Penentuan Harga Dan Batas Eksekusi Opsi Tipe Amerika Model Black-Scholes Menggunakan Finite Element Methods (FEM)

Transkripsi

1 PROIDIG IB : Penenuan Harga Dan Baas Eksekus Ops Tpe Amerka Model Blak-oles Menggunakan Fne Elemen Meods (FEM) Ade Laf..., kenas Bnaar M., Rosa Kusumawa M.. Jurusan Penddkan Maemaka FMIPA UY Absrak Ops dapa dgunakan unuk memperole keunungan dan membaas umla kerugan akba perubaan arga saam yang aak. Ops pe Amerka merupakan ops yang palng banyak dperdagangkan d bursa ops. Agar nvesor dapa membua kepuusan yang epa d real marke, arga dan baas eksekus ops pe Amerka perlu denukan seara eors. Kerangka pemodelan Blak- oles dapa dgunakan unuk memodelkan ops pe Amerka dengan pembagan dvden. olus analk model n belum demukan karena memua baas eksekus. Fne Elemens Meod (FEM) merupakan sala sau meode numerk yang dapa dgunakan menyelesakan model Blak-oles ops pe Amerka. Dperole algorma penenuan arga dan baas eksekus ops unuk ops bel dan ops ual pe Amerka. Kaa kun : Ops pe Amerka, dvden, Blak-oles, FEM.. PEDAHULUA Invesor memlk kesempaan unuk mendapakan keunungan pada seap suas pasar apabla epa meml sraeg bernvesas pada konrak ops. Kun unuk memperole keunungan dar ops pe Amerka adala keepaan penenuan arga dan baas eksekus ops. Model Blak-oles merupakan model yang ela dgunakan seara luas sebaga pendekaan unuk menyelesakan masala ersebu. Model Blak-oles unuk ops pe Amerka dengan pembagan dvden berupa persamaan dferensal parsal orde dua non-lner non-omogen yang dsera nla awal, syara baas dan free boundary. Akba adanya free boundary, belum demukan solus analk dar model ersebu. Berbaga maam meode numerk suda lazm dgunakan unuk menyelesakan persamaan dferensal parsal, sala saunya adala FEM (Fne Elemens Meod). FEM memlk beberapa keleban ka dbandngkan dengan meode numerk lan, seper FDM. Danara keleban FEM adala muda daplkaskan pada seap ens syara baas. elan u, FEM dapa daplkaskan pada permasalaan dengan doman rregular. Pada karya lma n, model Blak-oles unuk ops pe Amerka dengan pembagan dvden akan dselesakan menggunakan FEM. Pada awal pembaasan, akan dbaas mengena model Blak-oles unuk ops pe Amerka dengan pembagan dvden, dlanukan dengan pembenukan weak formuaon dar model yang ela dperole. Pembaasan dakr dengan penyelesaan model menggunakan FEM.. PEMBAHAA Msalkan menyaakan waku, arga saam, E arga eksekus ops,c arga ops bel, P arga ops ual, baas eksekus ops bel, baas eksekus ops ual, r ngka suku bunga bebas P resko, T anggal kadaluwarsa dan q propors pembagan dvden. Harga ops bel dan ops ual memenu persamaan berku, Makala dpresenaskan dalam emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka dengan ema Konrbus Penddkan Maemaka dan Maemaka dalam Membangun Karaker Guru dan swa" pada anggal 0 ovember 0 d Jurusan Penddkan Maemaka FMIPA UY

2 PROIDIG IB : C C C ( r q) rc ( q re) H( ( )) P P P ( r q) rp ( re q) H( ( )) P dengan H adala fungs Heavsde yang ddefnskan sebaga 0, unuk x 0 H( x), unuk x 0, (.), (.). (.3) Persamaan (.) dan (.) beruru-uru dsebu sebaga Persamaan Jamsdan ops bel dan ops ual pe Amerka (Kang e al, 008:7). Persamaan (.) dan (.) memua baas eksekus ops ual dan ops bel. Belum ada formula ekspls dar baas eksekus, sengga baas eksekus serng dsebu sebaga syara baas bebas. Meskpun demkan, ada sfa-sfa baas eksekus yang ela dkeau dan dapa dmanfaakan unuk menar pendekaan numerk dar nla baas eksekus. Baas eksekus ops bel dan ops ual dapa ddefnskan sebaga berku ( ) nf{ (, ) } C E, (.4) ( ) nf{ (, ) } P P E. (.5) fa-sfa dar baas eksekus adala sebaga berku, dengan E ( T) E ( ) 0 ( ) ( T) E, P P Ddefnskan ( ) ( ) q r r q r. (.6) sebaga baas aas dar arga saam yang memenu Persamaan (.) dan (.) erdefns pada daera D, D (, ) 0 T;0.. Akbanya, elan baas eksekus, nla awal dan syara baas yang arus dpenu Persamaan (.) adala sebaga berku.. Pada saa anggal kadaluwarsa, arga ops memenu C(, T) ( E,0), 0 (.7). Pada saa arga saam sama dengan nol, maka arga ops bel menapa k erenda yakn nol. emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 8

3 PROIDIG IB : C(0, ) 0, 0 T (.8) 3. Pada saa arga saam menapa arga maksmal, maka arga ops bel menapa k erngg yakn, C(, ) E, 0 T (.9) la awal dan syara baas yang arus dpenu Persamaan (.) adala. Pada saa anggal kadaluwarsa arga ops bel memenu P(, T) ( E,0), 0 (.0). Pada saa arga saam sama dengan nol, arga ops ual menapa k maksmal yakn sebesar arga eksekus E. P(0, ) E, 0 T (.) 3. Pada saa arga saam menapa arga maksmal, maka arga ops bel sama dengan nol. P(, ) 0, 0 T (.) Dperole model Blak-oles ops bel dan ops ual pe Amerka yang drepresenaskan dalam sem (.3) dan (.4) C C C ( r q) rc ( q re) H( ( )) C(, T) ( E,0), 0 ( ) nf{ (, ) } C E ( ) T E C(0, ) 0, 0 T C(, ) E, 0 T unuk (, ) D. (.3) emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 9

4 PROIDIG IB : P P P ( r q) rp ( q re) H( ( ) ) ( ) sup{ (, ) } p P E P(, T) ( E,0), 0 ( ) p T E P(0, ) E, 0 T P(, ) 0, 0 T unuk (, ) D. (.4) Fne Elemen Meods (FEM) adala suau eknk unuk menar solus ampran dar masala nla awal dan syara baas. Pada meode n, langka awal penenuan solus adala meruba masala nla awal dan syara baas ke benuk weak formulaon, kemudan dlanukan dengan membag doman solus menad seumla berngga subdoman. Langka dakr dengan menar solus ampran pada seap subdoman yang dasumskan sebaga anggoa ruang fungs erenu. Msalkan (0, ) dan V H (0, ) adala ruang Hber. Dasumskan solus 0 sem (3.44) merupakan elemen dar ruang V. Agar memenu syara baas Drle omogeny pada V, dlakukan ransformas pada arga ops bel C(, ) sebaga berku, dmana U(, ) y( ) C(, ) (.5) y( ) Akbanya, sem (.3) menad E. (.6) emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 0

5 PROIDIG IB : U U U ( r q) ru F(, ( )) ( ) nf{ U(, ) U(, T)} U(, T) y( s) ( E,0), 0 ( ) T E U(0, ) 0, 0 T U(, ) 0 unuk (, ) D. (3.66) Ddefnskan operaor dferensal Akbanya dperole persamaan r q ri ( ). (.7) U U F(, ( )). (.8) Dberkan operas asl kal, dalam dalam ruang L (0, ) yang ddefnskan dengan M, ( ), ( ) ( ) ( ) [0, ] 0 u v u v u v d Mengalkan Persamaan (.8) dengan fungs es v V U, v U, v Fv, Hasl operas Uv, dabarkan sebaga berku,, dperole. (.9) U v U Uv,, ( r q ), v r U, v. (.0) Permasalaan pada Persamaan (.8) menad menar U unuk v V. V yang memenu Persamaan (.9) emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT -

6 PROIDIG IB : Dberkan M,, doman akan dbag menad subdoman sedangkan doman akan dbag menad M subdoman. Msalkan ukuran ap nerval subdoman adala k dan ukuran ap nerval subdoman adala, akbanya dperole k T dan. Dpl V M sebaga subruang V yang erdr dar polnomnal-polnomnal berderaa sau, konnu sepoongsepoong dan umlanya berngga. ubruang V erdr dar semua fungs v yang memenu [, ] v P ([, ]), v(0) v( M ) 0, v C[, ] Pembagan ruang V menad subruang V mengakbakan permasalaan pada Persamaan (.9) beruba menad menar u V sedemkan sengga unuk Fungs bass u, v u, v F, v, (.) V memlk bass v V. ubruang ( ) M, sengga V span{,..., M } adala fungs a dmana ( ) unuk seap dan, dengan Fungs V, yakn u merupakan elemen subruang olus Persamaan (.) pada saa Dalam noas vekor, M V, sengga. dela kroneker. u merupakan kombnas lner dar u ( ) ( ), (.) dapa dnyaakan sebaga ukup dengan menenukan nla T pada Persamaan (.).,,..., M. (.3). Perungan pada saa ( ) T Baas eksekus numerk, dperole dar baas eksekus pada saa T, yakn E. Agar leb memudakan perungan, dgunakan k nodal l sedemkan sengga (.4) l dmana ( T), l 0,,,..., M l l. Pemlan n ddasarkan pada ( T). Pada saa T arga U(, T ) dapa dung menggunakan Persamaan (.5), sedangkan solus ampran ruang V. Ddefnskan u dar dengan memll u sebaga M u sebaga proyeks orogonal dar U(, T) u ( ) ( ). (.5) d emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT -

7 PROIDIG IB : Akba dar U(, T). Perungan pada saa V, dengan Teorema Proyeks Orogonal dperole persamaan M U(, T), l 0 Turunan parsal U eadap Euler. Hampran urunan U eradap pada saa U (, ) U(, ) U(, ) k ubus ampran urunan U. (.6) dampr menggunakan rumus sels mundur dua k ddefnskan dengan. (.7) eradap pada Persamaan (.7) ke Persamaan (.8) dperole u u ( ) k u ( ) kf(, ), (.8) dengan u adala solus ampran U ( ) V pada subruang V. Dpl fungs sebaga fungs es, dan mengalkannya ke kedua ruas Persamaan (.8), dperole u, u k u kf(, ), V k u u ( kr) u,, k( r q ), k F(, ),. (.9) Akba dar M,, u, (.30) maka u, dapa dnyaakan dalam benuk marks, yakn u, A. (.3) Marks A memlk enr-enr,, 3, 6 Bagan ruas kanan Persamaan (.9) yakn, 6, k u u ( kr) u,, k( r q ), dapa dnyaakan dalam benuk marks, msalkan marks B b dengan enr emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 3

8 PROIDIG IB : k b ( kr),, k r q ( ),. Ddefnskan f k F(, ),, unuk,,..., M. Ada ga kemungknan arga erka dengan, akbanya nla f menad k F, [,, ], [,,, ] [,, ] k F, [,, ] f k F k F (.3) dengan F E q( ) (.33) E F q q re ( ) ( ). (.34) Dperole qe k q, qe re, 6 f k q qe k re,. (.35) Msalkan f merupakan vekor kolom sedemkan sengga T f f, f,..., f M. (.36) Persamaan (.9) menad A B f. (.37) Marks A merupakan marks rdagonal domnan, sengga Persamaan (.37) dapa dselesakan dengan menggunakan berbaga maam meode elmnas. emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 4

9 PROIDIG IB : Baas ekseskus pada saa yang dkakan dengan k dan, ddefnskan sebaga denukan dengan mendefnskan parameer relaksas mn,0 4 maks k k,0 8. (.38) Baas ekseskus numerk denukan sebaga berku, mn u ( ) U( T, ). (.39) M 3. Perungan pada saa,,...,,0 saa olus ampran U ( ) dung dengan skema yang ampr sama dengan perungan pada. Perbedaannya erleak pada penggunaan skema ga k unuk ampran urunan U eradap d k (Kang e al, 008:79). Persamaan (.8) menad u u ( ) ( ) u ( ) u ( ) F(, ) (.40) k dmana dperole u dan ela dkeau nlanya dar perungan sebelumnya. Dar Persamaan (.40) Dpl fungs dperole ( I k ) u ( ) ( ) ( ) (, I k u kf ). (.4) V sebaga fungs es dan mengalkan ( ), ( ), (, I k u I k u kf ), pada kedua ruas Persamaan (.4). (.4) ubus Persamaan (.9) ke Persamaan (.4) dperole k u u ( kr) u,, k( r q ), k u u ( kr) u,, k( r q ), k u u ( kr) u,, k( r q ),. (.43) k F(, ), Ruas kr Persamaan (.43) dapa dnyaakan dalam benuk marks, yakn emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 5

10 PROIDIG IB : k u u ( kr) u,, k( r q ), k u u, ( kr) u,, u k r q ( ), A B. (.44) edangkan ruas kanan Persamaan (.43) menad k u u ( kr) u,, k( r q ), k F(, ), B f (.45) dengan,,..., M Msalkan dmana T, unuk,...,,,0. f f, f,..., f M (.46) qe k q, qe re f k q qe k re,, 6 Persamaan (.43) akan menad ( A B) B f T. (.47) (.48) unuk,...,,0. Persamaan (.48) dapa dselesakan dengan menggunakan berbaga meode elmnas sengga dperole nla. olus ampran u 0 ( ) dan arga ops pada saa 0 adala emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 6

11 PROIDIG IB : C y u (.49) 0 (,0) ( ) ( ) Baas eksekus pada saa,...,,0 denukan sebaga berku, u u. (.50) mn ( ) ( ) M Penenuan arga dan baas eksekus pada ops ual dapa dlakukan seara analog. Transformas arga ops ual P menad W(, ) y ( ) P(, ) (3.5) P dmana y E P ( ). (3.5) Dperole suau kasus dmana dkeau parameer-parameer npu perungan sebaga sebaga berku : T, 0.3, r 0., q 0.05 E 0. Dpl M 365 dan 365. ebagan asl perungan arga dan baas eksekus ops bel pada saa 0, dsakan pada Tabel berku, Tabel. Hasl perungan numerk ops bel C Dar Tabel 4, dperole arga ops sebesar $.8 (dengan pembulaan). unuk arga saam $5.5. Gambar memperlakan mes asl perungan numerk arga ops bel d seluru doman D, sedangkan Gambar memperlakan baas eksekus ops bel emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 7

12 Baas Eksekus () PROIDIG IB : Gambar. Mes asl numerk arga ops bel Pada Gambar 5, fungs payoff ops bel dunukan dengan kurva berwarna am. Dapa dla bawa arga ops bel leb besar aau sama dengan nla fungs payoff ops bel. elan u, arga ops bel monoon nak eradap arga saam, dan monoon urun eradap waku. Pada saa 0, kurva arga ops bel berupa kurva lengkung. emakn mendeka anggal kadaluwarsa kurva arga ops bel memlk benuk mendeka kurva fungs payoff ops bel, sedangkan pada saa T, kurva arga ops bel merepresenaskan fungs payoff ops bel Waku () Gambar. Plo asl numerk baas eksekus ops bel Pada doman waku erdapa 365 k nodal, sedangkan umur ops selama sau aun. Akbanya, seap k nodal pada doman waku menunukkan sau sauan ar. Pada Gambar 6, dapa dla perlaku monoon urun dar baas eksekus ops bel eradap waku, dapa dla pada ar ops akan dbel ( 0 ) sampa ops berumur 7 ar ( 7 ), baas eksekus ops bernla $.5 (dengan pembulaan). elanunya baas eksekus ops akan erus urun sampa k erenda, yakn pada anggal kadaluwarsa ops ( 365 ) sebesar $6. emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 8

13 PROIDIG IB : KEIMPULA. Penenuan baas eksekus ops pe Amerka model Blak-oles menggunakan Fne Elemens Meod dbag menad beberapa aap sebaga berku : a. Memformulaskan baas eksekus ops seara maemas berdasarkan sfa-sfa yang ela dkeau. b. Meml parameer relaksas unuk menguba formula baas eksekus ops yang ela dperole menad formula baas eksekus ops numerk.. Menenukan baas eksekus ops numerk sepanang umur ops.. Penenuan arga ops pe Amerka model Blak-oles menggunakan Fne Elemens Meod dbag menad beberapa aap berku : a. Memodelkan ops pe Amerka berdasarkan kerangka pemodelan Blak-oles. Model yang dperole berupa ssem persamaan yang erdr aas persamaan dferensal parsal orde dua nonomogen, nla awal dan syara baas. b. Mengasumskan solus dar ssem sebaga anggoa ruang Hlber. Trasnformas ssem agar solus memenu syara keanggoaan ruang Hlber. Menguba model ke benuk weak formulaon.. Menar solus ampran ssem pada subruang berdmens ngga dengan bass fungs a. 4. DAFTAR PUTAKA Anon, H Elemenary Algebra w Applaon. 5.ed. ew Jersey : Jon Wley & ons, In. Ben-Yu, Guo peral Meods and Ter Applaons. ngapore : World enf Publsng. Berens, Herman J., 007. Inroduon o Hlber pae. Leure noe. Pennsylvana ae Unversy. Blak. F dan oles. M Te Prng of opon dan Corporae Lables. Te Journal of Polal Eonomy Vol. 8, no 3. JTOR Brenner, usanne.c Te Maemaal Teory of Fne Elemen Meods.3 rd edon.ew York : prnger. Bronson, R dan Cosa,G aum s Oulne of Dfferenal Equaons. 3.ed. ew York : MGraw Hll Professonal. Coelen, aan. 00. Blak-oles Prng Model. Trny Unversy Couran, R Varaonal Meods for Te oluon of Problems of Equlbrum and Vbraons. Bullen of e Ameran Maemaal oey. Evans, Lawrene. 00. An Inroduon o oas Dfferenal Equaons. UC Berkeley. Fabozz, Frank J Te Handbook of Fnanal Insrumen. ew Jersey : Jon Wley & ons, In. Fredberg, epen H Lner Algebra. nd.ed. ew Jersey :Prene Hall. Goldberg, Rard R Meods of Real Analyss. nd.ed. ew Jersey : Jon Wley & ons, In. Grmme, G dan rzaker. 00. Probably and Random Proesses. 3.ed. ew York : Oxford Unversy Press In. Gunzburger, Max.D dan Peerson, Jane Fne Elemen Meods. Jurnal. Haugen, Rober.A Modern Invesmen Teory.4 Prene-Hall. edon. Upper addle Rver, ew Jersey: Hoel, Paul.G e al. 97. Inroduon o oas Prosses. Hougon Mffln Company. emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 9

14 PROIDIG IB : Hull, Jon Opon, Fuures, and Oer Dervave eures. ew Jersey: Prene Hall. Husnan, uad Dasar - Dasar Teor Porofolo dan Analss ekuras. Yogyakara: AMPYKP. Kang,. Km dan T. Kwon, Y Fne Elemen Meods for Te Pre and Te Free Boundary of Ameran Call and Pu Opon. J.KIAM Vol, o.4. Ksmoo, Manabu On e Blak-oles Equaon: Varous Dervaons. M&E Term Paper. Kusalaas, Jaan umeral Meods In Engneerng w MATLAB. Cambrgde : Cambrgde Unversy Press. Kolgomorov,A., Fomn,.V Inroduory Real Analyss. ew York : Dover Publaons Kwok, Yeu.K Maemaal Model of Fnanal Dervaf, nd.ed. Berln : pnger. Kwok, Yeu.K dan Da, Mn Knok-In Ameran opon. Jurnal of Fuures Markes. Wley Perodals. Mkln,.G Lner Equaons of Maemaal Pyss. ew York : Hol, Rnear and Wnson. Olver, Pauly umeral mulaons of Ameran Opon.Unversä Ulm. Dplomarbe n Wrsafsmaemak. Pam, Ke Fne Elemen Modellng of Mul-Asse Barrer opons. Deseras, Unversy of Readng. Pnsky, Mark. A dan Karln,. 00. An Inroduon o oas Modelng. 4.ed. Aadem Press. Ross, epley L Dfferenal Equaons. 3.ed. ew York : Jon Wley & ons, In. ad Penganar Kompuas umerk dengan MATLAB. Yogyakara: And Offse. anosa, Wdar Persamaan Dferensal Basa. Jakara :Dren Dk alsa, andro Paral Dfferenal Equaons In Aon. Mlan: prnger-verlag. ül, Endre Fne Elemen Meods for Paral Dfferenal Equaons. Leure oes : Cambrdge Unversy.. An Inoduon o Compuaonal Fnae. Imperal College.p:// dakses anggal epember 0. ül, Endre dan Mayers, Davd An Inroduon o umeral Analyss. Cambrgde : Cambrgde Unversy Press. Topper, Jürgen Opon Prng w Fne Elemen. Wlmo Magazne. Wlmo, Paul dan Howson, Jeff D.. Opon Prng, Maemaal Model and Compuaon. Zanen, Harry V An Inroduon o oas Proesses n Connuous Tme. Leure noes. Zang, Jn ome Innovave umeral Approaes for Prng Ameran Opon. Maser Tess. Unversy of Wollongong. Zenkewz, O. C. and Ceung, Y. K Fne Elemens n Te oluon of Feld Problems. Te Engneer. emnar asonal Maemaka dan Penddkan Maemaka FMIPA UY Yogyakara, 0 ovember 0 MT - 30