DAFTAR ISI. C. Operasi Aljabar pada Vektor di R 3 1. Penjumlahan Vektor Pengurangan vektor Perkalian skalar dengan vektor...

Transkripsi

1 PRAKATA Puji sukur kehadirat Allah SWT. Tanpa karunia-na kami tidak akan bisa menelesaikan buku ini terselesaikan tepat pada waktuna. Sholawat serta salam kita panjatkan kepada Nabi besar kita, Muhammad SAW beserta para sahabatna dan keluargana. Buku ini dibuat karena untuk menelesaikan tugas prokom kami. Buku ini berjudul Belajar Vektor Asik dengan materina ang disajikan dari beberapa sumber, antara lain beberapa buku dan internet. Materi materi ang disajikan juga terbilang singkat guna untuk mempermudah mempelajarina. Dan didalam buku ini juga terdapat soal soal latihan guna untuk melatih atau mempelancarkan dari isi materi dari buku ini. Kami menadari bahwa buku ini masih banak sekali kekuranganna, untuk itu kami sangat berharap kritik dan saran dari para pembaca. Dan terima kasih juga kepada pihak pihak ang telah membantu membuat buku ini. Dan mudah mudahan buku ini dapat memberikan manfaat dalam segala bentuk kegiatan belajar mengajar. Penulis 1

2 DAFTAR ISI Kata kata motivasi... 3 Tujuan Pembelajaran... 4 Contoh aplikasi dalam kehidupan sehari hari... 4 PEMBAHASAN A. Vektor sebagai Ruas Garis Berarah... 5 B. Operasi aljabar pada vektor di R 1. Penjumlahan Vektor Pengurangan Vektor Perkalian Skalar dengan Vektor Dua vektor u dan v dikatakan sama bila = 1 dan 1 = C. Operasi Aljabar pada Vektor di R 3 1. Penjumlahan Vektor Pengurangan vektor Perkalian skalar dengan vektor Dua vektor u dan v dikatakan sama bila = x, 1 =, z 1 = z D. Perbandingan vektor dan koordinat... 8 Rumusan Perbandingan Vektor dan Koordinat 1. Rumus Perbandingan Vektor Rumus Perbandingan Koordinat... 9 E. Hasil Kali Skalar Dua Vektor 1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Vektor Kolom Sifat sifat Hasil kali Skalar Dua Vektor F. Proeksi Vektor 1. Proeksi Vektor a pada Vektor b Proeksi Vektor b pada Vektor a Soal Latihan Daftar Pustaka... 1 Biodata... 13

3 3

4 Tujuan Pembelajaran Materi Tujuan pembelajaran materi ini sebagai berikut: - Membedakan besaran vektor dan skalar - Menggambar sebuah vektor - Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode segitiga - Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode jajar genjang - Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode poligon - Menentukan vektor resultan dengan metode rumus kosinus - Menentukan vektor resultan dengan metode vektor komponen - Menentukan hasil perkalian dua buah vektor Contoh aplikasi dalam kehidupan sehari hari. - Ketika Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat. - Ketika seorang melakukan olahraga tersebut, mereka akan terjun dengan kemiringan tertentu hingga menginjak tanah. - Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adana dua vektor gaa aitu gaa gravitasi dan gaa dorong angin. - Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis. Grafis adalah gambar ang tersusun dari koordinat koordinat. Dengan demikian sumber gambar ang muncul pada laar monitor komputer terdiri atas titik titik ang mempunai nilai koordinat. Laar Monitor berfungsi sebagai sumbu koordinat x dan. Grafis vektor adalah objek gambar ang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu. Contoh software ang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan vektor ang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarna. Dalam program tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional). 4

5 Vektor A. Vektor sebagai Ruas Garis Berarah Nama suatu vektor dapat ditulis dengan dua huruf besar dengan tanda panah diatasna atau satu huruf kecil dengan tanda panah atau bar di atasna. Dalam fisika dikenal dua macam besaran, aitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran ang hana mempunai nilai saja. Sedangkan besaran vektor ada besaran ang mempunai nilai dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan dengan ruas garis berarah. Besar suatu vektor diwakili oleh panjangna, sedangkan arahna ditunjukkan oleh mata panah disalah satu ujungna. u Q P Dari gambar diatas, nama vektor tersebut adalah PQ atau u. Titik P disebut titik pangkal dan titik Q disebut titik ujung sekaligus menunjukkan arah. Vektor terletak pada dua tempat aitu dibidang datar dan bidang ruang. Vektor ang terletak di bidang datar disebut vektor di R, sedangkan vektor ang terletak di bidang ruang disebut vektor di R 3. Vektor di R secara Geometri Penjumlahan Vektor a. Aturan segitiga b. Aturan jajargenjang u + v v v u + v u u Sifat sifat penjumlahan vektor a. u + v = v + u b. u + v + w = u + (v + w) c. u + 0 = u untuk setiap vektor u, vektor 0 disebut vektor nol. d. u + v = 0, dengan vektor v lawan dari vektor u dan ditulis v = u. Pengurangan Vektor AB AC = CB u v = u + ( v ) 5

6 Perkalian Skalar m dengan vektor v a. m v searah dengan v jika m > 0. b. m v berlawanan arah dengan v jika m < 0 c. m v vektor nol jika m = 0 Sifat perkalian skalar dengan vektor a. m + n u = mu + nu b.m u + v = mu + mv c. mn u = m(nu) d. 1u = u Dua vektor u dan v disebut sama jika keduana mempunai panjang dan arah ang sama. u v w. Vektor di R secara Aljabar u = v tetapi u w dan v w Vektor p adalah vektor posisi P dan dapat dituliskan sebagai: p = OP = x, atau p = OP = x atau p = OP = xi + j. Panjang vektor p dinatakan sebagai: p = OP = x + Vektor satuan dari u ditentukan dengan rumus: e = u = u = 1 x u x + x +. B. Operasi Aljabar pada Vektor di R x Misalkan u = dan v = 1 serta k suatu konstanta. 1. Penjumlahan vektor x u + v = + 1 = + x 1 + a. Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di R adalah vektor 0 = bersifat: 0 + u = u + 0 = u. b. Lawan dari vektor u = adalah vektor u = ang 6

7 . Pengurangan vektor x x u v = 1 = 1 3. Perkalian skalar dengan vektor k. u = k kx = 1 1 k 1 4. Dua vektor u dan v dikatakan sama bila = 1 dan 1 =. Jika diketahui P(, 1 ) dan Q(x, ), maka PQ didefinisikan dengan: x x PQ = OQ OP = = 1 1 Panjang vektor PQ = (x ) + ( 1 ) Vektor di R 3 C. Operasi Aljabar pada Vektor di R 3 x Misalkan u = 1, v =, dan k skalar. z 1 z a. Penjumlahan Vektor u + v = 1 + z 1 x z = + x 1 + z 1 + z Vektor p adalah vektor posisi P dan dapat dituliskan sebagai: x p = OP = (x,, z) atau p = OP = atau z p = OP = xi + j + zk Panjang vektor p dinatakan sebagai: p = OP = x + + z Vektor satuan dari u ditentukan dengan rumus: x e = u = u = 1. u x + +z x + +z z 1) Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di R 3 adalah 0 = bersifat: 0 + u = u + 0 = u. ) Lawan dari vektor u = 1 z 1 adalah vektor u = 1 z ang 7

8 = b. Pengurangan vektor u v = 1 x z z 1 x 1 z 1 z c. Perkalian skalar dengan vektor k. u = k 1 z 1 = k k 1 kz 1 d. Dua vektor u dan v dikatakan sama bila = x, 1 =, z 1 = z. Misalkan diketahui titik P(, 1, z 1 ) dan Q(x,, z ). Ruas garis berarah PQ dinatakan sebagai: PQ = OQ OP = x z 1 z 1 = Panjang vektor PQ adalah: PQ = (x ) + ( 1 ) + (z z 1 ) D. Perbandingan Vektor dan Koordinat Jika titik P terletak pada ruas garis AB sehingga titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka diperoleh hubungan: AP PB = m n atau AP AB = m (m + n). Tanda tanda dari m dan n ditentukan dengan aturan sebagai berikut. x 1 z 3 z 1 1. Jika titik P terletak di antara ruas garis AB, maka AP dan PB searah. Jadi, m dan n berbeda sama (m dan n keduana positif atau m dan n keduana negatif).. Jika titik P pada perpanjangan ruas garis AB, maka AP dan PB berlawanan arah. Jadi, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif). Rumusan Perbandingan Vektor dan Koordinat 1. Rumus Perbandingan Vektor Jika titik P terletak pada ruas garis AB sehingga titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka vektor posisi titik P adalah: p = m b+na m +n Keterangan: Jika P merupakan titik tengah AB, maka p = a+b. b = vektor posisi titik B a = vektor posisi titik A 8

9 . Rumus Perbandingan Koordinat a. Rumus Perbandingan Koordinat Titik di R. Diketahui titik A(, 1 ) dan titik B(x, ). Jika titik P(x p, p ) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m n, maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus: x p = mx + n m +n dan p = m + n 1 m +n Jika P merupakan titik tengah AB, maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus: x p = x + dan p = + 1 b. Rumus Perbandingan Koordinat Titik di R 3. Diketahui titik A(, 1, z 1 ) dan titik B(x,, z ). Jika titik P(x p, p, z p ) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m n, maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus: x p = mx + n, m +n p = m + n 1, z m+n p = mz + nz 1. m +n Jika P merupakan titik tengah AB, maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus: x p = x +, p = + 1, z p = z + z 1. E. Hasil Kali Skalar Dua Vektor Hasil kali skalar dua vektor a dan vektor b (ditulis a. b) adalah suatu skalar ang besarna sama dengan jumlahna dari hasil kali komponen komponen a dan b ang bersesuaian. Hasil kali skalar vektor a dengan vektor b ditentukan dengan hubungan berikut. Keterangan : a = panjang vektor a b = panjang vektor b = besar sudut antara vektor a dan b a. b = a b cos Rumus tersebut dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara vektor a dan b. cos = a b 9

10 1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Vektor Kolom a. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di R Jika vektor a = dan vektor b = 1 x, maka hasil kali skalar vektor a dan vektor b ditentukan dengan rumus: a. b = x + 1. b. Hasil kali skalar dua vektor di R 3 Misalkan diketahui vektor a = 1 z 1 dan vektor b = x z. Hasil kali skalar vektor a dan b di tentukan dengan rumus: a. b = x z 1 z. Sifat sifat Hasil kali Skalar Dua Vektor a. a. b = b. a b. a. b ± c = a. b ± a. c c. k a. b = ka. b = a. (kb) ; k bilangan riil d. a. a = a = a. a e. a. a > 0 jika a 0 dan a. a = 0 jika a = 0 F. Proeksi Vektor 1. Proeksi Vektor a pada Vektor b OA adalah wakil dari a dan OB Wakil dari b.titik C merupakan proeksi Titik A pada garis OB. OC = OA cos = a cos (skalar) a. proeksi skalar Ortogonal vektor a pada Vektor b, di tentukan oleh: c = a cos. Dengan substitusi cos =, maka diperoleh: c =. a b b b.proeksi vektor orthogonal vektor a pada vektor b, ditentukan oleh: c = c e dengan e adalah vektor satuan vektor c. Oleh karena vektor c searah dengan vektor b, maka vektor satuan dari vektor c sama dengan vektor satuan dari vektor b. Dengan menubstitusikan c = c = b. b b c = b. b. b dan e = b b ke persamaan c = c e, diperoleh: 10

11 . Proeksi Vektor b pada Vektor a OD = OB cos = b cos a. Proeksi skalar orthogonal vektor b pada vektor a ditentukan oleh: d = b. Proeksi vektor orthogonal vektor b pada vektor a ditentukan oleh: d = a a. b a. a.5 Soal Latihan 1. Diberikan Vektor a = xi 3xj + 6k dan b = 1 i + 3j (1 + x)k dengan x > 0 Jika a dan b sejajar, maka a + 3b =.... Diketahui segitiga ABC. Titik P di tengah AC, dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Jika AB = c, AC = b, dan BC = a, maka PQ = Agar vektor a = i + pj + k dan b = 3i + j + 4k saling tegak lurus, maka nilai p adalah Diketahui u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah Diketahui vektor u = p i + 3j k dan v = pi + pj 5k dengan < p <. Nilai maksimum u. v adalah Vektor proeksi dari vektor (,1,0) pada (3,1,) adalah Nilai p agar vektor p i + j 6 k dan 4 i 3 j + k saling tegak lurus adalah Diketahui u = 3 i j + k dan v = i + j + k. Tentukan vektor w ang memenuhi kesamaan 3u v = w. Diketahui segitiga ABC dengan A(,4,0), B(3,,1), dan C( 1,5, 3). 9. Tentukan vektor AB dan AC 10. Hitunglah hasil AB. AC 11. Diketahui a = i + 3j 4k dan b = i j + k. Tentukan a + b 1. Diketahui segitiga ABC dengan A(, 1, 1), B( 1,4, ),dan C(5,0, 3). Tentukanlah proeksi vektor orthogonal vektor AB pada vektor AC 11

12 DAFTAR PUSTAKA Jeroanaam. (014). Wangsit Pejuang SBMPTN. Serang: Kaskuser Education. Rosidah, H. dan Hastuti, P. (006). Matematika SMA/MA Kelas 3 semester gasal, Jawa Tengah: KREATIF. 1

13 BIODATA Nama saa Rahmat Nopiawan, tempat tanggal lahir saa Indramau 0 November Alamat asal saa Blok Punduan RT 4 RW 15 Desa Mekarjaa Kecamatan Gantar Kabupaten Indramau, karena melanjutkan ke perguruan tinggi jadi Alamat tinggal sekarang Jalan Kandang Perahu Kelurahan Kara mula RT 04 RW 11, saa tinggal dengan teman saa disini untuk sementara waktu. Riwaat Pendidikan saa aitu, SD Negeri Punduan, SMP Negeri Satu Gantar, SMA Negeri Satu Gantar. Nama saa Asep Lukman Hakim, umur saa kurang lebih 19 tahun. Saa lahir di Cirebon pada tanggal 8 bulan Desember tahun Saa tinggal bersama kedua orang tua dan mempunai 1 adik. Sekarang saa sedang melanjutkan S1 di Universitas Unswagati dan mengambil jurusan FKIP Pendidikan Matematika. Riwaat pendidikan saa, perjalanan pendidikan saa, saa pernah sekolah di SD Negeri Kartini Cirebon, lalu melanjutkan ke SMP Negeri 4 Cirebon, lalu melanjutkan ke SMA Negeri 6 Cirebon. Nama saa Durohman, biasa dipanggil Eman tempat tanggal lahir saa di Indramau,13 November 199. Alamat saa di: ds. Limpas Gg. Kai Ali aha Rt.05/Rw 0 kec. Patrol Kab. Indramau jawa Barat. Riwaat pendidikan saa aitu SDN III LIMPAS, SMP NEGERI 1 ANJATAN, SMA NEGERI 1 ANJATAN. 13