EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

Transkripsi

1 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawidya Pekabaru (893), doesia * Novrialma@Gmail.com ABSTRACT Poisso tegral is oe of the defiite itegrals that ca ot be solved by a elemetary techique. this article, we discuss four ways to solve the Poisso itegral o the iterval [-, ], that is usig the Riema sum, fuctioal equatios, parametric derivatives ad ifiite series. All of the methods produce the same solutio. Keywords: fuctioal equatio, ifiite series, parametric differetiatio, Poisso itegral, Riema sums. ABSTRAK tegral Poisso merupaka salah satu itegral tetu yag tidak dapat diselesaika secara tekik elemeter. Pada Artikel ii dibahas megeai empat cara utuk meyelesaika tegral Poisso pada iterval [-, ], yaitu dega megguaka jumlah Riema, persamaa fugsioal, turua parametric da deret tak-higga. Keempat cara ii meghasilka solusi yag sama. Kata Kuci: deret tak-higga, itegral Poisso, jumlah Riema, persamaa fugsioal, turua parametrik.. PENDAHULUAN Kalkulus adalah salah satu mata pelajara petig di dalam Matematika yag membahas dua pokok bahasa utama yaitu turua da itegral. Turua membahas tetag persoala garis sigug da laju perubaha, sedagka itegral membahas tetag luas da volume. tegral terbagi dua yaitu itegral tetu da itegral tak tetu. Selajutya yag dibahas dalam artikel ii adalah itegral Poisso ( () ) yag merupaka salah satu betuk itegral tetu. Meetuka ilai itegral Poisso ii tidak dapat diselesaika secara elemeter, amu dapat ditetuka dega empat cara yag berbeda, yaitu jumlah Riema, fugsi fugsioal, turua parametrik, da deret takhigga. Pada artikel ii dijelaska sifat-sifat dari itegral Poisso da empat carameujuka ilai itegral Poisso utuk, jika dega jumlah Riema, fugsi fugsioal, turua parametrik, da deret tak-higga yag merupaka JOM FMPA Volume No. Oktober 4 4

2 review detil dari artikel Hogwei Che dega judul Four Ways to Evaluate a Poisso tegral,.. NTEGRAL POSSON Sebelum membahas tetag beberapa sifat itegral Poisso da meetuka ilai itegral Poisso dega cara jumlah Riema, fugsi fugsioal, turua parametrik, da deret tak-higga,terlebih dahulu diberika beberapa Defiisi da Teorema. Defiisi [4] tegral Poisso, diotasika dega didefiisika oleh: l cos d,,, R. () Defiisi [3, h.] Misalka A R adalah iterval, fugsi f : A R dikataka kotiu di c A, jika utuk setiap terdapat sehigga utuk setiap A maka f f c. dega c, Defiisi 3 [3, h.96] Fugsi f a, b R a, b jika terdapat : dikataka teritegralka secara Riema pada maka tagged partisi pada b a, dimaa P, maka S f ; P L. Setiap fugsi yag teritegralka secara Riema pada a, b dilambagka dega a, b. Defiisi 4 [6, h.37] Fugsi logaritma atural, diotasika dega g l, didefiisika oleh: l dt,, t dega daerah asalya adalah bilaga real positif. Teorema[6, h.375] Apabila a da b bilaga-bilaga positif da r sebuah bilaga rasioal, maka (i) l. (ii) l ab l a l b. a (iii) l l a l b. b (iv) l a r r l a. Bukti: ( i) Dari Defiisi 4, JOM FMPA Volume No. Oktober 4 43

3 l dt t d d ( ii) l a a l. d a d Akibatya, terdapat kostata c sehigga l a c. Utuk meetuka c, ambil, l a l c, karea l, maka c l a. jadi l a l l a, sehigga utuk b, l ab l a l b. ( iii) Dari (ii) ambil a / b l l b l. b l. Jadi b b a berdasarka Teorema (ii) l l a., maka b b a l l a l b. b l b l b d r r r d d ( iv) l r r r l r l. r d d d Akibatya, terdapat kostata c sehigga l r r l c. Utuk meetuka c, ambil, l r l c, sehigga c. jadi, l r r l sehigga utuk, l a r r l a. Teorema [8, h.739] Jika z r cos i si maka z da rcos i si r cos i si. adalah bilaga bulat positif, Bukti:Dari idetitas Euler jadi Dega demikia sehigga z z r e i cos i si, i z re. i i r e r e, cos i si. JOM FMPA Volume No. Oktober 4 44

4 Defiisi 5 [, h.87] Misalka z a bi adalah sebarag bilaga kompleks, maka kojugat kompleks (comple cojugat) dari z diotasika dega simbol da didefiisika sebagai a bi. Dega kata lai, dega cara membalikka tada bagia imajier dari z. Defiisi 6 [5, h.77] Fugsi sius da cosius dalam bilaga kompleks didefiisika oleh: iz iz iz iz si z e e da cos z e e, i utuk semua bilaga kompleks z. Defiisi 7 [, h.64] Misalka,,,3,... adalah barisa fugsi yag didefiisika pada himpua E da himpua barisa Misalka pula f f Jika jumlah deret f lim maka f koverge utuk setiap E. f disebut koverge pada himpua E. f koverge pada setiap E da f f. f maka f disebut Defiisi 8 [7, h.47] f,,3,, koverge seragam pada himpua E ke fugsi f, jika utuk setiap terdapat N sedemikia higga dimaa N berlaku utuk semua E. f f, Defiisi 9 [7, h.47] Deret parsil yag didefiisika dega S f koverge seragam pada himpua E, i koverge seragam pada himpua E. f i S, i jika barisa 3. EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Sebelum meujuka ilai itegral Poisso dega cara jumlah Riema, fugsi fugsioal, turua parametrik, da deret tak-higga terlebih dahulu dibahas sifat-sifat pada itegral Poisso yag diyataka dalam betuk Teorema berikut. JOM FMPA Volume No. Oktober 4 45

5 Teorema 3 [4] Apabila, (i). (ii). (iii) l /,. da suatu bilaga real, maka Bukti: (i) Berdasarka Defiisi (), l d d. (ii) Dega megguaka Defiisi 4 pada persamaa (), Sehigga l cos d l cos d.. (iii) Persamaa () dapat juga ditulis l cos d. () Berdasarka Teorema (ii), maka persamaa () mejadi l d l cos, d l d /, dega megguaka Teorema (iv), Sehigga l d l. l,. Teorema 4 [4] Apabila l cos,. Bukti:. Dega megguaka jumlah Riema. Karea d maka,, cos, utuk, JOM FMPA Volume No. Oktober 4 46

6 maka persamaa () kotiu da teritegralka. Partisi iterval, mejadi subiterval dega titik partisi k k /, utuk k. S f ; P Jumlah Riema utuk, Selajutya, misalka k S f ; P l cos k l k cos. (3) k i e, diberika poliomial mempuyai buah pembuat ol yag berbeda. Akar-akar berbeda dari poliomialya adalah k, maka k JOM FMPA Volume No. Oktober k utuk k (4) Berdasarka Defiisi 5, Teorema, da Defiisi 6 persamaa (4) mejadi k cos, k sehigga k cos. k Substitusika persamaa (5) ke (3), S f ; P l. Berdasarka Defiisi 7 da karea, karea sehigga,,.. Dega megguaka persamaa fugsioal. Aka ditujukka lim S f ; P lim l., (6) Pertama, jumlahka dua persamaa tegral Poisso l cos d l cos d, (7) (5)

7 dega megguaka Teorema (ii) pada persamaa (7), Misalka, 4 l cos d. l cos d Selajutya dega substitusi t, l cos d. cos t d, l sehigga. (8) Berikutya dega megguaka Teorema 3(ii) pada persamaa (8), persamaa (6), dega megguaka persamaa (6) secara berulag, 4. Berikutya karea da berdasarka Defiisi 7,,, maka lim. Selajutya dega megguaka Teorema 3(i),. Sehigga. 3. Dega megguaka turua parametrik. dapat dituruka utuk, dega atura Leibitz, Karea cos ' d. (9) cos ' Jelas bahwa. Selajutya aka ditujukka ' utuk. Namu, sebelumya dega megguaka persamaa kerel Poisso aka ditujukka. () cos Guaka substitusi setegah sudut da misalka t ta, JOM FMPA Volume No. Oktober 4 48

8 dt d cos arcta t C arcta ta C. () Selajutya dega megguaka Teorema Dasar Kalkulus persamaa (), d lim arcta ta. cos Berikutya dega mesubstitusika persamaa () ke (9), ' Telah ditujukka maka d. cos ' utuk, Karea, telah ditujukka 4. Dega megguaka deret tak-higga. Aka ditujukka l ', utuk, C., utuk. cos cos. () Namu, sebelumya dega meyelesaika persamaa kerel Poisso dega Defiisi (6) da pecaha parsial,, i i i i cos e e e e dega perluasa deret geometri dapat ditulis dalam betuk cos. (3) cos Deret (3) memeuhi Defiisi (9) utuk, selajutya dega meguragi da membagi dega pada persamaa (3), cos cos. cos Deret (4) memeuhi Defiisi (9) utuk, dega megitegralka persamaa (4) terhadap dari ke, telah ditujukka persamaa (). Selajutya utuk meetuka ilai itegral Poisso itegralka persamaa () terhadap dari ke, t (4) JOM FMPA Volume No. Oktober 4 49

9 sehigga. 4. KESMPULAN Berdasarka pembahasa yag telah diuraika sebelumya maka dapat disimpulka bahwa ilai itegral Poisso dapat ditetuka dega empat cara yag berbeda. Pertama, jumlah Riema dega megguaka fugsi kotiu da selajutya megguaka kosep jumlah Riema maka dihasilka suatu persamaa yag dilambagka dega S f ; P. Persamaa tersebut dapat diselesaika dega sifat logaritma atural. Berikutya diberika persamaa poliomial dega akar-akar k berbeda dari poliomialya adalah, selajutya dega megguaka fugsi trigoometrik pada bilaga kompleks da Teorema De Moivre pada persamaa poliomial, sehigga persamaa poliomial yag dapat di substitusi pada S f ; P. Sehigga persamaa S f ; P dalam betuk baru, dega megguaka kosep barisa fugsi pada. S f ; P sehigga ( ) utuk Kedua persamaa fugsioal dega megguaka salah satu jeis persamaa fugsioal yaitu l y pada persamaa itegral Poisso sehigga persamaa fugsioal utuk itegral Poisso, dega meetapka pada persamaa tersebut persamaa fugsioal yag baru utuk itegral Poisso. Selajutya dega megguaka persamaa fugsioal secara berulag, da megguaka kosep barisa fugsi pada itegral Poisso ( ) utuk. Ketiga turua parametrik dega megguaka atura Leibitz pada itegral Poisso ' '. Selajutya ditujukka utuk da ' utuk. Dalam meujukka ' utuk diguaka persamaa kerel Poisso, C utuk. Sehigga ( ) utuk. Keempat deret tak-higga dega meujukka ilai itegral Poisso dega deret tak-higga, diberika persamaa kerel Poisso. Dalam meyelesaika persamaa kerel Poisso diguaka pecaha parsial da fugsi trigoometrik pada bilaga kompleks, berikutya betuk deret tak-higga utuk persamaa kerel Poisso. Selajutya itegralka kedua ruas tersebut terhadap dari ke. Dari hasil itegral tersebut itegralka kembali terhadap dari ke, selajutya dega megguaka kosep deret yag koverge seragam pada hasil itegral tersebut, ( ) utuk. JOM FMPA Volume No. Oktober 4 5

10 DAFTAR PUSTAKA d [] Ato, H Aljabar Liear Elemeter, 6 Ed. Terjemaha Elemetary Liear Algebra, Sith Editio, oleh Silaba, Patur &. N Susila. Erlagga, Jakarta. [] Apostol, T. M Mathematical Aalysis. Secod Editio. Adiso-Wesley Publishig Compay, New York. [3] Bartle, R. G & D. R. Serbet.. troductio to Real Aalysis. Third Editio. Jho Wiley & soc, c. New york. [4] Che. H.. Four Ways to Evaluate a Poisso tegral. ProQuest Sciece Jourals. 75 (4):9-94. [5] Poliouras, J. D Peubah Kompleks Utuk lmua da siyur. Terjemaha Comple Variables For Scietists ad Egieers, oleh Drs. Wibisoo Guawa. Erlagga, Jakarta. [6] Purcell, E. J. & D. Verbeg Kalkulus da lmu Ukur Aalitis Edisi Kelima:Jilid. Terjemaha Calculus With Aalytic Geometry, Fifth Editio, oleh Susila,. N., B. Kartasasmita & Rawuh. Erlagga, Jakarta. [7] Rudi, W Priciples of Mathematical Aalysis. Third Editio. McGraw- Hill, c. Tokyo. [8] Stewart. J Kalkulus, Edisi Kempat:Jilid. Terjemaha Calculus, Fourth Editio, oleh Susila,. N & Guawa, H. Erlagga, Jakarta. JOM FMPA Volume No. Oktober 4 5