4. Mononom dan Polinom

Transkripsi

1 Darpulic 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan jumlah teratas dari mononom. Berikut ini eerapa contoh fungsi polinom dalam entuk eksplisit = = ( 5) = 4 = 5 Contoh ang pertama,, adalah fungsi polinom erpangkat tiga, aitu pangkat tertinggi dari peuah eas. Contoh ke-dua,, adalah fungsi erpangkat empat. Contoh dan 4 adalah fungsi mononom erpangkat satu dan erpangkat nol ang telah kita kenal seagai fungsi linier dan fungsi tetapan ang memiliki kurva erentuk garis lurus. 4.. Mononom Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang seagai fungsi genap, kita tuliskan = k (4.) Karena di-kuadratkan, maka mengganti dengan tidak akan menguah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumu-. Nilai hana akan negatif manakala k negatif. Kita ingat ahwa pada fungsi linier = k nilai k merupakan kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumu-, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin esar kemiringan garis makin tajam. Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan erada di atas sumu- jika k positif dan akan erada di awah sumu- jika k negatif. Jika k makin esar lengkungan kurva akan semakin tajam. G. 4.. memperlihatkan kurva fungsi (4.) untuk tiga macam nilai positif k. Makin esar nilai k akan memuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah ahwa pada =, nilai sama dengan k = 5 = = G.4.. Kurva fungsi = k dengan k positif. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom /

2 Darpulic G.4. memperlihatkan entuk kurva jika k ernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adana nilai minimum, aitu pada titik [,], kurva untuk k negatif menunjukkan adana nilai maksimum pada titik [,] = = G.4.. Kurva fungsi = k dengan k negatif. Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k ang positif; kita akan melihat agaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva seesar a skala sejajar sumu- diperoleh dengan menggantikan peuah dengan ( a), dan pergeseran sejajar sumu- seesar skala diperoleh dengan mengganti dengan ( ). Dengan demikian persamaan mononom pangkat dua ang tergeser menjadi ) = k( ) (4.) ( a Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada G.4.. untuk a = dan =, a = dan =, serta a = dan =. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =, persamaan dapat kita tuliskan menjadi = = ( ) = ( ) + = ( ) + = = ( ) G.4.. Pergeseran kurva mononom pangkat dua. Perhatikanlah ahwa adalah pergeseran dari ke arah positif sumu- seesar skala; adalah pergeseran dari ke arah positif sumu- seesar skala. Bentuk lengkungan kurva tidak eruah. Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap ang lain adalah erpangkat 4, 6 dan seterusna. Semua mononom pangkat genap akan mementuk kurva ang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua aitu simetris terhadap sumu-, erada di atas sumu- jika k positif dan erada di awah sumu- jika k negatif. G.4.4. memperlihatkan peredaan entuk kurva mononom pangkat genap ang memiliki koefisien k sama esar. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom /

3 Darpulic Kita lihat pada G.4.4. ahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai ertamah namun hal ini hana terlihat mulai dari =. Pada nilai leih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat ilangan pecahan ernilai makin kecil jika pangkat makin esar. = = 4 = G.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama. Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, ahwa jika koefisien k makin esar lengkungan menjadi makin tajam. Hal ang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap ang leih tinggi. G.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien ang ang meningkat dengan meningkatna pangkat. = 6 6 = 4 = G.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama. Pada G.4.5 terlihat ahwa makin esar k, nilai juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan dengan koefisien ang leih esar sudah mulai terjadi pada nilai kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai ang kecil tetap terlihat. Kurva-kurva pada G.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien ang makin esar pada pangkat ang makin esar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat ang makin esar, situasi ang akan terjadi adalah seperti terlihat pada G.4.6 erikut ini. G.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien ang makin rendah pada mononom erpangkat tinggi = 6 = 4 = Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom /

4 Darpulic Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai ang kecil. Kurva pangkat tinggi aru akan menusul kurva erpangkat rendah pada nilai > ; perpotongan dengan kurva dari fungsi ang erpangkat rendah terjadi pada nilai ang esar. Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita amil eerapa contoh peristiwa fisis. ). Suatu enda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan enda seagai fungsi waktu (apaila kecepatan awal adalah nol) dapat dinatakan seagai (lihat contoh fungsi linier su-a-.7). v ( t) = at Jarak ang ditempuh mulai dari titik awal adalah s ( t) = at ). Dalam taung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah v k = at anoda ] katoda l (lihat contoh fungsi linier su-a-.7). Waktu tempuh dapat dihitung dari formula s ( t) = at, di mana s(t) = l. ). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang seagai gelomang, fungsi j r gelomang dari elektron-eas diawah pengaruh medan sentral adalah ψ = e k dengan k adalah vektor ilangan gelomang ang searah dengan ramatan gelomang. k = π, λ : panjang gelomang λ Energi kinetik elektron seagai gelomang, E k, adalah E k = h k m m e massa electron, h suatu konstanta. E k dan k memiliki relasi mononomial pangkat dua (Dari Ba-8, ref. [4]) e Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah dan dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis = k. Pangkat ganjil erikutna adalah, 5, 7 dan seterusna. G.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom erpangkat ganjil. E k k Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom 4/

5 Darpulic Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia ernilai positif untuk positif dan ernilai negatif untuk negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat peruahan nilai untuk >. Untuk < kurva makin landai ang erarti makin tajam pemengkokan garis lurus ang terjadi di dalam rentang. G.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil. Apaila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis = k isa terjadi pada nilai <. 4.. Polinom Pangkat Dua Fungsi polinom pangkat dua erentuk - - (4.4) = a + + c = = = Berikut ini kita akan melihat apa ang terjadi pada proses penamahan mononom demi mononom. Untuk penggamaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diamil semua koefisien mononom positif. Dengan mengamil nilai-nilai a =, = 5, dan c =, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada G = - =5 = -5 G.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat. Jika kurva = 5 ditamahkan pada = maka kurva akan ertamah tinggi di seelah kanan titik [,] dan menjadi rendah di seelah kiri titik [,] seperti terlihat pada G.4.7.a. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom 5/

6 Darpulic 4 = +5 = 5 sumu simetri 5/4 5 4 = +5 = 5/ - =5 (a) -5 () - 5/ 5 sumu simetri 5 = = (c) G.4.7. Penjumlahan =, = 5, dan = Karena = 5 melalui titik [,] dan = juga melalui titik [,] maka penjumlahan kedua kurva akan memerikan kurva + = = (4.5) ang juga melalui titik [,]. Selain di = kurva penjumlahan ini juga memotong sumu- di = 5 / karena dua titik ini (aitu = dan = 5 / ) memenuhi persamaan. Kurva ini memiliki sumu simetri ang memotong sumu- di = 5 / 4 seperti terlihat pada G Jika kemudian tetapan ditamahkan pada 4 teentuklah = + 5 = (4.6) 5 = ang merupakan pergeseran dari 4 ke arah positif sumu- seesar skala, seperti terlihat pada G.4.7.c. Kita lihat sekarang entuk umum fungsi pangkat dua (4.4) ang dapat kita tuliskan seagai -5 = a + + c = a + = a + a a a + c = a + 4ac 4a + c 4a (4.7) Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom 6/

7 Darpulic Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami seagai erikut: kurva adalah kurva = a ang tergeser sejajar sumu- sejauh 4ac 4a. Perhatikan G.4.8. a kemudian tergeser lagi sejajar sumu- sejauh = a + +c = a a G.4.8. Pergeseran kurva = a sejajar sumu- ke kiri sejauh /a kemudian tergeser lagi sejajar sumu- ke awah sejauh ( 4ac)/4a. Sumu simetri terletak pada a = dan kurva memotong sumu- di seelah kiri dan kanan sumu simetri ini, aitu di dan. Dari persamaan (4.7) kita dapatkan } -5 4ac 4a 4ac = a + = a 4a a + a 4ac = 4a 4ac + = a 4a, ± a a 4ac + = ± a 4a 4ac ang kita kenal seagai akar-akar persamaan kuadrat. = (4.8) Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat ersinggungan dengan sumu-; dua akar nata dari persamaan kuadrat menjadi sama esar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumu- ernilai nol 4ac = ( 4ac) = 4a (4.9) Jika ( 4ac) < maka kurva tidak memotong sumu-. Keadaan ini memerikan akar kompleks ang elum akan kita ahas. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom 7/

8 Darpulic Tinjauan di atas memerikan hal-hal erikut:. Jika c =, maka fungsi menjadi = a + ang memotong sumu- di = dan dan memiliki sumu simetri di kuadrat = a + + c. a = = ang juga menjadi sumu simetri kurva fungsi. Nilai puncak fungsi = a + + c adalah nilai puncak = a + ditamah c aitu = + c 4 a atau 4 ac. 4a. Fungsi kuadrat = a + + c memotong sumu- di a, = ± a 4ac a 4.. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan = k. Jika k positif, fungsi ini akan ernilai positif untuk positif dan ernilai negatif untuk negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sealikna. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada G.4.9. = 5 4 = = = G.4.9. Kurva fungsi = k. Fungsi mononom ang tergeser sejajar dengan sumu- dengan pergeseran seesar a skala diperoleh dengan mengganti peuah dengan ( a), dan jika tergeser sejajar sumu seesar skala kita peroleh dengan mengganti dengan ( ). Fungsi mononom pangkat tiga ang tergeser akan menjadi = k a) + dengan entuk kurva diperlihatkan pada G.4.. ( (4.) Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom 8/

9 Darpulic = = ( ) -4 = ( ) + -6 G.4.. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser. Jika mononom pangkat tiga ditamahkan pada polinom pangkat dua, terentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum ang erentuk (4.) = a + + c + d Karena = k naik untuk positif (pada k positif) maka penamahan ke fungsi kuadrat akan meneakan kurva fungsi kuadrat naik di seelah kanan titik-asal [,] dan turun di seelah kiri [,]. Kita amil a = 4 untuk menggamarkan = a dan =9, c = 8, d = untuk menggamarkan kurva fungsi = + c + d seperti terlihat pada G.4..a. = 9 8 = 4 - (a) - = = () - G.4.. Mononom pangkat tiga dan fungsi kuadrat. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom 9/

10 Darpulic Dengan a positif maka kurva ernilai positif untuk > dan ernilai negatif untuk <. Kurva fungsi kuadrat telah kita kenal. Jika ditamahkan pada maka nilai-nilai di seelah kiri titik [,] akan erkurang sedangkan ang di seelah kanan titik [,] akan ertamah. Kurva ang kita peroleh akan terlihat seperti pada G Terlihat pada gamar ini ahwa penjumlahan dan menghasilkan kurva ang memotong sumu- di tiga titik. Ini erarti ahwa persamaan pangkat tiga a + + c + d = (dengan nilai koefisien ang kita amil) memiliki tiga akar nata, ang ditunjukkan oleh perpotongan fungsi dengan sumu- terseut. Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva di daerah negatif tidak terlalu tajam. Hal ini meneakan pengurangan nilai didaerah ini juga tidak terlalu anak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada G.4..a. Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumu- di tiga tempat akan tetapi ang terlihat hana dua. Titik potong ang ke-tiga erada jauh di negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan ang ke-tiga ini. = + - (a) a kurang positif () a terlalu positif = + G.4.. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga = +. Jika koefisien a terlalu positif, penurunan di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan di daerah ini terjadi sangat esar. Kurva ang kita peroleh akan terlihat seperti pada G.4... Di sini kurva tidak memotong sumu- di daerah negatif. Hana ada satu titik potong di sumu- positif. Jika a = akan terjadi fungsi kuadrat ang sudah kita ahas di su-a seelumna. Kita lihat sekarang keadaan di mana a ernilai negatif. Nilai a negatif akan memuat kurva ernilai positif di daerah negatif dan ernilai negatif di daerah positif. Hal ini - Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom /

11 Darpulic meneakan nilai akan ertamah di daerah negatif dan akan erkurang di daerah positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva ang kita peroleh akan erentuk seperti terlihat pada G.4..a. = (a) - = () - G.4.. Fungsi pangkat tiga = + dengan a negatif. Kurva erpotongan dengan sumu- di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan ang ketiga erada jauh di daerah positif. Makin negatif a makin jauh letak titik perpotongan terseut. Jika a terlalu negatif kurva erpotongan dengan sumu- di satu tempat, seperti terlihat pada G.4... CATATAN: Sesungguhna perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumu- tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama a. Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratna, juga akan menentukan letak titik potong Domain, Kekontinuan, Simetri Peuah pada semua fungsi polinom dapat mengamil nilai dari sampai +. Nilai peuah akan mengikuti nilai. Fungsi polinom kontinu dalam rentang terseut. Demikian pula halna jika kita mempunai fungsi ang merupakan hasilkali antara polinom dengan polinom, =. Kita telah melihat ahwa kurva mononom pangkat dua = k simetris terhadap sumu- karena penggantian dengan tidak menguah fungsi ini. Hal ini juga akan erlaku untuk semua kurva mononom ang erpangkat genap. Kenataan ini menimulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi ang simetris terhadap sumu-; misalna fungsi cosinus ang akan kita pelajari di a lain. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom /

12 Darpulic Kita juga telah melihat ahwa kurva mononom pangkat tiga = k simetris terhadap titik asal [,]. Penggantian dengan dan penggantian dengan tidak akan menguah fungsi ini. Hal ini erlaku pula untuk semua kurva mononom erpangkat ganjil. Istilah simetri ganjil dierikan pada fungsi ang simetris terhadap titik asal [,], seperti fungsi sinus ang akan kita pelajari di Ba-6. Penjumlahan antara mononom erpangkat genap dengan mononom erpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva ang memiliki sumu simetri. Hal ini diseakan karena kaidah untuk terjadina simetri agi mononom erpangkat genap tidak sama dengan kaidah ang diperlukan untuk terjadina simetri pada kurva mononom erpangkat ganjil. Keadaan khusus terjadi pada mononom erpangkat satu ang juga merupakan mononom erpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga simetris terhadap titik asal [,]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier dengan kurva ang erentuk garis lurus, ereda dengan kurva fungsi mononom pangkat tiga. Kelinieran ini meneakan penjumlahan dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva fungsi pangkat dua; kurva ang tergeser ini memiliki sumu simetri ang sejajar dengan sumu-. Sudaratno Sudirham, Mononom dan Polinom /