MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN

Transkripsi

1 MATHuesa Jural Ilmiah Matematika Volume No Tahu 08 ISSN INDEKS HARARY GRAF HAMILTON, SEMI-HAMILTON DAN HAMILTON-KUAT Fatimatus Zahro (S Matematika, FMIPA, Uiversitas Negeri Surabaya) I Ketut Budayasa (Matematika, FMIPA, Uiversitas Negeri Surabaya) Abstrak Misalka G sebuah graf terhubug dega V(G) da u, v V(G) Jarak titik u da titik v di G, dilambagka dega d(u, v), merupaka suatu litasa terpedek yag meghubugka titik u da titik v di G Ideks Harary dari graf G, dilambagka dega H(G), didefiisika sebagai berikut: H(G) = Pada skripsi ii, ideks Harary u,v V(G) d(u,v) suatu graf dijadika syarat cukup bagi suatu graf agar graf tersebut merupaka graf Hamilto, graf Semi-Hamilto, maupu graf Hamilto-Kuat Dalam tulisa ii, ditujukka bahwa suatu graf merupaka graf Hamilto jika G memeuhi salah satu dari kodisi-kodisi berikut: ) G graf terhubug dega 3 titik, da H(G) + ; ) G graf bipartisi dega titik, da H(G) 9 3 ; 3) G graf terhubug-k dega titik, da H(G) ( ) (k+)( k )+ Ditujukka juga bahwa, jika G merupaka graf terhubug dega titik, da H(G) 3 + 5, maka G graf semi-hamilto Akhirya, dibuktika bahwa jika G merupaka sebuah graf terhubug dega titik, da H(G) +3, maka G graf Hamilto-kuat Kata Kuci: Ideks Harary, Graf Hamilto, Semi-Hamilto, da Hamilto-Kuat Abstract Let G be a coected graph with vertex set V(G) ad u, v V(G) The distace betwee vertices u ad v i G, deoted by d(u, v), is the shortest path coectig u ad v i G The Harary idex of graph G, deoted by H(G), is defied as follows: H(G) = I this thesis, the Harary idex of a graph to preset sufficiet coditios for a graph u,v V(G) d(u,v) to be Hamilto, semi-hamilto, ad strog-hamilto A graph G is Hamilto graph if it is satisfied oe of the followig coditios: ) G is a coected graph of order 3, ad H(G) + ; ) G is a coected bipartite graph of order, ad H(G) 9 3 ; 3) G is a k-coected graph of order, ad H(G) ( ) (k+)( k )+ It is also show that, if G is a coected graph of order, ad H(G) 3 + 5, the G is semi-hamilto Fially, proved that if G is a coected graph of order, ad H(G) +3, the G is strog-hamilto Keyword: Harary Idex, Hamilto, Semi-Hamilto, ad Strog-Hamilto Graph Da jika litasa setiap titik u, v di graf G merupaka litasa Hamilto maka G merupaka PENDAHULUAN Teori graf adalah suatu bidag matematika yag mearik perhatia, dikareaka modelya bayak diguaka pada aplikasi yag luas Salah satu cotohya adalah TSP(Travellig Salesma Problem) TSP ii memafaatka sikel Hamilto utuk meyelesaika problem Sebuah sikel disebut sikel Hamilto, jika sikel tersebut memuat semua titik pada suatu graf, da graf Hamilto merupaka graf yag memuat sikel Hamilto Jika suatu graf haya memuat litasa Hamilto maka graf tersebut merupaka graf Semi-Hamilto graf Hamilto-Kuat Ideks Harary dari suatu graf merupaka sebuah syarat cukup agar suatu graf merupaka graf Hamilto, Semi-Hamilto da Hamilto-Kuat Pada tahu 993 Ivaciuc et al (Ovidiu, Teodor ad Alexadru, 993) da Plavsic et al (Plav, Nikoli ad Triajsti, 993) memperkealka ideks Harary sebagai karakterisasi dari graf molekuler (Zhou, 008) Ideks Harary didefiisika sebagai jumlah dari satu dibagi jarak atara titik u da titik v pada graf

2 Volume No Tahu 08 (Rao Li, 05) Pada skripsi ii ditujukka bahwa utuk meetuka sebuah graf merupaka graf Hamilto, Semi-Hamilto da Hamilto-Kuat diperluka ideks Harary, dimaa ideks Harary memiliki syarat tertetu yag harus dipeuhi LANDASAN TEORI A Beberapa Kosep dalam Graf Graf Defisi Sebuah graf G merupaka pasaga terurut yag memuat himpua titik G da himpua sisi G Dimaa himpua titik G dilambagka dega V(G) yag berarti himpua berhigga (tidak kosog) dari obyek-obyek yag disebut titik, da himpua sisi G dilambagka dega E(G) yag merupaka himpua berhigga (boleh kosog) yag eleme-elemeya disebut sisi, sehigga setiap eleme pada E(G) adalah pasaga yag tak beruruta dari obyek-obyek di V(G) (Budayasa, 007) Graf Notrivial Defiisi Jika G sebuah graf da G merupaka graf trivial, maka graf tersebut haya memiliki satu titik Semua graf selai graf trivial maka graf tersebut merupaka graf otrivial (Body ad Murty, 97) 3 Graf Komplit Defiisi 3 Suatu graf G disebut graf komplit jika graf tersebut merupaka graf sederhaa yag semua titikya berhubuga lagsug (Budayasa, 007) Graf Bipartisi Defiisi Graf G adalah graf bipartisi, merupaka graf yag himpua titikya dapat dipartisi mejadi dua himpua bagia A da B, dimaa setiap sisi G meghubugka titik di A da titik di B (Budayasa, 007) B Derajat Titik pada Graf Pegertia Derajat Titik Defiisi 0 Suatu titik pada graf G dilambagka dega v Derajat titik v merupaka bayakya sisi yag berhubuga lagsug dega titik itu sediri da jika terdapat gelug maka dihitug dua kali Derajat suatu titik v dilambagka dega d G (v) atau d(v) (Budayasa, 007) Sikel Defiisi 9 Misalka C = (v 0, e, v, e, v,, e k, v k,, e k, v k ) adalah sebuah jejak tutup (sirkit) di G, maka C disebut sikel jika titik awal(titik pertama yag aka dilewati) da semua titik iteralya(titik tag berada diatara titik pertama da titik terakhir) berbeda (Budayasa, 007) 3 Teorema Jabat Taga Teorema Jika G sebuah graf, maka vεv(g) d(v) = E(G) (Budayasa, 007) C Diameter Sebuah Graf Jarak Dua Titik pada Graf Defiisi G merupaka graf dega u, v V(G) Litasa terpedek merupaka pajag miimum dari titik u ke titik v Jarak atara titik u da v di G dilambagka dega d G (u, v) atau d(u, v), merupaka litasa terpedek dari suatu titik u ke titik v di G (Hua ad Wag, 03) Eksetrisitas Sebuah Titik pada Graf Defiisi 3 Eksetrisitas dari sebuah u V(G) adalah maksimum dari jarak titik u ke semua titik yag lai pada graf G, dilambagka dega e G (u), didefiisika sebagai berikut: e G (u) = max {d G (u, v) v V(G)} (Hua ad Wag, 03) 3 Diameter Graf Defiisi Diameter dari graf G adalah maksimum eksetrisitas dari semua titik pada graf G, dilambagka dega D(G), didefiisika sebagai berikut : D(G) = max {e G (u) u V(G)} (Hua ad Wag, 03) D Graf Hamilto, Graf Semi-Hamilto da Graf Hamilto-Kuat Graf Hamilto Defiisi 5 Misalka G sebuah graf, G disebut graf Hamilto, jika G memiliki sikel yag melewati semua titik pada graf tepat satu kali, kecuali titik awal da titik akhir dilewati dua kali da sikel tersebut merupaka sikel Hamilto (Budayasa, 007) Graf Semi-Hamilto Defiisi Misalka G sebuah graf yag memuat litasa Hamilto, maka G merupaka graf semi-hamilto Dimaa litasa Hamilto merupaka Sebuah litasa yag melewati setiap titik pada suatu graf tepat satu kali (Budayasa, 007) 7

3 Volume No Tahu 08 3 Graf Hamilto-Kuat Defiisi 7 Misalka G sebuah graf, sebuah litasa yag memuat semua titik pada G disebut litasa Hamilto Jika litasa setiap titik u, v di graf G merupaka litasa Hamilto maka G merupaka Graf Hamilto-Kuat (Budayasa, 007) E Graf Joi Defiisi 8 Misal G da H adalah buah graf Joi graf G da H, dilambagka dega G H, adalah graf yag himpua titikya V(G) V(H) da himpua sisiya E(G) E(H) {uv u V(G)da v V(H)} (Hua ad Wag, 03) F Isomorfisme Graf Defiisi 9 Dua graf G da H dikataka isomorfisme jika terdapat fugsi bijektif (korespodesi satu-satu) f: V(G) V(H) sedemikia higga prapeta dua titik di domai sama dega peta dua titik di kodomai Isomorfisme pada graf dilambagka dega G H (Budayasa, 007) G Beberapa Lemma Pedukug Pembahasa Lemma Misal G adalah graf dega titik, 3 dega barisa derajat d d d Jika d k k < d k k, maka G graf Hamilto Lemma Misal G graf bipartisi dega titik, dega bipartisi X = {x, x,, x }, Y = {y, y,, y } dega, da d(x ) d(x ) d(x ), d(y ) d(y ) d(y ), jika d(x k ) < k < d(y k ) k +, maka G graf Hamilto Lemma 3 Misalka G graf terhubug- dega titik da m sisi dega Jika m ( ) + maka G Hamilto atau G = K ((K ) K ) Lemma Misal G merupaka graf terhubug-3 dega titik da m sisi dega 8 Jika m ( 3 ) + 9 maka G Hamilto atau G = K 3 ((3K ) K ) Lemma 5 Misal G graf terhubug-k dega titik da m sisi dega m ( ) ((k+)( k ) ) +, maka G graf Hamilto Lemma Misal G merupaka graf otrivial dega titik, dega barisa derajat (d, d,, d ) dimaa d d d Misal tidak ada bilaga bulat k < + sedemikia higga d k k da d k+ k Maka G graf Semi-Hamilto Lemma 7 Misal G adalah graf dega titik, 3 dega barisa derajat d d d Jika k, d k k d k k +, maka G graf Hamilto-Kuat Catata: Pembuktia Lemma-Lemma diatas dapat dilihat pada referesi-referesi berikut: Lemma da Lemma (Berge, 97); Lemma 3, Lemma da Lemma 5 (Byer et al, 007); Lemma (Body ad Murty, 97); Lemma 7 (Berge, 97) PEMBAHASAN Pada bab ii aka diawali kosep ideks Harary sebuah graf terhubug, otrivial da beberapa hasil elemeter terkait dega ideks Harary sebuah graf A Ideks Harary Sebuah Graf Defiisi 3 : Misal G graf terhubug da otrivial Ideks Harary dari G dilambagka dega H(G), didefiisika sebagai berikut H(G) = d(u, v) u,v V(G) Selajutya, ideks titik v di graf G, dilambagka dega D G(v) da didefiisika sebagai berikut D G(v) = d(u, v) u V(G) (Hua ad Wag, 03) Teorema 3: Jika G sebuah graf terhubug otrivial da v merupaka sebuah titik di G, maka H(G) = D G(v) v V(G) Misal G sebuah graf terhubug otrivial da v V(G) Berdasarka Defiisi 3, D G(v) = d(u, v) u V(G) Sehigga, D G(v) = d(u, v) v V(G) v V(G) u V(G) = d(u, v) u,v V(G) = H(G) 8

4 Volume No Tahu 08 Jadi H(G) = D G(v) v V(G) Dega demikia Teorema terbukti Berikut aka diberika beberapa hasil elemeter terkait dega ideks titik da ideks Harary sebuah graf Lemma 3: Misal G graf terhubug sederhaa dega titik dimaa V(G) = {v, v,, v } da d(v i ) = d i utuk setiap i, i Jika (d, d,, d ) dega d d d adalah barisa derajat dari graf G, maka D G(v i ) d i + ( d i) Lebih jauh, batas atas dicapai jika N G (v i ) = V(G) {v i } dega kata lai diameter G maksimum Misalka N G (v i ) adalah himpua titiktitik persekitara v i di G Karea G graf sederhaa, maka d(v i ) = N G (v i ) = d i Perhatika bahwa utuk setiap u N G (v i ), d(v i, u) = Sehigga D G(v i ) = u V(G) u N G (v i ) + u V(G) N G (v i ) {v i } u N G (v i ) + u V(G) N G (v i ) {v i } = = = N G (v i ) + u V(G) N G (v i ) {v i } = d i + u V(G) N G (v i ) {v i } () Karea G terhubug, maka utuk setiap u V(G) N G (v i ) {v i } d(v i, u) Sehigga, da u V(G) N G (v i ) {v i } Dari () da () diperoleh u V(G) N G (v i ) {v i } = V(G) N G(v i ) {v i } = ( d i ) () D G(v i ) d i + ( d i ) Selajutya, jika N G (v i ) = V(G) {v i } maka V(G) N G (v i ) {v i } = Sehigga D G(v i ) = d i Dega demikia Lemma 3 terbukti Hasil berikut meujukka hubuga atara ideks Harary, bayak titik, da bayak sisi suatu graf Da hal ii, bayak dipakai dalam pembuktia Teorema-teorema selajutya Teorema 3: Jika G merupaka graf terhubug dega titik da m sisi, maka ( ) H(G) + m Misalka V(G) = {v, v,, v i } Berdasarka Lemma 3, diperoleh D G(v i ) d(v i ) + ( d(v i)) Berdasarka Teorema 3, H(G) = D G(v i= i ) Dega demikia, diperoleh H(G) i= (d i + ( d(v i))) = d(v i= i) + ( d(v i) i= ) = d(v i= i) + ( ) d(v i= i) = ( ) + d(v i= i) Berdasarka Teorema Jabat Taga, Sehigga, d(v i ) = m i= ( ) + d(v i= i) = ( ) + (m) = ( ) + m Dega demikia dapat disimpulka bahwa H(G) ( ) m da Teorema 3 terbukti + B Syarat Cukup Bagi Sebuah Graf Merupaka Graf Hamilto Berikut aka ditujukka bahwa apakah ideks Harary suatu graf relatif lebih besar dari bayak titik, maka graf tersebut merupaka graf Hamilto Teorema 33: Misal G adalah graf terhubug dega titik da 3 Jika H(G) + maka G graf 9

5 Volume No Tahu 08 Hamilto, kecuali G = K (K K ), atau K (K c K ) Misalka G graf terhubug dega V(G) = {v, v, v 3,, v } da d(v i ) = d i, i, i, dimaa H(G) + Jika H(G) > +, maka G graf Hamilto Adaika G buka graf Hamilto dega barisa derajat (d, d,, d ) sedemikia higga d d d da 3 Berdasarka Lemma, ada sebuah bilaga bulat k < sedemikia higga d k k da d k k Tetuya k Berdasarka Lemma 3, utuk setiap i, i Sehigga D G(v i ) d i + ( d i ) D G(v i ) (d i + ( d i )) i= i= Dari Teorema 3, H(G) = D G(v i ) i= (d i + i= ( d i )) () = ( ) ( ) + d i= i + [k + ( k) ( k ) + k( )] () = ( ) + + ( )( ) (k )( 3k ) + (k )(k ) (k )( k ) (3) = + Sehigga, dapat disimpulka bahwa H(G) + +, padahal diketahui bahwa H(G) > Jika H(G) +, maka hal ii kotradiksi dega premis pada Teorema, da bukti legkap Jika H(G) = +, maka pada kesamaa (), (), da (3) berlaku relasi sama dega Selajutya karea k da > k, maka k = atau k = da = k + Kesamaa () aka dipeuhi jika d = = d k = k, d k+ = = d k = k, da d k+ = = d = Jika k =, maka d =, d = d 3 = = d =, da d = Berakibat G == K (K K ), dimaa G buka graf Hamilto Jika k = da = k +, maka = 5 sehigga d =, d =, d 3 =, d =, d 5 = Berakibat G = K (K c K ), dimaa G buka graf Hamilto Selajutya aka dibahas syarat ideks Harary dari graf bipartisi, agar graf bipartisi tersebut merupaka graf Hamilto Teorema 3: Misal G = (X, Y) adalah graf bipartisi terhubug dega bipartisi X = {x, x,, x } da Y = {y, y,, y } dega Jika H(G) 9 3 maka G graf Hamilto, kecuali G = P (sebuah litasa dega titik) Diketahui H(G) 9 3 dega G graf yag memeuhi premis pada Teorema Jika H(G) > 9 3, maka G graf Hamilto Adaika G buka graf Hamilto, maka berdasarka Lemma terdapat k < sedemikia higga d(x k ) k da d(y k ) k Selajutya aka dicari sebuah batas atas D G(x i ) Misalka d(x ) = s da N G (x ) = {z, z,, z s }, maka d G (x, z i ) =, i, i s da d G (x, x i ) utuk i, da d G (x i, y j ) 3, y j Y N G (x ) maka D G(x ) = = v V(G) {x } d(x,v) v N + G (x ) d(x,v) x + i X {x } d(x,x i ) y j Y N G (x ) d(x,y j ) N G (x ) + ( X ) + 3 ( Y N G (x ) ) = s + ( ) + ( s) 3 = d(x 3 ) + 5 Sehigga D G(x ) d(x 3 ) + 5 Dega cara yag sama diperoleh i, i D G(x i ) d(x 3 i) + 5 Begitu juga j, j, diperoleh D G(y j ) d(y 3 j) + 5 Akibatya, H(G) = v V(G) D G(v) [ 3 ( (d(x i) + d(y i )) i= ) ] () 0

6 Volume No Tahu 08 ( 3 (k + ( k) + ( k) +k) ) () ( 3 ( ) ) (3) = (9 3 ) Dari (), (), da (3) disimpulka bahwa H(G) 9 3, padahal diketahui bahwa H(G) > 9 3 Jika H(G) 9 3, maka hal ii kotradiksi dega premis pada Teorema, da bukti legkap Jika H(G) = 9 3, maka relasi sama dega dipeuhi pada (), (), da (3) Relasi sama dega pada (3) dipeuhi jika k= da -k=, da jika relasi sama dega pada () dipeuhi, maka d(x ) =, d(x ) =, d(y ) = da d(y ) = Akibatya, G = P da jelas G buka graf Hamilto Beberapa Teorema berikutya, selai ideks Harary suatu graf juga keterhubuga dari graf tersebut dijadika syarat utuk meetuka Hamiltoia suatu graf Teorema 35: Misalka G merupaka graf terhubug- dega titik, da Jika H(G) 3+7 maka G Hamilto atau G = K ((K ) K ) Misalka G graf yag memeuhi premis pada Teorema, dega H(G) 3+7 Jika H(G) > 3+7, maka G graf Hamilto Adaika G buka graf Hamilto da G buka G = K ((K ) K ) Berdasarka Lemma 3, maka m ( ) + 3 dimaa m = E(G) m ( ) + 3 = ( )( 3) + 3 = 5+ Berdasarka Teorema 3 diperoleh: ( ) + m ( ) + 5+ ( ) = 3+ Jika H(G) 3+, maka hal ii kotradiksi dega premis pada Teorema, da bukti legkap Jika H(G) = 3+7, maka diperoleh G = K ((K ) K ) da G buka graf Hamilto Teorema 3: Misalka G adalah graf terhubug-3 dega titik, da 8 Jika H(G) +5 maka G Hamilto atau G = K 3 ((3K ) K ) Misalka G graf yag memeuhi premis pada Teorema, dega H(G) +5 Jika H(G) > +5, maka G graf Hamilto Adaika G buka graf Hamilto da G buka G = K 3 ((3K ) K ) Berdasarka Lemma, maka m ( 3 ) + 8 dimaa m = E(G) m ( 3 ) + 8 = ( 3)( ) + 8 = 7+8 Berdasarka Teorema 3 diperoleh: ( ) + m ( ) ( ) = + Jika H(G) +, maka hal ii kotradiksi dega premis pada Teorema, da bukti legkap Jika H(G) = +5, maka diperoleh G = K 3 ((3K ) K ) da G buka graf Hamilto Teorema 37: Misalka G graf terhubug-k dega titik Jika H(G) ( ) (k+)( k )+ maka G graf Hamilto Misalka G graf yag memeuhi premis pada Teorema, dega H(G) ( ) (k+)( k )+ Jika H(G) > ( ) (k+)( k )+, maka G graf Hamilto Adaika G tidak Hamilto Berdasarka Lemma 5, maka m ( ) (k+)( k ) dimaa m = E(G) m ( ) (k+)( k )

7 Volume No Tahu 08 = ()( ) (k+)( k ) = +k k+k + Berdasarka Teorema 3 diperoleh: ( ) + m ( ) + ( +k k+k + ) = ( ) (k+)( k ) Jika H(G) ( ) (k+)( k ), maka hal ii kotradiksi dega premis pada Teorema, da bukti legkap C Syarat Cukup Bagi Sebuah Graf Merupaka Graf Semi-Hamilto Berikut aka dibahas syarat ideks Harary dari suatu graf terhubug otrivial dega titik da, agar graf tersebut merupaka graf semi- Hamilto Teorema 38: Misal G adalah graf terhubug yag memiliki titik da Jika H(G) maka G graf semi-hamilto, kecuali G = K (K 3 K ), atau K (3K K ), atau K K Misalka G graf terhubug yag memeuhi premis pada Teorema, dega H(G) Jika H(G) > 3 + 5, maka G graf semi- Hamilto Adaika G buka graf semi-hamilto dega barisa derajat (d, d,, d ) sedemikia higga d d d da Berdasarka Lemma, ada sebuah bilaga bulat k < + sedemikia higga d k k da d k+ k Karea G terhubug da d k k, maka k Berdasarka Lemma 3, utuk setiap i, i D G(v i ) d i + ( d i ) Sehigga D G(v i ) (d i + ( d i )) i= i= Dari Teorema 3, H(G) = D G(v i ) i= (d i + i= ( d i )) () = ( ) ( ) + d i= i + [k(k ) +( k + )( k ) +( )(k )] () + + ( )( 3) = ( ) (k )( 3k 5) ( ) + + ( )( 3) (3) = Sehigga, dapat disimpulka bahwa H(G) 3 + 5, padahal diketahui bahwa H(G) > Jika H(G) 3 + 5, maka hal ii kotradiksi dega premis pada Teorema, da bukti legkap Jika H(G) = 3 + 5, maka relasi sama dega dipeuhi pada kesamaa (), (), da (3) Selajutya, Berdasarka Lemma 3, kesamaa () dipeuhi jika diameter graf G (*) Kesamaa () aka dipeuhi jika d = d = = d k = k, d k+ = d k+ = = d k+ = k, da d k+ = d k+3 = = d = (**) Kesamaa (3) dipeuhi jika (k-)(-3k-5)=0 ekivale dega k= atau =3k+5 Jika k= maka G graf terhubug dega d = d =, d 3 = d = = d = 3, da d = Berakibat graf G = K (K 3 K ) Jika =3k+5, maka 0, karea k < (+) maka =7, k=3 atau =0, k=5 Dari (**), dapat diketahui bahwa G adalah graf terhubug yag berorder 7 dega d = d = d 3 =, d = d 5 = 3, d = d 7 = Atau G adalah graf terhubug yag berorder 0 dega d = = d =, d 7 = = d 0 = 9 Berakibat graf G = K (3K K ) atau G = K K D Syarat Cukup Bagi Sebuah Graf Merupaka Graf Hamilto-Kuat Teorema berikut merupaka syarat ideks Harary suatu graf terhubug dega titik, agar graf tersebut merupaka graf Hamilto-kuat Teorema 39: Misalka G merupaka graf terhubug dega titik Jika H(G) +3 maka G graf Hamiltokuat, kecuali G = K (K K 3 ) atau K 3 (3K ) Misalka G graf terhubug yag memeuhi premis pada Teorema, dega H(G) +3

8 Volume No Tahu 08 Jika H(G) > +3, maka G graf Hamiltokuat Adaika G buka graf Hamilto-kuat dega barisa derajat (d, d,, d ) sedemikia higga d d d da 3 Berdasarka Lemma 7, ada sebuah bilaga bulat k dega k < sedemikia higga d k k da d k k Berdasarka Lemma 3, utuk setiap i, i D G(v i ) d i + ( d i ) Sehigga D G(v i ) (d i + ( d i )) i= i= Dari Teorema 3, H(G) = D G(v i= i ) (d i + i= ( d i )) () = ( ) + d i= i ( ) + [k(k ) + ( k + )( k) + k( )] () = ( ) + + ( )( ) (k )( 3k 3) +3 (k )(k 3) (k )( k) (3) = +3 Sehigga, dapat disimpulka bahwa H(G) +3 +3, padahal diketahui bahwa H(G) > Jika H(G) +3, maka hal ii kotradiksi dega premia pada Teorema, da bukti legkap Jika H(G) = +3, maka relasi sama dega berlaku pada kesamaa (), (), da (3) Selajutya karea k, da k, maka k= atau (k=3 da =k) Kesamaa () aka dipeuhi jika d = = d k = k, d k = = d k = k, da d k+ = = d = Jika k=, maka d =, d = d 3 = = d =, da d = d = Berakibat G = K (K K 3 ), dimaa G buka graf Hamilto-kuat Jika k=3 da =k, maka = sehigga d = 3, d = 3, d 3 = 3, d = 5, d 5 = 5 da d = 5 Berakibat G = K 3 (3K ), dimaa G buka graf Hamilto-kuat PENUTUP Simpula Berdasarka pembahasa pada skripsi yag berjudul ideks Harary graf Hamilto, semi-hamilto da Hamilto-kuat dapat disimpulka hal-hal berikut: Sebuah graf dikataka sebagai graf Hamilto jika memeuhi syarat ideks Harary sebagai berikut: Jika H(G) + da G graf terhubug dega titik da 3 Maka G graf Hamilto, kecuali G = K (K K ), atau K (K c K ) Jika H(G) 9 3 da G = (X, Y) adalah graf bipartisi terhubug dega bipartisi X = {x, x,, x } da Y = {y, y,, y } dega Maka G graf Hamilto, kecuali G = P (sebuah litasa dega titik) Jika H(G) 3+7 da G graf terhubug- dega titik, da Maka G Hamilto atau G = K ((K ) K ) Jika H(G) +5 da G graf terhubug-3 dega titik, da 8 Maka G Hamilto atau G = K 3 ((3K ) K ) Jika H(G) ( ) (k+)( k )+ da G graf terhubug-k dega titik Maka G graf Hamilto Sebuah graf dikataka sebagai graf semi-hamilto jika memeuhi syarat ideks Harary sebagai berikut: Jika H(G) da G graf terhubug dega titik da Maka G graf semi-hamilto, kecuali G K (K 3 K ), atau K (3K K ), atau K K 3 Sebuah graf dikataka sebagai graf Hamilto-kuat jika memeuhi syarat ideks Harary sebagai berikut: Jika H(G) +3 da G merupaka graf terhubug dega titik Maka G graf hamilto-kuat, kecuali G = K (K K 3 ) atau K 3 (3K ) Sara Peulis meyaraka utuk peelitia selajutya dapat membahas syarat perlu da syarat cukup bagi sebuah graf, agar graf tersebut merupaka graf Hamilto, graf semi-hamilto, maupu graf Hamilto-kuat megguaka ideks Harary dari suatu graf DAFTAR PUSTAKA Budayasa, I Ketut 007 Teori Graf da Aplikasiya Surabaya: Uipress Byer, Ow D, ad Deirdre L Smeltzer 007 Edge Bouds i Nohamiltoia K-Coected Grafs 307: C Berge, Graphs ad Hypergraphs, America Elseveir Publishig Compay, 97 3

9 Volume No Tahu 08 Hua, Hogbo, ad Maoli Wag 03 O Harary Idex ad Traceable Grafs Harary Idex Coditio for Grafs to Be Traceable 70: Ifo, Article 07 Distace-Based Topological Idices ad Double Graf 8 (): JA Body, USR Murty 97 Graph Theory With Aplicatios Macmilla, Lodo ad Elseveir, New York Li, Rao 05 Harary Idex ad Some Hamiltoia Properties of Grafs AKCE Iteratioal Joural of Grafs ad Combiatorics () Elseveir BV:-9 Liu, Ruifag, Xue Du, ad Huicai Jia 07 Some Observatios o Harary Idex ad Traceable Grafs* 77 (53500): Plav, Deja, Soja Nikoli, ad Neaj Triajsti 993 O The Harary Idex for the Characterizatio of Chemical Grafs* :35-3 Peterse, Graf, D A N Beberapa, Sifat-sifat Yag Berkaita, Peterse Graf, ad Some related Properties 0 No title Tekik, Sekolah 0 Peerapa Sirkuit Hamilto Dalam Perecaaa Litasa trem Di ITB Zhou, Bo 008 O Harary Idex, 0 September 05

10 5 Volume No Tahu 08