PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b BUSUR-BERURUTAN PADA GRAF UNICYCLE SKRIPSI

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b BUSUR-BERURUTAN PADA GRAF UNICYCLE SKRIPSI ARIF AGUNG RIYADI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 0 Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b BUSUR-BERURUTAN PADA GRAF UNICYCLE SKRIPSI Diajuka sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa sais ARIF AGUNG RIYADI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 0 Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skripsi ii adalah hasil karya sediri, da semua sumber baik yag dikutip maupu dirujuk telah saya yataka dega bear. iii Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

4 HALAMAN PENGESAHAN Skripsi ii diajuka oleh Nama : Arif Agug Riyadi NPM : Program Studi : Sarjaa Matematika Judul Skripsi : Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta Pada Graf Uicycle Telah berhasil dipertahaka di hadapa Dewa Peguji da diterima sebagai bagia persyarata yag diperluka utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Program Studi S Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Ditetapka di : Depok Taggal : 9 Mei 0 iv Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

5 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji syukur kepada Allah swt. atas semua rahmat da karuia yag telah Dia berika sehigga peulis dapat meyelesaika tugas akhir ii. Peulis sadar bahwa peyelesaia tugas akhir ii tidak terlepas dari batua da dukuga dari berbagai pihak. Oleh karea itu, pada kesempata ii peulis igi megucapka terima kasih kepada pihak-pihak yag telah berjasa dalam peulisa tugas akhir ii maupu selama peulis kuliah. Ucapa terima kasih terhatur kepada: () Dra. Dey Riama Silaba, M.Kom selaku pembimbig yag telah bayak meluagka waktu da pikira serta memberika masuka-masuka utuk peulis dalam meyelesaika tugas akhir ii; () Dra. Yahma Wisai, M.Kom. selaku pembimbig akademik peulis selama mejalai masa kuliah; (3) Dose pegajar Dept. Matematika FMIPA UI, Dr. Kiki Ariyati S, Dra. Siti Amiah, M.Kom, Dra. Nora Hariadi, M.Sc, Prof. Dr. Djati Kerami, dll yag telah memberi sara da kritik peulis selama masa skripsi. (4) Papa, Mama, adik-adik peulis, Puput da Tyas, Bude Siti, Bulek Aka, da seluruh keluarga besar peulis yag telah memberika dukuga, do a, da batua baik material maupu moral; (5) Seluruh karyawa di departeme Matematika UI, mbak Sati, mbak Rusmi, pak Salima, dll atas batua yag telah diberika; (6) Muhammad Reza terima kasih bayak atas dukuga, sara da kritikya. You are more tha just a best fried, because you are my brother; (7) Widita Edyarii & Stefi Rahmawati, terimakasih bayak buat kalia udah memperkealka graf labelig da membatu dalam skripsi ii; (8) Farah Amalia, Sutisa, Rifza Putra K., Yuita Paca W., makasih atas persahabataya ya. Udah kayak puya kakak sediri ih. Never shall I forget the times I spet with you; cotiue to be my fried, as you always fid me yours; v Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

6 (9) Tema-tema Math 007 Dita, Bowo, Gamar, Stefi, Wiwi, Widi, Isa, Ajar, Dhaar, Shafa, Toto, Farah, Lois, Bapet, Iki, Ferdy, Wida, Adit, Shafira, Amada, Nedia, Putu, Aggu, Widya, Putri, Mita, Sica, Siska, Nora, Adi, Zul, Ais, Yos, Siti, Hikmah, Adi, Misda, Ashari, Afi, Fauza, da Haif terima kasih atas kebersamaaya di matematika 007. Sugguh sagat berkesa bisa megeal kalia semua. Ayo, kita serig kumpul ati. (0) Utuk Riri K.S., terima kasih atas support yag sudah diberika selama peulisa skripsi ii, semagat utuk kita! () Tema-tema skripsi labelig Ali, Teguh, Redy, Pagky da Poe semagat! () Tema-tema 006, Rizqi, Idah, Nurgi, Tami, Alfa, Budi, Dai, Rafli dll. Thaks atas semagat da dukugaya. Seag bisa megeal kalia. (3) Tema-tema 008, Bowo, Cidy, Luthfa, Nita, Dais, Ifah, dll. Terima kasih atas supportya ya. Semagat buat kalia semua. Utuk Luthfa, semagat terus ya! Terim kasih utuk cerita-ceritaya. Utuk Cidy, be a good actuarist ya. (4) Tema-tema 005, kak aggie, terima kasih batuaya utuk mecari pelabela hairycycle, walaupu tidak sesuai. (5) Tema-tema 009, Didut, Eja, Mbak yu, Aa dkk. (6) Tema-tema 00, Widya, Yuza, Tasya dkk. Peulis juga igi megucapka terima kasih kepada seluruh pihak yag tidak dapat disebutka satu per satu, yag telah membatu dalam peyusua skripsi ii. Akhir kata, peulis moho maaf jika terdapat kesalaha atau kekuraga dalam skripsi ii. Peulis berharap semoga skripsi ii bermafaat bagi pembaca. Peulis 0 vi Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik, saya yag bertada taga di bawah ii: Nama : Arif Agug Riyadi NPM : Program Studi : Sarjaa Departeme : Matematika Fakultas : Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Jeis karya : Skripsi demi pegembaga ilmu pegetahua, meyetujui utuk memberika kepada Hak Bebas Royalti Noeksklusif (No-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yag berjudul : Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta pada Graf Uicycle beserta peragkat yag ada (jika diperluka). Dega Hak Bebas Royalti Noeksklusif ii berhak meyimpa, megalihmedia/format-ka, megelola dalam betuk pagkala data (database), merawat, da memublikasika tugas akhir saya selama tetap mecatumka ama saya sebagai peulis/pecipta da sebagai pemilik Hak Cipta. Demikia peryataa ii saya buat dega sebearya. vii Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

8 ABSTRAK Nama : Arif Agug Riyadi Program Studi : Matematika Judul : Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta pada Graf Uicycle Misalka G = V, E adalah graf sederhaa tidak berarah dega v = V simpul da e = E busur. Pelabela total busur ajaib adalah pemetaa bijektif f dari V E ke bilaga bulat positif beruruta {,,3,, v + e} sehigga bobot semua busur adalah kosta. Pelabela total busur ajaib dega f E = {b +, b +,, b + e}, dega 0 b v disebut sebagai pelabela total busur-ajaib b busur beruruta. Telah diketahui bahwa jika suatu graf memiliki pelabela total busur ajaib b busur beruruta maka pada graf tersebut dipeuhi e v, sehigga jika suatu graf terhubug memiliki pelabela total busur ajaib b busur beruruta maka graf tersebut haruslah graf poho. Aka tetapi suatu graf terhubug yag buka poho dimugkika memiliki pelabela total busur ajaib b busur beruruta dega meambahka sejumlah simpul terisolasi. Apabila bayak simpul terisolasi yag ditambahka meyebabka graf memeuhi e = v, maka bayak simpul yag ditambahka pada graf adalah optimal, jika tidak demikia, maka bayak simpul terisolasi yag ditambaka tidak optimal. Pada skripsi ii aka dikotruksi pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta utuk graf uicycle, yaitu graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle dega peambaha sejumlah optimal simpul terisolasi. Kata Kuci Xiii+76 halama Daftar Pustaka : 3 (986-0) : Pelabela total busur-ajaib b-busur-beruruta, graf ligkara, graf matahari, graf koroa, graf hairycycle, graf uicycle ; 7 gambar; tabel viii Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

9 ABSTRACT Name : Arif Agug Riyadi Study Program : Mathematics Title : A b-edge Cosecutive Edge Magic Total Labelig o Uicycle Graph Let G = (V, E) be a simple ad udirected graph with v = V vertices ad e = E edges. A edge magic total labelig is a bijectio f from V E to the set of cosecutive itegers {,,, v + e} such that the weight of all edges are costat. A edge magic total labelig which f E = {b +, b +,, b + e}, 0 b v is called b-edge cosecutive edge magic total labelig. It is kow that if a graph has b-edge cosecutive edge magic total labelig the the graph must be satisfied e v, so if a coected graph has b-edge cosecutive edge magic total labelig the the graph must be a tree. However, a coected graph which ot a tree ca be labeled b-edge cosecutive edge magic total labelig by addig some isolated vertices to the graph. If the umbers of isolated vertices added to graph cause a graph to satisfy e = v, the the umbers of vertices to the graph is optimal, whereas if ot such that, the umbers of isolated vertices added is ot optimal. This fial project will costruct b-edge cosecutive edge magic total labelig o uicycle graph, that are cycle graph, su graph, crow graph, ad hairycycle graph by addig a optimal isolated vertices. Keywords : b-edge cosecutive edge magic total labelig, cycle graph, su graph, crow graph, hairycycle graph, uicycle graph Xiii+76 pages ; 7 pictures; table Bibliography : 3 (986-00) ix Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.. ii HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv KATA PENGANTAR... v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR TABEL... xii. PENDAHULUAN.... Latar Belakag.... Permasalaha da Ruag Ligkup Jeis Peelitia da Metode yag Diguaka Tujua Peulisa LANDASAN TEORI Defiisi da istilah dalam teori graf Jeis-jeis Graf Pelabela Graf Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta Hasil-hasil yag Diketahui PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b BUSUR-BERURUTAN PADA GRAF UNICYCLE Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta pada Graf Ligkara Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur Beruruta pada Graf Matahari Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta pada Graf Koroa Pelabela Total Busur Ajaib b Busur-Beruruta pada Graf Hairycycle KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA x Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

11 DAFTAR GAMBAR Gambar. Ilustrasi Jembata Köigsberg... Gambar. Cotoh graf G... 7 Gambar. (a) Graf G, (b) Subgraf M dari G... 8 Gambar. 3 Coroa product atara C 4 dega K... 9 Gambar. 4 Coroa product atara C 4 dega C Gambar. 5 Graf litasa P Gambar. 6 Graf ligkara C 6... Gambar. 7 Graf matahari C 4 K... Gambar. 8 (a) Graf koroa (b) Graf hairycycle... 3 Gambar. 9 (a) Pelabela simpul, (b) Pelabela busur, (c) Pelabela total... 4 Gambar. 0 (a) Pelabela total simpul-ajaib pada C 5 dega k = 7, (b) Pelabela total busur-ajaib pada C 5 dega k = Gambar. (a) Pelabela total busur-ajaib f pada C 5, (b) Pelabela total busurajaib f pada C Gambar. Pelabela total busur-ajaib super-busur pada graf C Gambar. 3 PTBA b busur-beruruta pada graf ligkara C Gambar. 4 (a) PTBA 5 busur-beruruta pada graf tagga P 4 P, (b) PTBA 8 busur-beruruta pada graf P 4 (P 4 P ), da (c) PTBA 8 busur-beruruta pada graf LT Gambar 3. (a) Kasus, (b) Kasus, da (c) Kasus Gambar 3. (a) PTBA busur-beruruta pada C 4 dega k = 4 da (b) PTBA 4 busur-beruruta pada C 8 dega k = Gambar 3. 3 (a) PTBA 3 busur-beruruta pada C 4 dega k = 6 da (b) PTBA 5-busur-beruruta pada C 8 dega k = Gambar 3. 4 (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus 3, (d) Kasus 4, (e) Kasus 5, (f) Kasus 6, da (g) Kasus Gambar 3. 5 (a) PTBA 4 busur-beruruta pada C 4 K dega k = 6 da (b) PTBA 8 busur-beruruta pada C 8 K dega k = Gambar 3. 6 (a) PTBA 5 busur-beruruta pada C 4 K dega k = 8 da (b) PTBA 9 busur-beruruta pada C 8 K dega k = xi Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

12 Gambar 3. 7 (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus 3, (d) Kasus 4, (e) Kasus 5, (f) Kasus 6, da (g) Kasus Gambar 3. 8 (a) PTBA 6 busur-beruruta pada graf C 4 K dega k = 38 da (b) PTBA 8 busur-beruruta pada graf C 4 K 3 dega k = Gambar 3. 9 (a) PTBA 7 busur-beruruta pada C 4 K dega k = 40 da (b) PTBA 9 busur-beruruta pada C 4 K 3 dega k = Gambar 3. 0 (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus 3, (d) Kasus 4, (e) Kasus 5, (f) Kasus 6, (g) Kasus 7, da (h) Kasus Gambar 3. (a) PTBA 7 busur-beruruta pada HC(4;,3,3,) dega k = 44 da (b) PTBA 9 busur-beruruta pada HC(4;,5,5,) dega k = Gambar 3. (a) PTBA 8 busur-beruruta pada HC(4;,3,3,) dega k = 46 da (b) PTBA 0 busur-beruruta pada HC(4;,3,3,) dega k = DAFTAR TABEL Tabel 4.. Pelabela Total Busur-Ajaib b-busur-beruruta xii Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

13 BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Teori graf merupaka salah satu pokok bahasa bidag matematika kombiatorik yag memiliki bayak terapa higga waktu sekarag. Graf mulai dikeal pada abad ke 9. Di sebuah kota yag berama Köigsberg terdapat 4 datara yag dihubugka dega 7 jembata. Warga kota tersebut berpikir apakah dapat melewati semua jembata tepat satu kali dari satu titik da aka kembali di titik awal. Hal ii disebut masalah jembata Koigsberg yag kemudia dikeal sebagai dasar dari teori graf. Warga kota tersebut haya bisa mejelaska dega cara coba-coba. Pada tahu 736, seorag matematikawa asal Swiss yag berama Leohard Euler ( ) berhasil meemuka jawaba utuk permasalaha tersebut dega memodelkaya dalam betuk graf. Jawaba yag diberika oleh Euler adalah tidak mugki bisa melewati 7 jembata masig-masig tepat satu kali dimulai dari satu titik da kembali ke titik tersebut. Ilustrasi megeai jembata Köigsberg dapat dilihat pada Gambar.. Gambar. Ilustrasi Jembata Köigsberg Suatu graf G = (V, E) dibetuk oleh suatu himpua tak kosog da berhigga dari obyek-obyek yag disebut simpul, da suatu himpua (mugki kosog) dari pasaga tak terurut simpul-simpul yag berbeda pada G yag Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

14 disebut busur. Himpua simpul pada G diotasika dega V, da himpua busur pada G diotasika dega E. Bayakya aggota dari himpua simpul da busur pada G secara beruruta diotasika oleh v = V da e = E (Chartrad da Lesiak, 986). Pada permasalaha jembata Koigsberg yag diselesaika oleh Euler, diketahui bahwa terdapat 4 simpul yag meyataka darata da terdapat 7 busur yag meyataka bayakya jembata. Beberapa jeis graf yag ada memiliki ciri-ciri khusus yag dapat dikelompokka mejadi suatu kelas graf da dapat diberi ama sediri, salah satuya adalah graf uicycle. Graf uicycle adalah graf yag megadug tepat satu graf ligkara. Cotoh dari graf uicycle yaitu, graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle. Salah satu cabag yag dipelajari dalam teori graf adalah pelabela graf. Pelabela pada suatu graf G merupaka suatu pemetaa setiap eleme dari graf G ke suatu himpua bilaga. Pada skripsi ii, pelabela megguaka bilaga bulat positif. Apabila yag diberi label adalah himpua busur maka disebut pelabela busur, apabila yag diberi label adalah himpua simpul, maka disebut pelabela simpul, apabila kedua himpua simpul da busur diberi label, maka disebut pelabela total. Jumlah semua label yag terkait pada eleme suatu graf disebut bobot. Apabila pelabela meghasilka bobot yag sama utuk setiap simpul da atau/busur, maka pelabelaya disebut pelabela ajaib. Suatu pelabela total busur-ajaib merupaka pelabela pada simpul da busur dari graf sedemikia sehigga bobot setiap busurya adalah kosta. Bilaga kosta ii disebut kostata ajaib. Pelabela total busur-ajaib dikataka sebagai pelabela total busur-ajaib super jika himpua simpulya diberi label-label terkecil. Pelabela total simpul-beruruta merupaka pelabela pada simpul da busur dimaa setiap label pada simpul yag diberika harus beruruta. Jika label pada busur yag beruruta, maka pelabelaya disebut sebagai pelabela busurberuruta. Salah satu pegembaga dari pelabela total ajaib super adalah pelabela beruruta. Pada pelabela beruruta, label yag beruruta tidak harus dimulai dari (Sugeg da Miller, 008). Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

15 3 Suatu pemetaa bijektif f: V E,, 3,, v + e disebut pelabela total busur-ajaib b simpul-beruruta (PTBA b simpul-beruruta) dari G jika f adalah pelabela total busur-ajaib dari G da f V = a +, a +, a + 3,, a + v, 0 a e. Suatu pemetaa bijektif f: V E,, 3,, v + e disebut suatu pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta (PTBA b busur-beruruta) dari G jika f adalah suatu pelabela total busur-ajaib dari G da f E = b +, b +, b + 3,, b + e, 0 b v. Jika a = 0 (atau b = 0) maka f disebut pelabela total busur-ajaib simpul (busur) super. Suatu graf yag memiliki pelabela total busur-ajaib a simpul-beruruta (atau b busur-beruruta disebut graf busur-ajaib a-simpul beruruta (atau b-busur beruruta) (Sugeg da Miller, 008). Pada skripsi ii, yag dibahas adalah PTBA b busur-beruruta dega 0 < b < v. Jika suatu graf terhubug G memiliki pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta dega b {,,3,, v } maka jumlah maksimum busur pada G adalah v, sehigga graf terhubug yag mugki dilabel dega PTBA b busur-beruruta adalah graf poho (Sugeg da Miller, 008). Suatu graf dega e > v dimugkika utuk dilabel dega pelabela total busurajaib b busur-beruruta dega meambahka simpul terisolasi pada graf tersebut sehigga aka memeuhi e v (Silaba da Sugeg, pp). Jika peambaha simpul terisolasi megakibatka e = v, maka bayakya simpul terisolasi yag ditambahka adalah optimal. Jika peambaha simpul terisolasi megakibatka e < v, maka bayakya simpul yag ditambahka tidak optimal. Beberapa hasil peelitia tetag PTBA b busur-beruruta atara lai setiap PTBA b busur-beruruta memiliki pelabela simpul busur-atiajaib. Dual dari PTBA b busur-beruruta utuk suatu graf G adalah PTBA (v b) busurberuruta. Setiap graf caterpillar memiliki suatu PTBA b busur-beruruta utuk setiap b. Jika suatu graf terhubug G memiliki suatu PTBA b busur-beruruta, dimaa b {,,, v }, maka G adalah suatu graf poho (Sugeg & Miller, 006). Setiap graf caterpillar da graf firecrackers yag teratur memiliki PTBA Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

16 4 b busur-beruruta (Sugeg & Silaba, 009). Suatu graf tagga P P memiliki PTBA b busur-beruruta dega meambahka palig sedikit simpul terisolasi, dimaa graf tagga P P didapatka dari hasil perkalia kartesius atara graf litasa P da P. Graf gabuga mp dega graf tagga (P P ) mp (P P ) memiliki PTBA m + busur-beruruta dega simpul terisolasi. Graf LT mm merupaka graf gabuga atara graf tagga dega graf ligkara, dimaa m meyataka bayakya graf litasa P yag megapit graf tagga (P P ). Graf LT mm memiliki PTBA m + busur-beruruta dega simpul terisolasi (Silaba & Sugeg, 00). Pada skripsi ii aka dibahas tetag pelabela total busur-ajaib b busurberuruta (PTBA b busur-beruruta) pada graf uicycle. Graf uicycle yag diguaka, yaitu graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle. Graf uicycle mempuyai bayak busur e = v, sehigga utuk meghasilka pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta yag optimal, yaitu yag memeuhi kodisi e = v, maka pada graf uicycle perlu ditambahka satu simpul terisolasi.. Permasalaha da Ruag Ligkup Masalah yag aka dibahas pada skripsi ii adalah bagaimaakah kostruksi pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta (PTBA b busurberuruta) pada graf uicycle sehigga bayak simpul yag ditambahka optimal. Peelitia dilakuka pada graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

17 5.3 Jeis Peelitia da Metode yag Diguaka Jeis peelitia yag diguaka adalah studi literatur da metode yag diguaka adalah megembagka da megkostruksi pelabela pada kelas graf baru..4 Tujua Peulisa Tujua dari peulisa skripsi ii adalah utuk megkostruksi pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta (PTBA b Busur-beruruta) pada graf uicycle dega bayak simpul terisolasi yag ditambahka optimal. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

18 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa defiisi da kosep dasar dalam teori graf, serta defiisi pelabela graf yag aka diguaka pada bab selajutya.. Defiisi da istilah dalam teori graf Defiisi yag diguaka pada subbab ii megacu pada buku yag ditulis oleh Keeth H. Rose (995), suatu graf G = (V, E) didefiisika sebagai suatu himpua tak kosog da berhigga dari eleme yag disebut simpul (vertices) da himpua pasaga tak terurut dari simpul-simpul yag disebut sebagai busur (edges). Himpua simpul pada graf G disebut himpua simpul (vertexset) dari G, diotasika dega V(G) disigkat mejadi V da himpua busur pada graf G disebut sebagai himpua busur (edge-set) dari G, diotasika dega E(G) disigkat mejadi E. Himpua busur pada suatu graf G dapat berupa himpua kosog (disebut juga graf kosog). Bayakya aggota (cardiality) dari himpua simpul pada graf G diotasika dega v = V dega v > 0 disebut sebagai order dari G. Bayakya aggota dari himpua busur pada graf G diotasika dega e = E disebut sebagai ukura dari G. Suatu graf berhigga (fiite) adalah suatu graf dega order da ukura yag berhigga. Apabila terdapat suatu busur yag meghubugka dua simpul (kedua simpul mugki sama), maka simpul tersebut disebut sebagai titik-titik ujug (edpoits) dari busur. Jika terdapat dua simpul pada graf G yag dihubugka dega satu atau lebih busur, maka simpul tersebut dikataka bertetagga (adjacet). Suatu busur dikataka hadir (icidet) pada suatu simpul apabila simpul tersebut merupaka salah satu ujug dari busur. Dua busur dari graf G dikataka bertetagga jika kedua busur tersebut hadir pada simpul yag sama. Suatu graf dapat direpresetasika dalam gambar, dimaa simpul direpresetasika dega titik da busur direpresetasika dega segme garis 6 Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

19 7 yag megubugka simpul-simpul. Biasaya simpul diotasika dega v i, i =,,, V da busur diotasika dega e j, j =,,, E atau sebagai pasaga dari kedua simpul ujug, v i v j dega v i v j V. Suatu busur yag meghubugka satu simpul ke simpul itu sediri disebut gelug (loop). Apabila terdapat dua simpul yag dihubugka oleh lebih dari satu busur, maka busur tersebut disebut sebagai busur bergada (multiple edges/parallel edges). Suatu graf sederhaa (simple graph) G adalah graf yag tidak memiliki gelug da busur bergada. Bayakya busur yag hadir pada suatu simpul v disebut sebagai derajat (degree atau valecy) dari simpul v da ditulis sebagai d(v). Suatu simpul v yag tidak bertetagga dega simpul yag laiya memiliki d v = 0 da disebut sebagai simpul terpecil (isolated vertex). Apabila suatu simpul v bertetagga dega haya satu simpul lai, maka simpul tersebut memiliki d v = da disebut sebagai simpul termial (termial vertex). Suatu graf G yag memiliki simpul-simpul dega derajat yag sama atau memiliki derajat r (d v = r) disebut sebagai graf teratur (regular graph). v v 6 e e 7 v e v 5 e 6 e 3 e 5 v 3 e 4 v 4 Gambar. Cotoh graf G Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

20 8 Pada Gambar. diberika cotoh graf. Graf G pada Gambar. memiliki himpua simpul V = v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 da himpua busur E = e, e, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 = {v v, v v, v v 3, v 3 v 4, v 4 v 5, v 5 v 5, v 5 v }. Bayakya simpul pada graf G adalah v = V = 6 da bayakya busur adalah e = E = 7. Busur e 4 meguhubugka simpul v 3 da v 4, sehigga simpul tersebut bertetagga. Busur e 3 da e 4 bertetagga karea hadir pada simpul yag sama, yaitu simpul v 3. Derajat tiap simpul pada Gambar. adalah d v = 3, d v = 3, d v 3 =, d v 4 =, d v 5 = 3, d v 6 = 0. Karea d v 6 = 0, maka simpul v 6 disebut sebagai simpul terisolasi. Karea derajat tiap simpul tidak sama, maka graf G buka graf teratur. Graf G buka graf sederhaa, karea pada graf tersebut terdapat busur gada, yaitu busur e da e yag sama-sama meghubugka simpul v da v, da terdapat gelug yag ditujukka oleh busur e 6. Graf M adalah subgraf dari graf G, M G, jika V(M) V(G) da E(M) E(G). Pada Gambar., M adalah subgraf dari G, karea graf M memiliki himpua simpul da busur, yaitu M = V, E = v, v 7, v 4, v 6, v v 7, v 7 v 4, v 4 v 6 yag merupaka subset dari himpua simpul da busur pada graf G, yaitu G = V, E = ( v, v, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v v, v v 3, v 3 v 4, v 4 v 5, v 5 v 6, v 6 v 4, v 4 v 7, v 7 v ). Dapat dilihat bahwa V(M) V(G) da E(M) E(G). v v 7 v 6 v v 7 v 6 v 4 v 4 v v 3 G (a) v 5 M (b) Gambar. (a) Graf G, (b) Subgraf M dari G Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

21 9 Misalka x da y adalah simpul-simpul (tidak harus berbeda) pada graf G. Jala (walk) x y pada G adalah suatu barisa berhigga di G yag terdiri dari simpul da busur secara berseliga, x = x 0, e, x, e,, x, e, x = y, yag diawali dega simpul x da diakhiri dega simpul y. Jejak (trail) x y adalah suatu jala x y dimaa tidak ada busur yag berulag. Litasa (path) x y adalah suatu jala x y dimaa tidak ada simpul yag berulag. Suatu graf G dikataka terhubug (coected) jika terdapat suatu litasa x y utuk setiap pasag simpul x,y V. Apabila syarat ii tidak terpeuhi maka graf G dikataka tak terhubug (discoected). Graf yag aka dibahas dalam skripsi ii adalah graf berhigga, sederhaa, da tak berarah. Berikut ii adalah defiisi dari beberapa kelas graf yag aka diguaka dalam skripsi ii. Sebelumya aka diberika operasi yag diguaka pada graf yag aka dibahas. Suatu coroa product G H dimaa G terdiri dari simpul didefiisika sebagai graf yag diperoleh dega megambil salia G da salia dari H, da meghubugka setiap simpul pada salia ke idari H dega simpul ke i dari G, i =,,, (Yero, dkk, 00). Pada Gambar.3 diberika cotoh coroa product atara C 4 dega K. Pada Gambar.4 diberika cotoh coroa product atara C 4 dega C 3. C 4 K C4 K Gambar. 3 Coroa product atara C 4 dega K Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

22 0 C 4 C 3 C C 4 3 Gambar. 4 Coroa product atara C 4 dega C 3. Jeis-jeis Graf Graf litasa, P merupaka suatu graf terhubug yag terdiri dari simpul dimaa setiap simpulya memiliki derajat, kecuali pada simpul awal da simpul akhir yag memiliki derajat. Graf litasa dega simpul v, v, v 3,, v mempuyai busur v v, v v 3,, v v. Pada Gambar.5 diberika cotoh graf litasa dega 4 simpul. v v v 3 v 4 Gambar. 5 Graf litasa P 4 Suatu graf ligkara, C, 3 dapat dibetuk dari graf litasa yag kedua simpul ujugya diberi tambaha busur sedemikia sehigga setiap simpul pada graf ligkara aka memiliki derajat. Pada graf ligkara, bayak simpul Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

23 sama dega bayak busurya atau V(C ) = E(C ) =. Himpua simpul pada graf ligkara adalah V C = {v i i } da himpua busur pada graf ligkara adalah E C = {v i v i+ i } dega i + mod. Pada Gambar.6 diberika cotoh graf ligkara dega 6 simpul (C 6 ). Suatu graf yag tidak megadug subgraf ligkara disebut graf poho. Cotoh dari graf poho atara lai, graf bitag, graf kembag api da graf kelabag. Graf yag memiliki tepat satu subgraf ligkara disebut sebagai graf uicycle. Cotoh dari graf uicycle yaitu graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle. v v v 6 v 3 v 5 v 4 Gambar. 6 Graf ligkara C 6 Graf matahari C K merupaka suatu graf yag dibetuk dari suatu graf ligkara C dimaa setiap simpul pada graf ligkara tersebut diberi tambaha satu simpul berderajat satu sedemikia sehigga setiap simpul pada graf matahari memiliki derajat 3, kecuali pada simpul ujug-ujugya yag memiliki derajat. Graf matahari diotasika dega C K, dega meyataka bayakya simpul pada graf ligkara. Himpua simpul pada graf matahari dapat diyataka dega V C K = v, v,, v u, u,, u = v i i {u i i } da himpua busurya dapat diyataka dega E C K = v v,, v v v u,, v u = v i v i+ i {v i u i i }, dimaa v i merupaka simpul graf matahari yag terletak pada Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

24 graf ligkara, u i merupaka simpul pada graf matahari yag terletak di luar ligkara da i + mod. Bayakya simpul da busur pada graf matahari adalah dega meyataka bayak simpul pada graf ligkara yag diguaka utuk membagu graf matahari atau disebut ukura graf matahari. Pada Gambar.7 diberika cotoh graf matahari C 4 K. u u v v v 4 v 3 u 4 u 3 Gambar. 7 Graf matahari C 4 K Graf koroa C K r merupaka graf yag dibetuk dari graf ligkara dega meambahka r simpul berderajat satu pada setiap simpul dari graf ligkara C, 3. Himpua simpul pada graf koroa adalah V = v i i u j i i, j r da himpua busurya adalah E = v i v i+ i {v i u j i i, j r}. Bayakya simpul da busur pada graf koroa adalah (r + ). Graf hairycycle HC ; r i, i =,,, dibetuk dari graf ligkara C dega meambahka sembarag r i simpul luar berderajat satu pada setiap simpul dalam v i, i =,,, pada graf ligkara C. Himpua simpul dari graf hairycycle, yaitu V = v i : i {u j i : i, j r i } da himpua busurya E = v i v i+ : i {v i u j i : i, j r i }, dega i + mod da dimaa v i merupaka Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

25 3 simpul dalam da u i j meyataka simpul luar ke-j pada simpul pusat ke-i. Pada Gambar.8 diberika cotoh graf koroa da graf hairycycle. v v v v v v v u u u u v 3 u 4 u 3 u 4 u 3 v 4 v 4 v 3 v 3 v 4 v 3 (a) (b) Gambar. 8 (a) Graf koroa (b) Graf hairycycle.3 Pelabela Graf Pelabela f pada suatu graf G merupaka pemetaa dari eleme-eleme graf G ke suatu himpua bilaga bulat. Bilaga hasil pemetaa f disebut label (Bača & Miller, 008). Jika domai dari pemetaa berupa himpua simpul, maka pelabela f disebut sebagai pelabela simpul. Jika domai dari pemetaa berupa himpua busur, maka pelabela f disebut sebagai pelabela busur. Jika domai dari pemetaa berupa gabuga himpua simpul da himpua busur, maka pelabela f disebut sebagai pelabela total. Pada Gambar.9 diberika cotoh pelabela simpul, busur, da total pada graf litasa. Pada skripsi ii, yag dibahas adalah pelabela total. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

26 (a) (b) (c) Gambar. 9 (a) Pelabela simpul, (b) Pelabela busur, (c) Pelabela total Betuk pejumlaha label yag dikeaka pada setiap eleme dari graf G di bawah pelabela f disebut bobot (weight) pada pelabela total. Bobot simpul diperoleh dega mejumlahka label simpul dega label busur yag hadir pada simpul tersebut (jika ada) utuk setiap simpul di G. Bobot busur diperoleh dega mejumlahka label busur dega label simpul-simpul ujug pada busur tersebut (jika ada) utuk setiap busur di G. Secara matematis, bobot simpul xεv di bawah suatu pelabela total f yag diotasika dega w f (x), dapat diyataka sebagai w f x = f x + yεn (x) f(xy), x V, dimaa N x adalah himpua semua simpul yag bertetagga dega x. Sedagka bobot busur xy E di bawah suatu pelabela total f yag diotasika dega w f (xy), dapat diyataka sebagai w f xy = f x + f xy + f(y), xy E. Dalam pelabela graf terdapat istilah pelabela ajaib. Suatu pelabela f dikataka sebagai pelabela ajaib jika terdapat suatu bilaga k sedemikia sehigga bobot simpul-simpul (atau busur-busur) pada graf adalah k. Bilaga k yag ada pada pelabela ii disebut sebagai kostata ajaib atau bilaga ajaib. Pada pelabela total, apabila w f x = k, xεv maka pelabela f disebut sebagai Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

27 5 pelabela total simpul-ajaib. Apabila w f xy = k, xyεe maka pelabela f disebut sebagai pelabela total busur-ajaib. Jika label dari simpul adalah himpua bilaga yag terkecil maka pelabela disebut sebagai pelabela super. Pada Gambar.0 diberika cotoh pelabela total simpul-ajaib da pelabela total busur-ajaib pada graf C (a) (b) Gambar. 0 (a) Pelabela total simpul-ajaib pada C 5 dega k = 7, (b) Pelabela total busur-ajaib pada C 5 dega k = 6 Pelabela yag aka dibahas selajutya adalah pelabela total busurajaib. Misalka f: V E {,,3,, v + e} adalah suatu pemetaa bijektif pada G. Jika bobot busur pada G dega pelabela f adalah w f xy = f x + f xy + f y = k, xy E, maka f disebut sebagai pelabela total busur-ajaib. (Eomoto,dkk, 998) Pada pelabela total busur-ajaib didefiisika pelabela dual. Misalka pelabela f: V E {,,, v + e} merupaka pelabela total busur ajaib pada graf G. Defiisika suatu pelabela f : V G E G {,,, v + e} sebagai berikut f x = v + e + f x, x V f xy = v + e + f xy, xy E. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

28 6 Pada Gambar. diberika cotoh pelabela total busur-ajaib pada C 5 dega k = 4 da dualya dega k = (a) (b) Gambar. (a) Pelabela total busur-ajaib f pada C 5, (b) Pelabela total busur-ajaib f pada C 5 Berhubuga dega pelabela dual, diberika Teorema.. Teorema. (Wallis, 00) Pelabela dual dari suatu pelabela total busur-ajaib merupaka pelabela total busur-ajaib. Maka f disebut sebagai dual dari f. (Wallis, 00). Telah dijelaska pada bab I, pelabela beruruta merupaka pegembaga dari pelabela super. Pada pelabela super, label yag beruruta dimulai dari, sedagka pada pelabela beruruta label yag beruruta tidak harus dimulai dari. Pada Gambar. diberika cotoh pelabela total busur-ajaib super-busur, yaitu label pada busurya dimulai dari. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

29 Gambar. Pelabela total busur-ajaib super-busur pada graf C 5 Pada pelabela beruruta, label yag beruruta dapat diberika pada himpua simpul atau busur. Jika label yag beruruta diberika pada himpua simpul, maka pelabela disebut sebagai pelabela simpul-beruruta. Jika label yag beruruta diberika pada himpua busur, maka pelabela disebut sebagai pelabela busur-beruruta (Sugeg & Miller, 008). Pada skripsi ii yag aka dibahas hayalah pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta yag aka dijelaska pada subbab selajutya..4 Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta Pelabela total busur-bjaib b busur-beruruta (PTBA b busurberuruta) didefiisika sebagai suatu pemetaa bijektif f: V E,,3,, v + e pada suatu graf G, dega f merupaka suatu pelabela total busur-ajaib dari G dega label busur f E = b +, b +,, b + e, 0 b (Sugeg & Miller, 008). Kosep dari pelabela total busur-ajaib beruruta diperkealka oleh Sugeg da Miller (006). Beberapa teorema yag berhubuga dega pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta dapat diberika pada Teorema.-.4. Teorema. (Sugeg & Miller, 006) Setiap graf busur-ajaib b busur-beruruta mempuyai pelabela simpul busur ati-ajaib. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

30 8 Teorema.3 (Sugeg & Miller, 006) Dual dari pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta utuk suatu graf G adalah suatu pelabela total busur ajaib v b busur-beruruta. Teorema.4 (Sugeg & Miller, 006) Jika suatu graf terhubug G mempuyai pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta dega b {,,3,, v } maka G adalah suatu graf poho. Pada pembuktia Teorema.4 diyataka bahwa jika suatu graf G memiliki suatu PTBA b busur-beruruta maka bayak maksimum busur pada G adalah v. Oleh karea itu, kelas graf terhubug yag dapat memeuhi kodisi tersebut hayalah graf poho. Namu, suatu graf terhubug yag buka poho dapat memiliki suatu PTBA b busur-beruruta dega meambahka sejumlah simpul terisolasi agar pada graf tersebut dipeuhi e v. Apabila bayak simpul terisolasi yag ditambahka meyebabka graf memeuhi e = v, maka bayakya simpul terisolasi yag ditambahka optimal. Jikabayakya simpul terisolasi yag ditambahka meyebabka graf memeuhi e < v, maka bayakya simpul terisolasi yag ditambahka tidak optimal. Pada Gambar.3 diberika cotoh PTBA b busur-beruruta pada graf ligkara C 4 dega peambaha simpul terisolasi Gambar. 3 PTBA b busur-beruruta pada graf ligkara C 4 Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

31 9.5 Hasil-hasil yag Diketahui Hasil-hasil yag diketahui dari PTBA b busur-beruruta pada graf yag termasuk graf poho atara lai setiap graf caterpillar memiliki suatu PTBA b busur-beruruta utuk setiap b, dimaa : b = r + r + + i i geap + i + r i geap,i<r, jika i gajil, jika i geap (Sugeg & Miller, 008). Setiap firecrackers teratur memiliki PTBA b busurberuruta, dega b = r s + r, da setiap regular caterpillar-like tree memiliki PTBA b busur-beruruta, dega b = r s + r (Silaba & Sugeg, 008). Hasil yag diketahui dari PTBA b busur-beruruta pada graf yag buka poho atara lai graf tagga P P memiliki PTBA ( ) busurberuruta dega simpul terisolasi, graf gabuga mp dega graf tagga P P (mp (P P )) memiliki PTBA m + busurberuruta dega simpul terisolasi, da graf LT mm memiliki PTBA m + busur-beruruta dega simpul terisolasi (Silaba & Sugeg, 00). Pada bab berikutya, aka dibahas PTBA b busur-beruruta utuk graf terhubug yag buka poho. Kelas graf yag dibahas adalah graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle. Pada Gambar.4 diberika cotoh PTBA 5 busur-beruruta pada graf tagga P 5 P, PTBA 8 busur-beruruta pada graf P 4 (P 4 P ), da PTBA 8 busur-beruruta pada graf LT 4. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

32 (a) (b) (c) Gambar. 4 (a) PTBA 5 busur-beruruta pada graf tagga P 4 P, (b) PTBA 8 busur-beruruta pada graf P 4 (P 4 P ), da (c) PTBA 8 busurberuruta pada graf LT 4 Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

33 BAB 3 PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b BUSUR- BERURUTAN PADA GRAF UNICYCLE Pada bab ii aka diberika kostruksi pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta, atau yag bisa disigkat dega PTBA b busur-beruruta pada graf uicycle, yaitu graf ligkara, graf matahari, graf koroa, da graf hairycycle. Telah dijelaska pada bab sebelumya bahwa suatu pemetaa bijektif f: V E {,,, v + e} disebut sebagai suatu pelabela total busur ajaib b- busur-beruruta (PTBA b busur-beruruta) dari G jika f adalah suatu pelabela total busur ajaib dari G da f E = {b +, b +, b + 3,, b + e}, 0 b v. Jika b = 0, maka f disebut sebagai pelabela total busur-ajaib super-busur. Pada skripsi ii haya dibahas utuk ilai 0 < b < v. Suatu graf yag memiliki pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta disebut sebagai graf busur-ajaib b busur-beruruta. Jika suatu graf terhubug G memiliki pelabela total busurajaib b-busur-beruruta dega b {,,3,, v } maka jumlah maksimum busur pada G adalah v, sehigga graf terhubug yag mugki memiliki pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta adalah suatu graf poho (Sugeg da Miller, 008). Suatu graf terhubug yag buka poho dimugkika aka memeuhi kodisi ii dega meambahka sejumlah berhigga simpul terisolasi pada graf tersebut sehigga aka dipeuhi e v (Silaba da Sugeg, pp). Jika peambaha simpul terisolasi megakibatka bayak busur sama dega bayak simpul dikurag satu atau e = v, maka bayakya simpul terisolasi yag ditambahka adalah optimal. Jika peambaha simpul terisolasi megakibatka kodisi bayak busur kurag dari bayak simpul dikurag satu atau e < v, maka bayakya simpul yag ditambahka tidak optimal. Utuk membuktika bahwa suatu graf memiliki kotruksi PTBA b busur-beruruta, dapat diguaka Lemma 3. yag merupaka adaptasi dari Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

34 Lemma 3.. Lemma yag diberika oleh Figuerora-Ceteo dkk. ii merupaka sifat dari pelabela total ajaib super. Lemma 3. (Figuerora-Ceteo, Ichisima, da Batle, 00) Suatu graf (v, e) G merupaka busur-ajaib super jika da haya jika terdapat suatu pemetaa bijektif f: V {,,, v} sedemikia sehigga himpua S = {f(x) + f(y) xy E} terdiri dari e bilaga bulat beruruta. Dalam kasus ii, f dapat ditigkatka mejadi suatu pelabela total busur-ajaib super dari G dega ilai k = v + e + s, dimaa s = mi (S) da S = k v +, k v +,, k v + e. Pelabela beruruta merupaka pegembaga dari pelabela super. Pada pelabela total busur-ajaib super-busur, label busur beruruta dimulai dari. Pada pelabela busur-beruruta, label dari busur beruruta bisa dimulai tidak dari satu. Maka, sifat dari pelabela total ajaib super juga berlaku utuk PTBA b busurberuruta. Oleh karea itu, Lemma 3. tersebut kemudia diadaptasi da diguaka utuk membuktika PTBA b busur-beruruta. Adaptasi Lemma 3. diberika pada Lemma 3.. Lemma 3. (Silaba da Sugeg, pp) Suatu graf G dega v simpul da e busur adalah suatu graf busur-ajaib b-busur-beruruta jika da haya jika terdapat suatu fugsi bijektif f: V E {,,3,, v + e} sedemikia sehigga f V =,,3,, v + e b +, b +, b + 3,, b + e, 0 b v da himpua S = {f x + f(y) xy E} terdiri dari e bilaga bulat positif beruruta. Dalam kasus ii, f dapat ditigkatka mejadi suatu PTBA b busur-beruruta pada G dega kostata ajaib k = b + e + s dega s = mi (S) da S = f x + f y xy E G = {k b +, k b +,, k b + e }. Bukti. Diketahui bahwa G adalah graf busur-ajaib b busur-beruruta, maka terdapat f: V E,,, v + e da himpua label busur yag beruruta f E = b +, b +,, b + e sedemikia sehigga aka didapat bobot busur yag Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

35 3 kosta w f = f x + f y + f xy = k. Dapat ditujukka bahwa himpua label simpul aka terbagi mejadi kelompok himpua bilaga, yaitu f V E = f V + f(e) f V = f V E f(e) =,,, v + e b +, b +,, b + e =,,, b b + e +, b + e +,, v + e. Selajutya, dapat ditujukka bahwa terdapat S = {f x + f(y) xy E} yag terdiri dari e bilaga bulat positif beruruta. S = f x + f y xy E = k f xy xy E. Karea f E = f xy xy E = b +, b +,, b + e, maka S = k b +, k b +,, k b + e Terdapat graf G dega f: V E,,, v + e sedemikia sehigga f V =,,, v + e {b +, b +,, b + e}, 0 b v da himpua S = f x + f y xy E terdiri dari e bilaga bulat positif beruruta. Aka ditujukka bahwa G adalah graf busur-ajaib b busur-beruruta. Pertama, dapat ditujukka bahwa terdapat himpua label busur yag beruruta, yaitu f V =,,, v + e b +, b +,, b + e f E = b +, b +,, b + e. Selajutya, dapat ditujukka bahwa terdapat himpua bobot busur kosta. W f = {f x + f y + f(xy) xy E} W f = S + f xy xy E dega f E = f xy xy E Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

36 4 Karea S adalah himpua bilaga beruruta da f(e) beruruta, maka aka didapat ilai dari aggota W f yag kosta. Jika s = mi (S), maka k = b + e + s. Pada skripsi ii yag dibahas adalah pelabela total busur-ajaib b busurberuruta dega 0 < b < v. Karea 0 < b < v, maka label dari simpul-simpul pada PTBA b busur-beruruta aka terbagi dalam dua himpua bilaga beruruta. Utuk meujukka bahwa suatu kostruksi yag diberika merupaka PTBA b busur-beruruta dari graf terkait, maka secara garis besar pembuktia dilakuka dega alur sebagai berikut : pertama-tama didefiisika fugsi pelabela utuk simpul, tujukka bahwa label dari simpul aka terbagi mejadi dua himpua bilaga beruruta, tujukka bahwa bobot busur S = {f x + f y, xy E} terdiri dari e bilaga bulat positif beruruta, da dega megguaka Lemma 3. tujukka bahwa suatu graf memiliki PTBA b busurberuruta dega ilai k = b + e + s. Pada subbab 3. aka dibahas megeai hasil yag diperoleh utuk PTBA b busur-beruruta pada graf ligkara dega ilai adalah kelipata Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur-Beruruta pada Graf Ligkara Graf ligkara yag memiliki simpul dimaa 3 dapat diotasika dega C. Himpua simpul pada graf ligkara adalah V = {v i i } da himpua busur pada graf ligkara adalah E = {v i v i+ i } dega i + diambil dalam mod. Pada graf ligkara, jumlah simpul sama dega jumlah busurya atau v = e =. Agar graf ligkara dapat dilabel megguaka pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta maka harus memeuhi e = v. Oleh karea itu, maka perlu ditambahka sebuah simpul terisolasi pada graf ligkara. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

37 5 Pada Teorema 3. diberika hasil yag diperoleh utuk PTBA b busurberuruta pada graf ligkara dega bayakya simpul pada graf ligkara adalah kelipata 4 atau 0 mod 4. Teorema 3. Setiap graf ligkara C dega 0 mod 4 memiliki PTBA / busur-beruruta dega meambahka simpul terisolasi. Bukti. Nyataka simpul terisolasi dega x. Ambil a = 3. Label simpul-simpul dari (C ) sebagai berikut f v i = i + a + i a + i +, i gajil, i geap, i =,4,, i geap, i = +, + 4,, da label simpul terisolasi dega f x = a Selajutya aka ditujukka bahwa label dari simpul membetuk dua himpua bilaga seperti yag disyaratka pada Lemma 3.. Dega megguaka defiisi label simpul pada graf ligkara, yataka L = f v i i gajil =,,3,,. L = f v i i geap, i =,4,, = a +, a +, a + 3,, a +. 4 L 3 = f v i i geap, i = +,, = a + +, a + + 3,, a Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

38 6 Maka himpua label simpul dari C adalah f V = L L L 3 f(x) =,,3,.., a +, a +, a + 3,, a + {a + +, a , a + + 4,, a + + } a =,,3,, a +, a +,, a + 4, a + 4 +,, a + + =,, 3,, a +, a +,, a + +. Dari persamaa di atas, terlihat bahwa label-label simpul terbagi mejadi himpua bilaga beruruta. Dapat dilihat bahwa ilai kostata b =. Selajutya, ditujukka bahwa bobot busur S = f x + f y xy E membetuk bilaga bulat positif yag beruruta. Berdasarka pedefiisia label simpul pada graf ligkara, pembuktia aka dibagi mejadi 3 kasus busur yag diilustrasika pada Gambar 3... v i v i+ utuk i =,,,. v i v i+ utuk i = +, +,, 3. v v Kasus utuk busur v i v i+ dega i =,,,. Tapa kehilaga keumuma asumsika i gajil da i + geap. s = f v i + f v i+ = + i = a + i +. + a + + i Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

39 7 Dega mesubstitusika ilai i =,,,, didapat himpua bobot busur S = f v i + f v i+ i =,,, = a +, a + 3,, a + +. v v v v v v / v v / v /+ v /+ v /+ v /+ (a) (b) v v v v / v /+ v /+ (c) Gambar 3. (a) Kasus, (b) Kasus, da (c) Kasus 3. Kasus utuk busur v i v i+ dega i = +, +,, Ttapa kehilaga keumuma asumsika i gajil da i + geap. s = f v i + f(v i+ ) Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

40 8 = + i + a + + i + = a + i +. Dega mesubstitusika ilai i = +, +,,, didapat himpua bobot busur S = f v i + f v i+ i = +, +,, = a + + +, a + + +,, a + + = a + + 3, a + + 4,, a + +. Kasus 3 utuk busur v v s 3 = f v i + f v = + a + + = a + +. Maka himpua bobot busur S 3 adalah S 3 = f v i + f v = a + +. Selajutya, ditujukka bahwa bobot busur S = f x + f y xy E dari graf ligkara membetuk suatu himpua bilaga bulat positif beruruta. S = S S S 3 Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

41 9 = a +, a + 3, a + 4,, a + + {a + + 3, a + + 4, a + + 5, a + + } {a + + } = {a +, a + 3, a + 4,., a + +, a + +, a + + 3, a + + 4, a + + 5,, a + + } = a +, a + 3, a + 4,, a + +. Karea himpua bobot busur S = {f x + f y, xy E} merupaka himpua bilaga bulat positif beruruta {a +, a + 3,, a + + }, maka dega megguaka Lemma 3. terbukti bahwa graf ligkara C dega 0 mod 4 memiliki PTBA b busur-beruruta dega ilai b =. Meurut Lemma 3., ilai kostata ajaib adalah k = b + e + s, dimaa s = mi S = a + k = + + a + = 3 + a +. Dega mesubstitusika ilai a = 3, maka k = = 3 +. Pada Gambar 3. diberika cotoh PTBA busur-beruruta pada graf ligkara dega C 4 da C 8. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

42 (a) (b) Gambar 3. (a) PTBA busur-beruruta pada C 4 dega k = 4 da (b) PTBA 4 busur-beruruta pada C 8 dega k = 6. Berdasarka Teorema.3 didapatka pelabela dual dari PTBA b busurberuruta pada graf ligkara yag diberika pada Akibat 3.. Akibat 3. Setiap graf ligkara C dega 0 mod 4 memiliki PTBA + busur-beruruta dega meambahka simpul terisolasi. Pada Gambar 3.3 diberika cotoh PTBA graf ligkara C 4 da C 8. + busur-beruruta pada Pada subbab selajutya aka dibahas PTBA b busur-beruruta pada graf matahari dega bayakya simpul pada graf matahari adalah 0 mod 4. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

43 (a) (b) Gambar 3. 3 (a) PTBA 3 busur-beruruta pada C 4 dega k = 6 da (b) PTBA 5-busur-beruruta pada C 8 dega k = Pelabela Total Busur-Ajaib b Busur Beruruta pada Graf Matahari Graf matahari yag memiliki simpul dimaa 3 dapat diotasika dega C K. Himpua simpul pada graf matahari adalah V = v i i {u i i } da himpua busur pada graf matahari adalah E = v i v i+ i {u i v i i } dega i + mod da dimaa v i meyataka simpul dalam (simpul pada graf ligkara) da u i meyataka simpul luar pada simpul di graf ligkara ke-i. Nilai meyataka bayakya simpul pada graf ligkara yag diguaka utuk membagu graf matahari sehigga ilai disebut sebagai ukura dari graf matahari. Pada graf matahari, bayak simpul sama dega bayak busurya atau v = e =. Agar graf matahari dapat dilabel dega megguaka pelabela total busur-ajaib b busur-beruruta, maka harus memeuhi e = v. Oleh karea itu, maka perlu ditambahka sebuah simpul terisolasi pada graf matahari. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

44 3 Pada Teorema 3. diberika hasil yag diperoleh utuk PTBA b busurberuruta pada graf matahari dega bayakya simpul pada graf ligkara di graf matahari adalah kelipata 4 atau 0 mod 4. Teorema 3. Setiap graf matahari dega 0 mod 4 memiliki PTBA busur-beruruta dega meambahka simpul terisolasi. Bukti. Nyataka simpul terisolasi dega x. Ambil a = 3. Label simpul-simpul dari C K sebagai berikut f v i = i, i geap a + i a + i +, i gajil, i =,3,,, i gajil, i = +, + 3,, i, i gajil f u i = a + i, i geap, i =,4,, a + i +, i geap, i = +, + 4,,. da label simpul terisolasi dega f x = a + +. Selajutya aka ditujukka bahwa label dari simpul membetuk dua himpua bilaga beruruta seperti yag disyaratka pada Lemma 3.. Dega megguaka defiisi label simpul pada graf matahari, yataka L = f v i i geap =,4,6,,. L = f v i i gajil, i =,3,, Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

45 33 = a +, a + 3, a + 5,, a +. L 3 = f v i i gajil, i =,4,, = a + + +, a , a , a + + = a + +, a + + 4,, a +. L 4 = f u i i gajil =,3,5,,. L 5 = f u i i geap, i =,4,, = a +, a + 4, a + 6,, a +. L 6 = f u i i geap, i = +, + 4,, = {a + + +, a , a ,, a + + } = a + + 3, a + + 5,, a + +. Maka himpua simpul label simpul C K adalah f V = L L L 3 L 4 L 5 L 6 f(x) =,4,6,, a +, a + 3, a + 5,, a + a + +, a + + 4,,a+,3,5,, a+,a+4,a+6,,a+ a++3,a++5,, a++ a++} Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

46 34 =,,3,4,,, {a +, a +, a + 3, a + 4,, a +, a +, a + +, a + +, a + + 3, a + + 4, a +, a + + } =,, 3,, a +, a +, a + 3,, a + +. Dari persamaa di atas, terlihat bahwa label-label simpul terbagi mejadi himpua bilaga beruruta. Dapat dilihat bahwa ilai kostata b =. Selajutya, ditujukka bahwa bobot busur S = f x + f y xy E membetuk bilaga bulat positif yag beruruta. Berdasarka pedefiisia label simpul pada graf matahari, pembuktia aka dibagi mejadi 7 kasus busur yag diilustrasika pada Gambar v i v i+ utuk i =,,,. v i v i+ utuk i =, +,, 3. v v 4. u i v i utuk i gajil, i =,3,, 5. u i v i utuk i gajil, i = +, + 3,, 6. u i v i utuk i geap, i =,4,, 7. u i v i utuk i geap, i = +, + 4,, Kasus utuk busur v i v i+ dega i =,,,. Tapa kehilaga keumuma asumsika i gajil da i + geap. s = f v i + f(v i+ ) = a + i + i + = a + i +. Dega mesubstitusika ilai i =,,,, didapat himpua bobot busur Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

47 35 S = f v i + f v i+ i =,,, = a + 3, a + 5,, a +. u u u u u u v v v v v v u v v /- u /- u v v /- u /- u v v /- u /- v - v / v - v / v - v / u - u / u - (a) (b) (c) u / u - u / u u u u v v v v u v v /- u /- u v v /- u /- v - v / v - v / u - u / (d) u u u - u / (e) u u v v v v u v v /- u /- u v v /- u /- v - v / v - v / u - (f) u / u - (g) u / Gambar 3. 4 (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus 3, (d) Kasus 4, (e) Kasus 5, (f) Kasus 6, da (g) Kasus 7. Kasus utuk busur v i v i+ dega i =, +,,. Tapa kehilaga keumuma asumsika i gajil da i + geap. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0

48 36 s = f v i + f v i+ = a + i + + i + = a + i +. Dega mesubstitusika ilai i =, +,,, didapat himpua bobot busur S = f v i + f v i+ i =, +,, = {a + +, a + + +,, a + + } = a + +, a + + 4,, a +. Kasus 3 utuk busur v v s 3 = f v + f(v ) = + a +. Maka himpua bobot busurya adalah S 3 = f v + f v = a + +. Kasus 4 utuk busur u i v i dega i gajil, i =,3,, s 4 = f u i + f(v i ) = i + a + i = a + i. Pelabela total..., Arif Agug Riyadi, FMIPA UI, 0