MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

Transkripsi

1 MATHuesa (Volume 3 No 3) 014 MINIMUM PENUTUP TITIK DAN MINIMUM PENUTUP SISI PADA GRAF KOMPLIT DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Yessi Riskiada Kusumawardai Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, yezzy_zeecha@yahoo.co.id Budi Rahadjeg, M.Si. Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, rahajeg13@yahoo.com Abstrak Peutup titik graf G adalah himpua titik C V(G) sedemikia higga setiap sisi di G terkait lagsug dega palig sedikit satu titik di C. Peutup titik dikataka miimal pada graf G jika tidak ada peutup titik C pada G sedemikia higga C < C. Ukura miimum peutup titik pada graf G dilambagka dega α(g). Peutup sisi graf G adalah himpua sisi Q E(G) sedemikia higga setiap titik di G terkait lagsug dega palig sedikit satu sisi di C. Peutup sisi dikataka miimal pada graf G jika tidak ada peutup sisi Q pada G sedemikia higga Q < Q. Ukura miimum peutup sisi pada graf G dilambagka dega α 1 (G). Skripsi ii bertujua utuk membuktika ukura miimum peutup titik da ukura miimum peutup sisi pada graf komplit da graf bipartit komplit. Kata kuci: peutup titik, peutup sisi, graf komplit, graf bipartit komplit. Abstract A vertex cover of graph G is a set of verticesc V(G) such that each edge i Ghas at least oe vertex icidet i C. A vertex cover is called miimum i graph Gif there is t vertex cover C of G such that C < C, ad its size is deoted by α(g). A edge cover of graph G is a set of edgesq E(G)such that each vertex i G has at least oe edge icidet i Q. A edge cover is called miimum i graph G if there is t edge cover Q of G such that Q < Q, ad its size is deoted by α 1 (G).This paper aims to prove a miimum size vertex cover ad a miimum size edge cover o complete graph ad complete bipartite graph. Keyword: vertex cover, edge cover, complete graph, complete bipartite graph. 1. PENDAHULUAN Graf didefiisika sebagai pasaga himpua (V, E) dega V adalah himpua tidak kosog da berhigga yag disebut titik da E adalah himpua (mugki kosog) pasaga tak beruruta titik-titik di V yag disebut sisi. Peutup titik dari graf G adalah himpua titik C V(G) sedemikia higga setiap sisi di G terkait lagsug dega palig sedikit satu titik di C. Peutup titik dikataka miimal pada graf G jika tidak ada peutup titik C pada G sedemikia higga C < C. Ukura miimum peutup titik pada graf Gdilambagka dega α(g). Peutup sisi dari graf G adalah himpua sisiq E(G) sedemikia higga setiap titik di G terkait lagsug dega palig sedikit satu sisi di C. Peutup sisi dikataka miimal pada graf G jika tidak ada peutup sisi Q pada G sedemikia higga Q < Q. Ukura miimum peutup sisi pada graf Gdilambagka dega α 1 (G). Beberapa peelitia yag megkaji tetag peutup diataraya adalah jural yag berjudul O Miimum Vertex Covers i the Geeralized Peterse Graph oleh Mehdi Behzad, Pooya Hatami, da E. S. Mahmoodia membahas tetag sifat-sifat dari peutup titik pada graf Peterse diperumum P(, ), da jural Titik da Sisi Peutup Miimal pada Graf Bitag (m) C S k da Graf Roda(m) C W k oleh Nurul Hijriyah dari UNIBRAWda Wahyu H. Irawa dari UIN Malag. Berdasarka latar belakag tersebut peulis igi melakuka kajia tetag miimum peutup titik da miimum peutup sisi pada graf komplit da graf bipartit komplit. LANDASAN TEORI Defiisi 1 Graf G adalah pasaga himpua (V, E) dega V adalah himpua tidak kosog da berhigga yag disebut titik da E adalah himpua (mugki kosog) pasaga tak beruruta titik-titik di V yag disebut sisi. Himpua titik di G diotasika dega V(G) da himpua sisi diotasika dega E(G). Defiisi 47

2 Jural Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahu 014, 1-9 Jika e = uv adalah sisi pada graf G, maka u da v adalah titik yag berhubuga lagsug (adjacet), sisi e terkait lagsug (icidet).dega titik v da titik u Defiisi 3 Sebuah graf komplit (graf legkap) dega titik, dilambagka dega K, adalah graf yag tidak mempuyai sisi ragkap da gelug dega titik da setiap dua titik berbeda dihubugka dega sebuah sisi. Defiisi 4 Sebuah graf G disebut graf bipartit jika himpua titik di G dapat dipartisi mejadi dua himpua bagia A da B sedemikia higga setiap sisi G meghubugka sebuah titik di A da sebuah titik di B, (A, B) disebut partisi dari G. Defiisi 5 Jika graf G sederhaa da bipartit dega partisi (A, B) sedemikia higga setiap titik dia berhubuga lagsug dega setiap titik dib, maka G disebut graf bipartit komplit, dilambagka dega K m, dimaa A = m da B =. Defiisi 6 Peutup titik graf G adalah himpua titik C V(G) sedemikia higga setiap sisi di G terkait lagsug dega palig sedikit satu titik di C. Peutup titik C dikataka miimal pada graf G jika tidak ada peutup titik C pada G sedemikia higga C < C. Ukura miimum peutup titik pada graf G dilambagka dega α(g). Defiisi 7 Peutup sisi graf G adalah himpua titik Q E(G) sedemikia higga setiap titik di G terkait lagsug dega palig sedikit satu sisidi Q. Peutup sisi Q dikataka miimal pada graf G jika tidak ada peutup sisi Q pada G sedemikia higga Q < Q. Ukura miimum peutup sisi pada graf G dilambagka dega α 1 (G). 3. HASIL DAN PEMBAHASAN titik. Berdasar defiisi graf komplit E K = ( 1), sisi-sisi yag terkait dega titik v 1 adalah v 1 v, v 1 v 3, v 1 v 4,, v 1 v v sehigga v 1 meutup/megcover (utuk selajutya dalam makalah ii diguaka istilah megcover) 1 sisi K. Sisi-sisi yag terkait dega titik v adalah v v 1, v v 3, v v 4,, v v sehigga v megcover 1 sisi K. Tetapi karea sisi v v 1 sudah tercover oleh titik v 1 maka titik v megcover sisi K. Sisi-sisi yag terkait dega titik v 1 adalah v 1 v 1, v 1 v, v 1 v 3,, v 1 v, karea sisi v 1 v 1, v 1 v, v 1 v 3,, v v 1 telah tercover oleh titik v 1, v, v 3,, v maka titik v 1 megcover ( 1) sisi. Demikia juga dega titik v, sisi-sisi yag terkait pada titik v adalah v v 1, v v, v v 3,, v v 1 sehigga v megcover sisi v v j, j = 1,,3,.., da j. Tetapi karea sisi v v v 1, v v, v v 3,, v v 1 sudah tercover oleh titik v 1, v, v 3,, v 1 maka titik v tidak megcover sisi K. Sehigga diperoleh bayakya sisi yag tercover oleh titik di C adalah = = ( 1) Dega demikia semua sisi K telah tercover oleh titik-titik di C, C = 1. C adalah miimum peutup titik dari K karea tidak ada peutup titik C pada K sedemikia higga C < C. Berdasarka bukti diatas maka diperoleh α K = C = 1 Lemma : α 1 K = +1, utuk geap, utuk gajil Misalka V K = {v i 1 i }. 1. =geap Adaika Q adalah peutup sisi K. Klaim Q = {e i 1 i 1, i gajil}. Aka ditujukka bahwa Q adalah miimum peutup sisi. Padag sikel luar graf komplit yaitu C v 1, v, v 3, v 4,, v, v Miimum Peutup Titik da Sisi Graf Komplit Lemma 1: α K = 1 Misalka V K = {v i 1 i }. Misalka C adalah peutup titik K. Klaim C = {v i 1 i 1}. Aka ditujukka bahwa C adalah miimum peutup

3 MATHuesa (Volume 3 No 3) 014 Gambar 3.1 Sikel C Sisi e i merupaka sisi yag meghubugka titik v i da titik v i+1. Sisi e 1 dipilih oleh Q maka e 1 megcover titik v 1 da v. Jika sisi e dipilih oleh Q maka sisi e megcover titik v da v 3 tetapi karea titik v telah tercover oleh sisi e 1 maka sisi e tidak dipilih oleh Q. Seterusya sampai sisi e dipilih oleh Q maka e megcover titik v da v 1, sisi e tidak dipilih Q karea titik v 1 da titik v telah tercover oleh sisi e 1 da e. Demikia juga dega sisi-sisi dega label berideks geap laiya tidak dipilih oleh Q karea semua titik di V K telah tercover oleh sisi e i, i gajil. Sehigga diperoleh peutup sisi Q = e 1, e 3, e 5,, e 1, Q = utuk geap. Q merupaka miimum peutup sisi K karea tidak ada peutup sisi Q pada K sedemikia higga Q < Q. Sehigga diperoleh: α 1 K = Q =. = gajil Adaika Q adalah peutup sisi K. Klaim Q = {e i 1 i 1, i gajil}. Padag sikel luar graf komplit yaitu C v 1, v, v 3, v 4,, v, v 1, gambar 3.1. Sisi e 1 dipilih oleh Q maka e 1 megcover titik v 1 da v. Jika sisi e dipilih oleh Q maka sisi e megcover titik v da v 3 tetapi karea titik v telah tercover oleh sisi e 1 maka sisi e tidak dipilih oleh Q. Sisi e 3 dipilih oleh Q maka e 3 megcover titik v 3 da v 4. Demikia juga dega sisi-sisi dega label berideks geap laiya tidak dipilih oleh Q. Sehigga diperoleh peutup sisi Q = e 1, e 3, e 5,, e 1, Q = +1. Q merupaka miimum peutup sisi K karea tidak ada peutup sisi Q pada K sedemikia higga Q < Q. Berdasarka 1 da diperoleh:, utuk geap α 1 K = + 1, utuk gajil 3. Miimum Peutup Titik da Sisi pada Graf Bipartit Komplit Lemma 3: Ukura miimum peutup titik pada graf bipartit komplit K m, dega partisi M, N dimaa M = m da N = adalah: α K m, = mi M, N Misalka K m, graf bipartit komplit dega partisi M = {v i 1 i m} da N = {u i 1 i }. Dibagi mejadi 3 kasus, yaki: 1. Utuk m = Adaika C adalah peutup titik dari K m,. Klaim C = {v i 1 i m}. Aka ditujukka bahwa C adalah miimum peutup titik. Berdasar defiisi graf bipartit komplit setiap titik di lai partisi aka salig berhubuga lagsug, sedagka titik yag berada dalam satu partisi tidak salig berhubuga lagsug. Akibatya titik v 1 megcover sisi dari K m,, titik v megcover sisi dari K m,, titik v m megcover sisi dari K m, sehigga diperoleh titik v i megcover m sisi dari K m, demikia juga dega titik u i megcover m sisi dari K m,. Semua sisi pada K m, telah tercover oleh titik-titik di C. C merupaka miimum peutup titik dari K m,, karea tidak ada peutup titik C pada K m, sedemikia higga C < C. Diperoleh miimum peutup titik pada graf bipartit komplit K m,, m = adalah α K m, = C = M = m.. Utuk m < Adaika C adalah peutup titik K m,. Aka ditujukka bahwa C adalah miimum peutup titik. Berdasar defiisi graf bipartit komplit setiap titik di lai partisi salig berhubuga lagsug, sedagka titik yag berada dalam satu partisi tidak berhubuga lagsug. Jika titik di N dipilih oleh C maka v 1 megcover sisi K m,, titik v megcover sisi K m,, da seterusya sampai titik v m megcover sisi K m, sehigga diperoleh titik v i megcover m sisi K m,. Demikia juga jika titik di M dipilih oleh C maka u i megcover m sisi K m,. Karea m <, pilih C = {v i 1 i m} sebagai miimum peutup titik, karea tidak ada peutup titik C pada K m, sedemikia higga C < C. Diperoleh titik miimum peutup pada graf bipartit komplit K m,, m = adalah α K m, = C = M = m. Diperoleh miimum titik peutup pada graf bipartit komplit K m,, m < adalah α K m, = C = M = m 3. Utuk m > 49

4 Jural Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahu 014, 1-9 Adaika C adalah peutup titik K m,. Aka ditujukka bahwa C adalah miimum peutup titik. Berdasar defiisi graf bipartit komplit setiap titik di lai partisi aka salig berhubuga lagsug, sedagka titik yag berada dalam satu partisi tidak salig berhubuga lagsug. Jika titik v i dipilih oleh C maka v 1 megcover sisi dari K m,, titik v megcover sisi dari K m,, da seteruya sampai titik v m megcover sisi dari K m, sehigga diperoleh titik v i megcover m sisi dari K m,. Demikia juga jika titik u i dipilih oleh C maka u i megcover m sisi dari K m,. Karea m >, pilih C = {u i 1 i } sebagai miimum peutup titik, karea tidak ada peutup titik C pada K m, sedemikia higga C < C. Diperoleh miimum peutup titik pada graf bipartit komplit K m,, m = adalah α K m, = C = M = m. Diperoleh ukura miimum titik peutup pada graf bipartit komplit K m,, m > adalah α K m, = C = N = Berdasar 1,, da 3 diperoleh α K m, = mi M, N. Lemma 4: α 1 K m, = maks M, N Misal K m, graf bipartit komplit dega partisi M = {v i 1 i m} da N = {u i 1 i }. Dibagi mejadi 3 kasus, yaki: 1. Utuk m = Adaika Q adalah peutup sisi K m,. Klaim Q = {v i u i 1 i m}. Aka ditujukka bahwa Q adalah miimum peutup sisi. Berdasar defiisi graf bipartit komplit setiap titik di lai partisi aka salig berhubuga lagsug, sedagka titik yag berada dalam satu partisi tidak salig berhubuga lagsug. Sisi v 1 u 1 dipilih oleh Q maka sisi v 1 u 1 megcover titik v 1 da u 1, sisi v u dipilih oleh Q maka sisi v u megcover titik v da u, sisi v 3 u 3 dipilih oleh Q maka sisi v 3 u 3 megcover titik v 3 da u 3, seterusya sampai sisi v m u m dipilih oleh Q maka sisi v m u m megcover titik v m da u m. Karea m = maka sisi v i u i megcover m + titik dari K m,, dega demikia semua titik dari K m, telah tercover oleh Q. Q merupaka miimum peutup sisi dari K m,, karea tidak ada peutup sisi Q pada K m, sedemikia higga Q < Q. Diperoleh ukura miimum peutup sisi pada graf bipartit komplit K m,, m = adalah α 1 K m, = Q = M = m.. Utuk m < Adaika Q adalah peutup sisi K m,, klaim Q = {v 1 u 1, v u, v 3 u 3,, v m u m, v 1 u m +1, v 1 u m +,, v 1 u. Karea m < maka sisi v i u i, 1 i m megcover m titik dari K m,. Selajutya sisi v 1 u m +1 dipilih Q maka sisi v 1 u m +1 megcover titik v 1 da u m +1, sisi v 1 u m + dipilih Q maka sisi v 1 u m + megcover titik v 1 da u m +, seterusya sampai sisi v 1 u dipilih Q maka sisi v 1 u megcover titik v 1 da u. Sisi v 1 u m +1, v 1 u m +,, v 1 u megcover m titik dari K m,, diperoleh bayakya titik yag tercover oleh Q adalah m + m = m +. Dega demikia semua titik dari K m, telah tercover oleh Q. Q merupaka peutup sisi miimum dari K m,, karea tidak ada peutup sisi Q pada K m, sedemikia higga Q < Q. Diperoleh ukura miimum peutup sisi pada graf bipartit komplit K m,, m < adalah α 1 K m, = Q =. 3. Utuk m > Adaika Q adalah peutup sisi K m,. Klaim Q = {v 1 u 1, v u,, v u, v +1 u 1, v + u 1,, v m u 1 }. Aka dibuktika Q merupaka miimum peutup sisi. Sama seperti pada kasus 1, sisi v i u i dipilih oleh Q. Karea m > maka sisi v i u i, 1 i megcover titik dari K m,. Selajutya sisi v +1 u 1 dipilih Q maka sisi v +1 u 1 megcover titik v +1 da u 1, sisi v + u 1 dipilih Q maka sisi v + u 1 megcover titik v + da u 1, seterusya sampai sisi v m u 1 dipilih Q maka sisi v m u 1 megcover titik v m da u 1. Sisi v i u i, v +1 u 1, v + u 1,, v m u 1 megcover m titik dari K m,, diperoleh bayakya titik yag tercover oleh Q adalah + m = + m. Dega demikia semua titik dari K m, telah tercover oleh Q. Q merupaka miimum peutup sisi dari K m,, karea tidak ada peutup sisi Q pada K m, sedemikia higga Q < Q. Diperoleh ukura miimum peutup sisi pada graf bipartit komplit K m,, m > adalah α 1 K m, = Q = m Berdasar 1,, da 3 diperoleh α 1 K m, = maks M, N. 4. PENUTUP 4.1 Kesimpula Berdasarka hasil pembahasa pada bab III, maka dapat diambil kesimpula sebagai berikut: 1. Ukura miimum peutup titik miimum da miimum peutup sisi pada graf komplit K dega N masig-masig adalah: α K = 1daα 1 K = +1, utuk geap, utuk gajil

5 MATHuesa (Volume 3 No 3) 014. Ukura miimum peutup titik miimum da miimum peutup sisi pada graf bipartit komplit K m, dega m, N masig-masig adalah: α K m, = mi M, N da α 1 K m, = maks M, N 4. Sara Pada makalah ii, peulis haya memfokuska pada pokok bahasa miimum peutup titik da miimum peutup sisi pada graf komplit da graf bipartit komplit, Maka dari itu, utuk peulisa makalah selajutya, peulis meyaraka kepada pembaca utuk megkaji masalah α(g)da α 1 (G) pada graf-graf yag lai. DAFTAR PUSTAKA Chatrad, Gery ad Lesiak, Lida Graphs ad Digraphs Secod Editio. Califoria: a Divisio of Wadsworth.Ic. Babak Behsaz, Pooya Hatami, ad Ebadollah S. Mahmoodia O miimum vertex cover of geeralized Peterse graphs. Australasia J. Combi pdf. Diakses 5 September 013. Budayasa, K Teori Graf da Aplikasiya. Surabaya: Uesa Uiversity Press. Hijriyah N da Irawa W. 01. Titik da Sisi Peutup Miimal pada Graf Bitag (m) C S k da Graf Roda (m) C W k. Jural Chaucy. Math/article/view/4/pdf. Diakses 11 Februari 014. M. Behzad, P. Hatami, ad E.S Mahmoodia Miimum vertex cover of geeralized Peterse graph P(,). MR51808.pdf. Diakses 5 September