SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

Transkripsi

1 SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com

2 SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan dalam TKD Saintek SBMPTN Tahun 05 kode naskah 57.. Misalkan titik A dan B pada lingkaran + y 6 y+ k 0 sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C ( 8,). Jika luas segiempat yang melalui A, B, C, dan pusat lingkaran adalah, maka k... Pembahasan Beberapa hal yang dapat kita peroleh untuk menyelesaikan masalah ini adalah sebagai berikut: Lingkaran + y 6 y+ k 0 memiliki pusat di O A, B O(,). Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jarijari lingkaran pada titik potongnya, maka OAC merupakan segitiga siku-siku di A. Demikian juga OBC merupakan segitiga siku-siku di B. Luas OAC sama dengan setengah luas segiempat Pada soal nomor, sebelum kita tentukan nilai, kita harus tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang diberikan. Karena jika adalah pusat lingkaran, maka. OACB, yaitu 6 satuan luas. Sehingga tinggi OAC dapat ditentukan sebagai berikut. Luas OAC OC t 8 t 6 ( ) t Koordinat titik A adalah A,+ A, 5 5.

3 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 Berdasarkan beberapa hal yang telah diperoleh, segiempat OACB dapat diilustrasikan sebagai berikut. Untuk menentukan nilai agar OA AC, kita gunakan sifat bahwa perkalian gradien dua garis yang tegak lurus sama dengan. m OA m AC, 4, 4 8 5, , , 76 0 ( 4,8)( 6, ) 0 4,8 atau 6, Untuk 4,8 maka jari-jari lingkaran O adalah ( ) ( ) r 4,8 +, 4 9 Untuk 6, maka jari-jari lingkaran O adalah ( ) ( ) r 6, +,4 6 4

4 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 05 Sehingga peroleh dua nilai k yaitu, k + atau, k (Jawaban C). Jika sin ( 5 ) sin ( + 60 ) + a dengan 0 5, maka nilai adalah. Pembahasan Sebelum menyelesaikan permasalahan tersebut, kita tentukan ( ) a cos + 5. Sehingga, kita dapatkan sin ( + 60 ) sin ( ( + 5 ) + 0 ) ( ) ( ) sin + 5 cos 0 + cos + 5 sin 0 (Jawaban A) ( ) a a + a a + a a ( ). Diketahui a i j k dan b i 4 j. Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh a+ b dan a adalah. Pembahasan Pertama, kita ilustrasikan jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. a+ b + i + 4 j k i 6j k ( ) ( )

5 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 4 Proyeksi ortogonal vektor a+ b pada a adalah 6 ( a+ b) a 9 c. a + + ( ) ( ) Panjang vektor a+ b dapat ditentukan sebagai berikut. a+ b + + Sehingga ( ) ( ) t a+ b c 46 Jadi, luas jajaran genjang yang terbentuk 5 L a t 5 (Tidak ada jawaban) Cara lain Cara ini untuk memastikan bahwa soal nomor memang benar-benar tidak ada jawabannya. Pertama kita tentukan sinus sudut θ, yaitu sudut yang dibentuk oleh a dan a+ b. 6 9 cosθ 5. Sehingga, sinθ Luas segitiga yang dibentuk oleh a dan a+ b adalah 5 L a sin 46 5 a + b θ 46. Jadi, luas jajaran genjangnya adalah L 5 5 (terbukti)

6 5 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN Pencerminan garis y + terhadap garis y menghasilkan garis. Pembahasan Misalkan ( y, ) sebarang titik pada garis y +, maka bayangan titik tersebut setelah dicerminakan terhadap garis y adalah ' y' 0 y 6 y Sehingga, kita mendapatkan ' dan y 6 y' Selanjutnya kita substitusi dua persamaan tersebut ke persamaan garis yang dicerminakan. 6 y' ' + y' ' + 4 Jadi, bayangan garis tersebut adalah y + 4. (Jawaban A) 5. Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4, titik P terletak pada segmen AF sehingga PF AP. Titik Q adalah titik potong garis GP dan bidang ABCD. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara garis GQ dan garis DA maka nilai cosα adalah. Pada soal nomor 5, garis akan berpotongan dengan garis karena kedua garis tersebut terletak pada bidang dan, terlihat jelas, tidak sejajar.

7 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 6 Pembahasan Pertama, kita perhatikan dua segitiga PFG dan PAQ. Karena garis FG dan AQ tegak lurus dengan bidang ABFE maka FG PF dan AG PF. Sehingga PFG PAQ. Selain itu, FPG APQ (bertolak belakang). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa dengan PAQ. PFG sebangun Selanjutnya kita tentukan panjang PF dan PA. Karena AF merupakan diagonal sisi kubus, maka AF 4. Sedangkan PF AP, maka kita mendapatkan 4 AP 4. + Dengan menggunakan kesebangunan, AQ AP AP 4 AQ. FG PF AP Dengan menerapkan Teorema Pythagoras, 4 PQ AP + AQ + 7. Sehingga, AQ cosα. PQ 7 7 (Jawaban D)

8 7 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN Suku banyak p( ) ( a) 7 ( b) 6 ( ) oleh ( ) + + habis dibagi a + b + ab. Jika a b, a 4, maka b. Pembahasan Perhatikan bahwa ( ) ( )( ) a b ab a b + +. Sehingga a dan b merupakan pembuat nol ( + ) +. Jika suku banyak ( ) a b ab bentuk aljabar tersebut, maka 6 ( ) ( ) ( ) p habis dibagi p a a b + a 0 (6.) 7 ( ) ( ) ( ) p b b a + b 0 (6.) Persamaan (6.) dapat ditulis kembali menjadi ( a b) 6 a (6.) Teorema Sisa menyatakan: Jika suku banyak dibagi maka siwa pembagiannya adalah. Persamaan (6.) di atas kita substitusikan ke persamaan (6.) untuk mendapatkan ( b a) 7 ( b ) + 0 ( ( )) 7 a b + b 0 ( a b)( a b) 6 + b 0 ( )( ) a b a + b 0 a + a + b ab + b 0 (Jawaban D) 4b ab a+ a b ( 4 a) b a+ a a+ a 4 a 7. Nilai c yang memenuhi ( ) ( + + c) ( ) ( + 8) adalah. 0,008 < 0,09

9 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 8 Pembahasan Permasalahan di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. ( ) ( 0, c) ( ) ( 8 < 0,09 + ) ( ) ( 0, c) ( ) ( 4 6 < 0, + ) c + + > 0 6 4c > 0 c > Syarat agar suatu fungsi kuadrat definit positif adalah dan. Agar bentuk + 8+ c 8 selalu positif, maka diskriminannya haruslah negatif, D < 0. ( )( c ) < c + < c < 0 (Jawaban E) c 96 > 8 8. Jika, adalah akar-akar mana 5 log +, maka a. Pembahasan Perhatikan bahwa, ( ) a a 0 ( ) a a 0 + di Definisi logaritma:. Sehingga, 55 ± a, 5. Atau dengan kata lain, 55 ± a. 5, log

10 9 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 05 Padahal diketahui bahwa kita mendapatkan 5 log +. Oleh karena itu, log a a log (Jawaban C) 9. Nilai lim Pembahasan lim ( 5 )( + ) ( 5 )( + ) lim adalah. ( ) 5 4 log 5 log a 5 log 4 4 a 6 ( 5 + )( 5 )( + ) + lim 5 ( + ) ( 5 + )( ) (Jawaban E) Jika u, u, u, adalah barisan geometri yang memenuhi u u6, dan u u4 y, maka y. Pembahasan y u u ar ar ar ar u u 6 4 ar ar 5 ( r ) ( r ) Salah satu teknik faktorisasi aljabar: dan.

11 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 0 ( )( + + ) r r r r (Jawaban C) ( r)( + r) r + r + r r + Jika untuk semua dalam, maka turun pada. f sin + + π, π < < π turun pada interval.. Fungsi ( ) Pembahasan Fungsi turun atau naik dapat diidentifikasi melalui turunan pertama fungsi tersebut. Misalkan y f ( ) dan u sin + + π, maka dengan menggunakan aturan rantai kita mendapatkan dy d dy du du d sin cos + u sin cos + sin + + π Fungsi turun ketika turunan pertamanya kurang dari nol (negatif). Karena penyebut dari turunan pertama fungsi f selalu positif, maka untuk menjadi negatif pembilang dari turunan pertama tersebut haruslah negatif. sin cos + < 0 sin < Sehingga selesaian pertidaksamaan di atas adalah 5π π < <, 7 π π 9π π < <, dan < <. (Jawaban A). Pada interval, luas daerah di bawah kurva y 4 dan di atas garis y k sama dengan luas daerah

12 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 05 di atas kurva adalah. y 4 dan di bawah garis y k. Nilai k Pembahasan Dengan mudah kita tahu bahwa 0< k < 4 dan titik potong grafik ( 4 k, k ) dan ( 4 k, k) y 4 dan y k. Sehingga, 4 k ( k ) d ( 4 ) k k d adalah ( 4 ) k 0 4 k ( k 4) 4 k (Jawaban B). Banyak kurva 6 k + 4 k 4 k ( ) ( ) A k k 6 8 By + 0 dengan A dan B dua bilangan berbeda yang dipilih dari {, 0,,, 4} adalah.

13 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 Permutasi digunakan ketika urutan diperhitungkan. Pada soal nomor, grafik dan akan berbeda dengan grafik dan. Pembahasan Jika A 0 maka berapapun nilai B akan menghasilkan grafik yang sama. Begitu juga jika B 0 maka berapapun nilai A akan menghasilkan grafik yang sama. Sehingga hanya ada dua kemungkinan kurva yang dapat dibentuk untuk A 0 atau B 0. Selanjutnya kita perhitungkan kemungkinan jika nilai A 0 dan B 0. Untuk nilai-nilai tersebut, semua grafiknya akan berbeda karena grafik A By + 0 By + 0 A A By + 0 berbeda, serta kemungkinan grafiknya adalah dan By + 0 A dan juga akan berbeda. Sehingga banyaknya 4 4! P. Jadi, 4! ( ) banyaknya semua kemungkinan kurvanya adalah + 4. (Jawaban B) 4. Tiga kelas masing-masing terdiri atas 0 siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/6. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah. Pembahasan Misalkan ketiga kelas tersebut adalah Kelas A, Kelas B, dan Kelas C, Kelas A terdiri atas laki-laki saja, banyaknya siswa laki-laki kelas B adalah b dan banyaknya siswa laki-laki kelas C adalah c. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/6, maka 0 b c bc 75 Pada dua bilangan cacah kurang dari atau sama dengan 0 yang hasil kalinya sama dengan 75 hanyalah 7 dan 5. Sehingga b 7 dan c 5, atau sebaliknya. Terdapat dua kemungkinan terpilihnya dua laki-laki dan satu perempuan, yaitu siswa perempuan yang terpilih

14 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 05 tersebut berasal dari Kelas B atau Kelas C. Sehingga peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah P( A ) (Jawaban B) ( 0 b) c b ( 0 c) c bc 0b bc ( ) 0 b + c bc Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f ( ) + + untuk. Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah f '0 ( ). Rasio deret geometri tersebut adalah. Pembahasan Pertama kita tentukan titik-titik puncak fungsi f dengan menggunakan turunan pertama. f '( ) ( )( ) + 0 Sehingga, atau ( ) ( ) f + ( ) +, dan f ( ) ( ) + ( ) +. Diperoleh titik-titik puncaknya adalah,,. dan ( ) Selanjutnya kita tentukan titik-titik ujungnya. Ujung kiri sama dengan titik puncaknya, sehingga kita tinggal menentukan ujung kanannya. Hati-hati, tidak semua titik yang turunan pertamanya sama dengan nol,, merupakan titik puncak. Contoh fungsi titik puncak fungsi tersebut. pada tetapi bukan titik

15 Soal dan Pembasan Matematika SBMPTN 05 4 ( ) ( ) f + ( ) +. Sehingga titik ujung yang sebelah kanan adalah Jadi, nilai maksimum fungsi f adalah.,. Jumlah deret geometri tak hingga dirumuskan dengan: dengan suku awal dan rasio,. Karena deret geometri tak hingga yang diberikan mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f maka a r. Selain itu, u u f '0 ( ) ( ) ar a 0 ( ) + a( r ) 4 a 4 r Dengan mensubstitusi nilai a di atas ke persamaan jumlah deret, didapatkan 4 a r ( r)( r) r 4 r+ ( r r ) 4 0 r r 0 r 4r+ Sehingga kita mendapatkan r, ( ) ( )( ) ( ) ± 4 ± (Jawaban A)