PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER F m.n

Transkripsi

1 PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER F. oleh FEBIANI SARASWATI M00403 SKRIPSI ditulis da diajuka utuk eeuhi sebagia persyarata eperoleh gelar Sarjaa Sais Mateatika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 009 i

2 SKRIPSI PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER F. yag disiapka da disusu oleh FEBIANI SARASWATI M00403 Pebibig I dibibig oleh Pebibig II Dra. Maia Roswitha, M.Si. Wiita Suladari, M.Si. NIP NIP telah dipertahaka di depa Dewa Peguji pada hari Selasa, taggal 4 Agustus 009 da diyataka telah eeuhi syarat. Aggota Ti Peguji Tada Taga. Drs.Tri Atojo K, M.Sc., Ph.D.. NIP Dra. Diari Idriati, M. Si.. NIP Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si. 3. NIP Surakarta, 4 Agustus 009 Disahka oleh Fakutas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala Deka, Ketua Jurusa Mateatika, Prof. Drs. Sutaro, M.Sc. Ph.D Drs. Kartiko, M.Si. NIP NIP ii

3 ABSTRAK Febiai Saraswati, 009. PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER F.. Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala, Uiversitas Sebelas Maret. Pelabela pada graf adalah fugsi bijektif yag eghubugka elee elee graf dega suatu hipua bilaga bulat o egatif. Suatu pelabela γ dari sebuah graf yag berorder V(G) da berukura E(G), erupaka sebuah fugsi, f : V(G) à{0,,,... E(G) } yag euruka sebuah pelabela f : E(G) à{,,... E(G) } terhadap edgeedge G. Dega kata lai pelabela γ didefiisika sebagai selisih dari label pada vertexvertex pada kedua ujug edge, f (e) = f(u) f(v), utuk setiap edge e = (u,v) dari G. Setiap pelabela γ dapat ditetuka sebuah ilai yag diotasika dega val(f), yag didefiisika dega val(f) = å f ' ( e).nilai aksiu da iiu dari eî E( G) pelabela γ graf G didefiisika sebagai val ax (G) = ax{val(f)} da val i (G) = i{val(f)} dega f adalah pelabela γ graf G. Sebuah pelabela γ dari graf G disebut pelabela aksiu γ jika val(f) = val ax (G) da sebuah pelabela iiu γ jika val(f) = val i (G). Tujua peulisa skripsi ii adalah dapat eetuka ilai iiu da aksiu dari graf firecracker F,. Metode yag diguaka dala peulisa skripsi ii adalah studi literetur. Berdasarka hasil pebahasa, diperoleh kesipula sebagai berikut.. Nilai iiu dari pelabela γ pada graf firecracker F, ( ), utuk gajil val i (F, ) = ( ), utuk geap. Nilai aksiu dari pelabela γ pada graf firecracker F, val ax (F, ) = ( ) 3( ) 4( ) 5( ) ( ) ( ) (5 ) ( ) Kata kuci : pelabela γ, graf firecracker 3, =, 4 5 8, = 3, , = 4, 4 6 9, = 5, 4, 3, =, 3, = 3 iii

4 ABSTRACT Febiai Saraswati, 009. ON MINIMUM AND MAXIMUM VALUES OF γlabeling OF FIRECRACKER GRAPH F,.. Faculty of Matheatics ad Natural Scieces, Sebelas Maret Uiversity. A labelig of a graph is a oe to oe fuctio that carries graph eleets to ubers (o egative itegers). A γlabelig of a graph of order V(G) ad size E(G) is oe to oe fuctio, f : V(G) à{0,,,... E(G) }, that iduces a labelig f : E(G) à{,,... E(G) } of the edges of G defied by the differece of labels o the vertices o the both side of edge, f (e) = f(u) f(v), for each edge e = (u, v) of G. The value of a γlabelig deoted by val(f) ad defied by val(f) = å f ' ( e). The axiu ad eî E ( G) iiu values of a γlabelig graph G are defied by val ax (G) = ax{val(f)} da val i (G) = i{val(f)} where f is a γlabelig of graph G. A γlabelig of graph G is deoted by a γax labelig if val(f) = val ax (G) ad aγi labelig if val(f) = val i (G). The ais of this research are to deterie the axiu ad iiu values of a γ labelig of firecracker graph F,.. The ethod o this research is a literary study. Accordig to the discussio, it ca be cocluded that. The iiu value of a γlabelig of firecracker F, ( ), for odd val i (F, ) = ( ), for eve. The axiu value of a γlabelig of firecracker F, val ax (F, ) = ( ) 3( ) 4( ) 5( ) ( ) ( ) (5 ) ( ) 3, =, 4 5 8, = 3, , = 4, 4 6 9, = 5, 4, 3, =, 3, = 3 Keywords : γlabelig, firecracker graph iv

5 MOTTO Sesugguhya beserta kesukara itu ada keudaha, sesugguhya beserta kesukara ada keudaha, aka apabila kau telah selesai (dari suatu urusa), kerjakalah sugguhsugguh urusa yag lai. ::: QS Al Isyrah ayat 5 8 ::: iscaya Allah aka eiggika oragorag yag beria di atarau da oragorag yag berilu pegetahua dega beberapa derajat. :: QS. AlMujadalah ayat :: v

6 PERSEMBAHAN Alhadilillahirobbil alaii Karya sederhaa ii dapat kupersebahka terutuk : :: Ibuku tercita :: Teria kasih utuk seluruh cita, kasih sayag, kesabara da do a yag tak hetihetiya diberika kepadaku. :: Bapak tercita :: Teria kasih atas didika, asihat da kesabara yag diberika kepadaku. :: Kakakku :: Teria kasih atas do a da dukugaya. :: Sahabatsahabatku Dhoa, Aggit, WP, GD :: Teria kasih atas dukuga, batua, seagat, otivasi da do a yag diberika utukku. :: Diriku sediri:: Jaga eyerah, perjuaga asih pajag... vi

7 KATA PENGANTAR Alhadulillah, puji da syukur peulis pajatka atas kehadirat Allah SWT yag telah elipahka rahat serta hidayahnya sehigga peulis dapat eyelesaika skripsi ii. Peghargaa da ucapa teria kasih peulis sapaika kepada:. Ibu Dra. Maia Roswitha, M.Si da Ibu Wiita Suladari, M.Si selaku dose pebibig I da II atas bibiga, kesabara da otivasiya.. Drs. Tri Atojo K,M.Sc.,Ph.D., Dra. Diari Idriati, M.Si., Dra, Sri Sulistijowati H, M.Si., selaku dose peguji atas sara da asukaya. 3. Bapak, ibu, kakak da sahabatsahabatku atas do a da otivasiya utuk segera eyelesaika skripsi ii. 4. Tea tea jurusa Mateatika agkata 004 Fakultas MIPA UNS atas seagat da doaya. 5. Seua pihak yag telah ebatu peulis dala eyelesaika skripsi ii. Seoga Allah eberika balasa yag berlipat gada. Akhir kata, peulis berharap seoga skripsi ii dapat eberika afaat sebagaiaa yag diharapka. Surakarta, Agustus 009 Peulis vii

8 DAFTAR ISI JUDUL i PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI viii DAFTAR GAMBAR x DAFTAR NOTASI xi I. PENDAHULUAN Latar Belakag Masalah Peruusa Masalah Batasa Masalah Tujua Mafaat II. LANDASAN TEORI Tijaua Pustaka Graf Pelabela Graf Keragka Peikiraa III. METODE PENELITIAN IV. PEMBAHASAN Nilai Miiu pada Graf Firecracker F, Nilai Maksiu pada Graf Firecracker F, V. PENUTUP viii

9 5. Kesipula Sara DAFTAR PUSTAKA ix

10 DAFTAR GAMBAR. Beberapa pelabela γ dari graf firecracker F, Graf G Walk, trail, path (a) Graf coected (b) Graf discoected Graf poho order Graf firecracker F, F, dega =, F, dega = 3, F, dega = 4, F, dega = 5, F, dega 3, = F, dega 3, = x

11 DAFTAR NOTASI V(G) E(G) V(G) E(G) e v (u,v) deg G v S val ax G val i G v a v ai : hipua vertex dari graf G : hipua edge dari graf G : bayakya vertex dari graf G : bayakya edge dari graf : edge : vertex : edge yag ujug ujugya adalah vertex u da v : derajat (degree) vertex v dari graf G : graf star dega dau : ilai aksiu dari pelabela γ pada graf G yag selajutya disebut ilai aksiu : ilai iiu dari pelabela γ pada graf G yag selajutya disebut ilai iiu :titik pusat dari graf firecracker F, : dau di tiap star xi

12 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Salah satu dari cabag ilu yag serig dikebagka oleh para iluwa utuk elakuka riset ialah teori graf. Hal ii dikareaka peerapa teori graf yag luas dala kehidupa yata. Cotoh dari peerapa teori graf atara lai topologi jariga kouikasi, jariga koputer, jariga listrik, da sebagaiya. Adapu represetasi dari graf yaitu vertex eujukka titik atau ode, seetara edge eujukka garis yag eghubugka titiktitik tersebut. Di atara bidagbidag yag ada di teori graf, pelabela erupaka salah satu bidag yag bayak peiatya karea pelabela dapat diterapka dala perasalaha di kehidupa seharihari. Cotohya dala ecari jarak aksiu atau iiu dari suatu distribusi iyak. Dala skripsi ii, pelabela yag dibahas adalah pelabela γ. Meurut Wallis [0], pelabela pada graf adalah fugsi bijektif yag eghubugka eleeelee graf dega suatu hipua bilaga bulat o egatif. Meurut Chartrad et al. [], pelabela γ dari sebuah graf yag berorder V(G) da berukura E(G), erupaka sebuah fugsi, f : V(G) à{0,,,... E(G) } yag euruka sebuah pelabela f : E(G) à{,,.. E(G) } terhadap edgeedge G, didefiisika sebagai selisih dari label pada vertexvertex pada ujug kedua edge, f (e) = f(u) f(v), utuk setiap edge e = (u,v) dari G. Setiap pelabela γ, f dari graf G yag berorder V(G) da berukura E(G) eetapka sebuah ilai yag diotasika sebagai val(f) yag didefiisika sebagai val(f) = å f '( e). Dala eî E( G) hal ii f adalah fugsi dari V(G) à {0,,,, E(G) }. Utuk sebuah graf G yag berorder V(G) da berukura E(G), ilai aksiu dari sebuah pelabela γ dari graf G didefiisika sebagai val ax (G) = ax{val(f)} dega f adalah pelabela γ dari G seetara ilai iiu dari sebuah pelabela γ dari graf G didefiisika sebagai val i (G) = i{val(f)} xii

13 dega f adalah pelabela γ dari G. Sebuah pelabela γ dari graf G disebut pelabela aksiu γ jika val(f) = val ax (G) da sebuah pelabela γ dari graf G adalah pelabela iiu γ jika val(f) = val i (G). Sebagai cotoh, pada pelabela graf firecracker F,, eperlihatka ea pelabela γ f, f,..., f 6. Pada Gabar. label dari vertex ditujukka oleh agka yag berada di dekat vertex, da label edge yag dituruka ditulis di sapig atau di bawah setiap sisi. 0 3 f : f 4 : val( f ) = 3 val( f 4 ) = f : f 5 : 3 3 val( f ) = 5 val( f 5 ) = 5 3 f 3 : f 6 : val( f 3 ) = 7 val( f 6 ) =4 Gabar.. Beberapa pelabela γ dari graf firecracker F, xiii

14 Dari cotoh pelabela γ dari graf firecracker F,, diperoleh pelabela iiu γ dega val i (f ) = 3 yag ditujukka oleh pelabela γ dari f da pelabela aksiu γ dega val ax (f 3 ) = 7 yag ditujukka oleh pelabela γ dari f 3. Dala peelitiaya, Chartrad et al. [], telah eeuka ruusa uu utuk val i da val ax dari beberapa kelas graf diataraya adalah path P dega val ax (P ) = ê ú da val i (P ) =. êë úû Dala skripsi ii, peulis tertarik utuk egebagka peelitia yag sebeluya telah dikerjaka oleh Chartrad et al. []. Dega eerapka pelabela γ pada graf firecracker F,, da aka dicari pola pelabela γ secara uu utuk eetuka val i da val ax utuk ilai da tertetu, dari kelas graf tersebut.. Peruusa Masalah Berdasarka latar belakag asalah, perasalaha yag ucul adalah bagaiaa eetuka ilai iiu da aksiu utuk graf firecracker F, 3. Batasa Masalah Batasa asalah yag diguaka dala skripsi ii adalah graf yag diguaka adalah graf sederhaa da fiite. 4. Tujua Peelitia Tujua peulisa skripsi ii adalah eetuka ilai iiu da aksiu dari graf firecracker F,. 5. Mafaat Peelitia Mafaat dari peelitia ii adala eberika kajia teoritis tetag pelabela γ khususya pada kelas graf firecracker F, BAB II xiv

15 LANDASAN TEORI Pegetahua yag cukup, sagat diperluka utuk eyelesaika suatu asalah dega baik. Oleh karea itu, utuk ecapai tujua peulisa, bagia pertaa bab ii euat beberapa defiisi yag erupaka pegertia dasar dala teori graf da kosep dasar pelabela γ utuk eetuka ilai iiu da aksiu pelabela γ pada graf firecracker F,. Sebagia ateri yag disajika dala bab ii dapat diteui dala buku buku teks ataupu jural ateatika yag diacu. Pada bagia kedua, disusu keragka peikira yag ejelaska alur peikira peulis dala peyusua skripsi ii.. Tijaua Pustaka Pada tijaua ii diberika beberapa defiisi da teorea yag edasari dilakukaya peulisa skripsi, yaki defiisidefiisi dala teori graf da kosep dasar pelabela... Graf Defiisi.. (Chartrad ad Lesiak [4]) Suatu graf G adalah hipua tak kosog berhigga V(G)= {v, v,..., v } yag disebut vertex da E ={e, e,..., e } erupaka hipua pasaga tidak beruruta dari aggotaaggota V disebut edge. Graf G pada Gabar. epuyai V = {v, v, v 3, v 4, v 5 } da E = {e,e,, e 3, e 4, e 5, e 6 }. Bayakya vertex dala suatu graf disebut order da bayakya edge dala suatu graf disebut ukura. v v e 6 e 5 e 4 e e v 5 e 3 v 4 v 3 Gabar. Graf G Defiisi.. (Chartrad []) 4 xv

16 Jika u da v adalah sebarag dua vertex dari graf G yag dihubugka oleh edge e, diotasika e = (u,v) aka dikataka u da v adalah vertex yag adjacet. Keudia vertex u da v dikataka icidet dega edge e da e disebut joi vertex u da v. Pada Gabar. vertex v da v dikataka vertex yag salig adjacet, vertex v da v dikataka icidet dega edge e. Keudia edge e disebut joi vertex v da v. Defiisi..3 (Harary [7]) Degree v i graf G, diotasika dega deg G v i, adalah bayakya edge yag icidet dega v i. Dari Gabar. deg v = 3, deg v =, deg v 3 =, deg v 4 = da deg v 5 = 3. Defiisi..4 (Chartrad ad Lesiak [4]) Suatu u v walk dari graf G adalah barisa bergatia atara vertex da edge, yag diulai dari vertex u da berakhir di vertex v, sehigga e i =(u i, u i ) utuk i =,,,.,. Suatu uv trail adalah uv walk dega tidak egulag sebarag edge. Suatu uv path adalah uv walk yag tidak egulag sebarag vertex. Berikut adalah cotoh walk, trail da path pada Gabar.. Walk : v,e, v, e, v 3, e 3, v 5, e 4, v 6, e 9, v 3, e 0, v 7, e 8, v 6, e 9, v 3, e, v 4. Trail : v, e, v, e, v 3, e 3, v 5, e 4, v 6, e 9, v 3, e 0, v 7, e 8, v 6, e 5, v 9, e 6, v 8, e 7, v 7, e, v 4. Path : v, e, v, e, v 3, e 9, v 6, e 5, v 9, e 6, v 8, e 7, v 7, e, v 4. v e v e 3 v 3 e e xvi e 3 v 4 v 5 e 0 e 9 e v e 8 e 4 v

17 Gabar. Walk, trail, path. Defiisi..5 (Chartrad []) Suatu uv trail dega u = v, palig sedikit terdiri dari 3 vertex disebut circuit. Circuit dega tidak egulag sebarag vertex disebut cycle. Defiisi..6 (Chartrad ad Oellera [3]) Jika u da v adalah vertex dari graf G, dikataka u coected dega v jika terdapat path yag eghubugkaya. Suatu graf G dikataka coected jika pada setiap pasag vertex terdapat path yag eghubugka, jika tidak aka graf G discoected. Gabar.3 (a) erupaka cotoh dari graf coected, karea setiap vertex terhubug dega sebuah path. Sedagka Gabar.3 (b) erupaka cotoh graf discoected karea terdapat path yag tidak eghubugka pasag vertex. v v v v v 3 v 4 xvii

18 v 3 v 4 Gabar.3 (a) Graf coected (b) Graf discoected Defiisi..7 (Chartrad da Lesiak [4]) Poho P adalah graf terhubug yag tidak euat cycle. Cotoh Poho berorder 8 ditujukka pada Gabar.4 Gabar.4 Graf poho order 8 Defiisi..8 (Harary [7], Pearaju ad Skiea [8], Tutte [9]) Graf Star S,atau dikeal dega star adalah poho dega vertex diaa vertex epuyai degree (titik pusat) da vertex yag lai epuyai degree. Defiisi..9 (Che et al. [5] da Gallia [6]) Graf firecracker F, adalah sebuah graf yag berasal dari ragkaia star S da adalah bayakya vertex pada star S, dega eghubugka salah satu dauya utuk tiap tiap star Ilustrasi graf firecracker F, ditujukka pada Gabar.5 v 3 v v xviii v ()

19 v 3 v v 3 v v v v () v v v () v Gabar.5 Graf firecracker F,.. Pelabela Graf Meurut Wallis [0], pelabela pada graf adalah fugsi bijektif yag eghubugka eleeelee graf dega satu hipua bilaga bulat oegatif. Defiisi..0 (Chartrad et al. []) Utuk sebuah graf yag berorder V(G) da berukura E(G), pelabela γ graf G adalah sebuah fugsi, f : V(G) à{0,,,... E(G) } yag euruka sebuah pelabela f : E(G) à{,,... E(G) } terhadap edgeedge G yag didefiisika sebagai selisih dari label pada vertexvertex pada kedua ujug edge, f (e) = f(u) f(v), utuk setiap edge e = (u, v) dari G. Defiisi..(Chartrad et al. []) Utuk sebuah graf yag berorder V(G) da berukura E(G), ditetuka sebuah ilai yag diotasika dega val(f), didefiisika dega val(f)= å f '( e). eî E( G) Dala hal ii f adalah fugsi dari V(G)à {0,,,... E(G) }. Defiisi.. (Chartrad et al. []) xix

20 Utuk sebuah graf G yag berorder V(G) da ukura E(G) ditetuka ilai aksiu dari sebuah pelabela γ dari graf G yag didefiisika sebagai val ax (G) = ax{val(f)} di aa f adalah pelabela γ graf G. Sedagka ilai iiu dari sebuah pelabela γ dari graf G didefiisika sebagai val i (G) = i{val(f)} di aa f adalah pelabela γ graf G. Defiisi..3 (Chartrad et al. []) Sebuah pelabela γ dari graf G disebut pelabela aksiu γ jika val(f) = val ax (G) da sebuah pelabela γ dari graf G disebut pelabela iiu γ jika val(f) = val i (G).. Keragka Peikira Berdasarka tijaua pustaka yag telah diberika, selajutya dapat disusu suatu keragka peikira utuk eyelesaika perasalaha dala peulisa skripsi ii. Pelabela γ dari graf G adalah fugsi, f : V(G) à{0,,,... E(G) } yag euruka sebuah pelabela f : E(G) à{,,... E(G) } erupaka selisih dari label pada vertexvertex pada kedua ujug edge, f (e)= f(u) f(v), utuk setiap edge e = (u, v) dari G. Utuk edapatka ilai iiu da aksiu dari graf firecracker F, yag erupaka peyelesaia dari peelitia ii aka terlebih dahulu eberi label pada tiap vertex dari graf firecracker F,. Selajutya eetuka ilai dari pelabela dega cara ejulah f (e) yag telah diperoleh. Dari ilai tersebut dapat ditetuka ilai iiu da aksiu dari graf firecracker F,. Jika pola dari ilai iiu da aksiu telah diperoleh aka ilai iiu da aksiu dapat diruuska. xx

21 BAB III METODE PENELITIAN Metode yag diguaka dala peulisa skripsi adalah studi literatur. Keseluruha baha dala peulisa skripsi diabil dari bukubuku referesi da jural yag ebahas berbagai pegetahua yag berkaita dega persoala yag dibahas dala tulisa ii. Utuk ecapai tujua dari peulisa ii, diabil lagkahlagkah sebagai berikut. egkaji ulag pegertia dasar dari graf, graf firecracker F,.. elakuka pelabela pada graf firecracker F,. Pelabela pada graf firecracker F, diulai dari = da = da dilakuka higga da tertetu sapai diteuka pola utuk eetuka ruusa uu ilai iiu da aksiu graf firecracker F, 3. eetuka ruus uu ilai iiu da aksiu dari pelabela γ pada graf firecracker F, serta ebuktika ruus yag telah diperoleh. 4. ebuat aalisa da kesipula. BAB IV 0 xxi

22 PEMBAHASAN Dala bab ii dibahas egeai pelabela γ pada graf firecracker F, sehigga diperoleh ruusa uu ilai iiu da aksiuya, disertai dega pebuktia setiap ruusa yag telah diperoleh. 4. Nilai Miiu Pelabela γ Pada Graf Firecracker F,. Pada bagia ii dibahas egeai pelabela γ utuk eetuka ilai iiu dari graf firecracker F, Teorea 4.. Utuk seua bilaga bulat, berlaku val i (F, ) = ( ), utuk gajil ( ), utuk geap Bukti. Graf firecracker F, adalah graf yag berasal dari ragkaia star S da adalah bayakya vertex pada star S, dega eghubugka salah satu dauya utuk tiap tiap star. Jika f adalah pelabela γ dari graf firecracker F, dega pusat dari star ditetukaka sebagai v a = {v I, v,..., v } da setiap pusatya epuyai degree ( ). Nau kasus khusus utuk graf firecracker F, dega =, yag diaggap sebagai pusat adalah vertex dega degree lebih besar saa dega. Ilustrasi dari graf firecracker F, dapat dilihat pada Gabar.5 Ditetuka pelabela iiu γ dari graf firecracker F, sebagai berikut Utuk gajil dega a, pelabela pada pusat v a berlaku f(v a ) = ( a) sedagka pelabela pada dau di tiaptiap star v ai berlaku xxii

23 xxiii i, i i, i f(v ai ) = (a ) i, i < (a ) i, i < (a ), i = (4.) Berdasarka Defiisi..0 da.. da persaaa (4.) diperoleh val(f ) = å å = = a i a v ai f v f )/ ( ) ( ) ( å å = = a i a v ai f v f )/ ( ) ( ) ( = å = )/ ( i (val(f(v v i )) (val(f(v v i )))... (val(f(v v i )))) å = / ) ( i val(f(v v i )) (val(f(v v i )))... (val(f(v v i )))) = 0... ) ( ( ) ) ) (( ) (... ) ( ) ( ) ( 3... ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( = = a < a

24 ... = =... = Utuk geap dega a, pelabela pada pusat v a berlaku (4.) ( a) f(v a ) = sedagka pelabela pada dau di tiaptiap star v ai berlaku a < i, i i, i f(v ai ) = (a ) i, i < a (a ) i, i < (a ), i = (4.3) Persaaa (4.4) diperoleh dari (4.3) da Berdasarka Defiisi..0 da.. / val(f ) = åå a= i= f ( va ) f ( v ai ) å å f ( v a= i= ( /) ) f ( a v ai ) / = å i= (val(f(v v i )) (val(f(v v i )))... (val(f(v v i )))) å i= ( / ) val(f(v v i )) (val(f(v v i )))... (val(f(v v i )))) = xxiv

25 () ( ) () () (( ) )... (( )... ( ) 3 ( ) 3... ( )... () ( ) () (( ) )... = (... ( )... (... ( )... (... ( ) = (... ( ) = (4.4) Utuk vertex yag coected dega star S val(f 3 ) = å f ( v a= ) f ( a v a ) = f(v ) f(v ) f(v ) f(v )... f(v ) f(v ) =... = ( ) (4.5) Berdasarka (4.) da (4.5) diperoleh ilai iiu utuk gajil val i (F, ) = ( ) Sedagka utuk geap dari persaaa (4.4) da (4.5) diperoleh val i (F, ) = ( ) Jadi, diperoleh ilai iiu graf firecracker F, utuk, sebagai berikut xxv

26 val i (F, ) = ( ), utuk gajil ( ), utuk geap 4. Nilai Maksiu Pelabela γ Pada Graf Firecracker F,. Pada bagia ii dibahas egeai pelabela γ utuk eetuka ilai aksiu dari graf firecracker F,. Lea 4.. Utuk seua bilaga bulat =, 4, berlaku val ax (F, ) = Bukti. Misalka graf firecracker F, 3 epuyai pusat yaitu u da v. Pusat u terletak di sebelah kiri da pusat v terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex. Pusat u adjacet dega u, u, u da pusat v adjacet dega v, v, v. Ilustrasi dari graf firecracker F, dega =, 4 dapat dilihat pada Gabar 4. u u u v v v u 3 u u u v 3 v v v u 3 F,4 v 3 u 4 F,5 v 4 xxvi

27 berikut da Ditetukaka pelabela aksiu γ dari graf firecracker F, sebagai f(u) = 0, f(v) =, (4.6) f(u i ) = i, i =,,...,, (4.7) j, j =,,...,, j = (4.8) Berdasarka Defiisi..0 da.. da persaaa (4.6)(4.8) diperoleh val ax (F, ) yaitu val ax (F, ) = val(f(u v )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) = ( ) (( 0 ) ( 0) ( 3 0) ( 0)) (( ) ( 3 )... ( ( )) ( ) = ( 3) ( ( )... ( 3) ( )) (( 3) ( 4)... ( )) = ( 3) ( ) ( ) ( ( )... ( 3)) (... ( 4) ( 3) ) = (6 7) (... ( ) ( ) ( )) (... ( ) ( ) ( )) = (6 7) ( = = ( ) ( )) ( (6 7) ( ) ( ) f(v j ) = (6 7) ( ) ( ) ( ) ( )) = (6 7) ( 4 4 ) = 3. xxvii

28 Lea 4.. Utuk seua bilaga bulat = 3, 4 berlaku, val ax (F 3, ) = Bukti. Misalka graf firecracker F 3, epuyai 3 pusat yaitu u, v da w. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v terletak di tegah da pusat w terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex. Pusat u adjacet dega u, u,, u, pusat v adjacet dega v, v,, v sedagka pusat w adjacet dega w, w,., w. Ilustrasi dari graf firecracker F, dega = 3, 4 dapat dilihat pada Gabar 4.. u u u v v v w w w u 3 u u u v v 3 v v w 3 w w w u 3 v 3 w 3 u 4 v 4 w 4 Gabar 4. F, dega = 3, 4 Pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 3, ditetuka sebagai f(u) = 0, f(v) =3, f(w) =, (4.9) f(u i ) = i, i =,,...,, (4.0) f(v j, j =,,...,, j ) =, j =, (4.) da k, k =,,..., f(w k ) = 3, k =. (4.) Nilai aksiu F 3, diperoleh dari (4.9)(4.) da berdasarka Defiisi..0 da.. sehigga val ax (F 3, ) = val(f(u v )) val(f(v w )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val (f(ww k )) = (3 3 ) (3 ) (( 0 ) ( 0 ) (3 4 0 ) (3 3 0)) ((3 3 ) (3 4 )... xxviii

29 (3 ) (3 )) (( ) ( )... ( ) (3 )) = (3 5) (3 4) (( ) ()... (3 4) (3 3)) ((3 4) (3 5)... ( ) (3 3)) ( ( )... ( 3) (3 3)) = (3 5) (3 4) (3 3) (3 3) (3 3) (( )... (3 4)) (( )... (3 5) (3 4)) ( ( )... ( 3 )) = (5 8 ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) (... ( ) ( ) ( )) = (5 8) ( ( = 3 = 3 = 3 = 3 ( ) ( )) ( ) ( )) ( (5 8) ( ) (5 5) (5 8) (5 8) (5 5 0) 5 8. ( ) ( )) Lea 4..3 Utuk seua bilaga bulat = 4, 4 berlaku, val ax (F 4, ) = Bukti. Misalka graf firecracker F 4, epuyai 4 pusat yaitu u, v, w da x. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v da pusat w terletak di tegah sedagka pusat x terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex. Pusat u adjacet dega u, u,, u, pusat v adjacet dega v, v,, v, pusat w xxix

30 adjacet dega w, w,., w sedagka pusat x adjacet dega x, x,., x. Ilustrasi dari graf firecracker F, dega = 4, 4 dapat dilihat pada Gabar 4.3. u u v v w w x x u v w x u v w x u 3 u u v 3 v v w 3 w w x 3 x x u 3 v 3 w 3 x 3 u 4 v 4 w 4 x 4 F 4,4 F 4,5 Gabar 4.4 F, dega = 4, 4 Pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 4, ditetuka sebagai f(u) = 0, f(v) =4 3, f(w) =, f(x)= 4, (4.3) f(u i ) = 3 3 i, i =,,...,, (4.4) f(v j ) = f(w k ) = k, k =,,...,, j, j =,,...,,, j =, (4.5) 4, k =, (4.6) da f(x l ) = 3 l, l =,,...,, 3,l =. (4.7) Berdasarka persaaa (4.3)(4.7) da Defiisi..0 da.. aka diperoleh val ax (F 4, ) yaitu val ax (F 4, ) = val(f(u v )) val(f(v w )) val(f(w x )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val(f(ww k )) val(f(xx l )) = (4 4 ) (4 ) (4 3) ((3 0) (3 0)... (4 5 0) (4 4)) ((4 ( )) ((4 3) ( ))... ((4 3) ( )) ((4 3) )) (( ) ( )... (3 3 ) (4 )) ((4 4) (4 5)... ((4 ) ( )) (4 3)) xxx

31 = (4 5) (4 3) (4 5) ((3 ) (3 )... (4 5) (4 4 )) (( ) ( )... (3 5) (4 4)) (( ) ( )... (3 5) (4 4)) ((4 5) (4 6)... (3 3) (4 4)) = (4 5) (4 3) (4 5) (4 4) (4 4) (4 4) (4 4) ((3 ) (3 )... (4 5)) (( ) ( )... (3 5)) (( ) ( )... (3 5)) ((4 5) (4 6)... (3 )) = (8 9) (... ( ) (3 3) ( )) (... ( 3 ) ( 3) ( )) (... ( ) ( 3) ( )) (... ( ) (3 3)( )) = (8 9) ( ( (3 3) ( )) ( ( 3) ( )) ( = (8 9) 4 ( 3) ( ) (3 3) ( )) = (8 9) 4 (3 3)) = (8 9) 4 = 4 = 4 (3 3) ( )) ( 3) ( )) ((3 3) ( ) ( 3) ( ) ( ) ((3 3) ( 3) ( 3) ( ) (0 ) (0 0 4) (8 9) (0 3 4) (8 9) = xxxi

32 Lea 4..4 Utuk seua bilaga bulat = 5, 4 berlaku, val ax (F 5, ) = Bukti. Misalka graf firecracker F 5, epuyai 5 pusat yaitu u, v, w,x da y. Letak titik pusat beruruta dari kiri ke kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex. Pusat u adjacet dega u, u,, u, pusat v adjacet dega v, v,, v, pusat w adjacet dega w, w,., w, pusat x adjacet dega x, x,., x. sedagka pusat y adjacet dega y, y,., y. Ilustrasi dari graf firecracker F, dega = 5, 4 dapat dilihat pada Gabar 4.4 u u v v w w x x y y u v w x y u v w x y u 3 u u v 3 v v w 3 w w x 3 x x y 3 y y u 3 v 3 w 3 x 3 y 3 u 4 v 4 w 4 x 4 y 4 F 5,4 F 5,5 Gabar 4.4 F, dega = 5, 4 Ditetuka pelabela aksiu γ dari graf firecracker F, sebagai berikut f(u) = 0, f(v) =5 4, f(w) =, f(x) = 5, f(y)= 4, (4.8) f(u i ) = 4 4 i, i =,,...,, (4.9) j, j =,,...,, f(v j ) =, j =, (4.0) 3 k, k =,,...,, f(w k ) = 5 3, k =, (4.) 4 l, l =,,...,, f(x l ) = 3, l =, (4.) da p, p =,,...,, f(y p ) = 5, p =. (4.3) xxxii

33 Nilai aksiu F 5, diperoleh berdasarka Defiisi..0 da.. da persaaa (4.8) (4.3) sehigga val ax (F 5, ) = val(f(u v )) val(f(v w )) val(f(w x )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val(f(ww k )) val(f(xx l )) val(f(yy p )) = ((4 4 ) ) (5 3 ) (5 3 3) (5 3) ((4 3 0) (4 0)... (4 4 0) (4 4 0)) ((5 4 ) (5 4 ( )) (5 4 ( ))... (5 4 ( 3)) (5 4 )) ((3 ) (3 )... (4 4 ) (5 3 )) ((5 5) (5 6)... (5 ( )) (5 3)) (( 4 ) ( 4)... (3 4 ) (5 4)) = (5 6) (5 4) (5 6) (5 4) ((4 3) (4 )... (5 6) (5 5)) ((3 4) (3 3)... (4 7) (5 5)) ((3 3) (3 )... (4 6) (5 5)) ((5 7) (5 8)... (4 4) (5 5)) (( 3) ( )... (3 6) (5 5)) = (5 6) (5 4) (5 6) (5 4) (5 5) (5 5) (5 5) (5 5) (5 5) ((4 3) (4 )... (5 6)) ((3 4) (3 3) (3 )... (4 7)) ((3 3) (3 )... (4 6)) ((5 7) (5 8)... (4 4)) (( 3) ( )... (3 6)) = 45 ( ) ( (4 4)( )) ( ( ) (3 5)( )) (... ( ) (3 4) ( )) (... ( ) (4 5)( )) (... ( ) ( 4) ( )) xxxiii

34 = 45 ( ) ( ( ( (4 4) ( )) ( (3 4)( )) ( ( 4) ( )) = 45( ) 5 = 5 = 5 4 ) (3 5)( )) (4 5)( )) ( ) ( Teorea 4..6 Utuk seua bilaga bulat 3, =, berlaku val ax (F, )= ( ) Bukti. Graf firecracker F, adalah graf yag berasal dari ragkaia star S da adalah bayakya vertex pada star S, dega eghubugka salah satu dauya utuk tiap tiap star sehigga graf firecracker F, epuyai pusat. Nau kasus khusus utuk graf firecracker F, dega =, yag diaggap sebagai pusat adalah vertex dega degree lebih besar saa dega. Dala hal ii berarti vertex tersebut adjacet dega vertex yag eghubugka dega star yag lai. Ilustrasi dari firecracker F, dega 3, = dapat dilihat pada Gabar 4.5 u v w u v w x u v w x y u v w u v w x u v w x y F 3, F 4, F 5, Gabar 4.5 F, dega 3, = xxxiv

35 Jika f adalah pelabela γ dari graf firecracker F, aka ruusa uu ilai aksiu graf firecracker F,3 adalah sebagai berikut Padag graf firecracker F, dega = 3, =. Misalka graf firecracker F 3, epuyai 3 pusat yaitu u, v da w. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v terletak di tegah da pusat w terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex, sehigga pusat u, v da w adjacet dega u, v da w. Ditetuka pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 3, sebagai berikut f(u) =, f(v) =0, f(w) =, (4.4) f(u i ) =,i =, (4.5) f(v j ) =, j =, (4.6) f(w k ) =, k =. (4.7) Persaaa (4.3) diperoleh berdasarka Defiisi..0 da.. da persaaa (4.4)(4.7) sehigga val i (F 3, ) adalah val ax (F 3, ) = val(f(uv)) val(f(vw)) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val(f(ww k )) = ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) = ( ) ( ) = 5 3. (4.8) Padag graf firecracker F, dega = 4, =. Misalka graf firecracker F 4, epuyai 4 pusat yaitu u, v, w da x. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v da pusat w terletak di tegah sedagka pusat x terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex, sehigga pusat u, v, w da x adjacet dega u,v,w da x. Pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 4, ditetuka sebagai f(u) = 3, f(v) = 0, f(w) =, f(x) =, (4.9) f(u i ) = 3, i =, (4.30) f(v j ) =, j =, (4.3) f(w k ) =,k =, (4.3) f(x l ) =, l =. (4.33) xxxv

36 Persaaa (4.33) diperoleh dari (4.9)(4.3) da egacu pada Defiisi..0 da.. sehigga val ax (F 4, ) = val(f(uv)) val(f(vw)) val(f(wx)) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val(f(ww k )) val(f(xx l )) = ( 3 0) ( 0) ( ) ( 3 3) ( 0) ( ) ( ) = ( 3 ) ( ) ( ) = 7 6. (4.34) Padag graf firecracker F, dega = 5, =. Misalka graf firecracker F 5, epuyai 5 pusat yaitu u, v, w, x da y. Pusat u da pusat v terletak di sebelah kiri, pusat w terletak di tegah sedagka pusat x da y terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex, sehigga pusat u, v, w, x da y adjacet dega u,v,w, x da y. Pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 5, ditetuka sebagai f(u) = 4, f(v) = 0, f(w) = 3, f(x) =, f(y)=, (4.35) f(u i ) = 4, i =, (4.36) f(v j ) =, j =, (4.37) f(w k ) = 3, k =, (4.38) f(x l ) =, l =, (4.39) f(y p )=, p =. (4.40) Nilai aksiu F 5, diperoleh dari persaaa (4.35)(4.40) da berdasarka Defiisi..0 da.. val ax (F 5, ) = val(f(uv)) val(f(vw)) val(f(wx)) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val(f(ww k )) val(f(xx l )) = ( 4 0) ( 3 0) ( 3 ) ( ) ( 4 4) ( 0) ( 3 3) ( ) ( ) = ( 4 ) ( 3) ( ) ( ) = 9 0. (4.4) xxxvi

37 Berdasarka persaaa (4.8), (4.34) da (4.4) diperoleh val ax (F, ) dega 3, = val ax (F 3, ) = 5 3 val ax (F 4, ) = 6 6 val ax (F 5, ) = 9 0 Dega deikia teorea terbukti. val ax (F, ) = ( ) Teorea 4..7 Utuk seua bilaga bulat 3, = 3 berlaku, val ax (F,3 ) = (5 ) Bukti. Graf firecracker F, adalah graf yag berasal dari ragkaia star S da adalah bayakya vertex pada star S, dega eghubugka salah satu dauya utuk tiap tiap star sehigga graf firecracker F, epuyai pusat. Ilustrasi dari firecracker F, dega 3, = 3 dapat dilihat pada Gabar 4.6 u v w u v w x u v w x y u v w u v w x u v w x y u v w u v w x u v w x y F 3,3 F 4,3 F 5,3 Gabar 4.6 F, dega 3, = 3 Jika f adalah pelabela γ dari graf firecracker F, aka ruusa uu ilai aksiu graf firecracker F,3 adalah sebagai berikut Padag graf firecracker F, dega = 3, = 3. Misalka graf firecracker F 3,3 epuyai 3 pusat yaitu u, v da w. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v terletak di tegah da pusat w terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet xxxvii

38 dega vertex. Pusat u adjacet dega u da u, pusat v adjacet dega v da v sedagka pusat w adjacet dega w da w. Pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 3,3 ditetuka sebagai f(u) =, f(v) =, f(w) =, (4.4) f(u i ) =, i =,, i=, (4.43), j =, f(v j ) = 0, j =, (4.44) da f(w k ) =, k =,, k =. (4.45) Berdasarka Defiisi..0 da.. da persaaa (4.4)(4.45) diperoleh val ax (F 3,3 ) adalah val ax (F 3,3 ) = val(f(u v )) val(f(v w )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val (f(ww k )) = ( 0) ( 0) (( ) ( )) (( ) ( 0)) (( ) ( )) = ( ) ( ) = 3 3. (4.46) Padag graf firecracker F, dega = 4, = 3. Misalka graf firecracker F 4,3 epuyai 4 pusat yaitu u, v, w da x. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v da pusat w terletak di tegah sedagka pusat x terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex. Pusat u adjacet dega u da u, pusat v adjacet dega v da v, pusat w adjacet dega w da w sedagka pusat x adjacet dega x da x. Ditetuka pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 4,3 sebagai berikut f(u) = 3, f(v) =, f(w) =, f(x) =, (4.47) f(u i ) = 3, i =, 3, i =, (4.48) xxxviii

39 , j =, f(v j ) = 0, j =, (4.49) f(w k ) =, k =,,k =, (4.50) da f(x l ) = l, l =,,l =. (4.5) Berdasaka persaaa (4.47)(4.5) da egacu pada Defiisi..0 da.. diperoleh val ax (F 4,3 ) adalah val ax (F 4,3 ) = val(f(u v )) val(f(v w )) val(f(w x )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val (f(ww k )) val (f(xx l )) = ( 3 0) ( 0) ( )(( 3 3) ( 3 3)) (( ) ( 0)) (( ) ( )) (( ) ( ( ))) = ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 8 6. (4.5) Padag graf firecracker F, dega = 5, = 3. Misalka graf firecracker F 5,3 epuyai 5 pusat yaitu u, v, w, x da y. Pusat u da pusat v terletak di sebelah kiri, pusat w terletak di tegah sedagka pusat x da y terletak di sebelah kaa. Masig asig pusat adjacet dega vertex. Pusat u adjacet dega u da u, pusat v adjacet dega v da v, pusat w adjacet dega w da w,pusat x adjacet dega x da x sedagka pusat y adjacet dega y da y. Ditetuka pelabela aksiu γ dari graf firecracker F 5,3 sebagai berikut f(u) = 4, f(v) =, f(w) = 3, f(x) =, f(y) =, (4.53) f(u i ) = 4 jika i =, 4 jika i =, (4.54) jika j =, f(v j ) = 0 jika j =, (4.55) xxxix

40 3 jika k =, f(w k ) = 3 jika k =, (4.56) l jika l =, f(x l ) = jika l =, (4.57) da jika p =, f(y p ) = jika p =. (4.58) Persaaa (4.59) diperoleh berdasarka Defiisi..0 da.. da persaaa (4.53)(4.58) sehigga val ax (F 5,3 ) = val(f(u v )) val(f(v w )) val(f(w x )) val(f(uu i )) val(f(vv j )) val(f(ww k )) val(f(xx l )) = ( 4 0) ( 3 0) ( 3 ) ( ) (( 4 4) ( 4 4)) (( ) ( 0)) (( 3 3) ( 3 3)) (( ( )) ( )) (( ) ( )) = ( 4) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 0. (4.60) Berdasarka (4.46), (4.5) da (4.60) aka dapat diperoleh betuk uu val ax (F,3 ) val ax (F 3,3 ) = 3 3 val ax (F 4,3 ) = 8 6 val ax (F 5,3 ) = 3 0 Dega deikia teorea terbukti. val ax (F,3 ) = (5 ) BAB V xl

41 PENUTUP 5. Kesipula Berdasarka uraia pada pebahasa, aka kesipula yag dapat diabil adalah sebagai berikut. Nilai iiu dari pelabela γ pada graf firecracker F, val i (F, ) = ( ), utuk gajil ( ), utuk geap. Nilai aksiu dari pelabela γ pada graf firecracker F, val ax (F, ) = ( ) 3( ) 4( ) 5( ) ( ) ( ) (5 ) ( ) 3, =, 4 5 8, = 3, , = 4, 4 6 9, = 5, 4, 3, =, 3, = 3 5. Sara Peelitia egeai pelabela γ asih dapat dikebagka lagi. Bagi pebaca yag tertarik dega topik ii, peulis eberika sara agar pebaca dapat egebagka pelabela γ utuk kelas graf firecracker F, yag berlaku utuk sebarag, karea utuk ilai aksiu dari graf firecracker F, dega 3 da 4 belu dapat digeeralisasika. 30 xli

42 DAFTAR PUSTAKA [] Chartrad, G, Itroductory of Graph Theory, Wester Michiga Uiversity, Dover Publicatios Ic., New York, 977. [] Chartrad, G, D.Erwi, D.W.VaderJagt, ad P.Zhag, γlabelig of graphs, Wester Michiga Uiversity, 005. [3] Chartrad, G. ad Oellera, O. R., Applied ad Algorithic Graph Theory, McGraw Hill Ic., New York, 993. [4] Chartrad, G. ad Lesiak, L., Graphs ad Digraphs, secod ed, Wadsworth Ic., Califoria, 979 [5] Che, W. C.; Lü, H. I.; ad Yeh, Y. N. "Operatios of Iterlaced Trees ad Graceful Trees." Southeast Asia Bull. Math., , 997. [6] Gallia, J. "Dyaic Survey of Graph Labelig." Electroic Joural of Cobiatorics 4, No. DS6, Ja. 3, 007. [7] Harary, F, Graph Theory, AddisoWesley Publishig copay Ic., Caada, 969. [8] Pearaju, S. ad Skiea, S. "Cycles, Stars, ad Wheels." 6..4 i Coputatioal Discrete Matheatics: Cobiatorics ad Graph Theory i Matheatica. Cabridge, Eglad: Cabridge Uiversity Press. [9] Tutte, W. T. Graph Theory. Cabridge, Eglad: Cabridge Uiversity Press, 005. [0] Wallis, W.D., Magic Graphs, Birkhausser, Bosto, xlii