PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA. Bayu Surarso Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, SH Tembalang Semarang 50275

Transkripsi

1 PROBLEM ELIMINASI CUT PADA LOGIKA LBB ' I Bayu Surarso Jurusa Mateatika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, SH Tebalag Searag Abstract I the preset paper we study the proble of cut eliiatio i logics LBB ' I, ie logics obtaied fro LBB I by addig a rule called ( k rule It is kow that the cut eliiatio theore for LBB I ad its stadard extesios ca be proved usig soe odificatios of the ethod used by Getze i 1935 to prove the cut eliiatio theore for Ituitioistic Logic We exted the odificatios to show that LBB ' I ejoy the cut eliiatio theore whe k=1 O the other side, we give a couter exaple sequet to show that the cut eliiatio theore does ot work for LBB ' I whe k>1 Keywords: Teorea eliiasi cut, LBB I, atura ( k 1 PENDAHULUAN Pada tahu 1994 Koori eperkealka siste Getze LBB I, lihat [3] Sequet Kalkulus LBB ' I tersebut dituruka dari logika iplikasioal BB ' I yag erupaka pegebaga dari logika yag palig sipel yaitu logika BI LBB ' I egadug suatu operasi yag biasaya disebut dega guarded erge yag cukup kopleks, diaa dua forula digabugka ejadi satu, tetapi harus tetap epertahaka uruta dari keucula forula pada kedua forula tersebut Kodisi lai dari operasi tersebut adalah pada Γ, forula yag ucul palig kaa haruslah forula yag yag ucul palig kaa di Γ Meskipu forulasiya cukup kopleks, pada [1] peulis berhasil eberika bukti bahwa teorea eliiasi cut berlaku pada LBB IK, LBB IW da LBB IKW, logika-logika tersebut berturutturut adalah logika yag diperoleh dega eabah atura weakeig, cotraksi da kedua atura struktural tersebut sekaligus Dapat dicek bahwa ereka asigasig ekuivale dega logika iplikasioal BB IK, BB IW da BB IKW Pada [2] Hori, Oo da Schellix eperkealka suatu atura iferesi yag keudia diotasika sebagai atura ( k yag diforulasika sebagai berikut: Γ, A,, A, B Γ, A,, A, B k Sebagai catata, disii k > 0 da k k adalah erupaka atura Atura ( weakeig ketika = 0 da k= 1 serta erupaka atura kotraksi ketika =1 da k=2 Sedagka ketika < k atura tersebut erupaka suatu betuk terbatas dari atura weakeig da ketika > k erupaka suatu betuk terbatas dari atura kotraksi Tulisa ii erupaka kelajuta da pegebaga dari [1], diaa aka dipelajari asalah eliiasi cut pada logika-logika LBB ' I yag diperoleh dega eabahka atura ( k pada logika LBB I Pada tulisa ii diaggap pebaca sudah failiar dega [1] Notasi-otasi da teriologi-teriologi dala tulisa ii egikuti yag disapaika pada [1] 2 Teorea Eliiasi Cut utuk LBB ' I ( 1 112

2 Bayu Surarso (Proble Eliiasi Cut Pada Logika LBB ' I Berikut ii aka dibuktika bahwa teorea eliiasi cut berlaku utuk LBB ' I bila k=1 Teorea 21 Teorea eliiasi cut berlaku utuk LBB ' I ( 1 Bukti Utuk ebuktika teorea ii aka diperkealka suatu atura yag disebut ulti-cut* Defiisi 22 Atura ulti-cut* adalah sebuah atura iferesi sebagai berikut: Γ A, A, ( ulti cut * { Γ}, diaa harus kosog ketika Γ kosog Disii isalka Γ A 1,A 2,,A k da 1, 2,, k Maka { Γ} adalah suatu dereta forula dala betuk 1,A 1, 2,A 2,, k,a k Forula A disebut forula ulti-cut* dari atura ulti-cut* diatas Mudah dilihat bahwa atura cut adalah betuk khusus dari atura ulti-cut* Sebalikya setiap aplikasi dari ulti-cut* dapat digatika dega kali pegulaga dari aplikasi atura cut Oleh karea itu, sebuah bukti tapa atura ulti-cut* pada LBB ' I erupaka bukti tapa atura ( 1 cut pada LBB ' I da sebalikya ( 1 Sehigga, dega argue yag saa dega [1] utuk ebuktika Teorea 21 tersebut cukup dibuktika lea berikut : Lea 23 Jika P adalah bukti ( pada LBB ' I dari sebuah sequet S yag ( 1 egadug sebuah atura ulti-cut* yag ucul sebagai atura iferesi palig bawah pada P, aka S dapat dibuktika tapa aplikasi atura ulticut* Lea di atas dibuktika dega etode yag saa dega etode pada [1] sebagai berikut: Misalka P adalah bukti dari sequet S yag euat ulti-cut* sebagai atura iferesi palig bawah sebagai berikut: S1 S2 ( ulti cut* S Selajutya lea 23 dibuktika degadobel iduksi atas grade da rak dari P yag didefiisika sebagai berikut: grade dari P adalah bayakya sibol logika dari forula ulti-cut* rak dari P adalah bayakya sequet yag ucul di atas sequet bawah dari atura ulti-cut* Pebuktia dibagi ejadi 4 kasus sebagai berikut: Kasus 1 S 1 atau S 2 adalah iisial sequet Trivial Kasus 2 S 1 atau S 2 adalah sequet bawah 1 dari atura ( Sub-kasus 21 S 1 adalah sequet bawah 1 dari atura ( Bagia akhir dari bukti P aka berbetuk: Γ1, C, Γ2 A ( 1 Γ1, C, Γ2 A, A, ulti cut * { ( Γ1, C, Γ2}, diaa harus kosog jika Γ 1 da Γ 2 kosog ( Bukti P tersebut dapat ditrasforasika ke suatu bukti dega baia akhir sebagai berikut: Γ1, C, Γ2 A, A, ( * ulti cut { ( Γ1, C, Γ2}, kali aplikasi dari atura ( 1 { ( Γ1, C, Γ2}, diaa grade dari bukti teresbut saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih 113

3 Jural Mateatika Vol 10, No3, Deseber 2007: kecil dari pada rak P Maka dega hipotesis iduksi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi Catata: Jika Γ 1 da Γ 2 kosog, Bagia akhir dari bukti P aka berbetuk: C A ( 1 C A A, ( ulti cut* C, ( Bukti P tersebut dapat ditrasforasika ejadi: C A A, ( * ulti cut { ( C }, kali aplikasi dari atura ( 1, ( C Grade dari bukti tersebut saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih kecil dari rak P Maka dega hipotesis iduksi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi Sub-kasus 22 S 2 adalah sequet bawah 1 dari atura ( Bagia akhir dari bukti P aka berbetuk:, A, ( 1 Γ A, A, ( ulti cut * ΓΣ, B diaa harus kosog, ketika Γ kosog Misalka julah dari forula yag terkadug di dala Γ adalah k, aka bukti P tersebut dapat ditrasforasika ejadi: Γ A, A, ( ulti cut * { Γ}, k kali aplikasi dari atura ( 1 Γ, grade-ya saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih kecil dari pada rak P Maka dega hipotesis iduksi, atura ulti-cut* dapat dieliiasi Catata: Misalka Γ kosog aka bagia terakhir dari P aka berbetuk: A, ( 1 A A, ( ulti cut * aka bukti P tersebut dapat ditrasforasika ejadi: A A, ( ulti cut* grade dari bukti tersebut saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih kecil dari pada rak P Maka dega hipotesis iduksi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi Kasus 3 S 1 da S 2 adalah sequet bawah dari atura iplikasi sedeikia higga prisipal forula dari kedua atura tersebut adalah forula ulti-cut* Dala kasus ii S 1 adalah sequet bawah dari ( da S 2 adalah sequet bawah dari ( Misalka A A1, Γ C 1,C 2,,C k, 1 Σ D1, D2,, Dl ',( A1,, Dl, 2 0, 1,, l ',( A1,, l Bagia akhir dari P adalah betuk: Γ, A1 A 2 Σ A 1, A2, Λ B ( ( Γ A 1 A2 A 1 A2 ΣΛ, B ( ulti cut * Π { Γ}, Π, Λ B ( Diaa Π1 0, D1, 1, D2,, l ', Dl ' da Π2 l ' + 1, Dl ' + 1,, l, Dl Dala hal ii Σ tidak boleh kosog, sedagka 0, 1,, l ' harus kosog jika Γ kosog Bukti P tersebut dapat ditrasforasika ejadi: Γ A 2 Σ ( a Π3 ( 1ΓΠ, 4 A1 Γ, A1 A 2 Γ A 2,A, 2Λ B ( b ( c Π 3 {( Γ}, Π 4 A2 Π5 ( 2ΓΠ, 6,A, 2Λ B ( d Π {( Γ}, ΠΛ, B

4 Bayu Surarso (Proble Eliiasi Cut Pada Logika LBB ' I Diaa Π3 D1, D2,, Dl ', Π4 Dl ' + 1,, Dl, Π5 0, 1,, l ', da Π6 l ' + 1,, l grade dari (a da (c saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih kecil dari Rak P Grade dari (b da (d lebih kecil dari grade P Maka dega hipotesis iduksi, kita dapat egeliiasi atura ulti-cut* (a, (b, (c da (d Kasus 4 S 1 atau S 2 adalah sequet bawah dari atura iplikasi kecuali kasus 3 Subkasus 41 S 1 adalah sequet bawah dari atura iplikasi kecuali kasus 3 Jika S 1 adalah sequet bawah dari ( Bagia akhir dari P adalah betuk: Γ, A2, Λ B ( ( A1 A 2 ΓΛ, B Σ1, B, ( ulti cut * Σ { ( ( A1 A 2 ΓΛ, }, Σ C 1 2 diaa Γ tidak boleh kosog Bukti P tersebut dapat ditrasforasika ejadi:, A2, Λ B Σ1, B, ( ulti cut * Γ A 1 Σ1 { (, A2, Λ}, ( Σ1 { ( A1 A2 ΓΛ, }, grade-ya saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih kecil dari pada rak P Sehigga dega hipotesis iduksi, atura ulti-cut*-ya dapat dieliiasi Sub-kasus 42 S 2 adalah sequet bawah dari atura iplikasi kecuali kasus 3 Pada tulisa ii aka diberika bukti utuk bagia akhir dari P berbetuk: 1,B,A1 Γ B 1,B 1 { Γ} diaa 1 harus kosog jika Γ kosog Bukti P tersebut dapat ditrasforasika ejadi: ( ( ulti cut* Γ B 1,B, 2,A1 1 { Γ}, 2,A1 1 { Γ} grade-ya saa dega grade P, sedagka rak-ya lebih kecil dari pada rak P Sehigga dega hipotesis iduksi, atura ulti-cut* dapat dieliiasi ( ulti cut* 3 Masalah Eliiasi Cut pada LBB ' I utuk k > 1 Sebeluya telah dibuktika bahwa teorea eliiasi cut berlaku utuk LBB ' I Berikut, berbalika dega ( 1 hasil tersebut aka dibuktika teorea berikut ii: Teorea 31 Teorea Eliiasi Cut tidak berlaku utuk LBB ' I ketika k > 1 Bukti Diberika sequet S(p,q berikut ii, diaa p da q adalah variabel proposisi : k p p q p q p 1,,,, q S(p,q = ( p Dega batua atura cut, S(p,q udah dibuktika sebagai berikut: q q p p p p p p kali aplikasi kali aplikasi ( ( ( q p,q p p p,p p k k q p,q p p p,p p k 1 p p,q p, q,p,q p ( cut Selajutya aka ditujukka bahwa S(p,q tidak dapat dibuktika dala LBB ' I tapa atura cut, ketika k > 1 Jika = 0, aka S(p,q berbetuk ( k 1 p, p, q, p, q, p,, q, p, q p Jelas bahwa tapa aplikasi atura cut, sequet tersebut tidak dapat dibuktika Utuk > 1, isal terdapat bukti P tapa atura cut dari S(p,q Kita aka cek P dari bawah ke atas (secara botto up Perlu diperhatika bahwa atecedet dari 115 (

5 Jural Mateatika Vol 10, No3, Deseber 2007: S(p,q euat forula q p, aka P harus euat aplikasi dari (, dega prisipal forula q i p, diaa i = 1,2, Aplikasi dari ( tersebut harus terbetuk dala alur yag saa Diberika alur T, da diberika S i (p,q sebagai dala alur T sequet bawah dari ( yag prisipal forulaya adalah q i p Maka udah dicek bahwa S (p,q harus euat sebayak k kali keucula forula q (Disii keucula dari q sebagai subforula sejati dari sebuah forula tidak diperhatika Selajutya bisa dicek pula bahwa jika S i (p,q euat sebayak kali keucula forula q, aka S i-1 (p,q harus euat tepat sebayak -1 kali keucula forula q Dari sii diabil kesipula: - utuk kasus < k, S i (p,q harus euat k-(-1 forula q Maka S i (p,q buka sequet yag bisa dibuktika Kotradiksi dega peryataa bahwa P adalah bukti dari S(p,q - utuk kasus > k, S -k (p,q tidak boleh euat forula q Maka S -k (p,q yag buka sequet bawah dari ( prisipal forulaya q k p Kotradiksi dega defiisi dari S -k (p,q Dega adaya kedua kotradiksi yag di atas, teorea 31 terbukti Sebagai catata, sequet S(p,q terbukti dala LBB ' I tapa atura cut ketika k = 1, seperti ditujukka dala bukti berikut ii: p p p p kali aplikasi ( ( p p, p p q q p p, p p kali aplikasi ( p p,q p,q p 1 1 p p,q p, q, p,q p ( 1 ( 1 4 PENUTUP Seperti pada LBB I, LBB IK, LBB W da LBB KW, teorea eliiasi cut berlaku juga pada LBB ' I ketika =1 Tetapi hasil tersebut tidak dapat diperluas pada LBB ' I apabila >1 Pada keyataaya teorea eliiasi cut tidak berlaku pada LBB ' I ketika > 1 Pada bayak kasus berlakuya teorea eliiasi cut pada suatu siste sequet beriplikasi pada berlakuya teorea iterpolasi pada siste tersebut Dega terbuktiya teorea eliiasi cut pada LBB ' I, selajutya earik ( 1 utuk dipelajari lebih lajut asalah iterpolasi pada siste-siste tersebut 5 DAFTAR PUSTAKA [1] Bayu Surarso (2004, Getze-type systes for logic BB I ad its ocoutative stadard extesios, Jural Mateatika, 10(2, [2] Hori, R, Oo, H, Schellix (1994, Extedig ituitioistic liier logic with kotted structural rules, Notre Dae Joural of Foral Logic 35, [3] Koori, Y (1994, Sytactical Ivestigatios i BI logic ad BB I logic, Studia Logica 53,