HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G

Transkripsi

1 J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Hal: ISSN ABSTRACT HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G Kristiaa Wijaya Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Jember kristiaa_wijaya@yahoocom Diterima 1 Jui 7 perbaika Jauari 8 disetujui utuk diterbitka 8 Jauari 8 λ such A graceful labellig of digraph D with vertices ad e arcs is a oe to oe fuctio : V ( D) { 1 L e} a = xy i D is labelled with a) x mod ( e +1) that each arc the resultig arc labels are distict A digraph D is called graceful if it admits ay graceful labelig I this paper we give the relatio betwee a graceful labelig o bidirectioal digraph G ad uderlyig graph of G ie Keywords: graceful labelig bidirectioal digraph ad uderlyig graph G = G 1 PENDAHULUAN Pelabela graf merupaka pemberia ilai (biasaya bilaga bulat tak egatif) pada himpua titik atau sisi graf yag memeuhi atura tertetu Pelabela graf sudah dikeal sejak tahu -a Sejak itu sudah lebih dari tulisa yag dihasilka megeai pelabela graf Pelabela graf mejadi topik yag bayak medapat perhatia karea model-model yag ada pada pelabela graf mempuyai aplikasi yag luas seperti dalam masalah teori kodig kristalografi siar-x radar sistem alamat jariga komuikasi da desai sirkuit 1) Salah satu jeis pelabela graf yag telah dikeal adalah pelabela graceful Pelabela graceful diperkealka oleh Rosa ) pada tahu 197 dega ama valuasi-β yag didefiisika sebagai fugsi λ yag merupaka fugsi satu-satu dari himpua titik graf G ke himpua bilaga bulat { 1 E (G) } sehigga setiap sisi (x di G medapat label yag berbeda semua Kemudia pada tahu 197 Golomb meamaka pelabela ii sebagai pelabela graceful Pelabela graceful pada graf telah bayak dikaji diataraya adalah sebagai berikut: 1 Rosa ) membuktika bahwa graf sikel C graceful jika da haya jika atau (mod ) Hoede da Kuiper ) membuktika bahwa graf roda W graceful utuk setiap Golomb ) membuktika bahwa graf legkap K graceful jika da haya jika ; da graf bipartit legkap Km adalah graceful utuk setiap m da Hasil tetag graceful pada graf selegkapya dapat dilihat di Galia ) Sejala dega ide pelabela graceful pada graf Bloom da Hsu ) memperkealka pelabela graceful pada digraf (graf berarah) Misalka D ( e) digraf dega titik da e arc Pelabela graceful pada digraf D adalah fugsi satu-satu: λ : V ( D) Z e + 1 = { 1 L e} dega setiap arc ( x di D medapat label ( mod ( 1) ) λ ( x e + yag berbeda semua Sebuah digraf D disebut digraf graceful jika setiap titik da arc pada digraf D dapat diberi labell meurut atura pelabela graceful Graf (tak berarah) G = D merupaka graf uderlyig dari digraf D jika V ( G) = V ( D) da sisi ( x adalah sisi di G jika arc ( x atau arc ( y adalah arc di D Karea setiap sisi di D merupaka salah satu arah atau dua arah yag ada di D maka ada e digraf D yag berasosiasi dega graf uderlyig D Jadi setiap digraf merupaka orietasi dari D Sedagka digraf bidirectioal G dari graf G adalah graf dega himpua titik ( G) V ( G) V = da arc simetri ( x da ( y adalah arc di G jika sisi ( x adalah sisi di G Dega demikia jika G adalah graf dega titk da e sisi maka digraf bidirectioal G adalah graf dega titik da e arc Utuk selajutya digraf bidirectioal G aka disebut digraf G saja Selebihya megeai kosep graf da digraf dapat dibaca pada buku Graphs ad Digraphs 7) da Graph Theory 8) 7 FMIPA Uiversitas Lampug 197

2 Kristiaa Wijaya Hubuga Pelabela Graceful pada Digraf Bidirectioal Pada paper ii dibahas megeai hubuga pelabela graceful pada digraf bidirectioal da graf uderlyigya yaitu apakah pelabela graceful pada digraf G dapat diperoleh dari pelabela graceful pada graf uderlyig dari G (yaitu G = G ) Hubuga ii aka diterapka pada beberapa kelas graf khususya kelas graf yag telah dikaji kegracefulaya yaitu graf sikel graf roda graf legkap da graf bipartit legkap METODE PENELITIAN Peulisa paper ii dilakuka dega metode teoritis yaitu dega cara mempelajari da megkaji karyakarya ilmiah yag telah ada megeai pelabela graceful baik pelabela graceful pada graf maupu pelabela graceful pada digraf Lagkah selajutya adalah meyelidiki hubuga atara pelabela graceful pada graf da digraf khususya pelabela graceful pada digraf bidirectioal G da graf uderlyig G = G yaitu apakah utuk medapatka pelabela graceful pada digraf bidirectioal dapat diperoleh dari pelabela graceful pada graf uderlyig-ya Lagkah terakhir diselidiki perumusa pelabela graceful pada kelas digraf bidirectioal yaitu digraf sikel da digraf legkap gua melihat hubugaya dega pelabela graceful pada graf sikel da graf legkap PEMBAHASAN Pada bagia ii dibahas hubuga pelabela graceful pada digraf G dega pelabela graceful pada graf G = G yaitu bahwa pelabela graceful pada digraf G bisa didapatka dari pelabela graceful pada graf G Selajutya aka dibahas pelabela graceful pada beberapa kelas digraf bidirectioal yaitu kelas digraf G dega graf G = G yag telah diketahui graceful atau tidak Kelas digraf yag dimaksud adalah digraf sikel C digraf roda da digraf bipartit legkap W digraf legkap K m K Teorema 1 Jika graf G graceful maka digraf G juga graceful dega label titik yag sama dega graf G ) Bukti: Jika G adalah graf dega titik da e sisi maka G adalah graf dega titik da e arc Dega demikia pelabela graceful pada digraf G megguaka modulo ( e + 1) Misalka G graceful dega label titik utuk setiap x V (G) maka juga mejadi label titik di G utuk setiap x V (G) Da utuk setiap sisi ( x di G medapat label x = - Karea label titik pada digraf G sama dega label titik pada graf G maka kita tiggal meujukka bahwa label arc di G semuaya berbeda Berdasarka defiisi G jika (x di E(G) maka arc ( x da ( y di A( G ) Tapa meguragi keumuma bukti kita misalka > sehigga setiap arc di G medapat label x da x y = x ( mod (e ( mod (e ( mod (e = e + 1 x Karea G graceful maka label sisi di G adalah 1 L e Dega demikia sebayak e arc di G yaitu arc ( x mempuyai label yag sama dega e sisi di G yaitu 1 L e Sedagka e arc selebihya di G yaitu arc ( y mempuyai label 1 L e (mod (e + 1)) yag tidak lai adalah ee 1 L e + 1 secara berturut-turut Dega demikia sebayak e arc di G mempuyai label yag semuaya berbeda Jadi jika setiap titik di G diberi label sama dega label titik di G maka e arc di G medapat label 1 L e Jadi pelabela pada digraf G memeuhi sifat pelabela graceful Sebagai cotoh pada Gambar 1 diperlihatka pelabela graceful pada bidirectioal digraf yag dihasilka dari pelabela graceful graf uderlyig-ya Akibat 1 Berdasarka Teorema 1 da hasil dari garceful pada kelas graf kita dapatka: 1 Digraf sikel C graceful utuk atau (mod ) Digraf roda W graceful utuk setiap Digraf legkap digraf bipartit legkap setiap m da K graceful utuk K m graceful utuk Sebagai cotoh Gambar merupaka pelabela ; da graceful pada digraf legkap K yag dihasilka dari pelabela graceful pada graf legkap K Kebalika dari Teorema 1 bahwa jika digraf G graceful maka graf G graceful belum tetu bear Hal FMIPA Uiversitas Lampug

3 J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Gambar 1 Pelabela Bidirectioal Digraf Graceful Yag Dihasilka Dari Pelabela Graf Graceful ii aka dibahas pada digraf sikel Gambar Pelabela Graceful Pada Graf K da Digraf K C da digraf legkap K Walaupu graf sikel C graceful ) jika da haya jika atau (mod ) tetapi digraf sikel C graceful utuk setiap Hal ii dibahas pada teorema berikut A ( C ) { e e L e a a La } = 1 1 dega e i = xi xi+1 ai = xi+ 1xi utuk i = 1 L 1 da e x x1 = a = x1x Berdasarka Akibat 1 diketahui bahwa digraf sikel graceful utuk atau (mod ) Dega Teorema Digraf sikel C graceful utuk setiap ) demikia kita tiggal meujukka bahwa digraf sikel Bukti: Misalka himpua titik dari digraf sikel C C graceful utuk 1 atau (mod ) adalah V ( C ) = { x1 x L x } da himpua Defiisika pelabela titik pada digraf C dega arcya adalah r (mod ) utuk r = 1 atau r = sebagai berikut : + r j utuk i = j + 1 j = 1 L r j utuk i = j j = 1 L x i ) = r + r r 1 j utuk i = j j = L + 1 utuk i = Dega demikia arc di C medapatka label: e i i i 1 i ) = 1 + i + + r da ( a ) = e ) ( mod( i i ( mod ( ( mod ( r utuk i = 1 L r utuk i = L r + r utuk i = L 1 r + r utuk i = L utuk i = 1 utuk i = λ utuk setiap i = 1 L C 7 FMIPA Uiversitas Lampug 199

4 Kristiaa Wijaya Hubuga Pelabela Graceful pada Digraf Bidirectioal Dapat dibuktika dega mudah bahwa pelabela titik di atas memeuhi fugsi satu-satu da setiap arc di C utuk 1 atau (mod ) medapat label yag berbeda semua Dega demikia pelabela di atas adalah pelabela graceful Jadi digraf sikel graceful utuk setiap C Cotoh pelabela graceful pada digraf C diberika pada Gambar label titik λ ( K ) = KESIMPULAN DAN SARAN Gambar Pelabela Graceful Pada Digraf Sikel C Selajutya dibahas pelabela graceful pada digraf legkap K Telah diketahui bahwa graf legkap K graceful ) jika da haya jika Sehigga graf legkap K tidak graceful utuk Meurut Akibat 1 digraf legkap K graceful utuk Bagaimaa dega digraf legkap K utuk? Dalam paper ii peulis medapatka bahwa digraf legkap K utuk = da = adalah digraf graceful Sedagka utuk 7 masih mejadi ope problem Pelabela graceful digraf legkap K utuk = da = disajika dalam betuk matriks ( K ) = [ a ij ] λ dega etri a ij meyataka label arc v sebagai berikut v i j Dega label titik yag sama jika graf G graceful maka digraf G juga graceful Sedagka jika digraf G graceful maka graf G belum tetu graceful Sebagai C dega 1 cotoh digraf sikel atau (mod ) graceful tetapi graf sikel C dega 1 atau (mod ) tidak graceful Demikia juga digraf legkap K da K graceful tetapi graf legkap K da K tidak graceful Pada paper ii masih belum ditemuka apakah ada digraf G yag tidak graceful Hal ii dapat diselidiki pada digraf legkap DAFTAR PUSTAKA K utuk 7 1 Bloom G S ad Golomb S W 1977 Applicatios of umbered udirected graphs Proc of the IEEE : -7 Rosa A 197 O certai valuatios of the vertices of a graph i Theory of Graphs (Iterat Symposium Rome July 19) Gordo ad Breach N Y ad Duod Paris 9- Hoede C ad Kuiper H 1978 All wheels are graceful Utilitas Mathematica 1: 11 label titik λ ( K ) = Golomb S W 197 How to umber a graph i Graph Theory ad Computig New York Academic Press -7 Gallia J A 7 A dyamic survey of graph labeligs Electroic J Combiatorics Bloom G S ad Hsu D F 198 Graceful directed graphs SIAM Joural o Matrix Aalysis ad Applicatios 19-7 Chartrad G ad Lesiak L 199 Graphs ad Digraphs Chapma & Hall New York 8 Harary F 199 Graph Theory Third Editio Addiso-Wesley Publishig Compay Ic Philippie 7 FMIPA Uiversitas Lampug

5 J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No 7 FMIPA Uiversitas Lampug 1