1.1 METODE PENGEMBANGAN PENDEKATAN RATA- RATA SAMPEL UNTUK PROGRAM STOKASTIK DUA TAHAP. Faridawaty Marpaung. Abstrak

Transkripsi

1 METODE PEGEMBAGA PEDEKATA RATA- RATA SAMPEL UTUK PROGRAM STOKASTIK DUA TAHAP Faridawaty Marpaug Abstra Peelitia ii megemuaa metode pegembaga pedeata rata rata sampel utu program stoasti dua tahap. Metodologi ii megguaa rata rata program stoasti melalui sampel, da pemecaha rata rata masalah melalui sebuah algoritma optimal. Tujua dari sema ii aa meghasila sebuah peyelesaia optimal utu masalah yag sebearya dega pedeata sebuah espoesial yag cepat sebagai uura sampel yag fi Kata uci : Rata rata sampel, program stoasti dua tahap A. PEDAHULUA 1. Latar Belaag Program stoasti adalah merupaa program matematia, dimaa beberapa data yag termuat pada tujua atau edala megadug etidapastia yag diciria oleh distribusi peluag pada parameter. Dalam persoala program stoasti adalah membuat sebuah eputusa searag da memiimuma biaya rata-rata harapa sebagai oseuesi dari eputusa, paradigma ii dieal sebagai model recourse. Peubah eputusa problem program stoasti dua-tahap dipartisi mejadi dua himpua. Peubah tahap pertama ditetua sebelum melaua realisasi parameter ta pasti. Kemudia, satu ejadia aca yag mucul sediri, selajutya, desai atau perbaia pegawasa operasi dapat berbetu piliha, pada biaya pasti, ilai tahap edua atau peubah recourse. Tujua determiisti eputusa tahap pertama sedemiia higga jumlah biaya tahap pertama da espetasi biaya recourse miimum. Formulasi stadar dari program stoasti dua tahap sebagai beriut : Kedala Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

2 dega adalah eputusa atisipatif Disii diaalisis laju overgesi dari tahap pertama yag diambil sebelum peubah aca teramati da Pedeata Rata rata Sampel (PRS) utu program stoasti dega recourse cacah. 1. merupaa ilai optimal da : q, T, W, h meyataa vetor dari parameter problem tahap edua. Peelitia ii beraita dega program. Perumusa Masalah Utu meetua pada persamaa 1.1 secara esa sulit dilaua sehigga dilaua pedeata yag bai bagi stoasti dua tahap dega recourse fi, yaitu matris W adalah tertetu (bua aca) da peubah recourse dipersyarata cacah, yaitu Y Z dalam (1.). Diperlihata dalam Schultz, R. (1995) dua sumber esulita dalam 3. Tujua Peelitia Peelitia ii bertujua utu megembaga metode pedeata rata-rata sampel utu program stoasti dua tahap. meyelesaia program stoasti dega recourse cacah adalah : 1. Evaluasi esa dari espetasi biaya recourse.. Megoptimala Espetasi biaya recourse Dalam pedeata yag diajua, fugsi espetasi biaya recourse dalam 1.1 digati oleh pedeata rata-rata sampel da problem optimisasi terait diselesaia dega memaai algoritma husus utu optimisasi ta oves. 4. Metodologi Peelitia Program stoasti dua tahap berisi vetor determiisti. Pada tahap pertama peyelesaia persoala recaa awal determiisti aa dibuat. Pembetua recaa awal determiisti dilaua sebelum odisi aca dari persoala ditetua. Sebuah vector aca pada peyelesaia persoala yag sesuai diguaa utu merecaaa ompesasi divergesi, spesifiasi 85 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

3 parameter dari persoala aa mucul pada tahap edua. Selajutya juga dibahas metode Pedeata Rata-rata Sampel (PRS) yag diguaa pada tahap pertama bertujua utu megestimasi espetasi fugsi ilai E Q, oleh fugsi rata-rata Pada bagia ahir dibahas Algoritma Brach ad Boud yag megesploitasi sifat strutural dega mempartisi ruag pecaria sepajag harga sampel 1 1 Q (, ). B. TIJAUA PUSTAKA 1. Metode Pedeata Rata rata Sampel ( PRS ) Suatu sampel vetor aca 1,..., espetasi fugsi ilai dari realisasi dibetu da aibatya E Q, diestimasi oleh fugsi rata rata sampel 1 1 Q (, ). aprosimasi rata rata sampel yag diperoleh T 1 migˆ ( ) : c Q(, ) (.1) 1 vˆ da ˆ masig masig meyataa ilai optimal da peyelesaia optimal problem PRS (1.1) ; da v serta masig masig meyataa ilai optimal da peyelesaia optimal problem awal 1.1. Hal petig yag perlu diperhatia adalah : i. Apaah vˆ da ˆ terhadap mitraya v overge da apabila uura sampel diaia ii. Jia ya, dapat diaalisis lagi overgesi, da area itu diestimasia uura sampel yag diperlua memperoleh optimal sebearya. iii. Adalah pedeata optimisasi yag efisie utu meyelesaia problem PRS dega uura sampel yag diigia. iv. Perhatia bahwa utu yag dietahui peyelesaia ˆ adalah laya da merupaa calo utu peyelesaia optimal terhadap 86 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

4 problem awal. Apaah dapat diberia iformasi tetag ualitas dari calo peyelesaia ii. statisti utu memvalidasi calo peyelesaia yag didasara pada gap optimalitas ori et al. (1998) Pertayaa pertayaa diatas telah demiia pula syarat optimalitas ( terjawab utu program liier stoasti dua tahap, yaitu apabila peubah tahap pertama da edua dalam 1.1 da 1. otiu. Telah dibutia bahwa utu program liier stoasti dega sebara disrit, suatu peyelesaia optimal dari PRS memberia peyelesaia optimal esa dari problem awal dega peluag medeati satu secara espoesial apabila bertambah oleh (Shapiro ad Homem-de-Mello, 001 ). Uji Shapiro ed Home de Mello, 1998 ) telah diajua. Lebih lajut lagi, tei samplig ii telah diitegrasia dega algoritma deomposisi utu meyelesaia program liier stoasti dari berbagai uura dega hasil yag cuup aurat Lideroth et al. (00). Kovergesi dari pedeata PRS telah juga diperluas utu program stoasti dega himpua eputusa tahap pertama disrit da berhigga Kleywegt et al. (001). C. PEMBAHASA DA HASIL Pada bagia ii dibicaraa sifat overgesi dari estimastor PRS, terutama yag diterapa pada program dua tahap dega recourse iteger. Utu memaai hasil lasi, seperti Huum Bilaga Besar, perlu diadaia bahwa sampel yag dibetu bersebara bebas ideti (bbi). amu perlu diperhatia bahwa sifat overgesi dapat diturua terhadap odisi lebih luas. Disii diajua algoritma Brach ad Boud utu program stoasti iteger dua tahap dega sebara disrit peubah iteger campura ditahap pertama da peubah iteger muri di tahap edua. Kosep dari algoritma ii adalah megidetifiasi calo peyelesaia dega berturut-turut mempartisipasi ruag pecaria. 1. Tahap Pertama Disrit Metode overgesi PRS dalam Kleywegt et al. (001 ) apabila diterapa pada program stoasti dega himpua eputusa tahap pertama yag berhigga. Perhatia program stoasti dua tahap 1.1 dega arateristi beriut : 87 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

5 i. Himpua eputusa tahap pertama berhigga (tapi mugi sagat besar ) ii. Fugsi recourse Q,. Dimaa da E Q(, ( ))} utu setiap teruur berhigga v da vˆ, masig masig meyataa ilai optimal dari problem awal da problem PRS. Kemudia utu ε 0, adaia da meyataa himpua peyelesaia ˆ optimal, masig masig dari problem awal da PRS. Khususya utu 0 himpua ii mejadi himpua ˆ terait. da dari peyelesaia optimal problem Dapat diperlihata bahwa, dega asumsi (i) da (ii) diatas, estimator osiste dari vˆ merupaa v, yaitu vˆ overge dega peluag satu terhadap v jia. Juga dega memaai teori Deviasi besar, diperlihata dalam Kleywegt, et al. (001) bahwa setiap 0 da 0, ostata, 0 sheigga ˆ (, ) } e utu terdapat 1 P (3.1) Kemudia, dega pegadaia tambaha asus dimaa sebara ( yag selalu berlau dalam mempuyai support berhigga ), ostata, positif, da utu da ecil dapat diestimasi sebagai ( ) ( ) (, ) (3.) 3 3 Dega da v : mi g g( ) da adalah variasi masimal dari selisih tertetu atara ilai fugsi objetif problem PRS. Perhatia bahwa, area himpua besar daripada, 0 berhigga, selalu lebih, da aibatya, baha jia. Secara husus, utu 0, pertidasamaa (3.1) memberia laju espoesial overgesi dari peluag ejadia ˆ adalah satu, utu setiap piliha ilai optimal problem PRS. Begitupu, utu daerah laya ˆ dari besar ( tapi berhigga ) selisih cederug ecil. Estimasi ruas aa dari (3.) megaibata estimasi uura sampel,, yag diperlua utu meyelesaia problem awal (ilai 88 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

6 espetasi ) dega peluag presisi 0 1 da dega meyelesaia problem PRS utu presisi 0, (3.3) 3 log. Walaupu batasa di atas biasaya terlalu oservatif utu dipaai dalam perhituga uura sampel, ia memperlihata logarithma dari,, dari problem tahap pertama. etergatuga pada uura Hasil diatas tida membuat asumsi bereaa dega peubah recourse. Jadi aalisis di atas secara lagsug terpaai pada program stoasti dua tahap dega recourse cacah asala himpua eputusa laya tahap pertama berhigga.. Tahap Pertama Kotiu Hasil overge tadi dapat disesuaia yag beraita dega asus dimaa beberapa atau semua peubah dapat megambil ilai otiu. Perhatia bahwa dua orm sembarag pada ruag 1 berdimesi berhigga R adalah eivale utu alasa teis betu : ma 1,..., 1 dapat dipaai. Adaia himpua terbatas ( tida 1 perlu berhigga ) dari R. Utu suatu v 0 dietahui, padag himpua bagia berhigga utu setiap yag memeuhi v dari sehigga terdapat ' v ' diameter dari himpua himpua v dega 1 v. Jia D, maa demiia dapat dibetu D v. Dega v meciuta himpua laya e himpua bagiaya v, sebagai oseuesi dari (6) diperoleh estimasi beriut tetag uura sampel, yag diehedai utu meyelesaia problem teredusi dega ' 3 ( ) D log log 1 v aurasi (3.4) Kemudia adaia bahwa fugsi espetasi g Lipschitz otiu pada modulus L. Maa suatu peyelesaia ' - optimal dari problem teredusi merupaa peyelesaia ' - optimal dari problem (1), dega L v : ' Lv. 'Lv. Buat da 89 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

7 1 DL 1 log log (3.5) ( ) Estimasi (3.5) ii memperlihata bahwa uura sampel yag diperlua utu meyelesaia problem (1) dega peluag 1 da aurasi 0 setelah meyelesaia problem PRS dega aurasi, tumbuh secara liier dalam dimesi, dari tahap pertama problem. Estimasi (3.5) terpaai lagsug pada program stoasti dua tahap dega iteger recourse asala espetasi ilai fugsi g Lipschitz otiu. Diperlihata dalam Schultz (1995) bahwa dalam asus program dua-tahap dega iteger recourse espetasi ilai fugsi g adalah Lipschitz otiu pada suatu himpua ompa jia vetor data aca mempuyai sebara otiu da beberapa syarat lua tambaha dipeuhi. Sebaliya, jia maa g mempuyai sebara disrit tida otiu. bersebara disrit dega duuga berhigga. Diperlihata bahwa dalam hal demiia problem awal da PRS dapat diformulasia secara eivale sebagai problem pada daerah laya berhigga. Dega asumsi beriut : A 1. Sebara dari vetor data aca mempuyai duuga berhigga Ξ = {ξ 1,..., ξ K } dega peluag masig masig p,..., p 1 K setiap realisasi q, T, W, h, 1 K dari,..., disebut seario. Maa ilai espetasi E[ Q(, ( ))] sama dega K pq(, ), 1 jadi problem awal 1.1 dapat ditulis beriut : K T mi g( ) : c pq(, ) (3.6) 1 disii Q(, ) : if q T y : Wy h T (3.7) yy 1 1 dega, c, Y, 3. Tahap Pertama Kotiu da Sebara Disrit Program stoasti dua tahap dega iteger recourse apabila vetor data aca W 1, da utu semua,, m1 q T m da h 90 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

8 Dalam beberapa apliasi jumlah total seario K sagat besar, membuat evaluasi tepat dari jumlah K 1 p Q(, ) tidalah mugi. Ii memotivasi ebutuha pedeata berbaris samplig utu meyelesaia (3.6). A. Peubah tahap pertama otiu, da himpua edala tida osog, ompa da polihedral. A 3. Peubah tahap edua yag iteger muri,yaitu Z Y dalam 1. Perhatia bahwa asumsi peubah tahap pertama otiu merupaa hal yag wajar. Tahap pertama Iteger campura dapat diatasi dalam eraga beriut tapa esulita oseptual. Tambaha A1 A 3 juga diadaia. A. Q 4 1,..., K 5, berhigga da A. Matris edala tahap edua m iteger, yaitu W Z Asumsi A4 berarti bahwa Q, da Q, da 1,..., K. Yag pertama dari dua pertidasamaa ii dieal sebagai sifat recourse relatif legap Wets (1996 ) area ompa, recourse relatif legap selalu dapat dicapai dega meambaha pealti peubah atifisial pada problem tahap edua. Asumsi A5 dapat dipeuhi dega pemberia sala yag sesuai apabila eleme matris rasioal. Pada asumsi A3 setiap EQ., diperoleh bahwa, utu merupaa ilai fugsi optimal dari program iteger muri da dieal sebagai osta perbagia yaitu, utu setiap Z Z da E fugsi Q., osta pada himpua Schultz et al. (1998 ) 1 C ( z, ) : : h z 1 T h z (3.8) dega otasi "" da "" terpaai per ompoe. Maa aibatya utu setiap Z 1 K z fugsi p Q., osta pada himpua C K z Cz, : 1. Perhatia bahwa Cz daerah polihedral yag tida terbua ataupu tertutup searag, adaia Z z Z Cz m : : Karea terbatas oleh asumsi A, himpua Z berhigga diperoleh bahwa himpua dapat disajia sebagai gabuga sejumlah berhigga himpua 91 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

9 polihedral Cz, z Z. Pada setiap himpua Cz espetasi ilai fugsi g adalah liier da ilai optimal dicapai pada suatu titi estrim (vertes ) dari Cz. Defeisia V : vert( C ( z) ) (3.9) zz dega vert (S) meyataa himpua vertes polihedral S. Perhatia bahwa adalah polihedral oleh defeisi, jadi dari eberhiggaa Z atuality himpua V berhigga. Telah diperlihata Schultz et al. (1998) bahwa terhadap asumsi problem (3.6) memilii peyelesaia optimal ii, maa (3.6) V. Dari hasil dapat diyataa sehigga program stoasti dua tahap beriut dega eputusa tahap pertama berhigga : z j megambil ilai h T j semua. j utu m Perlihata : : T, da adaia D diameter. Perhatia area ompa, juga ompa, jadi D. Maa, utu suatu h fi, z j dapat mejadi bila palig baya D 1 ilai. Jia searag, diperhatia semua K seario, z j dapat megambil KD 1 ilai yag mugi. Aibatya, dapat dibatasi ardialitas dari Z sebagai [ ( 1)] m Z K D. Searag perhatia utu sembarag cl z Z, sistem 1 Cz : 0, T h z, T h z 1, 1 : 0, T h z, T h z 1 K T mi g( ) c pq(, ) V 1 (3.10) Diajua dalam Schultz et al. (1998) utu meyelesaia (3.10) dega megeumerasi himpua berhigga V. Bagaimaa megestimasi V. Dari (3.8) jelas bahwa himpua Z mecaup semua vetor iteger z, sehigga utu h fi, ompoe e j dari z, yaitu dega h mi h h ma h da, operasi mas da mi perbagia. Dega megadaia bahwa 1 : A b, 0 dimaa matris m 1 1, terdapat utu sembarag cl A z Z, Cz :, 0,, 1 1 A b T h z T h z 9 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

10 Sistem diatas terdefeisi palig baya utu 1 m1 m, pertidasamaa liier ( termasu o egativitas ), jadi palig baya memilii V : vert( C ( z) ) (3.13) zz Dega C z: 1Cz, m Z : z Z C z : da m m ( m m ) m m Titi estrim. Jadi diperoleh batas atas ardialitas dari V, yaitu V [ K( D 1)] ( m m ) (3.11) m m1 m 1 1 Jadi ardialitas dari V, demiia pula usaha yag dibutuha dalam megevaluasi calo peyelesaia V. Sebagia besar tergatug pada K. Dega memaai pedeata PRS osiderasi terhadap semua seario 1,..., K dalam dapat dihidari. 1 Padag sampel,..., dari parameter ta pasti problem, dega uura sampel jauh lebih ecil daripada K. Maa problem PRS yag terait dega (3.10) adalah : T 1 mi gˆ ( ) c Q(, ) (3.1) V 1 Perhatia bahwa himpua V da V dalam problem 3.10 da 3.1 tida sama, himpua ii masig masig diyataa oleh himpua da himpua bagia yag disampel dari. Tida secara lagsug jelas apaah peyelesaia (3.1) termasu dalam himpua calo peyelesaia optimal V. Utugya, area vetor yag disampel membetu himpua bagia dari, aibatya V V. Jadi sembarag peyelesaia utu (3.1) merupaa calo peyelesaia optimal terhadap problem awal. Searag dapat secara lagsug diterapa hasil overgesi espoesial dari (4.10) terhadap program stoasti dega recourse iteger da peubah tahap pertama otiu. Secara husus pertidasamaa (3.1) mejadi ˆ (, ) 1 P V e (3.14) Dega V yaitu, V sampel mitra dari himpua Dimaa, seperti sebelumya ˆ adalah himpua peyelesaia secara - optimal terhadap problem PRS, 93 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

11 adalah himpua peyelesaia - optimal teradag problem awal, da ostata, dapat diestimasi megguaa 3. Dega memaai (3.14) da estimasi dari V dalam (3.11) dapat ditetua uura sampel utu problem PRS yag mejami suatu peyelesaia - optimal terhadap problem awal dega peluag sebagai beriut. 3 ( log[ ( 1)]) ( 1 )( 1 1 ) log ) ( ) m K D m m m m (3.15) 1 Walaupu estimasi uura sampel ii terlalu oservatif utu tujua pratis, ia memperlihata bahwa berembag secara liier terhadap dimesi problem da secara logarithmically terhadap jumlah seario K. Ii megidetifiasia bahwa dapat diperoleh peyelesaia cuup aurat terhadap problem yag mecaup sejumlah besar seario dega memaai uura sampel sediit. Searag perhatia situasi dimaa sebara sebearya dari otiu sedaga sejumlah berhigga seario diperoleh dega disritisari fugsi sebara ii. Jia disritisari demiia cuup bai, maa perbedaa atara ilai espetasi terait dari fugsi objetif ecil, yaitu adaia batasa osta ilai mutla dari perbedaa atara ilai ilai espetasi Q,, yag diambil terhadap sebara disrit da otiu dari, utu semua. Aibatya jia merupaa peyelesaia - optimal dari problem ilai espetasi terhadap salah satu sebara ii, maa merupaa peyelesaia - optimal dari problem ilai espetasi terhadap sebara laiya. Karea itu, jia fugsi ilai espetasi yag diambil terhadap sebara otiu, adalah otiu Lipschitz pada, maa estimasi (3.4) dapat diapliasia terhadap problema dega sebara terdisritisari yag disesuaia utu ostata yag terait. 4. Meyelesaia Problem PRS Secara prisip tei eumerasi Schultz et al. (1998) dapat dipaai utu meyelesaia problem PRS (3.1). amu umumya sagat sulit utu megaraterisasi himpua V ecuali problem tahap edua memilii strutur sagat sederhaa, tambaha lagi ardialitas V sagat besar, sehigga eumerasi tida dimugia secara omputasi. Alteratifya, dapat dicoba 94 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

12 utu meyelesaia determiisti eivale dari (3.1) dega memaai algoritma brach ad boud. amu, tei demiia tida mecoba utu megesplotasi strutur yag dapat teruraia dari problem, da metode ii aa gagal ecuali uura sampel ecil. Deomposisi berbaris algoritma Brach ad Boud yag dihetaga dalam Ahmed et al. (000) utu meyelesaia problem PRS. Disampig megaraterisasi himpua calo peyelesaia V, algoritma ii megidetifiasi calo peyelesaia dega berturut turut mempartisi ruag pecaria. Lebih lajut lagi, algoritma memafaata iformasi batas bawah utu megelimiasi bagia daerah pecaria sehigga mecegah eumerasi legap. Karea algoritma tida secara esplisit meelusuri V, harus dipastia bahwa peyelesaia ahir yag diperoleh tida termasu dalam himpua ii utu mecapai overgesi. Beriut ii diuraia algoritma sebagai peambaha terhadap asumsi A1 A 5, algoritma megadaia 6 A Matris teologi T, yag megaita problem tahap pertama da edua adalah determiisti, yaitu utu semua T T Perlihata trasformasi liier dari peubah problem tahap pertama dega memaai T oleh : T. Peubah dieal sebagai peubah lua dalam literatur program stoasti. Ide prisip dibelaag algoritma adalah memadag problem PRS dalam peubah lua. mi ˆ ( ) : ( ) ˆ ( ) (3.16) dimaa G T 1 ˆ j ( ) : if c : T, ( ) : (, ) 1 T (, ) : if q y : Wy h yy m da : : T, memilii dimesi lebih ecil dari pada. Lebih petig lagi, trasformasi ii memberia strutur tertetu terhadap fugsi disotiu ( ). Khususya, dapat diperlihata Ahmed et al. (000) bahwa beriut : m : mempuyai sifat 95 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

13 i. Ia ta ai sepajag setiap ompoe j 1,..., m dari j, m ii. Utu setiap z Z pada, ia osta himpua z: : h z 1 h z, 1 C,..., Perhatia bahwa himpua diaita dega himpua trasformasia bau C z C z - C z oleh T. Juga perhatia adalah hiper empat persegi area ia merupaa peralia artesia dari iterval. Jadi, fugsi ilai espetasi tahap edua ( ) osta perbagia pada daerah empat persegi dalam ruag peubah lua. Maa disotiuitas dari ( ) haya dapat terleta di batas daerah daerah ii da, area itu, semua ortogoal pada sumbu peubah lebih lajut lagi, area ompa, maa juga ompa. Jadi daerah demiia dalam himpua laya problem berhigga. Algoritma megesploitasi sifat structural di atas dega mempartisi ruag mejadi daerah berbetu, dimaa merupaa ompoe e dari suatu titi pada maa fugsi ilai tahap edua disotiu. Perhatia bahwa haya dapat disotiu di suatu titi dimaa seurag uragya satu dari ompoe vector merupaa itegral utu beberapa. Jadi dipartisi ruag pecaria sepajag ilai demiia. Dibawah ii diberia peryataa formal dari algoritma brach ad boud. otasi : Daftar subproblem omor iterasi; juga dipaai utu megidiatora subproblem terpilih Partisi yag beraita dega i Batas atas yag diperoleh di iterasi i Batas bawah pada subproblem i Peyelesaia laya utu ilai subproblem Batas atas pada ilai optimal global Batas bawah pada ilai optimal global Calo optimum global Algoritma Iisialisasi Proses problem dega membetu hiper-persegi berbetu sehigga. Tambaha problem 96 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

14 dega edala utu medaftara subproblem terbua. Buat da peghitug iterasi Iterasi i: Lagah i.1 : Jia, berheti dega peyelesaia, jia tida, pilih subproblem, yag didefiisia sehigga dega edala dari subproblem saat ii. Buat Lagah i. : Problem batas bawah yag memeuhi Jia. Tetua peyelesaia laya da hitug batas atas D. KESIMPULA Dalam peelitia ii diembaga metode pedeata rata-rata sampel utu program stoasti dua tahap. Peyelesaia persoala program stoasti dua tahap berisi vector determiisti. Pada tahap pertama, dibuat peyelesaia persoala recaa awal determiisti. Pembetua recaa awal determiisti dilaua sebelum odisi aca dari persoala ditetua. Pada tahap edua Lagah i..a : Buat Lagah i..b : Jia, maa da Lagah i..c : Hetia daftar subproblem, yaitu Jia pergi e lagah da pilih subproblem lai. Lagah i.3 : Partisi mejadi da. Buat yaitu persoala edua subproblem dari edala da dari edala e daftar subproblem terbua. Utu tujua pemiliha. Buat da embali e lagah i.1 diguaa sebuah vector aca pada persoala yag sesuai utu merecaaa ompesasi divergesi, spesifiasi parameter. Dua esulita dalam meyelesaia program stoasti adalah : 1. Evaluasi esa dari espetasi biaya recourse. 97 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

15 . Megoptimala Espetasi biaya recourse. Algoritma Brach ad Boud utu meyelesaia problem PRS. Algoritma Brach ad Boud juga megaraterisasi himpua calo peyelesaia da megidetifiasi calo peyelesaia dega berturut turut mempartisi ruag pecaria. Algoritma memafaata iformasi batas bawah utu megelimiasi bagia daerah pecaria. Karea algoritma tida secara esplisit meelusuri himpua calo peyelesaia dipastia bahwa peyelesaia ahir yag diperoleh tida termasu dalam himpua ii utu mecapai overgesi. DAFTAR PUSTAKA Ahmed, S. (000). Strategic Plaig uder Ucertaity:Stochastic Iteger Programmig Approaches. Ph.D. Thesis, Uiversity of Illiois at Urbaa-Champaig. Ahmed, S., Tawarmalai, M., ad Sahiidis,.V. (000). A fiite brach ad boud algorithm for two stage stochastic iteger programs. Submitted for publicatio. E-prit available i the Stochastic Programmig E- Prit Series: Kleywegt, A. J., Shapiro, A., ad Homem-De-Mello,T. (001). The sample average approimatio method for stochastic discrete optimizatio. SIAM Joural of Optimizatio, 1: Lideroth, J., Shapiro, S., ad Wright, S. (00). The empirical behavior of samplig methods for stochastic programmig. Optimizatio Techical Report 0-01, Computer Scieces Departmet, Uiversity of Wiscosi-Madiso. ori, V.I., Pflug, Ch., ad Ruszczy si, A. (1998). A brach ad boud method for stochastic global optimizatio. Mathematical Programmig, 83: ori, V.I., Pflug, G.C., ad Ruszczysi, A. (1998). A brach ad boud method for stochastic global optimizatio. Mathematical Programmig, 83: ori, V.I., Ermoliev, Y.M., ad Ruszczysi,A. (1998). O optimal allocatio of idivisibles uder ucertaity. Operatios Research, 46: Schultz, R. (1995). O structure ad stability i stochastic programs with radom techology matriad complete iteger recourse. Mathematical Programmig, 70(1): Schultz, R., Stougie,L., ad Va der Vler,M.H. (1998). Solvig 98 Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda

16 stochastic programs with iteger recourse by eumeratio: A framewor usig Gr ober basis reductios. Mathematical Programmig, 83:9 5 Shapiro, A., ad Homem de Mello,T. (1998). A simulatio-based approach to two stage stochastic programmig with recourse. Mathematical Programmig, 81(3, Ser. A): Shapiro,A., ad Homem-de-Mello,T. (001). O rate of covergece of Mote Carlo approimatios of stochastic programs. SIAM Joural o Optimizatio,11: Wets,R.J-B. (1966). Programmig uder ucertaity: The solutio set. SIAM Joural o Applied Mathematics, 14: Faridawaty Marpaug adalah Dose Jurusa Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas egeri Meda