KARAKTERISTIK MATRIKS CENTRO-SIMETRIS THE CHARACTERISTICS OF CENTROSYMMETRIC MATRICES

Transkripsi

1 ural Ilu Mateatika da erapa Deseber 206 Volue 0 Noor 2 Hal KAAKEIIK MAIK CENO-IMEI Bery Pebo oasouw urusa Mateatika FMIPA Uiversitas Pattiura l Ir M Putuhea, Kapus Upatti, Poka-Abo, Idoesia e-ail: pebobery@gailco Abstrak Matriks cetro-sietris erupaka atriks sietris yag eeuhi sifat tertetu Dala peelitia ii, aka dibahas betuk da beberapa sifat dasar dari atriks cetro-sietris serta ilai eige da vektor eigeya Kata Kuci: Matriks cetro-sietris, ilai eige, vector eige HE CHAACEIIC OF CENOYMMEIC MAICE Abstract Cetrosyetric is a syetric atrix which satisfy soe certai coditios I this paper, we will discuss the for ad soe basic properties of the cetrosyetric atrix also its eigevalues ad eigevectors Keywords: Cetrosyetric atrix, eige value, eige vector Pedahulua Kosep atriks cetro-sietris ucul dala buku yag ditulis A C Aitke [] dega judul Deteriats ad Matrices edagka F Graybill juga ebahas kosep atriks yag saa au dega aa atriks cross-sietris [2] Walaupu eiliki aa yag irip dega atriks sietris au sifat yag diiliki oleh atriks cotro-sietris sagatlah berbeda Beberapa peelitia eperlihatka bawha atriks cetro-sietris epuyai peraa petig dala asalah aalisis uerik, teori iforasi, proses Markov, persaaa diferesial, persegi ajaib aupu pegeala pola [3-8] Oleh karea itu, dala peelitia ii aka dibahas karakteristik dari atriks cetro-sietris beserta ilai eige da vektor eigeya Defiisi (Matriks ietris) Matriks AM dikataka sietris jika berlaku A A Defiisi 2 (Nilai Eige da Vektor Eige) Diberika atriks AM da vektor tak ol x kalar erupaka ilai eige dari A jika eeuhi Ax x Vektor x disebut vektor eige yag bersesuaia dega ilai eige 69

2 70 oasouw Karakteristik Matriks Cetro-ietris Defiisi 3 (Matriks iilar) Diberika atriks ABM, sedeikia sehigga berlaku A P B P Matriks A dikataka siilar dega B jika terdapat atriks o-sigular P Lea ika atriks A siilar dega atriks B aka det A det B Akibat Misalka atriks A siilar dega atriks B ika erupaka ilai eige dari B adalah ilai eige dari A aka juga Defiisi 4 (Matriks Ortogoal) Matriks o-sigular QM disebut atriks ortogoal jika eeuhi Q Q Defiisi 5 (Matriks cotra-idetitas) Matriks persegi disebut atriks cotra-idetitas jika berbetuk Lea 2 Matriks cotra-idetitas eeuhi sifat-sifat berikut : a b c k I, jika k geap, jika k gajil Defisi 6 (otasi Matriks) Diberika AM otasi dari atriks A diotasika dega A A Lea 3 otasi atriks A eeuhi sifat-sifat berikut : a A A b A A c A A, jika A o-sigular A da didefiisika sebagai

3 Barekeg: ural Ilu Mateatika da erapa Deseber 206 Volue 0 Noor 2 Hal Hasil da Pebahasa Defiisi 7 (Matriks Cetro-ietris) Diberika atriks berorde Matriks disebut atriks cetro-sietris jika eeuhi 3 2 Cotoh Matriks 2 3 adalah atriks cetro-sietris karea Cotoh 2 Matriks adalah atriks cetro-sietris 3 2 Cotoh di atas eperlihatka cotoh atriks sietris yag juga erupaka atriks cetro-sietris Nau hal ii tidak berlaku uu ataupu sebalikya seperti tapak pada cotoh 2 di atas Lea 4 berikut ii eperlihatka betuk uu dari atriks cetro-sietris berukura 2 2 da 3 3 Lea 4 a b i ika b a aka adalah atriks cetro-sietris a c b ii ika d e d aka adalah atriks cetro-sietris b c a elajutya, betuk uu atriks cetro-sietris dega orde 4 dibagi ke dala 2 kasus yaki geap da gajil Utuk kasus geap yaki 2aka isalka atriks berbetuk atriks blok sebagai berikut A C B D, dega A, B, C, da D adalah atriks persegi berorde Matriks harus eeuhi O A C O A C O B D O B D D B A C C A BD sehigga Dari betuk terakhir diperoleh D A da C B Hasil ii diperlihatka dala Lea berikut

4 72 oasouw Karakteristik Matriks Cetro-ietris Lea 5 ika adalah atriks cetro-sietris berorde geap yaki 2 aka dapat ditulis dala betruk atriks blok sebagai berikut A B B A, dega A da B adalah atriks persegi berorde Betuk atriks pada Lea di atas bukalah betuk tuggal karea atriks dapat juga ditulis dala betuk A B A B B A atau B A Cotoh 3 Matriks adalah atriks cetro-sietris karea dapat ditulis dala betuk A B B A dega 3 da B 3 2 A elajutya, utuk atriks persegi berorde gajil yaki 2aka isalka berbetuk atriks blok sebagai berikut A q B p s C r D dega A, B, C, D adalah atriks persegi berorde, vektor p, q, r, s da Matriks harus eeuhi sehigga O 0 A p C O 0 A p C 0 0 q r 0 0 q r 0 O B s D 0 O B s D D s B A p C r q q r C p A B s D Dari betuk terakhir diperoleh persaaa : i D A da D A ii s p da p s iii r iv C q da r q B da C B Dari hasil ii dapat dibetuk Lea berikut

5 Barekeg: ural Ilu Mateatika da erapa Deseber 206 Volue 0 Noor 2 Hal Lea 6 ika adalah atriks cetro-sietris berorde gajil yaki betruk atriks blok sebagai berikut A p B, B p A 2 aka dapat ditulis dala dega AB, adalah atriks persegi berorde, vektor pq, da elajutya, Lea berikut aka ebatu dala ecari atriks yag siilar dega atriks cetrosietris Lea 7 I I a Matriks Q 2 adalah atriks ortogoal berorde 2 I 0 I b Matriks Q adalah atriks ortogoal berorde 2 Dega egguaka atriks Q da Q 2 pada Lea ii aka dapat dicari atriks yag siilar dega atriks cetro-sietris Utuk kasus geap aka isalka D adalah atriks yag siilar Matriks cetro-sietris da D harus eeuhi Q DQ atau D Q Q I A B I I 2 I B A 2 2 A B O 2 O 2 A B A B O O A B edagka utuk kasus gajil diperoleh atriks D 2 yag siilar yaitu D Q Q I 0 A p B I 0 I I B A 0 p 0 2 A B 0 O q 2 O 2 2 p 2 A B

6 74 oasouw Karakteristik Matriks Cetro-ietris A B 0 O 0 2 q O 2 A B p Dari hasil ii dapat dibetuk eorea berikut eorea A B I I a ika B A da Q 2 A B O D O A B aka siilar dega atriks diagoal blok A p B I 0 I b ika da Q B p A 0 A B 0 O blok D2 0 2 q O 2 A B p Dari eorea diperoleh tiga akibat sebagai berikut aka siilar dega atriks diagoal Akibat 2 Deteria dari atriks cetro-sietris adalah a Utuk geap A B det det det B A A B A B b Utuk gajil A p B 2 det q det A B det 2 A B B A p p Akibat 3 ika dega A B B A serta atriks F G G F 2 G F F G F A B da G A B A B da A B tak sigular aka

7 Barekeg: ural Ilu Mateatika da erapa Deseber 206 Volue 0 Noor 2 Hal Akibat 4 Nilai eige dari atriks cetro-sietris adalah a Utuk geap A Nilai eige dari B A B B A adalah ilai eige dari atriks A B b Utuk gajil A p B Nilai eige dari adalah ilai eige dari atriks B p A 2 q atriks 2 p A B da ilai eige dari atriks A B da ilai eige dari Betuk vektor eige dari atriks cetro-sietris diperlihatka dala eorea berikut A B eorea 2 Diberika atriks cetro-sietris B A a ika vektor eige dari A B adalah y aka vektor eige dari adalah v b ika vektor eige dari A B adalah z aka vektor eige dari adalah w Bukti a Misalka ilai eige dari A B adalah ditujukka bahwa berlaku v v v A B y B A y Ay By B A y y A B y AB y y y y v y Karea v v aka terbukti v y y z z dega vektor eige yag bersesuaia adalah y Harus y adalah vektor eige dari y

8 76 oasouw Karakteristik Matriks Cetro-ietris b Misalka ilai eige dari A B adalah dega vektor eige yag bersesuaia adalah z Harus ditujukka bahwa berlaku v A B z B A z Az Bz B A z z A B z A B z z z z w z w w Karea w w aka terbukti bahwa w z z adalah vektor eige dari Daftar Pustaka [] ACAitke, Deteriats ad Matrices, Ediburgh Oliver ad Boyd, 939 [2] F Graybill, Itroductio to Matrices with Applicatio i tatistics, Wadsworth Belot, 969 [3] A C a P Butler, "Properties of the Eige vectors of Persyetric Matrices with Applicatios to Couicatio heory IEEE rasactios o Couicatios," vol 24, pp pp , 976 [4] Delas, "O Adaptive EVD Asyptotic Distributio of Cetro-yetric Covariace Matrices" IEEE rasactios o igal Processig," Vol47, pp , 999 [5] W Che, YYu ad X Wag, "educig the Coputatioal equireet of Differetial Quadrature Method" Nuerical Methods for Partial Differetial Equatios," Vol2, pp , 996 [6] F teger, "Matrices of ic Methods," oural of Coputatioal ad Applied Matheatics, Vol 86, pp297-30, 997 [7] B Mattigly, "Eve Order egular Magic quares Are igular," he Aerica Matheatical Mothly, Vol07, pp pp , 2000 [8] L Datta ad Morgera, "oe esults o Matrix yetries ad a Patter ecogitio Applicatio," IEEE rasactios o igal Processig, Vol34, No4, pp , 986