MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

Transkripsi

1 BEBERAPA KELAS GRAPH PLANAR SUPER SISI AJAIB Halimah Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, ur26halimah@gmail.com Prof. I Ketut Budayasa, Ph.D. Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, ketutbudayasa@yahoo.com Abstrak Pelabela sisi ajaib pada graph G(V, E) dega bayak titik p da bayak sisi q adalah fugsi bijektif f: V E 1,2,, p + q da utuk setiap u, v ϵ E(G) berlaku f u + f u, v + f v = s, dega v merupaka titik yag terhubug lagsug dega titik u, da s merupaka kostata ajaib pada graph G. Selajutya graph G(p, q) disebut graph ajaib sisi jika terdapat pelabela sisi ajaib pada graph tersebut. Suatu graph sisi ajaib dikataka super sisi ajaib jika terdapat fugsi bijektif f: (V G ) 1,2,, p. Tugas akhir ii aka membahas megeai beberapa kelas graph plaar super sisi ajaib, yag diataraya ialah graph P 2 (+)N m, graph (P 2 kk 1 ) + N 2, graph payug, graph kelabag, graph cumi-cumi, graph triagular belt, da graph gabuga triagular belt. Kata Kuci :fugsi bijektif, bilaga kosekutif, blok, total sisi ajaib, super sisi ajaib, da graph plaar. Abstract Let a edge magic labelig graph G(V, E) with p vertices ad q edges, is bijectio fuctio f: V E 1,2,, p + q, u, v ϵ E(G) there is f u + f u, v + f v = s, v is vertex that adjacet with u, the s is called a magic costat i G. Graph G(p, q) is called graph edge magic if there is edge magic labelig i.a graph is said super edge magic if there is a f: (V G ) 1,2,, p bijectio. I this task, will research about some class of plaar graphs super edge-magic, there are P 2 (+)N m graph, (P 2 kk 1 ) + N 2 graph, umbrella graph, braid graph, jellyfish graph, triagular belt graph, ad amalgamate of triagular belt graph. Keyword : bijective fuctio, cosecutive iteger, block, edge magic total, super edge magic, ad plaar graph. 1. PENDAHULUAN A. Latar Belakag Teori graph sebagai salah satu cabag matematika sebearya sudah ada sejak lebih dari dua ratus tahu yag silam. Jural pertama tetag teori graph mucul pada tahu 1736, oleh matematikawa terkeal Swiss berama euler. Dari segi matematika, pada awalya teori graph kurag sigifika, karea kebayaka dipakai utuk memecahka teka-teki, amu akhirya megalami perkembaga yag sagat pesat yaitu terjadi pada beberapa puluh tahu terakhir ii (Budayasa, 2002:2). Sebuah graph G berisika dua himpua yaitu himpua berhigga tak kosog V(G) dari obyek-obyek yag disebut titik da himpua berhigga (mugki kosog) E(G) yag eleme-elemeya disebut sisi sedemikia higga setiap eleme e dalam E(G) merupaka pasaga tak beruruta dari titik-titik di V(G). Ada beberapa macam graph yag telah ditemuka, di ataraya adalah graph plaar. Graph G adalah graph plaar jika G dapat digambar pada bidag datar sedemikia higga sisi-sisiya tidak ada yag salig berpotoga kecuali mugki pada titik-titik dari sisisisi tersebut (Budayasa, 2002: 2). Model-model yag ada dalam teori graph bergua utuk aplikasi yag luas, misalya meetuka litasa terpedek dari suatu kota ke kota lai yag terdiri dari kumpula kota dalam suatu daerah. Sehigga mucul pelabela graph yag merupaka salah satu topik dari teori graph yag medapat perhatia khusus pada saat ii. Pelabela graph ii sudah bayak dikaji mulai tahu 1960-a. Studi dari pemberia label pada graph telah memfokuska pada peemua graph-graph tertetu yag memiliki pelabela tertetu, sehigga ada bayak jeisjeis pelabela, di ataraya adalah pelabela simpul, pelabela sisi, pelabela total, da pelabela ajaib, dimaa pada pelabela ajaib terdapat dua jeis, yaitu pelabela total sisi ajaib da pelabela super (p,q) graph G dega p titik da q sisi disebut total sisi ajaib jika ada fugsi bijektif f: V E {1,2,, p +

2 q} sehigga ada kostata s utuk sebarag (u,v) di E kita dapatka f u + f u, v + f v = s. Sedagka Super sisi ajaib adalah total sisi ajaib pada graph G sehigga V(G) dipetaka ke himpua {1, 2,..., p}, selebihya dari { p + 1, p + 2,, p + q } adalah himpua label sisi. Hal yag mearik dari graph plaar adalah selai dapat dikeai pelabela total sisi ajaib, graph ii juga dapat dikeai pelabela super Sehigga dapat diketahui bahwa ada beberapa kelas graph plaar super B. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag di atas, maka rumusa masalah pada peelitia ii adalah bagaimaa meujuka beberapa kelas graph plaar super sisi ajaib? C. Tujua Peulisa Berdasarka rumusa masalah, maka tujua peelitia dalam peulisa ii adalah utuk meujuka bahwa ada beberapa kelas graph plaar super D. Mafaat Peulisa Peulis berharap agar tulisa ii bermafaat utuk: 1. Peulis, sebagai saraa da latiha utuk meambah pemahama da peguasaa tetag materi yag diambil dalam peulisa ii. 2. Pembaca, sebagai baha kajia bagi yag sedag meempuh mata kuliah yag berhubuga dega materi ii. E. Sistematika Peelitia Peelitia ii mempuyai sistematika peulisa sebagai berikut : BAB I :Berisika latar belakag masalah, rumusa masalah, batasa masalah, tujua peelitia, mafaat peelitia da sistematika peelitia BAB II :Berisika kajia teori yag terdiri dari defiisidefiisi da teorema-teorema yag terkait dega bagaimaa meujuka beberapa kelas graph plaar super BAB III :Berisika pembahasa dari peelitia yaitu tetag adaya beberapa kelas graph plaar super BAB IV :Berisika simpula da sara. 2. LANDASAN TEORI A. Graph Defiisi Sebuah graph G berisika dua himpua yaitu himpua berhigga tak kosog V(G) dari obyek-obyek yag disebut titik da himpua berhigga (mugki kosog) E(G) yag eleme-elemeya disebut sisi sedemikia higga setiap eleme e dalam E(G) merupaka pasaga tak beruruta dari titik-titik di V(G). Himpua V(G) disebut himpua titik G, da himpua E(G) disebut himpua sisi G (Budayasa, 2002: 2). Defiisi Sisi e = (u, v) dikataka meghubugka titik u da v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graph G, maka u da v disebut terhubug lagsug, u da e serta v da e disebut terkait lagsug. Utuk selajutya, sisi e = (u,v) aka ditulis e = uv. (Budayasa, 2002:2). Defiisi Sebuah graph G dikataka terhubug jika utuk setiap dua titik G yag berbeda terdapat sebuah litasa yag meghubugka kedua titik tersebut. Defiisi Titik pemutus graph adalah titik pada graph yag jika dihilagka maka bayak kompoe dari graph tersebut aka bertambah. Defiisi Kompoe graph G adalah subgraph terhubug dari graph G yag buka merupaka subgraph dari sebarag subgraph terhubug dari graph G. Defiisi Graph H disebut subgraph dari G jika himpua titik di H adalah subset dari himpua titik-titik di G da himpua sisi-sisi di H adalah subset dari himpua sisi di G. Dapat ditulis V(H) V(G) da E(H) E(G). Jika H adalah subgraph G, maka dapat ditulis H G (Budayasa, 2002:2). Defiisi Derajat suatu titik v pada sebuah graph G, ditulis dega deg(v), adalah bayak sisi G yag terkait dega titik v (dega catata setiap gelug dihitug dua kali). Terorema Jika G graph V G = {v 1, v 2,, v }, maka p i=1 deg G v i = 2q. Bukti: Setiap sisi adalah terkait lagsug dega 2 titik jika setiap derajat titik dijumlahka, maka setiap sisi dihitug dua kali. Corollary Pada sebarag graph, jumlah derajat titik gajil adalah geap. Bukti: Misalka graph G dega ukura q. Maka ambil W yag memuat himpua titik gajil di G serta U yag memuat himpua titik geap di G. Dari teorema diatas maka diperoleh: v v(g) deg G v = deg G v = deg G v = 2q v W v U Dega demikia karea v U deg G v adalah geap maka v W deg G v juga geap. Sehigga W adalah geap. Defiisi

3 Sebuah jala(walk) u v di graph G adalah barisa berhigga(tak kosog). W : u = v o, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e, v = v yag suku-sukuya berselag-selig atara titik da sisi, yag dimulai dari titik da diakhiri dega titik sedemikia higga utuk 0 i. Dega e 1 = v i 1 v i adalah sisi di G. v o disebut titik awal, v disebut titik akhir v 1, v 2,..., v 1 disebut titik iterval, da meyataka pajag dari W. Defiisi Jala u v yag semua sisiya berbeda disebut Trail u v. Defiisi Jala u v yag semua titikya berbeda disebut litasa (path) u v. Defiisi Misalka u da v titik berbeda pada graph G. Maka titik u da v dapat dikataka terhubug, jika terdapat litasa u v di G. Sedagka suatu graph G dapat dikataka terhubug, jika utuk setiap titik u da v di G terhubug. Defiisi Graph sederhaa adalah graph yag tidak memiliki sisi ragkap da tidak memiliki gelug. Defiisi Graph G disebut graph plaar jika G dapat di gambar pada bidag datar sedemikia higga sisi-sisiya tidak ada yag salig berpotoga kecuali mugki pada titik-titik ujug. B. Fugsi Defiisi Suatu fugsi f dari x ke y ialah suatu atura yag pada setiap aggota dari x berpasaga dega tuggal satu aggota dari y. Defiisi Suatu fugsi f A B dikataka Surjektif, jika utuk setiap usur y B terdapat x A sedemikia higga f x = y. Defiisi Suatu fugsi f A B dikataka ijektif, jika utuk setiap usur x 1 da x 2 di A yag dipetaka sama oleh f yaitu f(x 1) = f(x 2 ) berlaku, x 1 = x 2. Defiisi Suatu fugsi f A B dikataka bijektif jika memeuhi ijektif da surjekjtif. C. Total Sisi Ajaib Defiisi (p,q) - graph G dega p titik da q sisi disebut total sisi ajaib jika ada fugsi bijektif f: V E {1,2,, p + q} sehigga ada kostata s utuk sebarag (u,v) di E kita dapatka f u + f u, v + f v = s. D. Super Sisi Ajaib Defiisi (p,q) - graph G dega p titik da q sisi disebut super sisi ajaib jika memeuhi total sisi ajaib pada graph G sehigga V(G) dipetaka ke himpua {1, 2,..., p}, selebihya dari { p + 1, p + 2,, p + q } adalah himpua label sisi. Defiisi Bilaga kosekutif adalah bilaga arimetik yag bedaya sama dega satu. Sebuah himpua bagia S dari bilaga bulat disebut kosekutif jika S terdiri dari bilaga bulat kosekutif. Defiisi Graph G adalah super sisi ajaib jika ada pelabela titik f sedemikia higga dua himpua f V G da {f u + f v : (u, v) E(G)adalah himpua bilaga beruruta. Defiisi Graph G adalah super sisi ajaib jika da haya jika terdapat sebuah fugsi bijektif f: V G {1,2,, p} sedemikia higga himpua S = {f u + f v : uv E(G)} yag terdiri dari bilaga bulat beruruta q. Pada suatu kasus, f diperluas ke pelabela super sisi ajaib G dega derajat titik k = p + q + s dimaa s = mi (S) da S = {f u + f v : uv E(G)}. E. Blok Defiisi Body-Murty meyataka bahwa Blok adalah suatu graph G terhubug maksimal yag tidak memiliki titik pemutus. 3. PEMBAHASAN Kita awali dega sebuah graph plaar yag dibetuk dari sebuah litasa 2 titik, P 2 da sejumlah m titik salig asig N m, seperti yag tertuag dalam defiisi berikut. Defiisi 3.1 Misalka P 2 adalah graph litasa 2 titik dega, V P 2 = {v 1, v 2,, v 2 } da E P 2 = {v i, v i+1 : 1 i 2 1} Misalka N m adalah graph kosog m titik dega, V N m = y 1, y 2,, y m, da E N m = { v 1, y 1, v 1, y 2,, v 1, y m, v 2, y 1, v 2, y 2,, (v 2, y m )}. Selajutya defiisi graph P 2 + N m sebagai berikut : V P 2 + N m = {v 1, v 2,, v 2, y 1, y 2,, y m } da, E P 2 + N m = v i, v i+1 : 1 i 2 1 { v 1, y 1, v 1, y 2,, v 1, y m, v 2, y 1,

4 v 2, y 2,, (v 2, y m )}. Sehigga jelas bahwa V P 2 + N m = p = 2 + m, da E P 2 + N m = q = 2 m + 1. Selajutya, kita buktika graph P 2 + N m adalah super Teorema 3.1 Graph P 2 + N m adalah super sisi ajaib utuk semua, m 1. Bukti Defiisika f: V P 2 + N m {1,2,,2 m + 1}, dega : f v 1+2t = 1 + t, t = 0,1,, 1 f v 2+2t = m t, t = 0,1,, 1 f y k = k +, k = 1,2,.., m Aka ditujuka bahwa: f V P 2 + N m da f u + f v : (u, v) E P 2 + N m adalah impua beruruta. a) f V P 2 + N m adalah himpua beruruta dimaa f V P 2 + N m = 1,2,3,,, + 1, + 2,, + m, + m + 1, + m + 2,,2 + m b) f u + f v : (u, v) E P 2 + N m adalah himpua beruruta, dimaa f u + f v : (u, v) E P 2 + N m = + 2, + 3,, + m + 1, + m + 2, + m + 3,,3 + m, 3 + m + 1,3 + m + 2,,3 + 2m Dega demikia f V P 2 + N m da f u + f v : (u, v) E P 2 + N m adalah himpua beruruta. Aka ditujuka bahwa Graph P 2 + N m adalah super f uv = p + q + s f u + f v f uv P 2 + N m = 1,2,3,,, + 1, + 2,, + m, + m + 1, + m + 2,,2 + m, 2 + m + 1,2 + m + 2,,2 + 2m, 2 + 2m + 1,4 + 2m 2,4 + 2m 1, 4 + 2m, 4 + 2m + 1,,4 + 3m 1 adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.4.3, da maka graph P 2 + N m adalah super Cotoh 3.1 Gambar: Graph P 4 + N 3 Selajutya, kita bicaraka graph plaar yag dibagu oleh graph-graph P 2, K 1, da N 2, seperti yag tertuag dalam defiisi berikut. Defiisi 3.2 Misalka P 2 adalah graph litasa 2 titik dega, V P 2 = z 1, z 2 da E P 2 = (z 1, z 2 ) Misalka N 2 adalah graph kosog 2 titik dega, V N 2 = {y 1, y 2 }, da E N 2 = { y 1, z 1, y 1, z 2, y 2, z 1, y 2, z 2 } Misalka kk 1 adalah duplikat graph komplit 1 titik sebayak k dega, V kk 1 = {x 1,, x k }, da E kk 1 = { x i, y 2, x i, y 1 : 1 i k}. Selajutya defiisi graph P 2 kk 1 + N 2 sebagai berikut : V P 2 kk 1 + N 2 = {z 1, z 2, x 1,, x k, y 1, y 2 }, da E P 2 kk 1 + N 2 = z 1, z 2 y 1, z 1, y 1, z 2, y 2, z 1, y 2, z 2 { x i, y 2, x i, y 1 : 1 i k}. Jelas bahwa V P 2 kk 1 + N 2 = p = k + 4, da E P 2 kk 1 + N 2 = q = k + 8. Selajutya, kita buktika graph P 2 kk 1 + N 2 adalah super Teorema 3.2 Utuk k 1, graph plaar P 2 kk 1 + N 2 adalah super Didefiisika f: V P 2 kk 1 + N 2 {1,2,.., k + 4} dega : f(y 1 ) = 1, f(y 2 ) = k + 4, f(z 1 ) = 2, f(z 2 ) = k + 3 da f(x s ) = s + 2 utuk s = 1,2,, k. Aka ditujuka bahwa f V P 2 kk 1 + N 2 da f u + f v : (u, v) E P 2 kk 1 + N 2 adalah himpua beruruta. a) f V P 2 kk 1 + N 2 adalah himpua beruruta, dimaa V P 2 kk 1 + N 2 = 1,2,3,4,, k + 2, k + 3, k + 4 b) f u + f v : (u, v) E P 2 kk 1 + N 2 adalah himpua beruruta, diamaa f u + f v : (u, v) E P 2 kk 1 + N 2 = 3,4,5, k + 3, k + 4, k + 5, k + 6, k + 7, k + 8,2k + 6,2k + 7 Dega demikia f V P 2 kk 1 + N 2 da f u + f v : (u, v) E P 2 kk 1 + N 2 adalah himpua beruruta. Aka ditujuka bahwa graph P 2 kk 1 + N 2 adalah super 123

5 {f(uv) P 2 kk 1 + N 2 } = 1,2,3,4,,8,9, k + 2, k + 3, k + 4,, k + 7, k, k + 8, k + 9, k + 10, k + 11, k + 12,,2k + 10,2k + 11,2k + 12 adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.4.3, da maka graph P 2 kk 1 + N 2 adalah super Cotoh 3.2 y 1 z 1 z 2 x 5 x 4 Gambar: Graph P 2 5K 1 + N 2 Salah satu kelas graph plaar yag lai adalah graph payug yag didefiisika seperti berikut: Defiisi 3.3 Graph U m, = (V U m,, E U(m, ) ), dimaa V U(m, ) = {x 1, x 2,, x m, y 1, y 2,, y }, da E U m, = x i, x i+1 : 1 i m 1 y i, y i+1 : 1 i 1 { x i, y 1 : 1 i m}. Sehigga jelas bahwa V(U(m, ) = p = m +, da E U m, = q = 2m + 2. x 3 x 2 x 1 Selajutya, kita buktika graph U m, adalah super Teorema 3.3 Utuk sebarag bilaga bulat m > 2 da > 1, graph payug U(m,) adalah super Defiisika f: V U(m, ) {1,2,, m + }, dega : f x 1+2s = s + 1 utuk s = 0,1,, m/2 1. f x 2+2s = m/2 + s + 1, utuk s = 0,1,, m/2 1 f y 1+2s = m + / t, utuk t = 0,1,, /2 1 f y 2+2s = m t, utuk t = 0,1,, /2 1 y 2 Aka ditujuka bahwa f V(U m, ) da f u + f v : (u, v) E U(m, ) adalah himpua beruruta. a) f V U(m, ) adalah himpua beruruta, dimaa 1,2,, m/2, m/2 + 1, m/2 + 2,, m, m + 1, m + 2,, m + /2, m + /2 + 1, m + /2 + 2,, m + b) f u + f v : (u, v) E U(m, ) adalah himpua beruruta, diamaa f u + f v : (u, v) E U(m, ) = m/2 + 2, m/2 + 3,, m 2 m + m, m + /2 + 2, m ,,2m + + 1, 2m + + 2,2m ,,2m Dega demikia f V P 2 + N m da f u + f v : (u, v) E U(m, ) adalah himpua beruruta. Aka ditujuka bahwa Graph U(m, ) adalah super {f(uv) U(m, ) } = 1,2,, m/2, m/2 + 1, m/2 + 2,, m, m + 1, m + 2,, m + /2, m + /2 + 1, m + /2 + 2,, m +, m m 2 1,, m m 3, m m 2, m m 1, 2m , 2m m, 2m ,, 3m + 2 3, ( 3m ) adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.4.3, da maka graph U(m, ) adalah super Cotoh 3.3 x 1 x 2 x 3 x 4 Gambar: Graph U 4,3 Adapu kelas graph plaar yag lai adalah graph kelabag yag didefiisika seperti berikut: y 3 y 2 y 1 Defiisi 3.4 Graph B dega 3, da V B = {x 1, x 2,, x, y 1, y 2,, y },

6 E B = x i, x i+1 : 1 i 1 y i, y i+1 : 1 i 1 { x i, y i+1 : 1 i 1} { y i, x i+2 : 1 i 2}. Sehigga jelas bahwa V B = p = 2, da E B = q = 4 5. Selajutya, kita buktika graph B adalah super Teorema 3.4: Graph burug B() adalah super sisi ajaib utuk semua 3. Defiisika pelabela titik f pada B() sebagai berikut: f x i = 2i 1 f y i = 2i, utuk i = 1,,. Aka ditujuka bahwa f V(B ) da f u + f v : (u, v) E B() adalah himpua beruruta. a) f V (B ) adalah himpua beruruta dimaa f V B() = 1,2,3,4,,2 1,2 b) f u + f v : (u, v) E P 2 + N m adalah himpua beruruta, dimaa f u + f v : u, v E B = 4,5,6,8,9,10,,4 4, 4 3,4 2 Dega demikia f V B() da f u + f v : (u, v) E B() adalah himpua beruruta. Aka ditujuka bahwa Graph B() adalah super sisi ajaib. {f(uv) B() } = 1,2,3,4,,2 1,2, 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3,, 6 11, 6 10, 6 9,, 6 7, 6 6, (6 5)} adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.4.3, da maka graph B() adalah super Cotoh 3.4 x 1 x 2 x 3 V J(m, ) = {u, v, x, y} {x 1, x 2,, x m } {y 1, y 2,, y }, da E J(m, ) = u, x, u, v, u, y, v, x, (v, y) x i, x : 1 i m y i, y : 1 i. Jelas bahwa V J m, = p = 2 + m, da E J(m, ) = q = 2 m + 1. Selajutya, kita buktika graph J m, adalah super Teorema 3.5 Graph cumi-cumi J(m,) adalah super sisi ajaib utuk semua m, 0. Defiisika f: V J m, {1,2,, m + + 4} dega : f(x i ) = i, utuk 1 i m f u = m + 1, f x = m + 2, f y = m + 3, f v = m + 4, f(y i ) = m i, utuk 1 i. Aka ditujuka bahwa f V J(m, ) da f u + f v : (u, v) E J(m, ) adalah himpua beruruta. a) f V J(m, ) adalah himpua beruruta, dimaa f V J(m, ) = 1,2,, m, m + 1, m + 2, m + 3, m + 4, m m + 6,, + m + 4 b) f u + f v : (u, v) E J(m, ) adalah himpua beruruta, dimaa f u + f v : u, v E J m, = + 3, + 4,,2m + 2,2m + 3,2m + 4,2m + 5,2m + 6,2m + 7,2m + 8,2m + 9,,2m Dega demikia f V J(m, ) da f u + f v : (u, v) E J(m, ) adalah himpua beruruta. Aka ditujuka bahwa Graph J m, adalah super {f(uv) J(m, ) } = 1,2,, m, m + 1, m + 2, m + 3, m + 4, m m + 6,, + m + 4, m + + 5,, m , m , m , m , m , m , m , m ,,2m ,2m adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.4.3, da maka graph J(m, ) adalah super y 1 y 2 y 3 Cotoh 3.5 Gambar: B 3 Kelas graph plaar lai adalah graph cumi-cumi yag didefiisika seperti berikut: Defiisi 3.5 Graph J(m, ) dega 125

7 x u v x 1 y 3 x 2 y 1 Gambar: Graph J 2,3 Salah satu kelas graph plaar yag lai adalah graph triagular belt yag didefiisika seperti berikut: Defiisi 3.6 Misalka S = {, } adalah simbol yag merepresetasika posisi blok. Misalka α adalah sebuah barisa simbol dari S. Kita aka megkotruksi sebuah graph blok ubi dari sisi ke sisi yag posisiya diidikasika dega α. Kita aka meujuka hasil graph TB(α) da merujuk ke triagular belt. Utuk lebih sederhaaya kita aka meujuka bahwa =,,, da = (,,, ). Misalka α, β, γ, δ ϵ S, maka TB(α) = (,, ), TB(β) = (,,, ), TB(γ) = (,,, ), TB(δ) =,,,, masig-masig aka ditujuka seperti gambar di bawah ii : TB(,, ) y y 2 1. Label titik-titik bagia atas dari belt dega semua bilaga gajil {1,3,5,...,2 + 1}dari kiri ke kaa dega sempura. 2. Kemudia label titik-titik bagia bawah pada belt dari kiri ke kaa dega semua bilaga geap {2,4,6,.,2 + 2}. 3. Label sisi-sisi blok dega mejumlahka tiaptiap titik yag salig terhubug Aka ditujuka bahwa f V TB(α) da f u + f v : (u, v) E TB(α) adalah himpua beruruta. a) f V TB(α) adalah himpua beruruta, dimaa f V TB(α = 1,2,3,4,5,6,,,2 + 1,2 + 2 b) f u + f v : (u, v) E TB(α adalah himpua beruruta, dimaa f u + f v : (u, v) E TB(α = 3,4,5,6,7,8,9,10,11,,2 + 6,2 + 7,2 + 8, Dega demikia f V TB(α) da f u + f v : (u, v) E TB(α adalah himpua beruruta. Aka ditujuka bahwa Graph TB(α) adalah super {f(uv) TB(α } = 1,2,3,4,5,6,,,2 + 1,2 + 2, 2 + 3, 4 2, 4 1, 4, 6 5, 6 4, 6 3, 6 2, 6 1, 6, 6 + 1, 6 + 2, (6 + 3) adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.4.3, da maka graph TB( ) adalah super Cotoh 3.6 TB(,,, ) TB(,,, ) TB(,,, ) Selajutya, kita buktika bahwa graph TB(α) adalah super sisi ajaib Teorema 3.6 Utuk sebarag α di S, 1, triagular belt (α) adalah super Algoritma dibawah ii megidikasika sebuah pola pelabela. Dega lagkah-lagkah sebagai berikut : Gambar :TB(α) Adapula kelas graph plaar yag lai adalah graph gabuga triagular belt yag didefiisika seperti berikut: Defiisi 3.7 Algoritma dibawah ii megidikasika sebuah pola pelabela gabuga triagular belt. Dega lagkah-lagkah sebagai berikut : 1. Utuk setiap > 1, α S. Kita ambil triagular belt α S, da k > 0, β S k. 2. Elimiasi k dega elimiasi terakhir bersimbol " " da kita rotasika TB( β) dega 90 0 berlawaa arah jarum jam pada blok terakhir TB(β). 3. Da gabugka hasil rotasi TB(β) dega blok pertama TB( α). Sehigga meghasilka TBL(, α, k, β).

8 V(TBL(, α, k, β)) = x 1,1, x 1,2,, x 1,+1, x 2,1, x 2,2,, x 2,+1, y 3,1, y 3,2,, y 3,k, y 4,1, y 4,2,, y 4,k. Sehigga jelas bahwa V TB α + TB β 2 = p = ( k + 2 ) 2 = 2 + k + 1, da E TB α + TB β 1 = q = ( k + 1 ) 1 = 4 + k + 1. Selajutya, kita buktika bahwa graph TBL(, α, k, β) adalah super sisi ajaib Teorema 3.7 Graph TBL(, α, k, β) adalah super sisi ajaib utuk semua α S da β S dega blok terakhir utuk semua k 0. Kita bagi mejadi 2 kasus : Kasus 1 : Utuk k = 1. Didefiisika f: V TBL, α, 1, β {1,2,,2 + 4}, dega : f x 1,j = j 1 = 2j + 2, utuk 1 j + 1 f x 2,j = j 1 = 2j + 1, utuk 1 j + 1 f x 3,1 = 2 da f x 4,1 = 1 Aka ditujuka bahwa f V, α, 1, β da f u + f v : (u, v) E, α, 1, β adalah himpua beruruta. a) f V, α, 1, β adalah himpua beruruta, dimaa f V, α, 1, β = 1,2,3,4,5,6,2 + 3,2 + 4 b) f u + f v : (u, v) E, α, 1, β adalah himpua beruruta, dimaa f u + f v : (u, v) E, α, 1, β = 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,, , 4 + 4, 4 + 6, (4 + 7) Dega demikia f V, α, 1, β da f u + f v : (u, v) E, α, 1, β adalah himpua beruruta. Tahap 2: Aka ditujuka bahwa Graph, α, 1, β adalah super f uv = p + q + s f u + f v {f(uv), α, 1, β } = 1,2,3,4,5,6,2 + 3,2 + 4,2 + 5,2 + 6,,2 + 8,4 + 1,,6 3,6 1,6, 6 + 1,6 + 2,,6 + 9 adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.43, da maka graph, α, 1, β adalah super Kasus 2 : utuk k 1. Didefiisika f: V TBL, α, k, β {1,2,,2( + k + 1)}, dega : f x 1,j = 2k + 2j, utuk j = 1,2,, + 1 f x 2,j = 2k + 2j 1, utuk j = 1,2,, + 1 f x 3,j = 2j, utuk j = 1,2,, k f x 4,j = 2j 1, utuk j = 1,2,, k Tahap 1: Aka ditujuka bahwa f V, α, k, β da f u + f v : (u, v) E, α, k, β adalah himpua beruruta. a) f V, α, 1, β adalah himpua beruruta, dimaa, f V, α, k, β = 1,2,3,4,2k 1,2k, 2k + 1,2k + 2,2k + 3,2k + 4,,2k ,2k b) f u + f v : (u, v) E, α, 1, β adalah himpua beruruta, dimaa f u + f v : (u, v) E, α, k, β = 3,4,5,6,7,, 2k + 4, 2k + 5, 2k + 6, 4k + 4, 4k + 5, 4k + 6, 4k + 7, 4k + 8, 4k + 10,, 4k , 4k , 4k , 4k + 4, 4k Dega demikia f V, α, k, β da f u + f v : (u, v) E, α, k, β adalah himpua beruruta. Tahap 2: Aka ditujuka bahwa Graph, α, k, β adalah super f uv = p + q + s f u + f v,dimaa {f(uv), α, k, β } = 1,2,3,4,2k 1,2k, 2k + 1,2k + 2,2k + 3,2k + 4,,2k ,2k , 2 + 2k + 3, 2 + 2k + 6,, 4 + 2k + 1, 4 + 2k + 3, 6 + 2k 4, 6 + 2k 2, 6 + 2k + 1, 6 + 2k, 6 + 2k + 1, 6 + 2k + 2, 6 + 2k + 3, 6 + 4k, 6 + 4k + 1, 6 + 4k + 2, 6 + 6k 1, 6 + 6k, 6 + 6k + 1, 6 + 6k + 2, 6 + 6k + 3 adalah himpua beruruta. Sehigga meurut defiisi 2.4.1, 2.43, da maka graph, α, k, β adalah super Cotoh 3.7 Gambar : TBL(, α, 1, β) Gambar : TBL(3,,,,2,, ) 1 127

9 4. PENUTUP A. Simpula Berdasarka pembahasa maka dapat disimpulka bahwa graph-graph dibawah ii : 1. Graph plaar P 2 + N m, dega, m N 2. Graph plaar P 2 kk 1 + N 2, dega k N 3. Graph Payug U(m, ), dega m > 2, > 1 4. Graph kelabag B(), utuk 3, N 5. Graph cumi-cumi J(m, ), dega, m 0,, m N 6. Graph triagular belt TB( ), utuk > 1, N 7. Graph triagular belt, α, 1, β, dega k = 1 da triagular belt, α, k, β k > 1 merupaka super B. Sara Sara yag dapat disimpulka berkaita dega hasil peelitia ii adalah sebagai berikut : 1. Kepada pembaca yag tertarik pada teori graph disaraka utuk melakuka peelitia megeai pelabela-pelabela lai pada graph plaar. 2. Kepada pembaca yag tertarik pada teori graph disaraka utuk melakuka peelitia megeai pelabela super sisi ajaib pada kelaskelas dari graph plaar yag lai. R.M. Figueroa-Ceteo, R. Ichishima ad F.A. Mutaer-Batle, The place of super edge-magic labeligs amog other classes of labeligs, Discrete Mathematics 231 (2001), R.L. Graham ad N.J.A.Sloae, O additive bases ad harmoious graphs, SIAM J. Alg. Discrete Math. 1 (1980), Si-Mi Lee, Alexader Nie-Tsu Lee. O Super Edge- Magic Graphs with May Odd Sikels. Sa Jose State Uiversity Califoria U.S.A. T.Grace, O sequetial labeligs of graphs, Joural. Graph Theory 7 (1983), Z. Che,O super edge-magic graphs, The Joural of Combiatorial Mathematics ad Combiatorial Computig 38(2001), DAFTAR PUSTAKA Budayasa, Ketut Teori Graph da Aplikasiya. Surabaya: Uesa Uiversity Pres. H. Eomoto, A. S. Llato, T. Nakamigawa, A. Rigel, Super edge-magic graphs, SUT J. Math. 43 (2)(1998), I. Cahit, Cordial graphs: a weaker versio of graceful ad harmoious graphs, Ars Combiatoria 23(1987), Joh. Adria. Body da U. S. R. Murty Graph theory applicatios. New York: 52 Vaderbilt Aveue, New York, N.Y M. Seoud ad A.E.I. Abdel Maqsoud, O cordial ad balaced labeligs of graphs, J. Egyptia Math. Society 7 (1999), M. Seoud ad A.E.I. Abdel Maqsoud ad J. Sheeha, Harmoious graphs, Utilitas Mathematica 47(1995), M. Tsuchiya, K. Yukomura, Some families of edgemagic graphs, roceedig of the Eight Iteratioal Coferece o Combiatorics, Graph Theory ad Algorithms, Kalamazoo, Michiga, vol.2,