Rainbow Connection Number Pada Operasi Graf

Transkripsi

1 Raibow Coectio Number Pada Operasi Graf Arasyitha Yuliati S, Dafik CGANT-Uiversitas Jember Program Studi Pedidika Matematika FKIP Uiversitas Jember arasyithays, Abstrak A edge-colourig of a graph G is raibow coected if there are k iterally vertex-disjoit paths joiig them, with o two edges o the path have the same color. Let G be a simple graph ad f be a edge colorig, where f : E(G) {1, 2,..., k}, k N, ad the adjacet edges may have the same colour. The raibow coectio umbers of a coected graph G, deoted by rc(g), is a miimal umbers of color G required to make a raibow coectio. This paper discussed raibow coectio for ay special graph, amely graph P H 2,2 ad graph P 3 C. Keywords : Edge colorig, Raibow coectio, Graph operatio. Pedahulua Dalam ilmu matematika da komputer, teori graf adalah studi tetag grafik da struktur matematika. Graf dalam koteks ii merujuk pada kumpula simpul da tepi yag meghubugka simpul. Graf adalah salah satu objek utama studi pada Matematika Diskrit. Lebih detail lihat [1],[2]. Kosep raibow coectio pada graf pertama kali diperkealka pada tahu 2008 oleh Chartrad, Johs, McKeo ad Zhag [4]. Kosep ii termotifasi dari iformasi da komuikasi atara suatu age pemeritah. Departeme Homelad Amerika Serikat yag dibetuk 2003 sebagai respo atas ditemukaya kelemaha trasfer iformasi setelah seraga teroris 11 September Suatu iformasi membutuhka perliduga dikareaka terhubug lagsug ke security egara, sehigga diharuska juga terdapat prosedur yag memberika iji utuk megakses atara age-age pemeritaha. Setiap jalur trasfer iformasi diperluka suatu password da f irewall agka yag cukup besar utuk melidugi iformasi dari seraga peggaggu. Sehiggu mucul pertayaa, berapa agka miimal passowrd da f irewall yag dibutuhka setiap dua orag age saat melakuka jalur trasfer iformasi, disampig itu juga tidak terjadi pegulaga password dari masig-masig age. Lebih detail lihat [8]. Situasi tersebut dapat dimodelka dega teori graf. Misalka G adalah graf terhubug otrivial dega edge colorig c : E(G) {1,2,3,...,}, N lihat [1],[7],[9], dimaa sisi-sisi yag bertetagga mugki mempuyai wara

2 Arasyitha, et.al: Raibow Coectio Number Pada Operasi Graf 84 yag sama. Suatu jalur disebut raibow jika tidak terdapat dua sisi pada G yag diwarai sama. Sebuah edge colorig graf G adalah raibow coected jika sebarag dua titik yag terhubug dihubugka oleh jalur raibow. Jelas bahwa jika graf G adalah raibow coected maka pasti terhubug. Sehigga raibow coectio umber dari graf terhubug G, diotasika rc(g), sebagai perwaaa miimum yag dibutuhka utuk membuat graf G raibow coected. Lebih detail lihat [3],[10], [6] Peelitia terkait raibow coectio berkembag cukup pesat, lihat [11], [12],[13],[14]. Pada artikel ii aka dipelajari tetag raibow coectio umber pada beberapa graf khusus da operasiya, diatara lai graf rc(p H 2,2 ) da graf rc(p 3 C ). Beberapa hasil peelitia yag telah dilakuka Syafrizal [5] meghasilka teorema berikut. Theorem 1 [5] Adaika G da H adalah dua buah graf terhubug, 1, utuk G = K 1 da H = K m rc(g 2, utuk G H) = = K 1 da H = P m dega 3 m 6 3, utuk G = K 1 da H = P m dega m 7 G = P 2 da H = K m dega m 1 Proof. Kita perhatika keempat kodisi. Kodisi 1, utuk G = K 1 da H = K m. Karea K 1 Km adalah juga graf komplit, maka rc(k 1 Km ) = 1. Kodisi 2, utuk G = K 1 da H = P m dega 3 m 6, maka rc(k 1 Km ) = 2. Kodisi 3, utuk (G = K 1 da H = K m,m 7) atau (G = P 2 da H = K m ). Utuk G = K 1 da H = K m,m 7 sehigga rc(k 1 Km ) = 3. Selajutya, karea rc(p 2 ) = 1 da rc(k m ) = 1, maka jelaslah bahwa rc(p 2 Km ) = 3 dimaa m 1. Teorema yag diguaka Teorema terkait batas atas da bawah dari raibow coectio. Theorem 2 [3] Adaika G adalah graf terhubug dega d(g) 2. Maka (i) jika G adalah iterval graph, maka k(g) rc(g) k(g) + 1, sedagka yag laiya jika G uit iterval graph, maka k(g) = rc(g) (ii) jika G adalah AT-free, maka k(g) rc(g) k(g) + 3 (iii) jika G adalah sebuah threshold graph, maka k(g) rc(g) 3 (iv) jika G adalah chai graph, maka k(g) rc(g) 4 (v) jika G adalah sebuah sircular arc graph, maka k(g) rc(g) k(g) + 4

3 Arasyitha, et.al: Raibow Coectio Number Pada Operasi Graf 85 Hasil Peelitia Hasil dari peelitia ii didapatka beberapa teorema terkait raibow coectio utuk beberapa graf khusus da operasiya, seperti P H 2,2 da P 3 C. Teorema 0.1 Utuk 2, raibow coectio umber utuk graf (P H 2,2 ) adalah + 1. Bukti. Graf P H 2,2 adalah graf yag memiliki V (P H 2,2 ) = {a i,b i,x i,y i ;1 i } da E(P H 2,2 ) = {a i a i+1,b i b i+1,x i x i+1,y i y i+1 ;1 i 1} {a i b i,a i y i,b i x i,x i y i ; 1 i }, dega p = V = 4 da q = E = 8 4. Berdasarka Teorema 2 meyataka bahwa k(p H 2,2 ) rc(p H 2,2 ) k(p H 2,2 )+1, diamater dari graf P H 2,2 = +1 maka +1 rc(p H 2,2 ) +2 sehigga terbukti bahwa rc(p H 2,2 ) +1. Graf P H 2,2 aka diwarai dega fugsi berikut. 1, e = a i y i ;e = b i x i ;1 i 2, e = a i b i ;e = x i y i ;1 i f(e) = j, e = a i a i+1 ;e = b i b i+1 ;e = x i x i+1 ;e = y i y i+1 ;1 i 1; 3 j + 1 Jelas bahwa f : E(P H 2,2 ) {1,2,..., + 1} karea rc(p H 2,2 ) + 1, maka rc(p H 2,2 ) = + 1. Teorema 0.2 Utuk 2, raibow coectio umber utuk graf (P 3 C ) adalah Bukti. Graf P 3 C adalah graf yag memiliki V (P 3 C ) = {x i y i,z i ;1 i } da E(P 3 C ) = {x i y i,y i z i ;1 i } {x i x i+1,y i y i+1,z i z i+1 ;1 i 1} $x x 1,y y 1,z z 1, dega p = V = 4 da q = E = 8 4. Berdasarka Teorema 2 meyataka bahwa k(p 3 C ) rc(p 3 C ) k(p 3 C ) + 1, diamater dari graf P 3 C = maka rc(p 3 C ) + 3 sehigga terbukti bahwa rc(p 3 C ) Graf P 3 C aka diwarai

4 Arasyitha, et.al: Raibow Coectio Number Pada Operasi Graf 86 dega fugsi berikut. i, e = x i x i+1 ;e = y i y i+1 ;e = z i z i+1 ;1 i 2, = geap e = x 2 +i x 2 +i+1 ;e = y 2 +i y 2 +i+1 ;e = z 2 +i z 2 +i+1 ; 1 i 2 1, = geap e = x i x i+1 ;e = y i y i+1 ;e = z i z i+1 ;1 i 2 1, = gajil f(e) = e = x 2 +i 1 x 2 +i ;e = y 2 +i y 1 2 +i ;e = z 2 +i 1 z 2 +i ; 1 i 2 2, = gajil 2, e = x x 1 ;e = y y 1 ;e = z z , e = x iy i ;1 i 2 + 2, e = y iz i ;1 i Jelas bahwa f : E(P 3 C ) {1,2,..., 2 + 2} karea rc(p 3 C ) 2 + 2, maka rc(p 3 C ) = Kesimpula Pada bagia ii aka diriview kembali raibow coectio umber rc(g) pada beberapa graf khusus da operasiya. Berdasarka hasil peelitia diatas, maka kita dapat meyimpulka bahwa. Utuk graf P H 2,2, didapatka raibow coectio umber adalah rc(p H 2,2 ) adalah + 1 Utuk graf P 3 C, didapatka raibow coectio umber adalah rc(p 3 C ) adalah Ucapa Terima Kasih Peulis megucapka terima kasih kepada dose pembia mata kuliah yag telah membimbig serta memberika kritik da sara sehigga artikel ii bisa selesai dega baik. Refereces [1] Gary Chartrad ad Pig Zhag. Chromatic Graph Theory. Chapma ad Hall, 2008.

5 Arasyitha, et.al: Raibow Coectio Number Pada Operasi Graf 87 [2] J.A. Body ad U.S.R. Murty, Graph Theory (GTM 244, Spriger, 2008). [3] X.Li ad Y.Su. 2010, Raibow coectio umbers of complemetary graphs, arxiv: v3 [math.co] [4] G. Chartrad, G.L. Johs, K.A. McKeo, ad P. Zhag, Raibow coectio i graphs, Math. Bohem., 133, No. 2, (2008), [5] Sy, Syafrizal, ad Estetikasari, Dewi, O the raibow coectio for some coroa graphs, Applied Mathematical Scieces., Vol. 7, No. 100, (2013), [6] I. Schiermeyer, Raibow coectio i graphs with miimum degree three, IWOGA 2009, LNCS 5874 (2009) [7] Dafik. Structural properties ad labelig of graphs. Diss. Uiversity of Ballarat, [8] A.B. Erickse, A matter of security, Graduatig Egieer ad Computer Careers, (2007), [9] Joseph A. Gallia, A Dyamic Survey of Graph Labelig, Uiversity of Miesota, [10] X.Li ad Y.Su, Raibow coectios of graphs a survey, arxiv: v2 [math.co], [11] L. Suil Chadra, Aita Das, D. Rajedraprasad, ad N.M. Varma. Raibow Coectio Number ad Coected Domiatig Sets, arxiv: v1, [math.co], 2010 [12] Igo Schiermeyer, O Miimally Raibow k-coected Graphs, Elsevier B.V. All rights reserved, 2011 [13] Sourav Chakraborty, Eldar Fischer, Arie Matsliah, ad Raphael Yuster, Hardess ad algorithms for raibow coectio. Joural of Combiatorial Optimizatio, pages 118, [14] M. Basavaraju, L. Suil Chadra, D. Rajedraprasad, ad A. Ramaswamy, Raibow Coectio Number of Graph Power ad Graph Products, arxiv: v2 [math.co], 2011