MENENTUKAN PELABELAN TOTAL SISI AJAIB DAN KONSTANTA AJAIB TERKECIL PADA GRAF SIKEL, LINTASAN DAN STAR SKRIPSI. Oleh: BAHRIN NADA NIM.

Transkripsi

1 MENENTUKAN PELABELAN TOTAL SISI AJAIB DAN KONSTANTA AJAIB TERKECIL PADA GRAF SIKEL, LINTASAN DAN STAR SKRIPSI Oleh: BAHRIN NADA NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

2 HALAMAN PENGAJUAN MENENTUKAN PELABELAN TOTAL SISI AJAIB DAN KONSTANTA AJAIB TERKECIL PADA GRAF SIKEL, LINTASAN DAN STAR SKRIPSI Diajuka Kepada: Uiersitas Islam Negeri Malag utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh: BAHRIN NADA NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

3 HALAMAN PERSETUJUAN MENENTUKAN PELABELAN TOTAL SISI AJAIB DAN KONSTANTA AJAIB TERKECIL PADA GRAF SIKEL, LINTASAN DAN STAR SKRIPSI Oleh: BAHRIN NADA NIM Telah Diperiksa da Disetujui utuk Diuji Taggal: 7 Oktober 008 Pembimbig I Pembimbig II Drs. H. Turmudi, M.Si NIP Muirul Abidi, M.Ag NIP Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 50 8

4 MENENTUKAN PELABELAN TOTAL SISI AJAIB DAN KONSTANTA AJAIB TERKECIL PADA GRAF SIKEL, LINTASAN DAN STAR SKRIPSI Oleh: BAHRIN NADA NIM Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima Sebagai Salah Satu Persyarata utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal: Oktober 008 Susua Dewa Peguji Tada Taga. Peguji Utama : Abdussakir, M.Pd ( ) NIP Ketua : Wahyu H. Irawa, M.Pd ( ) NIP Sekretaris : Drs. H. Turmudi, M.Si ( ) NIP Aggota : Muirul Abidi, M.Ag ( ) NIP Megetahui da Megesahka Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 50 8

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yag bertada taga dibawah ii: Nama : BAHRIN NADA NIM : Jurusa : Matematika Fakultas : Sais da Tekologi Meyataka dega sebearya bahwa skripsi yag saya tulis ii bear-bear merupaka hasil karya saya sediri, buka merupaka pegambil aliha data, tulisa atau pikira orag lai yag saya akui sebagai hasil tulisa atau pikira saya sediri. Apabila dikemudia hari terbukti atau dapat dibuktika skripsi ii hasil jiplaka, maka saya bersedia meerima saksi atas perbuata tersebut. Malag, 7 Oktober 008 Yag membuat peryataa Bahri Nada NIM

6 MOTTO Ketahuilah, apapu yag mejadikamu tergetar, itulah Yag Terbaik utukmu! Da karea itulah, Qalbu seorag pecita-nya lebih besar daripada Siggasaa-Nya. (Jalaludi Rumi) Kepuasa terletak pada usaha, buka pada hasil. Da berusaha dega keras adalah kemeaga yag hakiki. (Mahatma Gadhi)

7 PERSEMBAHAN Alhamdulillahi Robbil A lami Segala Puja da puji Syukur di Pajatka Bagi Allah SWT Seru Sekalia Alam Ucapa Terima Kasih yag Sebesar-besarya Atas Rahmat, Tauik da Hidayah-Nya yag Telah Diberika Peulis Persembahka Karya ii Kepada Kedua Orag Terbaik & Terhebat Ayah ICHWAN da Ibu MUSLIMAH Sebagai Cita Kasih da Bakti Peulis Utuk Kakak BAHRUL ULUM & Istriya, Adik NURIS SA DIYAH, da Kepoaka-kepoaka yag tersayag M. ABI CHADAVI & M. FATKHUR RASYA Terima Kasih atas Support, Do a da Usahaya Selama ii Semuaya Merupaka Orag-orag yag Peulis Citai da Sayagi Selamaya

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr.Wb. Teririg ucapa puja da puji syukur ke hadirat Allah SWT. yag telah melimpahka rahmat, tauik da hidayah-nya, sehigga peulis dapat meyelesaika peulisa Skripsi yag berjudul Meetuka Pelabela Total Sisi Ajaib da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel, Litasa da Star. Sholawat serta salam semoga tetap tercurahka kepada jujuga kita Nabi Muhammad SAW. yag telah megatarka umat mausia dari zama kegelapa meuju zama yag terag bederag, yaki Addiul Islam. Peulisa skripsi ii dapat di selesaika berkat bimbiga da motiasi dari dose pembimbig, bapak da ibu dose serta batua dari semua pihak. Meyadari dega sepeuhya, bahwa peulisa skripsi ii tidak lepas dari bayak pihak. Oleh karea itu, tidak lupa peulis ucapka bayak-bayak terima kasih kepada:. Bapak Pro. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor Uiersitas Islam Negeri (UIN) Malag.. Bapak Pro. Drs. Sutima Bambag Sumitro, SU., D.Sc, selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiersitas Islam Negeri (UIN) Malag.. Ibu Sri Harii, M.Si, selaku Ketua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiersitas Islam Negeri (UIN) Malag. i

9 4. Bapak Drs. H. Turmudi, M.Si, selaku dose pembimbig yag seatiasa memberika bimbiga, araha da koreksi dalam peyusua skripsi ii sampai selesai. 5. Bapak Muirul Abidi, M.Ag, selaku dose pembimbig agama yag seatiasa memberika bimbiga, araha da koreksi dalam peyusua skripsi ii sampai selesai. 6. Seluruh dose Jurusa Matematika yag telah memberika ilmuya selama ii di bagku kuliah da yag selalu membimbig serta memberi motiasi agar peulis dapat meyelesaika studi dega baik. 7. Seluruh dose Fakultas Sais da Tekologi UIN Malag yag telah memberika ilmu pegetahua kepada peulis selama di bagku kuliah, serta seluruh karyawa da sta UIN Malag. 8. Kedua orag tua tersayag da saudara-saudara tercita yag memberika doroga serta motiasi do a yag tiada heti kepada peulis sampai terselesaikaya skripsi ii. 9. Tema-tema seperjuaga yag selalu salig memberi semagat da motiasi dalam peyelesaia skripsi ii (Zumrotus Sa adah, Nur Laili Nigsih da Ahali Nisa i) 0. Terima kasih juga peulis sampaika kepada tema-tema jurusa matematika agkata 004 atas support da semagat serta do a yag diberika. ii

10 . Semua pihak yag tidak dapat peulis sebutka satu persatu, atas keikhlasa batua moril da sprituil, peulis ucapka terima kasih sehigga dapat meyelesaika skripsi. Dega teririg segala do a, semoga Allah SWT. melimpahka rahmat, tauik da hidayah-nya kepada semua pihak yag telah membimbig da membatu dalam peyelesaia peulisa skripsi ii. Semoga ikhtiar ii seatiasa medapat ridho da berkah dari Allah SWT. sekaligus sebagai ibadah sosial yag bermaaat. Akhir kata, semoga skripsi ii dapat bermaaat khususya bagi peulis da pembaca pada umumya. Amiiiii... Wassalamu alaikum Wr.Wb Malag, 7 Oktober 008 Peulis iii

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... ABSTRAK... i i i ix x BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Rumusa Masalah Tujua Masalah Maaat Peelitia Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 9 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Gra..... Deiisi Gra..... Adjacet da Icidet..... Derajat Titik Gra Terhubug Gra Komplit, Bipartisi da Bipartisi Komplit Gra Sikel... 0 i

12 . Gra Litasa....4 Gra Star....5 Pelabela....6 Pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) Kostata Ajaib Terkecil Teori Gra da Pelabela dalam Al Qur a... 7 BAB III PEMBAHASAN. Pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel Pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Litasa dega Bayak Titik Geap Pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Litasa dega Bayak Titik Gajil Pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Star BAB IV KESIMPULAN 4.. Kesimpula Sara... 8 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

13 DAFTAR GAMBAR Gambar. Hubuga atara Allah dega Hamba-Nya serta Sesama Hamba... Gambar. Cotoh Gra G... Gambar. Cotoh Gra Triial da Null.... Gambar. Gra Adjacet da Icidet Gambar.4 Cotoh Gra dega Sisi Ragkap da Loop... 4 Gambar.5 Cotoh Gra Sederhaa... 4 Gambar.6 Gra Derajat Titik... 5 Gambar.7 Gra Derajat-r... 6 Gambar.8 Jala, Litasa, Trail da Sikel Gambar.9 Gra Terhubug (coected) Gambar.0 Gra Komplit Gambar. Gra Bipartisi... 9 Gambar. Gra Bipartisi Komplit... 0 Gambar. Gra Sikel... Gambar.4 Gra Litasa... Gambar.5 Gra Star... Gambar.6 Cotoh Peotasia Titik... Gambar.7 Pelabela Titik... Gambar.8 Cotoh Peotasia Sisi... Gambar.9 Pelabela Sisi... 4 Gambar.0 Cotoh Pootasia Total... 4 Gambar. Pelabela Total... 5 Gambar. Hubuga atara Mukmi yag Bersaudara... 8 Gambar. Hubuga atara Allah dega Makhluk Hidup Ciptaa-Nya... 9 Gambar.4 Represetasi Gra terhadap Waktu-waktu Shalat... Gambar.5 Represetasi Gra terhadap Ibadah Sa i... Gambar. Peotasia pada Gra Sikel C... 5 Gambar. Pelabela pada Gra Sikel C... 5 Gambar. Fugsi Bijekti Gra G... 6 i

14 Gambar.4 Peotasia pada Gra Sikel C Gambar.5 Pelabela pada Gra Sikel C Gambar.6 Fugsi Bijekti Gra G... 8 Gambar.7 Peotasia pada Gra Sikel C Gambar.8 Pelabela pada Gra Sikel C Gambar.9 Fugsi Bijekti Gra G... 4 Gambar.0 Gra Sikel C Gambar. Peotasia pada Gra Litasa P Gambar. Pelabela pada Gra Litasa P Gambar. Fugsi Bijekti Gra G Gambar.4 Peotasia pada Gra Litasa P Gambar.5 Pelabela pada Gra Litasa P Gambar.6 Fugsi Bijekti Gra G Gambar.7 Peotasia pada Gra Litasa P Gambar.8 Pelabela pada Gra Litasa P Gambar.9 Fugsi Bijekti Gra G... 5 Gambar.0 Gra Litasa P Gambar. Peotasia pada Gra Litasa P Gambar. Pelabela pada Gra Litasa P Gambar. Fugsi Bijekti Gra G Gambar.4 Peotasia pada Gra Litasa P Gambar.5 Pelabela pada Gra Litasa P Gambar.6 Fugsi Bijekti Gra G... 6 Gambar.7 Peotasia pada Gra Litasa P Gambar.8 Pelabela pada Gra Litasa P Gambar.9 Fugsi Bijekti Gra G Gambar.0 Gra Litasa P Gambar. Peotasia pada Gra Star K (,) Gambar. Pelabela pada Gra Star K (,) Gambar. Fugsi Bijekti Gra G... 7 Gambar.4 Peotasia pada Gra Star K (,)... 7 ii

15 Gambar.5 Pelabela pada Gra Star K (,)... 7 Gambar.6 Fugsi Bijekti Gra G... 7 Gambar.7 Peotasia pada Gra Star K (,)... 7 Gambar.8 Pelabela pada Gra Star K (,)... 7 Gambar.9 Fugsi Bijekti Gra G Gambar.40 Peotasia pada Gra Star K (,4) Gambar.4 Pelabela pada Gra Star K (,4) Gambar.4 Fugsi Bijekti Gra G Gambar.4 Gra Star K (,) iii

16 DAFTAR TABEL Tabel. Bayak Titik da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel Tabel. Bayak Titik da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Litasa ( = geap) Tabel. Bayak Titik da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Litasa ( = gajil) Tabel.4 Bayak Titik da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Star ix

17 ABSTRAK Nada, Bahri Meetuka Pelabela Total Sisi Ajaib da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel, Litasa da Star. Skripsi, Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiersitas Islam Negeri (UIN) Malag. Pembimbig: Drs. H. Turmudi, M.Si Muirul Abidi, M.Ag Kata Kuci: Pelabela Total Sisi Ajaib (EMT), Kostata Ajaib Terkecil, Gra Sikel (C ), Gra Litasa (P ) da Gra Star (K (,) ). Pelabela total sisi ajaib pada gra G(p,q) adalah ugsi yag bersiat satu-satu da pada dari V(G)E(G) ke himpua bilaga bulat,,..., p q dega siat setiap sisi xy pada gra G yag diberika berlaku ( x) ( xy) ( y) k, utuk suatu kostata k da kostata k disebut kostata ajaib dari G. Kostata ajaib terkecil adalah ilai miimum dari semua k dimaa k merupaka kostata ajaib dari gra super ajaib. Lebih lajut adalah pelabela super ajaib dari gra G jika ( V ( G)) {,,..., p}. Da suatu gra dikataka ajaib jika terdapat pelabela ajaib pada gra tersebut. Pada skripsi dibahas pelabela total sisi ajaib da kostata ajaib terkecil pada gra sikel (C ), gra litasa (P ) da gra star (K (,) ). Berdasarka pembahasa skripsi ii bahwa setiap gra sikel C dega bilaga asli gajil 5 da adalah total sisi ajaib dega kostata ajaib terkecil k, setiap gra litasa P dega bilaga asli geap adalah total sisi ajaib dega 5 kostata ajaib terkecil k da setiap gra litasa P dega bilaga 5 asli gajil adalah total sisi ajaib dega kostata ajaib terkecil k da setiap gra star K (, ) dega bilaga asli adalah total sisi ajaib, dega kostata ajaib terkecil k 4 Pembahasa megeai pelabela total sisi ajaib da kostata ajaib terkecil ii masih terbuka bagi peeliti lai utuk melajutka pada jeis-jeis gra yag lai seperti gra tagga, gra poho, gra buku da lai sebagaiya da juga dapat melajutka utuk mecari ilai kostata ajaib terbesar (maksimum) pada gra-gra tersebut. x

18 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Pedidika merupaka suatu upaya trasormasi ilai da pegembaga potesi mausia yag berlagsug secara ormal maupu yag iormal karea pedidika juga berugsi utuk megembagka potesi mausia utuk diriya sediri. Dari berbagai teori pedidika yag dihasilka oleh pakar ilmu pedidika, telah disepakati bahwa pedidika harus disampaika. Dega demikia, pedidika adalah suatu peristiwa peyampaia atau proses trasormasi. Al Qur a meegaska hal yag serupa ketika meyampaika materiya kepada peerimaya, yaitu Nabi Muhammad SAW sebagaimaa yag terdapat dalam surat Al Maidah (5) ayat 67: Artiya: Hai Rasul, sampaikalah apa yag disampaika kepadamu dari Tuhamu. Da jika tidak kamu kerjaka (apa yag diperitahka itu, berarti) kamu tidak meyampaika amaat-nya. Allah memelihara kamu dari (gaggua) mausia. Sesugguhya Allah tidak memberi petujuk kepada orag yag kair. (QS. Al Maidah: 67 ) Pedidika erat kaitaya dega ilmu pegetahua (sciece) karea mempuyai ciri khas yag yata yag tidak dapat diigkari. Berbicara tetag ilmu pegetahua, Al Qur a telah memberika kepada mausia kuci ilmu pegetahua. Adapu hubuga atara Al Qur a da ilmu pegetahua

19 hedakya diletakka pada proporsi yag lebih tepat, yaitu sesuai dega kemuria da kesucia Al Qur a da sesuai pula dega logika ilmu pegetahua itu sediri. Salah satu ilmu pegetahua tersebut adalah ilmu matematika karea matematika juga merupaka salah satu cabag ilmu yag medasari berbagai macam ilmu yag lai, sehigga dalam meghadapi berbagai macam eomea yag semaki kompleks maka matematika petig utuk dipelajari. Dalam kehidupa sehari-hari bayak permasalaha yag memerluka pemecaha. Serig dega batua matematika permasalaha tersebut mejadi lebih mudah dipahami, lebih mudah dipecahka, atau bahka dapat ditujukka bahwa suatu persoala tidak mempuyai peyelesaia. Utuk keperlua tersebut perlu dicari pokok permasalahaya da kemudia dibuat rumusa atau model matematikaya. Diatara cabag matematika yag bayak maaatya utuk kehidupa sehari-hari adalah teori gra. Teori gra merupaka salah satu cabag dari ilmu matematika yag meurut deiisiya adalah himpua yag tidak kosog yag memuat eleme-eleme yag disebut titik, da suatu datar pasaga tidak terurut eleme itu yag disebut sisi. Bayak rumus dalam teori gra termotiasi oleh keadaa yata. Dari permasalaha yag timbul pada masalah kehidupa seharihari timbul ide utuk meemuka rumus matematikaya, tetu saja dega dibebaska dari arti da maka sehari-hari. Teori gra sudah dipelajari sejak lama, secara ormal mucul pertama (yag bayak diketahui orag) pada tahu 76, yaki pada tulisa Euler megeai peyelesaia masalah Jembata Koigsberg.

20 Oleh karea itu, teori gra merupaka salah satu pokok bahasa yag memiliki bayak terapa praktis higga saat ii. Gra diguaka utuk merepresetasika objek-objek diskrit da hubuga atara objek-objek tersebut. Dega model teori gra yag tepat, suatu permasalaha mejadi lebih jelas, sehigga mudah utuk diaalisa. Permasalaha yag dirumuska dega teori gra dibuat sederhaa, yaitu diambil aspek-aspek yag diperluka da dibuag aspek-aspek laiya. Represetasi isual dari gra adalah dega meyataka objek sebagai titik, sedagka hubuga atara objek diyataka dega garis. Dalam Al Qur a eleme-eleme pada gra yaitu titik da sisi meliputi Pecipta (Allah) da hamba-hamba-nya, sedagka sisi atau garis yag meghubugka eleme-eleme tersebut adalah bagaimaa hubuga atara Allah dega hambaya da juga hubuga sesama hamba yag terjali, Hablu mi Allah wa Hablu mi A-Nas. Allah Mausia Gambar. Hubuga atara Allah dega Hamba-Nya serta Sesama Hamba yaitu: Hal ii dikuatka oleh irma Allah dalam Al Qur a surat Ali Imra ayat

21 4 Artiya: Mereka diliputi kehiaa di maa saja mereka berada, kecuali jika mereka berpegag kepada tali (agama) Allah da tali (perjajia) dega mausia, da mereka kembali medapat kemurkaa dari Allah da mereka diliputi keredaha. Yag demikia itu, karea mereka kair kepada ayat-ayat Allah da membuuh para abi tapa alasa yag bear. Yag demikia itu, disebabka mereka durhaka da melampaui batas. (QS. Ali Imra: ) Aplikasi dari teori gra ii sagat luas da dipakai dalam berbagai disipli ilmu maupu dalam kehidupa sehari-hari. Pegguaa gra di berbagai bidag tersebut diguaka utuk memodelka persoala. Teori ii juga sagat bergua utuk megembagka model-model yag terstruktur dalam berbagai situasi. Dalam implemetasiya teori ii bayak diguaka atara lai di dalam bidag kelistrika, kimia orgaik, ilmu komputer. Bahka dewasa ii teori gra diguaka secara besar-besara dalam bidag ekologi, geograi, atropologi, geetika, isika, elektroika, pemrosesa iormasi, arsitektur, da desai. Selai itu juga, teori ii bayak dimaaatka secara praktis dalam bidag idustri. Dalam teori gra terdapat cabag ilmu yag diamaka pewaraa. Terdapat beberapa macam pewaraa dalam gra, salah satuya adalah pewaraa titik. Pewaraa titik k utuk suatu gra G merupaka peujuka k wara pada titik-titik di gra G sedemikia sehigga titik-titik yag berdekata medapat wara berbeda. Pewaraa yag lai adalah pewaraa sisi. Pewaraa sisi k utuk gra G merupaka pemberia k wara pada sisi-sisi di gra G. Sedemikia

22 5 sehigga, setiap sisi yag bertemu pada suatu titik yag sama medapatka wara yag berbeda. Masalah pewaraa ii erat kaitaya dega masalah pewaraa peta, yaitu masalah meetuka bayak wara miimum yag diperluka utuk mewarai peta sehigga dua daerah yag bertetagga mempuyai wara berlaia. Berawal dari pembahasa tetag pewaraa, hal ii dilajutka dega ditemukaya pelabela. Pelabela gra adalah suatu pemberia ilai pada titik atau sisi dari gra atau keduaya sehigga memeuhi kodisi tertetu. Berbagai macam pelabela gra dikaji da berkembag, baik kosep itu mucul utuk keperlua aplikasi maupu teoritis. Aplikasi pelabela gra dapat dijumpai dalam berbagai bidag diataraya dekomposisi gra, kriptograi, kristalograi x-ray, teori kodig (codig theory), radar, disai sirkuit da disai jariga komuikasi. Lebih jauh lagi, dalam pelabela terdapat cabag ilmu yag berama Pelabela Ajaib. Pelabela ii dikealka oleh Sedlacek dalam Joseph A. Gallia (005:56) pada tahu 96, teori tetag pelabela ii termotiasi oleh teori tetag persegi ajaib (magic squares) dalam teori bilaga. Sedlacek medeiisika gra ajaib sebagai gra yag mempuyai pelabela sisi dega rage adalah bilaga real, sehigga jumlah dari label sisi-sisiya yag terkait dega satu titik adalah kosta, utuk sebarag titik. Kotzig da Rosa dalam W. D. Wallis dkk (000:) telah medeiisika pelabela ajaib pada tahu 970. Istilah pelabela ajaib mereka guaka utuk meyataka pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig), da ii aka diguaka pada pembahasa selajutya pada skripsi ii.

23 6 Salah satu maaat pelabela EMT adalah dalam megatur peempata pasuka militer. Suatu gra meggambarka suatu wilayah yag harus dilidugi, dega himpua sisi meggambarka jala yag meghubugka pos-pos pejagaa da suatu kawasa atau wilayah digambarka dega himpua titik. Da utuk megamaka suatu wilayah dibutuhka pasuka pejaga yag ditempatka di jala-jala da di pos pejagaa. Dega sejumlah pasuka tertetu dimaksudka utuk mecapai kodisi keamaa yag maksimal. Da megguaka gra ajaib bisa diatur sedemikia rupa sehigga jumlah pasuka yag melidugi suatu kawasa dapat dimaksimalka dega total pasuka di seluruh wilayah dimiimalka. Bayak sekali teori tetag pelabela EMT pada berbagai betuk gra yag telah dipelajari. Berdasarka teori tetag pelabela EMT maka peulis igi mempelajari pelabela EMT pada gra sikel dega jumlah jeruji gajil. Aka tetapi, utuk gra litasa da gra star peulis mecoba utuk megkaji dega jumlah jeruji kedua-duaya, yaitu gajil da geap. Disampig melakuka pelabela EMT, pelabela EMT juga berugsi utuk mecari ilai kostata ajaib terkecil dari gra-gra tersebut diatas. Adapu masalah yag medasar dari pelabela EMT ii adalah kita mecari ilai-ilai dari pelabela pada setiap gra da setelah ilai-ilai dari pelabelaya diketahui maka lagkah selajutya yaitu mecari ilai kostata ajaib da kostata ajaib terkecilya pada gra tersebut.

24 7 Berdasarka uraia tersebut dalam peelitia ii peulis aka megkaji tetag gra yag diaplikasika pada pelabela, dega megambil judul skripsi Meetuka Pelabela Total Sisi Ajaib da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel, Litasa da Star.. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag diatas, maka rumusa masalah dalam peelitia skripsi ii adalah:. Bagaimaa pelabela total sisi ajaib pada gra sikel, litasa da star?. Bagaimaa kostata ajaib terkecil dari pelabela total sisi ajaib pada gra sikel, litasa da star?. Tujua Peelitia Berdasarka rumusa masalah yag telah dikemukaka sebelumya maka tujua peelitia skripsi ii adalah:. Mejelaska pelabela total sisi ajaib pada sikel, litasa da star.. Megetahui kostata ajaib terkecil dari pelabela total sisi ajaib pada sikel, litasa da star..4 Maaat Peelitia Peelitia ii diharapka dapat memberika maaat, khususya kepada peulis da umumya kepada semua pembaca baik secara teoritis maupu secara praktis.

25 8. Bagi peulis, hasil peelitia ii sebagai tambaha iormasi da wawasa pegetahua megeai cara meetuka pelabela total sisi ajaib da kostata ajaib terkecil pada gra sikel, litasa da star yag juga merupaka sebuah betuk partisipasi akti utuk memberika kotribusi pemikira dalam megembagka keilmua matematika.. Bagi pembaca, peelitia ii diharapka mampu mejadi sebuah wahaa utuk meambah wawasa da khasaah keilmuaya maupu sebagai baha rujuka utuk melakuka peelitia lebih lajut..5 Metode Peelitia Jeis dari peelitia ii adalah deskripti kualitati da peelitia ii merupaka sebuah peelitia kepustakaa (library research) dega melakuka peelitia utuk memperoleh data-data da iormasi dega megguaka tekik dokumeter, artiya data-data sumber peelitia dikumpulka dari dokume-dokume, baik yag berupa buku, artikel, jural, majalah, maupu karya ilmiah laiya yag berkaita dega topik atau permasalaha yag diteliti. Adapu tahapa-tahapa yag dilakuka dalam peelitia ii adalah sebagai berikut:. Mecari, mempelajari da meelaah sumber-sumber iormasi yag berhubuga dega topik yag diteliti.. Memberika deskripsi da pembahasa lebih lajut terhadap hasil peelitia utuk memberika jawaba atas rumusa masalah yag telah dikemukaka.

26 9. Mecoba melakuka pelabela pada beberapa cotoh gra sikel, litasa da star. 4. Melalui beberapa cotoh tersebut, akhirya dicari pola tertetu. 5. Pola yag didapatka masih dapat diaggap sebagai dugaa (kojektur). 6. Kojektur yag dihasilka kemudia dibuktika dega terlebih dahulu merumuska kojekturya sebagai suatu teorema yag dilegkapi dega bukti-bukti. 7. Setelah ditemuka pola pelabelaya dega membuktika teorema kemudia mecari ilai kostata ajaib terkecil pada gra sikel, litasa da star. 8. Memberika kesimpula akhir dari hasil peelitia..6 Sistematika Pembahasa Agar pembahasa dalam peelitia ii dapat dilakuka secara sistematis, maka sistematika peulisaya disusu dega keragka sebagai berikut: BAB I: PENDAHULUAN Bab ii merupaka bab pegatar yag terdiri dari latar belakag, rumusa masalah, tujua peelitia, maaat peelitia, metode peelitia, da sistematika pembahasa. BAB II: KAJIAN PUSTAKA Bab ii berisi tetag studi teoritis dari berbagai literatur da sumber-sumber yag relea dega masalah yag diteliti. Bab ii membahas tetag gra, gra sikel, gra litasa, gra star,

27 0 pelabela, pelabela total sisi ajaib (EMT) da kostata ajaib terkecil. BAB III: HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ii memaparka hasil peelitia da pembahasaya tetag cara meetuka pelabela EMT da kostata ajaib terkecil pada gra sikel, litasa da star yag disertai dega cotoh. BAB IV: PENUTUP Bab ii berisi kesimpula da sara.

28 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Gra.. Deiisi Gra Secara Matematis, gra dideiisika sebagai berikut: Deiisi Gra G adalah pasaga himpua (V, E) dega V adalah himpua tidak kosog da berhigga dari obyek-obyek yag disebut sebagai titik da E adalah himpua (mugki kosog) pasaga tak beruruta dari titik-titik berbeda di V yag disebut sebagai sisi. Himpua titik di G diotasika dega V(G) da himpua sisi diotasika dega E(G). Sedagka bayakya usur di V disebut order dari G da dilambagka dega p(g) da bayakya usur di E disebut ukura dari G da dilambagka dega q(g). Jika gra yag dibicaraka haya gra G, maka order da ukura dari G tersebut cukup ditulis dega p da q (Chartrad da Lesiak, 986:4). Deiisi Suatu gra terdiri dari suatu himpua tak kosog yag masig-masig usurya disebut titik (ertex) da suatu himpua pasaga tak beruruta dari titik-titik tersebut yag disebut sisi (edge) (Purwato, 997:5).

29 Misalka G adalah suatu gra. Himpua titik di gra G diyataka sebagai V G) i : i ( dega i disebut titik atau ertex da himpua sisi di gra G diyataka sebagai E G) : V ( G), V ( G) ( j k j dega j k disebut sisi atau edge, sisi juga dapat diotasika dega e i. Gra G dapat diyataka dega G V G, EG Cotoh : (Baskoro, 007:7). k a b d G c Gambar. Cotoh Gra G Gra G pada Gambar. dapat diyataka sebagai G V G, EG. Gra G mempuyai 4 titik sehigga order G adalah p = 4 da mempuyai 5 sisi sehigga ukura gra G adalah q = 5 dega G a, b, c d V, G ab, ad, ac, bc cd E,. Dapat juga ditulis dega G a, b, c d V, E( G) { e, e, e, e4, e5} Jika bayakya titik da bayakya sisi di G terhigga maka G disebut gra terhigga. Jika gra G haya terdiri dari satu titik maka gra G disebut gra

30 triial. Jika gra G haya terdiri dari himpua titik tapa himpua sisi maka gra G disebut gra kosog (graph Null). Cotoh : a b e h g d G c G G Gambar. Cotoh Gra Triial da Null Pada Gambar. gra G dapat diyataka sebagai V G E dega V G a, b, c, d, E G ab, ad, ac, bc, cd G,, G. Karea G haya terdiri dari himpua satu titik maka gra G disebut gra triial. Da karea G V G E dega V ( G) a, b, c, d da ( G ), G gra kosog (graph Null). E maka G disebut.. Adjacet da Icidet Deiisi Misalka da w adalah titik-titik dari suatu gra. Jika da w dihubugka oleh suatu sisi w, maka da w disebut terhubug lagsug (adjacet). Lebih lajut, da w dikataka terkait (icidet) dega w, w dikataka terkait (icidet) dega da w, da titik da w disebut titik ujug dari w (Wilso da Watkis, 990:).

31 4 w G w Gambar. Gra Adjacet da Icidet Dari Gambar. titik da w serta w da w adalah icidet (terkait lagsug) da titik da w adalah adjacet (terhubug lagsug). Dua sisi atau lebih yag meghubugka satu pasag titik disebut sisi ragkap (multiple edges). Suatu sisi yag titik ujugya sama disebut loop (Purwato, 997:5). Cotoh : a b G c Gambar.4 Cotoh Gra dega Sisi ragkap da Loop Pada gra G pada Gambar.4 terdapat sisi ragkap ab, da terdapat loop aa. Gra tapa sisi ragkap da tapa loop disebut gra sederhaa (simple graph) (Purwato, 997:5). Cotoh : a a a a b G c b G c b G c b G 4 c Gambar.5 Cotoh Gra Sederhaa

32 5 Pada Gambar.5 gra G merupaka gra sederhaa, G buka merupaka gra sederhaa karea terdapat loop aa, G buka merupaka gra sederhaa karea terdapat sisi ragkap ab, G 4 buka merupaka gra sederhaa karea terdapat loop aa da sisi ragkap ab. Da utuk selajutya pada skripsi ii haya aka dibahas gra sederhaa... Derajat Titik Deiisi 4 Derajat suatu titik di G, diyataka dega d(), adalah bayak sisi di G yag terkait dega. Derajat miimum da derajat maksimum titik-titik di G berturut-turut diyataka dega (G) da (G) (Purwato, 997:7). Cotoh : d a b G c Gambar.6 Gra Derajat Titik Utuk gra G pada Gambar.6 d(a) =, d(b) =, d(c) =, da d(d)= sedagka ( G) da ( G ). Gra yag semua titikya berderajat sama disebut gra beratura (regular graph). Suatu gra dikataka beratura-r (r-regular) jika semua titikya berderajat r (Purwato, 997:8).

33 6 Cotoh : a u G b d G c Gambar.7 Gra Derajat-r. Gra G pada Gambar.7 merupaka gra beratura-, da gra G merupaka gra beratura-...4 Gra Terhubug Deiisi 5 Deiisi 6 Deiisi 7 Sebuah jala (walk) u- di gra G adalah barisa berhigga (tak kosog) W : u = u 0, e, u, e,..., u -, e, u = yag berselag selig atara titik da sisi, yag dimulai dari titik u da diakhiri dega titik, dega ei ui utuk i =,,..., adalah sisi di G. u 0 disebut titik awal, u disebut titik akhir, u, u,..., u - disebut titik iteral, da meyataka pajag dari W (Chartrad da Lesiak, 986:6). Jala u- disebut terbuka atau tertutup jika da Lesiak, 986:6). u atau u (Chartrad Jala u- yag semua sisiya berbeda disebut trail u- (Chartrad da Lesiak, 986:6). u i

34 7 Deiisi 8 Jala u- yag semua sisi da titikya berbeda disebut path (litasa) u-. Dega demikia, semua litasa adalah trail (Chartrad da Lesiak, 986:6). Deiisi 9 Suatu titik u yag membetuk litasa (path) u-u disebut jala triial (Chartrad da Lesiak, 986:6). Deiisi 0 Suatu jala tertutup (closed trail) yag tak-triial pada Gra G disebut Sirkuit G. (Chartrad da Lesiak, 986:8). Deiisi Sirkuit, e,, e,,..., -, e -, e,, dega da i berbeda utuk setiap i disebut Sikel (cycle) (Chartrad da Lesiak, 986:8). Cotoh: e 5 6 e e 4 e 7 e e 4 e 6 5 Gambar.8. Jala, Litasa, Trail, da Sikel Dari Gambar.8.,, 6, 5, 4,, disebut jala tertutup dega pajag 6 da,, 6, 5, 4,,, disebut jala terbuka dega pajag 7., adalah trail tetapi buka litasa, sedagka, 6, 5, 4,,,, 6, 5, 4, disebut sebagai path (litasa) da,,, adalah sikel.

35 8 Deiisi Misalka u da titik berbeda pada gra G. Maka titik u da dapat dikataka terhubug (coected), jika terdapat litasa u di G. Sedagka suatu gra G dapat dikataka terhubug (coected), jika utuk setiap titik u da di G terhubug (Chartrad da Lesiak, 986:8). Cotoh: 4 G Gambar.9 Gra Terhubug (coected)..5 Gra Komplit, Bipartisi da Bipartisi Komplit Deiisi Gra komplit (complete graph) adalah gra sederhaa dega setiap pasag titik yag berbeda dihubugka oleh satu sisi. Gra komplit dega titik diyataka dega K (Chartrad da Lesiak, 986:9 da Purwato, 997:). Cotoh: G G G G 4 Gambar.0 Gra Komplit

36 9 Pada Gambar.0 gra G merupaka gra komplit K, gra G merupaka gra komplit K, gra G merupaka gra komplit K, da gra G 4 merupaka gra komplit K 4. Deiisi 4 Gra bipartisi (bipartite graph) adalah gra yag himpua titikya dapat dipisahka mejadi dua himpua tak kosog X da Y, sehigga masigmasig sisi di gra tersebut meghubugka satu titik di X da satu titik di Y, X da Y disebut himpua partisi (Purwato, 997:). Cotoh : a b c d e G Gambar. Gra Bipartisi. Gra G pada Gambar. merupaka gra bipartisi dega himpua partisi X a, b, cda Y d, e, Deiisi 5. Gra bipartisi komplit (complete bipartite graph) adalah gra bipartisi dega himpua-himpua partisi X da Y sehigga masig-masig titik di X dihubugka dega masig-masig titik di Y oleh tepat satu sisi, jika X m da Y maka gra bipartisi tersebut diyataka dega K (m,). (Purwato, 997:).

37 0 Cotoh : a b c a d e b c d G G Gambar. Gra Bipartisi Komplit Gra G pada Gambar. merupaka gra bipartisi komplit K (,) dega himpua partisi X a, b, cda Y d, e,. Da graph G merupaka gra bipartisi komplit K (,) atau gra star dega titik pusatya adalah a.. Gra Sikel Sikel adalah jala tertutup dega barisa titik yag berbeda. Dega kata lai, sikel adalah litasa tertutup, sikel dega pajag dapat juga ditulis dega -sikel. Deiisi 6 Deiisi 7 Gra sikel adalah gra yag terdiri dari satu sikel (sikel tuggal). Gra sikel dega titik diotasika dega C (Wilso da Watkis, 990:7). Gra Sikel (Cycle Gra) C ialah gra terhubug beratura yag mempuyai titik ( ) da sisi (Chartrad da Lesiak, 986:8).

38 Cotoh gra sikel: a a a b e b c C b d C 4 c d c C 5 Gambar. Gra Sikel. Gra Litasa Litasa adalah suatu jala yag tidak megulag titik. Deiisi 8 Gra path adalah gra yag terdiri dari satu litasa (path tuggal). Gra path (litasa) dega titik diotasika dega P (Wilso da Watkis, 990:7). Cotoh gra litasa: P P P 4 Gambar.4 Gra litasa.4 Gra Star Deiisi 9 Gra star adalah gra bipartit komplit yag berbetuk K (,).

39 Cotoh gra star: K (,) K (,4) Gambar.5 Cotoh Gra Star.5 Pelabela Deiisi 0 Pelabela pada sebuah gra adalah pemetaa yag memetaka usurusur pada suatu gra ke bilaga-bilaga (biasaya ke bilaga bulat positi atau bilaga bulat o-egati) (W. D. Wallis dkk, 000:). Ditijau dari domaiya, terdapat bermacam-macam pelabela pada gra, atara lai adalah pelabela titik, pelabela sisi, da pelabela total. Pelabela titik adalah pemetaa yag memetaka titik-titik pada suatu gra ke bilagabilaga. Pelabela sisi adalah pemetaa yag memetaka sisi-sisi pada suatu gra ke bilaga-bilaga. Sedagka pelabela total adalah pemetaa yag memetaka titik-titik da sisi-sisi pada suatu gra ke bilaga-bilaga. Selai itu domai yag lai juga mugki diguaka pada pelabela pada gra.

40 Cotoh : 4 5 G Gambar.6 Cotoh Peotasia Titik Jika G pada Gambar.6 dilabeli dega pelabela sebagai berikut : V ( G ) {,,,4,5} i i ; dega i =,,, 4, 5 Maka diperoleh gra dega pelabela titik pada Gambar.7 berikut 4 5 G Gambar.7 Pelabela Titik Cotoh : e e e e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 G Gambar.8 Cotoh Peotasia Sisi

41 4 Jika G pada Gambar.8 dilabeli dega pelabela sebagai berikut g : E( G ) {,,,4,5,6,7,8} e i i ; dega i =,,, 4, 5, 6, 7, 8 Maka diperoleh gra dega pelabela sisi pada Gambar.9 berikut G Gambar.9 Pelabela Sisi Cotoh : e e 4 e e 5 e e 6 e 7 4 e 8 5 G Gambar.0 Cotoh Pootasia Total Jika G pada Gambar.0 dilabeli dega pelabela sebagai berikut g V ( G) E( G ) {,,,...,,} : i i ; dega i =,,, 4, 5 e j j 5 ; dega j =,,, 4, 5, 6, 7, 8

42 5 Maka diperoleh gra dega pelabela total pada Gambar. berikut G Gambar. Pelabela Total.6 Pelabela Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) Pelabela ajaib dikealka oleh Sedlacek dalam Joseph A. Gallia (005:56) pada tahu 96, teori tetag pelabela ajaib ii termotiasi oleh teori tetag persegi ajaib (magic squares) dalam teori bilaga. Pegeala tetag pelabela ajaib oleh Sedlacek tersebut diteruska dega dipelajariya pelabela ajaib secara lebih luas. Diataraya adalah pegeala tetag pelabela ajaib sisi da pelabela ajaib titik. Lebih jauh lagi adalah dikealkaya pelabela total ajaib titik da pelabela total sisi ajaib (EMT). Pelabela total ajaib titik, biasaya disebut hypermagic, merupaka pelabela ajaib titik pada gra dega pelabela total. Pelabela total ajaib sisi merupaka pelabela ajaib sisi pada gra dega pelabela total (W. D. Wallis dkk, 000:). Kotzig da Rosa dalam W. D. Wallis (000:) telah medeiisika pelabela ajaib yag megguaka daerah asal berupa himpua bilaga bulat beruruta,,..., p q da megguaka pelabela total pada tahu 970.

43 6 Istilah pelabela ajaib mereka guaka utuk meyataka pelabela total sisi ajaib (EMT), da ii aka diguaka pada pembahasa selajutya pada skripsi ii. Deiisi Pelabela ajaib pada gra G ( p, q) adalah ugsi yag bersiat satu-satu da pada dari ( G) E( G) V ke himpua bilaga bulat,,..., p q dega siat setiap sisi xy pada gra G yag diberika berlaku ( x) ( xy) ( y) k, utuk suatu kostata k, dega ( x) ( xy) ( y) disebut jumlah sisi dari xy da kostata k disebut kostata ajaib dari G. Suatu gra dikataka ajaib jika terdapat pelabela ajaib pada gra tersebut (W. D. Wallis dkk, 000:)..7 Kostata Ajaib Terkecil Deiisi Kostata ajaib adalah bilaga yag meujukka setiap dua titik yag berhubuga (adjacet) da satu sisi yag terkait (icidet) adalah harus sama. Deiisi Kostata ajaib terkecil adalah ilai miimum dari semua k dimaa k merupaka kostata ajaib dari gra super ajaib (V. Swamiatha, 006:65).

44 7.8 Kajia Gra da Pelabela dalam Al Qur a Secara umum beberapa kosep dari disipli ilmu telah dijelaska dalam Al Qur a, salah satuya adalah matematika. Kosep dari disipli ilmu matematika serta berbagai cabagya yag ada dalam Al Qur a di ataraya adalah masalah logika, pemodela, statistik, teori gra, teori tetag grup da lai-lai. Teori gra yag merupaka salah satu cabag dari matematika tersebut meurut deiisiya adalah himpua yag tidak kosog yag memuat eleme-eleme yag disebut titik, da suatu datar pasaga tidak terurut eleme itu yag disebut sisi. Hal ii dikuatka oleh irma Allah dalam Al Qur a surat Al Hujurat ayat 0 bahwa dalam ayat tersebut disebutka bahwa umat mausia yag berima itu bersaudara. Sehigga mereka harus mejali hubuga yag baik, ruku atara sesama umat. Ayat tersebut yaitu: Artiya: Orag-orag berima itu sesugguhya bersaudara. Sebab itu damaikalah (perbaikilah hubuga) atara kedua saudaramu itu da takutlah terhadap Allah, supaya kamu medapat rahmat (Q. S. Al- Hujurat: 0). Sehigga dega demikia, hal ii meujukka adaya suatu hubuga atau keterkaita atara titik yag satu dega titik yag lai. Jika dikaitka dega kehidupa yata, maka bayakya titik yag terhubug dalam suatu gra dapat diasumsika sebagai bayakya kejadia tertetu, yag selajutya kejadia-kejadia tersebut memiliki keterkaita dega titik laiya yag merupaka kejadia sesudahya. Apabila di aplikasika pada betuk gra, maka kita dapat meggambarkaya seperti berikut ii:

45 8 Artiya: Da bahwa (yag Kami peritahka ii) adalah jalaku yag lurus, maka ikutilah dia, da jagalah kamu megikuti jala-jala (yag lai) [5], karea jala-jala itu mecerai beraika kamu dari jala Gambar. Hubuga atara Mukmi yag Bersaudara Pada isualisasi gambar di atas merupaka betuk dari gra sikel dega jumlah titik adalah, diamaa atara ketigaya salig berhubuga da siklis dega adalah orag berima, adalah orag berima da adalah orag berima yag jika salah satu dari mereka terputus maka kita hsrus medamaikaya (memperbaiki hubuga diatara mereka). Mausia merupaka salah satu makhluk atau ciptaa Allah yag sempura karea mereka diberi asu, akal da idera-idera yag dapat dimaaatka oleh mausia. Iteraksi-iteraksi yag terjadi pu sagat beragam walaupu pada akhirya aka kembali pada yag mecipta mereka. Dalam kehidupa sehari-hari mausia serig lupa aka percipta-nya da serig kali tidak melaksaaka peritah-nya da tidak meiggalka laraga-nya. Padahal Allah telah memperigatka mausia dega irma-nya bahwa mausia harus berada pada jala yag bear yaki mejalaka peritah-nya da mejauhi laraga-nya. Dalam Al Qur a surat al-a am ayat 5 dijelaska bahwa:

46 9 Nya. Yag demikia itu diperitahka Allah agar kamu bertakwa. (QS. Al A am: 5) Sehigga dega demikia, hal ii meujukka adaya suatu hubuga atau keterkaita atara titik yag satu dega titik yag lai. Jika dikaitka dega kehidupa yata, maka bayakya titik yag terhubug dalam suatu gra dapat diasumsika sebagai bayakya kejadia tertetu, yag selajutya kejadia-kejadia tersebut memiliki keterkaita dega titik laiya yag merupaka kejadia sesudahya. Dalam kehidupa yata, misalya hubuga Allah da makhluk ciptaa- Nya dimaa eleme-eleme yag dimaksud meliputi Pecipta (Allah) da makhluk-makhluk ciptaa-nya, sedagka sisi atau garis yag meghubugka eleme-eleme tersebut adalah bagaimaa hubuga atara Allah dega makhluk-makhluk ciptaa-nya da juga hubuga yag terjali, yaitu Hablu mi Allah, Hablu mi A-Nas wa Hablu mi Alam. Mausia Allah Tubuha Hewa Gambar. Hubuga atara Allah dega Makhluk Hidup Ciptaa-Nya Dari betuk Gambar. di atas bisa dikataka bahwa hubuga Allah da makhluk ciptaa-nya merupaka salah satu cotoh dari betuk gra star K (, ) dega ilai da titik adalah Allah yag merupaka titik pusat da titik

47 0 berturut-turut adalah mausia, tumbuha da hewa yag merupaka,, makhluk ciptaa Allah Represetasi yag lai dari suatu gra adalah shalat. Shalat mempuyai keduduka yag amat petig dalam Islam da merupaka podasi yag kokoh bagi tegakya agama Islam. Ibadah shalat dalam Islam sagat petig, sehigga shalat harus dilakuka pada waktuya, dimaapu, da bagaimaapu keadaa seorag muslim yag mukala. Dalam kaitaya dega peribadata sholat, Allah SWT. berirma: Artiya: Maka apabila kamu telah meyelesaika shalat(mu), igatlah Allah di waktu berdiri, di waktu duduk da di waktu berbarig. Kemudia apabila kamu telah merasa ama. Maka dirikalah shalat itu (sebagaimaa biasa). Sesugguhya shalat itu adalah ardhu yag ditetuka waktuya atas orag-orag yag berima (Q.S. A-Nisaa : 0). Dalam ayat tersebut dijelaska bahwa waktu-waktu sholat telah ditetuka waktuya da telah mejadi suatu ketetapa, baik itu sholat ardhu maupu sholat suah. Sholat lima waktu yag diwajibka dalam sehari (isya, subuh, dhuhur, ashar da maghrib) merupaka sholat yag wajib dituaika da tidak boleh ditiggalka. Waktu pelaksaaa atara satu waktu sholat ardhu berbeda dega empat waktu sholat yag lai da telah ditetapka oleh Allah SWT. Aka tetapi, kelima waktu sholat tersebut salig megikat da tidak diperbolehka haya melaksaaka satu sholat saja.

48 Isya Shubuh Maghrib Dzuhur Ashar Gambar. 4 Represetasi Gra terhadap Waktu-waktu Shalat Dari betuk Gambar.4 di atas bahwa hubuga sholat merupaka salah satu cotoh dari betuk gra sikel C5 dega ilai 5 dega pelabela berturut-turut adalah,,, 4 da 5 yaitu Sholat Isya, Subuh, Dhuhur, Ashar da Maghrib. Adapu hubuga waktu sholat tersebut dega teori gra adalah bahwa waktu-waktu sholat tersebut merupaka suatu himpua yag terdiri dari waktu sholat ardhu (isya, subuh, dhuhur, ashar da maghrib) da waktu sholat suah sebagai ekspresi dari himpua titik dalam gra. Sedagka keterikata atara kelima sholat ardhu tersebut yag tidak dapat ditiggalka salah satuya dalam meuaikaya da sholat suah sebagai pelegkap sholat ardhu merupaka ekspresi dari garis atau sisi yag meghubugka titik-titik dalam gra. Suatu gra memilki titik da sisi artiya dalam gra tersebut terdapat dua titik yag memiliki satu sisi atau lebih dari satu sisi yag memiliki hubuga da itegritas yag cukup sigiika yag dijelaska pada sebuah Al Qur a surat Al Baqarah ayat 58:

49 Artiya: Sesugguhya Shaaa da Marwa adalah sebahagia dari syi'ar Allah. Maka baragsiapa yag beribadah haji ke Baitullah atau berumrah, Maka tidak ada dosa bagiya megerjaka sa'i atara keduaya. da baragsiapa yag megerjaka suatu kebajika dega kerelaa hati. Maka Sesugguhya Allah Maha Mesyukuri kebaika lagi Maha Megetahui. (Qs. Al-Baqarah: 58) Dalam sebuah hadist dijelaska bahwa Rasulullah SAW. bersabda, yag artiya: Diwajibka atas kamu melakuka sa i maka hedklah kamu lakuka (H. R. Ahmad). Terkait dega kejadia diatas, maka kejadia tersebut dapat direpresetasika pada gra dega mempuyai jumlah titik da sisi. Gambar. 5 Represetasi Gra terhadap ibadah Sa i Dari betuk Gambar.5 di atas merupaka salah satu cotoh dari betuk gra path P dega ilai dimaa pelabelaya berturut-turut adalah da yaitu perjalaa Sa i atara Shaaa da Marwa sedagka sisiya adalah meggambarka Sa i. Shaaa Marwa Dari uraia-uraia diatas tidak meutup kemugkia bayak kosep matematika khusuya teori gra yag masih belum dikaji da terugkap melalui pedekata Al Qur a. Seperti yag telah diuraika sebelumya, bahwa suatu gra memiliki dua usur pokok, yaitu titik da sisi. Titi-titik dalam suatu gra aka salig terhubug dega adaya suatu garis yag diamaka sisi. Dega

50 demikia, hal ii meujukka adaya suatu hubuga keterkaita atara titik yag satu dega titik yag lai. Berbicara tetag pemberia label sesuai dega atura yag ada, hal ii meujukka bahwa suatu pelabela dalam gra telah memiliki ukura label tertetu sehigga bisa dikataka pelabela tersebut mempuyai pelabela total sisi ajaib (EMT). Jika direleasika dega kajia Al Qur a adalah sejajar dega ayat yag meyebutka bahwa segala sesuatu yag ada diduia ii diciptaka oleh Allah SWT. sesuai dega kadar da ukura yag ditatya dega sedemikia rapi. Sebagaimaa yag tertuag dalam surat Al-Qamar ayat 49: Artiya: Sesugguhya kami meciptaka segala sesuatu meurut ukura. (Qs. Al-Qamar: 49 ) Berkeaa dega ayat diatas Abdusysyakir (007: 80) megataka bahwa semua yag ada di alam ii ada ukuraya, hitugaya, rumusya da ada persamaaya. Namu, rumus-rumus yag ada sekarag buka diciptaka mausia sediri, tetapi sudah disediaka. Mausia haya meemuka da meyimbolka dalam bahasa matematika. Begitu pula dalam hal ii, suatu gra bisa terlabeli dega pelabela total sisi ajaib (EMT) karea sudah memiliki ukura yag sempura dega cara da atura yag dibuat oleh mausia secara sistematis. Dari siilah Al Qur a megajak kepada setiap pembacaya utuk membahas da megkaji suatu ilmu utuk memperluas khasaah keilmuaya.

51 4 Peemua sekaligus pembuktia rumus-rumus yag diguaka dalam pelabela pada gra yag berkaita dega pemberia label pada titikya, yaitu bertujua utuk meemuka pola tertetu agar lebih mudah dipahami da lebih mudah utuk mecariya. Setelah megetahui dega jelas hasil dari pembahasa diatas yag itiya adalah meemuka rumus utuk pola pelabela EMT pada gra sikel, litasa da star serta meetuka kostata ajaibya, da kostata ajaib terkecilya. Hal utama yag dapat dijadika sebagai releksi dari semuaya, yaki teryata setelah bayak mempelajari matematika yag merupaka ilmu hitugmeghitug serta bayak megetahui megeai masalah yag terdapat dalam matematika yag dapat direleasika dalam agama islam sesuai dega kosepkosep yag ada dalam Al Qur a, maka aka dapat meambah keyakia diri aka kebesara Allah SWT selaku Sag Pecipta yag serba Maha, yag salah satuya adalah Maha Matematisi (Abdusysyakir, 007:8). Hal ii sesuai dalam Al Qur a surat Al-Baqarah ayat 0: Artya: Mereka Itulah orag-orag yag medapat bahagia daripada yag mereka usahaka; da Allah sagat cepat perhituga-nya. (Qs. Al- Baqarah: 0).

52 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibahas bagaimaa cara meetuka pelabela total sisi ajaib (Edge Magic Total (EMT) Labelig) da kostata ajaib terkecil pada gra sikel, litasa da star. Pembahasa ii meliputi, yaitu:. Pada gra sikel C dega bayak titik gajil.. Pada gra litasa P dega bayak titik geap. Pada gra litasa P dega bayak titik gajil 4. Pada gra star K (, ), dega bayak titik gajil da geap.. Meetuka Pelabela Total Sisi Ajaib (EMT) da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel.. Pelabela EMT pada Gra Sikel C Utuk gra sikel C e e e Gambar.. Peotasia pada Gra Sikel C G G Gambar.. Pelabela pada Gra Sikel C 5

53 6 Pada Gambar. di atas didapatka ilai kostata ajaibya, yaitu utuk G adalah 9 da utuk G adalah. Dari gambar di atas maka didapatka ilai kostata ajaib terkecilya adalah pada G yaitu 9. Sehigga jika pelabela dari gra G adalah ugsi - da oto dega V ( C ) E( ) ke himpua bilaga bulat,,,4,5,6, maka dapat : C dirumuska sebagai berikut: Gambar.. Fugsi Bijekti Gra G Maka pada gra G ugsi dapat diyataka bahwa: 5 ( e ) 4 ( e ) 6 ( e ) Utuk ideks gajil pada titik dapat ditemuka pola sebagai berikut:

54 7 Sehigga, dapat disimpulka bahwa: masih tuggal. x x, x, Utuk ideks geap pada titik belum ditemuka pola karea dataya Utuk ideks pertama titik pada sisi dega ideks tidak sama dega, didapatka pola sebagai berikut: 5 4 Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, x, x Utuk ideks pertama titik pada sisi dega ideks sama dega dapat dilihat hubuga 6 Sehigga, dapat disimpulka bahwa:,.. Pelabela EMT pada Gra Sikel C5 Utuk gambar gra sikel C5 e e 5 5 e e 4 4 e Gambar.4. Peotasia pada Gra Sikel C5

55 Gambar.5. Pelabela pada Gra Sikel C5 Pada Gambar.5 di atas didapatka ilai kostata ajaibya, yaitu utuk G adalah 4 da utuk G adalah 9. Dari gambar di atas maka didapatka ilai kostata ajaib terkecilya adalah pada G yaitu 4. Sehigga jika pelabela dari gra G adalah ugsi - da oto dega V ( C ) E( ) ke himpua bilaga bulat,,,4,5,6,7,8,9,0, maka dapat : 5 C5 G G dirumuska sebagai berikut: Gambar.6. Fugsi Bijekti Gra G

56 9 Maka pada gra G ugsi dapat diyataka bahwa: ( e ) 8 ( e ) 7 ( e ) 4 6 ( e ) ( e ) Utuk ideks gajil pada titik dapat ditemuka pola sebagai berikut: 5 Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, x,, 5 Utuk ideks geap pada titik dapat ditemuka pola sebagai berikut: Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, x, 4 da 5

57 40 Utuk ideks pertama titik pada sisi dega ideks tidak sama dega 5, didapatka pola sebagai berikut: Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, x,,, 4 x Utuk ideks pertama titik pada sisi dega ideks sama dega 5 dapat dilihat hubuga Sehigga, dapat disimpulka bahwa:, 5.. Pelabela EMT pada Gra Sikel C7 Utuk gambar gra sikel C7 e e 7 7 e e 6 e e 5 6 e Gambar.7. Peotasia pada Gra Sikel C7

58 Gambar.8. Pelabela pada Gra Sikel C7 Pada Gambar.8 di atas didapatka ilai kostata ajaibya, yaitu utuk G adalah 9 da utuk G adalah 6. Dari gambar di atas maka didapatka ilai kostata ajaib terkecilya adalah pada G yaitu 9. Sehigga jika pelabela dari gra G adalah ugsi - da oto dega V ( C ) E( ) ke himpua bilaga bulat,,,4,5,6,7,8,9,0,,,,4, : 7 C7 maka dapat dirumuska sebagai berikut: G G

59 Gambar.9. Fugsi Bijekti Gra G Maka pada gra G ugsi dapat diyataka bahwa: ( e ) ( e ) ( e ) 4 ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 7 4 7

60 Utuk ideks gajil pada titik dapat ditemuka pola sebagai berikut: Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, 7,,5, x Utuk ideks geap pada titik dapat ditemuka pola sebagai berikut: Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, 6,4, x da 7 Utuk ideks pertama titik pada sisi dega ideks tidak sama dega 7, didapatka pola sebagai berikut: 7 7 4

61 Sehigga, dapat disimpulka bahwa: x x, x,,,4,5, 6 x Utuk ideks pertama titik pada sisi dega ideks sama dega 7 dapat dilihat hubuga Sehigga, dapat disimpulka bahwa:, 5 Teorema I: Dari uraia cotoh di atas, maka diperoleh teorema sebagai berikut: Setiap gra sikel C dega bilaga asli gajil da adalah total sisi ajaib dega kostata ajaib terkecil 5 k. Bukti:. Aka dibuktika gra sikel C dega bilaga asli gajil da adalah total sisi ajaib. Misal: Gra C mempuyai order p, ukura q

62 45 Karea p = q, maka p + q = dega, V C ) {,,,..., } da E C ) {,,...,, }, ( dapat digambarka sebagai berikut: ( Gambar.0. Gra Sikel C Deiisika ugsi dari C ) E( C ) pegaita sebagai berikut. V ke,,,..., ( i i utuk i gajil i i i utuk i geap i i i utuk i,,,..., i dega

63 Maka aka dibuktika: a. Utuk sisi i i di C dega i da i gajil diperoleh: 5 ) ( ) ( ) ( i i i i i i i b. Utuk sisi i i di C dega i da i geap diperoleh: 5 ) ( ) ( ) ( i i i i i i i c. Utuk sisi di C diperoleh: 5 ) ( ) ( ) ( Jadi, terbukti Setiap gra sikel C dega bilaga asli gajil da adalah total sisi ajaib. Aka dibuktika bahwa 5 k adalah kostata ajaib terkecil. utuk C diketahui 9 k utuk 5 C diketahui 4 k utuk 7 C diketahui 9 k 46

64 47 dari hasil tersebut diperoleh tabel sebagai berikut: k Tabel.. Bayak Titik da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Sikel Sehigga dari tabel di atas dapat diperoleh hubuga sebagai berikut: x x 0 x x y y 0 y y dega: x x 0 x 5 y y 0 y 9 k 4 Maka: x 0 x x x y0 y y y 9 k k k k 5 k

65 48 5 Jadi, terbukti k adalah kostata ajaib terkecil. Dega demikia, Setiap gra sikel C dega bilaga asli gajil da adalah total sisi ajaib dega kostata ajaib terkecil 5 k.. Meetuka Pelabela Total Sisi Ajaib (EMT) da Kostata Ajaib Terkecil pada Gra Litasa dega Bayak Titik Geap.. Pelabela EMT pada Gra Litasa P Utuk gambar gra litasa P e Gambar.. Peotasia pada Gra Litasa P G G Gambar.. Pelabela pada Gra Litasa P Pada Gambar. di atas didapatka ilai kostata ajaibya utuk G da G adalah sama, yaitu 6. Dari gambar di atas maka didapatka kostata ajaib terkecilya juga 6. Sehigga jika pelabela dari gra G adalah ugsi - da oto dega V ( P ) E( ) ke himpua bilaga bulat,,, maka dapat dirumuska : P sebagai berikut:

66 49 Gambar.. Fugsi Bijekti Gra G Maka pada gra G ugsi dapat diyataka bahwa: ( e ) Berdasarka hasil tersebut di atas, maka belum didapatka pola karea masig-masig data haya satu... Pelabela EMT pada Gra Litasa P 4 Utuk gambar gra litasa P 4 e e e 4 Gambar.4. Peotasia pada Gra Litasa P G G Gambar.5. Pelabela pada Gra litasa P4 Pada Gambar.5 di atas didapatka ilai kostata ajaibya, yaitu utuk G adalah da utuk G adalah. Dari gambar di atas maka didapatka ilai kostata ajaib terkecilya adalah pada G yaitu.