PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF ULAT MODEL H DENGAN n TITIK. Oleh : SALIHIN PUTRA

Transkripsi

1 PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF ULAT MODEL H DENGAN TITIK TUGAS AKHIR Diajuka sebagai Salah Satu Syarat utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais pada Jurusa Matematika Oleh : SALIHIN PUTRA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 0

2 PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF ULAT MODEL H DENGAN TITIK SALIHIN PUTRA NIM : Taggal Sidag: 3 Mei 0 Periode Wisuda: Juli 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebratas No.55 Pekabaru ABSTRAK Tugas Akhir ii membahas tetag pelabela super sisi ajaib pada suatu graf (V, E) dega order q da ukura p adalah fugsi bijektif f dari V È E kehimpua {,,3,..., p + q} disebut pelabela total super sisi ajaib, sehigga utuk masig-masig sisi berlaku f ()( x +,)() f x y + f y k dega k adalah kostata. Pelabela yag memetaka V ke himpua {,,..., p} adalah pelabela super sisi ajaib, graf yag dapat dikeaka pelabela disebut pelabela super sisi ajaib. Berdasarka perhituga pada tugas akhir ii terlihat bahwa hasil yag diperoleh pada graf ulat model H dega titik yag maa adalah bilaga asli geap da gajil adalah graf super sisi ajaib. Katakuci: graf ulat, pelabela super sisi ajaib. vii

3 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yag seatiasa melimpahka rahmat serta hidayah-nya sehigga peulis dapat meyelesaika tugas akhir ii tepat pada waktuya. Tugas akhir ii merupaka salah satu syarat kelulusa tigkat sarjaa. Selajutya limpaha selawat serta salam kepada jujuga alam Nabi Besar Muhammad SAW pembawa petujuk bagi seluruh umat mausia. Dalam peyusua da peyelesaia tugas akhir ii peulis tidak terlepas dari batua berbagai pihak, baik lagsug maupu tidak lagsug. Utuk itu peulis megucapka bayak terimakasih yag tak terhigga kepada kedua orag tua tercita ayah (Ali Abidi) da ibu (Dimot) yag tidak perah lelah da tiada heti melimpahka kasih sayag, perhatia, motivasi yag membuat peulis mampu utuk terus da terus melagkah,perjalaa hidup, juga materi yag tak mugki bisa terbalaska da tidak perah memita balasa atas jasa-jasamu yag telah berika kepada putra da putri mu, aka selalu kukeag higga akhir hayatku da semoga Allah mejadika jasa-jasamu sebagai amala soleh, Ami.. Selajutya ucapa terimakasih kepada :. Bapak Prof. DR. H. M. Nazir, M.A. selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Riau.. Ibu Dra.Yeita Morea, M. Si. selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Riau. 3. Ibu Sri Basriati, M.Sc. selaku Plt. Ketua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Riau sekaligus pembimbig Tugas akhir ii.. 4. Ibu Fitri Aryai, M.Sc. selaku koordiator Tugas Akhir pada Jurusa Matematika. 5. Bapak da Ibu dose jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim. 6. Abag, Kakak, adik-adikku, kepoakaku yag selalu memberiku semagat. Semoga kita tetap tumbuh mejadi aak-aak yag membaggaka. Da ix

4 buat seluruh keluargaku yag telah memberika perhatia, kasih sayag serta motivasi tiada heti utukku. 7. Tim Litas Gayo (Bag Khalisuddi, Bag Nurul, Bag Alfajri, Bag Sahmuddi, da seluruh staff da kru Litas Gayo) terimakasih atas pegertia kalia semuaya, semoga Litas Gayo mejadi media olie lebih besar da sukses. 8. Ria Devitariska, ST. telah bayak membatu serta memberika doroga kepada peulis dalam meyelesaika tugas akhir ii. 9. Lili Wisdari, terimakasih bayak atas batuaya yag sudah mau direpoti kesaa kemari. 0. Tema-tema seperjuaga agkata 006 di Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi.. Sahabat Gat s (Rizal, Hedri, Fivi,Irma, Fitri,Aidil, Adri) sukses selalu buat kalia semua.. Seluruh pihak yag telah memberika adil dalam proses peulisa Tugas Akhir ii sampai selesai yag tidak dapat disebutka satu persatu. Dalam peyusua da peulisa tugas akhir ii peulis telah berusaha semaksimal mugki utuk meghidari kesalaha. Tapi seperti tak ada gadig yag tak retak. Akhirya peulis megharapka kepada pembaca tugas akhir ii agar memberika sara da kritik kostruktif. Semoga tugas akhir ii dapat memberika kostribusi yag bermafaat. Ami Pekabaru, 3 Mei 0 Peulis x

5 DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMBANG... Halama ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii xiv BAB I BAB II PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah... I-. Rumusa Masalah... I-.3 Batasa Masalah... I-.4 Tujua Peilitia... I-.5 Mafaat Peelitia... I-.6 Sistematika Peulisa... I- LANDASAN TEORI. Graf... II-. Jeis-jeis Graf... II-.3 Derajat... II-.4 Litasa... II-4.5 Graf Terhubug... II-4.6 Graf Ulat... II-5.7 Fugsi... II-6.8 Pelabela pada Graf... II-8 xi

6 .9 Pelabela Super Sisi Ajaib... II-8 BAB III METODOLOGI BAB IV PEMBAHASAN 4. Pelabela Super Sisi Ajaib Pada Graf Ulat H (geap) 4. Pelabela Super Sisi Ajaib Pada Graf Ulat H (gajil) IV- IV- BAB V PENUTUP 5. Kesimpula... V- 5. Sara... V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii

7 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Secara umum graf direpresetasika oleh titik da sisi serta himpua bagia bilaga asli. Pelabela graf pertama kali dikealka oleh Sadlàčk (964), dilajutka oleh Stewart (966), Kotzig da Rosa (970). Pemafaata pelabela ii sagat besar peraaya dalam aplikasi kehidupa sehari-hari, terutama pada sektor trasportasi, geografis, peyimpaa data komputer atau database da desai jariga komuikasi. Beberapa jeis pelabela, diataraya adalah pelabela titik ( vertec labelig), pelabela sisi ( edge labelig), pelabela total ( total labelig), da pelabela ajaib ( magic labelig). Pelabela ajaib terdapat dua jeis, yaitu pelabela total sisi ajaib (edge magic total labelig) da pelabela super sisi ajaib (super edge magic labelig). Jika domaiya adalah titik maka pelabela disebut pelabela titik ( vertex labelig). Jika domaiya adalah sisi, maka disebut pelabela sisi ( edge labelig). Jika domaiya titik da sisi, maka disebut pelabela total (total labelig). Peelitia megeai pelabela total sisi ajaib da pelabela super sisi ajaib telah bayak dilakuka pada beberapa jeis graf seperti graf sikel, graf litasa, adalah pelabela total sisi ajaib yag mempuyai sisi geap maupu sisi gajil. Ada beberapa macam graf yag telah ditemuka oleh ilmuwa baik itu pelabela total sisi ajaib maupu pelabela super sisi ajaib, salah satuya adalah pelabela super sisi pada graf ulat. Meurut K.A. Sugeg (005), graf ulat adalah graf yag jika semua titik berderajat satu dibuag aka meghasilka litasa. Gambar. Cotoh Graf Ulat

8 Berdasarka jural Abdussakir ( 009), telah diuraika tetag pelabela super sisi ajaib pada beberapa betuk graf ulat yag berderajat {,4}. Kemudia pada skripsi Adi Irawa,(007), telah diuraika tetag graf ulat model dega pajag titik. Oleh karea itu peulis tertarik meeliti tetag model lai yaitu Pelabela Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat Model H dega Titik.. Rumusa Masalah Rumusa masalah pada tugas akhir ii adalah bagaimaa melakuka pelabela super sisi ajaib pada graf ulat model H..3 Batasa Masalah Batasa masalah pada tugas akhir ii adalah sebagai berikut:. Graf ulat model H dega titik adalah bilaga asli geap.. Graf ulat model H dega titik adalah bilaga asli gajil..4 Tujua Peelitia Sesuai dega rumusa masalah tujua peelitia pada tugas akhir ii adalah medapatka label pada graf ulat model H dega titik..5 Mafaat Peelitia Mafaat peelitia proposal tugas akhir ii sebagai berikut:. Secara umum, dapat meambah ilmu pegetahua tetag teori graf.. Dapat memberika pejelasa da pemahama tetag materi pada skripsi yag aka dibahas. 3. Diharapka dapat meambah wawasa tetag pelabela super sisi ajaib..6 Sistematika Peulisa Dalam peulisa tugas akhir ii mecakup lima bab yaitu diataraya adalah: I-

9 BAB I BAB II BAB III BAB IV BAB V Pedahulua Bab ii berisi tetag latar belakag, perumusa masalah, batasa masalah, tujua da mafaat peelitia. Ladasa Teori Bab ii berisi tetag teori-teori dasar megeai peelitia yag diguaka dalam skripsi ii. Metode Peelitia Bab ii berisi tetag metodologi peelitia yag diguaka dalam skripsi ii. Pembahasa Bab ii berisi tetag pembahasa megeai pelabela super sisi ajaib pada graf ulat model H dega titik. Peutup Bab ii berisi kesimpula da sara I- 3

10 BAB II LANDASAN TEORI Bab ii meyajika beberapa materi pedukug yag aka diguaka sebagai ladasa teori dalam membahas tugas akhir yag berjudul Pelabela Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat Model H dega Titik.. Graf Defiisi. (Siag, 006) Suatu graf yag terdiri dari dua himpua yag berhigga, yaitu himpua titik-titik tidak kosog (simbol V () G ) da himpua garis-garis (simbol E() G ). Berdasarka defiisi graf, jelas bahwa suatu graf memugkika tidak mempuyai sisi, tetapi miimal ada satu titik. Berikut ii aka ditujuka graf yag memuat himpua titik V da himpua sisi E, seperti gambar di bawah ii: a c b d e Gambar. Graf Berdasarka Gambar. memperlihatka graf dega himpua titik V da himpua sisi E yaitu: V {a,b,c,d,e} E {(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(b,c),(d,e)} Betuk di atas meujukka bahwa titik pada graf tersebut mempuyai 5 titik (V5) da mempuyai 6 sisi (E5).

11 . Jeis-jeis Graf Graf dapat dikelompoka mejadi beberapa kategori (jeis) bergatug pada sudut padag pegelompokaya. Pegelompoka graf dapat dipadag berdasarka ada tidakya sisi gada atau gelag pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digologka mejadi dua jeis:. Graf Sederhaa ( simple graph) adalah graf yag tidak megadug gelag atau loop maupu sisi gada diamaka graf sederhaa.. Graf tidak sederhaa ( usimple graph) adalah graf yag megadug sisi gada da gelag diamaka graf tidak sederhaa. Berdasarka defiisi graf sederhaa tidak boleh mempuyai sisi gada da loop. Sisi gada adalah graf yag diwakili oleh dua pasaga sisi yag sebearya sama. Loop adalah sisi yag berpasaga yag usurya sama, disebut graf sederhaa. Sedagka graf yag mempuyai sisi gada da loop disebut graf tak sederhaa..3 Derajat (Degree) Defiisi. (Siag,006) Misalka v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik v yag diotasika (simbol d(v)) adalah jumlah garis yag berhubuga lagsug dega titik v da garis suatu loop dihitug dua kali. Cotoh.: Tetuka derajat pada graf sederhaa berikut: b 3 a c 4 5 Gambar. Graf Sederhaa d II-

12 Jawab: Berdasarka Gambar. graf sederhaa mempuyai himpua titik V {a,b,c,d,} da himpua sisiya E{ e, e, e3, e4, e 5}. Maka diperoleh derajatya d(b) karea garis yag berhubuga dega b adalah e da e d(d) karea garis yag berhubuga dega d adalah e 4 da e 5 d(a)3 karea garis yag berhubuga dega a adalah e, e3 da e 4 d(c)3 karea garis yag berhubuga dega c adalah e, e3 da e 5 Meurut Chartrad da Lesiak (996) titik a da c adalah titik yag berderajat gajil da titik b da d adalah titik yag berderajat geap. Jika terdapat dalam sebuah graf yag berderajat satu maka graf tersebut mempuyai titik ujug. Hubuga atara jumlah derajat semua titik dalam suatu graf G dega bayak sisi yaitu m. å i d() v m Teorema. (Chartrad ad Lesiak,996) gajil selalu geap. Bayakya titik yag berderajat Bukti: geap da Misalka sebuah graf G, V da V, dimaa V adalah titik yag berderajat adalah titik yag berderajat gajil. å å å d()()() v d v + d v m vî G vî V vî V Karea V adalah himpua titik yag geap maka d() v berilai geap, da V himpua titik yag d() v gajil haruslah berilai geap, karea m geap maka å vî V å d()() v + d v m vî V II-3

13 Jika semua titik V gajil maka d() v adalah gajil, maka terbukti bahwa titik gajil di graf G adalah geap..4 Litasa (path) Defiisi.3 (Muir, 005) Litasa yag pajagya dari titik awal V0 ketitik tujua V di suatu graf G yag berselag-selig titik da sisi-sisi yag berbetuk G : u v, e, v, e, v, ¼., v, e v sedemikia sehigga o e ( v,),( v e,),,( v,) v ¼ e v v v v adalah sisi di graf G. o o -, Litasa yag berawal da berakhir pada titik yag sama disebut litasa tertutup (closed path), sedagka litasa yag berawal da tidak berakhir pada titik yag sama disebut litasa terbuka (ope path). Titik yag dilalui di dalam litasa yag berulag dikataka litasa sederhaa (simple path), sedagka jika titik yag dilalui haya satu kali disebut buka litasa sederhaa. Berdasarka Chartrad da leiak (996) jika v0 ¹ v disebut litasa terbuka, sedagka v o v disebut jala tertutup. Cotoh.: Perlihatka litasa pada Gambar. Jawab: Litasa a,b,c,d, adalah litasa terbuka. Litasa a,b,d,c,a, adalah litasa tertutup. Litasa a,b,d,c,b, buka litasa sederhaa tetapi litasa terbuka..5 Graf Terhubug ( coected graph) Dua buah titik dalam graf u da v, salig terhubug jika terdapat litasa u ke v dikataka graf terhubug. Jika graf dikataka terhubug pasti titik u dapat dicapai ke titik v. II-4

14 Defiisi.4 (Siag, 006) Graf tak berarah disebut graf terhubug jika utuk setiap pasag titik u da v didalam himpua V terdapat litasa dari u ke v (berarti ada litasa dari u ke v). Jika tidak, maka G disebut graf tak terhubug (discoected graph). Berikut ii aka diperlihatka graf yag terhubug da tidak terhubug. a 5 b c d Gambar.3 Graf Terhubug ( ) da Tidak Terhubug ( ) Graf yag haya terdiri dari satu titik saja (tidak ada sisi) tetap dikataka terhubug, karea titikya terhubug dega diriya sediri..6 Graf Ulat Defiisi.5 (K.A. Sugeg, 005) Graf ulat adalah graf yag jika semua titik berderajat satu dibuag aka meghasilka litasa. Meurut Abdussakir (009), graf ulat ( caterpillar) adalah jika semua titik ujugya dibuag aka meghasilka litasa. Titik yag boleh dihapus adalah titik yag berderajat satu. Berikut ii beberapa betuk graf ulat. II-5

15 (a) Graf ulat tapa ekor (b) Graf ulat tapa ekor & kepala (c) Graf ulat model (d) Graf ulat model Gambar.4 Macam-macam Betuk Graf Ulat.7 Fugsi Defiisi.6 (Muir, 005) Misalka A da B adalah himpua. Relasi dari ke merupaka suatu fugsi jika setiap elemet di dalam dihubugka dega tepat satu eleme di dalam. Jika adalah fugsi dari ke kita meuliska yag artiya memetaka ke. Secara umum fugsi dapat dibagi mejadi tiga bagia yaitu: a. Fugsi satu-satu (ijektif) Fugsi dikataka satu-satu (ijektif) jika tidak ada dua elemet himpua yag memiliki bayaga yag sama. Dega kata lai jika atau adalah aggota himpua, maka ( ) ( ) bilamaa. Jika ( ) ( ) maka implikasiya. Berikut ii megilustrasika fugsi satu-satu (ijektif). II-6

16 Gambar.5 Pemetaa Ijektif b. Fugsi pada (surjektif) Fugsi dikataka pada ( surjektif) jika setiap eleme himpua merupaka bayaga dari satu atau lebih eleme himpua. Dega kata lai seluruh eleme merupaka jelajah dari. Fugsi disebut fugsi pada himpua. Berikut ii megilustrasika fugsi pada (surjektif). A B a b c d e 3 4 Gambar.6 Pemetaa Surjektif c. Fugsi korespodesi satu-satu bijektif Fugsi bijektif jika ia memeuhi fugsi ijektif da fugsi surjektif. setiap aggota B mempuyai tepat satu pra-bayaga di A. Gambar berikut ii megilustrasika fugsi bijektif. II-7

17 Gambar.7 Pemetaa Bijektif.8 Pelabela pada Graf Pelabela pada graf ii adalah sembarag pemetaa (fugsi) yag memasagka usur-usur graf (titik da sisi). Jika domai dari fugsi adalah titik, maka pelabela disebut pelabela titik. Jika domaiya adalah sisi, maka disebut pelabela sisi. Jika pelabelaya adalah titik da sisi, maka disebut pelabela total. Defiisi.7 (W.D Wallis, 000) Pelabela pada graf G dega himpua titik V(G) da himpua sisi E(G). Pelabela total sisi ajaib ( edge magic total labelig) adalah suatu pemetaa pada dari V(G) E(G) ke himpua {,,.. V(G)+ E(G) } yag mempuyai sifat bahwa utuk setiap sisi {x,y} di G berlaku: (x) +( {x,y}) + (y)k utuk k adalah kostata kemudia kostata k disebut bilaga ajaib pada graf G..9 Pelabela Super Sisi Ajaib Pelabela pada graf G dega himpua titik V(G) da himpua sisi E(G). Bayakya titik di G adalah p, bayakya sisi di G adalah q. II-8

18 Pelabela total sisi ajaib pada graf G adalah pemetaa fugsi bijektif dari V(G) E(G) ke himpua {,,.. p+ q } yag mempuyai sifat bahwa utuk setiap sisi {x,y} di G berlaku: (x) +( {x,y}) + (y)k utuk k disebut bilaga ajaib pada graf. Meurut Abdussakir (009), p elabela total sisi ajaib yag memetaka himpua V{,, p} disebut pelabela super sisi ajaib ( super edge-magic labelig), graf yag dapat dikeaka pelabela sisi ajaib super disebut graf sisi super ajaib super. Cotoh.3: Diberika graf berikut dega V(G)(x,y,z) da E(G) ( xy,yz,xz), dega V(G)3 da E(G)3, aka ditujuka apakah graf adalah pelabela total super sisi ajaib? x z Gambar.8 Graf y Jawab: Jika dipetaka fugsi f dari V (G) E (G) ke himpua {,,3,4,5,6} sebagai berikut. II-9

19 f x y z yz xz xy Gambar.9 Fugsi Pemetaa Bijektif Maka diperoleh f(x)+f(x,y)+f(y)+6+9 f(x)+f(x,z)+f(z)+5+39 f(y)+f(y,z)+f(z)+4+39 Jadi fugsi f adalah pelabela total sisi ajaib pada graf H sehigga kita bisa membuat gambar baru di peroleh pelabela total sisi ajaib Gambar.0 Graf Cotoh.4: Tujukka gambar di bawah ii adalah pelabela total super sisi ajaib atau pelabela super sisi ajaib? II-0

20 (a) (b) Gambar. (a) Pelabela Total Sisi Ajaib, (b) Pelabela Super Sisi Ajaib. Jawab: Gambar. (a) adalah pelabela total sisi ajaib, karea jika dipetaka hasil kostataya adalah, keadaa seperti ii disebut pelabela total sisi ajaib (super edge total labelig) karea titik pemetaaya pada himpua {4,5,6}, sedagka pada gambar. (b) adalah pelabela super sisi ajaib ( super edgemagic labelig). Karea titik dipetaka pada himpua {,,3}. Meurut Abdussakir (005), betuk graf ulat model H yag mempuyai betuk seperti gambar di bawah ii: x y v v v v 3 v - x y Gambar. Graf Ulat Model H Graf ulat model H ii dilambagka dega H. Teorema. (Abdussakir, 005) Graf ulat H adalah super sisi ajaib, dega bilaga asli. II-

21 Bukti : Misalka himpua titik pada graf H adalah ( ) {,,,,,,, ¼,, } V H x x y y v v v v v 3 - da ( ) {,,,,,,, ¼, } E H x v x v y v y v v v v v v v v v Jadi order V(H ) adalah ( + 4) da ukura E(H ) adalah ( + 3).. Utuk geap, defiisika fugsi f dari V ( H ) È E( H ) {,, 3,, 7} ¼ + sebagai berikut: f(x i ) i, utuk i,. f(y i ) + + i, utuk i,. f(v i ) 4 i, utuk i gajil, i. i f(v i ) 3, utuk i geap, i. f(x i, v ) i + 8, utuk i,. f(y i, v ) i + 7, utuk i,. f(v i v i+ ) i + 6, utuk i,, 3,,. ke himpua Dega demikia f adalah fugsi bijektif da memetaka V(H ) himpua titik {,, 3,, + 4}. Selajutya, ke a. Utuk sisi x i v f(x i ) + f(x i v ) + f(v ) i + ( i + 8) II-

22 b. Utuk sisi y i v f(y i ) + f(y i v ) + f(v ) ( + + i) + ( i + 7) c. Utuk sisi v i v i+, i gajil f(v i ) + f(v i v i+ ) + f(v i+ ) ( 4 i i ) + ( i + 6) d. Utuk sisi v i v i+, i geap i f(v i ) + f(v i v i+ ) + f(v i+ ) ( 3 ) + ( i + 6) + ( ( ) 4 i ) 5. Jadi, terbukti bahwa graf ulat H ( bilaga asli geap) adalah super sisi ajaib, dega bilaga ajaib 5 k.. Utuk gajil, defiisika fugsi f dari V ( H ) E( H ), 3,, + 7} sebagai berikut: f(x i ) i, utuk i,. È ke himpua {, f(y i ) i utuk i,. II-3

23 f(v i ) 3 6 i, utuk i gajil, i. i f(v i ) 3, utuk i geap, i. f(x i v ) i + 8, utuk i,. f(y i v ) i + 7, utuk i,. f(v i v i+ ) i + 6, utuk i,, 3,,. Dega demikia f adalah fugsi bijektif da memetaka V(H ) ke himpua {,, 3,, + 4}. Selajutya, a. Utuk sisi x i v f(x i ) + f(x i v ) + f(v ) i + ( i + 8) + 5( ) b. Utuk sisi y i v f(y i ) + f(y i v ) + f(v ) ( i ) + ( i + 7) + 5( ) c. Utuk sisi v i v i+, i gajil f(v i ) + f(v i v i+ ) + f(v i+ ) ( 3 6 i ) + ( i + 6) + i 3 5( ) 5. II-4

24 d. Utuk sisi v i v i+, i geap i f(v i ) + f(v i v i+ ) + f(v i+ ) ( 3 ) + ( i + 6) + ( 3 ( ) 6 i ) 5( ) 5. Jadi, terbukti bahwa graf ulat H, ( bilaga asli gajil) adalah super sisi ajaib, dega bilaga ajaib 5( ) k 5. II-5

25 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3. Metodologi Pelabela Super Sisi Ajaib Metode peelitia yag diguaka pada tugas akhir ii adalah studi pustaka dega mempelajari literature-literature yag berhubuga dega pokok permasalaha yag aka dibahas pada tugas akhir ii. Adapu lagkahlagkah peulis pada tugas akhir ii utuk mecapai tujua seperti yag diigika adalah sebagai berikut:. Memahami termiologi graf.. Memahami pelabela super sisi ajaib beserta cotoh-cotohya. 3. Membetuk himpua titik da sisi pada graf ulat model H utuk geap da gajil 4. Meetuka bilaga ajaib k graf ulat model H geap da gajil 5. Memberika label graf ulat model H dega titik, 6. Medapatka hasil dari graf model H yag telah dilabeli.

26 Lagkah-lagkah metodologi peelitia di atas dapat digambarka dalam flowchart sebagai berikut: Mulai Membetuk himpua titik da sisi pada graf ulat utuk geap da gajil Mecari bilaga ajaib k utuk 5 geap utuk geap k Utuk gajil 5( ) k 5 Memberika label pada graf ulat utuk geap da gajil. selesai Gambar 3. Flowchart Metode Peelitia III-

27 BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Bab ii aka membahas tetag bagaimaa melakuka pelabela super sisi ajaib pada graf ulat model H dega titik, dimaa adalah bilaga asli geap da bilaga asli gajil adalah pelabela super sisi ajaib.seperti yag telah disebutka sebelumya, graf ulat model H dega pajag ditulis dega H. 4. Pelabela Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat H, ( Bilaga Asli Geap) Graf ulat model H dega bilaga asli geap mempuyai order ( +) da ukura ( + ), jadi himpua titik pada graf Mempuya himpua titik yaitu V H x x y y v v v v () {,,,,,,, 3, } Himpua sisiya adalah H seperti pada Gambar.. E() H {( x,( v x,( v y,( v y,( v v,(,) v,) v,( v,) v, v,(, v v },),),),) ). Utuk Pelabela super sisi ajaib pada graph ulat H, dega aggota himpua titik{,,3, 4,5, 6}, 6 meyataka bayakya titik, aka diperlihatka pada gambar berikut: x y v v x y Gambar 4. Graf ulat Model H

28 Diketahui himpua titik da sisi dari graf ulat model H dega V () H {, x, x, y, y, v } v da E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,)} y v v v Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk dega persamaa: maka : 5 k 5() k. k 6 Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, Sehigga diperoleh: f () x f () x b. Titik f () y i, utuk i,. f y i i Aka didapat : f () y 5 f y 6 dega ketetua c. Titik f () v i, utuk i gajil, i f(v i ) 4 i dega ketetua IV-

29 maka diperoleh: f ( v ) 4 4 d. Titik f () v i, utuk i geap, i dega ketetua Sehigga utuk f () v i diperoleh: f v i i 3 f () v 3 3 e. Sisi ( ) f x v, utuk i, dega ketetua i, i, i f x v i 8 Sehigga diperoleh : f ( x,)(() v )) 8 f ( x,)(() v )) 8 0 f. Sisi f vi, vi i, i f v v i 6 Maka diperoleh:, utuk i, dega ketetua f ( v,) v (() )) 6 9 g. Sisi f () y i, v, utuk i, f () y i, v i + 7 f ( y,)( v ) 7 8 dega ketetua IV- 3

30 f ( y,)( v ) 7 7 Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega, aka diperlihatka seperti gambar 4. di bawah ii Gambar 4. Graf ulat Model H dega k 6. Utuk 4 Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H 4 dega himpua titik {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 8 meyataka bayakya titik, seperti pada Gambar 4.3 berikut: x y v v v3 v4 x y Gambar 4.3 Graf Ulat Model H 4 Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega 4 V () H {, x, x, y, y, v, v, v } v da E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,),( y,),( v,)} v v v v v v IV- 4

31 Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk 4, dega persamaa: Maka: 5 k 5(4) k k Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, Maka diperoleh: f () x f () x b. Titik f () y i, utuk i,. f y i i Sehigga diperoleh: f ()(4 y + ) + 7 f ()(4 y + ) + 8 dega ketetua c. Titik f () v i, utuk i gajil, i dega ketetua f(v i ) 4 i Sehigga didapat : IV- 5

32 f ( v ) f ( v 3 ) d. Titik f () v i, utuk i geap, i f v i i 3 Sehigga didapat: dega ketetua f () v f () v e. Sisi f xi, v, utuk i, dega ketetua i, f x v i 8 Maka diperoleh: f ( x, v ) ( (4) )) f ( x, v ) ( (4) ) IV- 6

33 f. Sisi f vi, vi i, i f v v i 6 Maka diperoleh sisi: f ( v,) v ( (4) ) f ( v,) v 3 ( (4) ) + 6, utuk i, dega ketetua f ( v3,) v 4 ( (4) 3) + 6 g. Sisi f () y i, v f ( y,) v, utuk i, dega ketetua f () y v 7i + i, Maka diperoleh: f ( y,)( v 4 ) f ( y,)( v 4 ) Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega 4, aka diperlihatka seperti Gambar 4.4 di bawah ii. IV- 7

34 Gambar 4.4 Graf Ulat Model H4 dega k 3. Utuk 6 Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H6 dega himpua titik {,,3, 4,5, 6, 7,8,9,0}, 0 meyataka bayakya titik, seperti pada Gambar 4.5 berikut: x y v v v3 v4 v5 v6 x y Gambar 4.5 Graf Ulat Model H6 Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega 6 V () H {, x, x, y, y, v, v, v, v, v } v E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,),( y,),( v,),( v v,),( v,)} v v v v v v v da IV- 8

35 Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk 6, dega persamaa: maka: 5 k 5(6) k k 6 Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, Aka didapat titik: f () x f () x b. Titik f () y i, utuk i,. f y i i Aka didapat: f ()(6 y + ) + 9 f ()(6 y + ) + 0 dega ketetua c. Titik f () v i, utuk i gajil, i dega ketetua f(v i ) 4 i Sehigga diperoleh: 6- - f ( v ) IV- 9

36 6-3- f ( v 3 ) f ( v 5 ) d. Titik f () v i, utuk i geap, i f v i i 3 Dega demikia diperoleh: dega ketetua f () v f () v f () v e. Sisi f ( xi, v i), utuk i, dega ketetua i, i f x v i 8 Aka diperoleh: f ( x, v ) ( (6) )) IV- 0

37 f ( x, v ) ( (6) ) f. Sisi f vi, vi i, i f v v i 6 Sehigga diperoleh: f ( v,) v ( (6) ) f ( v,) v 3 ( (6) ) f ( v3,) v 4 ( (6) 3) f ( v4,) v 5 ( (6) 4) + 6, utuk i, dega ketetua 4 f ( v5,) v 6 ( (6) 5) g. Sisi f ( y,) v, utuk i, i i dega ketetua ( ) f yi, v i + 7 Sehigga diperoleh: f ( y,)( v 6 ) IV-

38 f ( y,)( v 6 ) Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega 6, aka diperlihatka seperti Gambar 4.6 di bawah ii: Gambar 4.6 Graf Ulat Model H6 dega k 6 4. Utuk 8 Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H8 dega himpua titik {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0,,}, meyataka bayakya titik, seperti pada Gambar 4.7 berikut: x y v v v3 v4 v5 v6 v7 v8 x y Gambar 4.7 Graf Ulat Model H8 IV-

39 Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega 8 V () H {, x, x, y, y, v, v, v, v, v, v, v } v da E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,),( y,),( v,),( v v,),( v,),( v v v v v v v v,),( v,)} v v Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk 8, dega persamaa: maka: 5 k 5(8) k k 3 Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, Maka didapat: f () x f () x b. Titik f () y, utuk i,. f y i i Maka aka diperoleh: f ()(8 y + ) + f ()(8 y + ) + dega ketetua c. Titik f () v i, utuk i gajil, i dega ketetua f(v i ) 4 i Aka diperoleh: IV- 3

40 8- - f ( v ) f ( v 3 ) f ( v 5 ) f ( v 7 ) d. Titik f () v i, utuk i geap, i f v i i 3 Sehigga didapat: dega ketetua f () v f () v f () v IV- 4

41 f () v e. Sisi f ( xi, v i), utuk i, dega ketetua i, i f x v i 8 Maka didapat: f ( x, v ) ( (8) )) f ( x, v ) ( (8) ) + 8 f. Sisi f vi, vi i, i f v v i 6 aka didapat: f ( v,) v ( (8) ) + 6, utuk i, dega ketetua f ( v,) v 3 ( (8) ) f ( v3,) v 4 ( (8) 3) f ( v4,) v 5 ( (8) 4) IV- 5

42 f ( v5,) v 6 ( (8) 5) f ( v6,) v 7 ( (8) 5) f ( v7,) v 8 ( (8) 5) g. Sisi f ( y,) v i, utuk i, ( ) f yi, v i + 7 Maka aka diperoleh: dega ketetua f ( y,)( v 8 ) f ( y,)( v 8 ) Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega 8, aka diperlihatka seperti Gambar 4.8 di bawah ii: Gambar 4.8 Graf Ulat Model H8 dega k 3 IV- 6

43 Dega demikia dapat disimpulka graf ulat model H utuk bilaga asli geap adalah pelabela super sisi ajaib. 5. Utuk geap Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H dega himpua titik seperti pada gambar.. Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega geap V () H {, x, x, y, y, v, v,..., v v, } v da 3 E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v8,),( y,),( v8,),..., v v, v } v3 v3 v4 v v Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk geap adalah sebagai berikut: 5 k Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, aka didapat: f () x f () x b. Titik f () y, utuk i,. f y i i Maka didapat: f () y dega ketetua IV- 7

44 f () y c. Titik f () v i, utuk i gajil, i dega ketetua f(v i ) 4 i Maka aka didapat: - - f ( v ) f ( v 3 ) ( ) f v - - ( ) ( ) IV- 8

45 d. Titik f () v i, utuk i geap, i f v i i 3 Maka diperoleh: dega ketetua f () v f () v ( ) - f v e. Sisi f ( xi, v i), utuk i, dega ketetua i, i f x v i 8 Aka didapat: f ( x,) v IV- 9

46 f ( x,) v f. Sisi f vi, vi i, i f v v i 6 Maka didapat: f ( v,) v f ( v,) v f ( v3,) v , utuk i, dega ketetua + 3 f ( v, v + ) ( - ) + 6 i i g. Sisi f ( y,) v i, utuk i, ( ) f yi, v i + 7 Maka diperoleh: dega ketetua f ( y,) v f ( y,) v IV- 0

47 Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega geap, aka diperlihatka seperti Gambar 4.9 di bawah ii: Gambar 4.9 Graf Ulat dega geap Diketahui dari peyelesaia diatas utuk graf ulat model H geap didapat 5 kostasta ajaib k. Dega demikia graf ulat model H utuk bilaga asli geap adalah pelabela super sisi ajaib. 4. Pelabela Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat H ( Bilaga Asli Gajil) Graf ulat model Hdega bilaga asli gajil mempuyai order ( + ) da ukura ( + ), seperti pada Gambar.. Mempuya himpua titik yaitu V () H {, x, x, y, y, v, v, v, ¼ } v 3 da himpua sisiya yaitu E() H {( x,( v x,( v y,( v y,( v v,(,) v,) v,( v,) v, v,(, v v },),),),) ) IV-

48 . Utuk 3 Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H3 dega himpua titik {,, 3, 4, 5, 6, 7}, 7 meyataka bayakya titik, seperti pada Gambar 4. berikut: x y v v v3 x y Gambar 4.0 Graf ulat H 3 Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega 3 da V () H {, x, x, y, y, v, v } v 3 3 E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,)( y,)} v v v v v 3 3 Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk 3, dega rumusa maka: 5( ) k 5 5(3 - ) Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: IV-

49 a. Titik f () x, utuk i, Maka didapat: f () x f () x b. Titik f ( y i),utuk i, f(y i ) i maka didapat: f ( y ) f ( y ) i - c. Titik f () vi + 6 +, utuk i gajil, i. Maka didapat: f () v f () v d. Titik i - f () vi + 3, utuk i geap, i IV- 3

50 Maka didapat: - f () v e. Sisi ( ) f x, v i + 8, utuk i, i Maka didapat: ( ) f x, v ((3) ) + 8 (, ) 3 f x v ((3) ) + 8 f. Sisi ( ) f y, v i + 7, utuk i, i Maka aka didapat: ( ) f y, v (3 ) ` ( ) f y, v (3 ) g. Sisi f () v i v i + i + 6, utuk i,, 3, ¼, Aka diperoleh: f ( v,)((3) v ) 6 + f ( v,)((3) v 3 ) IV- 4

51 Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega 3, aka diperlihatka seperti Gambar 4.3 di bawah ii Gambar 4. Graf ulat Model H 3 dega k. Utuk 5 Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H5 dega himpua titik {,,3, 4,5,6,7,8,9}, 9 meyataka bayakya titik, seperti pada Gambar 4.4 berikut: x y v v v3 v4 v5 x y Gambar 4. Graf ulat Model H5 Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega 5 da V () H {, x, x, y, y, v, v, v, v } v E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,)( y,),( v,),( v v,)} v v v v v v IV- 5

52 Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk 5, dega persamaa: maka: 5( ) k 5 5(5- ) k Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, Maka diperoleh: f () x f () x b. Titik f ( y i),utuk i, Maka diperoleh: f(y i ) i f ( y ) f ( y ) c. Titik - 3 i - f () vi + 6 +, utuk i gajil, i. IV- 6

53 Maka diperoleh: f () v f () v f () v d. i - Titik f () vi + 3, utuk i geap, i Maka didapatka: - f () v + 3 f () v e. Sisi ( ) f xiv i + 8, utuk i, Maka diperoleh: (, ) f x v ((5) ) + 8 (, ) 7 f x v ((5) ) f. Sisi ( ) f y, v i + 7, utuk i, i IV- 7

54 Maka aka didapatka: ( ) f y, v (5 ) ( ) 5 f y, v (5 ) g. Sisi f () viv i + i + 6, utuk i,, 3, ¼, Sehigga diperoleh: f ( v,) v ((5) ) f ( v,) v 3 ((5) ) f ( v3,) v 4 ((5) 3) f ( v4,)((5) v 5 4) 6 + Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega 5, aka diperlihatka seperti Gambar 4.5 di bawah ii Gambar 4.3 Graf ulat Model H5 dega k 5 IV- 8

55 3. Utuk 7 Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H 7 dega himpua titik {,,3, 4,5,6,7,8,9,0,}, meyataka bayakya titik, seperti pada Gambar 4.6 berikut: x y v v v3 v4 v5 v6 v7 x y Gambar 4.4 Graf Ulat Model H7 Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega 7 da V () H {, x, x, y, y, v, v, v, v, v, v } v E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v,)( y,),( v,),( v v,),( v,),( v, v v v v v v v v )} Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk 7, dega persamaa: maka: 5( ) k 5 5(7- ) k + 5 k 30 Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: IV- 9

56 a. Titik f () x i, utuk i, Sehigga diperoleh: f () x f () x b. Titik f ( y i),utuk i, Aka didapatka: f(y i ) f ( y ) i f ( y ) i - c. Titik f () vi + 6 +, utuk i gajil, i. Sehigga diperoleh: f () v f () v f () v IV- 30

57 f () v d. i - Titik f () vi + 3, utuk i geap, i Sehigga diperoleh: - f () v f () v f () v e. Sisi ( ) f xiv i + 8, utuk i, Sehigga didapatka: (, ) f x v ((7) ) + 8 ( ) f x, v ((7) ) f. Sisi ( ) f y, v i + 7, utuk i, i Sehigga didapatka: ( ) f y, v (7 ) IV- 3

58 ( ) f y, v (7 ) g. Sisi f () viv i + i 6 +, utuk i,, 3, ¼, Aka didapatka: f ( v,)((7) v ) f ( v,)((7) v 3 ) f ( v3,)((7) v 4 3) f ( v4,)((7) v 5 4) f ( v5,)((7) v 6 5) f ( v6,)((7) v 7 6) Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega 7, aka diperlihatka seperti Gambar 4.7 di bawah ii: IV- 3

59 Gambar 4.5 Graf ulat Model H7 dega k Utuk gajil Pelabela super sisi ajaib pada graf ulat H dega himpua titik seperti pada gambar.. Diketahui himpua titik da sisi pada graf ulat model H dega gajil V () H {, x, x, y, y, v, v,..., v v, } v da 3 E() H {(,),( x v,),( x,),( v,),( y v8,),( y,),( v8,),..., v v, v } v3 v3 v4 v v Kemudia medapatka bilaga agka ajaib graf ulat model H utuk gajil adalah sebagai berikut 5( - ) k + 5 Jika pelabela super sisi ajaib tersebut adalah fugsi f, maka diperoleh bahwa: a. Titik f () x i, utuk i, Maka: f () x f () x IV- 33

60 b. Titik f ( y i),utuk i, Maka diperoleh: f(y i ) f (y ) i f (y ) i - c. Titik f () vi + 6 +, utuk i gajil, i. Maka didapat: f () v \ 3 9 f () v IV- 34

61 3 4 f () v - 3 i d. Titik i - f () vi + 3, utuk i geap, i Sehigga didapatka: f () v f () v ( - ) - f () v e. Sisi ( ) f xiv i + 8, utuk i, Maka didapat: IV- 35

62 ( ) f x, v + 8 ( ) + 7 f x, v f. Sisi ( ) f y, v i + 7, utuk i, i Maka aka diperoleh: ( ) f y, v ( ) f y, v g. Sisi f () vivi + i 6 +, utuk i,, 3, ¼, Maka diperoleh: f ( v,) v f ( v,) v f ( v,) v f ( v,) v ( ) 6 i i IV- 36

63 Dega demikia setiap titik da sisi telah didapat pelabelaya pada graf ulat model H dega gajil, aka diperlihatka seperti Gambar 4.8 di bawah ii Gambar 4.6 Graf Ulat dega gajil + 7 Diketahui dari peyelesaia di atas utuk graf ulat model H gajil didapat 5( - ) kostasta ajaib k + 5. Dega demikia graf ulat model H utuk bilaga asli gajil adalah pelabela super sisi ajaib. IV- 37

64 BAB V PENUTUP 5. Kesimpula Berdasarka hasil pembahasa pada Bab IV maka dapat diambil kesimpula bahwa graf ulat model H dega titik, mempuyai himpua titik ( + 4) da himpua sisi ( + 3 ). Selajutya melabeli graf ulat model H yag telah didapatka kostata ajaibya da himpua titik da sisiya. Kostasta ajaib graf ulat model H dega titik adalah sebagai berikut: a. Graf ulat model H dega geap mempuyai kostata ajaib 5 k + Graf ulat model H utuk mempuyai kostata ajaib k 6, 4 mempuyai kostata ajaib k, 6 ajaib k 6, da 8 mempuyai kostata ajaib k 3. mempuyai kostata b. Kostata ajaib utuk gajil 5( - ) k + 5 Graf ulat model H utuk 3 mempuyai kostata ajaib k, 5 mempuyai kostata ajaib k 5, 7 ajaib k 30. mempuyai kostata Dega demikia graf ulat model H dega titik dapat dilabeli da graf ulat model H adalah pelabela super sisi ajaib.

65 5. Sara Tugas akhir ii membahas tetag pelabela super sisi ajaib pada graf ulat model H. kepada pembaca khususya jurusa matematika yag tertarik melajutka tugas akhir ii, peulis saraka membahas pelabela super sisi pada graf ulat model laiya. V-

66 DAFTAR PUSTAKA Muir, Rialdi, Matematika Diskrit, Iformatika, Badug, 000. Abdussakir. Super Egde-Magic Labelig pada Graf Ulat dega Himpua Derajat {,4} da Titik Berderajat 4, 009 Abdussakir. Super Edge-Magic Labelig pada Beberapa Graf Ulat, 005 Siag,J.J. Matematika Diskrit da Aplikasiya pada Ilmu Komputer, Yogyakarta,00. Chartrad,G & Lesiak,L. Graph ad Diagraph d Editio, Califoria,wardworth,Ic.986. Kotzig, Ato. & Rossa, Alexader, Magic Valuatios. Caada, Math, Bull,Voll.3(4),970. Gallia,J.A. A Dyamic Survey of Graph Labelig, Electroic Joural Combiatorics.007. Park,Yeo, Choi,Hyuk Ji. & Bae,Jae-Hyeog, o Super Edge-Magic Labelig of Some Graph, Bull.Korea Math,Soc.45(008). Body.J.A, Graph Theory, Spriger, 007. Irawa. Ady, Tugas Akhir. Super Edge Magic Labelig pada Graph Ulat Model dega Pajag Titik, UIN Malag, Malag, 007.