugsi berilai riil da. dikataka orma pada X jika memeuhi 4 aksioma berikut :. x 0 utuk semua x X,. x 0 jika da haya jika x 0,. α x α x utuk semua x X da α R, 4. x + y x + y ( ketaksamaa segitiga ). pasaga ( ; ) X disebut dega ruag liier berorma dega orma. Cotoh.5 : Misalka X ruag liier atas lapaga R dega medefiisika x x + x + x, aka dibuktika bahwa x x + x + x dimaa x X. adalah orma dega x ( x, x x ), II-

19 Jawab :. x 0 Misalka X ruag liier atas lapaga R, ambil sebarag x X da x x + dimaa x + x + x 0 dega kata lai x 0. + x x. x 0 jika da haya jika x 0 Terlebih dahulu kita harus membuktika bahwa x 0 maka haruslah x 0. Misalka X ruag liier atas lapaga R dega diketahui bahwa x 0 sehigga x x + x + x 0, utuk setiap x X dimaa x x, x 0, sehigga utuk x + x + x 0, haruslah ilai x x x 0 dega kata lai ilai dari x 0. Selajutya aka ditujukka bahwa x 0 jika x 0. x x 0 x + x + x , x 0. α x α x α x αx + + αx αx α x + α α x 4. x + y x + y + α x α x ( x + x + ) x Ambil sebarag ilai y X dega y ( y, y y ) sehigga, x + y x + + y + x + y + x y II-

20 x + + y + x + y + x y x + + x + x + y + y y x + y sehigga diperoleh x + y x + y karea keempat aksioma terpeuhi maka x x + x + x merupaka orma pada ruag liier X atas lapaga R. Teorema. : (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz) Jika x da y adalah vektor pada ruag hasil kali dalam maka : x, y x, x y, y. Bukti : Diketahui x da y adalah vektor pada ruag hasil kali dalam, aka ditujukka bahwa x, y x, x y, y. Misalka x 0, maka x, y x, x 0, sehigga ketaksamaa Cauchy-Schwarz aka terpeuhi jika x 0. Misalka a x, x, b x, y da c y, y da misalka t sebarag bilaga riil, sehigga: 0 tx + y, tx + y t x, x + tx, y + y, tx + y, y x, x t + x, y t + y, y at + bt + c Ketaksamaa ii meyataka bahwa poliom kuadrat at + bt + c tidak mempuyai akar, baik akar riil maupu akar iterasi, sehiggga diskrimiaya harus memeuhi b 4ac < 0 dega meggatika pemisala keofisie a, b, c memberika 4 x, y 4 x, x y, y < 0, sehigga diperoleh x, y < x, x y, y. Maka ketaksamaa Cauchy-Schwarz terpeuhi II-

21 Lemma. : Ketaksamaa pada teorema dapat ditulis dalam betuk determia matrik sebagai berikut : x, x x, y y, x y, y 0. Bukti : Diketahui persamaa Cauchy-Schwarz. Aka ditujukka bahwa persamaa tersebut dapat ditulis dalam determia matrik, yaitu x, x x, y y, x y, y 0 dari hubuga x, y < x, x y, y, maka x, x y, y x, y 0 karea x, y < x, y y, x maka x, x y, y x, y y, x 0 jadi x, x y, x x, y y, y Defiisi : Jika V adalah sebuah ruag hasil kali dalam, maka orma (pajag) vektor x diyataka oleh x da didefiisika oleh x x, x. Jika pajag berada pada R maka x x + x sedagka pada R maka + x x x x +. Defiisi : Jika V adalah sebuah ruag hasil kali dalam, maka jarak atara dua titik vektor u da v diyataka oleh d ( u, v) da didefiisika oleh d( u v) u v jarak dua titik di u,u R maka ( ) u da ( ),. Jika v v,v da diberika d ( u v) ( u v ) + ( u v ) u v, sedagka jarak dua titik di R maka II-4

22 u ( u, u u ) da ( v, v v ) d, v da diberika, ( u, v) ( u v ) + ( u v ) + ( u v ) u v Defiisi : Ruag liier X adalah suatu himpua yag memiliki aggota vektor da skalar pada lapaga (field) K dega dua operasi yaitu operasi pejumlaha da perkalia sebagai berikut:. F ( x + y) F( x) + F( y). ( kx) kf( x) F. Cotoh : Misalka F R R adalah fugsi yag didefiisika oleh F ( u, v) ( x, x + y, x y) da jika u ( ) da ( ) ( x + x y ), y x, y u + v +. Tujukka bahwa F adalah ruag liier. v x, y maka Jawab : Diketahui F R R adalah fugsi yag didefiisika oleh F ( u, v) ( x, x + y, x y) da jika u ( ) da ( ) ( x + x y ), y x, y u + v +, aka ditujukka bahwa F adalah ruag liier. v x, y maka utuk meujukka bahwa F merupaka ruag liier harus memeuhi aksioma sebagai berikut :. F ( u + v) F( u) + F( v) [( x + x ), ( x + x ) + ( y + y ) ( x + x ) ( y + y )], ( x, x + y, x y ) + ( x, x + y x y ), ( u) F( v) F + II-5

23 . F ( kx) kf( x) ( kx, kx + ky kx ky ) k, ( x, x + y x y ) kf( u), karea kedua aksioma terpeuhi maka terbukti bahwa F adalah sebuah ruag liier. II-6

24 BAB III METODOLOGI PENELITIAN Peulisa skripsi ii peulis megguaka metodologi studi literatur terhadap referesi-referesi yag berkaita dega kekovergea pada barisa bilaga riil, kekovergea pada ruag hasil kali dalam da kekovergea pada ruag berorma. Dimulai dega memahami defiisi tetag barisa bilaga riil da kekovergea barisa bilaga riil, memahami defiisi tetag ruag hasil kali dalam da memberika cotoh da memahami defeisi tetag ruag berorma serta memberika cotoh. Setelah itu dilajutka dega pembuktia teorema-teorema, lemma da proposisi yag berhubuga dega pembahasa da dilajutka dega melihat kekovergea ruag hasil kali dalam kekovergea pada ruag berorma. Flowchart metodologi peelitia : Koverge barisa bilaga riil Ruag hasil kali dalam Ruag berorma Membuktika teorema-teorema yag berhubuga Koverge pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam Gambar.. Flowchart metodologi peelitia

25 BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibahas megeai pembahasa permasalaha yaitu meujukka betuk kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam. 4. Kekovergea pada Ruag Berorma Defiisi 4.. : Barisa ( x ) di dalam ruag berorma X dikataka koverge lemah ke x jika terdapat x X, maka utuk setiap ' f X : lim f ( x ) f ( x) 0. Defiisi 4.. : Barisa ( x ) di dalam ruag berorma X dikataka koverge kuat ke x jika terdapat x X, sehigga lim x 0 x, utuk setiap x X. setiap > 0 Utuk meyataka koverge lemah juga bisa ditulis x w x, jika utuk ε terdapat K( ε ) N da bila > K( ε ) maka f ( x ) f ( x) < ε. Cotoh : Terdapat ( m, ) Ambil ( x ) x x f M x m si x si x M si x R ruag berorma, dega orma m x x M x m π π M π da siπ siπ 0 0 aka koverge ke x. M M siπ 0 + x x x x +. f R R m m : x dega IV-

26 Jawab : Aka ditujukka bahwa ( x ) f ( x) < δ maka > 0. δ f atau si π si x < δ, utuk δ > 0, Misalka K ( δ ) adalah bilaga asli, dega megguaka sifat Archimedes maka diperoleh : K ( δ ) > si x, utuk setiap N + δ K( δ ) > siπ si x + δ > siπ si x + δ si π si x + δ maka : > si π si x < δ ( x ) f ( x) < δ f siπ dega K( δ ), maka : utuk x... xm buktiya aalog. Dega kata lai utuk setiap berlaku lim f ( x ) f ( x ) 0 i,,... m i i Diperoleh lim f ( x ) f ( x) 0 m [ f ( x ) f ( x ) + f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )] 0 lim m m atau lim f ( x ) f ( x) 0 m IV-

27 4. Kekovergea pada Ruag Hasil Kali Dalam Defiisi 4. : Barisa ( x ) pada ruag hasil kali dalam X dikataka koverge lemah ke x jika terdapat x X,sehigga utuk setiap > 0 ' > K( ε ), maka utuk setiap f X : f ( x ) f ( x), y < ε ε terdapat K( ) N utuk setiap ε da bila y X. Defiisi 4.4 : Jika barisa ( x ) pada ruag hasil kali dalam X dikataka koverge kuat ke x, jika : lim x, y 0 x, utuk setiap y X. Dari pembahasa di atas, maka selajutya adalah suatu peryataa yag berbetuk proposisi yag meyataka hubuga atara kekovergea pada ruag berorma da kekovergea pada ruag hasil kali dalam. 4. Kekovergea pada Ruag Berorma da Ruag hasil Kali Dalam Proposisi 4. : Jika barisa ( x ) pada ruag berorma X koverge kuat, maka barisa ( x ) koverge lemah ke x pada ruag hasil kali dalam. Bukti : Diketahui ( x ) barisa pada ruag berorma koverge kuat. Aka ditujukka bahwa barisa yag koverge kuat pada ruag berorma merupaka koverge lemah pada ruag hasil kali dalam. Dari ketaksamaa segitiga didapat : x x, y x x. y, y karea ( ) x koverge kuat ke x maka x 0 x 0 x x, y 0 x ( x ) f ( x), y 0 f, utuk setiap f X ' x IV-

28 sehigga diperoleh ( x ) f ( x), y 0 f, yag merupaka koverge lemah. Proposisi 4. : Jika ( x ) pada ruag hasil kali dalam X koverge lemah ke x da x ', maka x x', dimaa x da x ' aggota X. Bukti : Diketahui ( x ) koverge lemah ke x da x '. Aka ditujukka bahwa x x', utuk x da x ' aggota X. Jika x, y x, y maka pada saat yag sama x, y x', y,utuk setiap x, y X. Dari keuika limit pada barisa bilaga riil, didapat : x, y x', y ( x) y f ( x' ) y f,, ( x) f ( x' ), y 0 f, utuk setiap x, y X. f ( x) f ( x' ) 0 ( x) f ( x' ) f ( x) f ( x' ) f, maka x x' Lemma 4.: Pada ruag hasil kali dalam jika x, y x y., x x da y y maka IV-4

29 Bukti : Aka ditujukka bahwa jika ketaksamaa Schwarz, didapat : x, y x, y x, y x, y + x, y x, y x x da y y maka x, y x y, dari, x, y y + x x, y karea x x 0 da y y 0 dimaa, maka didapat x y y + x x y 0 x, y x, y 0 x, y x y, IV-5

30 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Megakhiri peulisa ii dapat diambil kesimpula da sara dari pembahasa da aalisa yag telah dipaparka pada bab sebelumya. 5. Kesimpula Di dalam barisa bilaga riil berlaku sifat kekovergea, baik koverge kuat maupu koverge lemah. Begitu juga dalam ruag berorma da ruag hasil kali dalam. Betuk kekovergea pada barisa bilaga riil, pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam adalah sebagai berikut :. Koverge lemah dalam barisa bilaga riil : utuk setiap > 0 ε terdapat K( ε ) N, bila K( ε ) bilaga riil sehigga f ( x ) f ( x) < ε.. Koverge kuat dalam barisa bilaga riil : utuk ( ) x x sehigga berlaku : lim x 0.. Koverge lemah dalam ruag berorma : utuk setiap x ' f X : lim f ( x ) f ( x) 0 4. Koverge kuat dalam ruag berorma : lim x 0 x, utuk setiap x X. 5. Koverge lemah dalam ruag hasil kali dalam : utuk setiap utuk setiap da f adalah fugsi pada ' f X berlaku ( ) ( ) ε 6. Koverge kuat dalam ruag hasil kali dalam : x lim x, y 0, utuk setiap y X.. f x f x, y <. V-

31 Selai itu juga berlaku juga koverge lemah pada ruag berorma merupaka koverge kuat pada ruag hasil kali dalam. 5. Sara Dalam skripsi ii haya dibahas tetag kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam, bagi yag tertarik utuk melajutka skripsi ii dapat megembagka tetag kekovergea pada ruag berorma- da ruag hasil kali dalam- atau ruag berorma- k da ruag hasil kali dalam- k. V-

32 KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM TUGAS AKHIR Diajuka sebagai Salah Satu Syarat utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais pada Jurusa Matematika Oleh : WINA DIANA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 0

33 DAFTAR PUSTAKA Ato, Howard, Elemetary Liear Algebra, The Uited State of Amerika, 994. Bartle, R.G da Sherbert, D.R, Itroductio to Real Aalysis, Joh Wiley ad sos, Ic, USA, 000. Guawa, Hedra, O Coverge i -Ier Product Space, Buleti of the Malaysia Mathematical Siece Sosiety, Malaysia, Pegatar Aalisis Fourier da Teori Aproksimasi, Diakses pada taggal 5 februari Diakses pada taggal 4 Maret 00.

34 DAFTAR GAMBAR Halama. Flowchart metodologi peelitia... III- xiv

35 DAFTAR LAMBANG. : Ruag Berorma. : Ruag Hasil Kali Dalam ε : Epsilo : Sehigga : Terdapat xiv

36 DAFTAR RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka pada taggal 06 Februari 987 di Desa Kota Ita, Kabupate Roka Hulu sebagai aak pertama dari tiga bersaudara pasaga Bapak Muri da Ibu Nurlisa. Peulis meyelesaika Pedidika Formal pada Sekolah Dasar Negeri 00 Desa Kota Ita sampai kelas tiga, kemudia pidah ke Sekolah Dasar Negeri 007 Pagaratapah Darussalam sampai selesai pada tahu 999. Pada tahu 00 meyelesaika Pedidika Lajuta Tigkat Pertama di SLTP Negeri 04 Ngaso, Ujugbatu da meyelesaika Pedidika Meegah Atas dega jurusa Ilmu Pegetahua Alam (IPA) di SMA Negeri Ujugbatu pada tahu 005. Setelah meyelesaika pedidika SMA, pada tahu yag sama peulis melajutka Pedidika ke Pergurua Tiggi di Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Pekabaru Riau da lulus di Fakultas Sais da Tekologi dega Jurusa Matematika. Pada tahu 008 peulis megikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Sugai Piag Kecamata Tambag Kabupate Kampar. Pada tahu 009, tepatya pada semester VIII peulis melaksaaka Kerja Praktek di SMP Negeri 0 Pagaratapah Darussalam, dega judul Aplikasi Paired Compariso utuk Membadigka Tigkat Kecerdasa Siswa dibawah bimbiga Ibu Rahmadei S.Si da Ibu Elwis Asmel, S.Pd dari taggal 0 April 009 sampai 0 April 009 da disemiarka pada taggal 8 Jui 009. Peulis diyataka lulus dalam ujia sarjaa dega judul Kekovergee pada Ruag Berorma da Ruag Hasil Kali Dalam dibawah bimbiga Ibu Fitri Ariyai, M.Sc. pada taggal di Fakultas Sais da Tekologi Jurusa Matematika. xiv

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR

Lebih terperinci

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY Siti Robiatul Adawiyah 1, Rade Sulaima 2 1 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices

Lebih terperinci

HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI. Oleh : Ambar Mujiarti J2A

HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI. Oleh : Ambar Mujiarti J2A HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI Oleh : Ambar Mujiarti J2A 004 003 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2009

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN S K R I P S I Disusu dalam Ragka Meyelesaika Studi Strata utuk memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh Nama : Sugeg Wibowo Nim :

Lebih terperinci

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B. TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari BB I PENDHULUN. Latar Belakag Masalah Struktur rig (gelaggag) R adalah suatu himpua R yag kepadaya didefiisika dua operasi bier yag disebut pejumlaha da pergadaa yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu, yaitu:

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2. II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS BRISN PNGKT TERURUT MTRIKS PD LJBR MX PLUS Nurwa Jurusa Matematika FMIP Uiversitas Negeri Gorotalo E-mail: urwa_mat@ug.ac.id bstrak Diberika matriks R yag memeuhi = λ. Matriks adalah k + c c k taktereduksi

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,

Lebih terperinci

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1 Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah

Lebih terperinci

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP)

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING

SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc Dra. Nur Erawaty, M.Si Filawati, S.Si Jurusa Matematika, Fakultas Matemetika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2 Jural LOG!K@, Jilid 7, No, 7, Hal 46-5 ISSN 978 8568 GRU ERURU ARSIAL ADA MARIKS SIMERI BERUKURAN Irmatul Hasaah Uiversitas Islam Negeri Sulta Maulaa Hasauddi Bate Email: irmatulhasaah@uibateacid Abstract:

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2

PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 J. Math. ad Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 3, No. 2, Nopember 206, -0 PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 Suarsii, Mahmud Yuus 2, Sadjido 3, Auda Nuril Z 4,2,3,4 Jurusa Matematika,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi

Lebih terperinci

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014 MATHuesa (Volume 3 No 3) 014 MINIMUM PENUTUP TITIK DAN MINIMUM PENUTUP SISI PADA GRAF KOMPLIT DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Yessi Riskiada Kusumawardai Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu

Lebih terperinci

KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI. Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM

KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI. Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM KARAKTERISTIK FUNGSI SET-VALUED YANG MONOTON MAKSIMAL DI RUANG DUAL SKRIPSI Oleh: CHOIRUN NIKMAH NIM. 06510003 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

Lebih terperinci

TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space)

TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space) Jural Barekeg Vol. 5 No. Hal. 8 (0) TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Ries Frechet Represetatio Theorem i Hilbert Space) MOZART W TALAKUA, STENLY JONDRY NANURU Staf Jurusa Matematika

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD)

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD) SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD) Muhamad Zaki Riyato NIM: 02/156792/PA/08944 E-mail: zaki@mail.ugm.ac.id http://zaki.math.web.id Dose Pembimbig: Pof. D. Si Wahyui Pedahulua Sebelum melagkah

Lebih terperinci

ANALISIS TENTANG GRAF PERFECT

ANALISIS TENTANG GRAF PERFECT Aalisis Tetag Graf Perfect ANALISIS TENTANG GRAF PERFET Nurul Imamah AH Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Pesatre Tiggi Darul Ulum Jombag urul.imamah86@gmail.com Abstrak Seirig perkembaga

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN Dose Pegampu : Pof. D. Si Wahyui DISUSUN OLEH: Nama : Muh. Zaki Riyato Nim : 02/156792/PA/08944 Pogam Studi : Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai

Lebih terperinci

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY musthofa@uy.ac.id Abstrak Jika A matriks atas lapaga, maka pasti terdapat dega tuggal suatu matriks B yag

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan di kelas X SMA Muhammadiyah 1 Pekanbaru. semester ganjil tahun ajaran 2013/2014.

BAB III METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan di kelas X SMA Muhammadiyah 1 Pekanbaru. semester ganjil tahun ajaran 2013/2014. BAB III METODE PENELITIAN A. Waktu da Tempat Peelitia Peelitia dilaksaaka dari bula Agustus-September 03.Peelitia ii dilakuka di kelas X SMA Muhammadiyah Pekabaru semester gajil tahu ajara 03/04. B. Subjek

Lebih terperinci

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci