INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Transkripsi

1 INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Jika A matriks atas lapaga, maka pasti terdapat dega tuggal suatu matriks B yag memeuhi sifat ABA = A. Matriks B yag memeuhi sifat ii disebut ivers tergeeralisasi matriks A. Dalam aljabar maxplus, tidak ada jamia bahwa setiap matriks memiliki ivers tergeeralisasi. Jika A mempuyai ivers tergeeralisasi, maka A dikataka reguler. Dalam makalah ii aka dibahas bagaimaa meetuka suatu matriks A atas aljabar maxplus regular atau tidak. Kata kuci: Matriks, ivers tergeeralisasi, aljabar maxplus, reguler A. PENDAHULUAN Aljabar maxplus memiliki peraa yag sagat bayak dalam meyelesaika persoala di beberapa bidag seperti teori graf, kombiatorika, teori sistem, teori atria da proses stokastik. Hal ii telah dibahas dalam beberapa buku da jural seperti Bacelli,et.al (200), Heidergott, (999), Flemig, (2004), Meguy, et.al (2000). Sebagai cotoh yag sederhaa, misal suatu kegiata dimodelka dalam graf aktivitas sebagai berikut:

2 Bobot garis berarah dari titik i ke titik j meyataka waktu tersigkat yag diperluka utuk memulai kegiata pada titik i sampai memulai kegiata pada titik j,dalam betuk matriks diyataka sebagai A ji. Jika tidak ada garis yag meghubugka titik i dega titik j, maka A ji = -. Kegiata pada titik j, baru dapat dimulai jika seluruh kegiata yag medahului titik j sudah selesai. Dalam gambar di atas, kegiata pada titik 4 baru dapat dimulai jika seluruh kegiata pada titik 2 da 5 sudah selesai. Jika x j meyataka waktu tercepat dapat dimulaiya kegiata pada titik j, maka x j dapat diyataka sebagai x = maks( A + x ). Terlihat bahwa masalah ii melibatka dua j ji i i=,2,..,6 operasi yaitu maksimum ( maks) da pejumlaha (+), yag merupaka operasi dalam aljabar maxplus. Dalam aljabar liear, sudah dikeal kosep ivers tergeeralisasi suatu matriks atas lapaga. Yaitu, jika A matriks atas lapaga, maka pasti terdapat ivers tergeeralisasi matriks A, amaka B, sehigga ABA = A. Utuk itu dalam makalah ii aka dibahas tetag matriks atas aljabar maxplus, khususya tetag ivers tergeeralisasi dari matriks atas aljabar maxplus. Jika A sebarag matriks atas aljabar maxplus, maka belum tetu A mempuyai ivers tergeeralisasi. Dalam makalah ii aka dibahas syarat matriks A mempuyai ivers tergeeralisasi da sekaligus meetuka ivers tergeeralisasi dari matriks A atas aljabar maxplus. B. PEMBAHASAN. Aljabar Maxplus Aljabar maxplus adalah himpua R {-, dega R himpua semua bilaga real yag dilegkapi dega operasi maksimum, diotasika dega da operasi pejumlaha, yag diotasika dega. Selajutya ( R {-,, ) diotasika dega R max da {- diotasika dega ε. Eleme ε merupaka eleme etral terhadap operasi da 0 merupaka eleme idetitas terhadap operasi. Struktur aljabar dari R max adalah semifield, yaitu :. ( R {-, ) merupaka semigrup komutatif dega eleme etral {-

3 2. (R {-, ) merupaka grup komutatif dega eleme idetitas 0 3. Operasi da bersifat distributif 4. Eleme etral bersifat meyerap terhadap operasi, yaitu a R max, ε a = a ε =ε 2. Matriks atas R max Dalam aljabar liear, jika F field, maka dapat dibetuk suatu matriks berukura m dega etri etriya adalah eleme eleme F. Hal yag serupa dapat dikerjaka pada R max, yaitu dapat dibetuk matriks A berukura m dega etri-etriya eleme R max. Operasi da pada matriks atas aljabar maxplus didefiisika sebagai berikut: () ( A B) ij = A ij B ij (2) ( A B) = ( A B ) ij ik kj k Cotoh : 2 Jika A -2 7 = -2 3 da B = -3, maka A B= = = da {+(-2) {2 + {+7 {2 + ( 3) 3 8 A B= = {-2+(-2) {3 + {-2+7 {3 + ( 3) 4 5 Jika ( R max ) meyataka himpua semua matriks dega etri-etriya eleme R max,, maka matriks E dega ( E) ij 0, jika i = = ε, jika i j j da matriks ε dega (ε) ij = ε, i, j berturut turut merupaka matriks idetitas da matriks ol. Jadi, () ( E A ) = (A E ) = A utuk setiap A ( R max ) ; (2) (ε A ) = (A ε ) = A, utuk setiap A ( R max ).

4 Perlu diperhatika bahwa ( R max ) buka merupaka semifield, tetapi merupaka semirig, sebab terhadap operasi ( R max ) tidak komutatif da tidak setiap A ( R max ) mempuyai ivers. 3. Pemetaa Residuated Pada R max dapat dilegkapka suatu relasi uruta, yaitu a b a b = b. Sehigga (R max, ) merupaka poset ( himpua terurut parsial ). Defiisi. Suatu pemetaa f pada himpua teurut parsial dikataka isoto jika x y f(x) f(y) Cotoh. f : R max R max dega f(x) = x 5 merupaka pemetaa isoto, yaitu utuk setiap x, y R max berlaku x y f(x) = x 5 = x + 5 y + 5 = y 5 = f(y) Defiisi 2. Suatu pemetaa isoto f : D E dega D da E masig-masig himpua terurut parsial dikataka pemetaa residuated jika utuk setiap b E, maka { x / f(x) b mempuyai eleme maximal, diotasika dega f (b).pemetaa isoto f : E D disebut residual dari f. Cotoh 2. Pada cotoh di atas, f merupaka pemetaa residuated, sebab utuk setiap y R max, {x/f(x) = x 5 y mempuyai eleme maximal, yaitu x = f (y) = y-5. Hubuga atara f da f seperti yag dibahas dalam bacilli, et.al (200) adalah sebagai berikut: f ο f I (a) f ο f I ( b) Selajutya residual dari f (b) diguaka utuk meetuka ada tidakya solusi dari persamaa f(x) = b, diyataka dalam teorema sebagai berikut: Teorema 3. Jika f : D E pemetaa residuated, maka persamaa f(x) = b mempuyai solusi jika da haya jika f ( f (b)) = b. Bukti :

5 ( ) Diketahui f(f (b)) = b, maka persamaa f(x) = b mempuyai solusi, yaitu x = f (b) ( ) Diketahui f(x) = b mempuyai solusi, misalka x. Diperoleh f(x ) = b. Karea f (b) adalah eleme maksimal dalam { x/ f(x) b, maka x f (b). Karea f isoto maka f(x ) f( f (b)). Meurut (a) f f (b) b, akibatya b = f(x ) f f (b) b, yaitu f(f (b)) = b. 4. Peyelesaia Persamaa Ax = b dalam Aljabar Maxplus Jika A ( R max ) da x R max, maka Ax A( x ) A2( x2)... A ( x) A ( x ) A ( x )... A ( x ).... A ( x) A2( x2)... A( x) = A j( x j) A2 j( x j) Dibetuk f j( xj) =..., maka Ax= f j( xj) (2) j= A j ( x j ) Utuk setiap j, jika x x f ( x ) f ( x ).Sehigga A merupaka pemetaa isoto. jh jk j jh j jk Selai itu utuk setiap j, { x / f ( x ) b mempuyai eleme maksimal, yaitu j j j x j = mi {b A j, b 2 A 2j,, b A j. Jadi A merupaka pemetaa residuated. Dega kata lai. A dapat dipadag sebagai suatu pemetaa residuated dari R max ke R max. Berdasarka uraia ii, yaitu karea x j = mi {b A j, b 2 A 2j,, b A j, maka residual dari A adalah [ A ( b)] = mi( b A ). j j ij i Sehigga utuk meetuka solusi persamaa Ax = b, seperti pada pembahasa pada teorema 3, dapat dilakuka dega megecek apakah A ( A (b)) = b. Hal ii diyataka dalam teorema di bawah ii. Teorema 4. Jika A ( R max ), da b R max, maka persamaa Ax = b mempuyai solusi jika da haya jika A(A (b))= b. Bukti : ( )

6 Diketahui A(A (b)) = b. Jadi persamaa Ax = b mempuyai peyelesaia, yaitu x = A (b) ( ) Misalka persamaa Ax = b mempuyai solusi x. diperoleh A x = b, sehigga A x b. Karea A ( b) merupaka eleme maksimal dalam { x/ Ax b ) maka x A (b). Diperoleh A x A ( A (b )) b = A x A ( A\b) (*) Selajutya meurut (a) A (A\b) b...(**) Dari (*) da (**) diperoleh A ( A (b)) = b. 5. Ivers Tergeeralisasi Matriks atas Aljabar Maxplus Salah satu tujua mecari ivers tergeeralisasi matriks atas lapaga, seperti dalam Perose, (954) adalah utuk meetuka solusi sistem persamaa liear AXB = C. Berikut ii defiisi ivers tergeeralisasi matriks atas aljabar maxplus, seperti defiisi yag ditulis oleh Blyumi da Golad, (200). Defiisi 5. Jika A ( R max ) m, maka matriks B ( R max ) m dikataka ivers tergeeralisasi dari matriks A( atau g-ivers dari A) jika ABA=A. Utuk meetuka ada tidakya matriks B yag memeuhi ABA = A, ekuivale dega meetuka ada atau tidakya solusi persamaa AXA = A dega A ( R max ) m. Eleme ke-ij pada AXA adalah persamaa m [ AXA] = [ ( A + X + A )]. Sehigga diperoleh ij ik kl lj k= l= m [ ( A + X + A )] = A (3) k= l= ik kl lj ij Jika utuk setiap k,l dibetuk f ( X ) = A + X + A (4) ij kl ik kl lj maka persamaa (3) mejadi m f ( X ) = A (5) i= j= ij kl ij

7 Eleme maksimal dalam { Xkl / fij ( Xkl ) Aij adalah m X = mi mi A ( A + A ) (6) kl i= = ij ik lj Selajutya aka dibahas syarat suatu matriks A ( R max ) m mempuyai ivers tergeeralisasi yag disajika dalam teorema berikut: Teorema 6. Matriks A ( R max ) m mempuyai ivers tergeeralisasi jika da haya jika eleme maksimal dalam { X / AXA A merupaka solusi persamaa AXA = A. Bukti : ( ) Jika X = max { X / AXA A merupaka solusi persamaa AXA = A, maka jelas A mempuyai ivers tergeeralisasi, yaitu matriks X. ( ) Jika A mempuyai ivers tergeeralisasi, maka terdapat matriks X sedemikia sehigga AX A = A. Jika X = max { X / AXA A, maka X X, sehigga AX A AX A. Akibatya A = AX A AX A A. Jadi diperoleh AX A = A, dega X = max { X / AXA A. Selajutya jika A A ( R max ) m mempuyai ivers tergeeralisasi, maka A dikataka regular, jika tidak maka A dikataka oreguler. Jika A regular, maka ivers tergeeralisasi dari A belum tetu tuggal. Cotoh : 2 3 Aka ditetuka ivers tergeeralisasi dari matriks A = 2. Meurut persamaa (6), diperoleh: 2 2 = i= = X mi mi A ij A i A j { A A A A A A A A A A A A = mi ( );( );( );( ) = mi { (2-2-2); ( 3-2-3);(--2);(2--3) = mi { -2; -2; -2; -2 = -2.

8 2 2 2 = 2 i= = X mi mi A ij A i A j { A A A A A A A A A A A A = mi ( );( );( );( ) = mi { (2-2-);(3-2-2);(--);(2--2) = mi { -; 0; -; - = = 2 i= = X mi mi A ij A i A j { A A A A A A A A A A A A = mi ( );( );( );( ) = mi { (2-3-2);(3-3-3);(-2-2);(2-2-3) = mi { -3; -3; -3; -3 = = 2 2 i= = X mi mi A ij A i A j { A A A A A A A A A A A A = mi ( );( );( );( ) = mi { (2-3-);(3-3-2);(-2-);(2-2-2) = mi { -2; -2; -2; -2 = Diperoleh X = Selajutya dicek apakah AX A = A AX A = = = = A. 2 3 Jadi matriks A = 2 regular, dega ivers tergeeralisasiya adalah Dapat dicek juga bahwa X -3 - = -3-2 juga memeuhi AX A=A, yaitu AX A= A = = = X = -3-2.

9 C. KESIMPULAN DAN SARAN Jika A (R max ) m, maka utuk meetuka ivers tergeeralisasi dari matriks A dilakuka dega meetuka matriks X yag etri ke- kl - ya adalah m kl i= = ij ik lj X = mi mi A ( A + A ). Jika matriks X memeuhi AX A=A, maka A mempuyai ivers tergeeralsasi atau A dikataka regular. Jika X tidak memeuhi AX A=A, maka pasti A tidak mempuyai ivers tergeeralisasi, atau A oreguler. Jika A regular, maka ivers tergeeralisasi dari matriks A belum tetu tuggal. Sehigga dapat dilakuka peelitia lebih lajut tetag syarat ketuggala suatu matriks atas aljabar maxplus mempuyai ivers tergeeralisasi yag tuggal. D. Referesi Bacelli, F.et.al Sychroizatio ad Liearity.New York: Joh Wiley & Sos Blyumi,S.L, Golad,J.S Oe-sided Complemets ad Solutio of the equatio of axb=c i semirig. IJJMS29:28 hal: hidawi Publishig Corp Cohe,G.et.al.997. Liear Projector i The max- plus Algebra. 5 th IEEE Mediterraea Coferece o Cotrol ad Systems. Paphos Cyprus, 2-23 July 997 Flemmig,W.H, Max-Plus Stochastic Processes. Applied Mathemamatic Optimizatio.New York : Spriger-Verlag Heidergot, B A Characterizatio of (max,+) -liear queueig system.queueig System.2359(2000) Meguy, E A fist Step Towards Adaptive Cotrol for Liear System i Max Algebra. Discrete Evet Dyamic System: Theory ad Applicatio. Bosto: KluwerAcademic Publisher. Perose,R.954. A geeralized Iverse for Matrices. Mathematical Proceedigs of The Cambridge Philoshopical Society.