PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

Transkripsi

1 PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA V. M. Vidya *, Bustami, R. Efedi Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawidya Pekabaru, 893, Idoesia * viamoa_uri@yahoo.com ABSTRACT Three types of estimator are discussed for estimatig the populatio mea i simple radom samplig which is a review of Solaki, et al [4]. The estimators discussed are the chai ratio estimator ad the chai product estimator proposed by Kadilar ad Cigi [] ad the estimator proposed by Solaki, et al [4]. The third estimator disscussed is a biased estimator. From the three estimators, we choose the most efficiet oe based o mea square error ad its relative efficiecy. As a illustratio of the discussio, we give a example of the relevat data of fish weight with the help of goad weight of the fish. Keywords: simple radom samplig, chai ratio ad chai product estimator, bias, mea square error ABSTRAK Tiga tipe peaksir dibahas utuk meaksir rata-rata populasi pada samplig acak sederhaa yag merupaka review dari Solaki, dkk [4]. Peaksir yag dibahas adalah peaksir ratai rasio da peaksir ratai produk yag diajuka oleh Kadilar da Cigi [] serta peaksir yag diajuka oleh Solaki, dkk [4]. Ketiga peaksir yag dibahas ii merupaka peaksir bias. Dari ketiga peaksir ii, dipilih yag lebih efesie berdasarka mea square error da relatif efisiesiya. Sebagai ilustrasi dari hasil pembahasa, diberika cotoh data yag releva yaitu megeai berat ika dega batua berat goad dari ika. Kata kuci: samplig acak sederhaa, peaksir ratai rasio da ratai produk, bias, mea square error. PENDAHULUAN Metode rasio da produk diguaka utuk meigkatka ketelitia peaksir dega megambil mafaat hubuga atara Y da X. Misalka yag mejadi perhatia adalah populasi Y. Utuk iferesi terhadap Y, dibatu iformasi yag sudah ada terkadug

2 dalam variabel batu X. Dega adaya dua populasi yag berkorelasi positif, maka diperluka peaksir rasio yag diotasika dega y R. Dalam hal ii, utuk populasi yag berkorelasi egatif diperluka peaksir produk yag diotasika dega y P. Pada samplig acak sederhaa, peaksir rasio sederhaa da peaksir produk sederhaa utuk rata-rata populasi Y dega betuk y R = y x X, () y P = x y X, () dimaa rata-rata populasi X harus diketahui. Berdasarka gagasa Kadilar da Cigi [], suatu peaksir yag diguaka lebih dari sekali disebut peaksir ratai. Peaksir ratai rasio diperoleh ketika y pada persamaa () disubstitusi dega y R, dega betuk sebagai Y CR = y ( X x ), (3) da ketika y pada persamaa () disubstitusi dega y P, diperoleh peaksir ratai produk dega betuk sebagai Y CP = y ( X ) x. (4) Betuk umum peaksir yag diajuka oleh Solaki, dkk [4] utuk meaksir ratarata populasi dega betuk sebagai Y (α,δ) = y [ ( X ) x α δ(x X ) exp { }], (5) (x + X ) dimaa (α, δ) merupaka kostata. Dalam betuk khusus dega memisalka (α, δ) = (,) diperoleh Y (,) = y [ ( X ) x X ) exp {(x }]. (6) (x + X ) Dalam artikel ii dibahas peaksir pada persamaa (3), (4) da (6) yag merupaka peaksir yag dibahas dalam artikel Solaki, dkk [4]. Peulis medetilka bias da mea square error dari masig-masig peaksir. Kemudia, dari ketiga peaksir tersebut dipilih peaksir yag efisie berdasarka mea square error da relatif efisiesiya.. SAMPLING ACAK SEDERHANA Samplig acak sederhaa adalah suatu cara pegambila sampel berukura uit dari populasi berukura N uit, dimaa setiap aggota populasi mempuyai kesempata yag sama utuk diambil mejadi aggota sampel. Pada samplig acak sederhaa tapa

3 pegembalia, probabilitas terpilihya aggota dari N uit populasi sebagai aggota sampel pada pegambila pertama adalah /N, probabilitas pada pegambila kedua adalah ( )/(N ) da seterusya sampai pegambila ke-. Maka probabilitas seluruh uit-uit tertetu yag terpilih dalam pegambila adalah (C N ). Utuk pembahasa peaksir pada samplig acak sederhaa diberika teorema megeai variasi da kovariasi. Teorema. [: h. 7] Variasi dari rata-rata sampel y pada samplig acak sederhaa adalah V(y ) = E(y Y ) = S y N N = S y, dega f = /N adalah fraksi pearika sampel da S y ( yi Y) ( N ) adalah variasi y i dalam sebuah populasi. Bukti dari teorema ii dapat dilihat pada []. Teorema. [: h. 9] Jika y i, x i adalah sebuah pasaga yag bervariasi ditetapka pada uit dalam populasi. y da x adalah rata-rata dari sampel acak sederhaa berukura, maka kovariasiya Cov(y, x ) = f N N i N (y i Y )(x i X ) = f ρs y. i= Bukti dari teorema ii dapat dilihat pada []. 3. BIAS DARI PENAKSIR YANG DIBAHAS UNTUK RATA-RATA POPULASI Utuk tujua memeriksa peaksir bersifat bias, dapat memisalka rata-rata sampel sebagai y = Y ( + e 0 ) da x = X ( + e ), (7) dega e 0 adalah fugsi dari y da Y da e fugsi dari x da X yag dirumuska sebagai e 0 = (y Y )/Y da e = (x X )/X. 3

4 Fugsi e 0 da e mempuyai sifat khusus yaitu dega megguaka Teorema. da Teorema. didapat E(e 0 ) = E(e ) = 0, (8) (y E(e Y ) 0 ) = E = Y E(e (x X ) ) = E = X E(e 0 e ) = cov (y Y )(x X ) Y X C y, (9) C x, (0) = kc x. () Peaksir pada persamaa (3) merupaka peaksir bias, dega besar biasya adalah B(Y CR ) Y C x (3 k). Peaksir pada persamaa (4) merupaka peaksir bias, dega besar biasya adalah B(Y CP ) Y C x ( + k). Betuk umum peaksir pada persamaa (5) merupaka peaksir bias, dega besar biasya adalah B(Y (α,δ) ) f Y C x [ (α + δ) {k + (α + δ ) }], 4 da utuk meyataka bahwa peaksir pada persamaa (6) juga merupaka peaksir bias, maka aka ditetuka biasya dega mesubstitusika persamaa (7) ke persamaa (6) mejadi Y (,) = Y ( + e 0 ) [ ( + e ) exp { e ( + e ) }]. () Kemudia sisi ruas kaa pada persamaa () diperluas mejadi Y (,) Y ( + e 0 ) [ ( + e ) ( + e ( + e ) + e 8 ( + e ) )] = Y ( + e 0 ) [ ( + e ) ( + e ( e + e 4 ) + e 8 ( e + ))] Y (,) Y [ + e 0 3e 3e 0e 3e 8 3e 0e 8 + e e 3 0e + ]. (3) 8 4

5 Dari persamaa (3) error yag memiliki pagkat yag lebih besar dari dua diabaika lalu diperoleh Y (,) Y [ + e 0 3 e 3 e 0e 3 8 e ]. (4) Jika kedua ruas pada persamaa (4) dikuragka dega Y, maka diperoleh (Y (,) Y ) Y [e 0 3 e 3 e 0e 3 8 e ]. (5) Kemudia, dega megekspektasika kedua ruas persamaa (5), maka diperoleh bias dari Y (,) adalah B(Y (,) ) 3 Y C 8 x [ + 4k]. 4. MSE DARI PENAKSIR YANG DIBAHAS UNTUK RATA-RATA POPULASI Sebelumya telah diketahui bahwa peaksir yag dibahas merupaka peaksir bias da besar bias telah diperoleh. Selajutya, MSE dari masig-masig peaksir utuk ratarata populasi pada samplig acak sederhaa yaitu MSE dari peaksir pada persamaa (3) adalah MSE(Y CR ) f Y (C y + 4C x ( k). MSE dari peaksir pada persamaa (4) adalah MSE(Y CP ) f Y (C y + 4C x ( + k). MSE dari peaksir pada persamaa (5) adalah MSE(Y (α,δ) ) f Y [C y + (α + δ) C 4 x {(α + δ) 4k}], kemudia MSE dari peaksir pada persamaa (6) juga merupaka peaksir bias, sehigga MSE diperoleh dega megkuadratka persamaa (5) da suku-suku yag memiliki error lebih dari dua diabaika, sehigga MSE dari peaksir Y (,) adalah MSE(Y (,) ) Y (C y C x (3 4k)). 5

6 Selajutya, aka ditetuka peaksir yag lebih efisie dega membadigka MSE dari masig-masig peaksir yag telah didapat. 5. PERBANDINGAN EFISIENSI Peaksir bias yag efisie utuk rata-rata populasi pada samplig acak sederhaa dapat diperoleh dega membadigka MSE dari peaksir. Perbadiga efisiesi dari ketiga peaksir yag diajuka, yaitu. Perbadiga atara MSE Y (,) dega MSE Y CR diperoleh MSE Y (,) < MSE Y CR jika X < 7 4 ρc y. Perbadiga atara MSE Y (,) dega MSE Y CP diperoleh MSE Y (,) < MSE Y CP jika X < 4 ρc y 3. Perbadiga atara MSE Y CR dega MSE Y CP diperoleh MSE Y CR < MSE Y CP jika X > 0 6. ILUSTRASI PEMBAHASAN Sebagai cotoh dari pembahasa, berikut ii peulis hadirka data yag bergua utuk ilustrasi. Data megeai pegukura berat ika da berat goad ika barau di daerah Koto Pajag [3]. Pegukura berat ika barau berdasarka 85 sampel ika barau di Waduk PLTA Koto Pajag, Provisi Riau. Dalam hal ii berat ika barau diyataka Y. Sebagai iformasi tambaha, diguaka berat goad ika barau yag diyataka dega X. Hasil perhituga yag diperoleh dari data dega batua Microsoft Excel sebagaimaa tertera pada Tabel. Tabel Statistik dalam Notasi N 85 C x S y Y X f C y ρ C x k C y

7 Selajutya, ilai-ilai yag tertera pada Tabel disubstitusika ke dalam mea Square error masig-masig peaksir yag disajika pada Tabel. Tabel Nilai MSE dari Peaksir No. Peaksir MSE. Y (,) Y CR Y CP Dega megguaka iformasi dari data di atas, diperoleh bahwa. MSE Y (,) < MSE Y CR jika. MSE Y (,) < MSE Y CP jika X < 7 4 ρc y 3. MSE Y CR < MSE Y CP jika X < 4 ρc y X > 0 7. KESIMPULAN Dari pembahasa diatas diperoleh bahwa peaksir Y (,) lebih efisie dari peaksir Y CR, peaksir Y (,) lebih efisie dari peaksir Y CP da peaksir Y CR lebih efisie dari peaksir Y CP jika syarat efisiesi terpeuhi. DAFTAR PUSTAKA [] Cochra. W. G. 99. Tekik Pearika Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Samplig Techiques, oleh Rudiasyah & E. R Osma. UI Press, Jakarta. [] Kadilar, C. & H. Cigi A study o the chai ratio-type estimator, Hacettepe Joural of Mathematics ad Statistics. 3: [3] Safria, N Aspek Biologi Reproduksi Ika Barau (Hampala macrolepidota c. v) di Waduk PLTA Koto Pajag. Skripsi FAPERIKA Uiversitas Riau, Pekabaru. [4] Solaki, S. R., P. H. Sigh & A. Rathour. 0. A Alterative Estimator for Estimatig the Fiite Populatio Mea Usig Auxiliary Iformatio i Sample Surveys, Iteratioal Scholarly Research Network. 0: -4. 7