TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Transkripsi

1 SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin cos tan f ( ) cos sin sec f (0) cos0 sin 0 sec 0 cos Oya, jangan lupa tabel nilai fungsi trigonometri ya! SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

2 Soal Jika f ( ) sin cos maka f ( ) Perhatikan fungsi pada soal mengandung unsur dan yang merupakan bentuk u = fungsi dari () Ingat rumus: y y sin u y (cos u) u cos u y (sin u) u Karena f ( ) sin cos maka f ( ) (cos ) ( sin ) cos (sin cos (sin ) ) cos (sin ) Keterangan: Karena maka turunan dari adalah Perhatikan pada perkalian (cos ) (sin ) tidak bisa menjadi sin tidak bisa menjadi (cos ), juga perkalian SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

3 Soal Diketahui f ( ) cot sec acosec dan ( ) f Tentukan nilai a Perhatikan iklan pada kereta cepat berikut ini! y cot y cosec y sec y tan sec y cosec y cot cosec Dengan menggunakan rumus tersebut, maka f ( ) cot sec acosec Ingat f ( ) cosec tan sec acot cosec f ( ) cosec ( ) tan( )sec( ) acot( ) cosec( ) tan( ) a sin ( ) cos( ) tan( ) sin( ) rad = 80 5 a, sehingga persamaan menjadi: ( ) ( ) ( ) a a a a a a SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

4 Soal Diketahui f ( ) 5sin( ) Tentukan f () Gunakan formula: f ( ) asin u f ( ) a(cos u) u Karena f ( ) 5sin( ) maka f ( ) 5[cos( )]( ) (0 0) cos( ) 0( ) cos( ) Soal 5 Diketahui f ( ) cos Tentukan ( 9 ) f Gunakan formula: f ( ) n n U f ( ) nu U Karena f ( ) cos (cos) maka f ( ) (cos) ( sin) (cos) (sin) sin cos (Di atas kita gunakan turunan dari cos adalah ( sin)) Sehingga f ( 9 sin ) cos 9 sin 60 cos SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

5 Soal 6 Diketahui f ( ) tan Tentukan f () Gunakan formula: f ( ) U V f ( ) UV UV dengan U dan V tan Jadi, f ( ) tan U V f ( ) UV UV tan (sec ) tan sec Soal 7 Diketahui cos6 f ( ) Tentukan ( ) sin f U UV UV Gunakan formula: f ( ) f ( ) V V dengan U cos 6 dan V sin (sin ) Cari dulu U dan V : U (sin 6)6 6sin 6 V (sin ) (cos ) (sin ) (cos ) cos sin UV UV f ( ) V 6(sin 6)( sin ) (cos6) Maka ( sin ) cos sin Masukkan 90, SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 5

6 f ( ) f ( ) 6(sin 50)( f (90) 60( ( ) ( ) ) 0 sin90) (cos 50) ( 0 0 sin90) 0 cos90 sin90 Soal 8 Jelasin aku dong tentang titik maksimum global (mutlak), titik maksimum lokal (relatif), titik minimum global (mutlak), titik minimum lokal (relatif), titik ekstrim, titik stasioner, titik singular, fungsi naik, fungsi turun, cekung ke atas, cekung ke bawah dan titik belok dari fungsi y = f ()! Maaf ya merepotkan! Titik maksimum global (atau disebut juga titik maksimum mutlak) dari grafik y f () adalah titik yang paling tinggi pada grafik tersebut Tidak ada titik lain yang lebih tinggi dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada) Nilai y dari titik maksimum global disebut nilai maksimum global Titik minimum global (atau disebut juga titik minimum mutlak) dari grafik y f () adalah titik yang paling rendah pada grafik tersebut Tidak ada titik lain yang lebih rendah dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada) Nilai y dari titik minimum global disebut nilai minimum global Titik maksimum lokal (atau disebut juga titik maksimum relatif) dari grafik y f () adalah titik yang paling tinggi pada bagian grafik di dekat titik tersebut, tetapi (mungkin) bukan paling tinggi pada semua bagian grafik Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal Titik minimum lokal (atau disebut juga titik minimum relatif) dari grafik y f () adalah titik yang paling rendah pada bagian grafik di dekat titik tersebut, tetapi (mungkin) bukan paling rendah pada semua bagian grafik Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 6

7 Perhatikan grafik y f () pada (GAMBAR ) di bawah ini! Fungsi y f () tersebut didefinisikan pada selang [, 6] yaitu pada selang 6 saja Titik A dan D di sini merupakan titik-titik ujung grafik Titik A adalah titik maksimum global, titik yang paling tinggi pada grafik Titik B adalah titik minimum global, titik yang paling rendah pada grafik Titik C adalah titik maksimum lokal, titik yang paling tinggi di daerah sekitar titik C tersebut, namun kalah tinggi dengan titik A Titik D adalah titik minimum lokal, titik yang paling rendah di daerah sekitar titik D tersebut, namun kalah rendah dengan titik B Nilai maksimum globalnya adalah, nilai minimum globalnya 5 Nilai maksimum lokalnya 0 (maksimum hanya lokal di daerah sekitar titik C) dan nilai minimum lokalnya 6 (minimum hanya lokal di daerah sekitar titik D) CATATAN CUKUP PENTING!! Jika suatu titik (misal titik P) adalah titik maksimum global, maka titik P juga bisa disebut titik maksimum lokal, karena titik P juga paling tinggi di daerah sekitar titik P tersebut Namun jika diketahui titik P adalah titik maksimum lokal, maka belum tentu titik P adalah titik maksimum global Ada kemungkinan titik P adalah titik maksimum global, namun mungkin juga bukan Jadi, pada grafik di (GAMBAR ), titik A adalah titik maksimum global, namun titik A juga bisa dikatakan titik maksimum lokal Begitu pula dengan titik minimum!! SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 7

8 Logikanya, mirip dengan TNI yang terdiri dari Angkatan Udara (AU), Angkatan Darat (AD), dan Angkatan Laut (AL) Kita anggap Angkatan Udara (AU) adalah anggota TNI yang khusus, yaitu yang bisa mengendarai pesawat terbang Aku adalah anggota AU Berarti kamu termasuk anggota TNI juga dong! Aku adalah anggota TNI Kamu belum tentu anggota AU! SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 8

9 Aku adalah titik maksimum global Berarti kamu juga titik maksimum lokal dong! Sebab di daerah lokal sekitar kamu, kamu juga paling tinggi! Aku adalah titik maksimum lokal Kamu belum tentu titik maksimum global SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 9

10 Perhatikan grafik y f () pada (GAMBAR ) di bawah ini! dengan Fungsi f () di atas didefinisikan pada semua bilangan real bagian grafik makin tinggi pada sisi kiri dan kanan Titik G dan I terletak sejajar sama rendah Pada grafik ini, kita katakan: Titik E adalah titik minimum lokal Titik F adalah titik maksimum lokal Titik G dan titik I adalah dua titik minimum global, sebab tidak ada bagian grafik lainnya yang lebih rendah dari titik G dan titik I Titik H adalah titik maksimum lokal, bukan global, sebab ada bagian grafik yang lebih tinggi dari titik H, misalnya titik J dan K Grafik tidak memiliki titik maksimum global, sebab kedua sisi grafik kiri dan kanannya makin meninggi Titik Ekstrim adalah titik maksimum atau titik minimum Jadi, titik maksimum maupun titik minimum termasuk titik ekstrim Titik Stasioner adalah titik yang garis singgung di titik tersebut mendatar Dengan kata lain, titik stationer adalah titik yang berlaku f ( ) 0 Pada grafik di atas, titik B dan C adalah titik-titik stationer, tetapi A dan D bukan SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 0

11 Titik Singular adalah titik dimana f () nya tidak ada Bisa berupa: a) Titik dengan sudut tajam b) Titik dengan garis singgung vertikal (asymptot) c) Titik lompatan d) Titik yang di dekatnya fungsi bergetar(bergoyang) sangat hebat, seperti grafik fungsi f ) sin ( di = 0 Titik Kritis adalah titik yang merupakan salah satu dari: ) Titik ujung ) Titik stasioner ) Titik singular TEOREMA: Titik Ekstrim (Maksimum atau Minimum) terjadi pada titik kritis, yaitu salah satu dari titik ujung, titik stasioner, atau titik singular Perhatikan grafik pada (Gambar ) berikut ini: Pada grafik di samping, titik Q adalah titik ujung, titik R adalah titik singular (denga sudut tajam), titik S adalah titik singular (dengan lompatan) dan titik T adalah titik ujung Titik maksimum global terjadi pada R dan titik minimum global terjadi pada Q Perhatikan pula grafik (GAMBAR ) di bawah ini! Pada grafik di samping, grafik didefinisikan pada selang [ 0, ) Titik O adalah titik ujung kiri Titik ujung kanan tidak ada Titik U (titik di = ) adalah titik stasioner, juga merupakan titik maksimum lokal Titik V (titik di = 6) adalah titik minimum, juga merupakan titik minimum lokal SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

12 Titik di = 7 adalah titik singular (dengan garis singgung vertikal (asymptot)) Garis = 7 merupakan garis asymptot yang semakin didekati grafik dari sebelah kiri maupun kanan, tapi tidak pernah disentuh Fungsi naik yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya naik Pada fungsi naik, berlaku: f ( ) 0 Fungsi turun yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya turun Pada fungsi turun, berlaku: f ( ) 0 ( Pada grafik fungsi yang bentuknya cekung ke atas, berlaku: f ) 0 ( Sedangkan jika cekung ke bawah, berlaku: f ) 0 Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari cekung ke atas ke cekung ke bawah, atau sebaliknya Pada titik belok berlaku: f ( ) 0 Perhatikan grafik pada (GAMBAR 5) berikut ini: Pada grafik di atas, fungsi f () naik pada selang 8, dan turun pada selang juga 8 dan cekung ke bawah pada Cekung ke atas pada Titik belok berada pada = Soal 9 Tentukan nilai maksimum dari fungsi: f ( ) sin 6cos untuk selang 0 Kita cari turunannya terlebih dahulu SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

13 f ( ) 0 cos 6( sin ) cos 6sin Fungsi f () mencapai maksimum saat f ( ) 0 cos 6sin 0 cos 6sin 6 sin cos tan 0 atau 50 (Cek tanda positif-negatifnya: Ambil =0 masukkan ke f (), kita peroleh: f ( 0) cos0 6sin0 0 0 ( positif ) Maka daerah paling kiri (yang memuat = 0) bertanda positif Untuk daerah lain tinggal disesuaikan) Jadi, fungsi f () mencapai maksimum saat = 0 o f maks f (0) sin0 6cos 0 6 CARA LAIN: Soal ini dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan Tapi menggunakan rumus trigonometri yang menawan berikut ini! SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

14 a sin bcos k cos( ) a k a b dan tan b dengan Eh kawan, rumusnya menawan nggak sih? Hhmmmm Karena f ( ) sin 6cos maka di sini a dan 6 b Sehingga k a b ( ) Jadi, f ( ) sin 6cos cos( ) Fungsi f () mencapai maksimum jika cos( ) Jadi, f maks Soal 0 Tentukan persamaan garis singgung kurva y sin( ) di titik berabsis Kita gunakan teorema berikut: Teorema Misalkan garis singgung kurva y = f () di titik (, y) adalah y = m + c Maka berlaku: m f ( ) di SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

15 Pada soal, kurvanya y f ( ) sin( ) dan Gradien garis singgungnya adalah: m f ( ) di cos( ) di cos( ) cos( ) cos( Maka persamaan garis singgungnya berbentuk: y c y m c y c (*) 80) cos 0 Karena maka y sin( ) sin( ) sin( ) sin(0) Masukkan nilai (, y) (, ) ke persamaan (*) untuk mendapatkan nilai c c c Jadi, persamaan garis singgungnya: y c y Soal Untuk selang, tentukan daerah dimana fungsi f ( ) sin naik! Ingat bahwa: f () 0 f () 0 f () 0 fungsi f naik fungsi f turun fungsi f mencapai nilai stasioner SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 5

16 Karena fungsi f naik, maka f ( ) 0 (sin ) Untuk titik nol (titik batas), (cos ) 0 (sin )(cos ) 0 sin 0 sin 0 sin sin0 0 k atau ( 0) k k k k k 0 0 k k k 0 Buat garis bilangan: Untuk mengisi tanda positif-negatifnya, cek saja daerah antara 0 dan / Misal kita ambil = / Lalu kita masukkan ke fungsi f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) 0 f (positif) Jadi daerah antara 0 dan / tandanya positif Untuk daerah lain tinggal disesuaikan (selangseling positif-negatifnya) SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 6

17 Fungsi f naik pada daerah f nya yang positif Jadi, fungsi f naik pada daerah dan daerah 0 Tambahan: Berikut adalah grafik f ( ) sin Soal Untuk selang [0, ] tentukan interval dimana fungsi bawah! f ( ) cos cekung ke Teorinya pakai turunan kedua: f ( ) 0 f ( ) 0 f f cekung ke atas cekung ke bawah Karena f ( ) cos cos maka f ( ) cos ( sin ) cos ( sin ) sin (cos ) U V SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 7

18 Dan turunan keduanya, f UV UV ( ) V cos (cos ) ( sin ) (cos ) (cos ) ( sin ) cos (sin ) cos cos cos cos sin cos cos Untuk selang [0, /] (yaitu 0 ) nilai cos dan sin selalu positif, sehingga cos sin ( ) bentuk f ( ) ( ), selalu negatif cos cos ( ) Dengan demikian, pada selang [0, /], fungsi f selalu cekung ke bawah Jadi, jawabannya interval [0, /] = 0, R Tambahan: Berikut adalah sketsa grafik f ) cos ( y cos SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 8

19 Soal Tentukan koordinat titik ekstrim dari fungsi: sin f ( ) pada interval 0 cos Gambarkan pula sketsa grafiknya! Titik ekstrim adalah titik maksimum dan minimum Pertama, kita cari turunannya dahulu: f ( ) sin cos U V UV UV f ( ) V (cos )( cos ) (sin )( sin ) ( cos ) cos cos ( cos ) sin cos ( cos ) (Ingat cos sin ) Untuk mencari titik ekstrim, kita cari titik stasionernya, yaitu saat: f ( ) ( cos ) 0 cos cos 0 cos 0 Nilai pada interval 0 yang nilai cos nya ½ adalah: 0 atau 0 atau Buat garis bilangan: SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 9

20 Lalu tentukan tanda positif-negatif daerahnya Misal kita ambil daerah yang f ( ) cos ( cos ) mengandung = 0 Cek ke, kita peroleh cos0 f (0) 0 (positif) ( cos0) ( ) 9 Jadi, daerah paling kiri positif! Daerah lainnya disesuaikan (selang-seling positif negatifnya) Dari bagan di atas, jelaslah titik maksimum tercapai saat dan titik minimum saat Untuk titik maksimum, f maks f ( ) sin cos sin0 cos0 ( ) Untuk titik minimum, f min f ( ) sin cos sin 0 cos 0 ( ) Jadi, koordinat titik maksimumnya, sedangkan titik minimumnya -, SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 0

21 Sketsa grafiknya: (Catatan: titik potong grafik dengan sumbu X (yakni yang berkaitan dengan nilai = 0,, dan diperoleh dari persamaan y = 0 f () = 0) Soal Gambarlah sketsa grafik fungsi f ( ) sin cos Untuk menentukan naik-turunnya fungsi, kita gunakan turunan pertama sin sin f ( ) sec tan cos cos cos f ( ) tan sec sec sin cos cos cos (sin ) (*) cos Titik stasioner saat f ( ) 0 (sin ) 0 cos SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

22 (sin ) 0 sin sin sin k 60 atau 90 k 60 70, 60, 990, 90, 50, 80, (jarak terdekat 60 o ) () Perhatikan persamaan(*) Asymptot (tegak) saat: [penyebut f () ] = 0 cos 0 cos 0 cos cos k 60 atau 90 k 60, 60, 70,90,50, atau, 50, 90,70,60, Dihimpun, 90, 70, 50, 60, (jarak terdekat 80 o ) () Bandingkan hasil () dengan (), ternyata semua nilai () terkandung di dalam () Untuk menentukan apakah nilai pada () ini titik stasioner atau asymptot, atau bukan, kita hitung langsung saja nilai f () nya dengan mengambil limit Sebagai contoh, untuk titik 90 kita hitung: Digunakan Teorema l Hopital (sin ) cos lim f ( ) lim lim cos 90 (cos )( sin ) lim sin 90 ( ) Hasilnya bukan 0 dan bukan pula, maka bukan titik stasioner bukan pula asymptot Untuk nilai-nilai lainnya pada (), kita dapatkan hasil yang sama Bukan titik stasioner bukan pula asymptot SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

23 Kesimpulan: Asymptot saat 90, 70,50, 60, Titik stasioner tidak ada! Gambar garis bilangan: Garis putus-putus menunjukkan asymptot Karena turunan pertama berbentuk selalu positif, dan tidak pernah negatif karena (sin ) f ( ) terlihat bahwa f () cos cos merupakan bilangan kuadrat sehingga selalu positif atau nol, dan (sin ) juga selalu positif atau nol karena nilai sin selalu berada di antara dan Kemungkinan f ( ) 0 dihapus karena tidak ada titik stasioner Nilai-nilai pada () menghasilkan ( ) f > 0 yang juga positif! Sehingga pengisian tanda daerah selalu positif fungsi f () selalu naik Untuk menggambar grafiknya, coba cari titik potong antara grafik dengan sumbu X, SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

24 yaitu saat sin f ( ) 0 cos sin 0 dengan syarat cos 0 sin sin sin k 60 atau 90 k 60 70, 60, 990, 90, 50, 80, (&&) Untuk semua nilai-nilai ini, ternyata tidak memenuhi syarat cos 0 Jadi, nilai-nilai menunjukkan titik singular yang tidak terdefinisi (karena menghasilkan nilai fungsi 0 f ( ) ) 0 Namun kita bisa menghitung nilai limitnya Contoh, untuk = 90 o : lim 90 f ( ) lim 90 sin cos lim 90 cos sin 0 0 Untuk semua nilai pada (&&) juga menghasilkan limit yang sama Jadi, nilai-nilai pada (&&) merupakan titik potong grafik dengan sumbu X, dalam pengertian limit! Kita simpulkan sketsa grafiknya adalah sebagai berikut: SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

25 Soal 5 Pada selang ( 70 o, 90 o ) tentukan kapan fungsi f ( ) kapan cekung ke bawah? Tentukan pula titik beloknya! sin cos cekung ke atas dan Fungsi pada soal ini sama dengan fungsi pada Soal, yaitu f ( ) sin cos Untuk menentukan cekung ke atas, cekung ke bawah atau titik belok, kita lihat dari turunan kedua dari f () ( Review : Cekung ke atas f ) 0 ( Cekung ke bawah f ) 0 ( Titik belok f ) 0 Turunan pertama sudah kita dapatkan dari Soal, yaitu: (sin ) f U ( ) cos V Maka turunan keduanya: f UV UV ( ) V (cos )cos cos cos sin (cos )(cos (cos sin ((sin ) )cos ( sin ) cos (cos sin cos sin cos ) cos sin sin ) sin ) ( sin sin ) cos SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 5

26 ( sin ) cos Bagian pembilang, yaitu sin ) selalu positif atau nol ( Maka positif-negatif f ( sin ) ( ) sekarang tergantung pada positifcos negatif bagian penyebutnya, yaitu cos Untuk titik batas, 0 cos cos 0 90, 70, 50, Buat garis bilangan memuat titik-titik batas: Sementara itu, Pembilang = nol jika ( sin ) 0 sin 70, 60, 990, 90, 50, 80, Untuk nilai-nilai ini, cos 0 Jadi, untuk nilai-nilai ini ( ) 0 0 f tidak terdefinisi Kita coba hitung limitnya, misalkan pada = 70 o Digunakan Teorema l Hopital ( sin ) ( sin )(cos ) lim f ( ) lim lim cos 70 cos ( sin ) lim 70 lim ( sin ) cos sin sin 70 sin Inget: sin sin cos SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 6

27 0 cos lim 70 (cos ) (digunakan teorema l Hopital lagi) lim 70 0 ( ) 0 Bisa diperiksa untuk nilai-nilai berlaku f ( ) 0 limˆ Jadi, untuk nilai-nilai ˆ 70, 60, 990, 90, 50, 80, ˆ 70, 60, 990, 90, 50, 80, f () tidak terdefinisi, namun kita bisa anggap itu adalah titik belok dalam pengertian limit, yaitu f ( ) 0 limˆ Sekarang kita isi positif-negatif pada garis bilangannya: Cek untuk =0, karena f ( ) ( sin ) cos ( sin 0) ( 0) maka f (0) 0 (positif) cos 0 Untuk daerah lain tinggal disesuaikan positif-negatifnya (selang-seling) Kesimpulan: Fungsi f () cekung ke atas pada interval ( 90 o, 90 o ) + k60 o Fungsi f () cekung ke bawah pada interval (90 o, 70 o ) + k60 o Fungsi f () tidak memiliki titik belok, namun jika dianggap ada dalam pengertian limit, SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 7

28 maka titik beloknya terjadi pada 70, 60, 990, ˆ 90, 50, 80, Soal 6 Sebuah talang air terbuat dari papan aluminium selebar m, ditekuk kedua tepinya sehingga membentuk sudut terhadap bidang horizontal seperti pada gambar Tentukan sudut agar kapasitas talang air maksimum! Kapasitas talang air menjadi maksimum jika volum talang air maksimum Misalkan panjang talang air adalah t meter (lihat gambar!) Untuk menyederhanakan gambar, kita lihat dari depan: Jika bagian berwarna hijau dipindahkan ke kiri seperti pada gambar di atas, kita dapatkan bangun balok (dengan penampang persegi panjang) SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 8

29 lebar panjang Maka volume talang V panjang lebar tinggi ( cos )(sin )( t) t sin t cos sin Volume mencapai maksimum sa at turunannya nol, dv d 0 t cos t ( sin )sin (cos )cos 0 t sin cos 0 tcos cos 0 cos tcos 0 cos cos 0 t cos t cos t t t ( cos )(cos ) 0 cos 0 atau cos 0 cos atau cos 60 atau cos 80 Ingat: turunan dari UV adalah U V+UV Ingat: sin cos cos sin Volume mencapai maksimum saa t 60 SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 9

30 Soal 7 Sebuah kertas karton berbentuk lingkaran dengan jari-jari 8 cm, dipotong sebuah sektornya dengan sudut pusat Dengan kertas karton yang telah terpotong ini dibuat selimut kerucut Tentukan sudut agar volume kerucut yang terbentuk sebesarbesarnya! Perhatikan bahwa jari-jari karton terpotong dengan panjang 8 cm akan menjadi garis pelukis kerucut, dan keliling karton terpotong s (lihat gambar!) akan menjadi keliling lingkaran alas kerucut Misal panjang busur yang terpotong = b (lihat gambar di atas!) Misalkan pula jari-jari dan tinggi kerucut yang terbentuk berturut-turut adalah r dan t (lihat gambar di atas!) Misal K = keliling kertas karton lingkaran mula-mula, maka: K 8 6 cm Dari definisi sudut dalam radian, panjang busur di depan sudut jari - jari lingkaran SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal 0

31 b b 8 cm 8 Karena s menjadi keliling lingkaran alas kerucut yang terbentuk, maka berlaku: s r Hubungan antara K, s dan b adalah: K s b 6 r 8 r r 8 Karena t, r dan garis pelukis 8 cm membentuk segitiga siku-siku, berlaku: t 8 r 6 r Volume kerucut yang terbentuk: V r t r 6 r Volume akan mencapai maksimum ketika turunannya nol, dv 0 d dv dr 0 dr d dv dr 0 dr d 6 (6 ) ( ) ( ) 0 r r r r r (Di sini gunakan turunan uv yaitu u v+uv dengan u r dan v 6 r, dr sedangkan ( ) d didapat karena r 8 ) 6 0 r r r 6 r r 6 r r 6 r 0 SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal

32 r 6 r r 6 r r 8 6 r r ) (6 r r 8 r r 8 8 r 8 r 8 6 r 8 Untuk mendapatkan sudut, kita gunakan persamaan yang sudah ada: r (8 8 ( 6) 6 6) rad 6 Atau jika diukur dalam satuan derajat, maka : ( 6) rad ( 6) 80 (,9) SMAN Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan FTrigonometri (wwwpapankecilwordpresscom) Hal