Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II"

Ridwan Hardja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4]

2 PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen. Persamaan Differensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum : y + ay + by = 0 dimana a, b merupakan konstanta sebarang.

3 Solusi Homogen Diketahui y + ay + by = 0 Misalkan y=e rx Persamaannya berubah menjadi r + ar + b = 0, sebuah persamaan kuadrat. Jadi kemungkinan akarnya ada 3 yaitu:. Akar real berbeda (r,r ; dimana r r ) Memiliki solusi basis y = e r x dan y = e r x dan mempunyai solusi umum y = C e r x + C e r x 3

4 Solusi Homogen. Akar real kembar (r,r ; dimana r = r =r ) Memiliki solusi basis y = e r x dan y =x e r x dan mempunyai solusi umum y = C e r x + C x e r x 3.Akar kompleks kojugate (r = u + wi, r = u wi) Memiliki solusi basis y = e ux cos wx; dan y = e ux sin wx dan mempunyai solusi umum y = e ux ( C cos wx + C sin wx ) 4

5 Contoh soal. y + 5y + 6y = 0 Persamaan karakteristiknya: ( r + ) ( r + 3 ) = 0 r = - atau r = -3 maka solusinya : y = C e - x + C e -3x. y + 6y + 9y = 0 Persamaan karakteristiknya: ( r + 3 ) ( r + 3 ) = 0 r = r = -3 maka solusinya : y = C e -3x + C x e -3x 3. y + 4y = 0 Persamaan karakteristiknya: r + 4 = 0 ± 4..4 r = = ± i maka solusinya : y = C cos x + C sin x 5

6 Latihan. y 3y -4y=0. y 9y=0 3. y + 4y=0 4. y +y =0 5. y 4y + 4y=0 6. y + 3y 4y=0 7. y + 9y= 0 8. y + y =0 9. y 4y=0, y=4, y =0 bila x=0 0. y 5y + 6y=0, y=, y =0 bila x=0 6

7 Persamaan Differensial non homogen Bentuk umum: dengan r(x) 0 y + p(x)y + g(x)y = r(x) Solusi total : y = y h + y p Dimana y h = solusi P D homogen y p = solusi P D non homogen Menentukan y p. Metode koefisien tak tentu. Metode variasi parameter 7

8 Metode koefisien tak tentu pilihlah y p yang serupa dengan r(x), lalu substitusikan ke dalam persamaan. r(x) = e mx r(x) y p = A e mx y p r(x) = X n y p = A n X n + A n- X n- +.+A X + A 0 r(x) = sin wx y p = A cos wx + B sin wx r(x) =cos wx y p = A cos wx + B sin wx r(x) = e ux sin wx y p = e ux (A cos wx + B sin wx ) R(x) =e ux cos wx y p = e ux (A cos wx + B sin wx ) Ctt: Solusi Parsial tidak boleh muncul pada solusi homogennya. Jika hal ini terjadi, kalikan solusi khususnya dengan faktor x atau x sehingga tidak memuat lagi solusi homogennya. 8

9 Contoh. y 3y + y = e -x Jawab: Persamaan karakteristiknya: r 3r + = 0 (r )(r ) = 0 Sehingga didapat r = dan r = Jadi solusi homogennya adalah y h = C e x + C e x Untuk y p dipilih y p = A e -x y p =-A e -x y p = A e -x KemudianmasukankePD diatas: A e -x + 3 A e -x + A e -x = e -x 6 A e -x = e -x A = /6 Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C e x + C e x + /6 e -x 9

10 Contoh. y 3y + y = cos x Jawab: Persamaan karakteristiknya: r 3 r + = 0 (r ) (r ) = 0 Sehingga didapat r = dan r = Jadi solusi homogennya adalah y h = C e x + C e x Untuk y p dipilih y p = A cos x + B sin x y p = -A sinx + B cos x KemudianmasukankePD diatas: y p = -A cosx B sin x (-A cos x B sin x) 3(-A sin x + B cos x)+(a cos x +B sin x)= cos x (-A-3B+A) cos x + (-B+3A+B) sin x= cos x (-3B + A) cos x + (3A+B) sin x= cos x -3B + A = dan 3A+B= 0 0

11 Contoh (no. Lanjutan) Didapat A = /0 dan B = -3/0 Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C e x + C e x + (/0) cos x (3/0) sin x 3. y 3y + y = e -x + cos x Jawab: Dari contoh dan didapat, solusi umumnya adalah y = C e x + C e x + (/6) e -x + (/0) cos x (3/0) sin x

12 Contoh 4. y 3y + y = e x, y(0)=, y (0)=- Jawab: Persamaan karakteristiknya: r 3 r + = 0 (r )(r ) = 0 Sehingga didapat r = dan r = Jadi solusi homogennya adalah y h = C e x + C e x Untuk y p dipilih y p = A x e x y p = A e x + A x e x KemudianmasukankePD diatas: y p = A e x + A x e x Ae x +Axe x 3(Ae x + Axe x ) + Axe x = e x -A e x = e x A = - Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C e x + C e x xe x

13 Contoh Kita punya y(0)= dan y (0)=- y = C e x + C e x x e x =C +C y = C e x + C e x e x xe x Didapat C =-, dan C = 0=C +C Jadi solusi khusus PD di atas adalah y = e x + e x x e x 3

14 Latihan. y 3y -4y=3x +. y 9y=x+ 3. y 3y 4y=e x 4. y + 4y= sin x 5. y 3y -4y=e -x 6. y + 4y= cos x 7. y +y =3x + 8. y 4y + 4y=e x 9. y + 3y 4y=3x + 0. y + 9y= sin 3x+e x. y + y =e x + 3x. y 4y=4 sinx, y=4, y =0 bila x=0 3. y 5y + 6y=e x, y=, y =0 bila x=0 4

15 Metode Variasi Parameter Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaanpersamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Persamaan Differensial orde dua non homogen y + a y + b y = r(x) memiliki solusi total : y = y h + y p misal y p = u y + v y dimana u = u(x) ; v = v(x) maka y p = u y + u y + v y + v y pilih u dan v sehingga : u y + v y = 0.(*) 5

16 Metode Variasi Parameter y p = u y + v y y p = u y + u y + v y + vy Substitusikan y p, y p, y p ke dalam persamaan awal sehingga di dapatkan : u y + u y + v y + vy + a (u y + v y )+ b ( u y + v y ) = r(x) u ( y + a y + b y ) + v ( y + a y + b y ) + u y + v y = r (x) u y + v y = r (x).(**) 6

17 Metode Variasi Parameter Eleminasi (*) dan (**) di peroleh : u y + v y = 0 u y + v y = r (x) dengan aturan cramer diperoleh 0 r(x) y' y r(x) ' = u = dx y y W y ' y y u Keterangan: W = ' y y y' y' y y' r(x) y r(x) ' = v = dx y y W y ' y 0 v ' 7

18 Contoh. y + y = tan x Jawab: Persamaan karakteristiknya: r + = 0 r = ± i Jadi solusi homogennya adalah y h = C cos x + C sin x Untuk y p dipilih y p = u y + v y dengan y = cos x y = sin x y = - sin x y = cos x W= y y y y =cos x+sin x = Sehingga diperoleh sin x tan x sin u = dx = x dx cos x = cos x dx cos x (sec = x cos x) dx 8

19 Contoh (Lanjutan) + = sec x dx cos x dx = ln sec x + tan x + sin x Sedangkan, cos x tan x v = dx = sin x dx = cos x Jadi solusi non homogen didapat y p = = ( ln sec x + tan x ) cos x + sin x cos x sin x cos x ( ln sec x + tan x ) cos x Jadi solusi umum dari persamaan diferensial di atas y = C cos x + C sin x + ( ln sec x tan x ) cos x 9

20 Contoh. y +9y = sec 3x Jawab: Persamaan karakteristiknya: r + 9 = 0 r = ± 3 i Jadi solusi homogennya adalah y h = C cos 3x + C sin 3x Untuk y p dipilih y p = u y + v y dengan y = cos 3x y = sin 3x y = -3 sin 3x y = 3 cos 3x W= y y y y =3cos 3x+3 sin 3x =3 Sehingga diperoleh sin 3xsec 3x u = dx = 3 sec3x tan 3x dx 3 = 9 sec 3x 0

21 Contoh (Lanjutan) Sedangkan, cos 3xsec 3x v = dx = sec 3x dx = ln sec3x + tan 3x Jadi solusi non homogen didapat y p = sec3x cos3x + ( ln sec3x + tan 3x ) sin 3x 9 9 y p = + ( ln sec3x + tan 3x ) sin 3x 9 9 Jadi solusi umum dari persamaan diferensial di atas y = C cos3x + C sin 3x ( ln sec3x tan 3x ) sin x

22 Latihan. y + y = cosec x cot x. y + y = cot x x e 3. y 3 y + y = x e + x e 4. y + 4 y + 4 y = x 5. y + 4 y = 3 cosec x 6. y + 4 y = 3 cosec x 7. 4 y + y = sec (x/) x e 8. y y + y = + x

23 Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Penggunaan PD Orde II [MA4]

24 Penerapan dalam Rangkaian Listrik Perhatikan suatu rangkaian (gambar samping) dengan sebuah tahanan (R ohm), dan sebuah kumparan (L Henry) dan sebuah kapasitor (C farad) dalam rangkaian seri dengan sumber gaya elektromotif yang menyediakan suatu voltase E(t) volt pada saat t. Hukum Kirchhoff untuk kasus ini, muatan Q pada kapasitor, diukur dalam coulomb, memenuhi d Q dq L + R + Q = dt dt C E() t 4

25 Arus (Lanjutan) I = dq dt, diukur dalam ampere, memenuhi persamaan yang diperoleh dengan pendiferensialan persamaan di atas terhadap t, yaitu L d I dt + R di dt + C I = E' () t 5

26 Contoh Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RLC dengan R = 6 ohm, L = 0,0 henry, C = x 0-4 farad dan E = Volt dengan diasumsikan saat awal arus dan muatannya adalah nol (pada waktu saklar S ditutup) Jawab Dari hukum kirchhoff, tentang rangkaian RLC didapat 0,0 Q" + 6 Q' Q = Atau bisa disederhanakan Q" Q' Q = 600 6

27 Contoh Persamaan karakteristiknya adalah r r = 0 Diperoleh akar akar persamaannya : Solusi homogen : Q r = 400 ± 300i ( C 300t + C sin t) 400 t Qh = e cos 300 Dengan menggunakan metode koefisien tak tentu, dengan mengambil Q p = A, di dapat 3 =,4 x 0 Q p Jadi solusi umumnya adalah ( C cos 300t + C sin 300t ) t =,4 x 0 + e 7

28 Rangkaian RLC Dengan memasukkan syarat awal Q(0) =0 dan I(0)=0 maka diperoleh C =,4 x 0 Q = dan Jadi solusi khususnya adalah C = 3, x 0 (,4 cos 300t + 3, sin 300t ) [ e ] 400 t,4 Dengan pendiferensialan diperoleh I( t) = Q'( t) = e 400t sin300t 3 8

29 Latihan. Hitunglah kuat arus yang mengalir dalam suatu rangkaian RLC dengan nilai R = 00 ohm, L = 0, henry, C = 0-3 farad yang dihubungkan dengan sumber tegangan E(t) = 55 sin 377 t dengan diasumsikan pada saat awal arus dan muatannya adalah nol.. Tentukan muatan Q sebagai fungsi dari waktu t yang mengalir dalam suatu rangkaian RC dengan R = 0 6 ohm, C = 0-6 farad dan sumber tegangannya konstan dengan E = Volt dan diasumsikan saat awal muatannya adalah nol. 9

30 Latihan 3. Hitunglah muatan dan kuat arus I yang mengalir dalam suatu rangkaian RLC dengan nilai R = 000 ohm, L = 3,5 henry, C = x 0-6 farad yang dihubungkan dengan sumber tegangan E(t) = 0 sin 377t dengan diasumsikan pada saat awal arus dan muatannya adalah nol. 4. Tentukan kuat arus I sebagai fungsi dari waktu t yang mengalir dalam suatu rangkaian LC dengan L = 0 - Henry, C = 0-7 farad dan sumber tegangannya konstan dengan E = 0 Volt dan diasumsikan saat awal muatan dan arusnya adalah nol. 30

dokumen-dokumen yang mirip

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka