NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN-g PADA GRAF POHON PISANG B n,k DAN PERSAHABATAN D 3

Transkripsi

1 NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN-g PADA GRAF POHON PISANG B n,k DAN PERSAHABATAN D 3 m oleh ENTYKA MAYHASTI ROSYIDA M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 009 i

2 SKRIPSI NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN-g m PADA GRAF POHON PISANG B n,k DAN PERSAHABATAN D 3 yang disiapkan dan disusun oleh ENTYKA MAYHASTI ROSYIDA M dibimbing oleh Pembimbing I Pembimbing II Dra. Mania Roswitha, M. Si. Dra. Yuliana Susanti, M. Si. NIP NIP telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Senin, tanggal 7 Juli 009 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Dra. Diari Indriati, M. Si. 1. NIP Drs. Tri Atmojo K, M. Sc., Ph. D.. NIP Irwan Susanto, DEA. 3. NIP Disahkan oleh Fakutas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Surakarta, 9 Juli 009 Ketua Jurusan Matematika, Prof. Drs. Sutarno, M. Sc. Ph. D. Drs. Kartiko, M.Si. NIP NIP ii

3 ABSTRAK Entyka Mayhasti Rosyida, 009. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN-g PADA GRAF POHON PISANG B n,k DAN PERSAHABATAN D 3 m. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Suatu pelabelan-g graf G yang mempunyai order V(G) dan ukuran E(G) merupakan suatu fungsi satu-satu, f : V(G) {0, 1,..., E(G) }, yang menurunkan pelabelan f : E(G) {1,,..., E(G) } terhadap edge-edge G yang didefinisikan sebagai selisih dari label-label verteks pada kedua ujung edge, f (e) = f(u) f(v), untuk setiap edge e = uv dari G. Setiap pelabelan-g graf G dengan order V(G) dan ukuran E(G), menentukan suatu nilai yang dinotasikan dengan val(f) dan didefinisikan dengan val(f)=σ eϵe(g) f (e). Nilai maksimum dan minimum dari pelabelan-g graf G didefinisikan sebagai val maks (G) = maks{val(f)} dan val min (G) = min{val(f)}, dengan f adalah pelabelan-g graf G. Suatu pelabelan-g dari graf G disebut pelabelan maks-g jika val(f) = val maks (G) dan pelabelan min-g jika val(f) = val min (G). Tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan nilai maksimum dan minimum pelabelan-g dari graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3. Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. nilai maksimum dan minimum pada graf pohon pisang B n,k, val ( B ) = 3k - k-, n= maks n, k dan ì æ k ö æ kö ç + 1 ç é n - nù ï ê ú ç ç è ø è ø 4 n + n + k + n, k= genap ï ê ú valmin ( Bn, k ) =í æ k 1ö ï + ç é n - nù n ï + kê ú+ n, k= ganjil, ç î è ø ê 4 ú. nilai maksimum dan minimum pada graf persahabatan D m 3, val m æ m+ 1ö 3 ç è ø val ( D ) = + m maks dan ê m+ 1ú ( ) = + ê. ú ë û m æ m+ 1ö min D3 ç è ø Kata Kunci : pelabelan-g, graf pohon pisang, graf persahabatan. iii

4 ABSTRACT Entyka Mayhasti Rosyida, 009. MAXIMUM AND MINIMUM VALUES OF g-labelings ON BANANA TREE B n,k AND FRIENDSHIP GRAPH D 3 m. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A g -labeling of a graph G of order V(G) and size E(G) is a one-to-one function, f : V(G) {0, 1,..., E(G) } that induces a labeling f : E(G) {1,,..., E(G) } of the edge of G defined by the difference of labels on the both of vertices of edge, f (e) = f(u) f(v), for each edge e = uv of G. Each g -labeling of graph G of order V(G) and size E(G), determined a value denoted by val(f) and defined by val(f)=σ eϵe(g) f (e). The maximum and minimum values of a g -labeling of a graph G are defined by val max (G) = max{val(f)} and val min (G) = min{val(f)}, where f is g -labeling of graph G. A g -labeling of graph G is g -max labeling if val(f) = val max (G) and g -min labeling if val(f) = val min (G). The aims of the research are to determine maximum and minimum values of banana tree B n,k and friendship graph D m 3. The method on this research is a literary study. According to the discussion, it can be concluded that 1. The maximum and the minimum values on banana tree graph B n,k, are val ( B ) = 3k - k-, n= max n, k and ì æ k ö æ kö ç + 1 ç é n - nù ï ê ú ç ç è ø è ø 4 n + n + k + n, k= even ï ê ú valmin ( Bn, k ) =í æ k 1ö ï + ç é n - nù n ï + kê ú+ n, k= odd, ç î è ø ê 4 ú m. The maximum and the minimum values on friendship graph D 3, are val 1 max ( m æ m+ ö 3 ) ç è ø val D = + m and ê m+ 1ú ( ) = + ê. ú ë û m æ m+ 1ö min D3 ç è ø Keywords : g -labeling, banana tree graph, friendship graph iv

5 MOTO Awal mula menuntut ilmu adalah diam, kedua mendengarkan, ketiga paham dan hafal, dan keempat mengamalkannya (Pepatah) v

6 PERSEMBAHAN Karya ini ku persembahkan untuk Mama dan Papa tercinta Someone, thanks for all Sahabat-sahabatku All my family vi

7 KATA PENGANTAR Assalaamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Sholawat dan salam semoga selalu tercurah kepada suri tauladan Rosulullah Muhammad SAW, serta keluarga, sahabat, dan orang-orang yang istiqomah di jalan-nya. Di dalam penulisan skripsi ini, penulis tidak lepas dari segala kesulitan dan keterbatasan yang akhirnya dapat penulis atasi berkat bantuan dari beberapa pihak. Oleh Karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Dra. Mania Roswitha, M. Si. dan Dra. Yuliana Susanti, M. Si., sebagai pembimbing I dan pembimbing II yang telah memberikan petunjuk dalam penyusunan skripsi ini,. Drs. Tri Atmojo K, M. Sc., Ph. D., sebagai Pembimbing Akademis yang telah memberikan bimbingan, masukan, dan dorongan semangat untuk terus maju, 3. seluruh staf dosen dan karyawan, khususnya di jurusan matematika dan umumnya di fakultas MIPA, 4. rekan-rekan Matematika angkatan 004 FMIPA UNS, terimakasih atas kekeluargaan kita, 5. semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun skripsi ini. Semoga Allah SWT membalas segala bantuan yang telah diberikan kepada penulis. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Surakarta, Juli 009 Penulis vii

8 DAFTAR ISI JUDUL... PENGESAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... MOTO... PERSEMBAHAN... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR NOTASI... i ii iii iv v vi vii viii x xi BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 BAB II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Landasan Teori Pengertian Dasar Graf Pelabelan Graf Kerangka Pemikiran BAB III METODE PENELITIAN 1 BAB IV PEMBAHASAN Pelabelan-g pada Graf Pohon Pisang B n, k viii

9 m 4.. Pelabelan-g pada Graf Persahabatan D BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran... 3 DAFTAR PUSTAKA 4 ix

10 DAFTAR GAMBAR Gambar. 1 Pelabelan pada Path P Gambar. Graf G... 7 Gambar. 3 Lintasan... 7 Gambar. 4 Graf lingkaran... 8 Gambar. 5 Graf Pohon... 8 Gambar. 6 Graf Star... 8 Gambar. 7 Graf Pohon Pisang... 9 Gambar. 8 Graf Persahabatan... 9 Gambar 4. 1 Graf Pohon Pisang Berlabel Gambar 4. Pelabelan Minimum pada Graf Pohon Pisang Gambar 4. 3 Pelabelan pada Graf Persahabatan... 0 x

11 DAFTAR NOTASI G : Suatu graf (V(G),E(G)) : Graf G dengan himpunan verteks V(G) dan himpunan edge E(G) V(G) : Himpunan verteks berhingga yang tidak kosong dari graf G E(G) : Himpunan edge dari pasangan berhingga yang tidak berurutan dari V(G) n(g) : Order / banyaknya verteks e(g) : Ukuran / banyaknya edge G(n,e) : Graf berorder n dan ukuran e e(v i,v j ) : edge e antara v i dan v j P n S n B n,k m D 3 C n K n F,n S m,n val(f n ) val min val maks : Path berorder n : Graf Star dengan n verteks : Graf Pohon Pisang dengan n-star dan setiap star ada k-verteks : Graf Persahabatan dengan m-cycle C 3 : Lingkaran dengan n verteks : Graf lengkap dengan n verteks : Graf firecracker dengan graf star berorder n : Graf double star berorder m dan n : Nilai pelabelan ke-n : Nilai minimum pelabelan : Nilai maksimum pelabelan xi

12 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang banyak berperan dalam pengembangan matematika terapan dan telah mengalami perkembangan sejak tahun 190-an. Penerapan teori graf sangat membantu menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata, banyaknya aplikasi dalam berbagai bidang antara lain ilmu komputer, riset operasi, komunikasi, dan ilmu pengetahuan alam. Dalam representasi dari graf, verteks menunjukkan nodes atau titik, sedangkan edge menunjukkan garis yang menghubungkan dua verteks. Menurut Wallis (001), pelabelan suatu graf yang telah diperkenalkan Rosa (1967) adalah pemetaan yang membawa elemen-elemen graf ke bilangan-bilangan bulat positif atau non-negatif. Saat ini banyak permasalahan yang berkaitan dengan teori graf yang telah dikaji, terutama pelabelan. Salah satunya teori graf memberikan solusi dalam masalah penentuan nilai maksimum dan minimum dalam pelabelan-g yang merupakan salah satu pokok bahasan mengenai pelabelan dalam teori graf. Chartrand et al. (005), mendefinisikan pelabelan-g dari graf G sebagai fungsi 1-1 f : V(G) {0, 1,,..., m} yang menurunkan sebuah pelabelan f : E(G) {1,,..., m} terhadap edge-edge pada G dan didefinisikan sebagai selisih dari labellabel verteks pada kedua ujung edge, f (e) = f(u) f(v), untuk setiap edge e = uv dari G. Setiap pelabelan-g f dari graf G berorder n dan ukuran m menetapkan nilai yang dinotasikan dengan val(f) dan didefinisikan dengan =å. val( f ) f '( e) eîe ( G) Karena f adalah fungsi 1-1 dari V(G) ke {0, 1,,..., m}, maka berlaku f '( e) ³ 1 untuk setiap edge e pada graf G dan val ( f ) ³ m. Untuk graf G berorder n dan ukuran m, nilai maksimum dari pelabelan-g graf G didefinisikan sebagai val maks (G) = maks{val(f)} dengan f adalah sebuah pelabelan-g dari G, dan nilai minimum dari pelabelan-g graf G didefinisikan xii

13 sebagai val min (G) = min{val(f)} dimana f adalah sebuah pelabelan-g dari G. Sebuah pelabelan-g g dari graf G adalah sebuah pelabelan maks-g jika val(g) = val maks (G) dan pelabelan-g h adalah sebuah pelabelan min-g jika val(h) = val min (G). Penelitian mengenai pelabelan-g telah dilakukan oleh beberapa peneliti pada kelas graf lain, seperti Chartrand et al. (005) pada lintasan, lingkaran, dan graf lengkap, Roswitha dan Indriati (007) untuk graf n-sun, dan Indriati dkk. (008) pada graf firecracker dan double star. Pada skripsi ini, penulis tertarik untuk mengembangkan penelitian tersebut dengan mencari pelabelan-g pada graf pohon pisang B n,k dan graf persahabatan D m 3 serta dicari pola pelabelan secara umum untuk menentukan val maks dan val min dari kelas graf yang belum pernah dibahas sebelumnya. Selain graf tersebut belum diteliti, graf tersebut juga mempunyai karakter unik. Misalnya graf pohon pisang yaitu graf yang menyerupai pohon pisang, dimana pohon pisang bisa mempunyai beberapa batang pohon dalam satu akar. Sedangkan graf persahabatan juga menyerupai keterkaitan dengan persahabatan dalam dunia nyata, untuk orang pertama sebagai pusat graf mempunyai beberapa sahabat dimana sahabatnya masih punya hubungan sahabat dengan salah satu sahabat dari orang pertama. 1.. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang diuraikan di atas, maka masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah 1. bagaimana menentukan pelabelan-g pada graf pohon pisang B n,k dan graf persahabatan D m 3,. bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum pelabelan-g dari sebuah graf pohon pisang B n,k dan graf persahabatan D m 3. xiii

14 1. 3. Batasan Masalah Permasalahan dalam penelitian ini dibatasi oleh beberapa hal 1. pelabelan pada graf pohon pisang B n,k untuk n³ dan k ³ 4,. pelabelan pada graf D m 3 untuk m³, Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan pola pelabelan umum dan membangun teorema dari pelabelan-g dengan mencari besarnya nilai maksimum dan minimum pelabelan-g dari graf pohon pisang B n,k dan graf persahabatan D m Manfaat Penelitian Hasil dari penelitian ini diharapkan akan bermanfaat bagi peneliti dan pembaca berkaitan dengan pelabelan-g pada graf pohon pisang B n,k dan graf persahabatan D m 3. Manfaat dari penelitian ini adalah 1. menambah wawasan tentang teori graf khususnya tentang pelabelan,. mengetahui pola umum nilai maksimum dan minimum pelabelan-g dari sebuah graf pohon pisang B n,k dan graf persahabatan D m 3. xiv

15 BAB II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Pelabelan menggunakan pelabelan-g telah dilakukan oleh beberapa peneliti, dalam penelitian tersebut telah ditemukan pola pelabelan umum pada beberapa kelas graf. Penelitian yang dilakukan Chartrand et al. (005), pada Gambar. 1 enam pelabelan-g f 1, f,..., f 6 dari path P 5, dimana label dari verteks ditunjukkan di atas setiap verteks dan label dari edge ditunjukkan di bawah setiap edge f 1 4 f f val(f 1 )=4 val(f )=11 val(f 3 )= f 4 f 5 4 f val(f 4 )=10 val(f 5 )=10 val(f 6 )=9 Gambar. 1. Beberapa pelabelan-g dari path P 5 Dari penelitian tersebut ditemukan val(f 1 ) = 4 untuk pelabelan-g f 1 dari P 5 dimana f 1 menunjukkan pelabelan min-g dari P 5 dan val(f ) = 11 untuk pelabelan-g f dari P 5 dan f menunjukkan pelabelan maks-g dari P 5. Dalam penelitian Chartrand et al. (005) tersebut, ditemukan juga pola pelabelan umum untuk lintasan (path), lingkaran (cycle), dan graf lengkap (complete graph). Nilai maksimum dan minimum pelabelan-g pada graf tersebut adalah 6.1. Lingkaran Didapat pola umum lingkaran dengan n 3 val maks ( C n ( n-1)( n+ 3) ) = xv

16 val ( Cn ) = ( n 1). min Graf lengkap val maks 6.3. Lintasan ìn n - n + n- ï 4 ( Kn ) =í ï ïî 4 3 ( ), ( n -1)(3n - 5n+ 6), æ n+ 1ö valmin ( Kn) = ç, n³ 3. è 3 ø Didapat pola umum lintasan dengan n val maks ( P ) = n ên - ê ë val ( Pn ) = n 1. min - ú ú û n n genap ganjil Selain penelitian yang dilakukan oleh Chartrand et al. (005), Roswitha dan Indriati (007) melakukan penelitian pada graf n-sun untuk sebarang n, besarnya nilai maksimum dan minimum dihitung dengan rumus 1 valmaks ( G) = (5n + n), n= genap val + min ( G) = ( n-1) n. Indriati dkk. (008) melakukan penelitian pada graf firecracker F,n dan graf double star dengan hasil a. graf firecracker F,n val val maks ænö ( F ç - è n ø min, n, n ) = + ( n 1) æ nö é n+ 1ù ( F ) = ç + ê, è ø ú xvi

17 b. graf double star æ m+ n+ ö valmaks ( Sm, n) = ç + ( m)( n); m n è ø val ìæê n+ 3úö æé n+ 3ùö ïç ê ú ç é mù ê mú ïç ë û + ê ú +, n ganjil + ê ú = ç ç ê ú ë û ïè ø è ø ( S ) =í ï æê n + 3 úö æé n + 3 ùö ï ç ê m ú ç é ù ë û + ê ú + + m, n= genap. ï ç ê ú ç ïè î ø è ø min m, n Landasan Teori Bagian landasan teori memuat beberapa teori yang digunakan dalam penelitian ini, antara lain pengertian dasar graf dan pelabelan graf Pengertian Dasar Graf Ada beberapa pengertian dasar graf yang sering dipakai dalam penulisan skripsi ini, ditunjukkan dengan definisi-definisi sebagai berikut Definisi. 1 (Chartrand dan Lesniak, 1996) Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan (V(G),E(G)) dengan V(G) adalah himpunan verteks berhingga yang tidak kosong dan E(G) adalah himpunan berhingga dari pasangan berhingga tidak berurutan (tidak harus beda) anggotaanggota dari V(G), anggota dari E(G) disebut edge. Banyaknya verteks dalam suatu graf G disebut order dari G, dinotasikan dengan n(g) dan banyaknya edge dalam suatu graf G disebut ukuran dari G, dinotasikan dengan e(g). Suatu graf yang dinotasikan dengan G(n,e) mempunyai order n dan ukuran e. xvii

18 Definisi. (Hartsfield dan Ringel, 1990) Graf tak berarah (undirected graph) adalah graf yang edge-nya tidak mempunyai arah. Edge e yang terhubung dengan pasangan tak berurutan verteks v i dan v j ditulis e(v i,v j ) atau e(v j,v i ). Gambar. menunjukkan sebuah graf tidak berarah dengan himpunan titik V(G) dan himpunan edge E(G), yaitu V(G) = {v 1, v, v 3, v 4 } dan E(G) = {e 1, e, e 3, e 4, e 5 } = {v 1 v, v 1 v 3, v 1 v 4, v v 3, v 3 v 4 }. Dengan demikian, order graf G adalah n(g) = 4 dan ukuran graf G adalah e(g) = 5. e 1 v 1 v e e3 e 4 v 4 v e 3 5 Gambar. Graf G Definisi. 3 (Gross and Yellen, 1999) Lintasan merupakan sebuah pohon dimana dua verteksnya berdegree 1, sedangkan n- verteks yang lain berdegree. Contoh lintasan ditunjukkan pada Gambar.3 v 1 v v 3 v 4 Gambar. 3 Litasan berorder 4 Definisi. 4 (Chartrand dan Oellermann, 1993) Lingkaran merupakan lintasan yang panjangnya tidak sama dengan nol dan verteks awal sama dengan verteks akhir. Contoh lingkaran ditunjukkan oleh Gambar.4 xviii

19 v 1 v 1 v v 3 v v 4 v 3 Gambar. 4 Lingkaran dengan n = 3 dan n = 4 Definisi. 5 (Munir, 006) Pohon (Tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung lingkaran. Contoh pohon berorder 6 ditunjukkan pada Gambar. 5 a c b d e Gambar. 5 Pohon f Definisi. 6 (Harary, 1994; Pemmaraju dan Skiena, 003; dan Tutte, 005) Graf star S n atau dikenal dengan n-star adalah pohon pada n verteks dengan satu verteks mempunyai degree n-1 dan n-1 verteks yang lain mempunyai degree 1. Contoh graf star S n ditunjukkan pada Gambar. 6 dengan n = 6 v 6 v 1 v v 5 v 3 v 4 Gambar. 6 Graf star S 6 Definisi. 7 (Chen et al., 1997) xix

20 Sebuah B(n,k) pohon pisang (Banana Tree) adalah sebuah graf yang diperoleh dengan menghubungkan satu daun dari setiap n-copies pada sebuah k graf star dengan satu verteks akar yang berbeda dari semua graf star. Contoh graf pohon pisang B n,k ditunjukkan pada Gambar. 7 v 13 v 1 v 3 v 1 v v 11 v1( k-1) v v 1 v( k- 1) v n3 v n v n v n1 vn( k- 1) y Gambar. 7 Graf pohon pisang B n,k Definisi. 8 (Gallian, 007) Graf kincir angin Belanda D m 3, sering disebut juga graf persahabatan (Friendship), yaitu graf yang didapat dari gabungan graf lingkaran C 3 sebanyak m dengan satu verteks digunakan barsama. Contoh graf persahabatan ditunjukkan Gambar.8 u1 u u u m-1 u u3 u4 Gambar. 8 Graf persahabatan D 3 m... Pelabelan Graf Menurut Wallis (001), pelabelan suatu graf adalah pemetaan yang membawa elemen-elemen graf ke bilangan-bilangan bulat positif atau non-negatif. Definisi. 9 (Chartrand et al., 005) xx

21 Untuk sebuah graf yang berorder n dan berukuran m, pelabelan-g graf G adalah sebuah fungsi 1-1, f : V(G) {0, 1,,..., m} yang menurunkan sebuah pelabelan f : E(G) {1,,..., m} terhadap edge-edge G yang didefinisikan sebagai selisih dari label pada verteks-verteks pada kedua ujung edge, f (e) = f(u) f(v), untuk setiap edge e = (u, v) dari G. Definisi. 10 (Chartrand et al., 005) Untuk sebuah graf yang berorder n dan berukuran m, ditentukan sebuah nilai yang dinotasikan dengan val(f), yang didefinisikan sebagai val(f)=σ eϵe(g) f (e). Dalam hal ini f adalah fungsi 1-1 dari V(G) {0, 1,,..., m}. Definisi. 11 (Chartrand et al., 005) Untuk sebuah graf G yang berorder n dan berukuran m ditentukan nilai maksimum dari sebuah pelabelan-g dari graf G yang didefinisikan sebagai val maks (G) = maks{val(f)} dimana f adalah pelabelan-g graf G. Sedangkan nilai minimum dari sebuah pelabelan-g dari graf G didefinisikan sebagai val min (G) = min{val(f)} dimana f adalah pelabelan-g graf G. Definisi. 1 (Chartrand et al., 005) Sebuah pelabelan-g dari graf G disebut pelabelan maks-g jika val(f) = val maks (G) dan sebuah pelabelan-g dari graf G disebut pelabelan min-g jika val(f) = val min (G) Kerangka Pemikiran Berdasarkan landasan teori di atas, dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk menentukan nilai maksimum dan minimum pelabelan-g pada graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3. Langkah pertama adalah memahami pengertian dasar tentang graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3 serta memahami cara menggunakan pelabelan-g. Langkah kedua adalah pemberian label pada setiap verteks dalam graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3 sesuai dengan definisi xxi

22 pelabelan-g graf G. Langkah berikutnya adalah menghitung f serta menentukan pola pelabelan umum nilai maksimum dan minimum pelabelan-g untuk graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3. Langkah terakhir adalah membuktikan pola pelabelan umum nilai maksimum dan minimum yang telah didapat. xxii

23 BAB III METODE PENELITIAN Penelitian ini menggunakan metode studi literatur pada graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3. Materi pendukung penelitian ini diambil dari referensi buku-buku yang sudah ada dan penulis mengembangkan dari materi tersebut. Definisi-definisi yang terdapat dalam buku-buku referensi dan jurnal-jurnal dikaji ulang, kemudian digunakan dalam pembahasan permasalahan yang telah dirumuskan. Oleh karena itu, untuk mencapai tujuan penulisan diambil langkah-langkah sebagai berikut : menyajikan konsep dan pengertian tentang pelabelan secara umum, khususnya pelabelan-g, menerapkan pelabelan-g pada graf pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3, menentukan pola pelabelan umum nilai maksimum dan minimum pelabelan-g, membuktikan pola pelabelan umum nilai maksimum dan minimum pelabelan-g yang telah didapatkan. xxiii

24 BAB IV PEMBAHASAN Dalam bab ini dibahas mengenai pelabelan menggunakan pelabelan-g pada pohon pisang B n,k dan persahabatan D m 3 sehingga diperoleh rumus umum nilai maksimum dan minimumnya, disertai dengan pembuktian setiap rumusan umum yang telah diperoleh tersebut Pelabelan-g pada Graf Pohon Pisang B n,k Graf pohon pisang B n,k merupakan graf yang dikontruksikan dari graf star dengan menghubungkan verteks y ke salah satu daun pada setiap graf star, dimana y bukan bagian dari graf star. Setiap verteks pada graf pohon pisang diberi label antara 0, 1,..., nk. Contoh pelabelan pada graf pohon pisang ditunjukkan pada Gambar (a) 0 (b) Gambar 4.1 Graf pohon pisang berlabel Gambar 4.1 (a) menunjukkan contoh pelabelan pada graf pohon pisang B,6 dengan nilai 100 dan Gambar 4.1 (b) merupakan contoh pelabelan pada graf pohon pisang B 3,5 dengan nilai 36. Teorema 4. 1 Untuk semua bilangan bulat k³ 4 dan n= val B = k - k-. maks (, k ) 3 xxiv

25 Bukti : Graf pohon pisang B,k memiliki buah graf star, misalkan pusat untuk graf star adalah v dan u, dimana u 1, u,..., u k-1 adalah verteks yang adjacent dengan u dan v 1, v,..., v k-1 adalah verteks yang adjacent dengan v, sedangkan akarnya adalah y. Jika f adalah pelabelan-g dari graf pohon pisang B,k, maka graf pohon pisang B,k mempunyai pelabelan maks-g jika pusat u diberi label terkecil, pusat v diberi label terbesar, sedangkan untuk akarnya y diberi label tengah. Didefinisikan pelabelan maks-g pada B,k sebagai berikut f ( u) = 0, f ( v) = k, (4.1) f ( u ) = k- i, i= 1,,..., k- 1, (4.) i f ( v ) = i, i= 1,,..., k- 1, (4.3) i f ( y) = k, (4.4) Dari keempat persamaan di atas, yaitu Persamaan (4.1), (4.), (4.3), dan (4.4) serta mengacu pada Definisi.9 dan Definisi.10 maka diperoleh val maks dari graf pohon pisang B n,k adalah val ( B ) = val( f ( uu )) + val( f ( yu )) + val( f ( v y)) + val( f ( vv )) maks, k i 1 1 i = ((k-1)- 0 + (k- ) ( k- ( k-1)) - 0) + ((k-1)- k) + ( k- 1) + ((k- 1) + (k- ) ( k- ( k-1)) = ((k- 1) + (k- ) ( k- ( k- 1)) + ( k- 1) + ( k-1) + ((k- 1) + (k- ) ( k- ( k-1))) = (k+ k k) - ( ( k- 1)) + ( k-1) = ( k-1)( k) - k + ( k-1) æ k -1ö ç è ø = k 4k k k k Teorema terbukti. = - - 3k k. Contoh pelabelan maksimum untuk graf pohon pisang ditunjukkan pada Gambar 4.1 (a). xxv

26 Teorema 4. Untuk semua bilangan bulat k³ 4 dan n³, val ì æ k ö æ kö ï 1 n n nç + é - ù + nç + k + n, k = genap ï ç 4 ç ê ú ï è ø è ø ( B ) =í ï æ k+ 1ö é n - nù ï nç + k + n, k = ganjil. ï ç 4 ê ú î è ø min n, k Bukti : (a) (b) Gambar 4. Pelabelan minimum pada graf pohon pisang Gambar 4. (a) menunjukkan pelabelan minimum graf pohon pisang B,4 untuk k genap dengan nilai 10, sedangkan Gambar 4. (b) untuk k ganjil, pelabelan minimum pada graf pohon pisang B,5 dengan nilai 14. Graf pohon pisang B n,k memiliki sebanyak n graf star, misalkan pusat pada graf star adalah v a, dengan a = 1,,..., n, dimana v a1, v a,..., v a(k-1) adalah verteks yang adjacent dengan v a, sedangkan akarnya adalah y. Jika f adalah pelabelan-g dari graf pohon pisang B n,k, maka graf pohon pisang B n,k mempunyai pelabelan min-g untuk k genap didefinisikan sebagai berikut ( a-1) k f ( va ) =, 1 a n, (4.5) xxvi

27 ê nú untuk a ê ë ú û ì k ( a - 1) k + i- 1, 1 i ï f ( vai ) = í ï k ( a - 1) k + i, + 1 i k - 1, ïî ê nú sedangkan a> ê ë ú û ì k ( a- 1) k + i, 1 i < ï f ( v ) ai = í ï k ( a- 1) k + i+ 1, i k - 1, ïî maka (4.6)... (4.7) n k / n k-1 val( f ) = å å f ( va ) - f ( vai ) + å å f ( va ) - f ( vai ) a= 1 i= 1 a= 1 i= ( k / ) + 1 k / ( k /)-1 å å = n i + n i i= 1 i= 1 = n ( k /) + n ( (( k /)-1)) æ k ö æ kö + 1 = nç + nç. ç ç è ø è ø (4.8) Sedangkan untuk k ganjil, pelabelannya adalah ì (a -1) k -1 ê nú, a ï ë ê û ú f ( va ) = í ï (a -1) k + 1 ê nú, < a n, ï ê ú î ë û ê nú Untuk a ê ë ú û ì k -1 ( a- 1) k + i- 1, 1 i ï f ( vai ) = í ï k + 1 ( a- 1) k + i, i k -1, ïî (4.9)... (4.10) xxvii

28 dan ê nú a> ê ë ú û f ( v ) ai ì k - 1 ( a - 1) k + i, 1 i ï = í ï k + 1 ( a - 1) k + i+ 1, i k - 1. ïî (4.11) Oleh karena itu, n / æ ( k-1) / k-1 ö val( f ) = å ç å f ( va ) - f ( vai ) + å f ( va ) - f ( v ) ai ç a= 1 è i= 1 i= ( k+ 1) / ø n æ ( k-1) / k-1 ö + å ç å f ( va ) - f ( vai ) + å f ( va ) - f ( vai ) ç a= n / è i= 1 i= ( k+ 1)/ ø ( k 1)/ ( k 1)/ ( k 1)/ ( k 1)/ n æ - - ö n æ - - ö = i + i + i + i ç å å ç å å è i= 1 i= 1 ø è i= 1 i= 1 ø æ ( k-1) / ö = n i ç å è i= 1 ø = n ( ( k-1) / ) æ k+ 1ö = nç. ç è ø (4.1) Jika verteks star yang adjacent dengan akar y adalah v c dengan c = 1,,..., n, maka untuk n genap didefinisikan sebagai berikut ì n ck - 1, 1 c ï f ( vc ) = í ï n ( c- 1) k + 1, + 1 c n, (4.13) ïî nk f ( y ) =, (4.14) xxviii

29 jadi n val( f ) = å f ( y) - f ( vc ) c= 1 n / n = å f ( y) - f ( vc ) + å f ( vc ) - f ( y) c= 1 c= ( n / ) + 1 n / n n æ ö n = f ( y) - å f ( vc ) + ç f ( vc ) - f ( y) c= 1 ç å c= ( n / ) + 1 è ø n / n n nk æ ö n nk = -å ck -1 + ç å ( c -1) k+ 1 - ç c= 1 è c= ( n / ) + 1 ø n / n / n n n k æ ö n nk = -å ck+ å1 + ç å ( c -1) k+ å 1-4 ç c= 1 c= 1 è c= ( n / ) + 1 c= ( n / ) + 1 ø n k æ nkö n ææ nk æ nk ö ö nö n k = -ç k+ k ç ç + ç ( n -1) k è ø èè è ø ø ø 4 n k næ nkö æ næ nk öö n k = - ç k+ + ç ç + ( n -1) k - + n 4 4è ø è 4è øø 4 n k nk nk n k = n n k nk = - + n 4 4 ( n - ) n k = + n. (4.15) 4 Sedangkan untuk n ganjil, didefinisikan sebagai berikut ì n - 1 c k - 1, 1 c ï f ( v c ) = í ï n + 1 ( c - 1) k + 1, c n, ïî (4.16) f ( n - 1) k ( y ) =, (4.17) xxix

30 kemudian diperoleh n ( n-1) / n val( f ) = å f ( y) - f ( vc ) = å f ( y) - f ( vc ) + å f ( vc ) - f ( y) c= 1 c= 1 c= ( n+ 1)/ ( n-1)/ æ n ö n- 1 n+ 1 = f ( y) - f ( v ) ç c f ( v ) - ( ) å + c f y å c= 1 ç c= ( n+ 1)/ è ø ( n-1) / æ n ö n-1 ( n- 1) k n+ 1 ( n-1) k = - ck -1 ç ( c -1) k 1 - å + + å c= 1 ç c= ( n+ 1) / è ø ( n-1) / ( n-1) / æ n n ö ( n-1) k = - ck+ 1 + ç n+ 1 ( n-1) k ( 4 å å c -1) k+ 1 - å å c= 1 c= 1 ç c= ( n+ 1)/ c= ( n+ 1) / è ø ( n-1) k æ ( n-1) kö n-1 = -ç k+ k è ø ææ ( n-1) k æ ( n-1) k ö ö n+ 1 ö ( n+ 1)( n-1) k + ç ç + ç ( n -1) k + - èè è ø ø ø 4 ( n-1) k n-1æ ( n-1) kö æ n+ 1 æ ( n-1) k öö ( n+ 1)( n-1) k = - ç k+ + ç ç + ( n -1) k - + n 4 4 è ø è 4 è øø 4 ( n-1) k ( n-1) k ( n -1) k = n ( n-1) k (n- - n + 1) k = - + n 8 8 ( - + 1) n n k = + n. (4.18) 4 Dari Persamaan (4.15) dan (4.18) untuk sebarang n diperoleh é n - nù val( f ) = k + n. ê 4 ú Untuk k genap, menggunakan (4.8) dan (4.19), diperoleh (4.19) min n, k æ k ö æ kö 1 ç + ç én -nù ê ú ç 4 ç ê è ø è ø ú val ( B ) = n + n + k + n, sedangkan untuk k ganjil, menggunakan (4.1) dan (4.19) diperoleh Jadi teorema terbukti. æ k+ 1ö é ç n - nù valmin ( Bn, k ) = n + kê ú+ n. ç 4 è ø ê ú xxx

31 m 4.. Pelabelan-g pada Graf Persahabatan D 3 Graf persahabatan merupakan graf yang dikonstruksikan dari lingkaran yang panjangnya sama. Pelabelan dilakukan dengan memperhatikan label tiap verteks harus berbeda, contoh pelabelannya pada Gambar (a) (b) (c) 3 7 Gambar 4.3 Pelabelan pada graf persahabatan Pelabelan graf persahabatan dibatasi pada lingkaran C 3 dengan m, pada Gambar 4.3 (a) merupakan pelabelan graf persahabatan D 4 3 dengan jumlah nilainya 4, sedangkan Gambar 4.3 (b) menunjukkan palabelan graf persahabatan D 3 3 dengan nilai 16, dan Gambar 4.3 (c) adalah pelabelan pada graf persahabatan D 5 3 yang bernilai 80. Teorema 4. 3 Untuk semua bilangan bulat m³ æ m+ 1ö val D ç m è ø m maks ( 3 ) = +. Bukti : Suatu graf persahabatan D m 3 mempunyai graf lingkaran sebanyak m dimana setiap graf lingkaran berorder 3. Misalkan pusat-nya adalah u dan verteks yang adjacent dengan u adalah u i, dimana i = 1,,..., m. Jika f adalah pelabelan-g dari graf persahabatan D m 3 maka graf persahabatan mempunyai pelabelan maks-g. Jika pusatnya u diberi label 0, didefinisikan pelabelan maks-g pada D m 3 adalah sebagai berikut xxxi

32 f ( u) = 0, (4.0) ( ) f u i ìl, l= 1,,..., m, i= ganjil =í în, n= m+ 1, m+,..., m, i= genap, (4.1) Mengacu pada Definisi.9 dan Definisi.10, maka dengan persamaan (4.0) dan (4.1) diperoleh val maks graf persahabatan D 3 m sebagai berikut val ( D ) = val( f ( uu )) + val( f ( u u )) m maks 3 i i= genap i= ganjil = ( m- 0) + ( m m m- 0) + ( m m m- m) = ( m) + (( m+ 1) + ( m+ ) m) + ( m+ m m) = ( m+ ( m+ 1) + ( m+ ) m) + m. m Terbukti. æ m+ 1ö = ç m +. è ø Contoh pelabelan maksimum pada graf persahabatan ditunjukkan pada Gambar 4.3 (c). Teorema 4. 4 Untuk semua bilangan bulat m³ val m æ m+ 1ö ê m+ 1ú ( D ) = ç +. ê ú è ø ë û min 3 Bukti : Suatu graf persahabatan D m 3 mempunyai graf lingkaran sebanyak m dan setiap graf lingkaran terdiri dari 3 verteks. Misalkan pusat-nya adalah u dan verteks yang adjacent dengan u adalah u i dengan i = 1,,..., m. Jika f adalah pelabelan-g dari graf persahabatan D m 3 maka graf persahabatan mempunyai pelabelan min-g. Jika pusatnya u diberi label tengah. Pelabelan min-g pada D m 3 dapat adalah sebagai berikut xxxii

33 f ( u) = m, (4.) ìl- 1, l= 1,,..., m f ( ui ) =í în, n= m+ 1, m+,..., m, (4.3) Pada persamaan (4.) dan (4.3) yang mengacu pada Definisi.9 dan Definisi.10, untuk m genap maka diperoleh val min graf persahabatan D m 3 adalah val ( D ) = val( f ( uu )) + val( f ( u u )) m min 3 i i i-1 = ( m- 0+ m m- ( m- 1)) + ( m+ 1- m+ m+ - m m- m) + ( ( m- ) - ( m- 3)) + ( m+ 1 - m) + ( m+ 3 - ( m+ ) + m+ 5 - ( m+ 4) m- (m-1)) = ( m+ ( m- 1) ) + ( m) + ( ) + ( ) = ( m) + ( ) æ m+ 1ö = ç + m. è ø (4.4) Sedangkan untuk m ganjil val ( D ) = val( f ( uu )) + val( f ( u u )) + val( f ( u u )) + val( f ( u u )) m min 3 i l- 1 l l= m n= m+ 1 n n-1 = ( m- 0+ m m- ( m- 1)) + ( m+ 1- m+ m+ - m m- m) + ( ( m- ) - ( m- 3)) + ( m+ 1 - ( m-1)) + (( m+ 3) - ( m+ ) m- (m-1)) = ( m+ ( m- 1) ) + ( m) + ( ) + ( ) = ( m) + ( ) æ m+ 1ö = ç + m+ 1. è ø (4.5) Dari dua pembuktian (4.4) dan (4.5) di atas didapat, val m æ m+ 1ö ê m+ 1ú ( D ) = ç +. ê ú è ø ë û min 3 Teorema terbukti. Contoh untuk pelabelan minimum graf persahabatan dapat dilihat pada Gambar 4.3 (a) untuk m ganjil, sedangkan 4.3 (b) untuk m genap. xxxiii

34 BAB V PENUTUP Kesimpulan Berdasarkan uraian pembahasan, maka dapat disimpulkan 1. nilai maksimum dan minimum pelabelan-g pada graf pohon pisang B n,k dengan k³ 4 adalah dan val min n, k val B k k n maks (, k ) = 3 - -, = ì æ k ö æ kö 1 ç + ç én -nù ïn + n + k ê ú+ n, k = genap 4 ï ç ç è ø è ø ê ú ( B ) =í ï æ k ö 1 n ç + é -nù n k ê ú ï + + n, k = ganjil. ç 4 ê è ø ú î. nilai maksimum dan minimum pelabelan-g pada graf persahabatan D 3 m adalah dan val m æ m+ 1ö valmaks ( D3 ) = ç + m è ø m æ m+ 1ö ê m+ 1ú ( D ) = ç +. ê ú è ø ë û min Saran Penelitian mengenai pelabelan-g masih dapat dikembangkan lagi. Oleh karena itu, bagi pembaca yang tertarik dengan topik ini dapat mengembangkan pelabelan-g untuk graf pohon pisang untuk nilai maksimum pada sebarang n, atau kelas-kelas graf yang lain. xxxiv

35 DAFTAR PUSTAKA Chartrand, G.; Erwin, D.; VanderJagt, D. W.; and Zhang, P. (005). g-labeling of Graphs. Western Michigan University Chartrand, G. and Lesniak, L. (1996). Graphs and Digraphs, 3 rd edition. Chapman and Hall, London. Chartrand, G. and Oellermann, O. R. (1993). Applied and Algorithmic Graphs Theory. McGraw-Hill International, London. Chen, W. C.; Lü, H. I.; and Yeh, Y. N. (1997). "Operations of Interlaced Trees and Graceful Trees" Southeast Asian Bull. Math. Gallian, J. A. (007). Dynamic Survey DS6: Graph Labeling. Electronic J. Combinatorics, DS6, Gross, J. T. and Yellen, J. (1999). Graphs Theory and Its Application. Boca Raton, FL : CRC Press. Harary, F. (1994). Graph Theory. Reading, MA: Addison-Wesley. Hartsfield, N and G. Ringel,. (1990). Pearls in graph Theory : A Comprehensive Introduction. Academic Press, Inc., San Diego. Indriati, D.; M. Roswitha,; and I. Slamet,. (008). Aplikasi g-labeling pada Graf Forest dan Firecracker sebagai Alternative Model Distribusi Minyak Goreng. Penelitian DIPA 008, FMIPA UNS. Munir, R. (006). Diktat Kuliah IF153 Matematika Diskrit. Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung. Pemmaraju, S. and S. Skiena,. (003). "Cycles, Stars, and Wheels." Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory in Mathematica. Cambridge, England: Cambridge University Press. Rosa, A. (1967). On certain valuations of the vertices of a graph, in Theory of Graphs. Gordon and Breach, New York. Roswitha, M. and D. Indriati,. (007). g-labeling pada Graf n-sun. Penelitian DIPA 007, FMIPA UNS. Tutte, W. T. (005). Graph Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press. xxxv

36 Wallis, W.D. (001). Magic Graphs. Birkhauser. Boston. xxxvi