PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA DIMAS HARI SANTOSO

Transkripsi

1 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA DIMAS HARI SANOSO DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 008

2 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA DIMAS HARI SANOSO G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 008

3 ABSRAC DIMAS HARI SANOSO. Modeling he Exchange Rae of Rupiah o US Dollar wih he Previous ime Model of he Hidden Markov ime Series. Under supervision of BERLIAN SEIAWAY and N. K. KUHA ARDANA. he exchange rae of Rupiah o US dollar can be happened anyime in a long period. he exchange ha was happened migh happen again in he fuure. If he cause canno be observed direcly and i formed a Markov chain, hen he exchange rae of Rupiah o US dollar can be modeled wih he hidden Markov ime series model. he model which discussed in his hesis is he previous ime model of he hidden Markov ime series where he presen exchange rae of Rupiah o US Dollar besides depends on he previous ime exchange rae of Rupiah o US Dollar, also depends on he presen cause facor and he previous ime. Parameers of he model esimaed by using he maximum likelihood mehod wih EM ieraive algorihm. We use Mahemaica 6 sofware o simplify he parameers esimaing process. Afer esimaing parameer, we calculaed he nex exchange rae of Rupiah o US dollar. From he resul, he previous ime model of he hidden Markov ime series could be used o model he exchange rae of Rupiah o US dollar. his could be seen from maximum and minimum errors which were 807,6963 (5,6773 % and 0,934 (0, 003 %.

4 ABSRAK DIMAS HARI SANOSO. Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Sau Waku Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SEIAWAY dan N. K. KUHA ARDANA. Perubahan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dapa eradi kapan saa dalam suau periode waku yang panang dan perubahan yang eradi mungkin eradi kembali di masa mendaang. Jika penyebab keadiannya idak diamai secara langsung dan membenuk ranai Markov maka perubahan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dapa dimodelkan dengan dere waku Hidden Markov. Model yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya di mana nilai ukar Rupiah saa ini selain berganung pada nilai ukar Rupiah sau waku sebelumnya, uga berganung pada fakor penyebab saa ini dan sau waku sebelumnya. Parameer model diduga menggunakan meode Maximum Likelihood dan perhiungannya digunakan algorima ieraif Expecaion Maximizaion (EM. Unuk mempermudah proses pendugaan parameer, proses kompuasi numerik dilakukan dengan menggunakan sofware Mahemaica 6. Seelah penduga parameer didapakan maka dapa dihiung nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar yang akan daang. Dari hasil yang diperoleh, model dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya dapa memodelkan perubahan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dengan sanga baik. Ini diliha dari nilai gala maksimum adalah 807,6963 (5,6773 % dan nilai gala minimum adalah 0,934 (0,003 %.

5 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA Skripsi sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Sarana Sains pada Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Oleh: DIMAS HARI SANOSO G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 008

6 Judul : Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Sau Waku Sebelumnya Nama : Dimas Hari Sanoso NRP : G Menyeuui: Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Berlian Seiaway, MS NIP Ir. N. K. Kuha Ardana, M.Sc NIP Mengeahui: Dekan Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Dr. Drh. Hasim, DEA NIP anggal Lulus:..

7 KAA PENGANAR Alhamdulillah, pui syukur penulis ucapkan kepada Allah SW aas segala karunia-nya sehingga penulis akhirnya dapa menyelesaikan karya ilmiah yang berudul Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Sau Waku Sebelumnya. Karya ilmiah ini penulis persembahkan unuk kedua orang ua ercina, kakak-kakak Saya besera seluruh keluarga besar, dan saudari Wahyu Dwi Puri yang elah memberikan dukungan yang luar biasa (eruama dorongan semanga dan moivasi sehingga karya ilmiah ini akhirnya dapa erselesaikan. erima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang elah memberikan banuan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Kepada Ibu Berlian Seiaway aas kesabaran sera bimbingannya dan Bapak N.K. Kuha Ardana aas banuannya selama proses penyusunan karya ilmiah ini. Bapak I Wayan Mangku aas kesediaannya menadi dosen pengui dalam sidang karya ilmiah penulis. Dan uga kepada Mahnuri, Shifa, sera Firi aas kesediaannya menadi pembahas dalam seminar penulis. ak lupa penulis ingin mengucapkan erima kasih kepada rekan-rekan Maemaika angkaan 40 aas persahabaan yang iada akhir, eman-eman Maemaika angkaan 4 dan seluruh civias Maemaika IPB yang idak dapa penulis sebukan sau persau. erima kasih uga penulis ucapkan kepada Bapak Budi Suseyo, Bapak Hadi Sumarno, Abdillah, besera rekan-rekan pengaar LBB EKNOS Genius Yasmin. Keerbaasan penulis menyebabkan karya ilmiah ini masih auh dari kesempurnaan. Semoga karya ilmiah ini dapa bermanfaa bagi kia semua, amin. Bogor, Januari 008 Dimas Hari Sanoso

8 RIWAYA PENULIS Penulis lahir pada anggal 0 Desember 985 di Jakara sebagai anak ke-4 dari 4 bersaudara dari pasangan Sudarsono dan Sulasri. ahun 003 penulis memulai pendidikan Sarana di Deparemen Maemaika IPB melalui alur USMI seelah sebelumnya menyelesaikan pendidikan di SMA Negeri 38 Jakara pada ahun yang sama. Selama menalani kuliah penulis uga sempa akif dalam organisasi sera iku ambil bagian dalam kegiaan mahasiswa seperi GUMAIKA (Gugus Mahasiswa Maemaika , sera MIPA SPOR OURNAMEN ahun 005 dan 006. Sempa menadi asisen dosen maa kuliah Kalkulus dan guru priva bagi mahasiswa sebelum akhirnya akif sebagai pengaar maemaika di bimbingan belaar dan sekolah-sekolah hingga sekarang.

9 DAFAR ISI Halaman DAFAR GAMBAR DAFAR LAMPIRAN PENDAHULUAN Laar Belakang uuan LANDASAN EORI... Ruang Conoh, Keadian dan Peluang... Peubah Acak dan Sebarannya... Nilai Harapan... Ranai Markov... Algorima Expecaion Maximum... MODEL HIDDEN MARKOV MODEL DERE WAKU HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA... PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR... SIMPULAN.. DAFAR PUSAKA... viii viii

10 DAFAR GAMBAR Grafik Perubahan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per Bulan Grafik Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Halaman 3 4 DAFAR LAMPIRAN Fungsi Likelihood yang ak urun Buki Lemma Ergodic Buki Persamaan (35 sampai dengan (38 abel Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Program unuk Mencari Parameer Menggunakan Sofware Mahemaica 6 Oupu Parameer yang Didapakan Halaman

11 PENDAHULUAN Laar Belakang Menduga dan meramal sae yang idak bisa diamai secara langsung dari suau keadian ekonomi adalah pening. Pemerinah melalui bank senral dan para regulaor dapa menggunakan informasi enang nilai pasar, seperi nilai ukar maa uang yang diharapkan pada sae yang idak bisa diamai menyangku bidang ekonomi sebagai acuan unuk membua pokok kebiakan dan kepuusan, sebagai conoh, memuuskan kebiakan moneer. Perubahan nilai ukar maa uang merupakan suau keadian yang bisa eradi kapan saa dalam periode waku yang panang. Dengan asumsi perubahan yang eradi pada waku yang lalu mungkin eradi kembali di masa mendaang, sehingga hal ini merupakan suau proses sokasik. Fakor penyebab keadian (sae ersebu dapa berkembang menuru model ranai Markov di mana sae yang akan daang hanya dipengaruhi oleh sae sekarang dan bebas erhadap sae yang lalu. Jika penyebab keadian idak diamai secara langsung (hidden dan membenuk ranai Markov maka pasangan keadian dan penyebabnya dapa dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM. Menghilangnya para invesor dari Indonesia selama eradinya krisis keuangan dalam kurun waku ahun , menyisakan banyak permasalahan idak hanya di bidang ekonomi api uga pada sekor perdagangan dan pariwisaa. Dengan kondisi poliik, sosial, dan keamanan yang sudah mulai kondusif, sanga pening sekali bagi pemerinah unuk menarik para invesor luar dan dalam negeri kembali menanamkan modal mereka di negeri ini. Ramalan nilai ukar maa uang Rupiah erhadap US Dollar merupakan suau informasi pening yang dapa digunakan pemerinah unuk menenukan kebiakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisaa. Fakor uama penyebab melemahnya nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar anara lain insabilias poliik, sosial, ekonomi, dan keamanan. Namun keadian-keadian ini idak diamai secara langsung (hidden. Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model dere waku Hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. Dalam dere waku Hidden Markov, keadian yang diamai selain diamai oleh fakor penyebab keadian, uga dipengaruhi oleh keadian sebelumnya. Dalam model ini akan dicari penduga parameer yang akan memaksimumkan peluang eradinya suau keadian. Meode Maximum Likelihood dan algorima Expecaion Maximum adalah meode yang digunakan unuk pendugaan parameer ersebu. Seelah pendugaan parameer yang memaksimumkan peluang eradinya suau keadian didapakan, maka diharapkan dapa dilakukan suau penarikan kesimpulan yang opimal dan peramalan sae. uuan uuan dari karya ilmiah ini adalah: Mempelaari dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya besera penduga parameernya. Menggunakan dere waku Hidden Markov dalam masalah nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. LANDASAN EORI Ruang Conoh, Keadian dan Peluang Definisi (Percobaan Acak Suau percobaan yang dapa diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari percobaan ini idak dapa diebak dengan epa namun dapa dikeahui semua kemungkinan hasilnya disebu percobaan acak. [Ross, 996] Definisi (Ruang Conoh dan Keadian Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suau percobaan acak disebu ruang conoh, dinoasikan dengan Ω. Suau keadian A adalah himpunan bagian dari Ω. [Grimme dan Sirzaker, 99]

12 Definisi 3 (Medan-σ Medan-σ adalah suau himpunan F yang anggoanya adalah himpunan bagian dari ruang conoh Ω sera memenuhi syara-syara sebagai beriku: a. φ F Jika,,... F maka U Ai F. i= c c. Jika A F maka A F. [Ross, 996] b. A A Definisi 4 (Ukuran Peluang Ukuran peluang P pada (Ω,F adalah fungsi : 0, yang memenuhi: a. P ( φ = 0 P ( Ω =. P F [ ] b. Jika A, A,... F adalah himpunan yang saling lepas, yaiu Ai A = φ unuk seiap pasangan i, di mana i, maka P U Ai = P( Ai. i= i= Pasangan (Ω, F, P disebu ruang peluang. [Grimme dan Sirzaker, 99] eorema (Koninu Absolu Jika v dan µ merupakan dua ukuran peluang pada (Ω,F. Ukuran peluang v dikaakan koninu absolu erhadap ukuran peluang µ ika µ A= 0 maka va= 0, unuk seiap A F. Dinoasikan v µ. [buki liha Royden, 963] eorema (Radon Nikodym Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada ( Ω,F dan P P, maka erdapa peubah acak ak negaif sehingga P( C = dp unuk semua C F. c Dinoasikan dp dp F =. [buki liha Wong dan Haek, 985] Definisi 5 (Peluang Bersyara Jika P ( B > 0 maka peluang bersyara dari keadian A seelah dikeahui keadian B adalah P( A B P( A B =. P( B [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 6 (Keadian Saling Bebas Keadian dikaakan saling bebas ika P ( A B = P( A P( B. Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan A : i I disebu saling bebas ika keadian { } i ( P( I A = P A i= J i i J unuk seiap himpunan bagian berhingga J dari I. [Grimme dan Sirzaker, 99] Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 7 (Peubah Acak Misalkan F adalah medan-σ dariω. Peubah acak X merupakan fungsi X : Ω R ω Ω : X ( ω x F unuk seiap di mana { } x R. [Grimme dan Sirzaker, 99] Peubah acak akan dinoasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak ersebu dinoasikan dengan huruf kecil. Definisi 8 (Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suau fungsi F : R [ 0,] di mana F X ( x = P( X x. [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 9 (Peubah Acak Diskre Peubah acak X dikaakan peubah acak diskre ika nilainya hanya pada himpunan x, x, K dari R. bagian yang erhiung { } [Ross, 996] Definisi 0 (Fungsi Kerapaan Peluang Fungsi kerapaan peluang dari peubah f : R 0, acak diskre X adalah fungsi [ ] di mana PX ( x = P( X = x. [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi (Peubah Acak Koninu Peubah acak X disebu peubah acak koninu ika fungsi sebarannya dapa dinyaakan sebagai F ( x = f ( u du X x unuk suau fungsi f : R (0, yang erinegralkan. Selanunya fungsi f = f X disebu fungsi kepekaan peluang (probabiliy densiy funcion bagi X. [Ross, 996]

13 3 Definisi (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suau fungsi [ 0,] F : R yang didefinisikan oleh F( x, y = P( X x, Y y. [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 3 (Fungsi Sebaran dan Kepekaan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Koninu Peubah acak X dan Y disebu peubah acak koninu yang menyebar bersama ika unuk seiap x, y R fungsi sebaran bersamanya dapa diekspresikan sebagai beriku y x F( x, y = f ( u, v dudv unuk suau fungsi : [ 0,] f R yang erinegralkan. Fungsi f di aas disebu fungsi kepekaan peluang bersama dari peubah acak koninu X dan Y, f ( x, y = F( x, y. x y [Ross, 996] Definisi 4 (Fungsi Kepekaan Peluang Marinal Misalkan X dan Y adalah peubah acak koninu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran F( x, y dan fungsi kepekaan peluang bersama f ( x, y. Fungsi kepekaan peluang marinal dari peubah acak X dan Y adalah beruru-uru f ( x = f ( x, y dy X f ( y = f ( x, y dx. Y [Ross, 996] Definisi 5 (Fungsi Kepekaan Peluang Bersyara Misalkan X dan Y peubah acak koninu dengan fungsi kepekaan peluang marinal fy ( y >0, maka fungsi kepekaan peluang bersyara dari X dengan syara Y = y adalah f X Y f XY ( x, y ( x y =. fy ( y [Grimme dan Sirzaker, 99] Nilai Harapan Definisi 6 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskre Misalkan X adalah peubah acak diskre dengan fungsi kerapaan peluang PX ( x = P( X = x maka nilai harapan dari X adalah E X = xp x [ ] ( x asalkan umlah di aas konvergen mulak. [Hogg dan Craig, 995] Definisi 7 (Nilai Harapan Peubah Acak Koninu Misalkan X adalah peubah acak koninu dengan fungsi kepekaan peluang f X (x maka nilai harapan dari X adalah E X [ X] = xf ( x dx asalkan inegralnya ada. [Hogg dan Craig, 995] Definisi 8 (Nilai Harapan Bersyara Misalkan X dan Y adalah peubah acak koninu dan f X Y ( x y adalah fungsi kepekaan peluang bersyara dari X dengan syara Y = y, maka nilai harapan dari X dengan syara Y = y adalah [ ] E X Y = y = xf ( x y dx. X X Y [Hogg dan Craig, 995] eorema 3 (eorema Dasar Kalkulus Bagian Jika f koninu pada [a,b], maka fungsi g yang didefinisikan oleh x g( x = a f ( d a x b adalah koninu pada [a,b] dan erdiferensialkan pada (a,b dan g x = f x. ( ( [Sewar, 998] Definisi 9 (Himpunan dan Fungsi Konveks Misalkan N S R adalah himpunan vekor. Maka S disebu sebagai himpunan konveks ika unuk semua x, x S dan λ [ 0,] maka ( λ x+ λ x S. Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang erdefinisi pada himpunan konveks S.

14 4 Maka f disebu sebagai fungsi konveks ika f memenuhi persamaan f (( λ x+ λx ( λ f ( x + λ f ( x. [Osborne, 997] eorema 4 (Fungsi Konveks Misalkan f memiliki urunan kedua. f adalah fungsi konveks ika dan hanya ika f ( x 0, x S dan merupakan sricly convex ika f ( x > 0, x S. [buki liha Osborne, 997] eorema 5 (Keaksamaan Jensen Misalkan X R adalah peubah acak Ε X berhingga dan g( x adalah dengan [ ] fungsi konveks. Maka Ε[ g X ] g( Ε [ X] Ranai Markov (. [buki liha Weissein, 999] Definisi 0 (Ruang Sae Misalkan K R merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka K disebu ruang sae. [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi (Proses Sokasik Proses sokasik S = { S, }, adalah suau koleksi (gugus, himpunan, aau kumpulan dari peubah acak yang memeakan suau ruang conoh Ω ke suau ruang sae K. [Ross, 996] Dalam hal ini dianggap sebagai waku dan nilai dari peubah acak S sebagai sae (keadaan dari proses pada waku. Definisi (Ranai Markov Suau proses sokasik S = { S, } disebu ranai Markov ika P( S = s S = s, S = s,..., S = s 0 0 = P( S = s S = s. [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 3 (Ranai Markov dengan Waku Diskre S, = 0,,,..., Proses sokasik { } dengan ruang sae {,,3,..., N }, disebu ranai Markov dengan waku diskre ika unuk seiap { = 0,,,... } berlaku P( S = S = i, S = i,... = P( S = S = i = p i unuk semua kemungkinan nilai dari i, i, i,..., i, i,,,3,..., N. 0 { } [Ross, 996] Jadi unuk suau ranai Markov, sebaran bersyara dari sebarang sae saa ini S denga syara sae yang lalu S0, S, S,..., S dan sae kemarin S adalah bebas erhadap semua sae yang lalu, dan hanya berganung pada sae kemarin. Hal ini disebu sebagai sifa Markov (Markovian Propery. Proses di aas dapa digambarkan sebagai N-sae ranai Markov dengan peluang ransisi { pi} i, =,,3,..., N. Nilai dari p i menyaakan peluang bahwa, ika proses ersebu berada pada sae i, maka berikunya akan beralih ke sae. Karena p i adalah nilai peluang dan proses ersebu harus berransisi, maka i. 0 i,,,3,..., N N p i, unuk { } ii. p =, unuk i {,,3,..., N}. i = Peluang ransisi ini dapa diulis dalam benuk mariks P yang disebu sebagai mariks ransisi. p p L p N p P = p L p ( N pi = N N M M M M p N p N L p NN dengan menyaakan baris dan i menyaakan kolom dari mariks P. Definisi 4 (Mariks ransisi Misalkan { S, 0,,,... } adalah ranai Markov dengan ruang sae{,,3,..., N }. Mariks ransisi P =( pi N N dari peluang ransisi p = P( S = S = i i unuk i { N},,,...,. adalah mariks [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 5 (erakses Peluang bahwa pada waku ke-k proses berada pada sae dengan syara sae awal adalah i dinoasikan dengan p ( k i. Suau sae

15 5 disebu erakses dari sae i (noasi : i, ika minimal ada sebuah bilangan bula k 0 sehingga p ( k i > 0 di mana ( k i p adalah peluang bahwa pada waku ke-k proses berada pada pada sae dengan syara sae awal adalah i. [Ross, 996] Definisi 6 (Berkomunikasi Dua sae i dan dikaakan berkomunikasi (noasi : i, ika sae i dapa diakses dari sae dan sae dapa diakses dari sae i. [Ross, 996] Definisi 7 (Kelas Sae Suau kelas dari sae adalah suau gugus (himpunan ak kosong C sehingga semua pasangan sae yang merupakan anggoa dari C adalah berkomunikasi sau dengan yang lainnya, sera ak ada sae yang merupakan anggoa C yang berkomunikasi dengan suau sae yang bukan anggoa dari C. [Ross, 996] Definisi 8 (Ranai Markov ak ereduksi Ranai Markov disebu ak ereduksi ika hanya erdapa sau kelas sae (sau gugus eruup sae, yaiu ika semua sae berkomunikasi sau dengan yang lainnya. [Ross, 996] Definisi 9 (Firs-Passageime Probabiliy ( n f menyaakan peluang bahwa mulai i dari sae i, proses berransisi unuk perama kali ke sae, eradi pada waku n. Peluang ini disebu firs-passage ime probabiliy. Jadi unuk seiap n=,,3,... ( n i n k f = P( X =, X unuk semua k n X = i, {0,,,...}, dan 0 (0 i f = 0 unuk semua i, {0,,,...}. Selanunya, unuk seiap i, {0,,,...}, kia definisikan f i ( n fi. n= = [Ross, 996] Definisi 30 (Recurren dan ransien Sae i disebu recurren ika f =, dan disebu ransien ika f ii <. ii [Ross, 996] eorema 6 (Recurren dan ransien Sae i adalah recurren ika n= 0 ( n ii p = dan ransien ika n= 0 p ( n ii <. [Ross, 996] Definisi 3 (Periode, Periodik, dan Aperiodik. Suau sae i disebu memiliki periode d ( n ika p ii = 0 unuk semua n yang idak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bula erbesar yang memenuhi sifa ini. Dengan kaa lain, suau sae i disebu memiliki periode d ika d adalah persekuuan pembagi erbesar (he greaes common ( n divisor bagi n sehingga p ii > 0.. Suau sae dengan periode sama dengan sau disebu aperiodik, sedangkan sae dengan periode disebu periodik. [Ross, 996] Definisi 3 (Posiive Recurren dan Null Recurren Suau sae disebu berulang posiif (posiive recurren ika sae ersebu adalah berulang (recurren sera berlaku : ika proses dimulai dari sae i maka nilai harapan dari waku sampai proses ersebu kembali ke sae i adalah bilangan erhingga (finie. Sae recurren yang idak idak posiive recurren disebu null recurren. [Ross, 996] Definisi 33 (Ergodic Ranai Markov dengan posiive recurren dan aperiodik disebu ergodic. [Ross, 996] eorema 7 (Ranai Markov Ergodic ak ereduksi Unuk ranai Markov ergodic ak ( ereduksi lim p n i ada dan nilainya ak n erganung dari i. ( n π = lim pi, n π adalah solusi unik ak negaif dari N π = π p i i= N π =. = [buki liha Ross, 996]

16 6 Definisi 34 (Vekor Peluang Seady Sae Vekor peluang π = { π, π, π3,..., π N}, yang seiap komponennya menyaakan bahwa proses akan beruru-uru berada pada sae,,3,..., N unuk n di mana N P( S = = P( S = S = i P( S = i i= N = p P( S = i = π i i= disebu vekor peluang seady sae aau sebaran seady sae. Karena π adalah vekor peluang, maka harus memenuhi syara bahwa semua unsurnya adalah bilangan ak negaif sera umlah semua unsurnya adalah sama dengan sau. Sebaran seady sae sering uga disebu sebaran sasioner, aau sebaran seimbang (equilibrium disribuion dari ranai Markov yang bersangkuan. [Ross, 996] Algorima Expecaion Maximizaion (EM P, Θ adalah himpunan Misalkan { } ukuran peluang yang erdefinisi pada ( Ω, F dan koninu absolu erhadap P 0. Misalkan Y F. Fungsi Likelihood yang digunakan unuk menghiung penduga parameer berdasarkan informasi Y``adalah dp L( =Ε. Y dp Penduga maksimum likelihood (MLE didefinisikan oleh ˆ arg max L(. Θ Umumnya MLE suli unuk dihiung secara langsung, oleh karena iu algorima Expecaion Maximizaion (EM memberikan suau meode approksimasi berulang (ieraif. Langkah-langkah dalam meode ersebu adalah:. Se nilai awal parameer ˆk dengan k = 0.. Se = ˆk dan hiung Q(, dengan dp Q(, =Ε log. Y dp 3. Cari ˆ arg max Q (, k+ Θ 4. Gani k dengan k+ dan ulangi langkah sampai 4 hingga krieria heninya ercapai. Misalkan g( x = log. Karena urunan x kedua dari g( x selalu posiif g( x = log x = > 0, x> 0 x maka g( x merupakan fungsi konveks. Lemma Berdasarkan keaksamaan Jensen, karena g( x = log merupakan fungsi x konveks maka dapa dihasilkan barisan ˆ, 0, yang merupakan fungsi likelihood { k } yang ak urun yaiu log L( ˆ log L( ˆ Q( ˆ, ˆ. k+ k k+ k Benuk Q(, disebu Pseudo Likelihood bersyara. Buki liha Lampiran. MODEL HIDDEN MARKOV Model Hidden Markov erdiri aas sepasang proses sokasik { S, Y }. S dengan sae {,,..., N} adalah proses penyebab keadian yang idak diamai secara langsung dan membenuk ranai Markov. Sedangkan Y adalah proses observasinya. Karakerisik proses penyebab keadian hanya bisa diamai melalui proses observasinya. Karakerisik model Hidden Markov dicirikan oleh parameer-parameernya yaiu mariks ransisi dari penyebab keadian, sera nilai harapan dan ragam dari proses observasinya. Pada saa maka proses yang diamai normal dengan nilai harapan S berada pada sae ( S =, Y menyebar µ dan ragam σ. Fungsi kerapaan peluang bersyara dari Y dengan syara S = adalah ( y µ f ( y S = ; = exp ( πσ σ dengan =,,..., N. adalah vekor parameer populasi yang memua µ, µ,..., µ N dan σ, σ,..., σ N.

17 7 Peluang ak bersyara proses yang idak diamai S berada pada sae adalah P( S = ; = π ( dengan {,,..., N}. Peluang π, π,..., π N uga ermasuk kedalam parameer populasi, sehingga { µ, µ,..., µ N, σ, σ,..., σn, π, π,..., πn }. Dari persamaan ( dan ( sera definisi fungsi kerapaan peluang bersyara, maka didapakan fungsi kerapaan peluang bersama y dan S =, yaiu f ( y, S = ; = f ( y S = ; P( S = ; π ( y µ = exp σ π σ (3 sehingga berdasarkan eorema Dasar Kalkulus bagian perama didapakan y π ( Y µ P( Y y, S = ; = exp dy σ π σ π ( y µ = exp. (4 σ π σ Fungsi kerapaan peluang marinal ak bersyara dari Y diperoleh dengan menumlahkan f ( y, S = ; unuk semua kemungkinan nilai dari, yaiu : N f ( y ; = f ( y, S = ;. (5 = Karena Y, Y, Y3,..., Y N bebas sokasik idenik maka f ( y, y, y,..., y ; = f ( y ; (6 3 = sehingga fungsi log likelihood unuk menduga parameer populasi adalah L ( = log( f ( y;, f ( y;,..., f ( y ; = log f ( y ;. (7 = Penduga kemungkinan maksimum likelihood ˆ diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (7 dengan kendala π+ π + π π N = dan π 0 unuk =,,..., N. Unuk menyelesaikan masalah ersebu maka digunakan meode Lagrange, yaiu J( = L ( + λ( π π... π N (8 lalu persamaan di aas diurunkan masingmasing erhadap π, µ, dan σ. Berdasarkan persamaan (5, (7, dan (8 diperoleh f ( y ; ( y µ = exp π πσ σ = f ( y S = ; (9 f ( y ; ( ( π y µ y µ = exp µ πσ σ σ ( y µ = P( y, ; S = (0 σ f ( y ; π ( y µ = exp σ σ πσ σ π ( y µ = exp 3 πσ σ = π µ µ + πσ σ σ ( y ( y exp 4 π ( y µ exp πσ σ ( y µ + 4 σ σ ( y µ = P( y, S = ; +. 4 σ σ ( L( = log f ( y ; π π = = f ( y S ;. f ( y ; = ( = L( = log f ( y ; µ µ = ( y µ = P( y, S = ;. = f ( y ; σ L( = log f ( y ; σ σ = P( y, ; ( S = y µ = + 4 = f ( y ; σ σ (3. (4

18 8 Dari definisi peluang bersyara diperoleh P( y, S = ; P( S = y ; = f ( y ; π f ( y S = ; = f ( y ; sehingga f ( y ; P( S = y ; f ( y S = ; =. π (5 Berdasarkan persamaan ( sampai (5, dapa diuliskan L( = log f ( y ; π π = P S y = = π ( = ; (6 L( = log f ( y ; µ µ = ( y µ = P( S = y ; (7 = σ L( = log f ( y ; σ σ = ( y µ = P( S = y ; +. 4 = σ σ (8 Unuk memaksimumkan nilai,, dan µ σ π, maka urunan perama dari persamaan lagrange masing-masing erhadap,, dan µ σ π harus sama dengan 0, yaiu J( P( y, S = ; ( y µ = 0 = 0 µ σ sehingga diperoleh = = f ( y ; P( S = y ; y = µ = P( S = y ; J( = 0 σ diperoleh σ = = J( = 0 π = P( S = y ; ( y µ P( S = y ; = (9 (0 P( S = y ; = λπ ( dari persamaan di aas unuk =,, 3,..., N diperoleh ( P( S = y ; P( S = N y ; = = λ( π π N = ( λ ( = = λ. = λ disubsiusi ke persamaan ( maka P( S = y ; = π = sehingga diperoleh π = P S = y = ( ;. ( MODEL DERE WAKU HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA Pada bab ini akan dibahas model dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya sebagai beriku: di mana: ( Y S Y µ = φ µ + ε (3 S ( ε ~ N 0, σ bebas sokasik idenik, { Y } proses yang diamai dan bernilai skalar, { S } ranai Markov dengan ruang sae {, } S = dan mariks ransisi p p A = di mana p p ( i p = P S = S = i, µ, µ, dan φ adalah konsana real, {,,, } = µ µ φ σ. [Hamilon, 994] Karena Y idak hanya berganung pada S eapi uga pada S, maka agar

19 9 eap memenuhi sifa Markov perlu didefinisikan peubah baru S di mana: S = ika S = dan S = S = ika S = dan S = S = 3 ika S = dan S = S = 4 ika S = dan S =. (4 Lemma S adalah ranai Markov dengan { } ruang sae {,,3,4 } dan mariks ransisi p 0 p 0 p 0 p 0 P=. 0 p 0 p 0 p 0 p Buki liha Lampiran. Selanunya, karena ε ~ N( 0, σ bebas sokasik idenik maka dapa diperoleh fungsi sebaran bagi ε : Fε ( y ( = P ε y y ( 0 ε = exp dε 0 πσ σ ( ε y = exp dε. (5 0 πσ σ Berdasarkan persamaan (5 diperoleh Y : fungsi sebaran bagi { } F ( y = P( Y y Y ( φ ( µ µ ε S S ( ε µ φ ( S µ S = P Y + + y = P y Y y µ φ Y S µ S = Misalkan 0 ( ε exp dε. πσ σ ( S v= y µ φ Y µ S maka v ( ε FY ( y exp = dε 0 πσ σ dan fy ( y ( = FY y y = ( v exp v πσ σ y ( y µ φ ( Y S µ S = πσ = exp σ ( y µ φ ( Y S µ S exp. πσ σ (6 Misalkan Y adalah medan-σ yang dibangun oleh Y, Y, Y3,..., Y. Karena S merupakan ranai Markov 4 sae maka erdapa 4 fungsi kerapaan peluang bagi Y. Kumpulan fungsi kerapaan peluang ersebu 4 dilambangkan dengan dalam vekor ( η. Sehingga diperoleh: f ( y S =, Y -; f ( y S, -; η = Y = f ( y S = 3, Y -; f ( y S = 4, Y -; ( y µ φ ( Y µ exp πσ σ ( y µ φ ( Y µ exp πσ σ =. ( y µ φ ( Y µ exp πσ σ ( y µ φ ( Y µ exp πσ σ (7 Misalkan ( ( ( 3 ( 4 ξ = ( ξ ξ ξ ξ ( melambangkan vekor ( 4 di mana ξ pada vekor merepresenasikan P S = Y ; dan melambangkan { } - perkalian dalam elemen per-elemen, maka ξ η P( S = Y -; f ( y S =, Y -; P( S = Y -; f ( y S =, Y -; = P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; P( S = 4 Y ; f ( y S = 4, Y ; - -

20 0 P( S = Y -; f ( y S =, Y -; P( S -; f ( y S, -; = Y = Y =. P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; P( S = 4 Y -; f ( y S = 4, Y -; (8 Berdasarkan persamaan (8 maka dapa diulis: (, = Y -; P( S = ; f ( y S =, ; P y S = Y Y (9 - - sehingga diperoleh 4 4 ( Y f ( y Y ; = P y, S = ; - - = = ( Y ; (, Y ; = P S = f y S = - - ( Y -; (, Y -; ( Y -; (, Y -; ( 3 Y -; ( 3, Y -; ( 4 Y ; ( 4, Y ; = P S = f y S = + P S = f y S = + P S = f y S = + P S = f y S = ( f ( y Y ; = P y, S = Y ; - - = ( ξ η (30 = (3 di mana = [ ]. Berdasarkan persamaan (9 dan (30 maka dapa diperoleh P y, S = Y ; ( f ( y Y ; ( = Y P( P( y, S =, Y ; P( y,y ; P( S =, y,y ; P( y,y ; P( S y ; P( S ; ( Y ( P y, S, ; P ; = Y ; P y,y ; = = = =,Y = = Y. (3 Sehingga berdasarkan persamaan (9, (30, dan (3 diperoleh P( y, S = Y ; P( S = Y ; = f ( y Y ; ξ η ξ =. (33 ξ η ( ( ξ+ = P( S+ = Y ; 4 = P( S+ = S =, Y ; P( S = Y ; = 4 ( ( = P S + = S =, Y ; ξ = 4 ( = p ξ = ( ( 3 pξ + pξ ( ( 3 pξ pξ ξ+ = + ( ( 4 pξ + pξ ( ( 4 pξ + pξ ( ξ p 0 p 0 ( p 0 p 0 ξ = ( 3 0 p 0 p ξ 0 p 0 p ( 4 ξ = P ξ m ξ+ m = P ξ. (34 Salah sau pendekaan yang dapa digunakan unuk memilih nilai awal bagi ξ adalah dengan membua ξ 0 sama dengan vekor dari peluang ak bersyara π = π π π3 π 4 yang memenuhi sifa ergodic, yaiu: π = P π π+ π + π3+ π 4 = seperi yang erdapa pada Lampiran 3. Penduga kemungkinan maksimum bagi diperoleh dengan memaksimumkan: L( == log f ( y Y ; = - dengan membua urunan perama dari loglikelihood erhadap parameer sama dengan nol, maka diperoleh µ = B( φ B( φ φ + Cφ + D = B y y C y y = ( φ( φ φ ( µ φ + D y + ( φ y φµ = (35 µ = C+ Dφ + E( φ E( φ φ

21 E = ( φ( y φ y Dφ ( y µ φ y + + C y + φ = ( φ y φµ (36 ( y µ ( B+ C + ( y µ ( D+ E ( y µ ( B( y µ D( y µ ( y µ ( C( y µ E( y µ σ = B µ = = [ B+ C+ D+ E] φ µ + (( y (37 ( y C( ( y µ φ ( y µ + D y y + E y (( µ φ ( µ (( µ φ ( y µ. (38 Buki liha Lampiran 4. Karena persamaan (35 sampai (38 ak-linear, maka unuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi digunakan algorima ieraif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: yang. enukan banyaknya daa ( akan diamai sera enukan uga nilai ( y, y, y3,..., y dan mariks ransisi p 0 p 0 p 0 p 0 P=. 0 p 0 p 0 p 0 p. Beri nilai awal bagi yang dilambangkan dengan m = µ, µ, φ, σ. ( ( 3. Cari fungsi kerapaan bersyara bagi y unuk seiap =,,..., dengan cara ( =, Y ; ( =, Y ; ( = 3, Y ; ( = 4, Y ; f y S f y S η = f y S f y S (( y µ φ ( y µ exp πσ σ (( y µ φ ( y µ exp πσ σ =. ( ( y µ φ ( y µ exp πσ σ (( y µ φ ( y µ exp πσ σ 4. Penarikan kesimpulan opimal dan peramalan unuk seiap waku pada conoh dapa diperoleh melalui ierasi: 4. enukan nilai awal bagi ξ yang dilambangkan dengan ξ 0 4. Beri nilai awal i= 4.3 Unuk = i, cari nilai dari f ( y Y ; = ( ξ η ( ( y µ φ ( y µ = P( S = Y ; exp { } πσ σ ( ( y µ φ ( y µ + P( S = Y ; exp { } σ ( ( y µ φ ( y µ { } σ ( ( y µ φ ( y µ { } πσ + P( S = Y ; exp πσ + P( S = Y ; exp πσ σ P( S = Y ; P( S ; = Y ( ξ η ξ = = P( S = 3 Y ; ( ξ η P( S = 4 Y ; P( S+ = Y ; P( S+ = Y ; ξ + = = ξ P P( S+ = 3 Y ; P( S+ = 4 Y ; i= i Ulangi mulai dari langkah 4.3 sop ika =. Lanukan ke 5.

22 5. Misalkan ( m B= P S ( = Y ; m f y Y ; ( ( ( m ( =,Y ; ( m P ( ( S Y ; m ( y Y ; ( m ( =,Y ; ( m P ( ( S 3 Y ; m ( y Y ; ( m ( = 3,Y ; ( m P ( ( S 4 Y ; m ( y Y ; ( m ( = 4,Y ; f y S C = = f f y S D= = f f y S E= = f f y S cari nilai dari: µ = B( φ B( φ φ + Cφ + D = [ B y y C y y = ( φ( φ φ ( µ φ + D( y φ y + φµ µ = C+ Dφ + E( φ E( φ φ = C y y D y y = + E( φ( y φ y φ = ( y µ ( B + C + ( y µ ( D+ E = ( φ + φµ + φ ( µ φ = + + ( y µ ( C( y µ + E( y µ σ = B+ C+ D+ E ( y µ ( B( y µ D( y µ = [ ] B y y = + C y y (( µ φ ( µ (( µ φ ( µ (( µ φ ( µ (( µ φ ( µ + D y y + E y y. 6. Beri nama parameer yang dihasilkan pada langkah 4 dengan m+ = c, c, φ, φ, σ ( ( dan m= 0,,,...,. 7. Cari P yang baru, yaiu: ( ( ( ( ξ ξ = P ξ+ ( ξ + pˆ i = = { } ( ˆ =, = ϒ ; P s s i = ( ˆ = i ϒ ; P s ( =, = Y ; P( S Y ; P( S i S, Y ; S Y ; S i S, Y ; P( S = Y ; P( S = i, S =, Y ; P( S = Y ; P( S = Y ; P( S = i Y ; P( S = S = i; P( S = Y; P S i S = = = = = = = = = ( ( i ξ ξ p = ( ξ i P S N i P S i S = ( = Y ; = ( =, = Y ; [Kim, 994] ( ( i ξ ξ p i ( = ξ pˆ i =. ( ( i N ξ ξ p i ( = = ξ [buki liha Hamilon, 990] 8. Ulangi mulai dari langkah. Sop ika m=. Gunakan parameer yang sudah dihasilkan unuk mencari nilai harapan bagi nilai ukar Rupiah yang akan daang. E [ y S =, Y -; ] ( S ( y = E φ Y µ + ε + µ S =, Y -; S = φ µ + µ. S S Y = E [ y Y -; ] = y f( y Y -; dy N = y P( S = Y -; f( y S =, Y -; dy = N ( = ξ E y S =, Y ;. = [ ] -

23 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR Pada bab ini dibahas pemodelan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. erlebih dahulu akan dibahas mengenai daa inpu yang digunakan sebagai daa observasi pada model. Kemudian dilanukan dengan pemodelan masalah nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. Daa Inpu Nilai ukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini, daa inpu yang digunakan adalah daa raa-raa nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan yang diambil dari sius Daa diambil pada selang waku anara bulan Februari 998 hingga November 007 yang berari erdapa 8 daa observasi (y. Grafik daa disaikan pada Gambar. Pada Gambar, erliha nilai Rupiah per US Dollar meningka sanga aam hingga menembus Rp ,- pada bulan Juli 998. Kemudian di bulan-bulan berikunya Rupiah mengua kembali dan sempa berada pada level erendah Rp ,- sebelum akhirnya berflukuasi pada kisaran Rp ,- hingga Rp..000,- per US Dollar. Meningkanya nilai Rupiah per US Dollar pada perengahan ahun 998 anara lain disebabkan karena insabilias poliik, sosial, dan ekonomi Indonesia pada saa iu Rupiah per US Dollar Waku per Bulan (Februari November 007 Gambar. Grafik Perubahan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per Bulan Sumber: Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Nilai ukar Rupiah adalah suau keadian yang dapa eradi kapan saa dalam suau dere waku yang panang. Penyebabnya anara lain perganian sisem pemerinahan, kondisi keamanan yang idak kondusif, dan masih banyak lagi. Penyebab-penyebab keadian ersebu dapa eradi sewaku-waku dan mungkin saa erulang kembali di masa depan. Misalnya, di waku sebelumnya pemerinah mengeluarkan kebiakan menyangku bidang ekonomi dan memunculkan mosi idak percaya dari masyaraka yang menyebabkan siuasi keamanan di Indonesia saa iu menadi idak kondusif. Akibanya para invesor asing aku unuk menanamkan Dollar mereka di Indonesia sehingga eradilah kenaikan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. Keadiankeadian ini bisa kembali eradi di masa depan api idak dapa dipasikan kurun wakunya. Sehingga besar kemungkinan di waku yang akan daang penyebab keadiannya adalah keadian yang sama ika sebelumnya dikeahui adanya kebiakan dari pemerinah yang memunculkan mosi idak percaya dari masyaraka, akan memiliki nilai peluang yang idak auh berbeda dengan nilai peluang saa iu. Selain iu penyebab keadian nilai ukar uga diasumsikan bersifa Markov. Arinya, meskipun di waku yang lalu pernah eradi banyak keadian yang mempengaruhi nilai ukar Rupiah eapi penyebab perubahan nilai ukar saa ini cukup dipengaruhi oleh penyebab keadian saa iu saa. Jadi karena penyebab keadian nilai ukar Rupiah membenuk suau ranai Markov dan diasumsikan idak diamai secara langsung, maka masalah nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dapa dimodelkan

24 4 menggunakan model Hidden Markov. Proses Y, N yang digunakan adalah observasi { } nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan dan bernilai skalar. Banyaknya daa adalah 8, sedangkan penyebab keadian yang idak diamai secara langsung S, N pada model adalah penyebab { } eradinya perubahan nilai ukar ersebu. Dere Waku Hidden Markov Model Hamilon Hirasawa (007 menggunakan dere waku Hidden Markov model Hamilon unuk menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. Dere waku Hidden Markov Hamilon ersebu berbenuk: Y = c + φ Y + ε S. S Unuk kasus banyaknya penyebab keadian N =, Hirasawa (007 menggunakan nilai awal 0000 / 3 c0 = dan nilai φ 0 = / 4 Sedangkan nilai raaan awal yang digunakan adalah σ = 000. Didapakan nilai akhir dari parameer yang memaksimumkan peluang 9476,549 0, 3733 adalah c=, φ =, dan 44,35 0,8435 σ = 60,7. Nilai dugaan unuk ke-07 adalah 906.5, mendekai nilai sebenarnya yaiu dengan gala sebesar 0,36 % dari nilai sebenarnya. Nilai gala maksimum adalah 38,49 (,66 % dan nilai gala minimum adalah,64 (0,063 %. Nilai dugaan model Hamilon mendekai nilai yang sebenarnya. Hasil pendugaan model dapa diliha pada Gambar. Dere Waku Hidden Markov Sau Waku Sebelumnya Model Hidden Markov yang digunakan adalah: ( Y S Y µ = φ µ + ε S Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai awal 0000 µ = 8000 dan nilai φ awal yang digunakan adalah /0. Sedangkan raaan awal yang digunakan adalah σ = 000. Dengan menggunakan algorima EM, didapakan nilai akhir dari parameer yang memaksimumkan peluang 98,96 adalahµ = 96,66, φ = 0,840756, dan σ = Nilai dugaan unuk ke-8 adalah 937,7994 hampir mendekai nilai yang sebenarnya yaiu dengan gala sebesar 0,330 %. Nilai gala maksimum adalah 807,6963 (5,6773 % dan nilai gala minimum adalah 0,934 (0,003 %. Nilai dugaan model ini mendekai nilai yang sebenarnya. Hasil pendugaan model dapa diliha pada Gambar. Dari Gambar ersebu, erliha bahwa model dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya menduga nilai Rupiah erhadap US Dollar lebih baik daripada model Hidden Markov Hamilon. Rupiah per US Dollar 5.000, , ,00.000,00.000, , , , , , Waku per Bulan (Februari November 007 Nilai Rupiah Nilai Dugaan Model Hamilon Gambar. Grafik Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar

25 5 SIMPULAN Model Hidden Markov dapa digunakan unuk memodelkan masalah perubahan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar. Dalam karya ilmiah ini, digunakan model dere waku Hidden Markov sau waku. Daa yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah raaraa nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan dalam selang waku Februari 998 sampai dengan November 007. Daa digunakan unuk mencari parameer yang akan memaksimumkan peluang. Kompuasi numerik pada karya ilmiah ini dilakukan dengan menggunakan sofware Mahemaica 6. Parameer yang dihasilkan, digunakan unuk mencari nilai harapan dan dugaan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar yang akan daang. Model dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya dapa memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai ukar rupiah erhadap US Dollar. Hal ini erliha dari nilai dugaan yang mendekai nilai sebenarnya. DAFAR PUSAKA Grimme, G. R. dan D. R. Sirzaker. 99. Probabiliy and Random Processes. Ed. ke-. Clarendon Press. Oxford. Hamilon, J. D Analysis of ime Series Subec o Changes in Regime. Journal of Economerics 45: Hamilon, J. D ime Series Analysis. Princeon Universiy Press, New Jersey. Hirasawa Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US dollar menggunakan dere waku hidden markov model Hamilon. Skripsi. Sarana Sains Deparemen Maemaika Fakulas MIPA IPB. Hogg, R. V. dan A.. Craig Inroducion o Mahemaical Saisics. Ed. ke-5. Prenice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Kim, C. J Dynamic Linear Models Wih Markov-swiching. Journal of Economerics 60:-. Ross, S. M Sochasic Process. Ed. ke-. John Wiley & Sons. New York. Royden, H. L Real Analysis. he Macmilan Company. New York. Sewar, J Kalkulus Jilid. Ed. Ke-4. Erlangga. Jakara. Osborne, M. J Concave and convex funcion of many variables. Weissen, E. W Jensen s Inequaliy. aliy.hml. Wong, E. dan B. Haek Sochasic Processes in Engineering Sysems. Springer-Verlag. New York.

26 Dikeahui g( x = log merupakan fungsi konveks. x k dp l Misalkan Λ k = λl, k dengan λl = dp maka aau l= l k Λ = λ, k k l l= = λ λ λ Lλ 3 dp dp 3 k = L dp0 dp dp dp k dp = dp k 0 dp k k = dp k dp dp 0 Gk. Lampiran (Fungsi Likelihood yang ak urun Dengan cara serupa maka sera Sehingga dp k + k+ = dp0 Gk + dp k+ λ k+ = dpˆ dpˆ ( ˆ ( ˆ k + k logl k+ logl k = log Ε0 Y log Ε0 Y dp0 dp0 dp k 7

27 [ k+ Y] [ k Y] [ λ Y] = log Ε log Ε 0 0 = log Ε log k k k+ k = log Ε ˆ k + k k [ λ Y] dpˆ k+ = log Ε ˆ Y. k dp k k Berdasarkan keaksamaan Jensen maka dpˆ dp ˆ k + k+ log Ε ˆ Y Ε ˆ Y k dp k dp k k aau dpˆ log ( ˆ log ( ˆ k+ L k+ L k Ε ˆ Y. k dp k Hasil kedua ruas pada persamaan di aas akan bernilai sama ika dan hanya ika ˆ ˆ k+ = k. 8

28 Karena { } Misalkan S ranai Markov, maka { } p i melambangkan P( S = S = i maka S ranai Markov dengan mariks ransisi ( ( p p p3 p4 p p p3 p 4 P=. p3 p3 p33 p43 p4 p4 p34 p44 ( =, =, S = P( S =, S = P S S p = P S = S = = P S =, S = S =, S = = = P S = S =, S = = P S = S = = p = 0 ( (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( ( =, =, S = P( S =, S = ( ( P S S p3 = P S = S = 3 = P S =, S = S =, S = = = P S = S =, S = = P S = S = 4 = p = 0 ( 4 (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( Lampiran (Buki Lemma 9

29 ( ( ( =, =, = P( S =, S = P S S S p= P S= S = = P S=, S = S =, S = = = P S= S =, S = = P S= S = = p = 0 ( (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( ( =, =, = P( S =, S = ( ( P S S S p3 = P S = S = 3 = P S =, S = S =, S = = = P S = S =, S = = P S = S = 4 = p = 0 ( 4 (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = 3 = 0 ( 3 (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( 0

30 ( ( ( =, =, S = P( S =, S = P S S p3= P S= 3 S = = P S=, S = S =, S = = = P S= S =, S = = P S= S = 33 = p = 0 ( 3 3 (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( ( =, =, S = P( S =, S = ( ( P S S p43 = P S = 3 S = 4 = P S =, S = S =, S = = = P S = S =, S = = P S = S = 4 = p = 0 ( 4 (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( ( =, =, = P( S =, S = ( ( P S S S p4= P S= 4 S = = P S=, S = S =, S = = = P S= S =, S = = P S= S = = p ( (

31 34 = 0 ( 4 3 (,, ( =, =, =, = P( S =, S = P S S S S p = P S = S = = P S = S = S = S = = ( ( ( =, =, = P( S =, S = P S S S p44 = P S = 4 S = 4 = P S =, S = S =, S = 4 = = P S = S =, S = = P S = S = = p ( ( maka diperoleh mariks peluang ransisi p 0 p 0 p 0 p 0 P=. 0 p 0 p 0 p 0 p

32 Dikeahui Jika dikeahui maka berdasarkan keiga persamaan di aas diperoleh: ( p p 3 p p 3 π = π + π π + π = 0 p p 3 p p 3 π = π + π π π + π = 0 3 p p 4 p 3 p 4 π = π + π π π + π = 0 ( 4 p p 4 p p 4 π = π + π π + π = 0 π+ π + π3+ π 4 =. π = P π π + π + π + π = p p P = p 0 0 p 0 0 p 0 p 0 p 0 p Lampiran 3 (Ergodic Solusi unuk persamaan di aas dapa diperoleh dengan menggunakan meode eliminasi Gauss seperi di bawah ini. p 0 p 0 0 E E 0 0 p 5 p E 5E ( E p p p 3( p p 0 p 0 p 0 p p 0 0 p p 0 0 p 0 0 p 0 p 0 p 0 0 p 0 p 0 p 0 p p E 4 5 p 3

33 p p E 5 ( p 3 0 p 0 p 0 p p p p p p p p p p p E 5 4 p p 0 0 p 0 p p p p p p p p ( p p p π 4 = π 4 = p p p p p (A π + π = π = π p p p p π = π p 3 4 p π3 = ( p π 4 p ( ( ( ( p p p p p π3 = ( p p p p p p p π = ( p pp p pp pp p 3 p p p ( p ( p p 4

34 π = ( p p 3 p p π π3 π 4 0 π π3 π 4 p + p = p = + p π = π3 pπ 4 p π = π π ( p 3 4 p ( p ( p pp p π = p p p p p p p p pp p + pp π = p p p p pp + p π = p p (B (C π + π + π + π = π = π π π π = π π π 3 4 ( p p p( p p pp + p p p p p p p π = p p p pp + p pp p pp p p p p p p p p p π = π = p p p + + pp p pp + p pp + p p p 5

35 π = pp p p (D Dari persamaan (A, (B, (C, (D di aas diperoleh π p 0 p 0 p pp + p π p 0 p 0 p p 0 = = π 3 0 p ( 0 p p p π 4 0 p 0 p p p p p ξ pp p p ( p p 6

36 4 4 f ( y Y -; = P y, S = Y -; = P S = Y -; f y S =, Y-; = = ( ( ( ( ( ( ( y µ φ Y µ y µ φ Y µ = P( S = Y -; exp + P( S -; exp = Y πσ σ πσ σ ( ( ( ( ( y µ φ Y µ 3 -; exp ( 4 -; ( 4, -; y µ φ Y µ + P S = Y + P S exp = Y f y S = Y (30 πσ σ πσ σ Berdasarkan persamaaan (30 diperoleh f ( y Y-; + = P( S = Y -; exp µ πσ σ σ (( y π φ( y π ( (( y π φ( y π ( φ (( y π φ( y π ( (( y π φ( y π ( φ + P( S = Y-; exp πσ σ σ (( y π φ( y π + P( S = 3 Y- ; exp πσ σ (( ( ( ( ( (( y ( π φ y π Y f y S Y ( ( ( ( y π φ( y π σ ( ( (( ( ( y y y y = P( S = Y -; f ( y S =, Y -; P S = Y -; f y S =, Y- ; + P S = 3 -; = 3, -;. π φ π φ π φ π φ σ σ σ Lampiran 4 (Buki Persamaan (35 sampai dengan (38 7

37 Jika dikeahui fungsi log-likelihood sebagai beriku Unuk memperoleh nilai µ, µ, φ, dan L( = log f ( y Y ; = - σ yang memaksimumkan dung log-likelihood maka urunan perama dari L ( harus sama dengan nol. L( f ( y Y -; = = 0 µ = f ( y Y-; µ (( y µ φ ( y µ ( φ PS ( = Y -; f ( y S =, Y -; = f ( y Y -; σ (( y µ φ ( y µ ( φ (( y µ φ( y µ PS ( = Y -; f ( y S =, Y -; + PS ( 3 = Y -; f ( y S = 3, Y -; f ( y Y -; σ f ( y Y -; = 0 (( ( ( PS ( = Y -; f ( y S =, Y -; y µ φ y µ φ σ = f ( y Y -; PS ( = Y -; f ( y S =, Y -; (( y µ φ ( y µ ( φ + PS ( = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; (( y µ φ ( y µ f ( y Y -; f ( y Y -; = 0 P( S = Y-; f ( y S =, Y-; y y + = f ( y Y -; ( ( µ φ φµ φ P( S = Y -; f ( y S =, Y -; ( y y + ( + P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; y y + f ( y Y -; f ( y Y -; = 0 µ φ φµ φ µ φ φµ σ ( 8

38 PS ( = Y -; f ( y S =, Y -; φ y φy φ µ + φ φµ = f ( y Y -; (( ( ( ( ( ( P( S = Y -; f ( y S =, Y -; φ y µ φy + φ µ + P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; (( y φy + f ( y Y -; f ( y Y -; = 0 P( S = Y- ; f ( y S =, Y-; φ y φy P( S = Y-; f ( y S =, Y -; φ y µ φy = f ( y Y -; f ( y Y -; ( ( ( + P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; ( y φy + φµ f ( y Y -; = P( S = Y -; f ( y S =, Y -; (( φ µ ( φ φµ + P( S = Y -; f ( y S =, Y -; φ µ = f ( y Y -; f ( y Y -; + P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; µ f ( y Y -; = µ P( S = Y -; f ( y S =, Y -; ( ( + P( S = Y -; f ( y S =, Y -; = f ( y Y -; f ( y Y -; ( φ φ φ φ φµ µ + P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; f ( y Y -; misalkan B= P( S ˆ - ( ˆ - ( ˆ - ( ˆ - ˆ ˆ = Y ; f y S =, Y ; ; C= P S = Y ; f y S =, Y ; ; D= P S = 3 Y -; f y S = 3, Y -; f y ˆ ˆ ˆ Y -; f y Y -; f y Y -; ( ( ( ( ( maka dapa diuliskan B( φ( y φy Cφ ( y µ φy D( y φy φµ µ B ( φ B( φ φ Cφ D + + = + + = =. 9

39 Sehingga diperoleh B y y C y y + D y y + = µ = B( φ B( φ φ + Cφ + D = seperi yang elah diklaim pada persamaan (35. ( φ( φ φ ( µ φ ( φ φµ Berdasarkan persamaan (30 diperoleh f ( y ˆ Y -; (( y µ φ ( y µ ( ( y µ φ ( y µ = P( S = Y -; exp µ πσ σ σ ( ( ( (( y µ φ ( y µ ( (( y µ φ ( y µ ( φ + P( S = 3 Y-; exp πσ σ σ (( y µ φ ( y µ ( µ φ µ ( φ P( S 4 -; exp ( ( y ( y + + = Y πσ σ σ ( ( (( y ˆ ( y ( ( ˆ ( y ( y Y ;, Y ; 3 Y ; 3, Y ; ( µ φ µ ( φ ( ( ( y ˆ ( y 4 Y ; f y S 4, Y ; ( ( = P S = - f y S = - P S = - f y S = - + P S = - = - f ( y Y -; 0 = f ( y Y ; ( ( (( ( ( Y ; f ( y Y ; L = = µ - µ µ φ µ µ φ µ φ σ σ ( ( (( ( ( y y y y P S = Y -; f y S =, Y -; P S 3 = Y -; f y S = 3, Y -; = f y - σ - σ µ φ µ µ φ µ φ σ 30

40 ( ( (( y µ φ ( y µ ( φ Y f y S Y + P S = 4 -; = 4, -; = 0 f ( y Y -; σ ( - ( - (( ( P S = Y ; f y S =, Y ; y y P S = 3 Y -; f y S = 3, Y -; y y σ = f ( y Y -; f ( y Y -; ( ( (( ( ( µ φ µ µ φ µ φ + P( S = 4 Y -; f ( y S = 4, Y -; (( y µ φ ( y µ ( φ = 0 f ( y Y -; P( S = Y -; f ( y S =, Y -; ( y y + P S = 3 Y -; f y S = 3, Y -; y y + = f ( y Y -; f ( y Y -; + P( S = 4 Y -; f ( y S = 4, Y -; ( y µ φy + φµ ( φ = 0 f ( y Y -; ( Y ; ( ( ( ( µ φ φµ µ φ φµ φ ( P( S = Y -; f ( y S =, Y -; (( y φy + φµ µ P( S = 3 Y -; f ( y S = 3, Y -; φ ( y µ φy + φ µ = f ( y Y -; f ( y Y -; + f y - P ( S Y - f ( y S Y - (( φ( y φy ( φ µ ( φ φ µ = 4 ; = 4, ; + = 0 P( S = Y -; f ( y S =, Y -; ( y φy + φµ P S = 3 Y-; f y S = 3, Y -; φ y µ φy = f ( y Y- ; f ( y Y -; + P( S = 4 Y-; f ( y S = 4, Y -; ( φ( y φy f ( y Y -; ( ( ( 3

41 = P( S = Y -; f ( y S =, Y -; µ + P( S = 3 Y- ; f ( y S = 3, Y-; φ µ = f ( y Y-; f ( y Y -; ( 4 Y ; f ( y S 4, Y ; (( ( P S φ φ φ µ + = - = - f ( y Y -; = µ = - = - + = f y - - misalkan P( S Y ; f ( y S, Y ; ( Y ; f ( y Y ; ( Y f ( y S Y (( φ ( φ φ P S + = 4 -; = 4, -; f ( y Y -; ( = 3 Y ; f ( y S = 3, Y ; P S - - ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ Y ;, Y ; ; 3 Y ; 3, Y ; ; 4 Y ; 4, Y -; ( Y ; ( Y ; ( Y ; C= P S = f y S = D= P S = f y S = E= P S = f y S = f y - f y - f y - maka dapa diuliskan C( y φy φµ Dφ ( y µ φy E( φ( y φ y µ C Dφ E( φ E( φ φ + + = + + = = sehingga diperoleh E( φ( y φy Dφ ( y µ φy + C( y φy + φµ = µ = E( φ E( φ φ + Dφ + C = seperi yang elah diklaim pada persamaan (36. Berdasarkan persamaan (30 diperoleh L( f ( y Y ; = = 0 φ = f( y Y ; φ ( ( (( ( ( f( y Y φ ( ( (( ( ( µ φ µ µ µ φ µ µ y y y y y y PS = Y ; f y S =, Y ; + PS ;, ; ( = Y f y S = Y = f y Y ; σ ; σ 3

42 ( ( (( y ( ( ( ( ( µ φ y µ y µ ( y µ φ ( y µ ( y µ + PS = 3 Y ; f y S = 3, Y ; + PS 4 ; 4, ; ( ; = Y f y S = Y f y Y f( y Y ; σ σ = 0 ( ( (( ( ( PS = Y ; f y S =, Y ; y µ φ y µ y µ + PS = Y ; f y S =, Y ; y µ φ y µ y µ σ = f( y Y ; f( y Y ; ( ( (( ( ( + PS ( = 3 Y ; f( y S = 3, Y ; (( y µ φ ( y µ ( y µ + PS ( = 4 Y ; f( y S = 4, Y ; (( y µ φ ( y µ ( y µ f( y Y ; f( y Y ; = 0 ( f( y Y ( PS ( = Y ; f( y S =, Y ; ( y ( y ( y + PS ( = Y ; f( y S =, Y ; ( y ( y ( y = f( y Y ; ; µ µ µ φ µ µ µ φ ( f( y Y ; + PS ( = 3 Y ; f( y S = 3, Y ; ( y µ ( y µ ( y µ f( y Y ; = 0 ( + PS ( = 4 Y ; f( y S = 4, Y ; ( y ( y ( y φ µ µ µ φ P( S = Y ; f ( y S =, Y ; ( y µ ( y µ + P S = Y ; f y S =, Y ; y µ y µ = f ( y Y ; f ( y Y ; ( ( ( ( + P( S = 3 Y ; f ( y S = 3, Y ; ( y µ ( y µ + P( S = 4 Y ; f ( y S 4, Y ; ( y µ ( y µ f ( y Y ; f ( y Y ; = P( S = Y ; f ( y S =, Y ; ( y + P( S = Y ; f ( y S =, Y ; ( y = f ( y Y ; f ( y Y ; µ φ µ φ + P( S = 3 Y ; f ( y S = 3, Y ; ( y µ φ+ P( S ( ( f ( y Y ; f ( y Y ; 4 Y ; f y S 4, Y ; y = = = µ φ 33

43 = φ P( S = Y ; f ( y S =, Y ; ( y µ + P( S = Y ; f ( y S =, Y ; ( y µ = f ( y Y ; f ( y Y ; + P( S = 3 Y ; f ( y S = 3, Y ; ( y µ + P( S = 4 Y ; f ( y S = 4, Y ; ( y µ. f ( y Y ; f ( y Y ; Misalkan B= P( S ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ = Y ; f y S =, Y ; ; C = P S = Y ; f y S =, Y ; f ( y ˆ ; ( ˆ Y f y Y ; D= P( S 3 ˆ ; ( 3, ˆ ; ; ( 4 ˆ ; ( 4, ˆ = Y f y S = Y E= P S = Y f y S = Y ; f ( y ˆ ; ( ˆ Y f y Y ; maka dapa diuliskan B( y µ ( y µ C( y µ ( y µ D( y µ ( y µ E( y µ ( y µ φ [ B( y µ C( y µ D( y µ E( y µ = = = Sehingga diperoleh ( y ˆ µ ( B( y ˆ µ D( y ˆ µ ( y ˆ µ ( C( y ˆ µ E( y ˆ µ ˆ = φ = ( y ˆ µ ( B+ C + ( y ˆ µ ( D+ E = seperi yang elah diklaim pada persamaan (37. (( ( (( y µ φ ( y µ (( ( ( ( ( 3 f ( y Y ; π y ( µ φ y µ y µ φ y µ y µ φ y µ = P S ; ( exp ( ; exp = Y πσ P S + = Y 4 σ σ πσ σ σ ( (( ( 3 π ( ( y ( + P S = Y ; ( πσ µ φ y µ y µ φ y µ exp P( S + = Y ; exp 4 σ πσ σ σ 34

44 (( ( (( y µ φ ( y µ (( ( ( ( ( 3 π y ( µ φ y µ y µ φ y µ y µ φ y µ + P S = 3 Y ; ( πσ exp P( S 3 ; exp + = Y 4 σ πσ σ σ ( (( ( 3 π ( 4 ( y µ φ ( y µ y µ φ y µ + P S = Y ; ( πσ exp + P S 4 ( = Y ; exp 4 σ πσ σ σ (( ( (( ( ( ( ( f ( y Y ; y µ φ y µ y µ φ y µ π y µ φ y µ = P( S ; exp ( ; exp = Y P S + = Y 4 σ ( πσ πσ σ πσ σ σ ( ( (( ( ( y µ φ ( y µ ( y µ φ ( y µ π y µ φ y µ P( S = Y ; exp P( S ; exp + = Y 4 ( πσ πσ σ πσ σ σ (( µ φ ( µ π y y y P( S = 3 Y ; exp P( S 3 ; exp + = Y ( πσ πσ σ πσ (( ( (( y µ φ( y µ (( y µ φ ( y µ (( µ φ ( y µ ( ( y µ φ ( y µ 4 σ σ (( ( ( ( ( y µ φ y µ y µ φ y µ π y µ φ y µ P( S = 4 Y ; exp P( S 4 ; exp + = Y 4 ( πσ πσ σ πσ σ σ = P( S = Y ; exp πσ + 4 σ σ σ (( y µ φ ( y µ (( y µ φ ( y µ + P( S = Y ; exp πσ + 4 σ σ σ (( y µ φ ( y µ (( y µ φ ( y µ + P( S = 3 Y ; exp πσ + σ 4 σ σ 35