DIMENSI PARTISI DAN DIMENSI PARTISI BINTANG GRAF HASIL OPERASI COMB DUA GRAF TERHUBUNG

Transkripsi

1 TESIS - SM DIMENSI PARTISI DAN DIMENSI PARTISI BINTANG GRAF HASIL OPERASI COMB DUA GRAF TERHUBUNG RIDHO ALFARISI NRP Dose Pebibig: Dr. Daraji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 017

2 ii

3 THESIS - SM THE PARTITION DIMENSION AND STAR PARTITION DIMENSION OF COMB PRODUCT OF TWO CONNECTED GRAPHS RIDHO ALFARISI NRP Supervisor: Dr. Daraji, S.Si., M.T. MASTER DEGREE MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 017

4 iv

5 v

6 vi

7 DIMENSI PARTISI DAN DIMENSI PARTISI BINTANG GRAF HASIL OPERASI COMB DUA GRAF TERHUBUNG Naa Mahasiswa : Ridho Alfarisi NRP : Dose Pebibig : Dr. Daraji, S.Si., M.T. ABSTRAK Misalka G adalah sebuah graf otrivial da terhubug dega hipua sipul V (G), hipua sisi E(G) da S V (G) dega sipul v V (G), jarak atara v da S adalah d(v, S) =i{d(v, x) x S}. Utuk sebuah partisi Π = {S 1, S, S,..., S k } dari V (G), represetasi sipul v terhadap Π didefiisika oleh pasaga r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S ),..., d(v, S k )). Partisi Π disebut partisi pebeda dari G jika seua represetasi dari setiap sipul v V (G) berdeda. Kardialitas iiu dari partisi pebeda disebut diesi partisi dari G da diotasika sebagai pd(g). Raga lai dari kosep diesi partisi yaitu diesi partisi bitag. Misalka Π = {S 1, S, S,..., S k } disebut partisi pebeda bitag jika setiap kelas-kelas partisi S i, 1 i k egiduksi sebuah graf bitag di G da seua represetasi dari setiap sipul v V (G) berdeda. Kardialitas iiu dari partisi pebeda bitag disebut diesi partisi bitag dari G da diotasika sebagai spd(g). Dala Peelitia ii, kai aka eetuka diesi partisi da diesi partisi bitag dari graf hasil operasi produk cob. Operasi cob diotasika. Utuk graf G da H, graf hasil operasi cob G H didefiisika sebagai graf yag diperoleh dega egabil satu duplikat G da G duplikat dari H da elekatka sipul u dari asig asig graf H duplikat ke-i pada sipul ke-i dari graf G. Misalka G da H adalah graf terhubug eliputi litasa, ligkara, da graf legkap. Kata kuci: Partisi pebeda, partisi pebeda bitag, diesi partisi, diesi partisi bitag, operasi cob vii

8 viii

9 THE PARTITION DIMENSION AND STAR PARTITION DIMENSION OF COMB PRODUCT OF TWO CONNECTED GRAPHS Nae : Ridho Alfarisi NRP : Supervisor : Dr. Daraji, S.Si., M.T. ABSTRACT Let G be a otrivial ad coected graphs with vertex set V (G), edge set E(G) ad S V (G) with vertex v V (G). The distace betwee v ad S is d(v, S) =i{d(v, x)} for x S. For a ordered partitio Π = {S 1, S, S,..., S k } of vertex set V (G), the represetatio of v with respect to Π is defied by the ordered r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S ),..., d(v, S k )). The iiu cardiality of resolvig partitio is partitio diesio of G, deoted by pd(g). A variat of partitio diesio cocept called star partitio diesio of a graph. Let Π = {S 1, S, S,..., S k } be a star resolvig partitio for G if each partitio class S i, 1 i k, iduces a star i G ad all represetatio of vertices v V (G) are uique. The iiu cardiality of resolvig partitio is a star partitio diesio of G, deoted by spd(g). I this research, we deterie the partitio diesio ad star partitio diesio of cob product of graphs. For graphs G ad H, the cob product G H is defied as the graph obtaied by takig oe copy of G ad V (G) copies of H ad graftig the i-th copy of H at the vertex o to the i-th vertex of G. I this work G ad H are restricted to path, cycle ad coplete graph. Keywords: Resolvig partitio, star resolvig partitio, partitio diesio, star partitio diesio, cob product ix

10 x

11 KATA PENGANTAR Assalau alaiku Wr. Wb. Puji syukur ke hadirat Allah Swt atas segala rahat da karuia-nya sehigga peulis dapat eyelesaika Tesis yag berjudul Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug dega baik. Tesis ii disusu sebagai salah satu syarat kelulusa Progra Studi Strata (S-) Progra Magister Jurusa Mateatika Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala (FMIPA) Istitut Tekologi Sepuluh Nopeber (ITS) Surabaya. Pada kesepata ii peulis egucapka teria kasih atas batua da bibiga dala peyusua tesis ii, terutaa kepada yag terhorat: 1. Bapak Dr. Daraji, S.Si.,M.T. selaku dose pebibig atas segala batua, bibiga, araha da otivasiya dala egerjaka Tesis sehigga dapat terselesaika dega baik.. Bapak Prof. Drs. Dafik, M.Sc., Ph.D yag seatiasa eberika waktuya utuk berbagi ilu dala duia graf.. Bapak Dr. Chairul Iro, M.I.Kop., Dr. Mahud Yuus, M.Si. da Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si. selaku dose peguji atas seua sara yag telah diberika dei perbaika Tesis ii. 4. Bapak Dr. Subioo, M.S. selaku dose wali yag telah ebibig da otivasi selaa eepuh pedidika agister. 5. Ketua Progra Studi Pascasarjaa Mateatika ITS yag telah eberi bibiga selaa eepuh pedidika agister. 6. Ketua Jurusa Mateatika FMIPA ITS yag telah eberi bibiga selaa eepuh pedidika agister. 7. Bapak da Ibu dose Jurusa Mateatika FMIPA ITS yag telah edidik peulis baik di dala aupu di luar perkuliaha serta Bapak da Ibu staf Tata Usaha Jurusa Mateatika ITS. xi

12 8. Kedua orag tua Bapak Sugeg Hariyato, Ibu Supii da keluarga tercita, Yedra Purwato, S.T., Hari Dayato teria kasih atas perhatia doa da segala dukugaya selaa peulis eepuh studi di ITS. 9. Keluarga besar Pascasarjaa Mateatika ITS 015, Mbk Ida, Mbk Trisa, Mbk Ea, Mbk Echa da tea pascasarjaa agkata 015 gasal yag telah eeai, ebatu, edoaka, da eberika seagat kepada peulis, serta seua pihak yag tidak dapat disebutka satu per satu. Peulis eyadari bahwa dala Tesis ii asih terdapat kekuraga. Oleh sebab itu, kritik da sara yag bersifat ebagu sagat peulis harapka utuk kesepuraa Tesis ii. Akhirya, peulis berharap seoga Tesis ii dapat berafaat bagi seua pihak da eberika kotribusi terhadap berkebagya pegetahua baru khususya dala bidag teori graf. Surabaya, Jauari 017 Peulis xii

13 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL TITLE PAGE LEMBAR PERSETUJUAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL DAFTAR SIMBOL i iii v vii ix xi xiii xvii xxi xxiii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakag Peruusa Masalah Batasa Masalah Tujua Peelitia Mafaat Peelitia BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 7.1 Teriologi Dasar Graf Defiisi Graf Graf Isoorfik Jeis-Jeis Graf Graf Legkap Graf Litasa Graf Ligkara Graf Bitag Operasi Graf xiii

14 ..1 Operasi Koroa Operasi Cob Kosep Diesi dala Graf Diesi Metrik Diesi Partisi Diesi Partisi Bitag Hasil-Hasil Peelitia Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag Sifat Pebagia pada Bilaga Bulat da Bilaga Modulo BAB III METODE PENELITIAN 1 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Diesi Partisi Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug Diesi Partisi Graf Ligkara Cob Graf Litasa Diesi Partisi Graf Litasa Cob Graf Ligkara Diesi Partisi Graf Legkap Cob Graf Litasa Diesi Partisi Graf Litasa Cob Graf Legkap Diesi Partisi Graf Legkap Cob Graf Legkap Diesi Partisi Graf Ligkara Cob Graf Legkap Diesi Partisi Graf Litasa Cob Graf Litasa Diesi Partisi Graf Legkap Cob Graf Ligkara Diesi Partisi Graf Ligkara Cob Graf Ligkara Diesi Partisi Bitag Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug Diesi Partisi Bitag Graf Ligkara Cob Graf Litasa Diesi Partisi Bitag Graf Litasa Cob Graf Ligkara Diesi Partisi Bitag Graf Legkap Cob Graf Litasa Diesi Partisi Bitag Graf Litasa Cob Graf Legkap Diesi Partisi Bitag Graf Legkap Cob Graf Legkap Diesi Partisi Bitag Graf Ligkara Cob Graf Legkap Diesi Partisi Bitag Graf Litasa Cob Graf Litasa164 xiv

15 4..8 Diesi Partisi Bitag Graf Legkap Cob Graf Ligkara Diesi Partisi Bitag Graf Ligkara Cob Graf Ligkara Hubuga atara Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag pada Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug BAB V SIMPULAN DAN SARAN Sipula Sara BIOGRAFI PENULIS 7 xv

16 xvi

17 DAFTAR GAMBAR Gabar 1.1 (a) Jebata Koigsberg (b) Graf yag Merepresetasika Jebata Koigsberg Gabar.1 (a) Graf Roda W 6, (b) Graf dega Isolated Vertex, (c) Graf Reguler Gabar. Isoorfisa dala Graf Gabar. (a) Graf Legkap, (b) Graf Litasa, (c) Graf Ligkara, da (d) Graf Bitag Gabar.4 (a) Graf Litasa P 4, (b) Graf Legkap K 4, (c) Graf Hasil Operasi Koroa P 4 K 4, (d) Graf Hasil Operasi Koroa K 4 P Gabar.5 (a) Graf Litasa P 4, (b) Graf Legkap K 5, (c) Graf Hasil Operasi Cob P 4 K 5, (d) Graf Hasil Operasi Cob K 5 P 4 11 Gabar.6 Kostruksi hipua pebeda dari graf G: (a) W 1 = {w 1, w 6, w 9 }, (b) W = {w 1, w 9 } da (c) W = {w 1 } Gabar.7 Kostruksi partisi pebeda dari graf G: (a) Π 1 = {S 1, S, S, S 4 }, (b) Π = {S 1, S, S } da (c) Π = {S 1, S } Gabar.8 (a) Graf Litasa P 10, (b) Kostruksi partisi pebeda bitag dari graf P Gabar 4.1 (a) Graf Hasil Operasi C δ P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 8 δ P Gabar 4. (a) Graf Hasil Operasi C P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 8 P Gabar 4. Graf Hasil Operasi P C Gabar 4.4 (a) Partisi Pebeda P C 6 (b) Partisi Pebeda P C Gabar 4.5 Partisi Pebeda P 5 C 6 Utuk geap da Gabar 4.6 (a) Graf Hasil Operasi K δ P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 δ P xvii

18 Gabar 4.7 (a) Graf Hasil Operasi K P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 P Gabar 4.8 Graf Hasil Operasi P K Gabar 4.9 Partisi Pebeda Graf P 6 K Gabar 4.10 (a) Graf Hasil Operasi K K, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 K Gabar 4.11 (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 5 K 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 K Gabar 4.1 (a) Graf Hasil Operasi C K, (b) Kostruksi Partisi Pebeda C 5 K Gabar 4.1 (a) Graf Hasil Operasi P δ P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda P 6 δ P Gabar 4.14 (a) Graf Hasil Operasi P P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda P 6 P Gabar 4.15 (a) Graf Hasil Operasi K C, (b) Kostruksi Partisi Pebeda K 6 C Gabar 4.16 Graf Hasil Operasi C C Gabar 4.17 (a) Kostruksi Partisi Pebeda C 6 C 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda C 7 C Gabar 4.18 (a) Kostruksi partisi pebeda bitag pada graf C 6 δ P 5, (b) Kostruksi partisi pebeda bitag pada graf C 6 δ P Gabar 4.19 (a) Graf Hasil Operasi Cob C P, (b) Kostruksi Partisi pebeda bitag pada graf C 8 P Gabar 4.0 Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf P 4 C Gabar 4.1 (a) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf K 6 δ P 5, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf K 6 δ P Gabar 4. (a) Graf Hasil Operasi Cob K P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag K 8 P Gabar 4. Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf P 6 K Gabar 4.4 Kostruksi Partisi Pebeda Bitag Graf K 6 K Gabar 4.5 Kostruksi Partisi Pebeda Bitag Graf C 6 K Gabar 4.6 (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf P 6 δ P 5, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf P 6 δ P Gabar 4.7 (a) Graf Hasil Operasi Cob P P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag P 6 P xviii

19 Gabar 4.8 (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 C 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 C Gabar 4.9 (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 6 C 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 6 C xix

20 xx

21 DAFTAR TABEL Tabel.1 Tabel 4.1 Tabel 4. Hasil Peelitia Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag pada Graf Sederhaa Rigkasa Diesi Partisi pada Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug Rigkasa Diesi Partisi Bitag pada Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug xxi

22 xxii

23 DAFTAR SIMBOL G(V, E) Graf G dega hipua sipul V da hipua sisi E V (G) Hipua sipul pada graf G E(G) Hipua sisi pada graf G e = (u, v) Sisi yag eghubugka sipul u da sipul v G Order (bayak sipul graf G) G Size (bayak sisi graf G) d(u, v) Jarak dari sipul u ke sipul v d(u, S) Jarak dari sipul u ke subhipua S ecc(v) Eksetrisitas sipul v rad(g) Radius graf G dia(g) Diaeter graf G Operator perkalia kartesia Operator Cob + Operator joi Π Partisi pebeda Π S W di(g) pd(g) cpd(g) spd(g) P C K W T J k, S(K ) Partisi pebeda bitag Hipua pebeda Diesi etrik graf G Diesi partisi graf G Diesi partisi terhubug graf G Diesi partisi bitag graf G Graf litasa order Graf ligkara order Graf legkap order Graf roda order Graf poho Graf gir Graf subdivisi dari graf legkap K 1, Graf bitag order + 1 W Graf widill order + 1 C, Graf kartepilar hoogeous order + xxiii

24 B, Graf poho pisag hoogeous order F Graf persahabata order + 1 Operator koroa A r(u W ) r(u Π) Z + x x δ G δ H G H Matriks berordo Represetasi sipul u terhadap hipua pebeda W Represetasi sipul u terhadap partisi pebeda Π Bilaga Bulat Positif Bilaga Bulat Terbesar lebih kecil atau saa dega x (floor) Bilaga Bulat Terkecil lebih besar atau saa dega x (ceilig) Derajat terkecil Derajat terbesar Graf hasil operasi cob G da H utuk sipul pelekata dari graf H dega derajat terkecil Graf hasil operasi cob G da H utuk sipul pelekata dari graf H dega derajat terbesar xxiv

25 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Mateatika berkebag sagat pesat sehigga Mateatika serig dipakai utuk eyelesaika berbagai perasalaha di bayak bidag. Mateatika terdiri dari beberapa cabag ilu, diataraya Aljabar, Geoetri, Statistika, Probabilitas (peluag), Mateatika Tekik, Mateatika Koputasi, Mateatika Ekooi, Mateatika Diskrit, Sais Koputer da lai sebagaiya. Salah satu cabag ateatika yag earik utuk diteliti lebih lajut adalah ateatika diskrit dega fokus kajia pada teori graf. Graf didefiisika sebagai pasaga hipua (V, E) yag ditulis dega otasi G = (V, E) dega V adalah hipua tidak kosog sipul (vertex), sedagka E adalah hipua sisi, boleh kosog, yag eghubugka sepasag sipul. Utuk selajutya, suatu graf dapat ditulis dega otasi G, tapa eyebutka hipua sipul da sisiya. Teori graf pada ulaya dikebagka oleh Leohard Euler pada tahu 176 di Jera. Pada saat itu terdapat epat daerah yag dihubugka oleh tujuh jebata di atas sugai Pregel di Koigsberg Jera. Leohard Euler ecoba ebuktika keugkia egujugi epat daerah yag terhubug oleh tujuh jebata, elewati setiap jebata tepat satu kali da kebali ke tepat asal. Perasalaha Jebata Koigsberg dapat direpresetasika dega graf, dega erepresetasika keepat daerah itu sebagai sipul (vertex) da ketujuh jebata sebagai sisi (edge) yag eghubugka pasaga sipul yag sesuai. Berikut disajika asalah tujuh jebata represetasi pada graf. (Gabar 1.1) Salah satu topik yag ejadi kajia dala teori graf adalah diesi etrik da diesi partisi. Dala artikelya, Slater dala Ira dkk (01) eyebutka suatu hipua dega sebuta locatig set yag serig dikeal dega hipua pebeda (resolvig set). Selajutya, Chartrad dkk (000) egealka kosep partisi pebeda yag serupa dega hipua pebeda suatu graf. Chartrad dkk (000) elakuka pegelopoka sipul di graf G ke dala sejulah kelas partisi da eghitug jarak setiap sipul di G terhadap seua kelas partisi utuk epresetasika setiap sipul pada graf G. Salah satu aplikasi dari 1

26 Gabar 1.1: (a) Jebata Koigsberg (b) Graf yag Merepresetasika Jebata Koigsberg hipua pebeda yaitu represetasi seyawa kiia da avigasi robot (Khuller da Raghavachari, 1996). Represetasi da klasifikasi seyawa kiia adalah salah satu asalah yag dihadapi oleh para kiiawa. Perasalaha ii dapat diuraika sebagai berikut: Pertaa, bagaiaa erepresetasika dua atau lebih seyawa kiia yag epuyai ruus kiia saa tetapi eiliki struktur berbeda. Kedua, bagaiaa erepresetasika dua seyawa kiia yag epuyai ruus kiia berbeda tetapi epuyai struktur yag saa. Dala reaksi kiia, struktur seyawa kiia eetuka karakteristik seyawa yag direaksika. Represetasi eudahka klasifikasi sebuah seyawa kiia. Johso dala Daraji (011), adalah seorag kiiawa pada sebuah perusahaa farasi, egguaka kosep hipua pebeda dala egklasifikasika seyawa kiia. Dega kosep ii, seyawa kiia direpresetasika secara uik sebagai objek ateatika. Seyawa kiia direpresetasika dala betuk graf dega sipul graf eyataka ato da sisi graf eyataka ikata valesi atara dua ato. Misalka S V (G) da sipul v di G, d(v, S) adalah jarak atara v dega S didefiisika sebagai d(v, S) =i{d(v, x) x S}. Utuk k partisi dari Π = {S 1, S, S,..., S k } da sipul v dari V (G). Represetasi dari v V (G) terhadap Π adalah k vektor r(v Π) = {d(v, S 1 ), d(v, S ),..., d(v, S k )}. Jika utuk setiap dua sipul berbeda u, v V (G) berlaku r(u Π) r(v Π), aka Π disebut partisi pebeda dari V (G). Partisi pebeda Π dega kardialitas iiu disebut partisi pebeda iiu dari G da partisi pebeda iiu dari G disebut diesi partisi yag diotasika dega pd(g). Variasi lai dari partisi pebeda adalah partisi pebeda bitag. Π = {S 1, S, S,..., S k } adalah partisi pebeda bitag dega setiap kelas-kelas partisi S i utuk 1 i k egi-

27 duksi subgraf bitag. Partisi pebeda bitag dega kardialitas iial disebut diesi partisi bitag yag diotasika spd(g). Dala paperya, Chartrad dkk (000) eujukka bahwa pd(g)= jika da haya jika G adalah graf litasa (P ) da pd(g)= jika da haya jika G adalah graf legkap (K ). Selai itu, diesi partisi graf bipartit legkap (K r,r ), bahwa pd(k r,s )= r + 1 jika r = s da pd(k r,s )=ax{r, s} jika r s. Selajutya, diesi partisi utuk beberapa kelas graf tertetu telah dikaji oleh bayak peeliti, isalya Grigorious dkk (014) eujukka diesi partisi dari kelas graf circulat, Arullah dkk (015) eujukka diesi partisi pada subdivisi graf legkap, Haryei dkk (015) eetuka diesi partisi dari beberapa kelas graf tak terhubug yag hooge da Aribawa dkk (015) epelajari diesi partisi dari beberapa kelas graf poho. Lebih lajut, Yero dkk (011) eujukka diesi partisi dari graf hasil perkalia kartesia da Daraji (011) juga eujukka diesi partisi dari graf ultipartit da graf hasil koroa dari dua graf terhubug. Salah satu variasi diesi partisi adalah diesi partisi bitag. Mariescu dkk (010) eetuka diesi partisi bitag graf gir diperuu. Hasil yag diperoleh yaki utuk graf gir J k, dega k da didapatka spd(j k, )= utuk k = atau da = ; spd(j k, )= k utuk k = 0(od ) da (k, ) (, ); spd(j k, )= k + 1 utuk k = 1(od ) da atau = da k 4; spd(j k, )= k utuk k = (od ) da 4 atau = da k 5; spd(j k, )= k + utuk k = (od ) da =. Keudia Mariescu da Gheeci (01) kebali eeliti diesi partisi bitag pada graf poho. Dari peelitia ii diperoleh hasil diesi partisi bitag graf poho yaki spd(t )=σ b (T ) ex b (T ) + sp (T ), dega σ }{{} b erupaka julah derajat terkahir p dari sipul ayor bercabag, ex b erupaka bayakya sipul ayor bercabag, da sp erupaka kardialitas diesi bitag. Operasi atara dua graf erupaka salah satu cara utuk eperoleh betuk graf-graf baru. Terdapat berbagai jeis operasi dala graf, isalya operasi joi (+), tesor ( ), gabuga ( ), kartesia ( ), koroa ( ), da operasi cob ( ). Dala peelitia ii, aka diteliti operasi graf cob dari dua graf terhubug. Peelitia tetag diesi partisi da diesi partisi bitag erupaka salah satu topik dari teori graf yag bayak diteliti khususya pada graf hasil operasi bier atara dua graf. Dala peelitia ii aka ditetuka diesi partisi da

28 diesi partisi bitag dari graf-graf sederhaa yaitu graf litasa, ligkara, da legkap dega operasi cob atara lai graf litasa dega graf litasa, graf ligkara dega graf litasa, graf litasa dega graf legkap, graf legkap dega graf ligkara, graf legkap dega graf legkap da graf ligkara dega graf ligkara. Beberapa peapara di atas yag elatar belakagi peulis utuk elakuka peelitia dega judul Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug 1. Peruusa Masalah Berdasarka latar belakag yag telah diuraika sebeluya, asalah yag dibahas dala peelitia ii adalah sebagai berikut. 1. Berapakah diesi partisi pada graf hasil operasi cob dua graf terhubug.. Berapakah diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob dua graf terhubug.. Adakah hubuga atara diesi partisi da diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob dua graf terhubug. 1. Batasa Masalah Utuk ejaga fokus pebahasa pada peelitia, asalah dala peelita ii dibatasi pada: 1. Graf yag ejadi objek peelitia adalah graf Litasa, graf Legkap da graf Ligkara.. Megguaka operasi cob sipul. 1.4 Tujua Peelitia Tujua dari peelitia ii adalah sebagai berikut. 1. Megetahui diesi partisi pada graf hasil operasi cob dua graf terhubug.. Megetahui diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob dua graf terhubug.. Meghubugka atara diesi partisi da diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob dua graf terhubug. 4

29 1.5 Mafaat Peelitia Mafaat yag diharapka dari hasil peelitia ii atara lai: 1. Diperoleh hasil peelitia utukkotribusi terhadap berkebagya pegetahua baru dala bidag teori graf, khususya dala ruag ligkup diesi partisi da diesi partisi bitag pada graf.. Diperoleh hasil peelitia utuk eotivasi kepada pebaca utuk elakuka peelitia tetag diesi partisi da diesi partisi bitag pada operasi graf yag lai atau dega pegebaga kosep. 5

30 6

31 BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI.1 Teriologi Dasar Graf.1.1 Defiisi Graf Suatu graf G terdiri atas dua hipua yaitu hipua tak kosog V (G) yag aggotaya terdiri dari sipul da hipua E(G) yag ugki kosog terdiri dari sisi, sedeikia sehigga setiap aggota e dala E(G) erupaka pasaga tak berurut dari sipul-sipul dala V (G), graf G diotasika G = (V, E). Sipul pada graf dapat dilabeli dega huruf, agka, atau dega egguaka huruf da agka. Misalka u da v adalah sipul-sipul pada suatu graf, aka sisi yag eghubugka sipul u da v diyataka dega pasaga (u, v) atau dilabagka dega e. Bayak sipul pada graf G disebut order dari G diotasika G, sedagka bayak sisi disebut size dari G diotasika G. Graf yag orderya berhigga disebut graf berhigga. Misalka Graf G eiliki suatu jala yag pajagya dari sipul awal v 0 ke sipul tujua v di dala graf G adalah barisa berselag-selig sipul-sipul da sisi-sisi yag berbetuk Y = v 0, e 1, v 1, e, v,...v 1, e, v sedeikia sehigga e 1 = (v 0, v 1 ), e = (v 1, v ),..., e = (v 1, v ) adalah sisi-sisi dari graf G. Jika v 0 v, aka jala disebut jala terbuka da jika v 0 = v, aka jala disebut jala tertutup, sipul da sisi ugki diulag dala suatu jala. T rail dala graf G adalah suatu jala di G dega sifat tidak ada sisi yag diulag. Litasa dala graf G adalah suatu trail di G dega sifat tidak ada sipul yag ulag (Hartsfield da Rigel, 1994). Sebuah graf G dikataka terhubug (coected) jika utuk setiap dua sipul u da v yag berdeda di graf G aka terdapat litasa yag eghubugka kedua sipul tersebut. Jarak atara sipul u da v didefiisika pajag litasa terpedek atara sipul u da v yag diotasika d(u, v). Eksetrisitas ecc(v) pada sebuah sipul v dala graf G adalah jarak terjauh dari sipul v ke setiap sipul di G. Diaeter dari graf G didefiisika jarak terjauh dari sebarag dua sipul di V (G) atau suatu ilai ax u,v G {d(u, v)} yag diotasika dega dia(g)=ax u,v G {d(u, v)}. Jari-jari (radius) yag diotasika rad(g) dari graf 7

32 Gabar.1: (a) Graf Roda W 6, (b) Graf dega Isolated Vertex, (c) Graf Reguler 5 G adalah eksetrisitas iiu di atara sipul-sipul di G. Sipul v disebut sipul pusat jika ecc(v)=rad(g). Gabar.1 (a) erupaka graf terhubug, dega jarak dari u 1 ke u yaitu d(u 1, u ) = 1 da dia(g)= erupaka jarak atara u ke u 4. Sipul u dikataka bertetagga (adjacet) dega sipul v jika terdapat sebuah sisi e diatara u da v yaitu e = uv, atau dapat diyataka bahwa sisi e eepel (icidet) dega kedua sipul u da v. Derajat (degree) pada setiap sipul didefiisika sebagai bayakya sisi yag eepel pada sipul tersebut. Jika setiap sipul pada graf G epuyai derajat saa dega aka graf G disebut graf reguler, jika tidak aka graf tersebut dikataka o reguler. Sipul v pada suatu graf G yag eiliki derajat 0 disebut isolated vertex, sedagka sebuah sipul yag haya epuyai derajat satu disebut dau, sipul ujug atau pedat. Pada Gabar.1 (b) ditujukka cotoh graf dega isolated vertex serta Gabar.1 (c) erupaka graf reguler Graf Isoorfik Dua buah graf yag saa tetapi secara geoetri berbeda disebut graf yag salig isoorfis (Isoorphic Graph). Graf G 1 da G dikataka isoorfis jika terdapat peetaa satu-satu f : V (G 1 ) V (G ) yag eyajika seua sifat ketetaggaa, yaitu f(u) da f(v) pada G bertetagga jika da haya jika u da v bertetagga pada G 1. Dua graf yag isoorfik epuyai atriks ketetaggaa yag saa. Jika saa aka kedua graf tersebut dikataka isoorfis seperti yag ditujukka pada Gabar.. Graf G 1 da G adalah dua graf yag isoorfis, sedagka graf G tidak isoorfis dega G 1. 8

33 Gabar.: Isoorfisa dala Graf. Jeis-Jeis Graf Graf-graf sederhaa yag tergolog well kow graph yag diguaka dala peelitia ii eliputi graf legkap, graf litasa, graf ligkara, da graf bitag. Berikut defiisi dari asig-asig graf tersebut...1 Graf Legkap Graf legkap adalah graf sederhaa yag setiap sipulya epuyai sisi ke seua sipul laiya. Graf legkap dega buah sipul diotasika dega K. Cotoh graf Legkap dapat dilihat pada Gabar. (a)... Graf Litasa Graf Litasa adalah graf sederhaa yag kedua sipul ujug yag berderajat satu disebut pedat, sedagka sipul yag lai berderajat dua. Graf litasa diotasika dega P. Cotoh graf Litasa dapat dilihat pada Gabar. (b)... Graf Ligkara Graf Ligkara adalah graf terhubug sederhaa yag eiliki sipul da sisi dega setiap sipulya berderajat dua. Graf Ligkara diotasika dega C dega. Cotoh graf Ligkara dapat dilihat pada Gabar. (c)...4 Graf Bitag Graf Bitag K 1, adalah graf terhubug sederhaa yag eiliki + 1 sipul da sisi. Satu sipul pada graf bitag disebut sipul pusat yag berderajat, sedagka sipul yag berderajat satu disebut pedat. Graf trivial dapat disebut pula sebagai graf bitag. Cotoh graf Bitag dapat dilihat pada Gabar. (d).. Operasi Graf Operasi atara dua graf erupaka salah satu cara utuk eperoleh betuk graf-graf baru. Terdapat berbagai jeis operasi dala graf, isalya operasi koroa 9

34 Gabar.: (a) Graf Legkap, (b) Graf Litasa, (c) Graf Ligkara, da (d) Graf Bitag Gabar.4: (a) Graf Litasa P 4, (b) Graf Legkap K 4, (c) Graf Hasil Operasi Koroa P 4 K 4, (d) Graf Hasil Operasi Koroa K 4 P 4 ( ) da operasi cob ( )...1 Operasi Koroa Harary da Fruct dala Yero dkk (011) edefiisika operasi koroa dari graf G da graf H adalah sebagai graf yag diperoleh dega egabil sebuah duplikat dari graf G da G duplikat dari graf H yaitu H i dega i = 1,,,..., G keudia eghubugka setiap sipul ke-i dari G ke setiap sipul di H i. Gabar.4 (c) da (d) eujukka bahwa graf-graf hasil operasi koroa buka graf yag isoorfis, sehigga hasil dari operasi tersebut tidak bersifat koutatif... Operasi Cob Misalka G da H adalah graf terhubug da u adalah sipul di H. Operasi cob dari graf G da graf H diotasika dega G H adalah graf yag diperoleh dega egabil satu duplikat G da G duplikat dari H da elekatka sipul u dari asig asig graf H i duplikat ke-i pada sipul ke-i dari graf G (Saputro dkk, 01). Gabar.5 (c) da (d) eujukka bahwa graf-graf hasil operasi cob buka graf yag isoorfis, sehigga hasil dari operasi tersebut tidak bersifat koutatif. 10

35 Gabar.5: (a) Graf Litasa P 4, (b) Graf Legkap K 5, (c) Graf Hasil Operasi Cob P 4 K 5, (d) Graf Hasil Operasi Cob K 5 P 4.4 Kosep Diesi dala Graf.4.1 Diesi Metrik Slater dala Ira dkk (01) eyebutka suatu hipua dega sebuta locatig set yag serig dikeal dega hipua pebeda (resolvig set). Diberika sebuah graf terhubug G. Misalka dua sipul u da v adalah sipulsipul dari graf terhubug G. Jarak atara sipul u da v didefiisika sebagai litasa terpedek dari sipul u ke v di G da diotasika d(u, v). Jika diberika suatu hipua terurut W = {w 1, w, w,..., w k } V (G) dari sipul-sipul dala graf terhubug G da sipul v di V (G), aka represetasi dari sipul v terhadap W adalah r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w ),..., d(v, w k )). Jika r(v W ) utuk setiap sipul v V (G) berbeda, aka W disebut sebagai hipua pebeda dari V (G). Hipua pebeda dega kardialitas iiu disebut hipua pebeda iiu. Kardialitas dari hipua pebeda iiu disebut diesi etrik dari graf G yag diotasika di(g). Peraa da Daraji (01) eberika Lea.1 utuk eetuka setiap aggota hipua berbeda eiliki represetasi yag berbeda. Lea.1 Utuk setiap sipul u aggota hipua pebeda W pasti eiliki represetasi yag berbeda terhadap W Chartrad dkk (000) eberika Teorea.1 utuk eetuka diesi etrik pada graf well-kow yaitu graf litasa P, graf legkap K, graf ligkara C da graf poho T. Teorea.1 Misalka G adalah sebuah graf terhubug dega orde. (i.) di(g) = 1 jika da haya jika G = P (ii.) di(g)= 1 jika da haya jika G = K (iii.) Utuk, di(c )= (iv.) Utuk 4, di(g)=- jika da haya jika G = K r,s, (r, s 1), G = 11

36 Gabar.6: Kostruksi hipua pebeda dari graf G: (a) W 1 = {w 1, w 6, w 9 }, (b) W = {w 1, w 9 } da (c) W = {w 1 } K r + K s, (r 1, s ),ataug = K r + (K 1 Ks ), (r, s 1) (v.) Jika T adalah graf poho yag buka litasa aka di(t )= (T ) ex(t ), diaa (T ) eyataka julah derajat terial dari sipul utaa T, da ex(t ) eyataka julah sipul utaa bagia luar T. Gabar.6 egilustrasika suatu hipua terurut W V (G), W 1 = {w 1, w 6, w 9 } erupaka hipua pebeda dari graf G karea eiliki represetasi yag berbeda. Aka tetapi, W 1 buka erupaka hipua pebeda yag iiu, karea pada Gabar.6.(b) dapat ditujukka eiliki hipua terurut W = {w 1, w 9 } erupaka hipua pebeda. Dapat dilihat pada Gabar.6.(c) eiliki hipua terurut W = {w 1 } bukalah suatu hipua pebeda, karea terdapat represetasi r(w W ) = r(w 5 W ) = (1). Selajutya, aka ditujukka bahwa hipua pebeda dari graf G eiliki kardialitas sedikitya. Misalka suatu hipua pebeda dari G dega W = 1 sehigga diberika W = {w 1 } buka hipua pebeda dari G karea represetasi W pada G eghasilka represetasi yag saa, yaitu r(w W ) = r(w 5 W ) = r(w 7 W ) = r(w 6 W ) = (1), kotradiksi dega peisala W sebagai hipua pebeda. Jadi, W. Dega deikia, W erupaka hipua pebeda iiu dari graf G. Gabar.6.(b) eiliki W = {w 1, w 9 } adalah hipua pebeda dari G karea represetasi dari seua sipul di G berbeda, yaitu: r(w W ) = (1, ) r(w 6 W ) = (, ) r(w 10 W ) = (, 1) r(w W ) = (, 4) r(w 7 W ) = (, ) r(w 11 W ) = (4, ) r(w 4 W ) = (, 5) r(w 8 W ) = (4, 4) r(w 1 W ) = (5, ) r(w 5 W ) = (1, 1) Dari represetasi di atas dapat diketahui bahwa represetasi dari seua sipul terhadap W berbeda. Jadi, W erupaka hipua pebeda dega kardialitas iial yaitu. Sehigga diesi etrik dari graf G adalah di(g)= 1

37 .4. Diesi Partisi Diesi partisi dari sebuah graf G dikealka oleh Chartrad, Salehi da Zhag (000). Mereka egelopokka seua sipul di G ke dala sejulah kelas partisi da eetuka jarak setiap sipul terhadap setiap kelas partisi tersebut. Misalka S V (G) dega sipul v di V (G) sedeikia sehigga jarak atara sipul v dega subhipus S didefiisika sebagai d(v, S) =i{d(v, x) x S}. Utuk uruta k partisi Π = {S 1, S, S,..., S k } dari V (G) da sipul v V (G). Represetasi dari v V (G) terhadap Π adalah k vektor r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S ),..., d(v, S k )). Jika utuk setiap dua sipul berbeda u, v V (G) berlaku r(u Π) r(v Π), aka Π disebut partisi pebeda dari V (G). Partisi pebeda Π dega kardialitas iiu disebut partisi pebeda iiu dari G. Partisi pebeda iiu dari G disebut diesi partisi yag diotasika dega pd(g). Chartrad, Salehi da Zhag (000) eberika beberapa lea da teorea yag edasari dala eetuka diesi partisi yag berkaita dega paraeterya da diesi partisi dari graf asal da graf hasil operasi. Lea. [Chartrad, Salehi da Zhag (000)]Misalka G suatu graf terhubug tak trivial. Misalka Π suatu partisi pebeda dari G da u, v V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) utuk setiap w V (G) {u, v}, aka u da v berada dala kelas partisi yag berbeda di Π. Teorea. [Chartrad, Salehi da Zhag (000)]Misalka G suatu graf terhubug tak trivial, aka pd(g) di(g)+1 Teorea. [Chartrad, Salehi da Zhag (000)]Misalka G adalah graf terhubug dega orde. (i.) pd(g) = jika da haya jika G = P (ii.) pd(g)= jika da haya jika G = K (iii.) Utuk 4, pd(g)=-1 jika da haya jika G = K r,s, (r, s 1), G = K r + K s, (r 1, s ), org = K r + (K 1 Ks ), (r, s 1). Misalka G adalah graf terhubug yag diberika pada Gabar.7. Gabar.7 egilustrasika suatu partisi pebeda terurut dari V (G). Gabar.7.(a) eujukka bahwa Π 1 = {S 1, S, S, S 4 } dega S 1 = {w 1 }, S = {w 5 }, S = {w 9 }, S 4 = {w i ; 1 i 1} {w 1, w 5, w 9 } erupaka partisi pebeda dari graf G karea eiliki represetasi yag berbeda. Aka tetapi, Π 1 buka erupaka partisi pebeda yag iiu, karea pada Gabar.7.(b) dapat ditujukka eiliki hipua terurut Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {w 1 }, 1

38 Gabar.7: Kostruksi partisi pebeda dari graf G: (a) Π 1 = {S 1, S, S, S 4 }, (b) Π = {S 1, S, S } da (c) Π = {S 1, S } S = {w 9 }, S = {w i ; 1 i 1} {w 1, w 9 } erupaka partisi pebeda. Dapat dilihat pada Gabar.7.(c) eiliki hipua terurut Π = {S 1, S } dega S 1 = {w i ; 1 i 4}, S = {w i ; 5 i 1} bukalah suatu partisi pebeda, karea terdapat represetasi r(w 1 Π ) = r(w Π ) = (0, 1). Selajutya, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf G eiliki kardialitas sedikitya. Misalka suatu partisi pebeda dari G dega Π = sehigga diberika Π = {S 1, S } buka partisi pebeda dari G karea represetasi Π pada G eghasilka represetasi yag saa, yaitu r(w 1 Π ) = r(w Π ) = r(w Π ) = r(w 4 Π ) = (0, 1), kotradiksi dega peisala Π sebagai partisi pebeda. Jadi, Π. Dega deikia, Π erupaka partisi pebeda iiu dari graf G. Gabar.7.(b) eiliki Π = {S 1, S, S } adalah partisi pebeda dari G karea represetasi dari seua sipul di G berbeda, yaitu: r(w 1 Π ) = (0,, 1) r(w 5 Π ) = (1, 1, 0) r(w 9 Π ) = (, 0, 1) r(w Π ) = (1,, 0) r(w 6 Π ) = (,, 0) r(w 10 Π ) = (, 1, 0) r(w Π ) = (, 4, 0) r(w 7 Π ) = (,, 0) r(w 11 Π ) = (4,, 0) r(w 4 Π ) = (, 5, 0) r(w 8 Π ) = (4, 4, 0) r(w 1 Π ) = (5,, 0) Dari represetasi diatas dapat diketahui bahwa represetasi dari seua sipul terhadap Π berbeda. Jadi, Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas iial yaitu. Sehigga diesi partisi dari graf G adalah pd(g)=.4. Diesi Partisi Bitag Variasi lai dari diesi partisi, yag disebutka dala Saepholphat da Zhag (00) ejadi topik utuk diteliti yaitu partisi pebeda bitag, Π = {S 1, S, S,..., S k } adalah partisi pebeda yag harus eeuhi syarat-syarat tertetu. Pada tesis ii dibahas salah satu syarat yag harus dipeuhi pada partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S k } yaitu setiap kelas-kelas partisi S i utuk 1 i k adalah sebuah subgraf bitag. Miiu k yag terdapat sebuah k partisi 14

39 pebeda bitag dari V (G) disebut diesi partisi bitag dari G, diotasika oleh spd(g). Utuk variasi diesi partisi didapatka beberapa hasil dari Mariescu dkk (010) eyataka bahwa diesi partisi bita graf gir diperuu. Hasil yag diperoleh yaki utuk graf gir J k, dega k da didapatka spd(j k, )= utuk k = or da = ; spd(j k, )= k utuk k = 0(od ) da (k, ) (, ); spd(j k, )= k + 1 utuk k = 1(od ) da or = da k 4; spd(j k, )= k utuk k = (od ) da 4 or = da k 5; spd(j k, )= k + utuk k = (od ) da =. Keudia Mariescu da Gheeci (01) kebali eeliti teori diesi partisi bitag pada graf poho. Dari peelitia ii diperoleh hasil bahwa diesi partisi bitag graf poho yaki spd(t )= σ b (T ) ex b (T )+sp (T ), dega σ }{{} b erupaka julah derajat terkahir p dari sipul ayor bercabag, ex b erupaka bayakya sipul ayor bercabag. Diberika graf litasa (P 10 ) pada Gabar.8 (a) yag aka ditetuka diesi partisi bitagya. Misalaka Π S = {S 1.S, S, S 4 } dega S 1 = {v 1, v, v }, S = {v 4, v 5, v 6 }, S = {v 7, v 8, v 9 } da S 4 = {v 10 } aka represetasi v V (G) terhadap Π sebagai berikut: r(v 1 Π S ) = (0,, 6, 9) r(v 6 Π S ) = (, 0, 1, 4) r(v Π S ) = (0,, 5, 8) r(v 7 Π S ) = (4, 1, 0, ) r(v Π S ) = ( ) r(v 8 Π S ) = (5,, 0, ) r(v 4 Π S ) = (1, 0,, 6) r(v 9 Π S ) = (6,, 0, 1) r(v 5 Π S ) = (, 0,, 5) r(v 10 Π S ) = (7, 4, 1, 0) Jadi Π S adalah partisi pebeda bitag dari G sebab r(v Π) berbeda utuk setiap v V (G) da sipul-sipul pada kelas-kelas partisi S i dega 1 i 4 egiduksi sebuah graf bitag. Kelas-kelas partisi S 1, S, S egiduksi sebuah graf bitag K 1, da kelas partisi S 4 erupaka graf trivial yag juga erupaka graf bitag, sebagaiaa terlihat pada gabar Gabar.8 (b). Berdasarka pejelasa di atas. Sehigga batas atas diesi partisi bitag graf litasa berorder 10 yaitu spd(p 10 ) 4 Pada graf Gabar.8 (a), isalka Π S = {S 1, S, S } dega S 1 = {v 1, v, v }, S = {v 4, v 5, v 6 }, S = {v 7, v 8, v 9, v 10 }. Dapat ditujukka bahwa kelas partisi S tidak egiduksi graf bitag sehigga Π S = {S 1, S, S } buka partisi pebeda bitag aka batas batas bawah dari graf P 10 yaki spd(p 10 ) 15

40 Gabar.8: (a) Graf Litasa P 10, (b) Kostruksi partisi pebeda bitag dari graf P Karea batas atas da batas bawah diesi partisi bitag P 10 saa aka spd(p 10 )= 4. Dala Mariescu da Gheeci (01) eyataka bahwa terdapat hubuga atara diesi partisi da diesi partisi bitag graf terhubug sebagaiaa dala Teorea.4 sebagai berikut: Teorea.4 Utuk G adalah graf terhubug, a. Utuk sebarag dua bilaga bulat a da b sedeikia sehigga a b, terdapat graf G sedeikia sehigga pd(g) = a da spd(g) = b b. Utuk sebarag dua bilaga bulat a da b sedeikia sehigga a b, terdapat graf G sedeikia sehigga di(g) = a da spd(g) = b.4.4 Hasil-Hasil Peelitia Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag Pada Tabel.1 disajika beberapa hasil peelitia egeai diesi partisi da diesi partisi bitag pada graf sederhaa..5 Sifat Pebagia pada Bilaga Bulat da Bilaga Modulo Misalka a da b adalah dua buah bilaga bulat dega syarat a 0, a habis ebagi b (a divides b) atau biasaya ditulis a b jika terdapat bilaga bulat c sedeikia sedeikia higga b = ac. Teorea.5 (Algorita Pebagia) Misalka da adalah dua buah bilaga bulat dega syarat > 0. Jika dibagi dega aka terdapat dua buah bilaga bulat uik q (quotiet) da r (reaider), sedeikia sehigga = q + r dega 0 r <. Utuk selajutya secara berturut-turut q ada r disebut sebagai hasil da sisa pebagia. (Subioo, 015). 16

41 Tabel.1: Hasil Peelitia Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag pada Graf Sederhaa Graf Diesi Partisi Keteraga Graf circulat pd(g)= ; 1 (Grigorious dkk, 014) G = G(, ±{1, }) 0(od4) G = S(K ) pd(g)= ; = (Arullah dkk, 015) pd(g)= ; [, 4] pd(g)= 4; [5, 8] pd(g) ; 9 G = P K pd(g)= + 1; + (Daraji, 011) da 4 pd(g)= + ; + G = P K 1, pd(g)= ; (Daraji, 011) da 4 pd(g)= + 1; > G = W pd(g)= k (Daraji, 011) 1da 1 k (k, ) G = C, pd(g)= ; = 1 da, (Fredia dkk, 015) atau = da atau = da G = B, pd(g)= ; da 7, (Fredia dkk, 015) atau = da 6 atau = 4 da G = C, pd(g)= 4; = da 4, (Aribawa dkk, 015) atau = 4 da 4 Gir+atig pd(g)= ; 4 (Daraji, 011) G = G ; pd(g)= k; > 4 G = C K pd(g)= ; = 1 (Yogi dkk, 01) da 1 pd(g)= p; > 1 Litasa (P ) spd(p )= ; 1 (Mariescu da Gheeci, 01) Widill (W ) spd(w )= ( 1) (Aalia, 01) da Ligkara (C ) pd(c )= ; (Rodrguez-Velzquez dkk, 01) 17

42 Selajutya didefiisika kogruge odulo dari suatu bilaga. Secara sederhaa dikataka a b (od ) jika da haya jika a da b eiliki sisa yag saa apabila dibagi dega. Utuk lebih jelasya dapat dilihat pada defiisi berikut ii. Defiisi.1 Misalka > 0 adalah sebarag bilaga bulat tetapi tetap. Utuk sebarag dua bilaga bulat a da b adalah kogrue od ditulis a b (od ) jika (a b)(subioo, 015). Berikut ii ditujukka aalisis egeai ceil dari suatu bilaga yag kaitaya dega bilaga odulo. Misal, Z + da s {0, 1,,..., }, didapatka beberapa hasil berikut ii (od ) 0 (od ) artiya, sehigga terdapat k Z + sedeikia higga = k atau k =. Dega deikia didapatka s k s = (k 1) + s = (k 1) = + s = k 1 + s. Karea s {0, 1,,..., } aka s s = 0 utuk s = da 0 < 1 utuk 0 s 1 sehigga didapatka { s k jika 0 s 1 = k 1 jika s =. p (od ) dega 1 p < p (od ) artiya p, sehigga terdapat k tak egatif sedeikia p = k yag egakibatka = k + p da k = p. Dega deikia didapatka s k + p s = = k + p s { k + 1 jika 1 p s = k jika < p s 0 18

43 atau { s k + 1 jika s + 1 p s + = k jika s < p s Karea 1 p < da s {0, 1,..., } aka { s k + 1 jika s + 1 p 1 = k jika 1 < p s = = { k + 1 jika p s p 1 k jika p s < + p { k + 1 jika 0 s p 1 k jika p s < Dala Hartsfield da Rigel (1994), terdapat cara lai utuk euliska hasil tapa keteraga utuk dua kasus, gasal da geap. Megguaka sibol Gauss utuk fugsi bilaga bulat terbesar [x] = bilaga bulat terbesar x Notasi ii telah laa tidak diguaka, da kita egguaka otasi x = bilaga bulat terbesar x Kita dapat eyebutka x sebagai sibol floor. Sibol x didefiisika sebagai x = bilaga bulat terkecil x Notasi ii disebut sibol ceilig. 19

44 0

45 BAB III METODE PENELITIAN Pada bagia ii diuraika beberapa etode peelitia yag aka diguaka atau dikerjaka utuk ecapai tujua peelitia yag terdiri dari beberapa lagkah berikut ii. 1. Peahaa kosep da studi literatur Pada tahap ii dilakuka peahaa kosep da studi literatur dari berbagai suber egeai diesi partisi da diesi partisi bitag pada graf-graf hasil operasi cob.. Aalisis da Pebahasa a. Megkostruksi graf hasil operasi cob dari dua graf terhubug. b. Meetuka peaaa setiap sipul sedeikia sehigga sipulya berbeda da eghasilka forulasi yag eetaka hipua sipul da hipua sisi. c. Meetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf hasil operasi cob dari kobiasi beberapa graf tersebut elalui partisi pebeda. Setelah itu, dapat ditetuka diesi partisi dari batas atas da batas bawah yag telah diperoleh. d. Meetuka partisi pebeda dari graf hasil operasi cob. e. Meetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf hasil operasi cob elalui partisi pebeda bitag. Setelah itu, dapat ditetuka diesi partisi bitag dari batas atas da batas bawah yag telah diperoleh. f. Meetuka partisi pebeda bitag Π dari graf hasil operasi cob. g. Megaalisis diesi partisi pada asig-asig graf hasil operasi cob. h. Megaalisis diesi partisi bitag pada asig-asig graf hasil operasi cob. 1

46 i. Meetuka hubuga atara diesi partisi da diesi partisi bitag dari asig-asig graf hasil operasi cob. j. Megevaluasi terhadap aalisa da pebahasa yag telah dikerjaka sehigga dapat diperoleh suatu sipula.. Diseiasi hasil peelitia Tahap diseiasi hasil peelitia eliputi presetasi pada beberapa seiar iteratioal sebagai berikut: a. Distace i Graph 016 (DiG16): A coferece to celebrate the life ad work of Mirka Miller Ubud, Bali b. Iteratioal Coferece o Matheatics: Pure, Applied ad Coputatio Jurusa Mateatika, ITS, Surabaya c. Iteratioal Coferece o Matheatics: Educatio, Theory ad Applicatio Jurusa Mateatika, UNS, Solo da dipublikasi paper dala prosidig atau jural iterasioal. 4. Peyusua lapora Lapora peelitia ditulis dala sebuah tesis dega sisteatika peulisa yag telah ditetuka, yag eliputi: bab 1. pedahulua, bab. kajia pustaka da dasar teori, bab. etoda peelitia, bab 4. hasil da pebahasa, serta bab 5. sipula da sara.

47 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Diesi Partisi Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug Subbab ii ejelaska diesi partisi pada graf hasil operasi cob. Diesi partisi graf hasil operasi cob tidak dapat digeeralisasi utuk sebarag dua graf terhubug. Hal ii dikareaka diesi partisi pada asig-asig graf hasil operasi cob pasti berbeda, yaitu tergatug pada graf yag dioperasika da sipul yag dilekatka. Dala pejelasa berikut ii ditujukka diesi partisi graf hasil operasi cob atara dua graf terhubug diataraya graf ligkara C, graf litasa P, da graf legkap K. Beberapa hasil operasi cob dari tiga graf terhubug tersebut sebagai berikut graf hasil operasi cob atara graf ligkara C da graf litasa P, graf litasa P da graf ligkara C, graf legkap K da graf litasa P, graf litasa P da graf legkap K, graf legkap K da graf legkap K, graf ligkara C da graf legkap K, graf legkap K da graf ligkara C, graf litasa P da graf litasa P da graf ligkara C da graf ligkara C Diesi Partisi Graf Ligkara Cob Graf Litasa Graf hasil operasi cob atara graf ligkara C dega graf litasa P dihasilka dari duplikat graf litasa P sebayak sipul di graf ligkara C eletakka salah satu sipul ujug graf litasa P pada setiap sipul graf ligkara C. Dapat dikataka bahwa graf C δ P erupaka graf yag terdiri dari kali graf Litasa P. Sehigga eiliki hipua sipul V (C δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C δ P ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y 1,1 y,1 } {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Graf C δ P eiliki buah sipul da buah sisi. Graf C δ P ditujukka pada Gabar 4.1 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf C δ P dega, Z +. Jika = aka ligkara C erupaka graf luar atau graf yag eiliki sisi gada sehigga C buka graf sederhaa da jika = 1 aka graf hasil operasi cob C δ P 1 isoorfik dega ligkara C, sedeikia sehigga order ligkara C da litasa P asig-asig da. Dala

48 Gabar 4.1: (a) Graf Hasil Operasi C δ P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 8 δ P 4 eetuka diesi partisi suatu graf C δ P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C δ P. Diesi partisi esyaratka partisi pebeda Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.1. Misalka C adalah graf ligkara order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat satu. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob C δ P adalah pd(c δ P ) =. Bukti: Misalka graf C δ P eiliki hipua sipul V (C δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C δ P ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y 1,1 y,1 } {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Jadi, kita aka eujukka bahwa diesi partisi graf C δ P adalah utuk da, dikareaka utuk = da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, aka dapat diperoleh betuk uu dari graf C δ P utuk da, sehigga dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf C δ P adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Batas bawah dari diesi partisi graf C δ P dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Graf hasil operasi cob C δ P tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika batas bawah dari diesi partisi graf C δ P adalah pd(c δ P ). Selajutya, utuk eetuka batas atas diesi partisi dari graf C δ P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf 4

49 C δ P yag dapat dilihat pada Gabar 4.1 (b). Perhatika ea kasus berikut: Dala kasus ii, utuk {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} dapat dipisah ejadi tiga kasus yaitu pertaa utuk {4, 6}, kedua utuk {8, 1, 16, 0,...} dapat ditulis 0(od 4) da ketiga utuk {10, 14, 18,,...} dapat ditulis (od 4). Kasus 1: Utuk {4, 6} dibuktika secara terpisah dari {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C δ P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Utuk = 4, batas atas diesi partisi dari graf C 4 δ P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C 4 δ P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i i }, S = {y,1, y,i, y 4,i i } da S = {y j,1 j 4} aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C 4 δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C 4 δ P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1) r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika i r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y 4,1 Π) = (1, 1, 0) r(y 4,i Π) = (i, 0, i 1); jika i Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C 4 δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 4 δ P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk = 4. Utuk = 6, batas atas diesi partisi dari graf C 6 δ P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C 6 δ P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i i }, S = {y,1, y,i, y 4,i, y 6,i i } da S = {y j,1, y 5,i j 6, i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C 6 δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C 6 δ P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1) r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika i r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y 4,1 Π) = (, 1, 0) r(y 4,i Π) = (i +, 0, i 1); jika i r(y 5,1 Π) = (,, 0) r(y 5,i Π) = (i + 1, i + 1, 0); jika i 5

50 r(y 6,1 Π) = (1, 1, 0) r(y 6,i Π) = (i, 0, i 1); jika i Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C 6 δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 6 δ P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk = 6. Kasus : Utuk {8, 1, 16, 0,...} dapat ditulis 0(od 4) dibuktika secara terpisah dari {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C δ P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i, y 1,i i }, S = {y,1, y,i, y,i i } {y h+,i 1 h 6, i } da S = {y j,1 j } {y h+,i 1 h 6, i } {y,i i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk 0(od4) da 8, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y 1,1 Π) = (1,, 0) r(y,1 Π) = (1, 1, 0) r(y h,1 Π) = (h 1, 1, 0); jika h 4 r(y h,1 Π) = ( h + 4, 1, 0); jika + 1 h r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika 1 i r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y,i Π) = (i + 1, i +, 0); jika 1 i r(y 1,i Π) = (0, i + 1, i 1); jika i r(y,i Π) = (i, 0, i 1); jika i r(y h,i Π) = (h + i, 0, i 1); jika h, i 4 r(y h,i Π) = ( h i 1, 0, i 1); jika + 1 h 1, 4 4 i r(y h+1,i Π) = (h + i 1, i + 1, 0); jika h, 1 i 4 r(y h+1,i Π) = ( h i +, i + 1, 0); jika + 1 h 1, i. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C δ P epuyai 6

51 represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C δ P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk 0(od4) da 8. Kasus : Utuk {10, 14, 18,,...} dapat ditulis (od 4) dibuktika secara terpisah dari {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C δ P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i, y 1,i i }, S = {y,1, y,i, y,i i } {y h+,i 1 h 6, i } da S = {y j,1 j } {y h+,i 1 h 6, i } {y,i i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk (od4) da 10, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y 1,1 Π) = (1,, 0) r(y,1 Π) = (1, 1, 0) r(y h,1 Π) = (h 1, 1, 0); jika h 4 r(y h,1 Π) = ( h + 4 +, 1, 0); jika + 1 h r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika 1 i r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y,i Π) = (i + 1, i +, 0); jika 1 i r(y 1,i Π) = (0, i + 1, i 1); jika i r(y,i Π) = (i, 0, i 1); jika i r(y h,i Π) = (h + i, 0, i 1); jika h, i 4 r(y h,i Π) = ( h i + 1, 0, i 1); jika + 1 h 1, 4 4 i r(y h+1,i Π) = (h + i 1, i + 1, 0); jika h, 1 i 4 r(y h+1,i Π) = ( h i, i + 1, 0); jika + 1 h 1, i. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C δ P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk 7

52 (od4) da 10. Dala kasus ii, utuk {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} dapat dipisah ejadi tiga kasus yaitu pertaa utuk {, 5}, kedua utuk {7, 11, 15, 19,...} dapat ditulis (od 4) da ketiga utuk {9, 1, 17, 1,...} dapat ditulis 1(od 4). Kasus 4: Utuk {, 5} dibuktika secara terpisah dari {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C δ P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Utuk =, batas atas diesi partisi dari graf C δ P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C δ P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i i }, S = {y,1, y,i i } da S = {y,1 } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1) r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika i r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,1 Π) = (1, 1, 0) r(y,i Π) = (i, 0, i 1); jika i Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 4 δ P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk =. Utuk = 5, batas atas diesi partisi dari graf C 5 δ P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C 5 δ P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i i }, S = {y,1, y,i, y 5,i i } da S = {y j,1, y 4,i j 5, i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C 6 δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipulsipul dari graf C 5 δ P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1) r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika i r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y 4,1 Π) = (,, 0) r(y 4,i Π) = (i + 1, i + 1, 0); jika i r(y 5,1 Π) = (1, 1, 0) r(y 5,i Π) = (i, 0, i 1); jika i 8

53 Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C 5 δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 5 δ P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk = 5. Kasus 5: Utuk {7, 11, 15, 19,...} dapat ditulis (od 4) dibuktika secara terpisah dari {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C δ P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i i }, S = {y,1 } {y,i, y,i i } {y h+,i 1 h 5, i } da S = {y j,1 j } {y h+,i 1 h 5, i } {y 1,i i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk (od4) da 7, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y,1 Π) = (1, 1, 0) r(y h Π) = (h 1, 1, 0); jika h 4 r(y h Π) = ( h + 4, 1, 0); jika + 1 h r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika 1 i r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y 1,i Π) = (i + 1, i + 1, 0); jika 1 i r(y,i Π) = (i, 0, i 1); jika i r(y h,i Π) = (h + i, 0, i 1); jika h, i 4 r(y h,i Π) = ( h i 1, 0, i 1); jika + 1 h 1, 4 4 i r(y h+1,i Π) = (h + i 1, i + 1, 0); jika h, 1 i 4 r(y h+1,i Π) = ( h i +, i + 1, 0); jika + 1 h, i. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf tersebut. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk (od4) da 7. 9

54 Kasus 6: Utuk {9, 1, 17, 1,...} dapat ditulis 1(od 4) dibuktika secara terpisah dari {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C δ P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,i 1 i } {y,i i }, S = {y,1 } {y,i, y,i i } {y h+,i 1 h 5, i } da S = {y j,1 j } {y h+,i 1 h 5, i } {y 1,i i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk 1(od4) da 9, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y,1 Π) = (1, 1, 0) r(y h Π) = (h 1, 1, 0); jika h 4 r(y h Π) = ( h + 4 +, 1, 0); jika + 1 h r(y 1,i Π) = (0, i, i); jika 1 i r(y,i Π) = (0, i 1, i); jika i r(y,i Π) = (i + 1, 0, i 1); jika i r(y 1,i Π) = (i + 1, i + 1, 0); jika 1 i r(y,i Π) = (i, 0, i 1); jika i r(y h,i Π) = (h + i, 0, i 1); jika h, i 4 r(y h,i Π) = ( h i + 1, 0, i 1); jika + 1 h 1, 4 4 i r(y h+1,i Π) = (h + i 1, i + 1, 0); jika h, 1 i 4 r(y h+1,i Π) = ( h i, i + 1, 0); jika + 1 h, i. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf tersebut. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk 1(od4) da 9. Berdasarka uraia kasus 1 sapai kasus 6, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C δ P adalah pd(c δ P ). Dega deikia, 0

55 Gabar 4.: (a) Graf Hasil Operasi C P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 8 P 6 diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(c δ P ). Jadi, diesi partisi dari graf C δ P adalah pd(c δ P ) = utuk da. Sekarag, aka dibahas diesi partisi pada graf C P utuk, Z + da salah satu sipul v P yag dilekatka ke setiap sipul u C da sipul v epuyai derajat saa dega dua. Jika = aka graf C erupaka graf yag eiliki sisi gada sehigga C buka graf sederhaa da jika =, graf P erupaka graf litasa da setiap sipulya tidak berderajat dua, sedeikia sehigga order ligkara C da litasa P asig-asig da Graf C P ditujukka pada Gabar 4. (a). Dala eetuka diesi partisi suatu graf C P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C P. Diesi partisi esyaratka partisi pebeda Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.. Misalka C adalah graf ligkara order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat dua. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob C P adalah {, jika {, 4} pd(c P ) = 4, jika 5 Bukti: Misalka graf C P eiliki hipua sipul V (C P ) = {y j,k 1 j, 1 k p, p } {y j,l 1 j, l p + 1, p } da hipua sisi E(C P ) = {y j,1 y j+1,1 1 1

56 j 1} {y 1,1 y,1 } {y j,k y j,k+1 1 j, 1 k p 1, p } {y j,ly j,l+1 1 j, l p, p } {y j,1y j, }. Aka ditujukka bahwa diesi partisi dari graf C P utuk i{, 4}, adalah da diesi partisi dari graf C P utuk 5, adalah 4 dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi dari graf C P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C P yag dapat dilihat pada Gabar 4. (b). Perhatika dua kasus berikut: Dala kasus ii utuk {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} dapat dipisah ejadi tiga kasus yaitu pertaa utuk {4, 6}, kedua utuk {8, 1, 16, 0,...} dapat ditulis 0(od 4) da ketiga utuk {10, 14, 18,,...} dapat ditulis (od 4). Kasus 1: Utuk {4, 6} dibuktika secara terpisah dari {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Utuk = 4, Batas bawah dari diesi partisi graf C 4 P dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Graf hasil operasi cob C 4 P tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika batas bawah dari diesi partisi graf C 4 P adalah pd(c 4 P ). Selajutya, batas atas diesi partisi dari graf C 4 P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C 4 P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p }, S = {y,1, y,k, y 4,k k p, p } {y,l l p + 1, p }, S = {y j,1 j 4} {y 1,l y j,l j 4, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C 4 P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da jua ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka

57 l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C 4 P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y 4,1 Π) = (1, 1, 0) r(y 1,k Π) = (0, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1); jika k p, p r(y 4,k Π) = (k, 0, k 1); jika k p, p r(y 1,l Π) = (l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, 0, l); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y 4,l Π) = (l, l, 0); jika l p + 1, p Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C 4 P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 4 P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk = 4. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C 4 P adalah pd(c 4 P ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C 4 P adalah pd(c 4 P ). Jadi, diesi partisi dari graf C 4 P adalah pd(c 4 P ) = utuk = 4. Utuk = 6, batas atas diesi partisi dari graf C 6 P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C 6 P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p }, S = {y,1, y,k, y 4,k, y 6,k k p, p }, S = {y j,1, y 5,k j 6, k p, p } da S 4 = {y j,l 1 j 6, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C 6 P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka

58 l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C 6 P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1, 1) r(y 4,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y,1 Π) = (1, 0, 1, 1) r(y 5,1 Π) = (,, 0, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y 6,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y 1,k Π) = (0, k, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 4,k Π) = (k +, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 5,k Π) = (k + 1, k + 1, 0, k); jika k p, p r(y 6,k Π) = (k, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 1,l Π) = (l 1, l, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 4,l Π) = (l +, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 5,l Π) = (l + 1, l + 1, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 6,l Π) = (l, l, l 1, 0); jika l p + 1, p Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C 6 P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 6 P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk = 6. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C 6 P adalah pd(c 6 P ) 4. Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C 6 P, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C 6 P eiliki kardialitas kurag dari 4. Misalka suatu partisi pebeda dari C 6 P dega Π = aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk = 6 terdiri dari 6 buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, abil Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p }, S = {y,1, y,k, y 4,k, y 6,k k p, p }, S = {y j,1, y 5,k j 6, k p, p } {y j,l 1 j 6, l p + 1, p } aka dapat kita pilih sebarag sipul y 5,k, y 5,l S ; k = l, k p, p da sipul y 5,k, y 5,l eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S isalka d(y 5,k, S 1 ) = d(y 5,l, S 1 ) = l + 1, d(y 5,k, S ) = d(y 5,l, S ) = l + 1 utuk l = k, k p, p sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega 4

59 represetasi yag saa, yaitu r(y 5,k Π) = r(y 5,l Π) = (l + 1, l + 1, 0) utuk l = k, k p, p dikareaka sipul y 5,k da y 5,l terdapat dala kelas partisi yag saa. Berdasarka Lea., sipul y 5,k da y 5,l harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi, Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf C 6 P adalah pd(c 6 P ) 4. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C 6 P adalah 4 pd(c 6 P ) 4. Jadi, diesi partisi dari graf C 6 P adalah pd(c 6 P ) = 4 utuk = 6. Kasus : Utuk {8, 1, 16, 0,...} dapat ditulis 0(od 4) dibuktika secara terpisah dari {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p } {y 1,k k p, p } S = {y,1, y,k k p, p } {y,k k p, p } {y h+,k 1 h 6, k p, p } S = {y j,1 j } {y h+,k 1 h 6, k p, p } {y,k k p, p } S 4 = {y j,l 1 j, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk 0(od4) da 8, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1, 1) 5

60 r(y,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y 1,1 Π) = (1,, 0, 1) r(y,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y h,1 Π) = (h 1, 1, 0, 1); jika h 4 r(y h,1 Π) = ( h + 4, 1, 0, 1); jika + 1 h r(y 1,k Π) = (0, k, k, k); jika 1 k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, k +, 0, k); jika 1 k p, p r(y 1,k Π) = (0, k + 1, k 1, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k, 0, k 1, k); jika k p, p r(y h,k Π) = (h+k, 0, k 1, k); jika h, k p, p 4 r(y h,k Π) = ( h+4 +k 1, 0, k 1, k); jika +1 h 1, 4 4 k p, p r(y h+1,k Π) = (h + k 1, k + 1, 0, k); jika h, 1 k p, 4 p r(y h+1,k Π) = ( h+4 +k+, k+1, 0, k); jika +1 h 1, k p, p. r(y 1,l Π) = (l 1, l, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l +, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 1,k Π) = (l, l + 1, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y h,l Π) = (h + l, l, l 1, 0); jika h, l p + 1, 4 p r(y h,l Π) = ( h l 1, l, l 1, 0); jika + 1 h 1, 4 4 l p + 1, p r(y h+1,l Π) = (h + l 1, l + 1, l 1, 0); jika h, 1 l p + 1, 4 p r(y h+1,l Π) = ( h l +, l + 1, l 1, 0); jika + 1 h 4 4 1, 1 l p + 1, p. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf C P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 6

61 utuk 0(od4) da 8. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) 4. Kasus : Utuk {10, 14, 18,,...} dapat ditulis (od 4) dibuktika secara terpisah dari {4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p } {y 1,k k p, p } S = {y,1, y,k k p, p } {y,k k p, p } {y h+,k 1 h 6, k p, p } S = {y j,1 j } {y h+,k 1 h 6, k p, p } {y,k k p, p } S 4 = {y j,l 1 j, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk (od4) da 10, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y 1,1 Π) = (1,, 0, 1) r(y,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y h,1 Π) = (h 1, 1, 0, 1); jika h 4 r(y h,1 Π) = ( h + 4 +, 1, 0, 1); jika + 1 h r(y 1,k Π) = (0, k, k, k); jika 1 k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k, k); jika k p, p 7

62 r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, k +, 0, k); jika 1 k p, p r(y 1,k Π) = (0, k + 1, k 1, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k, 0, k 1, k); jika k p, p r(y h,k Π) = (h+k, 0, k 1, k); jika h, k p, p 4 r(y h,k Π) = ( h k + 1, 0, k 1); jika + 1 h 1, 4 4 k p, p r(y h+1,k Π) = (h + k 1, k + 1, 0, k); jika h, 1 k p, p 4 r(y h+1,k Π) = ( h k, k + 1, 0, k); jika + 1 h 1, k p, p. r(y 1,l Π) = (l 1, l, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l +, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 1,k Π) = (l, l + 1, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y h,l Π) = (h + l, l, l 1, 0); jika h, l p + 1, 4 p r(y h,l Π) = ( h l + 1, l, l 1, 0); jika + 1 h 1, 4 4 l p + 1, p r(y h+1,l Π) = (h + l 1, l + 1, l 1, 0); jika h, 1 l p + 1, 4 p r(y h+1,l Π) = ( h+4 +l, l+1, l 1, 0); jika +1 h 1, l p + 1, p. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf C P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk 0(od4) da 10. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) 4. Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C P. Misalka suatu partisi pebeda dari C P dega Π = aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk geap da 8 terdiri dari satu buah cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua 8

63 sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, abil Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {{y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p } {y 1,k k p, p }, S = {y,1, y,k k p, p } {y,k k p, p } {y h+,k 1 h 6, k p, p }, S = {y j,1 j } {y h+,k 1 h 6, k p, p } {y,k k p, p } {y j,l 1 j, l p + 1, p } aka dapat kita pilih sebarag sipul y j,k, y j,l S, k = l utuk 5 j dega j gasal da sipul y j,p, y j,l eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S isalka d(y 5,k, S 1 ) = d(y 5,l, S 1 ) = l +, d(y 5,k, S ) = d(y 5,l, S ) = l + 1 utuk l = k, k p, p sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y 5,k Π) = r(y 5,l Π) = (l +, l + 1, 0) utuk l = k, k p, p dikareaka sipul y 5,k da y 5,l terdapat dala kelas partisi yag saa. Berdasarka Lea., sipul y 5,k da y 5,l harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi, Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) 4. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C P adalah 4 pd(c P ) 4. Jadi, diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) = 4 utuk geap da. Dala kasus ii utuk {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} dapat dipisah ejadi tiga kasus yaitu pertaa utuk {, 5}, kedua utuk {7, 11, 15, 19,...} dapat ditulis (od 4) da ketiga utuk {9, 1, 17, 1,...} dapat ditulis 1(od 4). Kasus 4: Utuk {, 5} dibuktika secara terpisah dari {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Utuk =, Batas bawah dari diesi partisi graf C P dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Graf hasil operasi cob C P tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika batas bawah dari diesi partisi graf C P adalah pd(c P ). Selajutya, batas atas diesi partisi dari graf C P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada 9

64 graf C P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p }, S = {y,1, y,k k p, p }, da S = {y,1, y j,l 1 j, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l 6 +1 = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1) r(y,1 Π) = (1, 0, 1) r(y,1 Π) = (1, 1, 0) r(y 1,k Π) = (0, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k, 0, k 1); jika k p, p r(y 1,l Π) = (l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l, 0); jika l p + 1, p Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk =. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ). Jadi, diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) = utuk =. Utuk = 5, batas atas diesi partisi dari graf C 5 P dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C 5 P. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p }, S = {y,1, y,k, y 5,k k p, p }, S = {y j,1, y 4,k j 5, k p, p } da S 4 = {y j,l 1 j 5, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa 40

65 seua sipul di graf C 5 P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C 5 P sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1, 1, 1) r(y,1 Π) = (1, 0, 1, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y 4,1 Π) = (,, 0, 1) r(y 5,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y 1,k Π) = (0, k, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 4,k Π) = (k + 1, k + 1, 0, k); jika k p, p r(y 5,k Π) = (k, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 1,l Π) = (l 1, l, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 4,l Π) = (l + 1, l + 1, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 5,l Π) = (l, l, l 1, 0); jika l p + 1, p Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C 5 P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf C 5 P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk = 5. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C 5 P adalah pd(c 5 P ) 4. Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C 5 P, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C 5 P eiliki kardialitas kurag dari 4. Misalka suatu partisi pebeda dari C 5 P dega Π = aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk = 5 terdiri dari satu buah cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, abil Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, 41

66 p }, S = {y,1, y,k, y 5,k k p, p }, S = {y j,1, y 4,k j 5, k p, p } {y j,l 1 j 5, l p + 1, p } aka dapat kita pilih sebarag sipul y 4,k, y 4,l S ; k = l, k p, p da sipul y 4,k, y 4,l eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S isalka d(y 4,k, S 1 ) = d(y 4,l, S 1 ) = l + 1, d(y 4,k, S ) = d(y 4,l, S ) = l + 1 utuk l = k, k p, p sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y 4,k Π) = r(y 4,l Π) = (l + 1, l + 1, 0) utuk l = k, k p, p dikareaka sipul y 4,k da y 4,l terdapat dala kelas partisi yag saa. Berdasarka Lea., sipul y 4,k da y 4,l harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi, Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf C 5 P adalah pd(c 5 P ) 4. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C 5 P adalah 4 pd(c 5 P ) 4. Jadi, diesi partisi dari graf C 5 P adalah pd(c 5 P ) = 4 utuk = 5. Kasus 5: Utuk {7, 11, 15, 19,...} dapat ditulis (od 4) dibuktika secara terpisah dari {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p } S = {y,1, y,k k p, p } {y,k k p, p } {y h+,k 1 h 5, k p, p } S = {y j,1 j } {y h+,k 1 h 5, k p, p } {y 1,k k p, p } S 4 = {y j,l 1 j, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga 4

67 jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk (od4) da 7, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y h Π) = (h 1, 1, 0, 1); jika h 4 r(y h Π) = ( h + 4, 1, 0, 1); jika + 1 h r(y 1,k Π) = (0, k, k, k); jika 1 k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 1,k Π) = (k + 1, k + 1, 0, k); jika k p, p r(y,k Π) = (k, 0, k 1, k); jika k p, p r(y h,k Π) = (h+k, 0, k 1, k); jika h, k p, p 4 r(y h,k Π) = ( h+4 +k 1, 0, k 1, k); jika +1 h 1, 4 4 k p, p r(y h+1,k Π) = (h + k 1, k + 1, 0, k); jika h, 1 k p, p 4 r(y h+1,k Π) = ( h k +, k + 1, 0, k); jika + 1 h, k p, p. r(y 1,l Π) = (l 1, l, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 1,k Π) = (l + 1, l + 1, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y h,l Π) = (h + l, l, l 1, 0); jika h, l p + 1, 4 p r(y h,l Π) = ( h l 1, l, l 1, 0); jika + 1 h 1, 4 4 l p + 1, p r(y h+1,l Π) = (h + l 1, l + 1, l 1, 0); jika h, 1 l p + 1, 4 p r(y h+1,l Π) = ( h l +, l + 1, l 1, 0); jika + 1 h 4 4 1, 1 l p + 1, p. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C P epuyai 4

68 represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf C P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk (od4) da 7. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) 4. Kasus 6: Utuk {9, 1, 17, 1,...} dapat ditulis 1(od 4) dibuktika secara terpisah dari {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19,...} karea ada kekhususa pada represetasi setiap sipul dala V (C P ) terhadap partisi pebeda Π. Berikut ii pebuktia selegkapya: Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p } S = {y,1, y,k k p, p } {y,k k p, p } {y h+,k 1 h 5, k p, p } S = {y j,1 j } {y h+,k 1 h 5, k p, p } {y 1,k k p, p } S 4 = {y j,l 1 j, l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da juga ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk 1(od4) da 9, sebagai berikut: r(y,1 Π) = (1, 0, 1, 1) r(y,1 Π) = (, 1, 0, 1) r(y,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y h Π) = (h 1, 1, 0, 1); jika h 4 r(y h Π) = ( h + 4 +, 1, 0, 1); jika + 1 h r(y 1,k Π) = (0, k, k, k); jika 1 k p, p r(y,k Π) = (0, k 1, k, k); jika k p, p 44

69 r(y,k Π) = (k + 1, 0, k 1, k); jika k p, p r(y 1,k Π) = (k + 1, k + 1, 0, k); jika 1 k p, p r(y,k Π) = (k, 0, k 1, k); jika k p, p r(y h,k Π) = (h+k, 0, k 1, k); jika h, k p, p 4 r(y h,k Π) = ( h+4 +k +1, 0, k 1, k); jika +1 h 1, 4 4 k p, p r(y h+1,k Π) = (h + k 1, k + 1, 0, k); jika h, 1 k p, p 4 r(y h+1,k Π) = ( h k, k + 1, 0, k); jika + 1 h, k p, p. r(y 1,l Π) = (l 1, l, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l 1, l, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l + 1, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y 1,k Π) = (l + 1, l + 1, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y,l Π) = (l, l, l 1, 0); jika l p + 1, p r(y h,l Π) = (h + l, l, l 1, 0); jika h, l p + 1, 4 p r(y h,l Π) = ( h l + 1, l, l 1, 0); jika + 1 h 1, 4 4 l p + 1, p r(y h+1,l Π) = (h + l 1, l + 1, l 1, 0); jika h, 1 l p + 1, 4 p r(y h+1,l Π) = ( h l, l + 1, l 1, 0); jika + 1 h, l p + 1, p. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf C P. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk 1(od4) da 9. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) 4. Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C P, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C P eiliki kardialitas kurag dari 4. Misalka suatu partisi pebeda dari C P dega Π = aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk gasal da 7 terdiri dari satu buah cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, 45

70 abil Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,k 1 k p, p } {y,k k p, p }, S = {y,1, y,k k p, p } {y,k k p, p } {y h+,k 1 h 5, k p, p }, S = {y j,1 j } {y h+,k 1 h 5, k p, p } {y 1,k k p, p } {y j,l 1 j, l p + 1, p } aka dapat kita pilih sebarag sipul y j,k, y j,l S, k = l utuk 5 j 1 dega j gasal da sipul y j,k, y j,l eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S isalka d(y 5,k, S 1 ) = d(y 5,l, S 1 ) = l +, d(y 5,k, S ) = d(y 5,l, S ) = l + 1 utuk l = k, k p, p sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y 5,k Π) = r(y 5,l Π) = (l +, l + 1, 0) utuk l = k, k p, p dikareaka sipul y 5,k da y 5,l terdapat dala kelas partisi yag saa. Berdasarka Lea., sipul y 5,k da y 5,l harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi, Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) 4. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C P adalah 4 pd(c P ) 4. Jadi, diesi partisi dari graf C P adalah pd(c P ) = 4 utuk gasal da 7. Dari kedua kasus (1) sapai (6), didapatka diesi partisi dari graf C P utuk {, 4}, adalah da diesi partisi dari graf C P utuk 5, adalah Diesi Partisi Graf Litasa Cob Graf Ligkara Graf hasil operasi cob atara graf litasa P dega graf ligkara C dihasilka dari eduplikat graf ligkara C sebayak sipul di graf ligtasa P dega eletakka salah satu sipul ujug graf ligkara C pada setiap sipul graf litasa P, aka dapat dikataka bahwa graf P C erupaka graf yag terdiri dari kali graf Ligkara C. Graf P C eiliki hipua sipul V (P C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(P C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Graf P C eiliki buah sipul da + 1 buah sisi. Graf P C ditujukka pada Gabar 4.. Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf P C dega 46

71 Gabar 4.: Graf Hasil Operasi P C, Z +. Jika = aka ligkara C erupaka graf luar atau graf yag eiliki sisi gada sehigga C buka graf sederhaa da jika = 1 aka graf hasil operasi cob P 1 C isoorfik dega ligkara C, sedeikia sehigga order ligkara C da litasa P asig-asig da. Dala eetuka diesi partisi suatu graf P C, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P C. Diesi partisi esyaratka partisi pebeda Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.. Misalka P adalah graf litasa order da C adalah graf ligkara order. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob P C adalah sebagai berikut:, jika geap da {, } gasal da = pd(p C ) = 4, jika geap da 4 gasal da Bukti: Misalka graf P C eiliki hipua sipul V (P C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(P C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Jadi, kita aka eujukka bahwa diesi partisi graf C P adalah utuk geap da {, } atau gasal da = da diesi partisi graf C P adalah 4 utuk geap da 4 atau gasal da. Utuk eujukka diesi partisi graf P C dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi dua kasus yaitu kasus pertaa utuk geap, sedagka kasus kedua utuk gasal. Kasus 1: Utuk geap da {, }. 47

72 Gabar 4.4: (a) Partisi Pebeda P C 6 (b) Partisi Pebeda P C 6 Diesi partisi graf P C dega buah sipul adalah utuk geap da {, }, dikareaka utuk = 4 da {, } ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf P C utuk geap da {, }, sehigga dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf P C adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Batas bawah dari diesi partisi graf P C dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Graf hasil operasi cob P C tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika batas bawah dari diesi partisi graf P C adalah pd(p C ). Selajutya, Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p C ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P C dapat dilihat pada Gabar 4.4. Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (P C ) dega Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1, }, S = {y, } da S = {y 1,1, y,1, y 1,j, y,j j } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk geap da =, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (1,, 0) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y 1, Π) = (0,, 1) r(y 1,j Π) = (j, j + 1, 0); jika j + 1 r(y 1,j Π) = ( j + +, j + +, 0); jika + j r(y, Π) = (, 0, 1) r(y,j Π) = (j + 1, j, 0); jika j + 1 r(y,j Π) = ( j + +, j + +, 0); jika + j. 48

73 Represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk geap da =, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (1,, 0) r(y,1 Π) = (1,, 0) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y 1, Π) = (0, 4, 1) r(y 1,j Π) = (j, j +, 0); jika j + 1 r(y 1,j Π) = ( j + +, j + + 4, 0); jika + j r(y, Π) = (0,, 1) r(y,j Π) = (j, j + 1, 0); jika j + 1 r(y,j Π) = ( j++, j++, 0); jika + j. r(y, Π) = (, 0, 1) r(y,j Π) = (j + 1, j, 0); jika j + 1 r(y,j Π) = ( j + +, j + +, 0); jika + j. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi, Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf P C. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk geap da {, }. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf P C sehigga dapat ditulis pd(p C ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(p C ). Jadi diesi partisi pd(p C ) = utuk geap da {, }. Kasus : Utuk gasal da =. Diesi partisi graf P C dega buah sipul adalah utuk gasal da =, dikareaka utuk = da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf P C utuk gasal da =, sehigga dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf P C adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Batas bawah dari diesi partisi graf P C dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Graf hasil operasi cob P C tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika batas bawah dari diesi partisi graf P C adalah pd(p C ). Selajutya, Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p C ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P C. Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (P C ) 49

74 dega Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1, }, S = {y, } da S = {y 1,1, y,1, y 1,j, y,j j } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk gasal da =, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (1,, 0) r(y,1 Π) = (, 1, 0) r(y 1, Π) = (0,, 1) r(y 1,j Π) = (j, j + 1, 0); jika j + 1 r(y 1, + Π) = (, +, 0) r(y 1,j Π) = ( j + +, j + + 4, 0); jika + j r(y, Π) = (, 0, 1) r(y,j Π) = (j + 1, j, 0); jika j + 1 r(y, + Π) = ( +,, 0) r(y,j Π) = ( j + + 4, j + +, 0); jika + j. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi, Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf P C. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = utuk gasal da =. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf P C sehigga dapat ditulis pd(p C ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(p C ). Jadi diesi partisi pd(p C ) = utuk gasal da =. Kasus : Utuk geap da 4. Diesi partisi graf P C dega buah sipul adalah utuk geap da 4, dikareaka utuk = 4 da = 4 ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf P C utuk geap da 4, sehigga dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf P C adalah 4. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p C ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P C dapat dilihat pada Gabar 4.5. Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (P C ) dega Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga: S 1 = {y i, 1 i }, S = {y i,j 1 i, j }, S = {y 1,1 } da S 4 = {y i,1 i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. 50

75 Gabar 4.5: Partisi Pebeda P 5 C 6 Utuk geap da 4 Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk geap da 4, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y i,1 Π) = (1, 1, i 1, 0); jika i r(y 1, Π) = (0, 1, 1, ) r(y 1,j Π) = (j, 0, j 1, j); jika j + 1 r(y 1, + Π) = (, 0, 1, ) r(y 1,j Π) = ( j+ +, 0, j+ +1, j+ +); jika + j r(y i, Π) = (0, 1, i, 1); jika i r(y i,j Π) = (j, 0, j + i, j 1); jika j + 1, i r(y i, + Π) = (, 0, + i, 1); jika i r(y i,j Π) = ( j+ +, 0, j+ +i, j+ +1); jika + j, i. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi, Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf P C. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk geap da 4. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat ditetuka batas atas diesi partisi dari graf P C sehigga dapat ditulis pd(p C ) 4. Selajutya, Utuk eetuka batas bawah dari diesi partisi dari graf P C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf P C epuyai kardialitas kurag dari 4. Misalka suatu partisi pebeda dari P C dega Π =, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk geap da 4 terdiri dari buah cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf P C dega 51

76 = 4 da = 4, dapat dipilih Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,, y,, y, }, S = {y 4, } da S = V (P C ) (S 1 S ), aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y 1,1 Π) = r(y, Π) = (1, 4, 0). Jadi, dapat diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π adalah buka erupaka partisi pebeda. Oleh sebab itu, batas bawah dari diesi partisi graf P C adalah pd(p C ) 4. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah dari diesi partisi graf P C adalah 4 pd(p C ) 4. Maka diesi partisi dari graf P C adalah pd(p C ) = 4 utuk geap da 4. Kasus 4: Utuk gasal da. Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (P C ) dega Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga: S 1 = {y i, 1 i }, S = {y i,j 1 i, j }, S = {y 1,1 } da S 4 = {y i,1 i }, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii erupaka hasil observasi pada graf P C. Sipulsipul x i dega 1 i da y i,j dega 1 i da 1 j 1. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk gasal da, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (1, 1, 0, 1) r(y i,1 Π) = (1, 1, i 1, 0); jika i r(y 1, Π) = (0, 1, 1, ) r(y 1,j Π) = (j, 0, j 1, j); jika j + 1 r(y 1, + Π) = (, 0,, + 1) r(y 1,j Π) = ( j+ +, 0, j+ +, j+ +); jika + j r(y i, Π) = (0, 1, i, 1); jika i r(y i,j Π) = (j, 0, j + i, j 1); jika j + 1, i r(y i, + Π) = (, 0, + i 1, ); jika i r(y i,j Π) = ( j + +, 0, j + + i + 1, j + + ); jika + j, i. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf P C. Jadi, kardialitas dari partisi pebeda Π adalah Π = 4 utuk gasal da. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas atas diesi partisi dari graf P C sehigga dapat ditulis pd(p C ) 4. 5

77 Selajutya, Utuk eetuka batas bawah dari diesi partisi dari graf P C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf P C epuyai kardialitas kurag dari 4. Misalka suatu partisi pebeda dari P C dega Π =, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk gasal da terdiri dari buah cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf P C dega = 5 da =, dapat dipilih Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,, y, }, S = {y, } da S = V (P C ) (S 1 S ), aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y 1,5 Π) = r(y,4 Π) = (, 4, 0). Jadi, dapat diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π adalah buka erupaka partisi pebeda. Oleh sebab itu, batas bawah dari diesi partisi graf P C adalah pd(p C ) 4. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah dari diesi partisi graf P C adalah 4 pd(p C ) 4. Maka diesi partisi dari graf P C adalah pd(p C ) = 4 utuk gasal da Diesi Partisi Graf Legkap Cob Graf Litasa Graf hasil operasi cob atara graf legkap K dega graf litasa P dihasilka dari eduplikat graf litasa P sebayak sipul di graf legkap K dega eletakka salah satu sipul ujug graf litasa P pada setiap sipul graf legkap K, aka dapat dikataka bahwa graf K δ P erupaka graf yag terdiri dari kali Litasa P.sehigga eiliki hipua sipul V (K δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K δ P ) = {y j,1 y j+k,1 1 j, 1 k j} {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Graf K δ P eiliki buah sipul da +( 1) buah sisi. Graf K δ P ditujukka pada Gabar 4.6 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf K δ P dega, Z +. Jika =, graf K isoorfik dega graf litasa P da jika = 1 aka graf hasil operasi cob K δ P 1 isoorfik dega graf legkap K sedeikia sehigga order dari graf legkap K da graf litasa P asigasig adalah da. Dala eetuka diesi partisi suatu graf K δ P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K δ P. Diesi partisi esyaratka seua hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. 5

78 Gabar 4.6: (a) Graf Hasil Operasi K δ P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 δ P 4 Teorea 4.4. Misalka K adalah graf legkap order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat satu. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob K δ P adalah pd(k δ P ) =. Bukti: Misalka graf K δ P eiliki hipua sipul V (K δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K δ P ) = {y j,1 y j+k,1 1 j, 1 k j} {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Diesi partisi graf K δ P dega buah sipul adalah utuk da, dikareaka utuk = 4 da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf K δ P utuk da, sehigga dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf K δ P adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(k δ P ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf K δ P dapat dilihat pada Gabar 4.6 (b). Utuk da. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga S j = {y j,i 1 j, 1 i } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf K δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf K δ P utuk da, sebagai berikut: r(y j,i Π) = (i,..., i, 0, i,..., i); jika1 j, 1 i }{{}}{{} j 1 j Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf K δ P epuyai 54

79 represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf K δ P. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π adalah. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf K δ P adalah pd(k δ P ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf P δ C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf K δ P eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari K δ P dega Π = 1 aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk da terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf K δ P dega da, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S j = {y j,i 1 j 1, 1 i } da S 1 = {y,i 1 i }, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y,i Π) = r(y 1,i Π) = (1,..., 1, 0). Jadi }{{} Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf K δ P adalah pd(k δ P ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(k δ P ). Jadi diesi partisi dari graf K δ P adalah pd(k δ P ) = utuk da. Sekarag, aka ebahas diesi partisi pada graf K P dega, Z + da salah satu sipul v P yag dilekatka ke setiap sipul u K da sipul v epuyai derajat saa dega dua. Jika =, graf K isoorfik dega graf litasa P da jika = graf P erupaka graf litasa da setiap sipulya tidak berderajat dua sedeikia sehigga order dari graf legkap K da graf litasa P asig-asig adalah da. Graf K P ditujukka pada Gabar 4.7 (a). Dala eetuka diesi partisi suatu graf K P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K P. Diesi partisi esyaratka partisi pebeda Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.5. Misalka K adalah graf legkap order da P adalah graf 55

80 Gabar 4.7: (a) Graf Hasil Operasi K P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 P 6 litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat dua. Utuk da, diesi partisi dari sebuah graf hasil operasi cob K P adalah pd(k P ) =. Bukti:Misalka graf K P eiliki hipua sipul V (K P ) = {y j,k 1 j, 1 k p, p } {y j,l 1 j, l p + 1, p } da hipua sisi E(K P ) = {y j,1 y j+r,1 1 j, 1 r j} {y j,k y j,k+1 1 j, 1 k p 1, p } {y j,ly j,l+1 1 j, l p, p } {y j,1y j, 1 j }. Diesi partisi graf K P dega buah sipul adalah utuk da, dikareaka utuk = 4 da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf K P utuk da, sehigga dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf K P adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(k P ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf K P dapat dilihat pada Gabar 4.7 (b). Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga S j = {y j,k 1 j, 1 k p, p }, S j+1 = {y j,l 1 j 1, l p + 1, p } da S 1 = {y,l l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf K P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da jua ilai p bergatug pada ilai. Sebagai 56

81 ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l 6 +1 = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf K P utuk da, sebagai berikut: r(y j,k Π) = (k,..., k, 0, k,..., k); jika 1 j, 1 k p, p }{{}}{{} j 1 j r(y j,l Π) = (l,..., l, l 1, 0, l,..., l); jika 1 j, l p+1, p }{{}}{{} j 1 j 1 r(y,l Π) = (0, l,..., l, l 1); jika l p + 1, p }{{} Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf K P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf K P. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π adalah. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf K P adalah pd(k P ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf P C dapat epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf K P eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari graf K P adalah 1 aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi koordiat yag saa. Utuk da terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf K P dega da, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S j = {y j,k 1 j 1, 1 k p, p }, S j+1 = {y j,l 1 j, l p + 1, p }, S 1 = {y 1,l l p+1, p } {y,k 1 k p, p } da S 1 = {y,l l p + 1, p }, aka dapat kita pilih sebarag sipul y 1,1, y,1 S 1 da sipul y 1,1, y,1 eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S,..., S isalka d(y,1, S 1 ) = d(y 1,1, S 1 ) = 1, d(y,1, S ) = d(y 1,1, S ) = 1,..., d(y,1, S ) = d(y 1,1, S ) = 1 sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y,1 Π) = r(y 1,1 Π) = (1,..., 1, 0) dikareaka sipul y }{{},1 da y 1,1 terdapat dala kelas partisi yag saa. Berdasarka Lea., sipul y,1 da 57

82 Gabar 4.8: Graf Hasil Operasi P K y 1,1 harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi, Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf K P adalah pd(k P ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(k P ). Jadi diesi partisi dari graf K P adalah pd(k P ) = utuk da Diesi Partisi Graf Litasa Cob Graf Legkap Graf hasil operasi cob atara graf litasa P dega graf legkap K dihasilka dari eduplikat graf legkap K sebayak sipul di graf litasa P dega eletakka salah satu sipul ujug graf legkap K pada setiap sipul graf litasa P, aka dapat dikataka bahwa graf P K erupaka graf yag terdiri dari kali Legkap K. Graf P K eiliki hipua sipul V (P K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P K ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+k 1 j, 1 i, 1 k j}. Graf P K eiliki buah sipul da ( ) + ( 1) buah sisi. Graf P K ditujukka pada Gabar 4.8. Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf P K dega, Z +. Jika =, graf K isoorfik dega graf litasa P da jika = 1 aka graf hasil operasi cob P 1 K isoorfik dega graf legkap K sedeikia sehigga order dari graf legkap K da graf litasa P asigasig adalah da.. Dala eetuka diesi partisi suatu graf P K, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P K. Diesi partisi esyaratka seua 58

83 hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.6. Misalka P adalah graf litasa order da K adalah graf legkap order. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob P K adalah pd(p K ) = {, jika + 1, jika > Bukti: Misalka graf P K eiliki hipua sipul V (P K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P K ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+k 1 j, 1 i, 1 k j}. Diesi partisi graf P K dega buah sipul adalah jika da + 1 jika >, dikareaka utuk, ebetuk suatu pola sehigga dapat diperoleh betuk uu dari graf P K, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf P K adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Kasus 1: Utuk = Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P K dapat dilihat pada Gabar 4.9. Utuk, da =. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga: S j 1 = {y i,j i j 1, 1 i, j } S j = {y l,j+1 j 1, 0 l 1} S = {y i,i+1 1 i } S 1 = {y i,1 i } S = {y 1, } S 1 = {y 1,1, y, } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipulsipul dari graf P K utuk, da =, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1,..., 1); jika 1 j }{{} 1 r(y 1, Π) = (1,..., 1, 0); jika 1 j }{{} 1 r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika j }{{}}{{} j j+1 r(y i,1 Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1 }{{} i 1 }{{} i, 0, 1); jika i 59

84 Gabar 4.9: Partisi Pebeda Graf P 6 K 6 r(y 1,1 Π) = (, 1,..., 1, 0, 1) }{{} r(y,1 Π) = (1,..., 1, 0, ) }{{} r(y 1,j Π) = (, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika j }{{}}{{} j j+1 r(y 1, Π) = (, 1,..., 1, 0) }{{} r(y,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1, ); jika j }{{}}{{} j j r(y i,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,, 1,..., 1 }{{} j r(y i,j Π) = (1,..., 1 }{{} i 1 }{{} i j } {{ } i 1,, 1,..., 1 }{{} i ); jika i, j i, 0, 1,..., 1); jika i, i + j }{{}}{{} j i i 1 } {{ } i,, 1,..., 1 r(y i,i+1 Π) = (1,..., 1, 0); jika i }{{}}{{} i 1 i 1 Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf P K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf P C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf P K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari P K dega Π = 1 sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk, da = terdiri dari buah sipul. Tapa eguragi keuua, isalka graf 60

85 P K dega, da = eiliki hipua kelas partisi yaitu Π = {S 1, S, S,..., S 1 }. Perhatika pada Gabar 4.8 utuk sebuah subgraf berupa graf legkap yag elekat pada sipul y 1,1 dapat ditetuka beberapa kasus pegelopoka kelas partisiya sebagai berikut: a) Abil S 1 = {y 1,1 }, S j = {y 1,j j }, da S 1 = {y 1, 1, y 1, }. Dari kelas-kelas partisi tersebut, terdapat dua sipul yag berada dala kelas partisi yag saa yaitu y 1, 1, y 1, S 1 da sipul y 1, 1, y 1, tidak berada pada sipul-sipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap. Sipul y 1, 1, y 1, eiliki jarak ke sipul-sipul dari kelas partisi yag lai yaitu d(y 1, 1, u) = d(y 1,, u) = 1 diaa u S \ {y 1, 1, y 1, }. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y 1, 1, y 1, S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y 1, 1 Π) = r(y 1, Π) = (1,..., 1, 0) }{{} berakibat dua sipul y 1, 1, y 1, harus berada dala partisi yag berbeda. Maka Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. b) Misalka S 1 = {y 1,1, } da S j 1 = {y 1,j j }. Dari kelaskelas partisi tersebut, terdapat dua sipul yag berada dala kelas partisi yag saa yaitu y 1,1, y 1, S 1 da sipul y 1, tidak berada pada sipulsipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap. Sipul y 1,1, y 1, yag eiliki jarak ke sipul-sipul dari kelas partisi yag lai yaitu d(y 1,1, u) = d(y 1,, u) = 1 diaa u S \ {y 1,1, y 1, }. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y 1,1, y 1, S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y 1,1 Π) = r(y 1, Π) = (0, 1,..., 1) berakibat dua }{{} sipul y 1,1, y 1, harus berada dala partisi yag berbeda. Maka Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π adalah 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(p K ). Jadi diesi partisi dari graf P K adalah pd(p K ) = utuk, da =. Kasus : Utuk < Utuk = 1, eetuka batas atas diesi partisi pd(p K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P K dapat dilihat 61

86 pada Gabar 4.9. Utuk, da = 1. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga: S j 1 = {y i,j i j 1, 1 i, j } S j = {y 1,j+1 j 1} S = {y i,i+1 1 i } S 1 = {y i,1 i 1} S = {y 1, } S 1 = {y 1,1 } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipulsipul dari graf P K utuk, da = 1, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1,..., 1); jika 1 j }{{} 1 r(y 1, Π) = (1,..., 1, 0); jika 1 j }{{} 1 r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika j }{{}}{{} j j+1 r(y i,1 Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1 }{{} i 1 r(y 1,1 Π) = (, 1,..., 1 }{{} r(y 1,j Π) = (, 1,..., 1 }{{} j r(y 1, Π) = (, 1,..., 1 r(y i,j Π) = (1,..., 1 }{{} j r(y i,j Π) = (1,..., 1 }{{} i 1 }{{} i, 0, 1) }{{}, 0, 1,..., 1, 0, 1); jika i, 0, 1,..., 1); jika j }{{} j+1, 0) }{{} i j } {{ } i 1,, 1,..., 1,, 1,..., 1); jika i, j i }{{} i, 0, 1,..., 1); jika i, i + j }{{}}{{} j i i 1 } {{ } i,, 1,..., 1 r(y i,i+1 Π) = (1,..., 1, 0); jika i }{{}}{{} i 1 i 1 Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf P K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf P 6

87 C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf P K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari P K dega Π = 1 sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk, da = 1 terdiri dari buah sipul. Tapa eguragi keuua, isalka graf P K dega, da = 1 eiliki hipua kelas partisi yaitu Π = {S 1, S, S,..., S 1 }. Perhatika pada Gabar 4.8 utuk sebuah subgraf berupa graf legkap yag elekat pada sipul y 1,1 dapat ditetuka beberapa kasus pegelopoka kelas partisiya sebagai berikut: a) Abil S 1 = {y 1,1 }, S j = {y 1,j j }, da S 1 = {y 1, 1, y 1, }. Dari kelas-kelas partisi tersebut, terdapat dua sipul yag berada dala kelas partisi yag saa yaitu y 1, 1, y 1, S 1 da sipul y 1, 1, y 1, tidak berada pada sipul-sipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap. Sipul y 1, 1, y 1, eiliki jarak ke sipul-sipul dari kelas partisi yag lai yaitu d(y 1, 1, u) = d(y 1,, u) = 1 diaa u S \ {y 1, 1, y 1, }. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y 1, 1, y 1, S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y 1, 1 Π) = r(y 1, Π) = (1,..., 1, 0) }{{} berakibat dua sipul y 1, 1, y 1, harus berada dala partisi yag berbeda. Maka Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. b) Misalka S 1 = {y 1,1, } da S j 1 = {y 1,j j }. Dari kelaskelas partisi tersebut, terdapat dua sipul yag berada dala kelas partisi yag saa yaitu y 1,1, y 1, S 1 da sipul y 1, tidak berada pada sipulsipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap da sipul y 1, tidak berada pada sipul-sipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap. Sipul y 1,1, y 1, yag eiliki jarak ke sipul-sipul dari kelas partisi yag lai yaitu d(y 1,1, u) = d(y 1,, u) = 1 diaa u S \ {y 1,1, y 1, }. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y 1,1, y 1, S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y 1,1 Π) = r(y 1, Π) = (0, 1,..., 1) }{{} berakibat dua sipul y 1,1, y 1, harus berada dala partisi yag berbeda. Maka Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π adalah 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ). 6

88 Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(p K ). Jadi diesi partisi dari graf P K adalah pd(p K ) = utuk, da = 1. Utuk = l diaa l, eetuka batas atas diesi partisi pd(p K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P K dapat dilihat pada Gabar 4.9. Utuk, da = l, l. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga: S j 1 = {y i,j i j 1, 1 i l, l, j } S = {y i,i+1 1 i l, l } S 1 = {y i,1 i l, l } S 1 = {y 1,1 } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipulsipul dari graf P K utuk, da = l, l, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1,..., 1); jika 1 j }{{} 1 r(y 1, Π) = (1,..., 1, 0); jika 1 j }{{} 1 r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika j }{{}}{{} j j+1 r(y i,1 Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1 }{{} i 1 r(y i,j Π) = (1,..., 1 j i }{{} j }{{} i, 0, 1,..., 1 }{{} i j } {{ } i 1, 0, 1); jika i l, l,, 1,..., 1); jika i l, l, }{{} i r(y i,j Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika i l, l, }{{}}{{}}{{} i 1 j i i 1 }{{} i i + j r(y i,i+1 Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0); jika i l, l }{{}}{{} i 1 i 1 Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf P K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, 64

89 diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf P C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf P K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari P K dega Π = 1 sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk, da = l, l terdiri dari buah sipul. Tapa eguragi keuua, isalka graf P K dega, da = l, l eiliki hipua kelas partisi yaitu Π = {S 1, S, S,..., S 1 }. Perhatika pada Gabar 4.8 utuk sebuah subgraf berupa graf legkap yag elekat pada sipul y 1,1 dapat ditetuka beberapa kasus pegelopoka kelas partisiya sebagai berikut: a) Abil S 1 = {y 1,1 }, S j = {y 1,j j }, da S 1 = {y 1, 1, y 1, }. Dari kelas-kelas partisi tersebut, terdapat dua sipul yag berada dala kelas partisi yag saa yaitu y 1, 1, y 1, S 1 da sipul y 1, 1, y 1, tidak berada pada sipul-sipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap. Sipul y 1, 1, y 1, eiliki jarak ke sipul-sipul dari kelas partisi yag lai yaitu d(y 1, 1, u) = d(y 1,, u) = 1 diaa u S \ {y 1, 1, y 1, }. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y 1, 1, y 1, S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y 1, 1 Π) = r(y 1, Π) = (1,..., 1, 0) }{{} berakibat dua sipul y 1, 1, y 1, harus berada dala partisi yag berbeda. Maka Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. b) Misalka S 1 = {y 1,1, } da S j 1 = {y 1,j j }. Dari kelaskelas partisi tersebut, terdapat dua sipul yag berada dala kelas partisi yag saa yaitu y 1,1, y 1, S 1 da sipul y 1, tidak berada pada sipulsipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap da sipul y 1, tidak berada pada sipul-sipul backboe atau sipul pelekata dari graf legkap. Sipul y 1,1, y 1, yag eiliki jarak ke sipul-sipul dari kelas partisi yag lai yaitu d(y 1,1, u) = d(y 1,, u) = 1 diaa u S \ {y 1,1, y 1, }. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y 1,1, y 1, S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y 1,1 Π) = r(y 1, Π) = (0, 1,..., 1) }{{} berakibat dua sipul y 1,1, y 1, harus berada dala partisi yag berbeda. Maka 65

90 Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π adalah 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(p K ). Jadi diesi partisi dari graf P K adalah pd(p K ) = utuk, da = l, l. Kasus : Utuk > Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P K. Utuk, da >. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S +1 } sedeikia sehigga: S j = {y i,j i, 1 j } S j 1 = {y l,j j } S +1 = {y 1,1 } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipulsipul dari graf P K utuk, da >, sebagai berikut: r(y i,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1, i); jika i, j }{{}}{{} j 1 j r(y i,1 Π) = (0, 1,..., 1, i 1); jika i }{{} 1 r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,, 1); jika j }{{}}{{} j j r(y 1,1 Π) = (1,..., 1,, 0). }{{} 1 Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S +1 } erupaka partisi pebeda dari graf P K. Sehigga Π = + 1. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega + 1. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf P K pd(p K ) + 1. yaitu Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf P C didapatka dega Lea.. Sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf P K eiliki kardialitas kurag dari + 1. Misalka suatu partisi pebeda dari P K dega Π = sehigga terdapat sedik- 66

91 itya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk, da > terdiri dari buah sipul. Tapa eguragi keuua, isalka graf P K dega, da > eiliki hipua kelas partisi yaitu Π = {S 1, S, S,..., S }. Perhatika pada Gabar 4.8 utuk sebuah subgraf berupa graf legkap yag elekat pada sipul y i,1, 1 i dapat ditetuka beberapa kasus pegelopoka kelas partisiya sebagai berikut: a) Abil Π = {S 1, S, S,..., S } dega S j = {y i,j 1 i, 1 j }. Tapa eguragi keuua, jika kita perhatika kelas pastisi S 1 = {y i,1 1 i }, aka sipul-sipul di kelas partisi S 1 eiliki jarak yag saa terhadap sipul di subgraf legkap H i = K. Misalka kita abil dua sipul di kelas partisi S 1 yaitu u, v S 1 sehigga jarak atara u ke kelas partisi S k, k adalah 1 da juga berlaku utuk jarak v ke kelas partisi S k, k adalah 1 sehigga didapatka d(u, S k ) = d(v, S k ) = 1, k. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul u, v S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(u Π) = r(v Π) = (0, 1,..., 1) berakibat dua sipul u, v harus berada dala }{{} 1 partisi yag berbeda dega syarat salah satu dari sipul u, v erupaka sipul ujug dari subgraf P atau salah satu dari sipul u, v erupaka sipul ujug dari backboe graf P K. Maka Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. b) Abil Π = {S 1, S, S,..., S } dega S 1 = {y i,1 1 i } {y i, i }, S j = {y i,j 1 i, j } da S = {y 1, }. Tapa eguragi keuua, jika kita perhatika kelas pastisi S 1 = {y i,1 1 i } {y i, i }, aka sipul-sipul di kelas partisi S 1 eiliki jarak yag saa terhadap sipul di subgraf legkap H i = K. Misalka kita abil dua sipul di kelas partisi S 1 yaitu y i,, y i+1,1 S 1, 1 sehigga jarak atara y i, ke kelas partisi S k, k adalah 1, jarak atara y i, ke kelas partisi S adalah da juga berlaku utuk jarak y i+1,1 ke kelas partisi S k, k adalah 1, jarak atara y i+1,1 ke kelas partisi S adalah. Sehigga didapatka d(y i,, S k ) = d(y i+1,1, S k ) = 1, k da d(y i,, S ) = d(y i+1,1, S ) =. Oleh karea itu, terdapat sedikitya dua sipul y i,, y i+1,1 S 1 yag eiliki represetasi yag saa sebagaiaa r(y i, Π) = r(y i, Π) = (0,, 1,..., 1) berakibat dua sipul }{{} 67

92 y i,, y i+1,1 harus berada dala partisi yag berbeda. Maka Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π adalah buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf P K yaitu pd(p K ) + 1. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi + 1 pd(p K ) + 1. Jadi diesi partisi dari graf P K adalah pd(p K ) = + 1 utuk, da >. Berdasarka epat kasus pebuktia di atas diketahui bahwa pd(p K ) = utuk =, pd(p K ) = utuk = 1 da pd(p K ) = utuk = l diaa l sehigga dapat digabug ejadi pd(p K ) = utuk da pd(p K ) = + 1 utuk > Diesi Partisi Graf Legkap Cob Graf Legkap Graf hasil operasi cob atara graf legkap K dega graf legkap K dihasilka dari eduplikat graf legkap K sebayak sipul di graf legkap K dega eletakka salah satu sipul ujug graf legkap K pada setiap sipul graf legkap K, aka dapat dikataka bahwa graf K K erupaka graf yag terdiri dari kali graf legkap K yag eiliki hipua sipul V (K K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K K ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,j y i,j+l 1 i, 1 j, 1 l j}. Graf K K eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf K K ditujukka pada Gabar 4.10 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf K K dega, Z +. Jika =, graf K isoorfik dega graf litasa P da jika = aka graf K isoorfik dega graf litasa P sedeikia sehigga order dari graf legkap K da graf legkap K asig-asig adalah da.. Dala eetuka diesi partisi suatu graf K K, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K K. Diesi partisi esyaratka seua hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.7. Misalka K adalah graf legkap order da K adalah graf legkap order. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi 68

93 Gabar 4.10: (a) Graf Hasil Operasi K K, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 K 6 cob K K adalah pd(k K ) = {, jika, jika > Bukti: Misalka graf K K eiliki hipua sipul V (K K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K K ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,j y i,j+l 1 i, 1 j, 1 l j}. Utuk eujukka diesi partisi graf K K dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus yaitu kasus pertaa utuk <, kedua utuk =, sedagka kasus ketiga utuk >. Kasus 1: Utuk < dega = l, 1 l Diesi partisi graf K K dega buah sipul adalah utuk da, dikareaka utuk = 5 da = 6 ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf K K utuk da, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf K K adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(k K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf K K dapat dilihat pada Gabar 4.11 (b). Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (K K ) dega Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga: S i = {x i ; 1 i } S +i l = {y i,i ; 1 l 1, i l + 1} 69

94 Gabar 4.11: (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 5 K 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 K 5 S +i l k = {y i,i k ; 1 l 1, i l + 1, 1 k i } S = {y i,i ; 1 l 1, l + i l} S k = {y i,i k ; 1 l 1, l + i l, 1 k l} S j 1 = {y i,j ; 1 i, 1 l 1, 1 k l + 1, j l, j i k + 1} S = {y k+1, l ; 1 l 1, 1 k l} S k = {y k, l r ; 1 l 1, 1 k l 1, 1 r k} S +i l = {y i,i ; l, i l} S +i l k = {y i,i k ; l, i l, 1 k i } S j 1 = {y i,j ; 1 i, l, 1 k l + 1, j l, j i k + 1} S r = {y k, l r ; l, 1 k l, 1 r k} S = {y k+1, l ; gasal, l, 1 k l} S = {y k+1, l ; geap, l, 1 k l 1} S i+k 1 = {y i,k+1 ; geap, l, 1 k l 1, l + 1 i l + 1}. Dapat ditujukka bahwa seua sipul di graf K K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii erupaka hasil observasi pada graf K K. Sipul-sipul x i dega 1 i da y i,j dega 1 i da 1 j l 1. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf K K utuk <, sebagai berikut: r(x i Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 i }{{}}{{} i 1 i 70

95 r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,,..., ); jika 1 l }{{}}{{}}{{} 1, j l j l j l+1 r(y i,i Π) = (,...,, 1,..., 1, 0,,..., ); jika 1 l }{{}}{{}}{{} 1, i l + 1 i 1 l l r(y i,i k Π) = (,...,, 1,..., 1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1,,..., ); jika 1 l }{{}}{{} i 1 i k 1 1, i l + 1, 1 k i }{{} l i 1 }{{} k }{{} l i+ r(y i,i Π) = (1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0); jika 1 l }{{}}{{}}{{} 1, l + i l i l l+1 i r(y i,i k 1 Π) = (1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 l }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} i l l+1 i k l i k 1, l + i l, 1 k l r(y i,j Π) = (,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1,,..., ); jika 1 l }{{}}{{}}{{}}{{} 1, 1 i i 1 j i 1 +i l j 1 l i+ l + 1, i + 1 j l r(y i,j Π) = (1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 l }{{}}{{}}{{}}{{} 1, l + i i l l+1 j i 1 j+1 l 1, i + 1 j l r(y i,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,,...,, 1,..., 1); jika 1 l }{{}}{{}}{{}}{{} j } i j l {{} l+1 i+1 i l 1, j i l 1 r(y k+1, l Π) = ( 1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0); jika 1 l }{{}}{{}}{{} 1, 1 k l l k 1 l+1 k 1 r(y k, l r 1 Π) = ( 1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 l }{{}}{{}}{{}}{{} l k l+1 k r r 1, 1 k l 1, 1 r k r(y i,i Π) = (,...,, 1,..., 1, 0,,..., }{{}}{{} i 1 l r(y i,i k Π) = (,..., }{{} l i+ }{{}}{{} i 1 i k, i l, 1 k i } {{ } k+1 ); jika l, i l, 1,..., 1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1,,..., ); jika }{{}}{{}}{{} l l i k l i+ r(y i,k+1 Π) = (,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1,,..., ); jika geap, }{{}}{{}}{{}}{{} l l +k l 1 k l 1 l +1, l + 1 i l + 1, 1 k l 1 r(y k+1, l Π) = ( 1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0); jika geap, }{{}}{{}}{{} l k l 1 l+1 k 1, 1 k l 1 r(y k+1, l Π) = ( 1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0); jika gasal, }{{}}{{}}{{} l, 1 k l k l 1 l+1 k 1 71

96 r(y k, l 1 Π) = ( 1,..., 1,,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika }{{}}{{}}{{}}{{} k l l+1 k r } {{ r } k+1 k l, 1 r k r(y i,j Π) = (,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1,,..., ); jika }{{}}{{}}{{}}{{} l, i i 1 j i 1 +i j l 1 l i+ l 1, i + 1 j l r(y i,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,,...,, 1,..., 1); jika }{{}}{{}}{{}}{{} j } i j l {{} l+1 i+1 i l 1, j i l 1 Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf K K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., s } erupaka partisi pebeda dari graf K K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas atas diesi partisi dari graf K K sehigga dapat ditulis pd(k K ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf K K, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf K K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari K K dega Π = 1 aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf K K dega <, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S i = {y i,1 1 i 1}, S 1 = {y,1 }, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y,1 Π) = r(y 1,1 Π) = (1,..., 1, 0). Jadi Π dega Π = 1 }{{} buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, aka diperoleh Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf K K adalah pd(k K ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi pd(k K ). Jadi, diesi partisi dari graf K K yaitu pd(k K ) = utuk < dega = l da 1 l. Kasus : Utuk = Diesi partisi graf K K dega buah sipul adalah utuk da 7

97 , dikareaka utuk = da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf K K utuk, da =, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf K K adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(k K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf K K dapat dilihat pada Gabar 4.10 (b). Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (K K ) dega Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga: S i = {y i,1 1 i }, S j 1 = {y i,j j i, 1 i, j } da S = {y i,j i, i = j} aka ditujukka bahwa seua sipul di graf K K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii erupaka hasil observasi pada graf K K. Sipul-sipul x i dega 1 i da y i,j dega 1 i da 1 j 1. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf K K utuk =, sebagai berikut: r(y i,1 Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 i }{{}}{{} i 1 i r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1, ); jika j }{{}}{{} j j r(y i,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,, 1,..., 1 }{{} j r(y i,j Π) = (1,..., 1 }{{} i }{{} i j 1 } {{ } i,, 1,..., 1 }{{} i+1 ); jika i, j i 1, 0, 1,..., 1); jika i, i + 1 j }{{}}{{} j i 1 j+1 } {{ } i+1 r(y i,j Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0); jika i, i = j }{{}}{{} i i Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf K K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., s } erupaka partisi pebeda dari graf K K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf K K sehigga batas atas dapat ditulis pd(k K ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf K K, sekarag epertibagka bahwa partisi pebeda dari graf K K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari K K dega Π = 1 aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag 7

98 saa. Utuk eujukka bahwa terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf K K dega, da =, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S i = {y i,1 1 i 1}, S 1 = {y,1 }, S j 1 = {y i,j j i, 1 i, j } da S 1 = {y i,j i, i = j} aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y,1 Π) = r(y 1,1 Π) = (1,..., 1, 0). Jadi }{{} Π dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, aka diperoleh Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. dikataka batas bawah diesi partisi dari graf K K Oleh sebab itu, dapat yag dapat ditulis pd(k K ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K K adalah pd(k K ). Jadi, diesi partisi dari graf K K yaitu pd(k K ) = utuk =. Kasus : Utuk > Diesi partisi graf K K dega buah sipul adalah utuk da, dikareaka utuk = 4 da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf K K utuk >, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf K K adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(k K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf K K dapat dilihat pada Gabar 4.11 (a). Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (K K ) dega Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga: S i = {y i,1 1 i }, S j 1 = {y i,j j i, 1 i, j } da S = {y i,j i 1, i = j} aka ditujukka bahwa seua sipul di graf K K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf K K dega sipul-sipul y i,j dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf K K utuk >, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1,..., 1, ) }{{} r(y i,1 Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika i }{{}}{{} i 1 i r(y 1,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1, ); jika j }{{} j }{{} j 74

99 r(y i,j Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,, 1,..., 1); jika i, j i 1 }{{}}{{}}{{} j } {{ i j 1 } i+1 i r(y i,j Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika i, i + 1 j }{{}}{{}}{{} i j i 1 j+1 } {{ } i+1 r(y i,j Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0); jika i, i = j }{{}}{{} i i Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf K K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., s } erupaka partisi pebeda dari graf K K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf K K yaitu pd(k K ). Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf K K, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf K K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari K K dega Π = 1 aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk eujukka bahwa terdapat terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf K K dega, da >, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S i = {y i,1 1 i }, S j 1 = {y i,j j i, 1 i, j } da S 1 = {y i,j i }, i = j, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y i,i Π) = r(y i, Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0). Jadi Π dega Π = 1 }{{}}{{} i i 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, aka diperoleh Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf K K yag dapat ditulis pd(k K ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K K adalah pd(k K ). Jadi, diesi partisi dari graf K K yaitu pd(k K ) = utuk >. 75

100 Gabar 4.1: (a) Graf Hasil Operasi C K, (b) Kostruksi Partisi Pebeda C 5 K Diesi Partisi Graf Ligkara Cob Graf Legkap Graf hasil operasi cob atara graf ligkara C dega graf legkap K dihasilka dari eduplikat graf legkap K sebayak sipul di graf ligkara C dega eletakka salah satu sipul ujug graf legkap K pada setiap sipul graf ligkara C, aka dapat dikataka bahwa graf C K erupaka graf yag terdiri dari kali graf legkap K yag eiliki hipua sipul V (C K ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C K ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y,1 y 1,1 } {y j,i y j,i+k 1 j, 1 i, 1 k i}. Graf C K eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf C K ditujukka pada Gabar 4.1 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf C K dega, Z +. Jika =, graf C adalah graf luar atau graf tidak sederhaa yag eiliki sisi gada da jika =, graf K isoorfik dega graf P aka graf hasil operasi cob C K isoorfik dega C P sedeikia sehigga order ligkara C da graf legkap K asig-asig da. Dala eetuka diesi partisi suatu graf C K, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C K. Diesi partisi esyaratka seua hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.8. Misalka C adalah graf ligkara order da K adalah graf legkap order. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob 76

101 C K adalah {, jika pd(c K ) = + 1, jika > Bukti: Misalka graf C K eiliki hipua sipul V (C K ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C K ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y,1 y 1,1 } {y j,i y j,i+k 1 j, 1 i, 1 k i}. Diesi partisi graf C K dega buah sipul adalah jika da + 1 jika >, dikareaka utuk = da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf C K utuk da, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf C K adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Kasus 1: Utuk < Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(c K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C K dapat dilihat pada Gabar 4.1 (b). Utuk <. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga S j = {y j,1 1 j }, S i 1 = {y j,i i j, i, 1 j }, S = {y j,j j }, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf C K dega sipul-sipul y j,i dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C K utuk da, sebagai berikut: r(y 1,1 Π) = (0, 1,..., 1, ) }{{} r(y j,1 Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika j }{{}}{{} j 1 j r(y 1,i Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1, ); jika i }{{} i r(y j,i Π) = (1,..., 1 }{{} i r(y j,i Π) = (1,..., 1 }{{} j }{{} i, 0, 1,..., 1 }{{} j i 1 } {{ } j,, 1,..., 1,, 1,..., 1); jika j, i j 1 }{{} j+1, 0, 1,..., 1); jika j, j + 1 i }{{}}{{} i j 1 i+1 } {{ } j+1 r(y j,j Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0); jika j }{{}}{{} j j Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C K epuyai 77

102 represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf C K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf C K yag dapat ditulis pd(c K ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C K, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari C K dega Π = 1 sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk, da < terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf C K dega, da <, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S j = {y j,1 1 j }, S i 1 = {y j,i i j, i, 1 j } da S 1 = {y j,j j 1}, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y j,j Π) = r(y j, Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0). Jadi Π }{{}}{{} j j 1 dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas bawah diesi partisi dari graf C K dapat ditulis pd(c K ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C K adalah pd(c K ). Jadi, diesi partisi dari graf C K adalah pd(c K ) = utuk, da <. Kasus : Utuk = Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(c K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C K. Utuk, da =. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga S j = {y j,1 1 j }, S i 1 = {y j,i i j, i, 1 j }, S = {y j,j j }, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf C K dega sipul-sipul y j,i dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C K utuk da, sebagai berikut: r(y j,1 Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 j }{{}}{{} j 1 j 78

103 r(y 1,i Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1, ); jika i }{{}}{{} i i r(y j,i Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1,, 1,..., 1); jika j, i j 1 }{{}}{{}}{{} i } {{ j i 1 } j+1 j r(y j,i Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika j, j + 1 i }{{}}{{}}{{} j i j 1 i+1 } {{ } j+1 r(y j,j Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0); jika j }{{}}{{} j j Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf C K. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf C K yag dapat ditulis pd(c K ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C K, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C K eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari C K dega Π = 1 sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk, da = terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf C K dega, da =, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S j = {y j,1 1 j }, S i 1 = {y j,i i j, i, 1 j } da S 1 = {y j,j j 1}, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y j,j Π) = r(y j, Π) = (1,..., 1,, 1,..., 1, 0). Jadi Π }{{}}{{} j j 1 dega Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas bawah diesi partisi dari graf C K dapat ditulis pd(c K ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C K adalah pd(c K ). Jadi, diesi partisi dari graf C K adalah pd(c K ) = utuk da. Kasus : Utuk > Utuk geap, eetuka batas atas diesi partisi pd(c K ) dapat diperoleh 79

104 dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C K dapat dilihat pada Gabar 4.1 (b). Utuk da. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S +1 } sedeikia sehigga S = {y j,1 1 j } {y j, 1 j }, S i 1 = {y j,i 1 j, i 1}, S +1 = {y j, j, jgasal}, S i = {y j,i i, j, jgasal}, S i = {y j,i i, j, jgeap}, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf C K dega sipul-sipul y j,i dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C K utuk da adalah berbeda. Utuk ebuktika, padag bahwa sipul-sipul di graf C K dibedaka ejadi sipul dala yag berada pada ligkara C da sipul dau yag berada pada subgraf H j = K, perhatika beberapa kodisi berikut ii: a. Padag setiap sipul y j,1 V (C K ) erupaka sipul dala di C K yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul y j,1 eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 aka represetasi sipul y j,1 terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul y j,1 ke kelas partisi S ad S +1. Berakibat, represetasi r(y 1,1 Π)... r(y,1 Π) sehigga sipul y j,1 terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. b. Perhatika setiap sipul-sipul dau di j = 1, bahwa sipul-sipul tersebut y j, di C K. Misalka sipul y j, V (H j = K ) yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul y j, eiliki jarak yag saa terhadap setiap kelas partisi S 1, S,..., S aka represetasi sipul y j, terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul y j, ke kelas partisi S +1. Berakibat, represetasi r(y 1,1 Π) r(y,1 Π)... r(y 1,1 Π) r(y,1 Π) sehigga sipul y j, terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. c. Perhatika setiap sipul-sipul dau di j = 1, da i 1 bahwa sipul-sipul tersebut y j,i di C K. Sipul y j,i terasuk dala kelas partisi sigleto sehigga eiliki represetasi sipul yag berbeda da represetasi sipul y j,i dibedaka oleh kelas partisi S da S +1. d. Setiap sipul dau u, v V (H j = K ) dega j da sipul u, v teruat dala kelas partisi sigleto selai kelas partisi S 1. Jika setiap sipul u, v eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 aka repre- 80

105 setasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul u, v ke kelas partisi S ad S +1. Berakibat, represetasi r(y,i Π)... r(y,i Π) dega i sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S +1 } erupaka partisi pebeda dari graf C K. Sehigga Π = + 1. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega + 1. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf C K yag dapat ditulis pd(c K ) + 1. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C K. Misalka suatu partisi pebeda dari C K dega Π = sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk da terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf C K dega da. Padag sipul-sipul di kelas partisi S +1 digati ejadi kelas partisi S sehigga dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S } dega S = {y j,1 1 j } {y j, 1 j } {y j, j, jgasal}, S i 1 = {y j,i 1 j, i 1}, S i = {y j,i i, j, jgasal}, S i = {y j,i i, j, jgeap}, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y j,1 Π) = r(y j, Π) = (j,, 1,..., 1, 0) utuk 1 j }{{} dega j gasal atau r(y j,1 Π) = r(y j, Π) = ( j +,, 1,..., 1, 0) utuk }{{} +1 j dega j gasal. Jadi Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas bawah diesi partisi dari graf C K dapat ditulis pd(c K ) + 1. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C K adalah + 1 pd(c K ) + 1. Jadi, diesi partisi dari graf C K adalah pd(c K ) = + 1 utuk geap. Utuk gasal, eetuka batas atas diesi partisi pd(c K ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C K dapat dilihat pada Gabar 4.1 (b). Utuk da. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S +1 } sedeikia sehigga S = {y j,1 1 j } {y j, 1 81

106 j }, S i 1 = {y j,i 1 j, i 1}, S +1 = {y j, j +1, jgasal} {y j, + j, jgeap}, S i = {y j,i i, j + 1, jgasal} {y j,i i, + j, jgeap} da S i = {y j,i i, j + 1, jgeap} {y j,i i, + j, j gasal}, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C K epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf C K dega sipul-sipul y j,i dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C K utuk da adalah berbeda. Utuk ebuktika, padag bahwa sipul-sipul di graf C K dibedaka ejadi sipul dala yag berada pada ligkara C da sipul dau yag berada pada subgraf H j = K, perhatika beberapa kodisi berikut ii: a. Padag setiap sipul y j,1 V (C K ) erupaka sipul dala di C K yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul y j,1 eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 aka represetasi sipul y j,1 terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul y j,1 ke kelas partisi S ad S +1. Berakibat, represetasi r(y 1,1 Π)... r(y,1 Π) sehigga sipul y j,1 terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. b. Perhatika setiap sipul-sipul dau di j = 1, bahwa sipul-sipul tersebut y j, di C K. Misalka sipul y j, V (H j = K ) yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul y j, eiliki jarak yag saa terhadap setiap kelas partisi S 1, S,..., S aka represetasi sipul y j, terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul y j, ke kelas partisi S +1. Berakibat, represetasi r(y 1,1 Π)... r(y,1 Π) sehigga sipul y j, terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. c. Perhatika setiap sipul-sipul dau di j = 1, da i 1 bahwa sipul-sipul tersebut y j,i di C K. Sipul y j,i terasuk dala kelas partisi sigleto sehigga eiliki represetasi sipul yag berbeda da represetasi sipul y j,i dibedaka oleh kelas partisi S da S +1. d. Setiap sipul dau u, v V (H j = K ) dega j da sipul u, v teruat dala kelas partisi sigleto selai kelas partisi S 1. Jika setiap sipul u, v eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul u, v ke 8

107 kelas partisi S ad S +1. Berakibat, represetasi r(y,i Π)... r(y,i Π) dega i sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C K epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S +1 } erupaka partisi pebeda dari graf C K. Sehigga Π = + 1. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega + 1. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf C K yag dapat ditulis pd(c K ) + 1. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C K. Misalka suatu partisi pebeda dari C K dega Π = sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk da terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf C K dega da. Padag sipul-sipul di kelas partisi S +1 digati ejadi kelas partisi S sehigga dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S } dega S = {y j,1 1 j } {y j, 1 j }, S i 1 = {y j,i 1 j, i 1} {y j, j + 1, jgasal} {y j, + j, jgeap}, S i = {y j,i i, j + 1, jgasal} {y j,i i, + j, jgeap} da S i = {y j,i i, j + 1, jgeap} {y j,i i, + j, jgasal}, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y j,1 Π) = r(y j, Π) = (j,, 1,..., 1, 0) utuk j }{{} + 1 dega j gasal atau r(y j,1 Π) = r(y j, Π) = ( j +,, 1,..., 1, 0) utuk }{{} +1 j dega j geap. Jadi Π dega Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas bawah diesi partisi dari graf C K dapat ditulis pd(c K ) + 1. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C K adalah + 1 pd(c K ) + 1. Jadi, diesi partisi dari graf C K adalah pd(c K ) = + 1 utuk da. 8

108 Gabar 4.1: (a) Graf Hasil Operasi P δ P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda P 6 δ P Diesi Partisi Graf Litasa Cob Graf Litasa Graf hasil operasi cob atara graf litasa P dega graf litasa P dihasilka dari eduplikat graf litasa P sebayak sipul di graf litasa P dega eletakka salah satu sipul ujug graf litasa P pada setiap sipul graf litasa P, aka dapat dikataka bahwa graf P δ P erupaka graf yag terdiri dari kali graf litasa P yag eiliki hipua sipul V (P δ P ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P δ P ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Graf P δ P eiliki buah sipul da 1 buah sisi. Graf P δ P ditujukka pada Gabar 4.1 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf P δ P dega, Z +. Jika = 1, graf P 1 adalah graf trivial aka graf hasil operasi cob P 1 δ P isoorfik dega litasa P da jika = 1, graf P 1 adalah graf trivial aka graf hasil operasi cob P δ P 1 isoorfik dega litasa P sedeikia sehigga order litasa P da litasa P asig asig da. Dala eetuka diesi partisi suatu graf P δ P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P δ P. Diesi partisi esyaratka seua hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.9. Diberika dua graf terhubug P da P dega asig-asig orderya da dega da dega sipul pelekata dari graf litasa P berderajat satu, aka diesi partisi graf hasil operasi cob P δ P adalah {, jika = pd(p δ P ) =, jika 84

109 Bukti: Misalka graf P δ P eiliki hipua sipul V (P δ P ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P δ P ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Utuk eujukka diesi partisi graf P δ P dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi dua kasus yaitu kasus pertaa utuk =, sedagka kasus kedua utuk. Kasus 1: Utuk = da Utuk = da, graf P δ P eiliki hipua sipul V (P δ P ) = {y 1,1, y 1, } {y i,j 1 i, j } da hipua sisi E(P δ P ) = {y 1,1 y 1, } {y i,j y i,j+1 j 1}, aka sipul-sipul y 1, da y, berderajat satu da sipul u V (P δ P ) {y 1,, y, } berderajat dua sehigga graf P δ P isoorfik dega graf litasa P. Berdasarka Teorea. (i) eyataka bahwa diesi partisi graf litasa pd(p ) =. Dikareaka graf P δ P isoorfik dega graf P aka diesi partisi dari graf P δ P adalah pd(p δ P ) = utuk. Kasus : Utuk da Diesi partisi graf P δ P dega buah sipul adalah utuk da, dikareaka utuk = 4 da = ebetuk suatu pola sehigga dapat diperoleh betuk uu dari graf P δ P utuk da, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf P δ P adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p δ P ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P δ P dapat dilihat pada Gabar 4.1 (b). Misalka Π adalah suatu partisi pebeda dari V (P δ P ) dega Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga: S 1 = {y 1, }, S = {y 1,j 1 j 1} {y,j 1 j 1} {y i,j i 1, 1 j } da S = {y, }, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P δ P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf P δ P dega sipul-sipul y i,j dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf P δ P utuk da, sebagai berikut: r(y i,1 Π) = ( + i, 0, + i 1); jika 1 i r(y 1, Π) = (0, 1, + ) r(y, Π) = ( +, 1, 0) r(y 1,j Π) = ( j, 0, + + j ); jika j 1 85

110 r(y,j Π) = ( + + j, 0, j); jika j 1 r(y i,j Π) = ( + j + i, 0, + + j i ); jika i 1, j Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P δ P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf P δ P. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas atas diesi partisi dari graf P δ P sehigga dapat ditulis pd(p δ P ). Batas bawah dari diesi partisi graf P δ P dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Utuk da graf hasil operasi cob P δ P tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika bahwa batas bawah diesi partisi dari graf P δ P, yaitu pd(p δ P ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P δ P adalah pd(p δ P ). Jadi, diesi partisi dari graf P δ P yaitu pd(p δ P ) = utuk da. Sekarag, aka ebahas diesi partisi pada graf P P dega, Z + da salah satu sipul v P yag dilekatka ke setiap sipul u P da sipul v epuyai derajat saa dega dua. Jika =, graf P erupaka litsa da setiap sipul di P tidak berderajat dua da jika =, graf P erupaka litsa da setiap sipul di P tidak berderajat dua, sedeikia sehigga order litsa P da litasa P asig-asig da. Graf P P ditujukka pada Gabar 4.14 (a). Dala eetuka diesi partisi suatu graf P P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P P. Diesi partisi esyaratka partisi pebeda Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea Misalka P adalah graf litasa order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat dua. Utuk da, diesi partisi graf hasil operasi cob P P adalah pd(p P ) =. Bukti: Misalka graf P P eiliki hipua sipul V (P P ) = {y i,k 1 i, 1 k p, p } {y i,l 1 i, l p + 1, p } da hipua sisi E(P P ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 86

111 Gabar 4.14: (a) Graf Hasil Operasi P P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda P 6 P 7 1} {y i,k y i,k+1 1 i, 1 k p 1, p } {y i,ly j,l+1 1 i, l p, p } {y i,1y i, 1 i }. Diesi partisi graf P P dega buah sipul adalah utuk da, dikareaka utuk = da = ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf P P, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf P P adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Batas bawah dari diesi partisi graf P P dapat erujuk pada Teorea. (i) eyataka bahwa pd(g) = jika da haya jika graf G isoorfik dega litasa P. Utuk da graf hasil operasi cob P P tidak isoorfik dega litasa P, aka dapat dipastika bahwa batas bawah diesi partisi dari graf P P, yaitu pd(p P ). Selajutya, utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(p P ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf P P dapat dilihat pada Gabar 4.14 (b). Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S } sedeikia sehigga S i = {y 1,k 1 k p, p } {y i,k i, k p, p }, S = {y i,1 i } {y i,l i, l p + 1, p } da S = {y i,l l p + 1, p } aka ditujukka bahwa seua sipul di graf P P epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Peulisa represetasi setiap sipul dapat diyataka dala betuk lebih uu yag bergatug pada ilai da. Dala kasus ii, dapat diyataka dala beberapa paraeter yaitu ilai k, l yag bergatug pada ilai p da jua ilai p bergatug pada ilai. Sebagai ilustrasi, jika diabil ilai = 6 aka ilai p 6 =. Nilai k bergatug 87

112 pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka k atau k {} da utuk p = aka k atau k {, }. Nilai l bergatug pada ilai p sedeikia sehigga jika p = aka l 6 +1 = 5 atau l {,, 4, 5} da utuk p = aka l = 4 atau l {,, 4}. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P utuk da, sebagai berikut: r(y 1,k Π) = (0, k, k); jika 1 k p, p r(y i,k Π) = (0, k 1, i + k 1); jika i, k p, p r(y i,l Π) = (l, 0, i + l 1); jika i, l p + 1, p r(y i,1 Π) = (1, 0, i); jika i r(y 1,l Π) = (l 1, l, 0); jika l p + 1, p Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf P P epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S } erupaka partisi pebeda dari graf P P. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π adalah. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf P P adalah pd(p P ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi pd(p P ). Jadi diesi partisi dari graf P P adalah pd(p P ) = utuk da Diesi Partisi Graf Legkap Cob Graf Ligkara Graf hasil operasi cob atara graf legkap K dega graf ligkara C dihasilka dari eduplikat graf ligkara C sebayak sipul di graf legkap K dega eletakka salah satu sipul ujug graf ligkara C pada setiap sipul graf legkap K, aka dapat dikataka bahwa graf K C erupaka graf yag terdiri dari kali graf ligkara C yag eiliki hipua sipul V (K C ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K C ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,1 y i, 1 i } {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Graf C C eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf C C ditujukka pada Gabar 4.15 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf K C dega, Z +. Jika =, graf C adalah graf luar atau graf tidak sederhaa yag eiliki sisi gada da jika =, graf K isoorfik dega graf litasa P aka graf hasil operasi cob K C isoorfik dega P C, sedeikia sehigga order 88

113 Gabar 4.15: (a) Graf Hasil Operasi K C, (b) Kostruksi Partisi Pebeda K 6 C 6 graf legkap K da ligkara C asig-asig da. Dala eetuka diesi partisi suatu graf K C, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K C. Diesi partisi esyaratka seua hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea Diberika dua graf terhubug K da C dega asig-asig orderya da dega da, aka diesi partisi graf hasil operasi cob K C adalah pd(k C ) = Bukti: Misalka graf K C eiliki hipua sipul V (K C ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K C ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,1 y i, 1 i } {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Diesi partisi graf K C dega buah sipul adalah dega da dikareaka utuk = da = 6 ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf K C utuk da, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf K C adalah dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(k C ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf K C dapat dilihat pada Gabar 4.15 (b). Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S,..., S } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,1, y 1,, y,j j } da S i = {y i,1, y i,, y i 1,j i, j }, aka ditujukka bahwa seua sipul di graf K C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada 89

114 graf K C dega sipul-sipul y i,j dega 1 i da 1 j. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf K C utuk da, sebagai berikut: r(y i,1 Π) = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); jika 1 i }{{}}{{} i 1 i r(y i, Π) = (,...,, 0, 1,,..., ); jika 1 i 1 }{{}}{{} i 1 i 1 r(y, Π) = (1,,...,, 0) r(y i,j Π) = (j,..., j, j, 0, j,..., j); jika 1 i 1, j }{{}}{{} + 1 i 1 i 1 r(y i,j Π) = ( j +,..., j +, j+1, 0, j +,..., j + ); jika }{{}}{{} i 1 i 1 1 i 1, + j r(y,j Π) = (0, j,..., j, j ); jika j }{{} + 1 r(y,j Π) = (0, j +,..., j +, j + 1); jika }{{} + j Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf K C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S,..., S } erupaka partisi pebeda dari graf K C. Sehigga Π =. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf K C yag dapat ditulis pd(k C ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf K C, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf K C eiliki kardialitas kurag dari. Misalka suatu partisi pebeda dari K C dega Π = 1 aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk da terdiri dari buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, isalka graf K C dega da, dapat dipilih Π = {S 1, S, S,..., S 1 } dega S 1 = {y 1,1, y 1,, y,j, y 1,j j }, S i = {y i,1, y i,, y i 1,j i 1, j } da S 1 = {y,1, y, }, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y,1 Π) = r(y 1,1 Π) = (1,..., 1, 0) dikareaka }{{} sipul y,1 da y 1,1 terdapat dala kelas partisi yag saa da eiliki jarak d(y,1, S i ) da d(y 1,1, S i ) dega S i Π, 1 i k. Berdasarka Lea., sipul y,1 da y 1,1 harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi, Π dega 90

115 , Gabar 4.16: Graf Hasil Operasi C C Π = 1 buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega 1 buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka sebagai batas bawah diesi partisi dari graf K C dapat ditulis pd(k C ). Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K C adalah pd(k C ). Jadi, diesi partisi dari graf K C yaitu pd(k C ) = utuk da Diesi Partisi Graf Ligkara Cob Graf Ligkara Graf hasil operasi cob atara graf ligkara C dega graf ligkara C dihasilka dari eduplikat graf ligkara C sebayak sipul di graf ligkara C dega eletakka salah satu sipul ujug graf ligkara C pada setiap sipul graf ligkara C, aka dapat dikataka bahwa graf C C erupaka graf yag terdiri dari kali graf ligkara C yag eiliki hipua sipul V (C C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(C C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y,1 y 1,1 } {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Graf C C eiliki buah sipul da ( + 1) buah sisi. Graf C C ditujukka pada Gabar Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf C C dega, Z +. Jika =, graf C adalah graf luar atau graf tidak sederhaa yag eiliki sisi gada da jika =, graf C adalah graf luar atau graf tidak sederhaa 91

116 yag eiliki sisi gada sedeikia sehigga order ligkara C da ligkara C asig-asig da. Dala eetuka diesi partisi suatu graf, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C C. Diesi partisi esyaratka seua hipua sipul elee Π harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.1. Diberika dua graf terhubug C da C dega asig-asig orderya da dega da, aka diesi partisi graf hasil operasi cob C C adalah pd(c C ) = {, jika = 4, jika 4 Bukti: Misalka graf C C eiliki hipua sipul V (C C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(C C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y,1 y 1,1 } {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Utuk eujukka diesi partisi graf C C dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi dua kasus yaitu kasus pertaa utuk =, sedagka kasus kedua utuk 4. Kasus 1: Utuk = da Utuk = da, graf C C da C isoorfik K, aka graf C C isoorfik dega graf K C. Berdasarka Teorea 4.11 eyataka bahwa diesi partisi graf pd(k C ) = utuk. Oleh karea itu, utuk = da graf C C eiliki diesi partisi yaitu pd(c C ) =. Jadi terbukti bahwa diesi partisi graf C C adalah. Kasus : Utuk 4 da Diesi partisi graf C C dega buah sipul adalah 4 utuk da 4, dikareaka utuk = da = 4 ebetuk suatu pola. Tapa eguragi keuua, dapat diperoleh betuk uu dari graf C C utuk da 4, aka dapat dibuktika bahwa diesi partisi graf C C adalah 4 dega ebetuk sebuah teorea da dibuktika. Utuk eetuka batas atas diesi partisi pd(c C ) dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda Π pada graf C C dapat dilihat pada Gabar 4.17 (a). Perhatika dua kasus berikut: Utuk geap da. Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,, y, }, S = {y i, 1 i, i geap}, 9

117 Gabar 4.17: (a) Kostruksi Partisi Pebeda C 6 C 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda C 7 C 6 S = {y i,j 1 i, j } {y i,1 1 i } da S 4 = {y i, i, i gasal} aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Berikut ii aka dilakuka observasi pada graf C C. Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk geap adalah berbeda. Utuk ebuktika, padag bahwa sipul-sipul di graf C C dibedaka ejadi sipul dala yag berada pada ligkara C da sipul dau yag berada pada subgraf H i = C, perhatika beberapa kodisi berikut ii: a. Padag u, v V (C C ) erupaka sipul dala di C C yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul u, v eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 yaitu d(u, S 1 ) = d(v, S 1 ) aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul u, v ke kelas partisi S ad S 4. Berakibat, represetasi r(u Π) r(v Π) sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. b. Perhatika setiap sipul-sipul dau u, v di C C. Misalka sipul u, v H i = C yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul u, v eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 yaitu d(u, S 1 ) = d(v, S 1 ) aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul u, v ke kelas partisi S ad S 4. Berakibat, represetasi r(u Π) r(v Π) sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. 9

118 c. Utuk setiap sipul u, v di di sipul dau da sipul u, v tidak berada pada kelas partisi S aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul u, v ke kelas partisi S 1. Berakibat, represetasi r(u Π) r(v Π) sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf tersebut. Sehigga Π = 4. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega 4. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf C C yag dapat ditulis pd(c C ) 4. Selajutya, utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C C, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C C eiliki kardialitas kurag dari 4. Misalka suatu partisi pebeda dari C C dega Π = aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk geap da terdiri dari + 1 buah cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, abil Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,, y, }, S = {y i, i, i geap} da S = V (C C ) (S 1 S ) aka dapat kita pilih sebarag y i,, y i, S utuk i dega i gasal da sipul y i,, y i, eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S isalka d(y i,, S 1 ) = d(y i,, S 1 ) = i, d(y i,, S ) = d(y i,, S ) = utuk i + 1 dega i gasal da d(y i,, S 1 ) = d(y i,, S 1 ) = i +, d(y i,, S ) = d(y i,, S ) = utuk + i dega i gasal sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y i, Π) = r(y i, Π) = (i,, 0) utuk i +1 dega i gasal da r(y i, Π) = r(y i, Π) = ( i +,, 0) utuk + i dega i gasal. Jadi kardialitas partisi pebeda adalah Π = buka erupaka partisi pebeda. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf C C yag dapat ditulis pd(c C ) 4. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C C adalah 4 pd(c C ) 4. Jadi, diesi partisi dari graf C C adalah pd(c C ) = 4 utuk 4 da. Utuk gasal da, Abil partisi pebeda Π = {S 1, S, S, S 4 } sedeikia sehigga S 1 = {y 1,, y, }, S = {y i, 1 i + 1, i geap} 94

119 {y i, + i, i gasal}, S = {y i,j 1 i, j } {y i,1 1 i } da S 4 = {y i, 1 i +1, i gasal} {y i, + i, i geap} aka ditujukka bahwa seua sipul di graf C C epuyai represetasi yag berbeda terhadap Π. Hasil observasi pada graf C C dapat dilihat pada Gabar 4.17 (b). Dari hasil observasi, didapat represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk gasal adalah berbeda. Utuk ebuktika, padag bahwa sipul-sipul di graf C C dibedaka ejadi sipul dala yag berada pada ligkara C da sipul dau yag berada pada subgraf H i = C, perhatika beberapa kodisi berikut ii: a. Padag u, v V (C C ) erupaka sipul dala di C C yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul u, v eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 yaitu d(u, S 1 ) = d(v, S 1 ) aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul u, v ke kelas partisi S ad S 4. Berakibat, represetasi r(u Π) r(v Π) sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. b. Perhatika setiap sipul-sipul dau u, v di C C. Misalka sipul u, v H i = C yag teruat dala kelas partisi yag saa S, jika sipul-sipul u, v eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1 yaitu d(u, S 1 ) = d(v, S 1 ) aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul-sipul u, v ke kelas partisi S ad S 4. Berakibat, represetasi r(u Π) r(v Π) sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. c. Utuk setiap sipul u, v di di sipul dau da sipul u, v tidak berada pada kelas partisi S aka represetasi sipul u, v terhadap Π dibedaka oleh jarak sipul u, v ke kelas partisi S 1. Berakibat, represetasi r(u Π) r(v Π) sehigga sipul u, v terhadap Π eiliki represetasi sipul yag berbeda. Terlihat dari hasil observasi di atas, seua sipul dari graf C C epuyai represetasi yag berbeda. Jadi Π = {S 1, S, S, S 4 } erupaka partisi pebeda dari graf C C. Sehigga Π = 4. Berdasarka uraia di atas, diperoleh bahwa Π erupaka partisi pebeda dega kardialitas Π saa dega 4. Nau, Π belu tetu epuyai kardialitas iiu. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas atas diesi partisi dari graf C C yag dapat ditulis pd(c C ) 4. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi dari graf C C, aka ditujukka bahwa partisi pebeda dari graf C C eiliki kardialitas kurag dari 95

120 4. Misalka suatu partisi pebeda dari C C dega Π = aka aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Utuk gasal da terdiri dari + 1 cycle da buah sipul, aka terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa. Tapa eguragi keuua, abil Π = {S 1, S, S } dega S 1 = {y 1,, y, }, S = {y i, 1 i +1, i geap} {y i, + i, i gasal} da S = V (C P ) (S 1 S ) aka dapat kita pilih sebarag y i,, y i, S utuk i da sipul y i,, y i, eiliki jarak yag saa terhadap kelas partisi S 1, S isalka d(y i,, S 1 ) = d(y i,, S 1 ) = i, d(y i,, S ) = d(y i,, S ) = utuk i +1 dega i gasal da d(y i,, S 1 ) = d(y i,, S 1 ) = i +, d(y i,, S ) = d(y i,, S ) = utuk + i dega i geap sehigga terdapat sedikitya dua sipul dega represetasi yag saa, yaitu r(y i, Π) = r(y i, Π) = (i,, 0) utuk i + 1 dega i gasal da r(y i, Π) = r(y i, Π) = ( i +,, 0) utuk + i dega i geap. Jadi kardialitas partisi pebeda adalah Π = buka erupaka partisi pebeda. Oleh karea itu, diperoleh bahwa Π dega kardialitas Π saa dega buka erupaka suatu partisi pebeda. Oleh sebab itu, dapat dikataka batas bawah diesi partisi dari graf C C adalah pd(c C ) 4. Dega deikia, batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C C adalah 4 pd(c C ) 4. Jadi, diesi partisi dari graf C C adalah pd(c C ) = 4 utuk 4 da. 4. Diesi Partisi Bitag Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug Subbab ii ejelaska diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob. Diesi partisi bitag graf hasil operasi cob tidak dapat digeeralisasi utuk sebarag dua graf. Hal ii dikareaka diesi partisi bitag pada asig-asig graf hasil operasi cob pasti berbeda, yaitu tergatug pada graf yag dioperasika da sipul yag dilekatka. Dala pejelasa berikut ii ditujukka diesi partisi bitag pada operasi cob atara dua graf terhubug diataraya graf ligkara C, graf litasa P, da graf legkap K. Beberapa hasil operasi cob dari tiga graf terhubug tersebut sebagai berikut graf hasil operasi cob atara graf ligkara C da graf litasa P, graf litasa P da graf ligkara C, graf legkap K da graf litasa P, graf litasa P da graf legkap K, graf legkap K da graf legkap K, graf ligkara C da graf legkap K, graf legkap K da graf ligkara C, graf 96

121 litasa P da graf litasa P da graf ligkara C da graf ligkara C Diesi Partisi Bitag Graf Ligkara Cob Graf Litasa Graf hasil operasi cob atara graf ligkara C dega graf litasa P dihasilka dari eduplikat graf litasa P sebayak sipul di graf ligkara C dega eletakka salah satu sipul ujug graf P pada setiap sipul graf C, aka dapat dikataka bahwa graf C δ P erupaka graf yag terdiri dari kali Litasa P. Sehigga graf C δ P eiliki hipua sipul V (C δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C δ P ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y 1,1 y,1 } {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Graf C δ P eiliki buah sipul da buah sisi. Graf C δ P ditujukka pada Gabar 4.1 (a). Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf C δ P dega, Z +. Utuk =, graf C adalah graf yag eiliki sisi gada sehigga graf C buka graf sederhaa da utuk = 1, graf P 1 erupaka graf trivial sehigga graf hasil cob C δ P 1 isoorfik dega ligkara C sedeikia sehigga order ligkara C da litasa P asig-asig da. Dala eetuka diesi partisi bitag graf C δ P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C δ P. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.1. Diberika dua graf terhubug C da P dega asig-asig orderya da dega da da sipul pelekata dari P yag berderajat satu, aka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob C δ P adalah spd(c δ P ) = {, jika 0(od), (od) +, jika 1(od) Bukti: Misalka graf C δ P eiliki hipua sipul V (C δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C δ P ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y 1,1 y,1 } {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf C δ P dega buah sipul, aka utuk asigasig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa jika 0(od ), kasus kedua jika 1(od ), sedagka kasus ketiga jika (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) 97

122 Gabar 4.18: (a) Kostruksi partisi pebeda bitag pada graf C 6 δ P 5, (b) Kostruksi partisi pebeda bitag pada graf C 6 δ P 4 Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1) + 1 i k, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf C δ P utuk 0(od ), adalah Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, b j ); u s = i s, t r = r (i 1), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + 1 i k, gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i dega s + 1 da 1 i, zs = s + i + 1 dega + s da 1 i, v l = zs 1 + l dega 1 l 1, w l = z s + l dega 1 l 1. b = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i dega s + 1 da 1 i, zs = s + i + 1 dega + s da 1 i, v l = zs 1 + l 98

123 dega 1 l 1, w l = z s + l dega 1 l 1. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, b j ); u s = i s, t r = r (i 1), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + 1 i k, geap. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, + i 1, x 1,..., x 1, z 1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i dega s da 1 i, z s = s + i dega + s da 1 i, v l = z 1 s + l dega 1 l 1, w l = z s + l dega 1 l 1, x h = + h + i 1 dega 1 h 1. b = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1, + i 1, x 1,..., x 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i dega s da 1 i, z s = s + i dega + s da 1 i, v l = z 1 s + l dega 1 l 1, w l = z s + l dega 1 l 1, x h = + h + i 1 dega 1 h 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,i 1 k, (k 1) + 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(c δ P ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(c δ P ) = ( ) utuk 0(od ). 99

124 Kasus : Utuk 1(od ) Sipul-sipul di graf C δ P dibedaka ejadi sipul dau (pedat) erupaka sipul-sipul subgraf P da sipul dala erupaka sipul-sipul di subgraf ligkara C. Utuk 1(od ), kelas partisi di sipul dau (pedat) terpisah dega kelas partisi di sipul dala sehigga terdapat tiga kasus utuk ilai yaitu pertaa utuk 1(od ) da 0(od ), kedua utuk 1(od ) da 1(od ), sedagka utuk 1(od ) da (od ). 1. Utuk 1(od ) da 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf C δ P dapat dilihat pada Gabar 4.18 (b). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + } dega: S 1 (j 1)+k = {y j,i 1 k 1, (k 1) + i k + 1, 1 j } S 1 +l = {y j,1 1 l, (l 1) + 1 j l} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (j 1)+k da S 1 +l egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk 1(od ) da 0(od ), sebagai berikut: Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c j, d); u s = i s 1, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k + 1, 1 j dega gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1 da 1 l 1; z s = s + i + da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. c = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1, 1 l 1; z s = s + i + da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, i 1, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 ; t f = (i 1)+(j (p 1) 1)+ f dega 6 +1 f 1; t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 ; 100

125 t 4 f = (i 1)+(1+(p 1) j)+ f dega 6 +1 f 1; 1 p, (p 1) + 1 j p, i. Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 1, t 1,..., t 1, c j, d); t r = 1 + r, 1 r 1, 1 j dega gasal. a = (z 1, t 1,..., t 1,..., z +1, t 1,..., t 1, z1, t1 1,..., t 1 1,..., z1 1, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1, t1 1,..., t 1 1, z +1, t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 f = (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 ; t f = (j (p 1) 1) + f dega f 1; t f = (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 ; t 4 f = (1 + (p 1) j) + f dega f 1; 1 p, (p 1) + 1 j p. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c j, d); u s = i s 1, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k + 1, 1 j dega geap. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1 da 1 l 1; z s = s + i + 1 da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. c = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1, 1 l 1; z s = s + i + 1 da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. 101

126 d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6, t 6 1,..., t 1, i 1, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t +1,..., t 1); t1 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega 6 1 f 1; 6 t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega + 1 f 1; 6 t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega 1 f 1; 6 t4 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega + 1 f 1;t 6 6 = + i dega j = (p 1) da j = p; t 6 = + i dega j = (p 1) + ; 1 p, 6 (p 1) + 1 j p, i. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 1, t 1,..., t 1, c j, d); t r = 1 + r, 1 r 1, 1 j dega geap. a = (z 1, t 1,..., t 1,..., z +1, t 1,..., t 1, z1, t1 1,..., t 1 1,..., z1 1, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1, t1 1,..., t 1 1, z +1, t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. d = (t 4 1,..., t4 +1, t 6 6, t 1,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 1, t 6 6 6, t +1,..., 6 t 1); t1 f = (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 1; 6 t f = (j (p 1) 1) + f dega f 1; t f = (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 1; t 4 f = (1 + (p 1) j) + f dega f 1;t 6 = 6 dega j = (p 1) + 1 da j = p; t 6 = 6 1 dega j = (p 1) + ; 1 p, (p 1) + 1 j p. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari 1 + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = 1 +. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P )

127 Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1 + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1,. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (C δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S = {y j,1 1 l, (l 1) + 1 j l}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) 1 +. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag 1 + spd(c δ P ) 1 +, aka diesi partisi bitag spd(c δ P ) = 1 + utuk 1(od ) da 0(od ).. Utuk 1(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S } dega: S 1 (j 1)+k = {y j,i 1 k 1, (k 1) + i k + 1, 1 j } S 1 +l = {y j,1 1 l 1, (l 1) + 1 j l} S = {y,1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (j 1)+k da S 1 +l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S erupaka kelas partisi sigleto yag berisi sebuah sipul trivial yag juga erupaka graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk 1(od ) da 1(od ), sebagai berikut: Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c j, d); u s = i s 1, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k + 1, 1 j dega gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z 1, 10

128 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1 da 1 l 1; z s = s + i + da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. c = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1, 1 l 1; z s = s + i + da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. d = (t 4 1,..., t4 +1, t 6 6, t 1,..., t 1, i 6 1, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1, t ); t 1 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 1; t f = (i 1)+(j (p 1) 1)+ f 1 dega 6 +1 f 1; t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 1; t 4 f = (i 1)+(1+(p 1) j)+ f +1 dega 6 +1 f 1; t = (i 1) + j dega 1 j ; t = (i 1) + j dega + 1 j 1 ; t 6 = + i dega j = (p 1) + 1 da 6 j = (p 1) + ; t 6 = + i dega j = p; t 6 6 = + i 6 dega j = (p 1) + da j = p; t 6 = + i dega 6 j = (p 1) + 1; 1 p, (p 1) + 1 j p, i. d = (i, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1, i 1); t5 f = i + f dega f 6 1; t6 f = (i 1)+ f dega 6 f 1; i. Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 1, t 1,..., t 1, c j, d); t r = 1 + r, 1 r 1, 1 j dega gasal. a = (z 1, t 1,..., t 1,..., z +1, t 1,..., t 1, z1, t1 1,..., t 1 1,..., z1 1, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1, t1 1,..., t 1 1, z +1, t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6, t 6 1,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t ,...,

129 t 1, t ); t 1 f = (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 1; t f = (j (p 1) 1) + f 1 dega f 1; t f = (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 1; t 4 f = (1 + (p 1) j) + f + 1 dega f 1; t = j dega 1 j ; t = j dega + 1 j 1; t 6 = 1 dega j = (p 1) + 1 da j = (p 1) + ; 6 t 6 = 6 dega j = p; t 6 = 6 1 dega j = (p 1) + da j = p; t 6 = 6 dega j = (p 1) + 1; 1 p, (p 1) + 1 j p. d = (1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, 0); t5 f = 1 + f dega 1 f 6 1; t6 f = f dega 6 f 1. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c j, d); u s = i s 1, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k + 1, 1 j dega geap. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1 da 1 l 1; z s = s + i + 1 da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. c = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1, 1 l 1; z s = s + i + 1 da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, i 1, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 ; t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f 1 dega + 1 f 1; 6 t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega 1 f ; 6 t4 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f + 1 dega f 1; t = (i 1) + j dega 1 j ; t = (i 1)+ j dega + j 1; t = (i 1)+ j 1 dega j = + 1; 1 p, (p 1) + 1 j p, i. d = (i, t 5 1,..., t 5, t6,..., t6 1, i 1); t5 f = i + f dega 1 f ; t 6 f = (i 1) + f dega + 1 f 1; i

130 Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 1, t 1,..., t 1, c j, d); t r = 1 + r, 1 r 1, 1 j dega geap. a = (z 1, t 1,..., t 1,..., z +1, t 1,..., t 1, z1, t1 1,..., t 1 1,..., z1 1, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1, t1 1,..., t 1 1, z +1, t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 f = (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 ; t f = (j (p 1) 1) + f 1 dega f 1; t f = (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 1; t 4 f = (1 + (p 1) j) + f + 1 dega f 1; t = j dega 1 j ; t = j dega + j 1; t = j 1 dega j = +1; 1 p, (p 1)+1 j p. d = (1, t 5 1,..., t 5, t6,..., t6 1, 0); t5 f = 1 + f dega 1 f ; t 6 f = f dega f 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, ; 1 sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1 + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1, ; 1. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu 106

131 kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S 1 } aka terdapat kelas + 1 = {y j,1 l = 1, (l 1) + 1 j l} {y,1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(c δ P ) , aka diesi partisi bitag spd(c δ P ) = utuk 1(od ) da 1(od ).. Utuk 1(od ) da (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S } dega: S 1 (j 1)+k = {y j,i 1 k 1, (k 1) + i k + 1, 1 j } S 1 +l = {y j,1 1 l, (l 1) + 1 j l} S = {y 1,1, y,1 } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (j 1)+k, S 1 +l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S erupaka kelas partisi yag egiduksi graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk 1(od ) da (od ), sebagai berikut: Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c j, d); u s = i s 1, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k + 1, 1 j dega gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1 da 1 l 1; z s = s + i + da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. c = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1, 1 l 1; z s = s + i + da w l = zs + l dega 107

132 + s, 1 l 1; i. d = (t 4 1,..., t4 +, t , t,..., t 1, i 6 1, t 1 1,..., t 1, t , t +,..., t 1, t 6 ); t 1 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega 1 f ; 6 t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega + f 1; 6 t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega 1 f ; 6 t4 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f + dega 6 + f 1; t = (i 1) + j dega 1 j ; t = (i 1)+ j dega + j 1;t = (i 1)+ j 1 dega j = + 1; t 6 = + i 1 dega j = (p 1) + 1; 6 t 6 = + i dega j = (p 1) + da j = p; t 6 6 = + i 1 6 dega j = p; t 6 = + i dega j = (p 1) + 1 da 6 j = (p 1) + ; 1 p, (p 1) + 1 j p, i. d = (z 1, t 5 1,..., t 5 1, t 6 6, t 6 +1,..., t6 1, i 1); z1 = 6 (i 1) + (1 + j) + dega 1 j ; t5 f = z1 + f dega 1 f 6 1; t6 f = (i 1) + (j 1) + f dega + 1 f 1; t 6 6 = + i; i. l Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 1, t 1,..., t 1, c j, d); t r = 1 + r, 1 r 1, 1 j dega gasal. a = (z 1, t 1,..., t 1,..., z +1, t 1,..., t 1, z1, t1 1,..., t 1 1,..., z1 1, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1, t1 1,..., t 1 1, z +1, t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. d = (t 4 1,..., t4 +, t , t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t , t +,..., 6 t 1, t ); t 1 f = (1 + (p 1) j) + f dega 1 f ; 6 t f = (j (p 1) 1) + f dega 6 + f 1; t f = (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 ; t 4 f = (1 + (p 1) j) + f + dega 6 + f 1; t = j dega 1 j ; t = j dega 108

133 + j 1;t = j 1 dega j = + 1; t 6 = 6 dega j = (p 1) + 1; t 6 = + 1 dega j = (p 1) + 6 da j = p; t 6 = dega j = p; t 6 6 = + 1 dega 6 j = (p 1) + 1 da j = (p 1) + ; 1 p, (p 1) + 1 j p. d = (z 1, t 5 1,..., t 5 1, t 6 6, t 6 +1,..., t6 1, 0); z1 = (1 + j) + 6 dega 1 j ; t 5 f = z 1 + f dega 1 f 6 1; t 6 f = (j 1) + f dega f 1; t 6 = l + 1. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c j, d); u s = i s 1, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k + 1, 1 j dega geap. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1 da 1 l 1; z s = s + i + 1 da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. c = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zs 1 = s + i 1 da v l = zs 1 + l dega s + 1, 1 l 1; z s = s + i + 1 da w l = zs + l dega + s, 1 l 1; i. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, i 1, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 f = (i 1) + (1 + (p 1) j) + f dega 1 f 6 ; t f = (i 1)+(j (p 1) 1)+ f dega 6 +1 f 1; t f = (i 1) + (j (p 1) 1) + f dega 1 f 6 ; t 4 f = (i 1)+(1+(p 1) j)+ f + dega 6 +1 f 1; t = (i 1) + j dega 1 j 1; t = (i 1) + j 1 dega j 1; 1 p, (p 1) + 1 j p, i. d = (z 1, t 5 1,..., t 5 1,, t6,..., t6 1, i 1); z1 = (i 1)+(1+ j)+ 6 6 dega 1 j ; t 5 f = z 1 + f dega 1 f 6 1; t 6 f = (i 1) + (j 1) + f dega 6 f 1; i. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap dega i = 1 sebagai 109

134 berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 1, t 1,..., t 1, c j, d); t r = 1 + r, 1 r 1, 1 j dega geap. a = (z 1, t 1,..., t 1,..., z +1, t 1,..., t 1, z1, t1 1,..., t 1 1,..., z1 1, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1, t1 1,..., t 1 1, z +1, t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z1 l = l + 1 da t 1 r = z 1 l + r dega 1 l, 1 r 1; z l = l+1 da t r = zl +r dega +1 l 1, 1 r 1. d = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t1 f = (1+(p 1) j)+f dega 1 f 6 ; t f = (j (p 1) 1)+ f dega + 1 f 1; 6 t f = (j (p 1) 1) + f dega 1 f ; 6 t4 f = (1 + (p 1) j) + f + dega +1 f 1; t 6 = j dega 1 j 1; t = j 1 dega j 1; 1 p, (p 1) + 1 j p. d = (z 1, t 5 1,..., t 5 1,, t6,..., t6 1, 0); z1 = (1 + j) dega 1 j ; t 5 f = z 1 + f dega 1 f 6 1; t 6 f = (j 1) + f dega 6 f 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1 +, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S }

135 aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S 1 + = {y j,1 l =, (l 1) + 1 j l} {y 1,1, y,1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = 1 + buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(c δ P ) , aka diesi partisi bitag spd(c δ P ) = utuk 1(od ) da (od ). Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf C δ P dapat dilihat pada Gabar 4.18 (a). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S +} dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1) + i k +, 1 j } S +j = {y j,i 1 j, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k da S +j egiduksi sebuah graf bitag K 1, ; 1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C δ P utuk (od ), sebagai berikut: Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, b j, c); u s = i s, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k +, gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zj 1 = j + i dega j + 1 da i, = j + i + dega + j da 1 i, v l = zj 1 + l z j dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. b = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zj 1 = j + i dega j + 1 da i, = j + i + dega + j da 1 i, v l = zj 1 + l z j dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. c = (t,..., t +, t +1,..., t, i, t,..., t +1, t +,..., t ); t j = j + i 111

136 dega j + 1 da 1 i, t j = (i 1) + ( j + ) dega + j. Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a,, t 1,..., t 1, z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1, b); t r = + r, 1 r 1, z1 j = j + 1 dega j + 1, z j = j + dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1 ); z 1 j = j + 1 dega j + 1, z j = j + dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. b = (t 1,..., t 1 +, t +1,..., t 1, 0, t 1,..., t }{{} +1, t 1 +,..., t 1 ); t j = j 1 }{{} j 1 j dega j + 1, t1 j = j + 1 dega + j. Repretasi sipul di graf C δ P utuk gasal dega i = sebagai berikut: r(y j, Π S ) = (a, 1, t 1,..., t 1, z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1 +1, v 1,..., v 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1, b); t r = 1 + r, 1 r 1, z1 j = j + dega j + 1, z j = j + 4 dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. gasal. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, z 1 +1, v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1 ); z 1 j = j + dega j + 1, z j = j + 4 dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. b = (t 1,..., t 1 +, t +1,..., t 1, 0, t 1,..., t }{{} +1, t 1 +,..., t 1 ); t j = j dega }{{} j 1 j j + 1, t1 j = j + dega + j. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, b j, c); u s = i s, t r = r (i ), 1 s k 1, 1 r k, 1 k, (k 1) + i k +, geap. 11

137 a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, + i + 1, x 1,..., x 1, z 1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zj 1 = j + i dega j da i, z j = j + i + dega + j da i, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1, x h = + h + i + 1 dega 1 h 1. b = (z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1, + i + 1, x 1,..., x 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1 ); zj 1 = j + i dega j da i, z j = j + i + dega + j da i, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1, x h = + h + i + 1 dega 1 h 1. c = (t,..., t +, + i 1, t,..., t, i, t,..., t, + i 1, t +,..., t ); t j = j + i dega j da i, t j = (i 1) + ( j + ) dega + j. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a,, t 1,..., t 1, z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1, + i + 1, x 1,..., x 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1, b); t r = + r, 1 r 1, z1 j = j + 1 dega j, z j = j + dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1, geap. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, + i + 1, x 1,..., x 1, z 1, v 1,..., v 1,..., z, 1 v 1,..., v 1 ); zj 1 = j + 1 dega j + 1, z j = j + dega + j, v l = zj 1 + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. b = (t 1,..., t 1 +,, t,..., t 1, 0, t 1,..., t }{{},, t1 +,..., t 1 ); t j = j 1 }{{} j 1 j dega j, t1 j = j + 1 dega + j. Repretasi sipul di graf C δ P utuk geap dega i = sebagai berikut: r(y j, Π S ) = (a, 1, t 1,..., t 1, z, 1 v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1, + i + 1, x 1,..., x 1, z +, w 1,..., w 1,..., z, w 1,..., w 1, b); t r = 1 + r, 1 r 1, z1 j = j + dega j, z j = j + 4 dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1, geap. a = (z, w 1,..., w 1,..., z +, w 1,..., w 1, + i + 11

138 1, x 1,..., x 1, z 1, v 1,..., v 1,..., z 1, v 1,..., v 1 ); z 1 j = j + dega j + 1, z j = j + 4 dega + j, v l = z 1 j + l dega 1 l 1, w l = z j + l dega 1 l 1. b = (t 1,..., t 1 +,, t,..., t 1, 0, t 1,..., t }{{},, t1 +,..., t 1 ); t j = j }{{} j 1 j dega j, t1 j = j + dega + j. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S +} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( +1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1 ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y j,i 1 j, 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C δ P yaitu spd(c δ P ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(c δ P ) ( +1), aka diesi partisi bitag spd(c δ P ) = ) utuk (od ). Sebagai cotoh dapat dilihat pada Gabar 4.18 (b). ( +1 Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(c δ P ) = ( ) utuk 0(od ) da spd(c δ P ) = ( +1 ) utuk (od ) sehigga pada kedua ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(c δ P ) =. Sedagka spd(c δ P ) = 1 + utuk 1(od ) da 0(od ), spd(c δ P ) = utuk 1(od ) da 1(od ) da spd(c δ P ) = utuk 1(od ) da (od ) dapat ditulis spd(c δ P ) =

139 Gabar 4.19: (a) Graf Hasil Operasi Cob C P, (b) Kostruksi Partisi pebeda bitag pada graf C 8 P 6 Sekarag, kita aka ebahas diesi partisi bitag pada graf C P dega, Z + da salah satu sipul v P yag dilekatka ke setiap sipul u C da sipul v berderajat dua. Utuk =, graf C adalah graf luar atau graf tidak sederhaa yag eiliki sisi gada da utuk =, partisi pebeda bitag Π S ebetuk pola khusus sedeikia sehigga order ligkara C da litasa P asig-asig da 4. Graf C P ditujukka pada Gabar 4.19 (a). Dala eetuka diesi partisi bitag suatu graf C P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P. Diesi partisi bitag esyaratka partisi pebeda bitag Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Utuk =, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(c P ) ( ) =. Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (C P ) yaki r(y j,1 Π S ) = r(y j, Π S ) utuk 1 j berakibat sipul y j,1 da y j, harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(c P ) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = ( + 1) = }{{} buah Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(c P ) ( +1) =. Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S } dega S j = {y j,1, y j, 1 j } da S +j = {y j, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S j egi- 115

140 duksi sebuah graf bitag K 1,1 da S +j erupaka kelas partisi yag euat sipul trivial dapat juga disebut graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi koordiat setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S =. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(c P ), aka diesi partisi bitag spd(c P ) =. Teorea Misalka C adalah graf ligkara order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat dua. Utuk da 4, diesi partisi bitag graf hasil operasi cob C P adalah spd(c P ) =, jika 0(od ), (od ) da 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) +, jika 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) Bukti: Misalka graf C P eiliki hipua sipul V (C P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C P ) = {y j,t y j+1,t 1 j 1, i = t, t 1} {y 1,t y,t, i = t, t 1} {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}.Utuk eujukka diesi partisi bitag graf C P dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa utuk 0(od ), kasus kedua utuk 1(od ), sedagka kasus ketiga utuk (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf C P dapat dilihat pada Gabar 4.19 (b). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1)+1 i k, 1 j, i = t, t 1} 116

141 Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf C P utuk 0(od ) adalah berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,i 1 k, (k 1) + 1 i k}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(c P ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+} dega: S 1 (j 1)+k = {y j,i 1 k 1, (k 1) + 1 i k, 1 j, i = t, t 1} S 1 +j = {y j, 1 j, i = t, t 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S 1 +j erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah graf trivial dapat disebut juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk 1(od ) adalah berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari 117

142 ( 1 )+ kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1 )+. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( + ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( + ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( + ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( + ) 1 = {y,i k = 1, (k 1) + 1 i k} {y,}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( + ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(c P ) ( +), aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( + ) utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i 1(od ). Kasus : Utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i 1(od ) Sipul-sipul di graf C P dibedaka ejadi sipul dau (pedat) erupaka sipul-sipul subgraf P da sipul dala erupaka sipul-sipul di subgraf ligkara C. Utuk 1(od ), kelas partisi di sipul dau (pedat) terpisah dega kelas partisi di sipul dala sehigga terdapat tiga kasus utuk ilai yaitu pertaa utuk 1(od ) da 0(od ), kedua utuk 1(od ) da 1(od ), sedagka utuk 1(od ) da (od ). 1. Utuk 1(od ) da 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + } dega: S l(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 i k, 1 j } S l+( l)(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + i l + k + 1, 1 j } S +f = {y j,t 1 f, (f 1) + 1 j f, i = t = l + 1, 1 l 118

143 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(j 1)+k, S l+( l)(j 1)+k da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk 1(od ) da 0(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1)+. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( 1 ) +. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1,. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (C P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y j,t 1 f, (f 1)+1 j f, i = t = l + 1, 1 l 1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( 1 ) +. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) + spd(c P ) ( 1) +, aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( 1) + utuk 1(od ) da 0(od ).. Utuk 1(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 1 )+ +1 } dega: S l(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 i k, 1 j } 119

144 S l+( l)(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + i l + k + 1, 1 j } S +f = {y j,t 1 f 1, (f 1) + 1 j f, i = t = l + 1, 1 l 1} S = {y,t i = t = l + 1, 1 l 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(j 1)+k, S l+( l)(j 1)+k da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah graf trivial dapat disebut juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk 1(od ) da 1(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 1 )+ +1 } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( 1 1 )+ +1. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1,, 1, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1 1 )+, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1,, 1. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 1 )+ } aka terdapat kelas partisi yag tidak egi- duksi graf bitag yaitu S ( 1 1 )+ = {y j,t f = 1, (f 1) + 1 j f, i = t = l+1, 1 l 1} {y,t i = t = l+1, 1 l 1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) spd(c P ) ( 1) , aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( 1) utuk 10

145 1(od ) da 0(od ).. Utuk 1(od ) da (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1 } dega: S l(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 i k, 1 j } S l+( l)(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + i l + k + 1, 1 j } S +f = {y j,t 1 f, (f 1) + 1 j f, i = t = l + 1, 1 l 1} S + +1 = {y 1,t, y,t i = t = l + 1, 1 l 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(j 1)+k, S l+( l)(j 1)+k da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S + +1 egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk 1(od ) da 1(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1 } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1,, 1, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1 )+, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1,, 1. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ = {y j,t f = 1, (f 1)+1 j f, i = t = l + 1, 1 l 1} {y 1,t, y,t i = t = l + 1, 1 l 1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas 11

146 Π S = ( 1 ) + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) spd(c P ) ( 1) + + 1, aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( 1) utuk 1(od ) da 0(od ). Kasus 4: Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1) + 1 i k, 1 j } S +j = {y j,i 1 j, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k da S +j egiduksi sebuah graf bitag K 1,, 1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C P utuk (od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1 ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y,i k =, (k 1) + 1 i k} {y,i 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1 ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C P yaitu spd(c P ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah 1

147 diesi partisi bitag ( +1) spd(c P ) ( +1 ), aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( +1 ) utuk (od ). Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(c P ) = ( ) utuk 0(od ), spd(c P ) = ( 1 + 1) utuk 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) da spd(c P ) = ( + 1) utuk (od ) sehigga pada ketiga ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(c P ) =. Sedagka spd(c P ) = 1 + utuk 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) da 0(od ), spd(c P ) = utuk 1(od ) da 1(od ) da spd(c P ) = utuk 1(od ) da (od ) dapat ditulis spd(c P ) = Diesi Partisi Bitag Graf Litasa Cob Graf Ligkara Graf hasil operasi cob atara graf litasa P dega graf ligkara C dihasilka dari eduplikat graf ligkara C sebayak sipul di graf litasa P dega eletakka salah satu sipul ujug graf C pada setiap sipul graf P, aka dapat dikataka bahwa graf P C erupaka graf yag terdiri dari kali Ligkara C. Sehigga graf P C eiliki hipua sipul V (P C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(P C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Graf P C eiliki buah sipul da + 1 buah sisi. Graf P C ditujukka pada Gabar 4.. Pada subbab ii, aka dibahas diesi partisi pada graf P C dega, Z +. Utuk = 1, graf P 1 erupaka graf trivial aka graf hasil operasi cob P 1 C isoorfik dega ligkara C da utuk 4 graf P C ebetuk pola khusus sedeikia sehigga order dari P da C adalah da 5. Dala eetuka diesi partisi bitag graf P C, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P C. Diesi partisi bitag esyaratka seua hipua sipul elee Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Utuk =, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(p C ) ( ). Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (P C ) yaki r(y i, Π S ) = r(y i, ) utuk 1 i berakibat sipul y i, da y i, harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi 1

148 partisi bitag: spd(p C ) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = ( }{{} + 1) buah Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(p C ) ( + 1). Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) } dega S i = {y i,1, y i, 1 i } da S +i = {y i, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1 da S +i erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah sipul trivial yag juga disebut graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk = berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( + 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( + 1) spd(p C ) ( + 1), aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ( + 1) utuk =. Utuk = 4, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(p C ) ( 1 ). Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (P C ) yaki r(y i, Π S ) = r(y i,4 ) utuk 1 i berakibat sipul y i, da y i,4 harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(p C ) ( 1 + 1) + ( 1 + 1) ( 1 + 1) } {{ } buah = ( 1 +1) Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(p C ) ( 1 + 1). Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S S +i = {S 1, S, S,..., S ( 1 +1) } dega S i = {y i,1, y i,, y i, 1 i } da = {y i,4 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S +i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1 da S +i erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah sipul trivial yag juga disebut graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari 14

149 Gabar 4.0: Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf P 4 C 1 hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk = 4 berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 +1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1 + 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1 + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 + 1) spd(p C ) ( 1 + 1), aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ( 1 + 1) utuk = 4. Teorea Diberika dua graf terhubug P da C dega asig-asig orderya da dega 5 da, aka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob P C adalah spd(p C ) = {, jika 0(od ), (od ) +, jika 1(od ) Bukti: Misalka graf P C eiliki hipua sipul V (P C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(P C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf P C dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa jika 0(od ), kasus kedua jika 1(od ), sedagka kasus ketiga jika (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf P C dapat dilihat pada Gabar 4.0. Misalka Π S = 15

150 {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf P C utuk 0(od ) da 5, sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 6 +1, t, t 6 1,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t, t 6 +1,..., t 1, c i); t 1 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 l 6 1; t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, l 1; t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 l 1; 6 t4 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, l 1; t 6 = 6 dega j = (k 1) + 1 atau j = k; t 6 = 1 dega j = (k 1) + ; geap. 6 c = (z1, 1 t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1,..., z1 i, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1); zj 1 = j + (l 1) dega 1 j + 1, 1 l i da 1 i ; zj 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 5 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = zl 1 + s dega 6 s 1. a = (zi 1, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1); zj 1 = j + (l 1) dega 1 j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zj 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 5 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = zl 1 + s dega 6 s 1. Repretasi sipul di graf P C utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i ); t 1 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 l ; 6 t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, + 1 l 1; 6 t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 l ; 6 t4 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, + 1 l 1; gasal. 6 16

151 c = (z1, 1 t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z1 i, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zj 1 = j + (l 1) dega 1 j + 1, 1 l i da 1 i ; zj 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 5 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = zl 1 + s dega s 1. 6 a = (zi 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zj 1 = j + (l 1) dega 1 j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zj 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 5 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = zl 1 + s dega s 1. 6 Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari P C. Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,j 1 k, (k 1) + 1 j }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C )) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(p C ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) Sipul-sipul di graf C P dibedaka ejadi sipul dau (pedat) erupaka sipul-sipul subgraf C da sipul dala erupaka sipul-sipul di subgraf litasa P. Utuk (od ), kelas partisi di sipul dau (pedat) terpisah dega kelas partisi di sipul dala sehigga terdapat tiga kasus utuk 17

152 ilai yaitu pertaa utuk 0(od ) da 1(od ), kedua utuk 1(od ) da 1(od ), sedagka utuk (od ) da 1(od ). 1. Utuk 0(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + i k + 1, 1 i } S ( 1 )+l = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k da S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk 0(od ), 1(od ) da 5, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l 6 ; t l = (j (k 1) )+ l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; t l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l ; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; geap. 6 c = (z1, 1 t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z1 i, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zl 1 = j (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 5 s = zl 1 +s dega 1 s ; 6 t6 s = j + s dega + 1 s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. a = (zi 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zl = j (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 5 s = zl +s dega 1 s ; 6 t6 s = j + s dega + 1 s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. d = (t 7 1,..., t 7 p 1, t j, t 8 1,..., t 8 p); t8 f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p, j + 1; t8 f = ( j + 1) + (1 + (p 1) i) + f 18

153 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p, + j ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j t7 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, j + 1; t 7 f = ( j + ) + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, + j. Represetasi sipul graf P C utuk geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l 6 6 dega 1 l ; 6 t l = l dega + 1 l 1; 6 geap. c = (z 1 1, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1); z 1 l = l + 1 dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 ; t4 s = z 1 l + s dega s 1. a = (z1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1,..., z i 1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1); = i l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; t s = zl + s dega z l 1 s 6 ; t4 s = z l + s dega s 1. d = (t 5 1,..., t 5 p 1, t j, t 6 1,..., t 6 p); t6 f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p; t 5 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. Represetasi sipul graf P C utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a i 1, t 6 1,..., t6 6 +1, t5 6, t4 6 1,..., t4 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = (+(k 1) j)+l dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 l 6 1; t 6 = 6 + dega j = (k 1) + atau j = (k 1) +, 1 k ; t 6 = dega j = k + 1, 1 k ; t l = (j (k 1) ) + l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; t 4 l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l 1; 6 t5 6 = + 1 dega j = (k 1) +, 1 k ; 6 t 5 6 = 6 + dega j = (k 1) + atau j = k + 1, 1 k ; t 6 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, 19

154 (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; gasal. 6 c = (z1, 1 t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z1 i, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl 1 = j (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 7 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega 6 s 1, j +1 t8 s = j ++ s dega 6 s 1, + j. a = (zi 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl = j (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 7 s = zl + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega 6 s 1, j +1 t6 s = j ++ s dega 6 s 1, + j. d = (t 9 1,..., t 9 p 1, t j, t 10 1,..., t 10 p); t10 f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p, j + 1; t10 f = ( j + 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p, + j ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j t9 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, j + 1; t 9 f = ( j + ) + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, + j. Represetasi sipul graf P C utuk gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l 6 6 dega 1 l 1; 6 t l = l dega l 1; 6 gasal. c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 l = l + 1 dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = z 1 l + s dega 6 s 1. a = (z1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1,..., z i 1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1); = i l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; t s = zl + s dega z l 1 s 6 1; t4 s = z l + s dega 6 s 1. d = (t 5 1,..., t 5 p 1, 0, t 6 1,..., t 6 p); t6 f = (1 + (p 1) i) + f 10

155 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p; t 5 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) +. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 ) +. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (P C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 ) +. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) + spd(p C ) ( 1) +, aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ( 1) + utuk 1(od ), 0(od ).. Utuk 1(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 +1} dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } S ( 1 )+l = {y i,1 1 l 1, (l 1) + 1 i l} S ( 1 ) = {y,1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k, S ( 1 )+l egi- 11

156 duksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 ) erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah sipul trivial yag juga erupaka graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi koordiat setiap sipul-sipul dari graf P C utuk 1(od ), 1(od ) da 5, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l 6 ; t l = (j (k 1) )+ l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; t l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l ; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; geap. 6 c = (z1, 1 t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z1 i, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zl 1 = j (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 5 s = zl 1 +s dega 1 s ; 6 t6 s = j + s dega + 1 s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. a = (zi 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zl = j (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 5 s = zl +s dega 1 s ; 6 t6 s = j + s dega + 1 s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. d = (t 7 1,..., t 7 p 1, t j, t 8 1,..., t 8 p+1); t8 f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, j + 1; t8 f = ( j + 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, + j ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j t7 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, j + 1; t 7 f = ( j + ) + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, + j. d = (t 9 1,..., t 9, t j); t 9 f = j + f dega 1 f, 1

157 j + 1; t9 f = ( j + ) + f dega 1 f, + j ;i = Represetasi sipul graf P C utuk geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l 6 6 dega 1 l ; 6 t l = l dega + 1 l 1; 6 geap. c = (z 1 1, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1); z 1 l = l + 1 dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 ; t4 s = z 1 l + s dega s 1. a = (z1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1,..., z i 1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1); = i l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; t s = zl + s dega z l 1 s 6 ; t4 s = z l + s dega s 1. d = (t 5 1,..., t 5 p 1, 0, t 6 1,..., t 6 p+1); t6 f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1; t 5 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 7 1,..., t 7, 0); t7 f = f + 1 dega 1 f ;i = Represetasi sipul graf P C utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a i 1, t 6 1,..., t6 6 +1, t5 6, t4 6 1,..., t4 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = (+(k 1) j)+l dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 l 6 1; t 6 = 6 + dega j = (k 1) + atau j = (k 1) +, 1 k ; t 6 = dega j = k + 1, 1 k ; t l = (j (k 1) ) + l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; t 4 l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l 1; 6 t5 6 = + 1 dega j = (k 1) +, 1 k ; 6 t 5 6 = 6 + dega j = (k 1) + atau j = k + 1, 1 k ; t 6 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; gasal. 6 c = (z1, 1 t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z1 i, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl 1 = j (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; 1

158 zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 7 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega 6 s 1, j +1 t8 s = j ++ s dega 6 s 1, + j. a = (zi 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl = j (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 7 s = zl + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega 6 s 1, j +1 t6 s = j ++ s dega 6 s 1, + j. d = (t 9 1,..., t 9 p 1, t j, t 10 1,..., t 10 p+1); t10 f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, j + 1; t10 f = ( j + 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, + j ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j ; t9 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, j + 1; t 9 f = ( j + ) + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, + j. d = (t 11 1,..., t 11, t j); t 11 f = j + f dega 1 f, j + 1; t11 f = ( j + ) + f dega 1 f, + j ;t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j ;i =. Represetasi sipul graf P C utuk gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l 6 6 dega 1 l 1; 6 t l = l dega l 1; 6 gasal. c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 l = l + 1 dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = z 1 l + s dega 6 s 1. a = (z1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1,..., z i 1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1); = i l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; t s = zl + s dega z l 1 s 6 1; t4 s = z l + s dega 6 s 1. 14

159 d = (t 5 1,..., t 5 p 1, 0, t 6 1,..., t 6 p+1); t6 f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1; t 5 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 7 1,..., t 7, 0); t7 f = f + 1 dega 1 f ;i = Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y i,1 l = 1, (l 1) + 1 i l} {y,1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 1 )+ +1 spd(p C ) ( 1 1 )+ +1, aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ( 1) utuk 1(od ), 1(od ).. Utuk (od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1} dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } 15 }

160 S ( 1 )+l = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l} S ( 1 )+ +1 = {y 1,1y,1 } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k da S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 )+ +1 erupaka kelas partisi yag egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk (od ), 1(od ) da 5, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l 6 ; t l = (j (k 1) )+ l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; t l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l ; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; geap. 6 c = (z1, 1 t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z1 i, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zl 1 = j (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 5 s = zl 1 +s dega 1 s ; 6 t6 s = j + s dega + 1 s 1, j + 1; 6 t6 s = j + + s dega s 1, + j. a = (zi 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1); zl = j (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 5 s = zl +s dega 1 s ; 6 t6 s = j + s dega + 1 s 1, j + 1; 6 t6 s = j + + s dega s 1, + j. d = (t 7 1,..., t 7 p 1, t j, t 8 1,..., t 8 p+1); t8 f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, j + 1; t8 f = ( j + 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, + j ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j ; t7 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, j + 1; t 7 f = ( j + ) + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, 16

161 (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, + j. d = (t 9 1,..., t 9, t j); t 9 f = j+(i 1)+ f dega 1 f, j +1, 1 i ; t9 f = ( j+)+(i 1)+ f dega 1 f, + j, 1 i ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j Represetasi sipul graf P C utuk geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l 6 6 dega 1 l ; 6 t l = l dega + 1 l 1; 6 geap. c = (z 1 1, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1); z 1 l = l + 1 dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 ; t4 s = z 1 l + s dega s 1. a = (z1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1,..., z i 1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1); = i l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; t s = zl + s dega z l 1 s 6 ; t4 s = z l + s dega s 1. d = (t 5 1,..., t 5 p 1, 0, t 6 1,..., t 6 p+1); t6 f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1; t 5 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 7 1,..., t 7, 0); t7 f = (i 1)+ f +1 dega 1 f, 1 i Represetasi sipul graf P C utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a i 1, t 6 1,..., t6 6 +1, t5 6, t4 6 1,..., t4 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = (+(k 1) j)+l dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 l 6 1; t 6 = 6 + dega j = (k 1) + atau j = (k 1) +, 1 k ; t 6 = dega j = k + 1, 1 k ; t l = (j (k 1) ) + l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; t 4 l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l 1; 6 t5 6 = + 1 dega j = (k 1) +, 1 k ; 6 t 5 6 = 6 + dega j = (k 1) + atau j = k + 1, 1 k ; 17

162 t 6 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; gasal. 6 c = (z1, 1 t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z1 i, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl 1 = j (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 7 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega 6 s 1, j +1 t8 s = j ++ s dega 6 s 1, + j. a = (zi 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl = j (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 7 s = zl + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega 6 s 1, j +1 t6 s = j ++ s dega 6 s 1, + j. d = (t 9 1,..., t 9 p 1, t j, t 10 1,..., t 10 p+1); t10 f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, j + 1; t10 f = ( j + 1) + (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1, + j ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j ; t9 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, j + 1; t 9 f = ( j + ) + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1, + j. d = (t 11 1,..., t 11, t j); t 11 f = (i 1) + j + f dega 1 f, j + 1, 1 i ; t 11 f = (i 1) + ( j + ) + f dega 1 f, + j, 1 i ; t j = j 1 dega j + 1; t j = j + 1 dega + j. Represetasi sipul graf P C utuk gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l 6 6 dega 1 l 1; 6 t l = l dega l 1; 6 gasal. c = (z1, 1 t 1,..., t 1, t4,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1);

163 z 1 l = l + 1 dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = z 1 l + s dega 6 s 1. a = (z1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1,..., z i 1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1); = i l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; t s = zl + s dega z l 1 s 6 1; t4 s = z l + s dega 6 s 1. d = (t 5 1,..., t 5 p 1, 0, t 6 1,..., t 6 p+1); t6 f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1; t 5 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 7 1,..., t 7, 0); t7 f = (i 1)+ f +1 dega 1 f, 1 i. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, ; 1 sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1 )+, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1, ; 1. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } aka terdapat kelas partisi yag tidak = {y i,1 l =, (l 1) + egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 i l} {y,1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1 ) + buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 )+ +1 spd(p C ) ( 1 )+ +1, aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ( 1) utuk (od ), 19

164 1(od ). Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+ } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + j k +, 1 i } S ( )+i = {y i,j 1 i, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( )+i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P C utuk (od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = (+(k 1) j)+l dega 1 k, (k 1)+ j k+, 1 l ; 6 t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1)+ j k +, 6 +1 l 1; t l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1) + j k +, 1 l 6 ; t 4 l = ( + (k 1) j) + l + dega 1 k, (k 1) + j k +, + 1 l 1; geap. 6 c = (z1, 1 t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1,..., z1 i, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1); zl 1 = j + + (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 5 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = j + s dega s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. 6 a = (zi 1, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1); zl = j + + (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 5 s = zl + s dega 1 s 1; 6 t6 s = j + s dega s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. 6 d = (z 1 i 1,..., z 1 1, z, z 1,..., z i); z 1 l = j + (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; z 1 l = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; z l = j + (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; z l = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; z = j, j + 1; z = j + 1, 140

165 + j. Represetasi sipul graf P C utuk geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1,, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = + l dega l 1; 6 t l = l dega l 1; geap. 6 c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 l = + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s 1 dega 6 s 1. a = (z i 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z l = + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s 1 dega 6 s 1. d = (z 1 i 1,..., z 1 1, 0, z 1,..., z i); z 1 l = l dega 1 l i 1 da 1 i ; z l = l dega 1 l i 1 da 1 i. Represetasi sipul graf P C utuk geap dega j = sebagai berikut: r(y i, Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l dega l 1; 6 t l = l 1 dega l 1; geap. 6 c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 l = 4 + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s dega 6 s 1. a = (z i 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z l = 4 + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s dega 6 s 1. d = (z 1 i 1,..., z 1 1, 0, z 1,..., z i); z 1 l = l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; z l = l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i. Represetasi sipul graf P C utuk gasal sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a i 1, t 6 1,..., t6 6 +, t5 6 +1, t4 6,..., t4 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1, t 6 +,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + j k, 1 l ; 6 t 6 +1 = dega j = (k 1) +, 6 1 k ; t 6 +1 = + 1 dega j = (k 1) + 4 atau j = k +, 6 1 k ; t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1)+ j k +, 6 + l 1; t4 l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1) + j k +, 1 l 6 ; t = 6 dega j = k +, 1 k ; t = + 1 dega j = (k 1)

166 atau j = (k 1) + 4, 1 k ; t6 l = ( + (k 1) j) + l + dega 1 k, (k 1) + j k +, + l 1; 6 gasal. c = (z1, 1 t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z1 i, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl 1 = j + + (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl 1 = j (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; t 7 s = zl 1 + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega s 1, j t8 s = j + + s dega s 1, + j. 6 a = (zi 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1); zl = j + + (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; t 7 s = zl + s dega 1 s 1; 6 t8 s = j + s dega s 1, j t6 s = j + + s dega s 1, + j. 6 d = (zi 1, 1..., z1, 1 z, z1,..., z i); zl 1 = j + (l 1) dega j + 1, 1 l i 1 da 1 i ; zl 1 = j + + (l 1) dega + j, 1 l i 1 da 1 i ; zl = j + (l 1) dega j + 1, 1 l i da 1 i ; zl = j + + (l 1) dega + j, 1 l i da 1 i ; z = j, j + 1; z = j + 1, + j. Represetasi sipul graf P C utuk gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1,, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = + l dega l 1; 6 t l = l dega l 1; geap. 6 c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 l = + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s 1 dega 6 s 1. a = (z i 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z l = + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s 1 dega 6 s 1. d = (z 1 i 1,..., z 1 1, 0, z 1,..., z i); z 1 l = l dega 1 l i 1 da 1 i ; z l = l dega 1 l i 1 da 1 i. Represetasi sipul graf P C utuk gasal dega j = sebagai berikut: 14

167 r(y i, Π S ) = (a i 1, 1, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = 1 + l dega l 1; 6 t l = l 1 dega l 1; geap. 6 c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 i, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 l = 4 + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z 1 l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s dega 6 s 1. a = (z i 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z l = 4 + (l 1) dega 1 l i da 1 i ; t s = z l + s dega 1 s 6 1; t4 s = s dega 6 s 1. d = (z 1 i 1,..., z 1 1, 0, z 1,..., z i); z 1 l = l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i ; z l = l + 1 dega 1 l i 1 da 1 i. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1) = ( +1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1 ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y i,1y i, 1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1 ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(p C ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(p C ) ( +1), aka diesi partisi bitag spd(p C ) = ) utuk (od ). ( +1 Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(p C ) = ( ) utuk = da spd(p C ) = ( 1 + 1) utuk = 4 aka dapat ditulis spd(p C ) = ( + 1) utuk {, 4}. Selajutya utuk spd(p C ) = ( ) utuk 0(od ) da 5 da spd(p C ) = ( +1 ) utuk 14

168 (od ) da 5 sehigga pada kedua ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(p C ) =. Sedagka spd(p C ) = ( 1) + utuk 1(od ), 5 da 0(od ), spd(p C ) = ( 1) + + utuk 1(od ), 5 da 1(od ) da spd(p C ) = ( 1) + +1 utuk 1(od ), 5 da (od ) dapat ditulis spd(p C ) = Diesi Partisi Bitag Graf Legkap Cob Graf Litasa Graf hasil operasi cob atara graf legkap K dega graf litasa P dihasilka dari eduplikat graf litasa P sebayak sipul di graf legkap K dega eletakka salah satu sipul ujug graf P pada setiap sipul graf K, aka dapat dikataka bahwa graf K δ P erupaka graf yag terdiri dari kali Litasa P. Sehigga graf K δ P eiliki hipua sipul V (K δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K δ P ) = {y j,1 y j+k,1 1 j, 1 k j} {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Graf K δ P eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf K δ P ditujukka pada Gabar 4.6 (a). Pada subbab ii, dibahas diesi partisi bitag graf K δ P dega, Z +. Utuk = 1, graf P 1 erupaka graf trivial aka graf hasil operasi cob K δ P 1 isoorfik dega ligkara K da utuk =, graf K isoorfik dega litasa P sehigga graf hasil operasi cob K δ P isoorfik dega P δ P sedeikia sehigga order dari litasa P da graf legkap K asigasig adalah da. Dala eetuka diesi partisi bitag graf K δ P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf K δ P. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea Diberika dua graf terhubug K da P dega asig-asig orderya da dega da, aka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob K δ P adalah spd(k δ P ) = {, jika 0(od) da (od) + 1, jika 1(od) Bukti: Misalka graf K δ P eiliki hipua sipul V (K δ P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K δ P ) = {y j,1 y j+k,1 1 j, 1 144

169 Gabar 4.1: (a) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf K 6 δ P 5, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf K 6 δ P 4 k j} {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf K δ P dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa jika 0(od ), kasus kedua jika 1(od ), sedagka kasus ketiga jika (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1) + 1 i k, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf K δ P utuk 0(od ), sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (z, v 1,..., v 1,..., z, v 1,..., v }{{ 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t } k, j 1 z, v 1,..., v 1,..., z, v 1,..., v }{{ 1 ); u s = i s da t r = r (i 1) dega } j 1 k, k i k, 1 s k 1, 1 r k; v l = i + l da z = i dega 1 i, 1 l 1; 1 j. 145

170 Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K δ P yaitu spd(k δ P ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,i 1 k, (k 1) + 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K δ P yaitu spd(k δ P ) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(k δ P ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(k δ P ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf K δ P dapat dilihat pada Gabar 4.1 (b). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 S 1 (j 1)+k = {y j,i 1 k 1 S ( 1 )+1 = {y j,1 1 j } )+1} dega:, (k 1) + i k +, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 +1 egiduksi sebuah graf bitag K 1, 1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K δ P utuk 1(od ), sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (z, v 1,..., v 1,..., z, v 1,..., v }{{ 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t } j 1 z, v 1,..., v 1,..., z, v 1,..., v }{{ 1, z 1 ); u s = i s 1 da t r = r (i ) } j dega 1 k, k 1 + i k + 1, 1 s k 1, 1 r k; 146 k,

171 v l = i + l + 1 da z = i + 1 da z 1 = i 1 dega i, 1 l 1; 1 j. r(y j,1 Π S ) = (, u 1,..., u 1,...,, u 1,..., u }{{ 1, 1, t 1,..., t } 1, j 1, u 1,..., u 1,...,, u 1,..., u }{{ 1, 0); u s = + s da t r = r + 1 dega 1 } j s 1, 1 r 1; 1 j. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + 1 kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) + 1. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K δ P yaitu spd(k δ P ) ( 1 ) + 1. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1 ), aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 ) = {y j,1 1 j } {y 1,i i 4}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf K δ P yaitu spd(k δ P ) ( 1 ) + 1. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) + 1 spd(k δ P ) ( 1 ) + 1, aka diesi partisi bitag spd(k δ P ) = ( 1 ) + 1 utuk 1(od ). Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf K δ P dapat dilihat pada Gabar 4.1 (a). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( S (j 1)+k = {y j,i 1 k S ( )+j = {y j,i 1 j, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S )+} dega:, (k 1) + i k +, 1 j } 147 (j 1)+k egiduksi sebuah graf

172 bitag K 1, da S ( +j egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K δ P utuk (od ), sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (z, v 1,..., v 1,..., z, v 1,..., v }{{ 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t } k, j 1 z, v 1,..., v 1,..., z, v 1,..., v }{{ 1, z,..., z, z }}{{} 1, z,..., z ); u }{{} s = i s da j j 1 j t r = r (i ) dega 1 k, k 1 + i k +, 1 s k 1, 1 r k; v l = i + l +, z = i +, z 1 = i da z = i dega i, 1 l 1; 1 j. r(y j,1 Π S ) = (, u 1,..., u 1,...,, u 1,..., u }{{ 1,, t 1,..., t } 1, j 1, u 1,..., u 1,...,, u 1,..., u }{{ 1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1); u }}{{}}{{} s = +s da t r = r+ j j 1 j dega 1 s 1, 1 r 1; 1 j. r(y j, Π S ) = (4, u 1,..., u 1,..., 4, u 1,..., u }{{ 1, 1, t 1,..., t } 1, j 1 4, u 1,..., u 1,..., 4, u 1,..., u }{{ 1,,...,, 0,,..., ); u }}{{}}{{} s = 4+s da t r = r+1 j j 1 j dega 1 s 1, 1 r 1; 1 j. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( +1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( +1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K δ P yaitu spd(k δ P ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 )) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak 148

173 egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y j,i 1 j, 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1 ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf K δ P yaitu spd(k δ P ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(k δ P ) ( +1), aka diesi partisi bitag spd(k δ P ) = ( +1 ) utuk (od ). Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(k δ P ) = ( ) utuk 0(od ) da spd(k δ P ) = ( +1 ) utuk (od ) sehigga pada kedua ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(k δ P ) =. Sedagka spd(k δ P ) = + 1 utuk 1(od ). Sekarag, kita aka ebahas diesi partisi bitag pada graf K P dega, Z + da salah satu sipul v P yag dilekatka ke setiap sipul u K da sipul v epuyai derajat saa dega dua. Utuk =, graf P erupaka litasa P da setiap sipulya tidak berderajat dua da utuk =, graf K isoorfik dega litasa P sehigga graf hasil operasi cob K P isoorfik dega P P da utuk =, partisi pebeda bitag ebetuk pola khusus sedeikia sehigga order dari litasa P da graf legkap K asig-asig adalah da 4. Graf K P ditujukka pada Gabar 4. (a). Dala eetuka diesi partisi bitag suatu graf K P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P. Diesi partisi bitag esyaratka partisi pebeda bitag Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Utuk =, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(k P ) ( ) =. Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (K P ) yaki r(y j,1 Π S ) = r(y j, Π S ) utuk 1 j berakibat sipul y j,1 da y j, harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd( Π S ) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = ( + 1) = }{{} buah Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(k P ) ( +1) =. Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S } dega S j = {y j,1, y j, 1 j } da 149

174 Gabar 4.: (a) Graf Hasil Operasi Cob K P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag K 8 P 6 S +j = {y j, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S j egiduksi sebuah graf bitag K 1,1 da S +j erupaka kelas partisi yag euat sipul trivial dapat juga disebut graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi koordiat setiap sipul v V (K P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K P berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S =. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(k P ), aka diesi partisi bitag spd(k P ) =. Teorea Misalka K adalah graf legkap order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat dua. Utuk da 4, diesi partisi bitag graf hasil operasi cob K P adalah spd(k P ) =, jika 0(od ), (od ) da 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) + 1, jika 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) 150

175 Bukti: Misalka graf K P eiliki hipua sipul V (K P ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K P ) = {y j,t y j+k,t 1 j, 1 k j, i = t, t 1} {y j,i y j,i+1 1 j, 1 i 1}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf K P dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa utuk 0(od ), kasus kedua utuk 1(od ), sedagka kasus ketiga utuk (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf K P dapat dilihat pada Gabar 4. (b). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1)+1 i k, 1 j, i = t, t 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf K P utuk 0(od ) adalah berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,i 1 k, (k 1) + 1 i k}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag 151

176 ( ) spd(k P ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(k P ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+} dega: S 1 (j 1)+k = {y j,i 1 k 1, (k 1) + 1 i k, 1 j, i = t, t 1} S 1 +j = {y j, 1 j, i = t, t 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S 1 +j erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah sipul trivial dapat disebut juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K P utuk 1(od ) adalah berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1)+ kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1)+. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) ( + ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( + ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( + ) 1 = {y,i k = 1, (k 1) + 1 i k} {y,}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) ( + ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(c P ) ( +), aka diesi partisi bitag spd(c P ) = ( + ) utuk 1(od ) diaa i1 < i <, i 1(od ). Kasus : Utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi 15

177 pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 +1} dega: S l(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 i k, 1 j } S l+( l)(j 1)+k = {y j,i 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + i l + k + 1, 1 j } S +1 = {y j,t 1 j M, i = t = l + 1, 1 l 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(j 1)+k da S l+( l)(j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1,.Dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K P utuk 1(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S 1 +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S 1 = {y j,t 1 j, i = t = l + 1, 1 l 1} {y,i k = l, 1 l 1, (k 1) + 1 i k}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(k P ) 1 + 1, aka diesi partisi bitag spd(k P ) = 1 +1 utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i = 1(od ). Kasus 4: Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S +} dega: S (j 1)+k = {y j,i 1 k, (k 1) + 1 i k, 1 j } S +j = {y j,i 1 j, 1 i } 15

178 Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S +j egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K P utuk (od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S +} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( + 1) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1) 1 = {y,i k =, (k 1) + 1 i k} {y,i 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( + 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K P yaitu spd(k P ) ( + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( + 1) spd(k P ) ( + 1), aka diesi partisi bitag spd(k P ) = ( + 1) utuk (od ). Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(k P ) = ( ) utuk 0(od ), spd(k P ) = ( 1 + 1) utuk (od ) diaa 1 < i <, i 1(od ) da spd(k P ) = ( + 1) utuk (od ) sehigga pada ketiga ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(k P ) =. Sedagka spd(k P ) = utuk 1(od ) diaa 1 < i <, i 1(od ) dapat ditulis spd(k P ) = Diesi Partisi Bitag Graf Litasa Cob Graf Legkap Graf hasil operasi cob atara graf litasa P dega graf legkap K dihasilka dari eduplikat graf legkap K sebayak sipul di graf litasa 154

179 Gabar 4.: Kostruksi Partisi Pebeda Bitag graf P 6 K 6 P dega eletakka salah satu sipul ujug graf K pada setiap sipul graf P, aka dapat dikataka bahwa graf P K erupaka graf yag terdiri dari kali graf legkap K. Sehigga graf P K eiliki hipua sipul V (P K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P K ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+k 1 j, 1 i, 1 k j}. Graf P K eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf P K ditujukka pada Gabar 4.8. Pada subbab ii, dibahas diesi partisi bitag graf P K dega, Z +. Utuk = 1, graf P 1 erupaka graf trivial aka graf hasil operasi cob P 1 K isoorfik dega ligkara K da utuk =, graf K isoorfik dega litasa P sehigga graf hasil operasi cob P K isoorfik dega P P sedeikia sehigga order dari litasa P da graf legkap K asigasig adalah da. Dala eetuka diesi partisi bitag graf P K, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf P K. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea Diberika dua graf terhubug P da K dega asig-asig orderya da dega da, aka diesi partisi bitag dari graf hasil operasi cob P K adalah spd(p K ) = ( 1) Bukti: Misalka graf P K eiliki hipua sipul V (P K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P K ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+k 1 j, 1 i, 1 k j}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf P K dega buah sipul, aka pertaa eetuka batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega 155

180 egkostruksi partisi pebeda bitag graf P K dapat dilihat pada Gabar 4.. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) } dega: S ( 1)(i 1)+j 1 = {y i,j 1 i, j } S ( 1)i + = {y i,1 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S j diaa ( 1)(i 1) + j ( 1)i, 1 i erupaka kelas partisi sigleto yag berisi sebuah sipul trivial yag juga erupaka graf bitag, sedagka S j = {y i,1, y i, 1 i } erupaka kelas partisi yag egiduksi graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P K ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P K ) utuk da, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (z1, 1 z ,..., z ,..., z }{{} i 1, 1 zi ,..., zi , 1,..., 1, 0, 1,..., 1, }{{}}{{}}{{} j j z1, z1 + 1,..., z1 + 1,..., z }{{} i, z i + 1,..., z i + 1); zl 1 = + (l 1) dega }{{} 1 l i 1, 1 i ; zl = + (l 1) dega 1 l i, 1 i ; j. r(y i,1 Π S ) = (z1, z1 + 1,..., z1 + 1,..., z }{{} i 1, zi 1 + 1,..., zi 1 + 1, 0, 1,..., 1, z }{{}}{{} 1, 4 z ,..., z ,..., z }{{} i, 4 z i 4 + 1,..., z i 4 + 1); zl = 1 + (l 1) dega }{{} 1 l i 1, 1 i ; zl 4 = 1 + (l 1) dega 1 l i, 1 i. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P K yaitu spd(p K ) ( 1). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P K dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P K ). Tapa eguragi keuua, 156

181 isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) 1 } aka ada dua kasus yaitu a. Jika sebarag sipul u, v V (P K ) dega u, v tepat pada subgraf K aka berdasarka Lea. terdapat palig sedikit dua sipul eiliki represetasi sipul terhadap Π S yag saa. Misalka kelas partisi S = {y 1,, y 1,4 }, aka sipul y 1, da y 1,4 eiliki jarak yag saa ke seua sipul di V (P K ) {y 1,, y 1,4 } atau dapat ditulis d(y 1,, w) = d(y 1,4, w) diaa w V (P K ) {y 1,, y 1,4 } berakibat r(y 1, Π S ) = r(y 1,4 Π S ). Jadi Π S dega Π S = ( 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag walaupu kelas partisi S egiduksi graf bitag. b. Jika kita abil kelas partisi S ( 1)( )+1 = {y 1, }, S ( 1)( 1)+1 = {y, }, S ( 1)( 1) + = {y 1,1 } da S ( 1) + = {y,1 } digabug ejadi satu partisi S da dapat dilihat bahwa kelas partisi S tidak egiduksi sebuah graf bitag aka Π S buka erupaka partisi pebeda bitag walaupu kelas partisi S eiliki represetasi sipul terhadap Π S berdeda. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf P K yaitu spd(p K ) ( 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) spd(p K ) ( 1), aka diesi partisi bitag spd(p K ) = ( 1) utuk da Diesi Partisi Bitag Graf Legkap Cob Graf Legkap Graf hasil operasi cob atara graf legkap K dega graf legkap K dihasilka dari eduplikat graf legkap K sebayak sipul di graf legkap K dega eletakka salah satu sipul ujug graf K pada setiap sipul graf K, aka dapat dikataka bahwa graf K K erupaka graf yag terdiri dari kali Legkap K. Sehigga graf K K eiliki hipua sipul V (K K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K K ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,j y i,j+l 1 i, 1 j, 1 l j}. Graf K K eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf K K ditujukka pada Gabar 4.10 (a). Pada subbab ii, dibahas diesi partisi bitag graf K K dega, Z +. Utuk =, graf K isoorfik dega litasa P sehigga graf hasil operasi 157

182 cob K K isoorfik dega K P da utuk =, graf K isoorfik dega litasa P sehigga graf hasil operasi cob K K isoorfik dega P K sedeikia sehigga order dari graf legkap K da graf legkap K asig-asig adalah da. Dala eetuka diesi partisi bitag graf K K, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf K K. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea Diberika dua graf terhubug K da K dega asig-asig orderya da dega da, aka diesi partisi bitag dari graf hasil operasi cob K K adalah spd(k K ) = ( 1) Bukti: Misalka graf K K eiliki hipua sipul V (K K ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K K ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,j y i,j+l 1 i, 1 j, 1 l j}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf K K dega buah sipul, aka pertaa eetuka batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf K K dapat dilihat pada Gabar 4.4. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) } dega: S ( 1)(i 1)+j 1 = {y i,j 1 i, j } S ( 1)i + = {y i,1 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S ( 1)(i 1)+j 1 diaa j da 1 i erupaka kelas partisi sigleto yag berisi sebuah sipul trivial yag juga erupka graf bitag, sedagka S j = {y i,1, y i, 1 i } erupaka kelas partisi yag egiduksi graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K K ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K K ) utuk da, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (,,...,,...,,,...,, 1,..., 1, 0, 1,..., 1,,,...,,...,,,..., ); }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} j j 1 i da j. } {{ } i 1 } {{ } i r(y i,1 Π S ) = (1,,...,,..., 1,,...,, 0, 1,..., 1, 1,,...,,..., 1,,..., ); 1 i. }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} } {{ } i 1 } {{ } i Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri 158

183 Gabar 4.4: Kostruksi Partisi Pebeda Bitag Graf K 6 K 6 dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K K yaitu spd(k K ) ( 1). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K K dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K K ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) 1 } aka ada dua kasus yaitu a. Jika sebarag sipul u, v V (K K ) dega u, v tepat pada subgraf K aka berdasarka Lea. terdapat palig sedikit dua sipul eiliki represetasi sipul terhadap Π S yag saa. Misalka kelas partisi S = {y 1,, y 1,4 }, sipul y 1, da y 1,4 eiliki jarak yag saa ke seua sipul di V (K K ) {y 1,, y 1,4 } atau dapat ditulis d(y 1,, w) = d(y 1,4, w) diaa w V (P K ) {y 1,, y 1,4 } berakibat r(y 1, Π S ) = r(y 1,4 Π S ). Jadi Π S dega Π S = ( 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag walaupu kelas partisi S egiduksi graf bitag. b. Jika kita abil kelas partisi S ( 1)( )+1 = {y 1, }, S ( 1)( 1)+1 = 159

184 {y, }, S ( 1)( 1) + = {y 1,1 } da S ( 1) + = {y,1 } digabug ejadi satu partisi S da dapat dilihat bahwa kelas partisi S tidak egiduksi sebuah graf bitag aka Π S buka erupaka partisi pebeda bitag walaupu kelas partisi S eiliki represetasi sipul terhadap Π S berdeda. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K K ) yaitu spd(k K )) ( 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) spd(k K ) ( 1), aka diesi partisi bitag spd(k K ) = ( 1) utuk da Diesi Partisi Bitag Graf Ligkara Cob Graf Legkap Graf hasil opersi cob atara graf ligkara C dega graf legkap K dihasilka dari eduplikat graf legkap K sebayak sipul di graf ligkara C dega eletakka salah satu sipul ujug graf K pada setiap sipul graf C, aka dapat dikataka bahwa graf C K erupaka graf yag terdiri dari kali graf legkap K. Sehigga graf C K eiliki hipua sipul V (C K ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C K ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y,1 y 1,1 } {y j,i y j,i+k 1 j, 1 i, 1 k i}. Graf C K eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf C K ditujukka pada Gabar 4.15 (a). Pada subbab ii, dibahas diesi partisi bitag graf C K dega, Z +. Utuk =, graf C erupaka graf yag eiliki sisi gada sehigga C buka graf sederhaa da utuk =, graf K isoorfik dega litasa P sehigga graf hasil operasi cob C K isoorfik dega C P sedeikia sehigga order ligkara da graf legkap asig-asig adalah da. Dala eetuka diesi partisi bitag graf C K, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf C K. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.0. Diberika dua graf terhubug C da K dega asig-asig orderya da dega da, aka diesi partisi bitag dari graf hasil operasi cob C K adalah spd(c K ) = ( 1). 160

185 Gabar 4.5: Kostruksi Partisi Pebeda Bitag Graf C 6 K 6 Bukti: Misalka graf C K eiliki hipua sipul V (C K ) = {y j,i 1 j, 1 i } da hipua sisi E(C K ) = {y j,1 y j+1,1 1 j 1} {y,1 y 1,1 } {y j,i y j,i+k 1 j, 1 i, 1 k i}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf C K dega buah sipul, aka pertaa eetuka batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf C K dapat dilihat pada Gabar 4.5. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) } dega: S ( 1)(j 1)+i 1 = {y j,i 1 j, i } S ( 1)j + = {y j,1 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S ( 1)(j 1)+i 1 diaa i da 1 j erupaka kelas partisi sigleto yag berisi sebuah sipul trivial yag juga erupaka graf bitag, sedagka S ( 1)(j 1)+1 S ( 1)j + diaa 1 j erupaka kelas partisi yag egiduksi graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C K ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C K ) utuk da, sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1, c }{{}}{{} j ); 1 j da i, gasal. i i c = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{}, z + 1,..., z + 1, z }{{} +1, z ,..., z ,..., z 1, z 1 + 1,..., z ); z l = l + 1 dega } {{ } } {{ } 161

186 1 l ; z l = l + 1 dega + 1 l 1. a = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{} +1, z ,..., z }{{}, z, z + 1,..., z + 1 }{{},..., z 1, z 1 + 1,..., z ); z }{{} l = l + 1 dega 1 l ; z l = l + 1 dega + 1 l 1. Repretasi sipul di graf C K utuk gasal dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 0, 1,..., 1, c }{{} j ); 1 j, gasal. c = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{}, z + 1,..., z + 1, z }{{} +1, z ,..., z }{{},..., z 1, z 1 + 1,..., z ); z }{{} l = l dega 1 l ; z l = l dega + 1 l 1. a = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{} +1, z ,..., z }{{}, z, z + 1,..., z + 1 }{{},..., z 1, z 1 + 1,..., z ); z }{{} l = l dega 1 l ; z l = l dega + 1 l 1. Repretasi sipul di graf C K utuk geap sebagai berikut: r(y j,i Π S ) = (a j 1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1, c }{{}}{{} j ); 1 j da i, i i geap. c = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{}, z + 1,..., z + 1 }{{}, z +1, z ,..., z }{{},..., z 1, z 1 + 1,..., z ); z }{{} l = l + 1 dega 1 l ; z l = l + 1 dega + 1 l 1. a = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{} +1, z ,..., z , z }{{}, z + 1,..., z + 1,..., z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1); z }{{}}{{} l = l + 1 dega 1 l ; z l = l + 1 dega + 1 l 1. Repretasi sipul di graf C K utuk geap dega i = 1 sebagai berikut: r(y j,1 Π S ) = (a j 1, 0, 1,..., 1, c }{{} j ); 1 j, geap. 16

187 c = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{}, z + 1,..., z + 1 }{{}, z +1, z ,..., z ,..., z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1); z }{{}}{{} l = l dega 1 l ; z l = l dega + 1 l 1. a = (z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1,..., z }{{} +1, z ,..., z }{{}, z, z + 1,..., z + 1,..., z 1, z 1 + 1,..., z 1 + 1); z }{{}}{{} l = l dega 1 l ; z l = l dega + 1 l 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C K ) yaitu spd(c K ) ( 1). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C K dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C ) V (K ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1) 1 } aka ada dua kasus yaitu a. Jika sebarag sipul u, v V (C K ) dega u, v tepat pada subgraf K aka berdasarka Lea. terdapat palig sedikit dua sipul eiliki represetasi sipul terhadap Π S yag saa. Misalka kelas partisi S = {y 1,, y 1,4 }, sipul y 1, da y 1,4 eiliki jarak yag saa ke seua sipul di V (C K ) {y 1,, y 1,4 } atau dapat ditulis d(y 1,, w) = d(y 1,4, w) diaa w V (C K ) {y 1,, y 1,4 } berakibat r(y 1, Π S ) = r(y 1,4 Π S ). Jadi Π S dega Π S = ( 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag walaupu kelas partisi S egiduksi graf bitag. b. Jika kita abil kelas partisi S ( 1)( )+1 = {y 1, }, S ( 1)( 1)+1 = {y, }, S ( 1)( 1) + = {y 1,1 } da S ( 1) + = {y,1 } digabug ejadi satu partisi S da dapat dilihat bahwa kelas partisi S tidak egiduksi sebuah graf bitag aka Π S buka erupaka partisi pebeda 16

188 bitag walaupu kelas partisi S eiliki represetasi sipul terhadap Π S berdeda. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C K yaitu spd(c K )) ( 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) spd(c K ) ( 1), aka diesi partisi bitag spd(c K ) = ( 1) utuk da Diesi Partisi Bitag Graf Litasa Cob Graf Litasa Graf hasil operasi cob atara graf litasa P dega graf litasa P dihasilka dari eduplikat graf litasa P sebayak sipul di graf litasa P dega eletakka salah satu sipul ujug graf P pada setiap sipul graf P, aka dapat dikataka bahwa graf P δ P dari kali Litasa P. erupaka graf yag terdiri Sehigga graf P δ P eiliki hipua sipul V (P δ P ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P δ P ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Graf P δ P eiliki buah sipul da 1 buah sisi. Graf P δ P ditujukka pada Gabar 4.1 (a). Pada subbab ii, dibahas diesi partisi graf P δ P dega, Z +. Utuk =, graf hasil operasi cob P δ P isororfik dega litasa P da utuk = 1, graf P 1 adalah graf trivial sehigga graf hasil operasi cob P δ P 1 isororfik dega litasa P sedeikia sehigga order litasa P da litasa P asig-asig adalah da. Dala eetuka diesi partisi bitag graf P δ P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf P δ P. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Teorea 4.1. Diberika dua graf terhubug P da P dega asig-asig orderya da dega da dega sipul pelekata P yag berderajat satu, aka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob P δ P adalah spd(p δ P ) = {, jika 0(od ) da (od ) +, jika 1(od ) 164

189 Gabar 4.6: (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf P 6 δ P 5, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf P 6 δ P 4 Bukti: Misalka graf P δ P eiliki hipua sipul V (P δ P ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P δ P ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf P δ P dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa utuk 0(od ), kasus kedua utuk 1(od ), sedagka kasus ketiga utuk (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf P δ P ) utuk 0(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c i ); u s = j s da t r = r (j 1) dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 s k 1, 1 r k. c = (z 1 1, t 1,..., t 1,..., z1 i, t 1,..., t 1 ); z1 l = j + (l 1) dega 1 j, 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega s. a = (z ( i 1), t,..., t,..., z 1, t,..., t ); z l = j + (l 1) dega 1 j, 1 l i 1, 1 i ; t s = z l + s dega s. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri 165

190 dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,j 1 k, (k 1) + 1 j }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P )) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(p δ P ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(p δ P ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) Sipul-sipul di graf P δ P dibedaka ejadi sipul dau (pedat) erupaka sipul-sipul subgraf P da sipul dala erupaka sipul-sipul di subgraf litasa P. Utuk 1(od ), kelas partisi di sipul dau (pedat) terpisah dega kelas partisi di sipul dala sehigga terdapat tiga kasus utuk ilai yaitu pertaa utuk 0(od ) da 1(od ), kedua utuk 1(od ) da 1(od ), sedagka utuk (od ) da 1(od ). 1. Utuk 0(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf P δ P dapat dilihat pada Gabar 4.6 (b). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1 S ( 1 )+l = {y i,1 1 l, (k 1) + i k + 1, 1 i }, (l 1) + 1 i l} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k da S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi 166

191 diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P δ P utuk 0(od ) da 1(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c i, d); u s = j s 1 da t r = r (j ) dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 s k 1, 1 r k. c = (z1, 1 t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = j + (l 1) + 1 dega j, 1 l i, 1 i ; t 1 s = zl 1 +s dega 1 s 1. a = (z ( i 1), t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z l = j + (l 1) + 1 dega j, 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (t 4 1,..., t 4 p 1, j 1, t 1,..., t p); t f = (j 1) + (1 + (p 1) i) + f dega j, 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p; t 4 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega j, 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 1, c i, d); t l = 1 + l dega 1 l 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 dega 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega 1 s 1. a = (z ( 1), t 1,..., t 1,..., z i 1, t 1,..., t 1); z l = i l + 1 dega 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (t 4 1,..., t 4 p 1, 0, t 1,..., t p); t f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p; t 4 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) +. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( 1 ) +. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap 167

192 kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( 1 ) +. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) + spd(p δ P ) ( 1) +, aka diesi partisi bitag spd(p δ P ) = ( 1) + utuk 1(od ) da 0(od ).. Utuk 1(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 +1} dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } S ( 1 )+l = {y i,1 1 l 1, (l 1) + 1 i l} S ( 1 ) = {y,1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k, S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 ) erupaka kelas partisi sigleto yag berisi sebuah sipul trivial yag juga erupaka graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P δ P utuk 1(od ) da 1(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c i, d); u s = j s 1 da t r = r (j ) dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 s k 1, 1 r k. c = (z1, 1 t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = j + (l 1) + 1 dega j, 1 l i, 1 i ; t 1 s = zl 1 +s dega 1 s

193 a = (z ( 1), t 1,..., t 1,..., z i 1, t 1,..., t 1); z l = j + (l 1) + 1 dega j, 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (t 4 1,..., t 4 p 1, j 1, t 1,..., t p+1); t f = (j 1)+(1+(p 1) i)+f dega j, 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p; t 4 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega j, 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 5 1,..., t 5, j 1); t5 f = j + f dega j, 1 f ; i =. r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 1, c i, d); t l = 1 + l dega 1 l 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 dega 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega 1 s 1. a = (z ( 1), t 1,..., t 1,..., z i 1, t 1,..., t 1); z l = i l + 1 dega 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (t 4 1,..., t 4 p 1, 0, t 1,..., t p+1); t f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1; t 4 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 5 1,..., t 5, 0); t5 f = f + 1 dega j, 1 f ; i =. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul- 169

194 sipul dari V (P δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y i,1 l = 1, (l 1) + 1 i l} {y,1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1 ) + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 1 )+ +1 spd(p δ P ) ( 1 1 )+ +1, aka diesi partisi bitag spd(p δ P ) = ( 1) utuk 1(od ) da 1(od ).. Utuk (od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1} dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } S ( 1 )+l = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l} S ( 1 )+ +1 = {y 1,1, y,1 } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k da S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 )+ +1 egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P δ P utuk (od ) da 1(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c i, d); u s = j s 1 da t r = r (j ) dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 s k 1, 1 r k. c = (z1, 1 t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = j + (l 1) + 1 dega j, 1 l i, 1 i ; t 1 s = zl 1 +s dega 1 s 1. a = (z ( 1), t 1,..., t 1,..., z i 1, t 1,..., t 1); z l = j + (l 1) + 1 dega j, 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (t 4 1,..., t 4 p 1, j 1, t 1,..., t p+1); t f = (j 1)+(1+(p 1) i)+f dega j, 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p; t 4 f = j + (i (p 1) 1) + (p f 1) dega j, 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p

195 d = (t 5 1,..., t 5, j 1); t5 f = (i 1) + j + f dega j, 1 f ; 1 i. r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 1, c i, d); t l = 1 + l dega 1 l 1. c = (z 1 1, t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = l + 1 dega 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega 1 s 1. a = (z ( 1), t 1,..., t 1,..., z i 1, t 1,..., t 1); z l = i l + 1 dega 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (t 4 1,..., t 4 p 1, 0, t 1,..., t p+1); t f = (1 + (p 1) i) + f dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p + 1; t 4 f = (i (p 1) 1) + (p f 1) + 1 dega 1 p, (p 1) + 1 i p, 1 f p 1. d = (t 5 1,..., t 5, 0); t5 f = (i 1) + j + f + 1 dega j, 1 f ; i =. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) +, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (P δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ = {y i,1 l =, (l 1) + 1 i l} {y,1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1 ) + buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf P δ P 171

196 yaitu spd(p δ P ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 )+ +1 spd(p δ P ) ( 1 )+ +1, aka diesi partisi bitag spd(p δ P ) = ( 1) utuk (od ) da 1(od ). Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf P δ P dapat dilihat pada Gabar 4.6 (a). Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+ } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + j k +, 1 i } S ( )+i = {y i,j 1 i, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k Misalka egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( )+i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P δ P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P δ P utuk (od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, u 1,..., u k 1, 0, t 1,..., t k, c i ); u s = j s da t r = r (j ) dega 1 k, (k 1) + j k +, 1 s k 1, 1 r k. c = (z 1 1, t 1,..., t 1,..., z1 i, t 1,..., t 1 ); z1 l = j + (l 1) + dega j, 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega s. a = (z ( i 1), t,..., t,..., z 1, t,..., t ); z l = j + (l 1) + dega j, 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega s. d = (t 4 i 1,..., t 4 1, z 1, t 1,..., t i); t l = j + (l 1) dega j, 1 l i, 1 i ; t 4 l = j + (l 1) dega j, 1 l i 1, 1 i ; z 1 = j dega j. r(y i,1 Π S ) = (a i 1,, t 1,..., t 1, c i, d); t l = + l dega 1 l 1. c = (z1, 1 t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = +(l 1) dega 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega 1 s 1. a = (z ( i 1), t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z l = + (l 1) dega 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (z i 1,..., z 1, 0, z 4 1,..., z 4 i); z l = l dega 1 l i 1, 1 i ; z 4 l = l dega 1 l i, 1 i. 17

197 r(y i, Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 1, c i, d); t l = 1 + l dega 1 l 1. c = (z1, 1 t 1 1,..., t 1 1,..., z1 i, t 1 1,..., t 1 1); z1 l = 4+(l 1) dega 1 l i, 1 i ; t 1 s = z 1 l + s dega 1 s 1. a = (z ( i 1), t 1,..., t 1,..., z 1, t 1,..., t 1); z l = 4 + (l 1) dega 1 l i 1, 1 i ; t s = zl + s dega 1 s 1. d = (z i 1,..., z 1, 0, z 4 1,..., z 4 i); z l = l + 1 dega 1 l i 1, 1 i ; z 4 l = l + 1 dega 1 l i, 1 i. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1) = ( +1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P δ C yaitu spd(p δ P ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P δ P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1 ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y i,1, y i, 1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1 ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P δ P yaitu spd(p δ P ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(p δ P ) ( +1), aka diesi partisi bitag spd(p δ P ) = ) utuk (od ). ( +1 Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(p δ P ) = ( ) utuk 0(od ) da spd(p δ P ) = ( +1 ) utuk (od ) sehigga pada kedua ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(p δ P ) =. Sedagka spd(p δ P ) = ( 1) + utuk 1(od ) da 0(od ), spd(p δ P ) = ( 1) + + utuk 1(od ) da 1(od ) da spd(p δ P ) = ( 1) + +1 utuk 1(od ) da 17

198 (od ) dapat ditulis spd(p δ P ) = +. Sekarag, kita aka ebahas diesi partisi bitag pada graf P P dega, Z + da salah satu sipul v P yag dilekatka ke setiap sipul u P da sipul v epuyai derajat saa dega dua. Utuk = 1, graf hasil operasi cob P 1 P isororfik dega litasa P da utuk =, graf hasil operasi cob ebetuk pola khusus sedeikia sehigga order litasa P da litasa P asig-asig adalah da 4. Graf P P ditujukka pada Gabar 4.7 (a). Dala eetuka diesi partisi bitag suatu graf P P, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P. Diesi partisi bitag esyaratka partisi pebeda bitag Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Utuk =, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(p P ) ( ) =. Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (P P ) yaki r(y i,1 Π S ) = r(y i, Π S ) utuk 1 i berakibat sipul y i,1 da y i, harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(p P ) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = ( }{{} buah + 1) = Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(p P ) ( + 1) =. Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S } dega S i = {y i,1, y i, 1 i } da S +i = {y i, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1 da S +i erupaka kelas partisi yag euat sipul trivial dapat juga disebut graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi koordiat setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S =. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(p P ), aka diesi partisi bitag spd(p P ) =. 174

199 Gabar 4.7: (a) Graf Hasil Operasi Cob P P, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Bitag P 6 P 6 Teorea 4.. Misalka P adalah graf litasa order da P adalah graf litasa order dega sipul pelekata dari P yag berderajat dua. Utuk da 4, diesi partisi bitag dari sebuah graf hasil operasi cob P P adalah spd(p P ) =, jika 0(od ), (od ) da 1(od ), 1 < j <, j 1(od ) +, jika 1(od ), 1 < j <, j 1(od ) Bukti: Misalka graf P P eiliki hipua sipul V (P P ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(P P ) = {y i,t y i+1,t 1 i 1, j = t, t 1} {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf P P dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa utuk 0(od ), kasus kedua utuk 1(od ), sedagka kasus ketiga utuk (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf P P dapat dilihat pada Gabar 4.7 (b). Misalka 175

200 Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1)+1 j k, 1 i, j = t, t 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf P P utuk 0(od ) adalah berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,j 1 k, (k 1) + 1 j k}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(p P ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(p P ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) diaa 1 < j <, j 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + 1 j k, 1 i, j = t, t 1} S 1 +i = {y i, 1 i, j = t, t 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S 1 +i erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah sipul trivial 176

201 dapat disebut juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P utuk 1(od ) adalah berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) +. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) ( + ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( + ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( + ) 1 = {y,j k = 1, (k 1) + 1 j k} {y,}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) ( + ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(p P ) ( +), aka diesi partisi bitag spd(p P ) = ( + ) utuk 1(od ) diaa 1 < j <, j 1(od ). Kasus : Utuk 1(od ) diaa 1 < j <, j 1(od ) Sipul-sipul di graf P P dibedaka ejadi sipul dau (pedat) erupaka sipul-sipul subgraf P da sipul dala erupaka sipul-sipul di subgraf litasa P. Utuk 1(od ), kelas partisi di sipul dau (pedat) terpisah dega kelas partisi di sipul dala sehigga terdapat tiga kasus utuk ilai yaitu pertaa utuk 1(od ) da 0(od ), kedua utuk 1(od ) da 1(od ), sedagka utuk 1(od ) da (od ). 1. Utuk 1(od ) da 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + } dega: S l(i 1)+k = {y i,j 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 j k, 1 177

202 i } S l+( l)(i 1)+k = {y i,j 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + j l + k + 1, 1 i } S +f = {y i,t 1 f, (f 1) + 1 i f, j = t = l + 1, 1 l 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(i 1)+k, S l+( l)(i 1)+k da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P utuk 1(od ) da 0(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari 1 + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = 1 +. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) 1 +. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1 + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1,. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (P P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S = {y i,t 1 f, (f 1) + 1 i f, j = t = l + 1, 1 l 1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) 1 +. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag 1 + spd(p P ) 1 +, aka diesi partisi bitag spd(p P ) = 1 + utuk 1(od ) da 0(od ).. Utuk 1(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka 178

203 Π S = {S 1, S, S,..., S } dega: S l(i 1)+k = {y i,j 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 j k, 1 i } S l+( l)(i 1)+k = {y i,j 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + j l + k + 1, 1 i } S +f = {y i,t 1 f 1, (f 1) + 1 i f, j = t = l + 1, 1 l 1} S = {y,t j = t = l + 1, 1 l 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(i 1)+k, S l+( l)(i 1)+k da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S erupaka kelas partisi sigleto yag euat sebuah graf trivial dapat disebut juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P utuk 1(od ) da 1(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1 + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S = {y i,t f = 1, (f 1) + 1 i f, j = t = l + 1, 1 1}. Sehigga diperoleh l 1} {y,t j = t = l + 1, 1 l bahwa Π S dega kardialitas Π S = buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi 179 }

204 bitag spd(p P ) , aka diesi partisi bitag spd(p P ) = utuk 1(od ) da 0(od ).. Utuk 1(od ) da (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S } dega: S l(i 1)+k = {y i,j 1 k l, 1 l 1, (k 1) + 1 j k, 1 i } S l+( l)(i 1)+k = {y i,j 1 k l, 1 l 1, l + (k 1) + j l + k + 1, 1 i } S +f = {y i,t 1 f, (f 1) + 1 i f, j = t = l + 1, 1 l 1} S + +1 = {y 1,t, y,t j = t = l + 1, 1 l 1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S l(i 1)+k, S l+( l)(i 1)+k da S +f egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S + +1 egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P utuk 1(od ) da 1(od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag, sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = 1 +, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (P P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S 1 + } aka terdapat kelas partisi yag tidak egi- 180

205 duksi graf bitag yaitu S 1 + = {y i,t f = 1, (f 1) + 1 i f, j = t = l + 1, 1 l 1} {y 1,t, y,t j = t = l + 1, 1 l 1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag spd(p P ) , aka diesi partisi bitag spd(p P ) = utuk 1(od ) da 0(od ). Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S + } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i } S +i = {y i,j 1 i, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S +i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (P P ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf P P utuk (od ). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S + } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf P P dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( + 1) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (P P ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1) 1 = {y,j k =, (k 1) + 1 j k} {y,j 1 j }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardi- 181

206 alitas Π S = ( + 1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf P P yaitu spd(p P ) ( + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( + 1) spd(p P ) ( + 1), aka diesi partisi bitag spd(p P ) = ( + 1) utuk (od ). Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa spd(p P ) = ( ) utuk 0(od ), spd(p P ) = ( 1 + 1) utuk 1(od ), 1 < j <, j 1(od ) da spd(p P ) = ( + 1) utuk (od ) sehigga pada ketiga ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(p P ) =. Sedagka spd(p P ) = 1 + utuk 1(od ), 1 < j <, j 1(od ) da 0(od ), spd(p P ) = utuk 1(od ) da 1(od ) da spd(p P ) = utuk 1(od ) da (od ) dapat ditulis spd(p P ) = Diesi Partisi Bitag Graf Legkap Cob Graf Ligkara Graf hasil operasi cob atara graf legkap K dega graf ligkara C dihasilka dari eduplikat graf ligkara C sebayak sipul di graf legkap K dega eletakka salah satu sipul ujug graf C pada setiap sipul graf K, aka dapat dikataka bahwa graf K C erupaka graf yag terdiri dari kali graf ligkara C. Sehigga graf K C eiliki hipua sipul V (K C ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K C ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,1 y i, 1 i } {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Graf K C eiliki buah sipul da + buah sisi. Graf K C ditujukka pada Gabar 4.15 (a). Pada subbab ii, dibahas diesi partisi graf K C dega, Z +. Utuk =, graf K isoorfik dega litasa P aka graf hasil operasi cob K C isororfik dega litasa P C da utuk {, 4}, partisi pebeda bitag ebetuk pola khusus sedeikia sehigga order graf legkap K da ligkara C asig-asig adalah da 5. Dala eetuka diesi partisi bitag graf K C, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf K C. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Utuk =, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(k C ) ( ). Berdasarka Lea., terdapat represetasi koordiat sipulsipul di V (K C ) yaki r(y i, Π S ) = r(y i, ) utuk 1 i berakibat sipul 18

207 y i, da y i, harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(k C ) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = ( }{{} + 1) buah Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(k C ) ( + 1). Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) } dega S i = {y i,1, y i, 1 i } da S +i = {y i, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1 da sipul-sipul pada S +i erupaka kelas partisi sigleto yag euat sipul trivial yag juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K C ) utuk = berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( +1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K C ) yaitu spd(k C ) ( + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( + 1) spd(k C ) ( + 1), aka diesi partisi bitag spd(k C ) = ( + 1) utuk =. Utuk = 4, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(k C ) ( 1 ) + 1. Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (K C ) yaki r(y i, Π S ) = r(y i,4 ) utuk 1 i berakibat sipul y i, da y i,4 harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(k C ) ( 1 + 1) + ( 1 + 1) ( 1 + 1) } {{ } buah = ( 1 +1) Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(k C ) ( 1 + 1). Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 +1) } dega S i = {y i,1, y i,, y i, 1 i } da S +i = {y i,4 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S i egiduksi sebuah graf bitag K 1, da sipul-sipul pada S +i erupaka kelas 18

208 Gabar 4.8: (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 C 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf K 6 C 5 partisi sigleto yag euat sipul trivial yag juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K C utuk = 4 berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 +1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1 + 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1+). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C ) ( 1 + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 + 1) spd(k C ) ( 1 + 1), aka diesi partisi bitag spd(k C ) = ( 1 + 1) utuk = 4. Teorea 4.. Diberika dua graf terhubug K da C dega asig-asig orderya da dega 5 da, aka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob K C adalah spd(k C ) = {, jika 0(od ), (od ) + 1, jika 1(od ) Bukti: Misalka graf K C eiliki hipua sipul V (K C ) = {y i,j 1 j, 1 i } da hipua sisi E(K C ) = {y i,1 y i+k,1 1 i, 1 k i} {y i,1 y i, 1 i } {y i,j y i,j+1 1 i, 1 j 1}. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf K C dega buah sipul, 184

209 aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa utuk 0(od ), kasus kedua utuk 1(od ), sedagka kasus ketiga utuk (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf K C dapat dilihat pada Gabar 4.8 (a). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipulsipul dari graf K C utuk 0(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 1,..., t +1, t1,..., t1 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i ); t 1 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 l ; 6 t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, + 1 l 1; gasal. 6 c = (z 1 j, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1,..., z1 j, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1); z 1 j = j dega 1 j + 1; z1 j = j + dega + j ; t s = zj 1 + s dega 1 s ; 6 t4 s = zl 1 + s dega s 1. a = (z j, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1,..., z j, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1); z j = j dega 1 j + 1; z j = j + dega + j ; t s = zj + s dega 1 s ; 6 t4 s = zl + s dega s 1. Repretasi sipul di graf K C utuk geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 1,..., t 6 +1, t 6, t 1 6 1,..., t1 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1, c i); t 1 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 l 6 1; t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 k, (k 1) + 1 j k, l 1; t 6 = dega j = (k 1) + 1 da j = k; t 6 = 6 + dega j = (k 1) + ; geap. c = (z 1 j, t 1,..., t 6 1, t 6, t ,..., t4 1,..., z1 j, t 1,..., t 6 1, t 6, t ,...,

210 t 4 1); z1 j = j dega 1 j +1; z1 j = j+ dega + j ; t s = zj 1 + s dega 1 s ; 6 t4 s = zj 1 + s dega + 1 s 1; t 6 6 = zj a = (zj, t 1,..., t 1, t 6 6, t 4 +1,..., t4 1,..., z j, t 1,..., t 1, t 6 6 6, t 4 +1,..., 6 t 4 1); z j = j dega 1 j +1; z j = j+ dega + j ; t s = zj + s dega 1 s ; 6 t4 s = zj + s dega + 1 s 1; t 6 6 = zj +. 6 Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,j 1 k, (k 1) + 1 j k}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C )) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(k C ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(k C ) = ( ) utuk 0(od ) da 5. Kasus : Utuk 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+1 } dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } S ( 1 )+1 = {y i,1 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 )+1 egiduksi sebuah graf bitag K 1, 1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K C ) berbeda terhadap Π S. 186

211 Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K C utuk 1(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, x j ); t 1 l = (+(k 1) j)+l dega 1 k, (k 1)+ j k+1, 1 l ; 6 t l = (j (k 1) ) + l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; 6 t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 l ; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, l 1; x j = j 1 dega j + 1; x j = j + 1 dega j + 1; geap. c = (z 1 j, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z1 j, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1); z 1 j = j + 1 dega j + 1; z1 j = j + dega + j ; t 5 s = zj 1 + s dega 1 s ; 6 t6 s = zj 1 + s dega s 1. a = (z j, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z j, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1); z j = j + 1 dega j + 1; z j = j + dega + j ; t 5 s = zj + s dega 1 s ; 6 t6 s = zj + s dega s 1. Represetasi sipul graf K C utuk geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1, c i, 0); t l = 1 + l dega l ; 6 t4 l = l dega + 1 l 1; geap. 6 c = (, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 l = +l dega 1 l 6 ; t4 l = l 1 dega 6 +1 l 1. a = (, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 l = +l dega 1 l 6 ; t4 l = l 1 dega 6 +1 l 1. Represetasi sipul graf K C utuk gasal sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t, t 1,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 1, t , t +1,..., t 1, c i, x j ); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 k 1, 6 (k 1) + j k + 1, 1 l ; 6 t l = (j (k 1) ) + l 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; 6 t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1) + j k + 1, 1 l 1; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega 1 k, (k 1) + j k + 1, + 1 l 1; t 6 6 =

212 dega j = (k 1) + da j = (k 1) + ; t 6 = 6 dega j = k + 1;t 6 = 6 1 dega j = (k 1) + ; t 6 = 6 dega j = (k 1) + da j = k + 1; x j = j 1 dega j + 1; x j = j + 1 dega j + 1; gasal. c = (z 1 j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1 j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 j = j + 1 dega j + 1; z1 j = j + dega + j ; t 5 s = zj 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = zj 1 + s dega 6 s 1. a = (z j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z j = j + 1 dega j + 1; z j = j + dega + j ; t 5 s = zj + s dega 1 s 1; 6 t6 s = zj + s dega 6 s 1. Represetasi sipul graf K C utuk gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1, c i, 0); t l = 1 + l dega l 1; 6 t4 l = l dega l 1; gasal. 6 c = (, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 1, t,..., t 1); t 1 l = + l dega 1 l 1; 6 t4 l = l 1 dega 6 l 1. a = (, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1); t 1 l = +l dega 1 l 6 1; t4 l = l 1 dega 6 l 1. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + 1 kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) + 1. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C ) ( 1 ) + 1. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, ; 1 sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1 ), aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1, ; 1. Perhatika bahwa sipulsipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )} aka terdapat 188

213 kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 ) = {y,j 1 j } {y i,1 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1 ) buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C ) ( 1 ) + 1. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) + 1 spd(k C ) ( 1 ) + 1, aka diesi partisi bitag spd(k C ) = ( 1 ) + 1 utuk 1(od ). Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf K C dapat dilihat pada Gabar 4.8 (b). Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+ } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + j k +, 1 i } S ( )+i = {y i,j 1 i, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (j 1)+k Misalka egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( )+i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (K C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf K C utuk (od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 6 +, t 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1, t 6 +,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 k, (k 1) + j k +, 1 l 6 ; t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1) + j k +, 6 + l 1; t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1) + j k +, 1 l ; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + dega 1 k, (k 1) + j k +, 6 + l 1; t 6 +1 = 6 dega j = (k 1) + da j = (k 1) + 4; t 6 +1 = dega j = k + ;t 6 +1 = 6 dega j = (k 1) + ; t 6 +1 = dega j = (k 1) + 4 da j = k + ; gasal. c = (z 1 j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1 j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 j = j + dega j + 1; z1 j = j + 4 dega + j ; t 5 s = zj 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = s + 1 dega 6 s 1. a = (z j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z j = j + dega j + 1; z j = j + 4 dega + j ; 189

214 t 5 s = zj + s dega 1 s 1; 6 t6 s = s + 1 dega 6 s 1. d = (zj 1,..., zj 1, z j, zj 1,..., zj 1 ); zj 1 = j dega j }{{}}{{} + 1; z1 j = j + i 1 i dega + j ; z j = j dega j + 1; z1 j = j + 1 dega + j ; 1 i. Represetasi sipul graf K C utuk gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1,, t 1,..., t 6 1, t 6,..., t 1, c i, d); t l = + l dega 1 l 1; t 6 l = l dega l 1; gasal. 6 c = (, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 1, t,..., t 1); t 1 l = + l dega 1 l 1; 6 t4 l = l 1 dega 6 l 1. a = (, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 1, t,..., t 1); t 1 l = + l dega 1 l 1; 6 t4 l = l 1 dega 6 l 1. d = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); 1 i. }{{}}{{} i 1 i Represetasi sipul graf K C utuk gasal dega j = sebagai berikut: r(y i, Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 6 1, t 6,..., t 1, c i, d); t l = 1 + l dega 1 l 1; t 6 l = l dega l 1; gasal. 6 c = (4, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1,..., 4, t1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1); t 1 l = 4 + l dega 1 l 6 1; t4 l = l dega 6 l 1. a = (4, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1,..., 4, t1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1); t 1 l = 4 + l dega 1 l 6 1; t4 l = l dega 6 l 1. d = (,...,, 0,,..., ); 1 i. }{{}}{{} i 1 i Represetasi sipul graf K C utuk geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 +1, t,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1, t +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = (+(k 1) j)+l dega 1 k, (k 1)+ j k+, 1 l ; 6 t l = (j (k 1) ) + l dega 1 k, (k 1)+ j k +, 6 +1 l 1; t l = (j (k 1) )+l dega 1 k, (k 1) + j k +, 1 l 6 ; t 4 l = ( + (k 1) j) + l + dega 1 k, (k 1) + j k +, + 1 l 1; geap

215 c = (z 1 j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1 j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 j = j + dega j + 1; z1 j = j + 4 dega + j ; t 5 s = zj 1 + s dega 1 s 1; 6 t6 s = s + 1 dega 6 s 1. a = (z j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z j, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z j = j + dega j + 1; z j = j + 4 dega + j ; t 5 s = zj + s dega 1 s 1; 6 t6 s = s + 1 dega 6 s 1. d = (zj 1,..., zj 1, z j, zj 1,..., zj 1 ); zj 1 = j dega j }{{}}{{} + 1; z1 j = j + i 1 i dega + j ; z j = j dega j + 1; z1 j = j + 1 dega + j ; 1 i. Represetasi sipul graf K C utuk geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1,, t 1,..., t 6 1, t 6,..., t 1, c i, d); t l = + l dega 1 l 1; t 6 l = l dega l 1; geap. 6 c = (, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 1, t,..., t 1); t 1 l = + l dega 1 l 1; 6 t4 l = l 1 dega 6 l 1. a = (, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1,...,, t1 1,..., t 1 1, t,..., t 1); t 1 l = + l dega 1 l 1; 6 t4 l = l 1 dega 6 l 1. d = (1,..., 1, 0, 1,..., 1); 1 i. }{{}}{{} i 1 i Represetasi sipul graf K C utuk geap dega j = sebagai berikut: r(y i, Π S ) = (a i 1, 1, t 1,..., t 6 1, t 6,..., t 1, c i, d); t l = 1 + l dega 1 l 1; t 6 l = l dega l 1; gasal. 6 c = (4, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1,..., 4, t1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1); t 1 l = 4 + l dega 1 l 6 1; t4 l = l dega 6 l 1. a = (4, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1,..., 4, t1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1); t 1 l = 4 + l dega 1 l 6 1; t4 l = l dega 6 l 1. d = (,...,, 0,,..., ); 1 i. }{{}}{{} i 1 i Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = 191

216 ( + 1) = ( +1 ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, ; 1 sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1, ; 1. Perhatika bahwa sipulsipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (K C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1 ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y i,1, y i, 1 i }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf K C yaitu spd(k C ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(k C ) ( +1), aka diesi partisi bitag spd(k C ) = ) utuk (od ). ( +1 Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa utuk spd(k C ) = ( ) utuk 0(od ) da 5 da spd(k C ) = ( +1 ) utuk (od ) sehigga pada kedua ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(k C ) =. Sedagka spd(k C ) = ( 1 )+1 utuk 1(od ) dapat ditulis spd(p C ) = Diesi Partisi Bitag Graf Ligkara Cob Graf Ligkara Graf hasil operasi cob atara graf ligkara C dega graf ligkara C dihasilka dari eduplikat graf ligkara C sebayak sipul di graf ligkara C dega eletakka salah satu sipul ujug graf C pada setiap sipul graf C, aka dapat dikataka bahwa graf C C erupaka graf yag terdiri dari kali Ligkara C. Sehigga graf C C eiliki hipua sipul V (C C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(C C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y,1 y 1,1 } {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Graf C C eiliki buah sipul da ( + 1) buah sisi. Graf P C ditujukka pada Gabar Pada subbab ii, dibahas diesi partisi bitag graf C C dega, 19

217 Z +. Utuk =, graf C adalah graf yag epuyai sisi gada sehigga C buka graf sederhaa da utuk {, 4},partisi pebeda bitag ebetuk pola khusus sedeikia sehigga order ligkara C da ligkara C asigasig adalah da 5. Dala eetuka diesi partisi bitag graf C C, hal pertaa yag harus dilakuka adalah eetuka batas atas da batas bawah diesi partisi dari graf C C. Diesi partisi bitag esyaratka Π S harus epuyai kardialitas yag iiu. Utuk =, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(c C ) ( ). Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipul-sipul di V (C C ) yaki r(y i, Π S ) = r(y i, ) utuk 1 i berakibat sipul y i, da y i, harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(c C ) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = ( }{{} + 1) buah Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(c C ) ( + 1). Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) } dega S i = {y i,1, y i, 1 i } da S +i = {y i, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1 da S +i erupaka kelas partisi yag euat sipul trivial dapat juga disebut graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi koordiat setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk = berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( + 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( + 1) spd(c C ) ( + 1), aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ( + 1) utuk =. Utuk = 4, adaika batas bawah diesi partisi bitag yaitu spd(c C ) ( 1) +. Berdasarka Lea., terdapat represetasi sipulsipul di V (C C ) yaki r(y i, Π S ) = r(y i,4 ) utuk 1 i berakibat sipul 19

218 Gabar 4.9: (a) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 6 C 6, (b) Kostruksi Partisi Pebeda Graf C 6 C 5 y i, da y i,4 harus berada pada kelas partisi yag berbeda sehigga batas bawah diesi partisi bitag: spd(c C ) ( 1 + 1) + ( 1 + 1) ( 1 + 1) } {{ } buah = ( 1 +1) Jadi, batas bawah diesi partisi bitag adalah spd(c C ) ( 1 + 1). Utuk eetuka batas atas, dapat dikostruksi partisi pebeda bitag isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 +1) } dega S i = {y i,1, y i,, y i, 1 i } da S +i = {y i,4 1 i }. Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada kelas partisi S i egiduksi graf bitag K 1, da kelas partisi S +i euat sebuah sipul trivial yag juga graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk = 4 berbeda. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 +1) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1 + 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1 + 1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( 1 + 1). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 +1) spd(c C ) ( 1 +1), aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ( 1 + 1) utuk =

219 Teorea 4.4. Diberika dua graf terhubug C da C dega asig-asig orderya da dega 5 da, aka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob C C adalah spd(c C ) = {, jika 0(od ), (od ) +, jika 1(od ) Bukti: Misalka graf C C eiliki hipua sipul V (C C ) = {y i,j 1 j 1 i } da hipua sisi E(C C ) = {y i,1 y i+1,1 1 i 1} {y,1 y 1,1 } {y i,j y i,j+1 1 j 1, 1 i } {y i, y i,1 1 i }. Utuk eujukka diesi partisi bitag graf C C dega buah sipul, aka utuk asig-asig ilai dibagi ejadi tiga kasus. Kasus pertaa utuk 0(od ), kasus kedua utuk 1(od ), sedagka kasus ketiga utuk (od ). Kasus 1: Utuk 0(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf C C dapat dilihat pada Gabar 4.9 (a). Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k egiduksi sebuah graf bitag K 1,. Maka dapat ditujukka represetasi koordiat setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk 0(od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1, c i ); t 1 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 l 6 ; t l = (j (k 1) 1) + l dega l 1; t l = (j (k 1) 1)+l dega 1 l 6 ; t4 l = (1+(k 1) j)+ l dega + 1 l 1; 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i, 6 gasal. Represetasi c i utuk gasal sebagai berikut: c = (z 1 1, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z1, t5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1, z +1, t 7 1,..., t 7 6, t8 6 +1,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 6, t8 6 +1,..., t8 1); z1 s = (j 1) + s dega 1 j + 1, 1 s ; z1 s = j s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 l 6 ; 195

220 t 6 l = z 1 s + l dega l 1; z s = (j 1) + s dega 1 j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + 1) + + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = z s + l dega 1 l 6 ; t 8 l = zs + l dega + 1 l 1; 1 i. 6 Represetasi a i 1 utuk gasal sebagai berikut: a = (z 1, t 7 1,..., t 7 6, t8 6 +1,..., t8 1,..., z +1, t7 1,..., t 7 6, t8 6 +1,..., t8 1, z 1, t5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z1 1, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1); z 1 s = (j 1) + s dega 1 j + 1, 1 s ; z1 s = j s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 l 6 ; t 6 l = z 1 s + l dega l 1; z s = (j 1) + s dega 1 j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + 1) + + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = z s + l dega 1 l 6 ; t 8 l = zs + l dega + 1 l 1; 1 i. 6 Represetasi sipul graf C C utuk geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 6 +1, t 6, t 6 1,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1, c i); t 1 l = (1 + (k 1) j) + l dega 1 l 6 1; t l = (j (k 1) 1) + l dega l 1; t l = (j (k 1) 1) + l dega 1 l 6 1; t 4 l = (1 + (k 1) j) + l dega l 1; t 6 = dega j = (k 1) + 1 da j = k; t 6 6 = 1 dega 6 j = (k 1) + ; 1 k, (k 1) + 1 j k, 1 i, geap. Represetasi c i utuk gasal sebagai berikut: c = (z 1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, z +1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1); z1 s = (j 1) + s dega 1 j + 1, 1 s ; z1 s = j s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 l 6 1; t 6 l = z 1 s + l dega 6 l 1; z s = (j 1) + s dega 1 j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + 1) + + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = z s + l dega 1 l 6 1; t 8 l = zs + l dega l 1; 1 i. 6 Represetasi a i 1 utuk gasal sebagai berikut: a = (z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z +1, t7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1, z 1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 s = (j 1) + s dega 1 j + 1, 1 s ; z1 s = j s 196

221 dega + j, 1 s ; t5 l = zs 1 + l dega 1 l 1; 6 t 6 l = zs 1 + l dega l 1; 6 z s = (j 1) + s dega 1 j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + 1) + + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = zs + l dega 1 l 1; 6 t 8 l = zs + l dega l 1; 1 i. 6 Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( ). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( ) 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( ) 1 = {y,j 1 k, (k 1) + 1 j }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1) buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C )) ( ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( ) spd(c C ) ( ), aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ( ) utuk 0(od ). Kasus : Utuk 1(od ) Sipul-sipul di graf C C dibedaka ejadi sipul dau (pedat) erupaka sipul-sipul subgraf C da sipul dala erupaka sipul-sipul di subgraf ligkara C. Utuk 1(od ), kelas partisi di sipul dau (pedat) terpisah dega kelas partisi di sipul dala sehigga terdapat tiga kasus utuk ilai yaitu pertaa utuk 0(od ) da 1(od ), kedua utuk 1(od ) da 1(od ), sedagka utuk (od ) da 1(od ). 1. Utuk 0(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka 197

222 Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1 S ( 1 )+l = {y i,1 1 l, (k 1) + i k + 1, 1 i }, (l 1) + 1 i l} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k da S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk 0(od ), 1(od ) da 5, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da gasal. Represetasi b utuk gasal da gasal sebagai berikut: b = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6, t 6 1,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6, t 6 +1,..., t 1); t1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 l 6 1; t l = (j (k 1) ) + l 1 dega l 1; t 6 = 1 dega j = (k 1) + da j = (k 1) + ; 6 t 6 = dega j = k + 1; 6 t l = (j (k 1) ) + l dega 1 l 1; 6 t4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega + 1 l 1; t 6 6 = 1 dega j = (k 1) + da 6 j = k + 1; t 6 +1 = + 1 dega j = (k 1) +, 1 k ; 6 1 k, (k 1) + j k + 1. Represetasi c i utuk gasal da gasal sebagai berikut: c = (z 1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, z +1, t7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1); z 1 s = j+s dega j +1, 1 s ; z1 s = ( j+)+s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 l 6 1; t 6 l = z 1 s + l dega 6 l 1; z s = j + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = zs + l dega 1 l 1; 6 t8 l = zs + l dega l 1. 6 Represetasi a i 1 utuk gasal da gasal sebagai berikut: a = (z 1, t 7 1,..., t 7 1, t8,..., t8 1,..., z +1, t7 1,..., t 7 1, t8,..., t 8 1, z1, t5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1,..., z1 1, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t 6 1); z1 s = j + s dega j + 1, 1 s ; z 1 s = ( j + ) + s dega + j, 1 s ; t 5 l = z 1 s + l dega 1 l 6 1; t6 l = z 1 s + l dega 6 l 1; z s = j + s dega j + 1, 198

223 + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = z s + l dega 1 l 6 1; t 8 l = z s + l dega 6 l 1. Represetasi d utuk gasal da gasal sebagai berikut: d = (t 1 1,..., t1 +1, t11,..., t111, z, t 9 1,..., t 9, t10 +1,..., t10 1); z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 r = z + (1 + (p 1) i) + r dega 1 r 6 ; t 10 r = z + (i (p 1) 1) + r dega + 1 r 1; 6 t 11 r = z + (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; 6 t 1 s = z + (1 + (p 1) i) + r dega + 1 r 1, 6 1 p, (p 1) + 1 i p. Represetasi sipul graf C C utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da gasal. Represetasi b utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: b = (1, t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1); t1 l = 1 + l dega 1 l 6 1; t l = j + l dega 6 l 1. Represetasi c i utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1, z +1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 s = 1 + s dega 1 s ; t l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 4 l = z 1 s + l + s dega 6 l 1; z s = s + 1 dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 1; t 6 l = z s + l dega 6 l 1 Represetasi a i 1 utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: a = (z 1, t 5 1,..., t 5 1, t6,..., t6 1,..., z +1, t5 1,..., t 5 1, t6,..., t 6 1, z1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1,..., z1 1, t 1,..., t 1, t4,..., t 4 1); z1 s = 1 + s dega 1 s ; t l = zs 1 + l dega 1 s 6 1; t4 l = z 1 s + l + s dega 6 l 1; z s = s + 1 dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 1; t6 l = z s + l dega 6 l 1 Represetasi d utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: d = (t 10 1,..., t10 +1, t9,..., t111, 0, t 7 1,..., t 7, t8 +1,..., t8 1); t7 r = (1+(p 1) i)+r dega 1 r ; 6 t8 r = (i (p 1) 1)+ r 199

224 dega r 1; t9 r = (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; t10 6 s = 1+(p 1) i)+ r dega +1 r 1, 6 1 p, (p 1) + 1 i p. Represetasi sipul graf C C utuk geap da gasal sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da gasal. Represetasi b utuk geap da gasal sebagai berikut: b = (t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 l 6 ; t l = (j (k 1) ) + l 1 dega l 1; t l = (j (k 1) ) + l dega 1 l 6 ; t 4 l = ( + (k 1) j) + l + 1 dega l 1, 1 k ; 1 k, (k 1) + j k + 1. Represetasi c i utuk geap da gasal sebagai berikut: c = (z 1 1, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z1, t5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1, z +1, t7 1,..., t 7 6, t8 6 +1,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 6, t8 6 +1,..., t8 1); z 1 s = j + s dega j + 1, 1 s ; z1 s = ( j + ) + s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 l 6 ; t 6 l = z 1 s + l dega l 1; z s = j + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = zs + l dega 1 l ; 6 t8 l = zs + l dega + 1 l 1. 6 Represetasi a i 1 utuk geap da gasal sebagai berikut: a = (z 1, t 7 1,..., t 7, t8 +1,..., t8 1,..., z +1, t7 1,..., t 7, t t 8 1, z1, t5 1,..., t 5, t6 +1,..., t6 1,..., z1 1, t 5 1,..., t 5, t6 +1,..., t 6 1); z1 s = j + s dega j + 1, 1 s ; +1,..., z 1 s = ( j + ) + s dega + j, 1 s ; t 5 l = zs 1 + l dega 1 l ; 6 t6 l = zs 1 + l dega + 1 l 1; 6 z s = j + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, +1 s 1; t7 l = z s +l dega 1 l 6 ; t8 l = z s + l dega l 1. (Represetasi d utuk geap da gasal saa dega represetasi d utuk gasal da gasal) 00

225 Represetasi sipul graf C C utuk geap da gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da gasal. Represetasi b utuk geap da gasal dega j = 1 sebagai berikut: b = (1, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1); t1 l = 1 + l dega 1 l 6 ; t l = l dega l 1. Represetasi c i utuk geap da gasal dega j = 1 sebagai berikut: c = (z 1 1, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1,..., z1, t 1,..., t 6, t4 6 +1,..., t4 1, z +1, t5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1); z 1 s = 1 + s dega 1 s ; t l = z 1 s + l dega 1 s 6 ; t 4 l = z 1 s + l + s dega l 1; z s = s + 1 dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 ; t 6 l = z s + l dega l 1 Represetasi a i 1 utuk geap da gasal dega j = 1 sebagai berikut: a = (z 1, t 5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t6 1,..., z +1, t5 1,..., t 5 6, t6 6 +1,..., t 6 1, z1, t 1,..., t, t4 +1,..., t4 1,..., z1 1, t 1,..., t, t t 4 1); z1 s = 1 + s dega 1 s ; t l = zs 1 + l dega 1 s ; 6 +1,..., t 4 l = z 1 s + l + s dega l 1; z s = s + 1 dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 ; t 6 l = z s + l dega l 1 (Represetasi d utuk geap da gasal saa dega represetasi d utuk gasal da gasal dega j = 1). Represetasi sipul graf C C utuk gasal da geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da gasal). d = (t 1 1,..., t1 +1, t 6 6, t 11 1,..., t111, z, t 9 1,..., t 9 1, t 6 6 6, t 10 +1,..., 6 t 10 1); z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 r = z +(1+(p 1) i)+r dega 1 r 1; 6 t 10 r = z + (i (p 1) 1) + r dega + 1 r 1; 6 t 11 r = z + (i (p 1) 1) + r dega 1 r 1; 6 t 1 s = z + (1 + (p 1) i) + r dega + 1 r 1; 6 t 6 = z + 1 dega i = (p 1) + ; t 6 6 = z + dega 6 i = (p 1) + 1 da j = p; 1 p, (p 1) + 1 i p. 01

226 Represetasi sipul graf C C utuk gasal da geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da gasal dega j = 1). d = (t 10 1,..., t10 +1, t 6 6, t 9 1,..., t9 1, z, t 7 1,..., t 7 1, t 6 6 6, t 8 +1,..., 6 t 8 1); t7 r = (1 + (p 1) i) + r dega 1 r 1; 6 t 8 r = (i (p 1) 1) + r dega r 1; t 9 r = (i (p 1) 1) + r dega 1 r 6 1; t 10 s = (1 + (p 1) i) + r dega r 1; t 6 = 1 dega i = (p 1) + ; t 6 6 = dega 6 i = (p 1) + 1 da j = p; 1 p, (p 1) + 1 i p. Represetasi sipul graf C C utuk geap da geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk geap da gasal). (Represetasi d utuk geap da geap saa dega represetasi d utuk gasal da geap). Represetasi sipul graf C C utuk geap da geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk geap da gasal dega j = 1). (Represetasi d utuk geap da geap saa dega represetasi d utuk gasal da geap dega j = 1). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) +. Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf 0

227 C C yaitu spd(c C ) ( 1 ) +. Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala satu kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, ; 1 sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1, ; 1. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( 1 ) +. Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1) + spd(c C ) ( 1) +, aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ( 1) + utuk 1(od ), 0(od ).. Utuk 1(od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 +1} dega: S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } S ( 1 )+l = {y i,1 1 l 1, (l 1) + 1 i l} S ( 1 ) = {y,1} Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k, S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 ) erupaka kelas partisi sigleto yag berisi sebuah sipul trivial yag juga erupaka graf bitag. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk 1(od ), 1(od ) da 5, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da gasal saa dega repre- 0

228 setasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal). d = (t 1 1,..., t1 +1, t 6 6, t 11 1,..., t111, z, t 9 1,..., t 9 1, t 6 6 6, t 10 +1,..., 6 t 10 1, t ); z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 r = z + (1 + (p 1) i) + r dega 1 r 1; t10 6 r = z + (i (p 1) 1) + r 1 dega + 1 r 1; t 6 6 = z + 1 dega 6 i = (p 1) + 1 da i = (p 1) + ; t 6 = z + dega 6 i = p; t = z + i dega 1 i ; t = z + i dega + 1 i 1; t11 r = z + (i (p 1) 1) + r dega 1 r 1; t1 6 s = z + (1 + (p 1) i) + r + 1 dega + 1 r 1; t 6 6 = z + 1 dega i = (p 1) + 6 da i = p; t 6 = z + dega i = (p 1) + 1; 1 p, 6 (p 1) + 1 i p. d = (z1, t 1 1,..., t 1 1, t14,..., t14 1, z ); z1 = j dega j + 1; 6 6 z1 = j + dega + j ; t1 r = z1 + r dega 1 r 1; 6 z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t14 r = z+ r dega r 1, 6 utuk i =. Represetasi sipul graf C C utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da gasal saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal dega j = 1). d = (t 10 1,..., t10 +1, t 6 6, t 9 1,..., t9 1, 0, t 7 1,..., t 7 1, t 6 6 6, t 8 +1,..., 6 t 8 1, t ); t 7 r = (1 + (p 1) i) + r dega 1 r 1; 6 t 8 r = (i (p 1) 1) + r 1 dega r 1; t 6 = 1 dega i = (p 1) + 1 da i = (p 1) + ; 6 t 6 = dega i = p; t 6 = i dega 1 i ; t = i dega + 1 i 1; t9 r = (i (p 1) 1) + r dega 1 r 1; t10 6 s = (1 + (p 1) i) + r + 1 dega + 1 r 1; t 6 6 = 1 dega i = (p 1) + 6 da i = p; t 6 = dega i = (p 1) + 1; 1 p, 6 04

229 (p 1) + 1 i p. d = (1, t 1 1,..., t 1 1, t14,..., t14 1, 0); t1 r = 1 + r dega r 1; t14 6 r = r dega r 1, utuk i =. 6 Represetasi sipul graf C C utuk geap da gasal sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da gasal saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal). (Represetasi d utuk geap da gasal saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da 1(od ) da gasal). Represetasi sipul graf C C utuk geap da gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da gasal saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal dega j = 1). (Represetasi d utuk geap da gasal saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da 1(od ) da gasal dega j = 1). Represetasi sipul graf C C utuk gasal da geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal). d = (t 1 1,..., t1 +1, t11,..., t111, z, t 9 1,..., t 9, t10 +1,..., t10 1, t ); z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 r = z + (1 + (p 1) i) + r dega 1 r ; t10 6 r = z + (i (p 1) 1) + r 1 dega + 1 r 1; t 6 = z + i dega 1 i ; t = z + i 1 dega i = + 1; t = z + i dega + i 1; t11 r = z + (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; t1 6 s = z + (1 + (p 1) i) + r + 1 dega 05

230 + 1 r 1; 1 p, (p 1) + 1 i p. 6 d = (z1, t 1 1,..., t 1, t14 +1,..., t14 1, z ); z1 = j dega j + 1; 6 6 z1 = j + dega + j ; t1 r = z1 + r dega 1 r ; 6 z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t14 r = z + r dega + 1 r 1, 6 utuk i =. Represetasi sipul graf C C utuk gasal da geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal dega j = 1). d = (t 10 1,..., t10 +1, t9,..., t9 1, 0, t 7 1,..., t 7, t8 +1,..., t8 1, t ); t 7 r = (1+(p 1) i)+r dega 1 r ; 6 t8 r = (i (p 1) 1)+ r 1 dega r 1; t = i dega 1 i ; t = i 1 dega i = + 1; t = i dega + i 1; t9 r = (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; t10 6 s = (1 + (p 1) i) + r + 1 dega + 1 r 1; 1 p, (p 1) + 1 i p. 6 d = (1, t 1 1,..., t 1, t14 +1,..., t14 1, 0); t1 r = 1 + r dega 1 r ; t 14 r = r dega + 1 r 1, utuk i =. 6 Represetasi sipul graf C C utuk geap da geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal). (Represetasi d utuk geap da geap saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da 1(od ) da geap). Represetasi sipul graf C C utuk geap da geap dega j = 1 sebagai berikut: 06

231 r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal dega j = 1). (Represetasi d utuk geap da geap saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da 1(od ) da geap dega j = 1). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag K 1, ; 1 sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) + 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag K 1, ; 1. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ 1 } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ 1 = {y i,1 l = 1, (l 1) + 1 i l} {y,1}. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1 ) + 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 1 )+ +1 spd(c C ) ( 1 1 )+ +1, aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ( 1) utuk 1(od ), 1(od ) da 5.. Utuk (od ) da 1(od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag. Misalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1} dega: 07

232 S 1 (i 1)+k = {y i,j 1 k 1, (k 1) + j k + 1, 1 i } S ( 1 )+l = {y i,1 1 l, (l 1) + 1 i l} S ( 1 )+ +1 = {y 1,1y,1 } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S 1 (i 1)+k da S ( 1 )+l egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( 1 )+ +1 egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk (od ), 1(od ) da 5, sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da gasal saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal). d = (t 1 1,..., t1 +, t , t 11,..., t111, z, t 9 1,..., t 9, t , t 10 +,..., 6 t 10 1, t ); z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 r = z + (1 + (p 1) i) + r dega 1 r ; t10 6 r = z + (i (p 1) 1) + r dega + r 1; t 6 6 = z + dega i = (p 1) + 1; 6 t 6 +1 = z dega i = (p 1) + da i = p; t 6 +1 = z + i dega 1 i ; t +1 = z + i 1 dega + 1 i ; t 11 r = z + (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; 6 t 1 s = z + (1 + (p 1) i) + r + dega + r 1; 6 t 6 +1 = z + dega i = p; t = z dega 6 i = (p 1) + 1 da i = (p 1) + ; 1 p, (p 1) + 1 i p. d = (z1, t 1 1,..., t 1 1, t 6 6, t 14 +1,..., t14 1, z ); z1 = (j 1) + 6 (1 + i) + dega 1 i, j + 1; z1 = j + + (1 + i) + dega + j ; t1 r = z1 + r dega 1 r 1; 6 z = j 1 dega j +1; z = j +1 dega + j ; t14 r = z + +(i 1) + r dega + 1 r 1; t 6 6 = z, utuk 1 i. Represetasi sipul graf C C utuk gasal da gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da gasal saa dega repre- 08

233 setasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal dega j = 1). d = (t 10 1,..., t10 +, t , t 9,..., t9 1, z, t 7 1,..., t 7, t , t 9 +,..., 6 t 9 1, t ); t 7 r = (1 + (p 1) i) + r dega 1 r ; 6 t 8 r = (i (p 1) 1)+ r dega 6 + r 1; t 6 = 6 dega i = (p 1) + 1; t 6 +1 = + 1 dega i = (p 1) + 6 da i = p; t +1 = i dega 1 i ; t +1 = i 1 dega + 1 i ; t9 r = (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; 6 t 10 s = (1 + (p 1) i) + r + dega + r 1; 6 t 6 +1 = dega i = p; t = + 1 dega i = (p 1) da i = (p 1) + ; 1 p, (p 1) + 1 i p. d = (z 1, t 11 1,..., t 11 +1,..., t1 1, 0); z 1 = (1 + i) + 1, t 6 6, t 1 6 dega 1 i ; t 11 r = z1 + r dega 1 r 1; 6 t 1 r = (i 1) + r dega + 1 r 1; 6 t 6 = + 1, utuk 1 i. 6 Represetasi sipul graf C C utuk geap da gasal sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da gasal saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal). (Represetasi d utuk geap da gasal saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da (od ) da gasal). Represetasi sipul graf C C utuk geap da gasal dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da gasal. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da gasal saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal dega j = 1). (Represetasi d utuk geap da gasal saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da (od ) da gasal dega j = 1). Represetasi sipul graf C C utuk gasal da geap sebagai berikut: 09

234 r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal). d = (t 1 1,..., t1 +1, t11,..., t111, z, t 9 1,..., t 9, t10 +1,..., t10 1, t ); z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 r = z + (1 + (p 1) i) + r dega 1 r 6 ; t 10 r = z + (i (p 1) 1) + r dega r 1; t t 1 = z + i dega 1 i 1; t = z + i dega i ; t11 r = z + (i (p 1) 1) + r dega 1 r ; 6 s = z + (1 + (p 1) i) + r + dega + 1 r 1; 6 1 p, (p 1) + 1 i p. d = (z1, t 1 1,..., t 1 1, t14,..., t14 1, z ); z1 = (j 1) + (1 + i) dega 1 i, j +1; z 1 = j +1+(1+ i)+ dega + j ; t1 r = z1 +r dega 1 r 1; 6 z = j 1 dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t 14 r = z + +(i 1) + r dega 6 r 1, utuk 1 i. Represetasi sipul graf C C utuk gasal da geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, gasal da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk gasal da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da gasal da 0(od ) da gasal dega j = 1). d = (t 10 1,..., t10 +1, t9,..., t9 1, z, t 7 1,..., t 7, t8 +1,..., t8 1, t ); t 7 r = (1 + (p 1) i) + r dega 1 r ; 6 t8 r = (i (p 1) 1) + r dega r 1; t = i dega 1 i 1; t = i dega i ; t9 r = (i (p 1) 1) + r dega 1 r 6 ; t 10 s = (1 + (p 1) i) + r + dega + 1 r 1; 6 1 p, (p 1) + 1 i p. d = (z1, t 1 1,..., t 1 1, t14,..., t14 1, z ); z1 = (1 + i) dega 1 i ; t 11 r = z1 + r dega 1 r 1; 6 t 1 r = (i 1) + r dega r 1, utuk 6 10

235 1 i. Represetasi sipul graf C C utuk geap da geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal). (Represetasi d utuk geap da geap saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da (od ) da geap). Represetasi sipul graf C C utuk geap da geap dega j = 1 sebagai berikut: r(y i,1 Π S ) = (a i 1, b, c i, d); 1 i, geap da geap. (Represetasi a i 1, b, c i utuk geap da geap saa dega represetasi a i 1, b, c i utuk 1(od ) da geap da 0(od ) da gasal dega j = 1). (Represetasi d utuk geap da geap saa dega represetasi d utuk 1(od ) da gasal da (od ) da geap dega j = 1). Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ +1} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( 1) kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( 1) Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( 1 ) Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( 1) +, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala salah satu kelas partisi Π S erupaka sipulsipul dari V (C C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = 11

236 {S 1, S, S,..., S ( 1 )+ } aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( 1 )+ = {y i,1 l =, (l 1) + 1 i l} {y,1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( 1 ) + buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( 1 ) Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( 1 )+ +1 spd(c C ) ( 1 )+ +1, aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ( 1) utuk (od ), 1(od ) da 5. Kasus : Utuk (od ) Batas atas diesi partisi bitag dapat diperoleh dega egkostruksi partisi pebeda bitag graf C C dapat dilihat pada Gabar 4.9 (b). Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+ } dega: S (i 1)+k = {y i,j 1 k, (k 1) + j k +, 1 i } S ( )+i = {y i,j 1 i, 1 j } Dega dilihat bahwa sipul-sipul pada S (i 1)+k Misalka egiduksi sebuah graf bitag K 1, da S ( )+i egiduksi sebuah graf bitag K 1,1. Maka dapat ditujukka represetasi setiap sipul v V (C C ) berbeda terhadap Π S. Dari hasil observasi diperoleh represetasi setiap sipul-sipul dari graf C C utuk (od ), sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 6 +, t 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1, t 6 +,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 l 6 ; t l = (j (k 1) )+ l dega 6 + l 1; t 6 +1 = 6 dega j = (k 1) + ; t 6 +1 = + 1 dega j = (k 1) + 4 da 6 j = k + ; t l = (j (k 1) ) + l dega 1 l ; 6 t 4 l = ( + (k 1) j) + l + dega 6 + l 1; t 6 +1 = dega j = k + ; t = + 1 dega j = (k 1) + 6 da j = (k 1) + 4, 1 k ; 1 k, (k 1) + j k +, 1 i, gasal. Represetasi c i utuk gasal sebagai berikut: c = (z 1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, z +1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1); z1 s = (j + 1) + s dega j + 1, 1 s ; z1 s = ( j + ) + s 1

237 dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 6 l = (j + s) + l dega 6 l 1, j + 1, 1 s ; t6 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, 1 s ; z s = (j + 1) + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = zs + l dega 1 l 1; 6 t8 l = (j + s) + l dega l 1, 6 j + 1, + 1 s 1; t8 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, + 1 s 1. Represetasi a i 1 utuk gasal sebagai berikut: a = (z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z +1, t7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1, z 1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 s = (j + 1) + s dega j + 1, 1 s ; z1 s = ( j + ) + s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 6 l = (j + s) + l dega 6 l 1, j + 1, 1 s ; t6 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, 1 s ; z s = (j + 1) + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = zs + l dega 1 l 1; 6 t8 l = (j + s) + l dega l 1, 6 j + 1, + 1 s 1; t8 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, + 1 s 1. Represetasi d utuk gasal sebagai berikut: d = (t 10 1,..., t 10 +1, t9,..., t9 1, z, t 9 1,..., t 9, t10 +1,..., t10 1); z = j dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 s = j + s 1 dega j + 1, 1 s ; t9 s = j + s + 1 dega + j, 1 s ; t10 s = j + s 1 dega j + 1, + 1 s 1; t 10 s = + j s + 1 dega + j, + 1 s 1. Represetasi sipul graf C C utuk gasal dega j {1, } sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, j, t 1 1,..., t 1 1, t,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( j) + l 6 6 dega 1 l 1; 6 t l = j + l dega l 1; 6 1 i, 1 j, gasal. Represetasi c i utuk gasal dega j {1, } sebagai berikut: c = (z1, 1 t 1,..., t 1, t4,..., t4 1,..., z1, t 1,..., t 1, t4,..., t4 1, z +1,

238 t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z1 s = (1 + j) + s dega 1 s ; t l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 4 l = j + l + s dega 6 l 1, 1 s ; z s = s + (1 + j) dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 1; t6 l = s + j + l dega 6 l 1, + 1 s 1; 1 j. Represetasi a i 1 utuk gasal dega j {1, } sebagai berikut: a = (z 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z +1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, z 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 s = (1 + j) + s dega 1 s ; t l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 4 l = j + l + s dega 6 l 1, 1 s ; z s = s + (1 + j) dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 1; t6 l = s + j + l dega 6 l 1, + 1 s 1; 1 j. Represetasi d utuk gasal dega j {1, } sebagai berikut: d = (t 8 1,..., t 8 +1, t7,..., t7 1, 0, t 7 1,..., t 7, t8 +1,..., t8 1); t 7 s = s + (j 1) dega 1 s ; t8 s = s + (j 1) dega + 1 s 1; 1 j. Represetasi sipul graf C C utuk geap sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, t 4 1,..., t4 6 +1, t 6,..., t 1, 0, t 1 1,..., t 1 6, t 6 +1,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( + (k 1) j) + l dega 1 l 6 ; t l = (j (k 1) ) + l dega l 1; t l = (j (k 1) )+l dega 1 l 6 ; t4 l = (+(k 1) j)+ l+ dega + 1 l 1; 1 k, (k 1) + j k +, 6 1 i da geap. Represetasi c i utuk geap sebagai berikut: c = (z 1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, z +1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1); z1 s = (j + 1) + s dega j + 1, 1 s ; z1 s = ( j + ) + s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 6 l = (j + s) + l dega 6 l 1, j + 1, 1 s ; t6 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, 1 s ; z s = (j + 1) + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l 14 = z s + l dega

239 1 l 6 1; t8 l = (j + s) + l dega 6 l 1, j + 1, + 1 s 1; t8 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, + 1 s 1. Represetasi a i 1 utuk geap sebagai berikut: a = (z 1, t 7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1,..., z +1, t7 1,..., t 7 6 1, t8 6,..., t8 1, z 1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z1 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 s = (j + 1) + s dega j + 1, 1 s ; z1 s = ( j + ) + s dega + j, 1 s ; t5 l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 6 l = (j + s) + l dega 6 l 1, j + 1, 1 s ; t6 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, 1 s ; z s = (j + 1) + s dega j + 1, + 1 s 1; z s = ( j + ) + s dega + j, + 1 s 1; t7 l = zs + l dega 1 l 1; 6 t8 l = (j + s) + l dega l 1, 6 j + 1, + 1 s 1; t8 l = ( j + s + ) + l dega 6 l 1, + j, + 1 s 1. Represetasi d utuk geap sebagai berikut: d = (t 10 1,..., t 10 +1, t9,..., t9 1, z, t 9 1,..., t 9, t10 +1,..., t10 1); z = j dega j + 1; z = j + 1 dega + j ; t9 s = j + s 1 dega j + 1, 1 s ; t9 s = j + s + 1 dega + j, 1 s ; t10 s = j + s 1 dega j + 1, + 1 s 1; t 10 s = + j s + 1 dega + j, + 1 s 1. Represetasi sipul graf C C utuk geap dega j {1, } sebagai berikut: r(y i,j Π S ) = (a i 1, ( j), t 1 1,..., t 1 6 1, t 6,..., t 1, c i, d); t 1 l = ( j)+l dega 1 l 6 1; t l = j + l dega 6 l 1; 1 i, 1 j, geap. Represetasi c i utuk geap dega j {1, } sebagai berikut: c = (z 1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1, z +1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1); z 1 s = (j + 1) + s dega 1 s ; t l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 4 l = j + l + s dega 6 l 1, 1 s ; z s = s + (j + 1) dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 1; t6 l = s + j + l dega 6 l 1, 15

240 + 1 s 1; 1 j. Represetasi a i 1 utuk geap dega j {1, } sebagai berikut: a = (z 1, t 5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1,..., z +1, t5 1,..., t 5 6 1, t6 6,..., t6 1, z 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1,..., z1 1, t 1,..., t 6 1, t4 6,..., t4 1); z 1 s = (j + 1) + s dega 1 s ; t l = z 1 s + l dega 1 s 6 1; t 4 l = j + l + s dega 6 l 1, 1 s ; z s = s + (j + 1) dega + 1 s 1; t5 l = z s + l dega 1 l 6 1; t6 l = s + j + l dega 6 l 1, + 1 s 1; 1 j. Represetasi d utuk geap dega j {1, } sebagai berikut: d = (t 8 1,..., t 8 +1, t7,..., t7 1, 0, t 7 1,..., t 7, t8 +1,..., t8 1); t 7 s = s + (j 1) dega 1 s ; t8 s = s + (j 1) dega + 1 s 1; 1 j. Jadi Π S = {S 1, S, S,..., S ( )+} adalah partisi pebeda bitag yag terdiri dari ( ) + kelas partisi. Sehigga kardialitas dari Π S adalah Π S = ( + 1) = ( +1). Aka tetapi, Π S belu tetu epuyai kardialitas iiu. Jadi dapat ditetuka batas atas diesi partisi bitag dari graf P C yaitu spd(c C ) ( +1 ). Utuk eetuka batas bawah diesi partisi bitag dari graf C C dapat diperoleh dega Lea.. Selai itu, dega epertibagka bahwa graf yag diiduksi oleh sipul-sipul dala setiap kelas partisi harus sebuah graf bitag sehigga dapat ditujukka bahwa jika Π S epuyai kardialitas Π S = ( +1 ) 1, aka pasti terdapat sedikitya satu kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag. Perhatika bahwa sipul-sipul dala kelas partisi Π S erupaka sipul-sipul dari V (C C ). Tapa eguragi keuua, isalka Π S = {S 1, S, S,..., S ( +1 ) 1} aka terdapat kelas partisi yag tidak egiduksi graf bitag yaitu S ( +1 ) 1 = {y i,1y i, 1 }. Sehigga diperoleh bahwa Π S dega kardialitas Π S = ( +1 ) 1 buka erupaka partisi pebeda bitag. Jadi dapat ditetuka batas bawah diesi pasrtisi bitag dari graf C C yaitu spd(c C ) ( +1 ). Dega deikia, diperoleh batas atas da batas bawah diesi partisi bitag ( +1) spd(c C ) ( +1), aka diesi partisi bitag spd(c C ) = ) utuk (od ). ( +1 Berdasarka ketiga kasus pebuktia di atas diketahui bahwa utuk spd(c C ) = ( ) utuk 0(od ) da 5 da spd(c C ) = ( +1 ) 16

241 utuk (od ) sehigga pada kedua ilai tersebut dapat digabugka sedeikia spd(c C ) =. Sedagka spd(c C ) = ( 1) + utuk 1(od ), 5 da 0(od ), spd(c C ) = ( 1) + + utuk 1(od ), 5 da 1(od ), 5 da spd(c C ) = ( 1) + +1 utuk 1(od ), 5 da (od ) dapat ditulis spd(c C ) = Hubuga atara Diesi Partisi da Diesi Partisi Bitag pada Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug Berdasarka hasil yag diperoleh pada subbab 4.1 sapai 4., dapat dituliska kebali hasil egeai diesi partisi da diesi partisi bitag utuk asigasig graf hasil operasi cob seperti pada Tabel 4.1 da Tabel 4.. Dari kedua tabel tersebut dapat dilihat bahwa dapat disipulka hubuga atara diesi partisi dega diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob. Secara uu, terdapat hubuga atara diesi partisi dega diesi partisi bitag sebagaiaa dapat ditujukka dega egabil Teorea 4.1 eujukka bahwa pd(c δ P ) = utuk, da Teorea 4.1 eujukka bahwa spd(c δ P ) = utuk 0(od ), (od ) da spd(c δ P ) = + utuk 1(od ) da utuk kasus khususya sebagai berikut: Utuk = da = didapat pd(c δ P ) = da spd(c δ P ) = sehigga dapat ditujukka bahwa pd(c δ P ) = spd(c δ P ) = Utuk = 4 da = didapat pd(c 4 δ P ) = da spd(c 4 δ P ) = 4 sehigga dapat ditujukka bahwa pd(c δ P ) < spd(c δ P ) = 4 Utuk da dapat ditujukka bahwa pd(c δ P ) spd(c δ P ) Utuk graf hasil operasi cob selai C δ P dapat ditujukka bahwa ilai diesi partisi graf hasil operasi cob lebih kecil dari ilai diesi partisi bitag graf hasil operasi cob. Sehigga utuk graf G da H didapatka bahwa pd(g H) spd(g H). Dala Teorea.4 erujuk dari Mariescu da Gheeci (01) eyataka bahwa terdapat hubuga atara diesi partisi da diesi partisi bitag graf 17

242 Tabel 4.1: Rigkasa Diesi Partisi pada Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug No Graf Diesi Partisi 1. C δ P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat satu aka pd(c δp ) =. C P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat dua aka {, jika {, 4} pd(c P ) = 4, jika 5, jika geap da {, } gasal da =. P C pd(p C ) = 4, jika geap da 4 gasal da 4. K δ P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat satu aka pd(k δ P ) = 5. K P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat dua aka 6. P K pd(p K ) = 7. K K pd(k K ) = pd(k P ) = {, jika + 1, jika > {, jika, jika > 8. P δ P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat satu aka {, jika = pd(p δ P ) =, jika 9. P P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat dua aka 10. C K pd(c K ) = pd(p P ) = {, jika + 1, jika > 11. K C pd(k C ) = {, jika = 1. C C pd(c C ) = 4, jika 4 18

243 Tabel 4.: Rigkasa Diesi Partisi Bitag pada Graf Hasil Operasi Cob Dua Graf Terhubug No Graf Diesi Partisi Bitag 1. C δ P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat satu aka {, jika 0(od), (od) spd(c δ P ) = +, jika 1(od). C P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat dua aka, jika 0(od ), (od ) da 1(od ), 1 < i <, spd(c P ) = i 1(od ) +, jika 1(od ), 1 < i <, i 1(od ), jika 0(od ), (od ). P C spd(p C ) = da 5 +, jika 1(od ) da 5 4. K δ P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat satu aka {, jika 0(od) da (od) spd(k δ P ) = + 1, jika 1(od) 5. K P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat dua aka, jika 0(od ), (od ) da 1(od ), 1 < i <, spd(k P ) = i 1(od ) + 1, jika 1(od ), 1 < i <, i 1(od ) 6. P K spd(p K ) = spd(k K ) = ( 1) 7. P δ P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat satu aka {, jika 0(od ) da (od ) spd(p δ P ) = +, jika 1(od ) 8. P P Utuk sipul graf Litasa P yag dilekatka berderajat dua aka, jika 0(od ), (od ) spd(p P ) = da 1(od ), 1 < j <, j 1(od ) +, jika 1(od ), 1 < j <, j 1(od ) 9. C K spd(c K ) = ( 1) {, jika 0(od ), (od ) 10. K C spd(k C ) = + 1, jika 1(od ) {, jika 0(od ), (od ) 11. C C spd(c C ) = 19 +, jika 1(od )

244 terhubug G yaitu pd(g) spd(g) sehigga didapatka suatu Akibat 4.1 sebagai berikut: Akibat 4.1. Misalka G da H adalah graf terhubug, G H adalah graf hasil operasi cob G da H. Maka, diesi partisi da diesi partisi bitag graf terhubug adalah pd(g H) spd(g H) 0

245 BAB V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Sipula Peelitia dala tesis ii telah eberika kotribusi dala bidag diesi pastisi da diesi partisi bitag sebuah graf terhubug G. Tesis ii eberika hasil baru, seperti graf hasil operasi cob atara dua graf terhubug. Diesi partisi graf hasil operasi cob F = G H adalah jika F = P δ P utuk = da sipul pelekata graf litasa P berderajat satu. Selajutya, diesi partisi graf hasil operasi cob F = G H adalah jika F = C δ P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat satu, jika F = C P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua da {, 4}, jika F = P C dega geap da {, } atau gasal da =, jika F = P δ P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat satu dega, jika F = C C dega = da jika F = P P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua. Diesi partisi graf hasil operasi cob F = G H adalah 4 jika F = C P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua utuk 5, jika F = P C dega geap da 4 atau gasal da da jika F = C C dega 4. Deikia juga utuk diesi partisi graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = K K utuk, jika F = C K utuk da jika F = K C. Diesi partisi graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = K K utuk >, jika F = K P da jika F = P K utuk. Selajutya, diesi partisi graf hasil operasi cob P K, adalah + 1 jika > da diesi partisi graf hasil operasi cob C K, adalah + 1 jika >. Kai juga eperoleh diesi partisi bitag G H utuk graf G da H, eliputi graf legkap, graf litasa da graf ligkara. Diesi partisi bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = C δ P atau K δ P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat satu utuk 0(od) atau (od) da + jika F = C δ P atau K δ P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat satu utuk 1(od). Diesi partisi 1

246 bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = P C, K C da C C dega 0(od) atau (od), 5 da + jika F = P C atau C C utuk 1(od) dega 5 da + 1 jika F = K C utuk 1(od) dega 5. Keudia, didapatka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = P δ P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat satu utuk 0(od) atau (od) da + jika F = P δ P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat satu utuk 1(od). Selajutya, diesi partisi bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah ( 1), jika F = K K utuk, atau F = P K utuk da. diesi partisi bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah ( 1), jika F = C K utuk,. Deikia juga, kai juga edapatka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = C P atau K P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua utuk 0(od), (od) da 1(od) utuk 1 < i < dega i 1(od ) da + jika F = C P atau K P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua utuk 1(od) utuk 1 < i < dega i 1(od ). Diesi partisi bitag graf hasil operasi cob F = G H adalah, jika F = P P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua utuk 0(od), (od) da 1(od) utuk 1 < j < dega j 1(od ) da + jika F = P P dega sipul pelekata graf litasa P berderajat dua utuk 1(od) utuk 1 < j < dega j 1(od ). Kai telah edapatka batas bawah da batas atas diesi partisi G H utuk graf G da H, eliputi graf legkap, graf litasa da graf ligkara. Kai eyatakaya dala diesi partisi G H yaitu ax{pd(g), pd(h)} pd(g H) pd(g) + pd(h) da didapatka suatu relasi atara diesi partisi da diesi partisi bitag graf hasil operasi cob dua graf terhubug G da H adalah pd(g H) spd(g H) 5. Sara Pada peelitia ii diesi partisi da diesi partisi bitag terdapat asalah terbuka yag dapat diguaka sebagai titik tolak peelitia dala bidag diesi partisi da diesi partisi bitag dari suatu graf terhubug: a. Meetuka diesi partisi graf hasil operasi cob G H utuk sebarag

247 graf G da H. b. Meetuka diesi partisi bitag graf hasil operasi cob G H utuk sebarag graf G da H. c. Meetuka diesi partisi pada graf hasil operasi cob G H utuk graf dasar yag tidak sederhaa isal graf tak terhubug, graf yag eiliki loop, graf yag bersisi gada da graf berarah. d. Meetuka diesi partisi bitag pada graf hasil operasi cob G H utuk graf dasar yag tidak sederhaa isal graf tak terhubug, graf yag eiliki loop, graf yag bersisi gada da graf berarah. e. Mebuktia batas atas da batas bawah diesi partisi graf hasil operasi cob dua graf terhubug G da H utuk sebarag graf yaitu ax{pd(g), pd(h)} pd(g H) pd(g) + pd(h). f. Meetuka batas atas da batas bawah diesi partisi bitag graf hasil operasi cob G H utuk sebarag graf G da H. g. Meetuka relasi atara diesi partisi bitag graf G da H dega diesi partisi bitag graf hasil operasi cob G H.

248 4

249 DAFTAR PUSTAKA Aalia, R. (01). Diesi Partisi Bitag pada Graf Kicir yag Diperuu. Tesis. Jurusa Mateatika FMIPA Istitut Tekologi Sepuluh Nopeber (ITS). Surabaya. Arullah, Baskoro, E.T., Siajutak, R. da Uttuggadewa, S. (015). The Partitio Diesio of a Subdivisio of a Coplete Graph. Procedia Coputer Sciece 74, Chartrad, G., Eroh, L., Johso, M., da Oellera, O. (000). Resolvability i graphs ad the etric diesio of a graph. Discrete Appl. Math.No.105, Chartrad, G., Salehi, E., da Zhag, P. (000). The Partitio Diesio of a Graph. Aequatioes Math. No. 59, Daraji. (011). Diesi Partisi Graf Multipartit da Graf Hasil Koroa Dua Graf Terhubug. Disertasi. Jurusa Mateatika FMIPA ITB. Fredia, K.Q., da Baskoro, E.T. (015). Partitio Diesio of Soe Failies of Trees, Procedia Coputer Sciece, 74, Grigorious, C., Stephe, S., Raja, B., Miller, M. da Willia, A. (014). O the partitio diesio of a class of circulat graphs, Iforatio Processig Letters, 114, 7, Hartsfield, N., da Rigel, G. (1994). Pearls i Graph Theory. Acadeic Press. Uited Kigdo. Haryei, D.O., da Baskoro, E.T. (015). Partitio Diesio of Soe Classes of Hoogeous Discoected Graphs. Procedia Coputer Sciece,74, Ira, M., Baig, A. Q., Bokhary, S. A. U. H., da Javaid, I. (01). O the etric diesio of circulat graphs. Applied Matheatics Letters, 5(), 0-5. K., Ida Bagus Kade Puja Aribawa, da Baskoro, E.T. (015). Partitio Diesio of Soe Classes of Trees, Procedia Coputer Sciece, 74,

250 Khuller, S., da Raghavachari, B. (1996). Ladark i Graph. Discrete Appl. Math. No.70, Mariescu, R., da Gheeci. (01). O Star Partitio Diesio of Trees. Math. Reports 14(64). No., Mariescu, R., Gheeci, da Toescu, I. (010). O Star Partitio Diesio of The Geeralized Gear Graph. Bull. Math. Soc. Sci. Math. Rouaie Toe 5(101). No., Peraa, A.B., da Daraji (01). Diesi Metrik Graf Poho Betuk Tertetu. Jural Tekik Poits, Vol.1, No.1, 1-4. Rodrguez-Velzquez, J., Yero, I.G. da Ferau, H. (01). O the partitio diesio of uicyclic graphs, arxiv: v [ath.co], 1-1. Saepholphat, V., da Zhag, P. (00). Coected Partitio Diesio of a Graphs. Discussioes Matheaticae Graph Theory Saputro, S. W., Mardiaa, N., da Purwasi, I.A. (01). The Metric Diesio of Cob Product Graph. Graph Theory Coferece i Hoor of Egawa 60th Birthday. Subioo. (015). Aljabar: Sebagai suatu Fodasi Mateatika Versi 1.0.0, Modul Mata Kuliah Aljabar. Yero, I.G., da Rodrguez-Velzquez, J. (010). A ote o the partitio diesio of Cartesia product graphs, Applied Matheatics ad Coputatio, (17),7, Yero, I. G., Kuziak, D., da Rodrguez-Velazquez, J. A. (011). O the etric diesio of coroa product graphs. Coputers ad Matheatics with Applicatios, 61(9), Yogi, Suhud, da Mudjiati. (01). Diesi Partisi Pada Graf Hasil Koroa C K. Jural:Tekik ITS. No.1, Vol.1 6

251 BIOGRAFI PENULIS Peulis beraa Ridho Alfarisi, lahir di Jeber, 07 Noveber 1994, erupaka putra terakhir dari tiga bersaudara. Peulis eepuh pedidika foral di MI Bustaul Ulu 1 Pakis ( ), SMPN Rabipuji ( ) da SMAN Rabipuji ( ). Setelah lulus dari SMA peulis elajutka studi ke Progra Studi Pedidika Mateatika, Fakultas Kegurua da Ilu Pedidika, Uiversitas Jeber elalui jalur SNMPTN Tulis 011 higga akhirya diyataka lulus pada bula Deseber 014 da edapat predikat Cu Laude. Keudia peulis elajutka studi agister di Jurusa Mateatika, Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala, Istitut Tekologi Sepuluh Nopeber Surabaya. Bidag iat yag ditekui peulis selaa studi baik S1 aupu S adalah Teori Graf. Utuk kritik da sara yag berhubuga dega tesis ii, peulis dapat dihubugi elalui e-ail: alfarisi8@gail.co 7