SKRIPSI L LEBESGUE RUANG ISMAIL 02/154094/PA/08715

Transkripsi

1 SKRIPSI RUANG P L LEBESGUE ISMAIL 02/54094/PA/0875 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA 2007

2 SKRIPSI RUANG P L LEBESGUE Sebagai salah satu syarat utuk memeroleh gelar sarjaa S Program Studi Matematika ada Jurusa Matematika ISMAIL 02/54094/PA/0875 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA 2007

3 Takut aka TUHAN adalah ermulaa egetahua, tetai orag bodoh meghia hikmat da didika. (Amsal :7) Serahkalah erbuatamu keada TUHAN, maka terlaksaalah segala recaamu TUHAN membuat segala sesuatu utuk tujuaya masig-masig. (Amsal 6: 3-4a) Da ajarlah mereka melakuka segala sesuatu yag Kueritahka keadamu. Da ketahuilah Aku meyertai kamu samai keada akhir zama. (matius 28: 20) Persembaha Teridah Utuk : Baak da mama tercita, Kak Nia, kak Jusy, kak Eda, adikku Ade, serta Yui, Askar da Has. Yag selalu memberi keercayaa, kesemata, dukuga, doa serta cita. Hadiah teridah dari Allah buatku adalah keluarga ii. iii

4 KATA PENGANTAR Puji syukur keada Allah yag Maha kuasa, atas berkat serta eyertaa- Nya sehigga eulis daat meyelesaika skrisi ii. Skrisi dega judul Ruag L Lebesgue disusu sebagai salah satu syarat utuk memeroleh gelar sarjaa strata di Program Studi Matematika Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Gadjah Mada. Peulis igi megucaka terima kasih keada berbagai ihak yag telah membatu eulisa skrisi ii:. Baak Yusu M.A Math sebagai dose embimbig yag telah bersedia meluagka waktu da ikira dega euh kesabara higga akhirya eulis daat meyelesaika skrisi ii. 2. Baak Drs. Mochammad Tari, M.si selaku dose wali akademik atas segala egaraha selama eulis belajar di Fakultas MIPA Uiversitas Gadjah Mada. 3. Dose egajar di Fakultas MIPA Uiversitas Gadjah Mada yag telah membimbig eulis dalam roses belajar. 4. Baak da Mama tercita. 5. Kakak-kakakku: Kak Nia da keluarga, Kak Jusy, Kak Eda da keluarga da dukuga yag sagat berarti dari adikku Ade Amra Lolo serta oaka-oakaku: Yui, Askar da Has. 6. Mbak Nalvi da Weda. iv

5 7. Om da tate serta seuu-seuu di kamug. 8. Teteh, Mo, Nuri, Mas Udhi da semua mahasiswa matematika agkata Aak kost Pagkur da Blimbig Sari. 0. (Alm.) Nacy, Astry, Lidia, Wika, Iis da Sesilia terima kasih telah berbagi bayak hal tetag kehidua da memberi semagat saat egerjaa skrisi ii.. Semua tema-tema KKN, terutama Sub-Uit Jatiroto: Maber, Paber, tate Tuty, Brtot, sesilia. 2. Semua tema-tema relawa Geraka Kemausiaa Idoesia, salut buat kalia. Tuha memberkati. Peulis meyadari eulisa Skrisi ii masih jauh dari semura. Kareaya eulis megharaka sara da kritik yag siatya membagu sehigga skrisi ii daat memberi maaat. Yogyakarta, Jui 2007 eulis v

6 INTISARI RUANG L LEBESGUE Oleh: ISMAIL 02/54094/PA/0875 Dalam skrisi ii dielajari megeai ruag L Lebesgue, dimulai dega medeiisika kelas-kelas dalam ruag L Lebesgue, yag dibetuk berdasarka ugsi teritegral Lebesgue da essesial suremum suatu ugsi dalam L. Kemudia medeiisika orma dalam L, ruag tersebut meruaka ruag Baach meurut orma yag telah dideiisika sebelumya. vi

7 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL..i LEMBAR PENGESAHAN.ii LEMBAR PERSEMBAHAN.iii KATA PENGANTAR iv INTISARI vi DAFTAR ISI.. vii DAFTAR SIMBOL..x BAB I PENDAHULUAN II. Latar Belakag..... II.2 Maksud da Tujua 2 II.3 Batasa Masalah.2 II.4 Tijaua Pustaka 2 II.5 Metode Peulisa...2 II.6 Sistematika Peulisa.2 BAB II DASAR TEORI...4 II. Himua.. 4 II.2 Beberaa Kose Dalam.6 II.3 Suremum da Iimum...9 II.4 Barisa Dalam da Kekovergeaya II.5 Kekotiua Fugsi...4 II.6 Ruag Liear...7 vii

8 II.7 Ruag Metrik da Ruag Berorma...2 BAB III HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR DAN INTEGRAL LEBESGUE 30 III. Himua Terukur..30 III.2 Fugsi Terukur...42 III.3 Itegral Lebesgue...49 BAB IV RUANG L LEBESGUE 56 IV. Kelas-kelas L 56 IV.2 Pertidaksamaa Holder da Mikowski.6 IV.3 Ruag Baach L...70 IV.4 Kekovergea Rata-rata 74 IV.5 Siat-siat Ruag L IV.6 Fugsioal Liear Terbatas dalam 77 L 80 BAB V KESIMPULAN...90 DAFTAR PUSTAKA 92 viii

9 DAFTAR SIMBOL : eleme/aggota : buka aggota : himua kosog : himua bagia : gabuga atau uio : irisa atau itersectio : terdaat : utuk semua : himua semua bilaga real : himua semua bilaga asli : himua semua bilaga komleks : bukti selesai : A B : ugsi atau emetaa dega domai A da rage B g : ekuivale g ( a) Nδ : ersekitara a dega jari-jariδ c A A l( I ) : komleme dari A : aljabar himua : ajag iterval I * m ( E ) : ukura luar Lebesgue E m( E ) : ukura Lebesgue E ix

10 χ E : ugsi karakteristik : itegral Lebesgue ugsi ada E E. : orma ( X,.) : ruag berorma : imlikasi : biilikasi L E : kelas ugsi yag teritegral (-itegrable) terhada E. : orma ada L R b : itegral Reima ugsi ada [ ab, ] a x dx x

11 BAB I PENDAHULUAN I. Latar Belakag Masalah Aalisis meruaka salah satu bagia dari matematika, disamig aljabar kombiatorika, teori himua, geometri, toologi da matematika teraa. Hal-hal yag dibahas dalam aalisis adalah bagia-bagia yag terkait dega objek-objek abstrak, seerti: himua-himua bilaga, titik-titik geometri atau himua ugsi-ugsi yag memetaka bilaga ke bilaga atau titik ke titik. Dalam aalisis telah bayak dibahas megeai ruag da siat-siatya, misalya ruag ugsi-ugsi terukur da orma yag dideiisika dega itegral. Ruag L Lebesgue termasuk salah satu ruag yag dibagu dari ugsiugsi terukur da orma yag dideiisika dega itegral. Keguaa ruag yag dibagu dari ugsi terukur dalam bidag statistik da beberaa bidag laiya megakibatka ruag dibahas. L Lebesgue sagat etig utuk dielajari da I.2 Maksud da Tujua Selai utuk memeuhi syarat kelulusa rogram strata - (s) Program Studi Matematika Uiversitas Gadjah Mada, eyusua skrisi ii bertujua

12 utuk memelajari masalah ruag L Lebesgue, siat kelegkaa serta siat-siat yag laiya. I.3 Batasa Masalah Pada eyusua skrisi ii yag dielajari adalah kelas-kelas ruag L Lebesgue, siat-siat ruag L Lebesgue da ugsioal liear terbatas dalam ruag L Lebesgue. I.4 Tijaua Pustaka Himua da beberaa siatya serta beberaa kose dalam himua semua bilaga real sudah bayak dibahas oleh Robert G. Bartle da Doald R. Shebert (982). Selai itu masalah Ruag Liear, sub ruag dibahas oleh Howart Ato (992). Selajutya, egertia tetag ukura, himua terukur, ugsi terukur da Itegral Lebesgue serta masalah laiya dibahas oleh P.K. Jai da V.P. Guta (976) serta Whedee (977). I.5 Metode Peulisa Metode eulisa adalah studi literature. Peulis memelajari reeresireeresi yag berkaita dega ruag L Lebesgue, serta baha-baha edukug lai yag medukug eyusua skrisi ii. 2

13 I.6 Sistematika Peulisa Peulisa skrisi ii aka dibagi dalam beberaa bab. Susua embagia bab-bab tersebut adalah: Bab I: Pedahulua. Pada bab ii aka dibahas latar belakag, maksud da tujua, embatasa masalah, tijaua ustaka, metode eulisa da sistematika eulisa. Bab II: Dasar teori. Pada bab ii aka dibahas dasar-dasar teori yag aka diguaka ada bab-bab selajutya seerti ruag liear, ruag metrik, kekovergea ada ugsi berilai real, serta teori-teori laiya yag membatu. Bab III: Himua terukur, Fugsi Terukur da Itergral Lebesgue. Pada bab ii aka dibahas megeai ukura Lebesgue, ugsi terukur Lebesgue da itegral Lebesgue. Bab IV: Ruag yag ada dalam ruag L L Lebesgue. Pada bab ii aka megeai kelas-kelas Lebesgue, ertidaksamaa Holder da Mikowski, ruag Baach L, siat-siat ruag L Lebesgue da ugsioal liear terbatas dalam ruag L Lebesgue. Bab V: Kesimula. Bab ii berisi kesimula dari materi-materi yag telah dibahas ada bab sebelumya. 3

14 BAB II DASAR TEORI Pada bab ii diberika beberaa deiisi da teorema yag diguaka sebagai edukug di dalam eyusua skrisi ii. II. Himua Dalam sub bab ii dibicaraka egertia himua, oerasi da siat yag berlaku ada himua, serta egertia tetag relasi da ugsi. Deiisi 2.. Himua adalah sekumula eleme-eleme atau usur yag memeuhi suatu atura keaggotaa tertetu. Jika x aggota himua H, diotasika dega x H. Deiisi 2..2 Himua K disebut himua bagia H, ditulis dega otasi K H, jika setia aggota K mejadi aggota H. Deiisi 2..3 Irisa (itersectio) dua himua H da himua K dideiisika sebagai himua yag aggota-aggotaya terdiri atas semua aggota yag sekaligus berada di dalam himua H da di dalam himua K. 4

15 Irisa himua H da himua K diotasika dega H K. Deiisi 2..4 Gabuga (Uio) dua himua H da himua K dideiisika sebagai himua yag aggota-aggotaya terdiri atas semua aggota yag berada di dalam himua H atau didalam himua K. Gabuga himua H da himua K diotasika dega H K. Deiisi 2..5 Diberika sebarag himua A da Himua B. (i) Relasi dari A ke B adalah erkawaa aggota-aggota himua A da aggota himua B. (ii) Fugsi dari A ke B adalah relasi yag memeuhi syarat setia aggota himua memuyai teat satu kawa di himua B. Fugsi dari A ke B diotasika dega : A B. Deiisi 2..6 Diberika sebarag dua himua A da himua B serta ugsi : A B. Fugsi dikataka bijekti jika memeuhi syarat sebagai berikut: (i) Jika ( x ) ( x ) = maka x = x2, utuk setia x, x2 A da 2 (ii) Utuk setia y B terdaat x A sehigga y = ( x) Dari Deiisi 2..6 aka diberika deiisi dua himua yag ekuivale. 5

16 Deiisi 2..7 : A B. Dua himua A da B dikataka ekuivale jika terdaat ugsi bijekti Deiisi 2..8 Suatu himua A dikataka berhigga (iite) jika A ekuivale dega {, 2,3, } utuk suatu, jika tidak demikia disebut tak berhigga (iiite). Deiisi 2..9 Himuaa A dikataka terhitug (coutable) jika A ekuivale dega, da jika tidak demikia disebut tak terhitug (ucoutable). II.2 Beberaa Kose Dalam Dalam sub bab berikut ii aka dielihatka beberaa kose dalam seerti: ersekitara, titik limit, kekovergea da kose-kose lai yag berkaita. Deiisi 2.2. Diberika a da δ > 0, ersekitara titik a dega jari-jari δ dideiisika sebagai = { : < δ} N a x x a. δ 6

17 Deiisi Diberika himua A. Titik a c c disebut titik limit A jika setia Nδ ( c) memuat suatu a dega atau c titik limit A jika (haya jika) ( Nδ ( c) )( Nδ ( c) \{ c} A ). Cotoh Titik Diberika A = ( 0,]. c =, dega δ > 0 maka 2 Nδ = x : x < δ = δ < x < + δ da diatara 2 da 2 + δ selalu ada miimal bilaga rasioal da bilaga irasioal, jadi titik c = titik limit A. 2 Selajutya, berdasarka deiisi titik limit tersebut, aka diberika deiisi-deiisi yag terkait dega titik limit. Deiisi Titik-titik aggota A yag buka titik limit disebut titik terasig. 7

18 Deiisi Titik a disebut titik dalam (iterior oit) himua A jika terdaat 0 Nδ a A. δ > sehigga Setelah diberika deiisi titik dalam, aka diberika deiisi himua terbuka, himua tertutu da liut terbuka. Deiisi Himua A disebut himua terbuka jika semua aggotaya meruaka titik dalam (iterior oit). Deiisi Himua A disebut himua tertutu jika c A = A terbuka. Deiisi Diberika sebarag himua E da H keluarga himua terbuka dalam. Keluarga himua H disebut liut terbuka (oe cover) jika E Gi dega i i= G H, i. Selajutya, jika B H serta B liut terbuka E maka B disebut liut bagia (sub cover) dari H utuk E. 8

19 II.3 Suremum da Iimum Berikut ii diberika deiisi batas atas, batas bawah, suremum da iimum suatu himua. Deiisi 2.3. Diberika himua S, S. a) Bilaga real u disebut batas atas himua S jika x u utuk setia x S. Jika S memuyai batas atas maka A dikataka terbatas ke atas. b) Bilaga real v disebut batas bawah himua S jika x v utuk setia x S. Jika S memuyai batas bawah maka A dikataka terbatas ke bawah. c) S dikataka terbatas jika S memuyai batas atas da batas bawah. Deiisi Diberika himua S, S. ) Bilaga real M disebut batas atas terkecil (suremum) dari S, ditulis M = su( S ), jika (i) x (ii) M M, x S. u, u batas atas S. 2) Bilaga real m disebut batas bawah terbesar (iimum) dari S, ditulis m= i ( S), jika (i) x m, x S. 9

20 (ii) M v, v batas bawah S. Setelah diberika deiisi tersebut, maka siat-siatya aka diberika dalam teorema berikut. Teorema Diberika himua S, S berlaku. (i) Jika S terbatas ke atas, maka S memuyai suremum. (ii) Jika S terbatas ke bawah, maka S memuyai iimum (iii)jika M su( S ) =, maka utuk setia ε > 0 x0 S sehigga M ε < x0 (iv) Jika (v) Jika m= i S, maka utuk setia ε > 0 x S sehigga M + ε < x A B, maka su A su B da i A i B. (vi) Jika x a, x S (vii) Jika x a, x S, maka su( S) a, maka su( S) a II.4 Barisa Dalam da Kekovergeaya Dalam sub bab berikut aka dibicaraka barisa di dalam kekovergeaya. serta 0

21 Deiisi 2.4. Barisa bilaga real (sigkatya disebut barisa) adalah ugsi dari } ke, barisa ditulis { x dega x, utuk setia. Deiisi Titik x disebut titik limit barisa { } x jika utuk setia ε > 0 terdaat bilaga asli sehigga utuk setia berlaku 0 0 x x < ε. Dalam hal ii, dikataka barisa { } x koverge ke x, ditulis lim x = x. Deiisi Barisa { x } dikataka terbatas jika terdaat bilaga M 0 sehigga x M, utuk setia. Teorema Bukti Jika barisa { x } dega x koverge maka { } x terbatas. Dimisalka { x } koverge ke x, diambil ε =, maka terdaat 0 sehigga utuk 0 berlaku x x < atau dega kata lai < x0 x < atau x < x0 < +x. Karea x x maka utuk 0 berlaku x < + x.

22 Padag himua { x, x2,, x } 0,+ x. Diilih M = max { x, x2,, x } 0,+ x maka x M utuk setia. Deiisi Diberika barisa ugsi { }, : A, dega. Barisa ugsi { } dikataka koverge demi titik ada A0 A ke ugsi jika x A0 berlaku lim ( x) = ( x). Dega kata lai, barisa { } ( x ). x koverge ke Cotoh Barisa ugsi { } dega : ( x) = x 2 x = x/2 3 x = x/3 / x = x x lim ( x) = lim = xlim = x 0 = 0 2

23 { } Jadi ( x) x = koverge titik demi titik ke ugsi dega : 0 x = x. Deiisi Barisa ugsi { }, : A dikataka koverge seragam (uiormly coverget) ke ugsi : A0 A ada A0. Jika utuk setia ε > 0 terdaat k, sehigga utuk setia kda utuk setia x x < ε. berlaku x A 0 Cotoh Diberika barisa ugsi { }, dega : da ( x) x = Utuk { } x =, maka barisa bilaga real () = koverge ke 0. Utuk { } x = 0, maka barisa bilaga real ( 0) 0 = koverge ke 0. Jadi, barisa ugsi { } koverge titik demi titik ada ke ugsi : dega ( x ) = 0 x. Barisa ugsi { } tidak koverge seragam ada sebab utuk ε 0 = utuk setia terdaat x dega k i k = k da x k = k dega siat 3

24 = x x k k k k k k = 0 = ε 0 II.5 Kekotiua Fugsi Pada bagia ugsi ii dibicaraka egertia ugsi kotiu da siat-siat ugsi kotiu. Deiisi 2.5. Suatu ugsi yag dideiisika ada A dikataka terbatas jika terdaat M 0 sehigga utuk setia x A berlaku x M. Deiisi Diberika A da a A. Fugsi : A dikataka Kotiu di a jika utuk setia ε > 0 terdaat δ > 0 sehigga utuk setia x A dega x a δ x a < ε. < berlaku Setelah diberika egertia tetag ugsi kotiu, maka aka diberika siat-siat ugsi kotiu dalam teorema berikut. 4

25 Teorema Jika kotiu di c, maka terdaat N ( c) berlaku x N c δ x M δ da M > 0 sehigga utuk atau dega kata lai, jika kotiu di c, maka terbatas ada suatu N ( c) δ Bukti Ambil ε =, terdaat δ > 0 sehigga utuk x A dega x c < δ berlaku ( x) ( c) <. Karea ( x) ( c) ( x) ( c) ( x) ( c) <, maka < + ( c ), utuk x A N ( c) x. δ Teorema Jika ugsi-ugsi, g: A kotiu di c A, maka ugsi-ugsi + g, g, k kotiu di c. Bukti (i) Ambil sebarag ε > 0. Karea kotiu di c, maka terdaat δ > 0 sehigga utuk x A da x c δ x c < ε. < berlaku 5

26 Karea g kotiu di c, maka terdaat δ 2 > 0 sehigga utuk x A da x c < δ 2 berlaku g( x) g( c) < ε. Utuk x c δ < dega δ mi { δ, δ } =. 2 ( + g)( x) ( + g)( c) = ( x) + g( x) ( c) g( c) Karea ε sebarag, maka berlaku Jadi + g kotiu di c. (ii) Ambil sebarag ε > 0. Karea terbatas, maka terdaat N ( c) ( x) M, x N ( c). δ ( x) ( c) + g( x) g( c) < ε + ε = 2ε. ( + g)( x) ( + g)( c) < ε. δ da terdaat M > 0 sehigga utuk Karea kotiu di c, maka terdaat δ 2 > 0 sehigga utuk x A da x c < δ 2 x c < ε M. berlaku /2 Karea g kotiu di c, maka terdaat δ 3 > 0 sehigga utuk x A da x c < δ3 berlaku g( x) g( c) ε /2g( c) <. Pilih δ mi { δ, δ, δ } =. 2 3 g( x) g( c) = ( x) g( x) ( c) g( c) 6

27 = ( x) g( x) ( x) g( c) + ( x) g( c) ( c) g( c) ( x) g( x) ( x) g( c) + ( x) g( c) ( c) g( c) = ( x) g( x) g( c) + ( x) ( c) g( c) < Mε + ε g c ( M g( c) ) = ε + = ε Jadi g kotiu di c. (iii) Ambil ε > 0 sebarag. Karea kotiu di c, maka terdaat δ > 0 sehigga utuk utuk x A da x c δ = k x k c k x c = k ( x) ( c) < k ε k+ Jadi k kotiu di c. < berlaku ( x) ( c) < k+ ε II.6 Ruag Liear Pada sub bab ii diberika egertia tetag ruag liear. 7

28 Deiisi 2.6. Himua X disebut ruag liear atas laaga, jika X dilegkai dega oerasi jumlaha da oerasi erkalia skalar da memeuhi aksiomaaksioma berikut.. Jika x, y X maka x + y X. 2. x + y = y+ x x, y X. + + = + + x, yz, X. 3. x ( y z) ( x y) z 4. terdaat 0 X sehigga 0+ u = u+ 0= uutuk setia u X. 5. utuk u X terdaat u X yag disebut egative u, sehigga u+ ( u) = ( u) + u = jika k adalah sebarag sklar da u X maka ku X. 7. k u+ v = ku+ kv, uv, X. 8. k + l u = ku+ lu u X. 9. k lu = kl u, u X. 0. u = u, u X. Teorema Misalka V adalah sebuah ruag vektor, u adalah sebuah vektor ada V da k sebuah skalar, maka berlaku a) 0 u = u b) k 0= 0 c) ( ) u = u 8

29 d) Jika ku = 0 maka k = 0 atau u = 0 Selajutya egertia tetag ruag bagia diyataka dalam deiisi berikut. Teorema Himua bagia W dari sebuah ruag vektor V disebut ruag bagia (subsace) V jika W meruaka ruag vektor dega oerasi ejumlaha da erkalia skalar yag dideiisika ada V. Teorema Jika W adalah himua dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruag vektor V maka W adalah ruag bagia V jika da haya jika kodisi-kodisi berikut berlaku. a) Jika u da v adalah vektor ada W maka u + v terletak di W. b) Jika k adalah sebarag skalar da u adalah sebarag vektor ada W maka ku berada di W. 9

30 II.7 Ruag Metrik da Ruag Berorma Dalam sub bab ii aka dibicaraka egertia ruag metrik, ruag berorma, barisa Cauchy kemudia dideiisika ruag Baach utuk diguaka ada embicaraa berikuya. Deiisi 2.7. Diketahui himua kosog X. Fugsi d : X X i (, ) 0 yag memeuhi d x y x, y X. d x, y = 0 x = y x, y X. ii iii d( x, y) d( y, x) = x, y X. +, x, yz, X. iv d( x, y) d( x, z) d( z y) disebut ugsi jarak atau metrik. Himua X yag dierlegkai dega metrik d ditulis ( X, d ). Deiisi Diberika X ruag liear atas laaga bilaga real atau bilaga komkles. Norma dalam X meruaka ugsi berilai real. dalam X dega siat-siat sebagai berikut: N. x 0 da x = 0 x= 0 x X 20

31 N2. x + y x + y x, y X N3. ax = a x x X da a skalar Deiisi Ruag liear X yag dilegkai dega orma. diamaka ruag liear berorma atau disigkat ruag berorma. Ruag berorma yag dideiisika di atas diotasika dega ( X, ) yag serig ditulis dega X saja. Cotoh Diketahui X = [ ab, ] himua semua ugsi ada [, ] { } ab. Dega orma = su ( x) : x [ a, b] [ ab, ]. Maka ( X, ) meruaka ruag berorma. Bukti Karea X [ ab, ] = ruag liear maka cuku ditujukka bahwa. suatu orma. { }. Jika [ ab, ] maka ( x) x [ a b] = su :, 0 da { [ ]} [ ] = su x : x a, b = 0 x = 0 x a, b = 0 2

32 N dieuhi 2. [ ab, ] da skalar a, aka berlaku { [ ]} a = su a x : x a, b { a ( x) x [ a b] } = su :, { [ ]} = a su x : x a, b = a N2 dieuhi. { } 3., g [ a, b ] berlaku + g = su ( x) + g( x) : x [ a, b ] N3 dieuhi. { ( x) g( x) x [ a b] } su + :, { ( x) x [ a b] } g( x) x [ a b] { } su :, + su :, = + g Jadi,. meruaka orma ada X, da ( X, ) meruaka ruag berorma. Teorema Jika ( X, ) ruag berorma maka X meruaka metrik terhada d dega d( x, y) x y = x, y X. 22

33 Bukti Diambil sebarag x, yz, X sehigga berlaku ) d x, y = x y 0 d x, y = x y = 0 x y = 0 x= y 2) d( x, y) = x y = ( )( y x) = y x = y x = d( y, x) 3) d( x, y) = x y = ( x z) + ( z y) x z + z y (, ) d( z, y) = d x z + Terbukti d meruaka metrik terhada X. Dega demikia, terbukti bahwa ( X, ) meruaka ruag metrik terhada d yag didediisika dega d( x, y) x y = x, y X. 23

34 Deiisi Barisa { x } didalam ruag berorma X dikataka koverge ke x X, jika diberika ε > 0, terdaat bilaga asli N sehigga berlaku x x < ε utuk setia N Dalam hal ii ditulis x x atau lim x = x. Deiisi Barisa { x } didalam ruag berorma X disebut barisa Cauchy jika diberika ε > 0, terdaat bilaga asli N sehigga berlaku x x < ε utuk setia m, N m Deiisi Suatu ruag berorma dikataka legka jika setia barisa Cauchy yag terdaat didalamya koverge, jelasya utuk setia barisa Cauchy { x } dalam X, terdaat eleme x dalam X sehigga x x. Deiisi Ruag berorma yag legka disebut ruag Baach. 24

35 Cotoh Ruag da ruag (himua semua bilaga real da bilaga komleks) meruaka ruag Baach dega orma. dideiisika sebagai x = x, x ( atau ). Deiisi 2.7. Barisa { x } dalam ruag berorma X dikataka terjumlah (summable) ke suatu jumlaha s jika { s } yaitu jumlaha arsial dari deret ke s X. Atau s s 0 jika xk koverge k= xk s 0 jika k = Deiisi Barisa { x } dalam ruag berorma X dikataka terjumlah absolute (absolutely summable) jika xk <. k = 25

36 Teorema Ruag berorma X legka jika da haya jika setia barisa yag terjumlah absolute (absolutely summable) dalam X juga terjumlah (summable). Bukti Diketahui ruag berorma X legka. Diberika { x } barisa yag terjumlah absolute dalam X maka = x = M < Karea itu, utuk setia ε > 0, terdaat N sehigga x < ε. = Kataka s = xk k= meruaka jumlaha arsial dari = x. Utuk m > N dieroleh s s = x m k k= m+ xk xk ε. k= m+ k= N < Jadi barisa { s } meruaka barisa Cauchy dalam X, karea X legka maka { s } asti aka koverge ke suatu s X. Karea itu { } x terjumlah dalam X. 26

37 Diketahui setia barisa terjumlah absolute dalam X memiliki siat terjumlah. Diberika { x } barisa Cauchy dalam X maka utuk setia k, diberika ε = > 0, terdaat sehigga 2 k k x x < m, > k. 2 m k Diilih dega, maka betuk k k + > k { } y = x x meruaka sub barisa dari { x } k, di y = x x 2 2 y = x x k k k Dieroleh k. y = x, t= t 2. y t <, k >, k 2 berakibat k yk y y k= k= 2 < + 2 = + < Jadi, barisa { x } terjumlah absolute da karea itu terjumlah ke suatu x X. 27

38 Karea { x } berisa Cuchy, diberika ε > 0 terdaat N sehigga Lebih lajut, karea x ε xm < m, > N 2 x k koverge ke x, terdaat K sehigga x k ε x < k > K 2 Diilih k sagat besar k N da > N. Karea itu > k x x x x + x x k k ε ε < + < ε > K. 2 2 Berikut ii aka diberika deiisi ugsioal liear da ugsioal liear terbatas. Deiisi Diberika X ruag berorma atas laaga (atau ). Pemetaa : X (atau ) disebut ugsioal liear ada X jika ( α β ) α β x+ y = x + y, utuk setia x, y X da α, β (atau ). Deiisi Suatu ugsioal liear ada ruag berorma X dikataka terbatas jika terdaat K > 0 sehigga 28

39 ( x) K x. x X () Nilai terkecil K sehigga eryataa () berlaku disebut orma, ditulis dega. Selajutya, dieroleh atau da juga ( x) = su : x 0 da x X x { } = su x : x Xda x = ( x) x x X. 29

40 BAB III HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR DAN INTEGRAL LEBESGUE Pada bab ii diberika deiisi himua terukur, ugsi terukur da itegral Lebesgue, yag diguaka sebagai edukug dalam embahasa skrisi ii. III. Himua Terukur Pada bagia ii dibicaraka himua terukur da beberaa siat-siatya. Deiisi 3.. Diketahui X Koleksi A= { A: A X} disebut aljabar himua jika i. AB, A A B A ii. c A A A A Dega megguaka hukum De Morga jika X da A aljabar himua dieroleh AB, A A B A Deiisi 3..2 Diberika X da koleksi A= { A: A X} disebut aljabar_σ jika i. A A A A i i= i 30

41 ii. c A A A A berikut. Pegertia tetag ukura luar suatu himua, diberika dalam deiisi Deiisi 3..3 Diberika iterval terbatas I, dega titik-titik ujugya a da b, kataka a b. Pajag iterval I, ditulis l(i) dega li = b a Deiisi 3..4 Diberika himua = { I / I iterval terbuka} J da himua E Ukura luar Lebesgue atau ukura luar E dideiisika sebagai * m ( E) = i l( Ii) / Ii J, E Ii i= i= Berdasarka egertia di atas, daat ditujukka beberaa siat yag berkaita dega ukura luar, yag diyataka dalam teorema berikut: Teorema 3..5 (Guta 976, hal 56) Diberika himua AB, * a) m A 0, utuk semua himua A. 3

42 * b) m = 0 c) Jika diberika himua A da B dega A B maka m * A m * B. * d) m A = 0 utuk setia himua A sigleto. * * e) Fugsi m* bersiat traslasi ivariat artiya ( setia himua A da x. m A+ x = m A) utuk Teorema 3..6 (Guta 976, hal 57) Ukura luar dari suatu iterval adalah ajag dari iterval tersebut. subadditivity. Dalam teorema berikut, dierlihatka bahwa * m bersiat coutable Teorema 3..7 (Guta 976, hal 58) Diberika koleksi terhitug himua-himua { E } maka berlaku * * m E m E = = Akibat 3..8 * Jika E himua terhitug (coutable), maka m ( E ). Bukti Karea himua E terhitug, maka daat diyataka dega 32

43 {,,,, } E a a2 a = Diberika ε > 0, utuk setia a i terliut dalam I i dega li = 2 ε ( i =,2, ) dieroleh * Jadi, m E = 0. * 2 i i= i= m E l I = ε = ε Berdasarka egertia ukura luar di atas dieroleh egertia ukura Lebesgue da ada bagia berikut aka dibicaraka beberaa siat himua terukur. Deiisi 3..9 Himua E dikataka terukur Lebesgue selajutya dikataka terukur jika utuk setia himua A berlaku c Karea A ( A E) ( A E ) maka jelas berlaku = ( ) + ( ) m A m A E m A E * * * c * = da m bersiat coutable subadditivity, ( ) + ( ) m A m A E m A E * * * c Oleh karea itu, utuk membuktika bahwa suatu himua E terukur haya erlu dibuktika bahwa berlaku 33

44 ( ) + ( ) m A m A E m A E * * * c Pada teorema-teorema berikut diberika beberaa siat himua terukur. Teorema 3..0 c a) Jika E terukur maka E juga terukur. b) da meruaka himua terukur. Bukti a) Diketahui E terukur berarti utuk A berlaku = ( ) + ( ) m A m A E m A E * * * c c c c ( ) = + m * A E m * A E c c c = + m * A E m * A E Jadi c E terukur. b) Terlebih dahulu aka dibuktika terukur Ambil sebarag A Karea ( A ) maka m * ( A ) m * = 0 c Karea ( A ) A maka m * ( A c ) m * ( A) Dieroleh m * ( ) m * ( A ) + m * ( A c ) terukur Megguaka siat a) dieroleh terukur. 34

45 Teorema 3.. Jika * m E = 0, maka E terukur. Selajutya setia subset E terukur. Bukti Diberika A sebarag himua, Karea A E E dieroleh m * ( A E) m * ( E) = 0 c da ( A E ) Adieroleh m * ( A E c ) m * ( A) da berlaku ( ) + ( ) m A m A E m A E * * * c + m * A m * E m * A 0 + * * m A m A + m * A m * A Terbukti E terukur. Kemudia aka dibuktika setia subset E juga terukur. Diambil sebarag B E Maka * * m B m E Akibatya m* (B) 0, jadi m* (B) = 0 Meurut bukti sebelumya, B terukur. Teoreme 3..2 (guta 976. hal 66) E E2 2 Jika da himua terukur maka E E terukur. 35

46 Bukti Diambil sebarag himua A c Aka ditujukka m * ( A) m * ( A [ E ]) * E2 + m A [ E E2] Diketahui E2 himua terukur, maka utuk setia c = ( 2) + ( 2 ) * * * m A m A E m A E A berlaku c Akibatya utuk A E dieroleh c c ( 2) [ ] c m * A E = m * A E E + m * A E E 2 () Karea A ( E E ) = ( A E ) ( A E ) maka dieroleh 2 2 c ( 2) [ ] = A E E A E E2 ( A E) ( A E c E2) = c ( [ 2] ) ( ) + ( 2) m * A E E m * A E m * A E E Dari () da (2) dieroleh ( [ 2] ) + [ 2] (2) c m * A E E m * A E E c c ( ) [ ] m * A E * * + m A E E2 + m A E E2 c c c ( 2) ( ) * * * = m A E + m A E E + m A E E2 c c c ( 2) ( ) * * * = m A E + m A E E + m A E E2 c ( ) = + * * m A E m A E 36

47 = * m ( A) Terbukti E E 2 terukur. Teorema 3..3 Jika E, E2,, E himua-himua terukur Lebesgue yag salig asig, maka utuk setia A berlaku * * m A Ei = m A Ei i= i= Bukti (dega iduksi matematika) Utuk = teorema jelas berlaku karea ( ) = ( ) m A E m A E * * Diadaika bear utuk maka berlaku * * m A Ei = m A E i= i= selajutya aka dibuktika bear utuk. Karea da E, E2,, E salig asig maka * A Ei E = m A E i i= i= c A Ei E = A E i i= i= Oleh karea itu 37

48 * * * m A Ei = m A Ei E + m A Ei E i= i= i= c * * = m ( A E) + m A Ei i= * * ( i). = m A E + m A E i= * = m ( A E ). i= i Teorema 3..4 Jika koleksi semua himua terukur dalam diamaka M, maka M meruaka Aljabar_σ. Deiisi Diketahui ugsi : M = [ 0. ] Utuk setia, m disebut ukura Lebesgue. m + * E M m( E) = m ( E) Teorema 3..6 Jika {E} meruaka barisa himua terukur, maka m Ei m Ei i= i= Lebih lajut lagi jika {E} salig asig, maka 38

49 m E = m E i= i= i ( i). Bukti Dega megambil A = meurut Teorema 3..7 dieroleh m Ei m Ei i= i= Jika { E i } barisa berhigga himua terukur salig asig dega megambil A = di dalam Teorema 3..3 dieroleh i = i= m E m Ei i= Jika barisa { E i } iiite dari himua terukur salig asig maka E Ei i i= i= Akibatya Jadi i i i= i= i m E m E = m E i= m E m E i ( i) (i) i= i= Karea ruas kiri (i) tidak tergatug ada, maka Meurut Teorema 3..7 dieroleh m E m E i ( i). (ii) i= i= 39

50 m E m E i= i= i ( i )/ (iii) Dari (ii) da (iii) dieroleh m Ei = m Ei i= i=. Teorema 3..7 (Guta 976, hal 75) Jika { } i E barisa himua terukur turu mooto yaitu E E ; i =, 2, da terdaat i dega m( E i ) <, maka m Ei = lim E i= i+ i Akibat 3..8 (Guta 976, hal 76) maka Jika { } i E barisa himua terukur turu mooto da m E <, m E = E i= i lim. i Teorema 3..9 Diberika E himua terukur, maka utuk suatu traslasi E + y juga terukur da m (E + y) = m (E). 40

51 Bukti Diberika sebarag himua A. karea E terukur maka berlaku * * * c m A = m A E + m A E. Diketahui bahwa * m bersiat traslasi ivariat maka dieroleh [ ] ( ) m * A+ y = m * A E + y + m * A E c + y Karea [ A E] + y = ( A+ y) ( E+ y) da c c A E + y = A+ y E + y maka ([ ] [ ]) [ ] ( ) m * A+ y = m * A+ y E+ y + m * A+ y E c + y Karea A sebarag maka A daat digati dega A y maka dieroleh c karea E + y = ( E+ y) c jadi E + y terukur. Karea m (E+ y) = m (E). = ( + ) + ( + ) m * A m * A E y m * A E c y * m bersiat traslasi ivaria maka bear bahwa Deiisi Himua terukur E dikataka berukura ol jika m (E) = 0. Suatu siat dikataka berlaku hamir di maa-maa (almost everywhere) jika siat tersebut berlaku ada E kecuali ada himua bagia E yag berukura ol. 4

52 III.2 Fugsi Terukur Pada bagia ii dibicaraka egertia ugsi terukur, yag memuyai eraa yag sagat etig utuk medeiisika itegral Lebesgue. Deiisi 3.2. Fugsi berilai real yag dierluas yag dideiisika ada E dikataka terukur Lebesgue atau terukur ada E, jika himua { : } E > a = x E x > a terukur, utuk setia a. Berikut ii aka diberika beberaa oerasi da siat yag berlaku ada ugsi terukur. Teorema (Guta 976, hal 89) Diberika ugsi berilai real yag dierluas yag dideiisika ada E, maka eryataa-eryataa di bawah ii euivalet: a. Utuk setia a, E ( > a) terukur. b. Utuk setia a, E ( a) terukur. c. Utuk setia a, E ( < a) terukur. d. Utuk setia a, E ( a) terukur. Teorema (Guta 976, hal 95) Diberika da g ugsi-ugsi terukur ada E, da kostata c. maka setia ugsi di bawah ii terukur a. ± c b. c 42

53 c. + g d. g e.. 2 g. g h. / g dega g (x) 0, x E. Teorema (Guta 976, hal 03) ugsi terukur. Fugsi kotiu yag dideiisika ada himua terukur meruaka Teorema (Guta 976, hal 03) Jika g ugsi terukur ada himua terukur E da dideiisika ugsi kotiu ada rage g maka g meruaka ugsi terukur ada E. Deiisi Diberika ugsi berilai real. + bagia ositi da bagia egati. Keduaya dideiisika sebagai ugsi o-egati dega + = max (, 0), da = max (-, 0). Dieroleh 43

54 + = + da + = + Deiisi su Diberika barisa ugsi { i } dega i dideiisika ada E. meyataka suremum {, 2, } x x dega x E. Demikia halya dega i. Selajutya, limsu Atau daat diyataka dega Comtoh { 2 } limsu x, x, dega x E. meyataka limsu i = i su K k = su ( k) limi = limsu = su i. k Utuk setia, dideiisika ugsi :( 0,) ( x) jika 0 < x = 0 jika < x < utuk 0 < x { 2 } { } su = su x, x, = su, 2,3, 44

55 maka limsu = i su = K k { 2 } { } i = i x, x, = i,2,3, maka ( k) limi = su i = k utuk x < <, { 2 } { } su = su x, x, = su 0, 0, 0, maka limsu = i su k = 0 K { 2 } { } i = i x, x, = i 0,0,0, ( k) maka lim i = su i = 0 k Teorema (Guta 976, hal 04) Jika ugsi terukur ada E, maka, ( 0) >, ( c ) e, + da meruaka ugsi terukur ada E. Teorema (Guta 976, hal 06) ga keliru ta?buka Teorema 3.2.0? e sehigga Diketahui da g ugsi-ugsi yag dideiisika ada himua terukur terukur maka terukur. = g hamir di maa-maa (almost everywhere) ada E. Jika g Teorema 3.2. (Guta 976, hal 07) 45

56 Jika ugsi dideiisika ada himua terukur E da kotiu hamir di maa-maa (almost everywhere) ada E, maka terukur ada E. Deiisi Barisa ugsi { } yag dideiisika ada E dikataka koverge hamer di maa-maa ke ugsi jika lim x = x, Utuk setia x E E dega E E da m E =. 0 Teorema (Guta 976, hal 07) Jika barisa ugsi terukur { } koverge hamir di maa-maa (almost everywhere) ke ugsi, maka terukur. Berikut ii aka diberika deiisi ugsi tagga. Fugsi tagga aka sagat bergua dalam egitegrala. Deiisi Fugsi ρ: [ ab, ] disebut ugsi tagga jika terdaat artisi { a = x < x < x < < x = b} [ a b] 0 2, sehigga utuk setia subiterval ( x x ), i i, ugsi ρ berilai kosta 46

57 ρ ( x) = ci, x ( xi xi), i=, 2,,, Cotoh Fugsi :[, ] a b dega ( x) α = β jika a x< c jika c x b Jika α da β kosta, maka ugsi meruaka ugsi tagga. Fugsi karakteristik yag aka dideiisika berikut ii, meruaka bagia yag sagat etig dalam medeiisika itegral Lebesgue. Deiisi Diberika himua E da E X. Fugsi karakteristik χ E utuk E adalah ugsi berilai real ada X dega χ E ( x) jika x E = 0 jika x E. Beberaa siat sederhaa ugsi karakteristik aka diberika ada teorema berikut. Teorema (Guta 976, hal 00) Diberika A, B Eberlaku 47

58 (a) χ = 0 da χ =. (b) Jika A B maka χ A χ B.. E (c) χ A B χa χb χa B = +. (d) χ χ. χ = A B A B (e) Jika { E i } meruaka koleksi himua bagia E yag salig asig maka χ Ei i= = χ i= Ei Selajutya aka diberika deiisi ugsi sederhaa. Teori ii sagat bergua dalam membahas masalah ugsi terukur da juga itegral Lebesgue. Deiisi Fugsi : E disebut ugsi sederhaa, jika terdaat E, E2,, E da E E da c, c2,, c dega siat E = E da i= i ( x) ci =, x Ei ; i=, 2,, atau i E ( x) x = cχ i= i (i) Betuk (i) tidaklah tuggal. Jika E i E j = utuk setia i j, maka ugsi sederhaa = cχ dikataka berbetuk kaoik. i= i Ei 48

59 Teorema (Guta 976, hal 4) Diketahui ugsi terukur ada E maka terdaat barisa ugsi sederhaa { } yag koverge ke E. Utuk 0, barisa { } daat diilih sehigga 0 +,. III.3 Itegral Lebesgue Dalam sub bab ii aka dibahas Itegral Lebesgue da beberaa siatya, serta teorema yag lai yag medukug da aka diguaka ada bagia berikutya. Dimulai dega deiisi itegral Reima. Deiisi 3.3. Diketahui :[, ] Himua bagia P { x x x } a b suatu ugsi berilai real ada iterval [a,b]. =,,, di dalam iterval [a,b] dega siat : 0 x = a< x < x < < x = b 0 2 disebut artisi ada [a,b]. Utuk setia artisi P ada [a,b], dibetuk jumlaha da = ( ) S P x x M i= i i i 49

60 = ( ) s P x x m i= i Dega M i = su { ( x) : x [ xi. xi ]} da i = i { ( x) : x [ xi. xi]} setia i {, 2, 3,, }. i i m, utuk Itegral Reima atas ugsi ada [a,b] dideiisika dega b i R x dx= S P a da itegral bawah ugsi ada [a,b] dideiisika dega b su R x dx= s P a Fugsi dikataka teritegral Reima ada [a,b], jika b b x dx x dx a. a R =R Selajutya diotasika dega R b ( x ) dx. a Deiisi Diberika ugsi sederhaa ϑ : E dega reresetasi kaoik ϑ : E da i= E i = E, E himua terukur. Jika jumlaha i= i am E i ada makaϑ dikataka teritegral, yag ditulis ϑ x dx dega ilai itegral E E ϑ = i= ( x) dx a m( E ) i i 50

61 Teorema (Wheede 977, hal 65) E. Diberika ugsi o-egati yag dideiisika ada himua terukur ada jika da haya jika terukur. E Teorema (Guta 976, hal 36) Diketahui :[, ] a b suatu ugsi berilai real ada iterval [a,b]. Jika teritegral Reima ada [a,b] maka teritegral Lebesgue ada [a,b] dega b R a x dx x dx [ a, b] Kebalika dari Teorema belum tetu berlaku. Cotoh Diberika ugsi :0, [ ],dega ( x) utuk x rasioal = 0 utuk x irasioal Jelas bahwa ugsi terbatas da terukur ada [0, ]. Meurut Teorema teritegral Lebesgue ada [0, ]. Fugsi tidak teritegral Reima ada [0, ] karea R ( x) dx= da 0 R x dx= 0 0 Dalam teorema berikut diberika beberaa oerasi da siat yag berlaku ada itegral Lebesgue. 5

62 Teorema (Guta 976, hal 38) Diberika da g ugsi terukur terbatas yag terdeiisi ada himua E dega m (E) <, maka (i) a = a utuk semua E a. E + g = E + E g E (ii) (iii) Jika = g hamir di maa-maa (almost everywhere) maka = E E g (iv) Jika g hamir di maa-maa (almost everywhere) maka E E g (v) Jika α ( x) β maka β αm E x dx m E E (vi) Jika da E himua bagia dari E yag salig asig maka E 2 = + E E2 E E2 Teorema (Guta 976, hal 42) Diberika E himua dega ukura berhigga da { } barisa ugsi terukur yag dideiisika ada E. Diketahui terdaat M sehigga ( x) M utuk semua x da. Jika ( x) = lim x utuk setia x E, maka = lim E E. 52

63 Teorema (Wheede 977, hal 69) Jika k, k =, 2, ugsi-ugsi o-egati da terukur maka = E k k= k= E k Teorema (Lemma Fatou s) (Guta 976, hal 46) Diberika barisa ugsi terukur o-egati { } da koverge ke hamir di maa-maa ada E maka lim i E E Teorema (Guta 976, hal 47) Diberika barisa ugsi terukur o-egati yag aik mooto { } da = lim, maka = lim. Teorema 3.3. (Wheede 977, hal 72) Diberika ugsi terukur ada E. teritegral ada E jika da haya jika teritegral ada E. 53

64 Teorema (Guta 976, hal 60) (Lebesgue Domiated Covergece Theorem) Diberika g ugsi teritegral ada E da { } barisa ugsi terukur ada E dega g da lim = hamir di maa-maa (almost everywhere), maka = lim E E. Teorema (Guta 976, hal 92) Fugsi : A dikataka kotiu mutlak (absolutely cotiuous) jika utuk setia ε > 0 terdaat δ > 0 sehigga utuk setia koleksi berhigga iterval terbuka yag salig asig x i xi < ε. i= berlaku {( x, x ) [ a, b] : i,2,, } i i = dega i= x x < δ i i Deiisi Fugsi teritegral ada [a,b] da juga teritegral ada setia iterval[ ax, ] [ ab, ]. Dideiisika ugsi F dega x, c kosta a F x = t dt+ c F dikataka ideiite itegral (itegral tak tetu). 54

65 Teorema (Guta 976, hal 97) Jika F ugsi kotiu absolute ada [a,b], maka berlaku x F x = t dt+ c dega = F da c kosta. Atau daat dikataka bahwa x a Jika ugsi kotiu absolute ada [a,b], maka F teritegral ada [a,b] () da F t dt = F x F a. a 55

66 BAB IV RUANG L LEBESGUE IV. Kelas-kelas L Berikut ii aka dibicaraka kelas-kelas yag terbagi berdasarka. Deiisi 4.. Kelas dari semua ugsi teritegral- ada E ditulis L ( E ), 0 < < dega { : } L E = <. Cotoh 4.2. Diberika [ 0,6] E = da : E ugsi yag dideisika dega /4 ( x) = x 4, kemudia L ( E) tai L ( E). 2. Diberika E = 0, 2 da : dega E 2 x = xlog 2, maka L ( E). 3. Diberika E = (0, ) da : E dega ( x) = ( + x) /2, maka utuk semua, 2 < <. L E Daat ditujukka bahwa L ( E ) meruaka ruag liear ada, 56

67 ., g L ( E) + g L ( E) { } + g 2 max, g { g } 2, 2. L ( E) da α α L ( E) Lebih lajut, jika (E), megigat ertidaksamaa berikut Maka +, da juga L ( E). Utuk medaatka deiisi L ( E), jika berilai real da meruaka ugsi terukur ada E dega m(e) > 0, bilaga real M dikataka batas esesial utuk ugsi jika ( x) M, hamir di maa-maa (almost everywhere) ada E. Fugsi dikataka terbatas esesial jika memuyai batas esesial, dega kata lai, ugsi terbatas esesial ada E jika terbatas kecuali ada himua dega ukura sama dega ol. Suremum esesial ada E dediiisika sebagai berikut esssu ( x) = i{ M : x M, x E}. 57

68 Jika tidak memuyai batas esesial maka suremum esesialya sama dega. Kelas utuk semua ugsi terukur yag terbatas esesial ada E diotasika sebagai L ( E), dega = { : su } L E ess <. Daat ditujukka bahwa L ( E) meruaka ruag liear ada. Cotoh Semua ugsi terbatas ada E aggota L ( E) 2. Fugsi :[ a, b] dega. ( x) jika x irasioal = jika x rasioal aggota L ( E). Deiisi 4..4 Dideiisika ugsi : L E 0< sebagai berikut ( ) / = utuk 0 < < E = ess su. Lemma 4..5 Diberika L ( E), maka : 58

69 (a) ( x), hamir di maa-maa (almost everywhere) ada E. { ({ }) } = su M : m x X : x M 0. (b) Bukti (a) Misalka η = maka = > η+ i= { x E: ( x) η} x E: ( x) Karea gabuga dari koleksi terhitug himua ukura ol memuyai ukura ol, dieroleh ({ }) m x E : x 0 = Ii berakibat utuk himua yag tidak berukura ol berlaku x hamir di maa-maa. (b) Jelas dari deiisi. Hubuga atara (0 < < ) da aka dierlihatka ada Teorema 4..6 berikut. Teorema 4..6 Jika E himua terukur dega me <, maka ( setia ada <. Lebih lajut, jika L ( E) maka, L E L E utuk ) = lim 59

70 Bukti Misalka L ( E) da η = maka ( x) x η hamir di maa-maa ada E η ( E ) E x m η x m E < (i) E Sehigga L ( E) jadi L ( E) L ( E) Pertidaksamaa (i) megakibatka. ( ( x ) ) η m ( E ) E / / / η m E Utuk maka [m(e)], sehigga dieroleh lim su η Di lai ihak, misalka ( x) dega m F > 0, maka ( x) α α, dega α, ada himua sebarag F x α hamir di maa-maa ada E α ( F ) E x m ( ( x ) ) ( α m ( F ) E / / ) 60

71 / α m F Dega cara yag sama seerti yag dilakuka ada himua E lim i α Meurut Lemma 4..5 Dieroleh Jadi { α ({ α} ) } su : m x E : x 0 lim i η lim i lim su η = lim. IV.2 Pertidaksamaa Holder da Mikowski Dalam memelajari ruag L, juga dierluka deiisi ruag L, dega dieroleh dari + =, dega da bilaga real o-egati. Sebelumya telah dideiisika bahwa adalah orma ada L, aka dibuktika ertidaksamaa yag aka diguaka ada embicaraa selajutya. Lemma 4.2. Diberika 0< λ < maka ( ) λ λ α β λα λ + β. 6

72 Berlaku utuk setia asaga bilaga real o-egati α & β jika da haya jika α = β. Bukti Jika α =0 atau β=0, maka ertidaksamaa jelas berlaku, karea itu diasumsika α > 0 da β > 0. Dideiisika ugsi o-egati dega () ( ( λ) t = + λt t λ Maka t λ t = λ ) da haya t= yag meruaka titik ekstrim utuk ii membuktika mecaai maksimum ada t = Dega megambil t t = 0 = α, dieroleh ersamaa β λ+ λt t λ Persamaa berlaku haya jika t =, dieroleh α = β. Teorema (Pertidaksamaa Riesz-Holder) Diberika da bilaga real o-egati dega + =. Jika L da L maka g L da g g Pertidaksamaa berlaku jika da haya jika utuk bilaga kosta tidak ol A da B, dieroleh A = Bg. 62

73 Bukti Jika =, maka =. Misalka g = M, maka g M hamir di maa-maa da juga g Daat dibetuk g < M. M x E. Karea L, berarti <, akibatya g <. Jadi g L kemudia dega itegral, dieroleh g M g. Sekarag diasumsika < <berakibat < <. Pertidaksamaa berlaku jika = 0 hamir di maa-maa (atau g = 0 hamir di maa-maa). Karea itu diasumsika 0 hamir di maa-maa da g 0 hamir di maa-maa, dieroleh > 0 da g > 0. Dega megguaka Lemma 4.2. dega megambil 63

74 λ = () t α = g() t β = g dieroleh () () () ( ) () t g t t g t +. (2) g ( g ) Pertidaksamaa (2) daat diubah mejadi () t g() t ( x) g( x) + g. ( ) ( g ) Karea () t g() t + g <. ( ) ( g ) maka dieroleh ( x) g( x ) <. Jadi didaatka g L. Kemudia dega megitegralka kedua ruas dieroleh g + =. g Karea itu 64

75 g g. (3) Pertidaksamaa (2) aka berlaku jika α = β da akibatya jika α = β ertidaksamaa (3) berlaku hamir di maa-maa. Dega lai kata jika megambil A= g da B = dieroleh () () g t = g t. Teorema (Pertidaksamaa Riesz-Mikowski) Jika, maka utuk setia asaga, g L, berlaku + g g. Bukti Utuk = Diketahui bahwa + g +g Dega megitegralka kedua ruas dieroleh + g + g utuk semua aggota E. atau + g +g. Utuk = a e g g a e 65

76 + g +g + g a e Da + g + g. Selajutya, dibuktika utuk < <. Karea L ruag liear maka + g L, akibatya g g g g < < dega + =, maka karea ( ) + g = + g = maka dieroleh da lebih lajut + g L, meurut Teorema 4.2.2, maka + g da + g g kedua-duaya aggota dari L da sesuai dega ertidaksamaa Riesz-Holder dieroleh + g + g da + g g g + g karea Akibatya =, maka dieroleh ( ) ( ) ( ) + g = + g = + g + g + g + g 66

77 atau + g + g + g. jika 0 < + g <, hasil aka berdasarka + g. Dalam kasus + g = 0, sagat jelas. Jika + g =, maka = atau g = dilihat dari relasi + g + g. Utuk 0< <, Teorema da Teorema belum tetu berlaku, maka dierluka teorema yag lai yaitu: Teorema (Pertidaksamaa Riesz-Holder utuk 0< < ) Diberika 0< < da dieroleh dari + =. Jika L da L, maka + g g. Asalka g 0. 67

78 Bukti Igat bahwa < 0 karea < da + =. Dibetuk = da P = Q. Kemudia P>, Q> da + =. P Q Lebih lajut lagi, dibetuk g P = F da g = G Q karea itu = FG, dieroleh bahwa F P L da Q G L, Teorema daat diguaka ada F da G sehigga dieroleh FG F G P Q P g g g g Dega g 0 dalam Teorema karea < 0. Teorema (Pertidaksamaa Riesz-Mikowski utuk 0< < ) Diberika 0< < da, g L dega 0 da g 0 maka + g + g. 68

79 Bukti Perhatika bahwa da serta ( + ) = ( + ) + ( + ) g g g g ( + ) ( + ) + ( + ) g g g g ( + ) ( + ) + ( + ) g g g g. Karea L ruag liear maka + g L, ( + g ) + g + ( + g) g. Meurut teorema da g ( g) g + adalah aggota dari L akibatya sesuai dega Reisz-Holder utuk 0 < < dieroleh + g + g da Karea akibatya g + g g + g. =, maka dieroleh ( ) ( ) ( ) + g = + g = + g + g + g + g. 69

80 Jika 0 < + g <, hasil aka berdasarka + g. Dalam kasus + g = 0, sagat jelas Jika + g =, maka = atau g = + g + g +. IV.3 Ruag Baach L Dalam sub bab berikut ii aka dierlihatka bahwa L meruaka ruag Baach, dega kata lai L meruaka ruag berorma yag legka. berikut ii: Pertama, utuk, ugsi. : L, memeuhi kodisi-kodisi = 0 jika da haya jika = 0 hamir di maa-maa. 3. a = a, a 4. + g + g Syarat () da (3) jelas dieuhi berdasarka deiisi.. Utuk syarat (2) dieuhi dega tidak membedaka atara ugsi-ugsi dalam L yag sama hamir di maa-maa. Jadi, eleme ol dalam L adalah ugsi-ugsi yag sama dega ol hamir di maa-maa. Utuk syarat (4) dieuhi meurut 70

81 ertidaksamaa Reisz-Mikowski yag dijelaska dalam Teorema Berarti. adalah orma dalam L da L adalah ruag berorma. Teorema 4.3. (Teorema Reisz-Fischer) Ruag berorma L legka ; utuk. Bukti Utuk =. Diketahui bahwa suatu ugsi lebih besar dari esesial suremumya berlaku haya ada himua dega ukura ol. Kataka = { > } da : A x x x m, : m m E = Am, B k, maka dieroleh 0 m k= { } B x x = >. Namaka m E =. Ambil sebarag { } barisa Cauchy dalam L. Akibatya jika diberika ε > 0, terdaat N sehigga berlaku < ε utuk m, > N. m Kemudia utuk x c E berlaku m m x x < ε. Karea = < ε, akibatya m + ε hamir di maa-maa. Karea lim m m L da x c E dieroleh su x x ess x x m = x m x m = lim x x < ε m 7

82 x x < ε. Dega kata lai m Sekarag diasumsika <. Utuk meujukka bahwa setia barisa Cauchy dalam L koverge, cuku dega meujukka bahwa setia barisa terjumlah absolute dalam L terjumlah ke suatu eleme dalam L. Jika diberika barisa { } dalam L, maka = M <. = Kemudia dideiisika barisa ugsi { g } dega g x = x. k = Didaatka bahwa utuk setia x, barisa { } da aka koverge ke suatu g( x ), dega kata lai ( [ ab, ] x. k g x aik mooto, g x g x) utuk setia Karea ugsi g terukur maka ugsi g juga terukur. Meurut Teorema dieroleh g k = k = x < M k = k, sehigga / ( g ) [ ab, ] M ([, ]) g M m a b 72

83 ( ) g M b a Karea g 0, meurut lemma Fatou s, dieroleh ( ) g M b a Ii meadaka bahwa g teritegral da g( x ) berhigga hamir di maa-maa ada [ ab, ]. Akibatya barisa { } suatu bilaga real s( x). Misalka x terjumlah absolute da asti terjumlah ke s( x ) = 0 utuk x dega g x =. Dideiisika ugsi s sebagai limit dari setia jumlaha arsial da s x s x s x = k x k = hamir di maa-maa, karea itu s ugsi terukur. Lebih lajut s x k x = k = g ( x) g( x) Akibatya s ( x) g( x). Karea itu, s L sebab g L, da 2 s x s x g x Tai g s ( x) s( x) 0 2 ugsi teritegral da hamir di maa-maa. Meurut Lebesgue Domiated covergece Theorem, dieroleh 73

84 s s 0 Karea barisa { } ke s dalam L dega <. L legka. s s 0 terjumlah ke s dalam L akibatya barisa { } koverge Akibat Jika 0 < <, maka L adalah ruag metric legka dega metrik dideiisika dega (, ) g = g,, g L. IV.4 Kekovergea Rata-rata (Covergece i the Mea) Pada bab II telah dibahas egertia kekovergea ada barisa ugsi berilai real: koverge, koverge titik demi titik, koverge seragam, koverge hamir di maa-maa. Aka dideiisika kekovergea dalam ruag L,, yag sesuai dega kose orma. 74

85 Deiisi 4.4. Barisa ugsi { } dalam L, dikataka koverge ke L, jika utuk setia ε > 0, terdaat bilaga bulat ositi N sehigga 0. Kekovergea ii serig disebut sebagai kovereg rata-rata order (covergece i the mea) jika <da koverge hamir seragam jika =. Teorema Diberika barisa { } (covergece i the mea) ke dalam a) Jika barisa { } dalam L yag koverge rata-rata order L, maka: dalam L yag koverge rata-rata ke g, maka = g hamir di maa-maa (almost everywhere) dalam L. b) Barisa { } meruaka barisa Cauchy rata-rata (-mea Cauchy seuece). c) lim =, khususya dega barisa { } terbatas terhada orma Kebalika dari. ( c) belum tetu berlaku. Cotoh Utuk setia, dideiisika :( 0,) 75

86 ( x) jika 0 < x = 0 jika < x < Dieroleh bahwa lim ( x) = 0 utuk setia ( 0,) bilamaa da >. x, sedagka Teorema Diberika barisa { } dalam L,, sehigga hamir di maa-maa (almost everywhere) da L. Jika lim = maka lim = 0. Bukti Dega tidak meguragi keumuma, setia 0 hamir di maa-maa maka + 0, dieroleh hasil secara umum karea megigat =. Utuk setia asaga o egati a da b, berlaku a b 2 a + b, <. Dimisalka a= da b = dieroleh 2 ( ) + 0 hamir di maa-maa. Megguaka lemma Fatou da hiotesis-hiotesis dari lemma tersebut, dieroleh 76

87 ( ) = + 2 lim2 ( ) lim i lim 2 lim i = + + ( ). = 2 limsu Karea <, akibatya lim su 0 Karea Karea itu Akibatya hamir di maa-maa (almost everywhere) maka berlaku lim su = lim i = 0 lim = 0 lim = 0. IV.5 Siat-siat Ruag L Dalam sub bab ii aka dibicaraka siat-siat yag meyertai ruag L. 77

88 Teorema 4.5. Jika diberika 0 < <, maka terdaat kostata K > 0 sehigga L L da berlaku K, L. Bukti Utuk = dega 0 < <. Dega tidak meguragi keumuma, diberika E himua terukur dega m( E ) <. Misalka L ( E) dieroleh hamir di maa-maa hamir di maa-maa Meurut Teorema dieroleh m E E ( ) / / E m E / m E Terbukti dega megambil K = m( E) /. Asumsika 0 < < <. Utuk L, maka L /. Betuk λ =, jelas λ > da ilih μ sehigga + =, maka μ λ 78

89 Akibatya maka b b a a = λ λ ( ) ( a a ) b b b ( ) ( b a) / a. = L, ii berarti L L. Selajutya, jika dibetuk K = b a K, L. Cotoh Diberika E = (, ), kemudia dideiisika ugsi : E dega / ( x) = x, <. Jika >, jelas bahwa L ( E) Teorema Jika 0 < < < da L L, maka r L utuk semua < r <. Bukti Utuk r, dega < r < daat ditemuka 0< t <, sehigga Perhatika bahwa ( ) r = t+ t. 79

90 L L L da L ( ) ( ) t i/ t / / t L L. Selajutya, diketahui / t > da asaga eksoe / t da / ( t) salig kojugasi. Oleh karea itu meurut ertdaksamaa Reisz-Holder, dieroleh ( ) r t t t = L. IV.6 Fugsioal Liear Terbatas Dalam Ruag L Diberika da kojugasi eksoe. Jika g L, dega, meurut ertidaksamaa Reisz-Holder maka g L utuk setia L. Karea itu eleme tertetu g L, daat dideiisika Fg : L dega g F = g. Jelas bahwa F g adalah ugsioal liear dalam ruag Baach L. Teorema 4.6. Diberika da (, ) ugsioal liear yag dideiisika berikut Fg = g kojugasi eksoe da g L maka meruaka ugsioal liear terbatas dalam L, akibatya Fg = g. 80

91 Bukti (i) Agga = da =, erhatika ertidaksamaa Reisz-Holder bahwa Fg g L. Karea itu F g ugsioal liear terbatas dalam L, akibatya Fg g. () Utuk membuktika kebalikaya diberika = sg g,dega Jelas L sg g x da jika g x 0 = jikag x < 0 =, karea itu g = = = F g g g Fg g (2) Dari () da (2) dieroleh F g = g (ii) Sekarag erhatika < <, meurut ertidaksamaa Reisz-Holder g F g L. Karea itu F g ugsi liear dalam L da memeuhi F g g Selajutya, utuk membuktika kebalikaya, diberika = g sg g 8

92 Jelas, ugsi terukur dalam L da ( ) = g = g. Ii memerlihatka bahwa L, juga karea ( sg ) g = g g g = g dieroleh g F = g = g ( g ) ( g ) = / / ( ) ( g ) = / / = g yag berakibat F g g. Lemma Jika g ugsi teritegral dalam [a,b] da K kosta sehigga g K utuk setia ugsi terukur terbatas, maka g L g da K. 82

93 Bukti Utuk = da =, diberika ε > 0 da { [, ]: } E = x a b g x K + ε Betuk = ( sg g) χ, maka ugsi terukur terbatas sehigga m( E) Karea itu E Km( E) = K g = g ( + ε ) Km E k m E Karea diambil sebarag ε > 0, dieroleh m( E ) = 0, Akibatya g K. ( sg ) g χ E = g k+ε m E E =. Asumsika < <. Dideiisika barisa ugsi terukur terbatas { g }, dega g x g( x) g( x) g x jika 0 = 0 jika > 0 Jika = g sg g, maka setia ugsi terukur terbatas sehigga / 83

94 ( g ) / = da g = g = g Karea itu ( g ) / = g K K g = dega membagi kedua ruas dega ( g ) / ( g ) Karea -/=, didaatka ( g ) / K, K, dieroleh Kemudia kedua ruas diitegralka da diagkatka dega, dieroleh g K Megigat g g hamir di maa-maa da lemma Fatou, dieroleh g lim i g K Akibatya g L g da K. Teorema Jika F ugsioal liear terbatas dalam L dega <, maka terdaat ugsi g dalam L, sehigga berlaku F( ) g = da F = g. 84