PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA ARDY KRESNA CRENATA G

Transkripsi

1 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV EMPA WAKU SEBELUMNYA ARDY KRESNA CRENAA G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABSRAK ARDY KRESNA CRENAA. Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SEIAWAY dan N.K. KUHA ARDANA. Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika mengalami perubahan seiap wakunya dalam periode yang panang dan perubahan yang eradi saa ini dimungkin eradi lagi di masa yang akan daang. Jika penyebab keadiannya idak diamai secara langsung dan membenuk suau ranai Markov, maka perubahan nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dapa dimodelkan dengan model hidden Markov. Unuk menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika, dalam karya ilmiah ini digunakan model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya. Model ini mengasumsikan bahwa nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika berganung pada ranai Markov yang merupakan penyebab keadian yang idak diamai dan berganung uga pada nilai ukar Rupiah empa waku sebelumnya. Parameer model diduga dengan menggunakan meode Maximum Likelihood dan dalam perhiungannya digunakan algorima ieraif Expecaion Maximizaion (EM). Unuk memudahkan proses pendugaan parameer, proses kompuasi numerik dilakukan dengan menggunakan sofware Mahemaica 7. Dengan diperolehnya parameer model, dapa dihiung dugaan nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika. Beriku ini hasil yang diperoleh: Symmeric Mean Absolue Percenage Error (SMAPE),%, gala absolu maksimum 9,6%, gala absolu minimum 0,0036%, hanya,95% dari persenase gala absolu yang ada berada di aas 0%. Hasil ersebu menunukkan bahwa model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya ini dapa merepresenasikan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dengan baik.

3 ABSRAC ARDY KRESNA CRENAA. Modeling he Exchange Rae of Rupiah o US Dollar Using Four Previous ime in Hidden Markov ime Series. Under supervision of BERLIAN SEIAWAY and N.K. KUHA ARDANA. he exchange rae of Rupiah o US Dollar flucuaes according o ime in a long period. An exising exchange rae migh happen again in he fuure. Assume ha he causes of he flucuaion are no observed direcly and form a Markov chain, hen he exchange rae of Rupiah o US Dollar can be modeled by he hidden Markov ime series. In his research, he model used o describe he exchange rae of Rupiah o US Dollar is he four previous ime in hidden Markov ime series. his model assumes ha he exchange rae of Rupiah o US Dollar depends on Markov chain explained by he cause of occurence and he four previous exchange raes of Rupiah o US Dollar. he model parameer is esimaed by using he maximum likelihood mehod, while he esimaion iself is calculaed using he expecaion maximizaion algorihm, which is implemened using Mahemaica. Afer esimaing he parameer, he exchange rae of Rupiah o US Dollar are calculaed. he resuls are as follows. he symmeric mean absolue percenage error (SMAPE) is,%, he maximum absolue error is 9,6%, he minimum absolue error is 0,0036%, and only,95% of he whole absolue percenage error ha is bigger han 0%. hese resuls show ha he four previous ime in hidden Markov ime series can describe he exchange rae of Rupiah o US Dollar very well.

4 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV EMPA WAKU SEBELUMNYA ARDY KRESNA CRENAA G Skripsi sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Sarana Sains pada Deparemen Maemaika DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul : Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya Nama : Ardy Kresna Crenaa NIM : G Menyeuui, Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Berlian Seiaway, MS. Ir. N.K. Kuha Ardhana, MSc. NIP NIP Mengeahui, Keua Deparemen Maemaika Dr. Berlian Seiaway, MS. NIP anggal Lulus:

6 KAA PENGANAR Hampir empa ahun waku yang dibuuhkan unuk menyelesaikan ugas akhir ini. Sesuau yang fanasis enunya, menginga banyak orang beranggapan saya mampu menyelesaikannya dalam waku kurang dari sau ahun saa. Bagi saya sendiri, seuurnya, waku empa ahun ini erlalu lama dan saya banyak mengalami kerugian karenanya. Namun, keerlambaan ini bukanlah anpa alasan, idak eradi begiu saa, dan bukan sesuau yang ak bisa diperanggungawabkan. Meskipun sanga waar banyak yang ak bisa menerima benuk peranggungawaban saya, saya eap ak ingin erlalu menyesali apa yang elah eradi dan menganggapnya semaa proses unuk membenuk diri saya yang sekarang. Empa ahun, waku yang erlalu lama unuk menyelesaikan ugas akhir sebagai mahasiswa sarana, namun barangkali masih erlalu singka unuk menadi seorang penulis profesional dan menyelesaikan sebuah buku dengan kualias yang diakui para penulis profesional lainnya, dan saya elah melakukan yang kedua. Jadi, di sau sisi saya memina maaf karena erlalu lamanya waku yang saya buuhkan unuk menyelesaikan ugas akhir ini enu merusak raaan waku kelulusan mahasiswa Deparemen Maemaika, namun di sisi lain saya dengan bangga mempersembahkan kepada Deparemen Maemaika sesuau yang barangkali sebelumnya ak pernah erbayangkan akan ada: sebuah kumpulan cerpen, pemenang Sayembara Buku Indie 0, Pendamping. Aas selesainya ugas akhir ini, uga rampung dan erbinya kumpulan cerpen ersebu, saya harus menyebu beberapa nama sebagai penghormaan dan ungkapan erima kasih. Kepada Fisca Ambarsari Silalahi yang sudah selalu menemani dan mengingakan saya unuk menyelesaikan ugas akhir ini, yang uga sudah selalu memberikan kepada saya inspirasi dan enaga unuk erus menulis dan melakukan hal-hal posiif lainnya, erima kasih. Kepada kedua orangua saya yang sudah mengorbankan banyak hal yang saya ahu sesungguhnya di luar yang mereka rencanakan dan siapkan, erima kasih. Kepada adik-adik saya yang sudah merelakan perhaian dan maeri yang semesinya milik mereka diberikan kepada saya, erima kasih. Kepada Popi Puspiasari yang sudah beberapa kali menadi orang yang mengingakan bahwa saya erlalu berharga unuk kalah dan menyerah, erima kasih. Kepada kedua dosen pembimbing saya, Ibu Berlian Seiaway dan Bapak N.K. Kuha Ardana, yang sudah sanga bersabar menghadapi keegoisan dan kekanak-kanakan saya, yang sudah sanga membanu dan memoivasi, erima kasih. Kepada eman-eman di Saungkuring yang menemani waku-waku saya seiap harinya, erima kasih. Kepada Faramia Anggraeni yang sudah sewaku-waku menampung kegelisahan dan kesedihan saya, uga kemarahan saya, erima kasih. Kepada Bapak I Gusi Puu Purnaba yang sudah bersedia menadi dosen pengui luar, erima kasih. Kepada Ibu Farida Hanum yang sudah mau-maunya direpokan lagi dan lagi oleh saya, erima kasih. Kepada Bapak Agah Garnadi yang sudah sanga sering mengingakan saya lewa sosial media, erima kasih. Kepada eman-eman lainnya, beberapa dianaranya adalah sahaba, erima kasih. Semoga uhan yang kalian imani membalas kebaikankebaikan kalian dengan kebaikan-kebaikan-nya. Akhirnya, saya hanya bisa berharap semoga ugas akhir ini, karya ilmiah ini, memberikan sesuau yang posiif bagi orang lain naninya, enah dalam wuud apa. Adapun enang kumpulan cerpen saya, semoga bisa memberikan pengerian bahwa hidup adalah memilih sesuau yang membua kia nyaman. Bogor, Okober 0 Ardy Kresna Crenaa

7 RIWAYA HIDUP PENULIS Ardy Kresna Crenaa lahir di Boongpicung, Cianur, pada 6 Desember 986, anak perama dari enam bersaudara, pura dari Endang Suhandi dan Eroh Rohaeni. Pada awalnya ia adalah penyuka eksak dan pemburu penghargaan yang sifanya akademis, sampai akhirnya ia diperemukan dengan sasra dan lamba laun menyukainya. Di usia SMA, ia sempa memenangkan sebuah sayembara penulisan cerpen ingka pelaar se-jawa Bara, uga sebuah sayembara penulisan puisi ingka pelaar se-cianur, lalu beberapa ahun lamanya ia vakum menulis. Ia pun mencoba kembali menadi seorang akademisi. Akan eapi, pada akhirnya, keika kesibukannya sebagai seorang mahasiswa elah banyak berkurang, ia mulai kembali menekuni sasra dan merasakan auh cina unuk kedua kalinya. Sampai saa ini idak banyak media massa yang pernah memua karya-karyanya, api beberapa nama bisa disebu: Koran empo, Pikiran Rakya, Jurnal Nasional, Bali Pos, Koran Sindo, Jurnal Cerpen Indonesia. Ia uga ak banyak memenangkan sayembara penulisan, api beberapa bisa disebu: uara lomba cerpen gelar epang UI 0, uara lomba cerpen mimpi kemudian.com 0, uara lomba cerpen amarah lembaga bhinneka 0, dari 5 pemenang sayembara buku indie 0. Bukunya yang sudah erbi adalah sebuah kumpulan cerpen berudul Pendamping yang ia dedikasikan bagi kekasihnya dan dua cerpenis idolanya: Linda Chrisany dan Aviani Armand. Selain menalani hari-hari sebagai mahasiswa Maemaika di Insiu Peranian Bogor, ia pun bergia di Komunias Wahana elisik Seni-Sasra (WS) dan Komunias Rumah Kaa Bogor. Sau hal yang begiu kua diyakininya adalah bahwa meskipun ia akhirnya memilih alan lain, apa yang selama ini ia empuh elah membenuknya dan membuanya menadi dirinya yang sekarang. Sasra memang berada pada garis yang berbeda dengan Maemaika. api baginya, menempuh alan sasra adalah uga menunukkan bahwa Maemaika iu ada. Seringkali, keika ia berhadapan dengan sebuah karya sasra, ia merasa seperi berhadapan dengan sebuah eorema Maemaika. Baginya, sasra adalah Maemaika, begiu pula sebaliknya.

8 vii DAFAR ISI Halaman DAFAR GAMBAR... viii DAFAR ABEL... viii DAFAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN.... Laar Belakang... uuan... LANDASAN EORI..... Ruang Conoh, Keadian dan Peluang... Peubah Acak dan Fungsi Sebaran... 3 Ranai Markov... 5 Algorime Expecaion Maximizaion (EM)... 7 MODEL HIDDEN MARKOV.. 9 Pengerian Model Hidden Markov dan Karakerisiknya... 9 Penduga Kemungkinan Maksimum dan Algorime EM... 9 MODEL DERE WAKU HIDDEN MARKOV EMPA WAKU SEBELUMNYA... Model Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya... Pendugaan Parameer Model... 6 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV EMPA WAKU SEBELUMNYA... 0 Daa Inpu... 0 Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika... 0 Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya... Perbandingan Dengan Model Dere Waku Hidden Markov iga Waku Sebelumnya... 3 SIMPULAN DAN SARAN... 5 DAFAR PUSAKA... 5

9 viii DAFAR GAMBAR Halaman Gambar. Grafik Perubahan Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika Per Minggu... 0 Gambar. Grafik Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dan Nilai Dugaan Model Dere Waku hidden Markov Empa Waku Sebelumnya... 3 Gambar 3. Persenase Gala dari SMAPE unuk iap Nilai Duga y()... 3 Gambar 4. Gambar 4. Grafik Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya dengan Menggunakan Model Dere Waku Hidden Markov iga Waku Sebelumnya dan Model Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya... 4 DAFAR ABEL Halaman abel. Pengaruh Nilai Awal erhadap Hasil... DAFAR LAMPIRAN Halaman Lampiran : Buki Lema... 7 Lampiran : Nilai Awal bagi ˆ... 9 Lampiran 3: Buki Persamaan (34) sampai dengan (38) Lampiran 4: abel Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya Lampiran 5: Program unuk Mencari Parameer Menggunakan Sofware Mahemaica Lampiran 6: Oupu Parameer yang Diperoleh... 44

10 PENDAHULUAN Laar Belakang Menarik unuk dikeahui bahwa keadaan perekonomian saa ini memiliki kemungkinan unuk erulang di masa depan. Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika misalnya, dengan mengamai dinamika yang eradi selama ini, bisa adi ernyaa memiliki pola yang pada suau waku erulang dengan nyaris sama. Dengan kaa lain, ada peluang hal iu eradi. Adanya peluang ini memungkinkan unuk memodelkan nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dengan suau proses sokasik. Benar aau idaknya pola iu erulang naninya, erganung seberapa epa model yang digunakan. Di dalam karya ilmiah ini, model yang digunakan unuk menunukkan perilaku nilai ukar rupiah erhadap Dollar Amerika adalah model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya. Keadian saa ini, diasumsikan dipengaruhi oleh keadian sau sampai dengan empa waku sebelumnya. Hidden Markov sendiri menandakan bahwa keika suau keadian yang diamai eradi, ada hal-hal yang ak diamai yang menadi penyebab keadian iu eradi. Ide karya ilmiah ini sendiri berasal dari Hamilon (990,994). Unuk memeakan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika saa ini lewa daa sau sampai dengan empa waku sebelumnya, diperlukan penduga parameer. Meode yang digunakan unuk mencari penduga parameer dalam karya ilmiah ini adalah Maximum Likelihood. Perhiungannya sendiri menggunakan algorima Expecaion Maximizaion (EM). Dalam perkembangan lebih lanu, dibua suau program kompuasi unuk mencari parameer yang akan digunakan dalam model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya ini. Sofware yang digunakan adalah Mahemaica 7. Semenara iu, digunakan uga sofware Mahype 5 unuk memudahkan penulisan simbol-simbol maemaika yang ada. uuan uuan dari karya ilmiah ini adalah:. Mengembangkan model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya besera penduga parameernya.. Mengimplemenasikan model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya unuk masalah perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika. 3. Membandingkan hasil yang diperoleh dengan model dere waku hidden Markov iga waku sebelumnya.

11 LANDASAN EORI Ruang Conoh, Keadian, dan Peluang Definisi (Percobaan Acak) Dalam suau percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapa dikeahui, akan eapi hasil pada percobaan berikunya idak dapa diduga dengan epa. Percobaan semacam ini, yang dapa diulang dalam kondisi yang sama, disebu percobaan acak. (Hogg e all 005) Definisi (Ruang Conoh dan Keadian) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suau percobaan acak disebu ruang conoh, dinoasikan dengan. Suau keadian A adalah himpunan bagian dari. (Grimme dan Sirzaker 99) Definisi 3 (Medan- ) Koleksi dari himpunan bagian disebu sebagai medan-σ ika memenuhi syara: a.. b. Jika A, A, maka i A C c. Jika A maka A. (Grimme dan Sirzaker 99) Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah medan-σ dari ruang conoh Ukuran peluang adalah suau fungsi P : [0,] pada yang memenuhi:. P( ) 0, P( ). Jika A, A,... adalah himpunn yang saling lepas yaiu Ai A unuk seiap pasangan i, maka P Ai P( Ai) i i Pasangan,P disebu ruang peluang. (Grimme dan Sirzaker 99) Definisi 5 (Peluang Bersyara) Jika PB ( ) 0, maka peluang bersyara dari keadian A seelah dikeahui keadian B ialah P A B P A B PB. (Grimme dan Sirzaker 99) i. Definisi 6 (Keadian Saling Bebas) Keadian A dan B dikaakan saling bebas ika P( AB) P( A) P( B). Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan keadian A i I disebu saling bebas ika i P Ai P( Ai) ij ij unuk seiap himpunan bagian berhingga I dari J. (Grimme dan Sirzaker 99) Definisi 7 (Hukum Penggandaan) P( A A A... A ) 0, maka Jika 3 n P( A A A... A A ) 3 n n P( A ) P( A A ) P( A A A )... P( A A A A... A ). 3 n 3 Persamaan diaas disebu dengan hukum penggandaan. (Ghahramani 005) Definisi 8 (Hukum oal Peluang) Jika C, C,... C n adalah parisi dari ruang conoh suau percobaan dan PC ( i ) 0 unuk i,,3,..., n, maka unuk sebarang keadian A dari S berlaku n P A P( A Ci) P( Ci). i Persamaan di aas merupakan Hukum oal Peluang. C Misalkan PC ( ) 0 dan PC ( ) 0 maka berdasarkan hukum oal peluang, P( A ) P( A C) P( C) P( A C ) P( C ), dengan C C komplemen dari C. (Ghahramani 005) Definisi 9 (Koninu Absolu) Misalkan dan merupakan ukuran peluang pada (, ). Ukuran peluang dikaakan koninu absolu erhadap ukuran peluang ika berlaku A 0 mengakibakan A 0 unuk seiap A. Dinoasikan v. (Royden 963) eorema (Radon Nikodym) Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada (, ) sehingga unuk seiap B, P B 0 C menyebabkan P B 0, maka erdapa sebuah peubah acak ak negaif C n

12 3 sehingga PC dp C. Dinoasikan. dp dp unuk semua C (Wong dan Haek 985) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 0 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan- dari S. Peubah acak X merupakan fungsi X : S di mana S : X x unuk seiap x. (Ghahramani 005) Definisi (Fungsi Sebaran) Jika X adalah peubah acak, maka fungsi F yang erdefinisi pada (, ) oleh F( ) P( X ) disebu fungsi sebaran dari X. Syara dari fungsi sebaran:. F adalah fungsi ak urun yaiu ika u, maka F( ) F( u).. lim F ( ). 3. lim F ( ) F adalah fungsi koninu kanan yaiu unuk seiap, F( ) F( ). Arinya, ika n adalah barisan yang menurun dari bilangan real yang konvergen ke, maka lim F( ) F( ). n n (Ghahramani 005) Definisi (Peubah Acak Diskre) Misalkan X adalah peubah acak, maka X disebu diskre ika himpunan nilai-nilai yang mungkin unuk X adalah berhingga aau erhiung. (Ghahramani 005) Definisi 3 ( Fungsi Kepadaan Peluang) Fungsi kepadaan peluang p dari suau peubah acak X yang memiliki ruang conoh x, x, x,... adalah fungsi yang memeakan 3 dari ke yang memenuhi syara-syara beriku: a. ( ) 0 x x, x, x,.... px ika 3 b. p( x ) P( X x ) dan px ( ) 0 di mana i ( i 0,,,3...). c. px ( ). i i i i (Ghahramani 005) Definisi 4 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskre) Nilai harapan dari peubah acak diskre X dengan himpunan dari keadian yang mungkin A dan fungsi kepadaan peluang px ( ) didefinisikan sebagai: E( X ) xp( x). xa (Ghahramani 005) Definisi 5 (Varians Peubah Acak Diskre) Misalkan X adalah peubah acak diskre dengan himpunan keadian yang mungkin A. Fungsi kepadaan peluang px ( ) dan EX ( ), maka varians dari X didefinisikan sebagai: Var( X ) ( x ) p( x). X xa (Ghahramani 005) Definisi 6 (Peubah Acak Koninu) Misalkan X adalah peubah acak, X disebu peubah acak koninu ika fungsi sebarannya FX ( x) adalah fungsi yang koninu unuk seiap x. (Hogg e al 005) Definisi 7 (Fungsi Kepekaan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak koninu, f () disebu fungsi kepekaan peluang ika X fungsi sebaran F ( x) didefinisikan X x FX( x) f X( ) d dan memenuhi syara beriku:. f ( ) d. X. Jika f () koninu, maka X 3. Unuk bilangan real a b, maka b P( a X b) fx ( ) d. a F ' ( x) f ( x). 4. P( X x) 0 unuk semua x. (Ghahramani 005) Definisi 8 (Nilai Harapan Peubah Acak Koninu) Jika X adalah peubah acak koninu dan fungsi kepekaan peluang fx ( x), maka nilai harapan dari X didefinisikan E( X ) xf X ( x) dx. X (Ghahramani 005) X

13 4 Definisi 9 (Varians Peubah Acak Koninu) Jika X adalah peubah acak koninu dengan Ex ( ) dan fungsi kepekaan peluang fx ( x ), maka varians dari X didefinisikan sebagai: ( ) X ( ) X( ). Var X x f x dx (Ghahramani 005) Definisi 0 (Fungsi Kepadaan Peluang Bersama) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskre dengan ruang conoh yang sama yaiu S, maka p( x, y) P( X x, Y y) disebu fungsi kepadaan peluang bersama dari X dan Y ika memenuhi syara beriku:. p( x, y) 0.. p( x, y). xs ys (Ghahramani 005) Definisi (Fungsi Kepekaan Peluang Bersama) Misalkan X dan Y adalah peubah acak koninu pada ruang conoh yang sama. Jika fungsi sebarannya didefinisikan x y F ( x, y) f (, ) d d, X, Y X, Y maka f XY, disebu fungsi kepekaan peluang bersama dari X dan Y unuk semua ( xy, ) ika memenuhi syara beriku:. f XY, ( x, y) 0.. Misalkan ruang conoh dari X dan Y adalah, maka f R XY, ( x, y) dx dy. (Hogg e al 005) Definisi (Fungsi Kepadaan Peluang Bersyara) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskre, fungsi kepadaan peluang bersama dari X dan Y adalah p( x, y) sera fungsi massa peluang marinal dari Y adalah py ( y) di mana py ( y) 0, maka fungsi massa peluang dari X dengan syara Y ydidefinisikan pxy ( x y) P( X x Y y) P( X x, Y y) p( x, y). P( Y y) py ( y) (Ghahramani 005) Definisi 3 (Nilai Harapan Bersyara Peubah Acak Diskre) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskre dan misalkan himpunan semua nilai-nilai yang mungkin dari X adalah A, maka nilai harapan dari X dengan syara Y ydidefinisikan oleh:, y p x y E( X Y y) x P( X x Y y). p xa (Ghahramani 005) Definisi 4 (Fungsi Kepekaan Peluang Bersyara) Misalkan X dan Y adalah peubah acak koninu, fungsi kepekaan peluang bersama f XY, ( x, y ) sera fungsi kepekaan peluang marinal dari Y adalah fy ( y ) di mana fy ( y) 0, maka fungsi kepekaan peluang dari X dengan syara Y y didefinisikan sebagai beriku f XY, ( x, y) f XY ( x y) fy ( y). (Ghahramani 005) Definisi 5 (Nilai Harapan Bersyara Peubah Acak Koninu) Misalkan X dan Y adalah peubah acak koninu, maka nilai harapan dari X dengan syara Y y didefinisikan sebagai beriku E( X Y y) xf ( x y) dx. XY (Ghahramani 005) Definisi 6 (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks) N Misalkan S adalah himpunan vekor. Maka S disebu himpunan konveks ika unuk semua x, x' S 0, berlaku x x' S. dan Misalkan f merupakan fungsi yang erdefinisi pada himpunan konveks S, maka f disebu fungsi konveks ika memenuhi persamaan f x x' f x f x'. Y (Osborne 997) eorema Misalkan f fungsi bernilai real yang erdefinisi pada himpunan konveks S. Jika f memiliki urunan kedua, maka f fungsi konveks ika dan hanya ika f x 0, x S. (Hogg e al 005)

14 5 Definisi 7 (Keaksamaan Jensen) Misalkan X adalah peubah acak bernilai real dengan EX ( ) berhingga dan gx ( ) adalah fungsi konveks, maka Eg X g E X. (Hogg e al 005) Ranai Markov Definisi 8 (Ruang Sae) Misalkan K merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka K disebu ruang sae. (Grimme dan Sirzaker 99) Definisi 9 (Proses Sokasik) Proses Sokasik S S, adalah suau koleksi dari sebuah peubah acak yang memeakan suau ruang conoh ke suau ruang sae K. Jadi, unuk seiap pada himpunan indeks, S adalah suau peubah acak. (Ross 996) Dalam hal ini anggap sebagai waku dan nilai dari peubah acak S sebagai sae (keadaan) dari proses pada waku. Definisi 30 (Ranai Markov Dengan Waku Diskre) Misalkan S suau peubah acak. Proses sokasik, 0,,,... sae S dengan ruang 0,,,..., N disebu ranai Markov dengan waku diskre ika unuk seiap 0,,,... berlaku P S S i, S i,... P S S i p i unuk semua kemungkinan nilai dari i, i, i,..., i, i,,3,..., N. 0 dan (Ross 996) Jadi unuk suau ranai Markov, sebaran bersyara dari sebarang sae saa ini S dengan sae yang lalu S0, S, S,..., S dan sae kemarin S adalah bebas erhadap semua sae yang lalu dan hanya berganung pada sae kemarin. Proses di aas dapa digambarkan sebagai N-sae ranai Markov dengan peluang ransisi p dengan i,,,..., N. Nilai dari i peluang ransisi p i menyaakan peluang bahwa ika proses ersebu berada pada sae i maka berikunya akan beralih ke sae. Karena nilai peluang adalah ak negaif dan karena proses ersebu harus mengalami ransisi ke suau sae maka a. p i 0 unuk semua i,,,..., N. b. N p i unuk semua i,,..., N. Peluang ransisi N N dapa diuliskan dalam benuk mariks P yang disebu uga mariks ransisi, yaiu p p N P = pn p NN di mana menandakan baris dan i menandakan kolom dari mariks P. Definisi 3 (Mariks ransisi) Misalkan S, 0,,,... adalah ranai Markov dengan ruang sae,,3,..., N. Mariks ransisi P p i NN adalah mariks dari peluang ransisi p i PS S i unuk i,,,..., N. (Grimme dan Sirzaker 99) Definisi 3 (erakses) Peluang bahwa pada waku ke-k proses berada pada sae dengan syara sae awal adalah i dinoasikan dengan k i. p Suau sae disebu erakses dari sae i (noasi: i ), ika minimal ada sebuah bilangan bula k 0 sehingga k i p 0 di mana k p i adalah peluang bahwa pada waku ke-k proses berada pada sae dengan syara sae awal adalah i. (Ross 996) Definisi 33 (Berkomunikasi) Dua sae i dan dikaakan berkomunikasi (noasi: i ) ika sae i dapa diakses dari sae dan sae dapa diakses dari sae i. (Ross 996)

15 6 Definisi 34 (Kelas Sae) Suau kelas dari sae adalah suau himpunan ak kosong C sehingga semua pasangan sae yang merupakan anggoa dari C adalah berkomunikasi sau dengan yang lainnya, sera idak ada yang merupakan anggoa C yang berkomunikasi dengan suau sae yang bukan anggoa dari C. (Ross 996) Definisi 35 (Ranai Markov ak ereduksi) Ranai Markov disebu ak ereduksi ika hanya erdapa sau kelas sae, yaiu ika semua sae berkomunikasi sau dengan yang lainnya. (Ross 996) Definisi 36 (Firs-Passage ime Probabiliy) n f i merupakan peluang bahwa mulai dari sae i proses berransisi unuk perama kali ke sae eradi pada waku n. peluang ini disebu firs-passage ime probabiliy. Jadi unuk seiap n,,3,... n f i P X n, X k unuk semua k n X i, 0,,,... dan i, 0,,, i i, 0,,,... didefinisikan f f unuk semua Selanunya, unuk seiap i f n n i. (Ross 996) Definisi 37 (Recurren dan ransien) Sae i disebu recurren ika f i, dan disebu ransien ika f i. (Ross 996) eorema 3 (Recurren dan ransien) Sae i adalah recurren ika ransien ika n0 p n ii. n0 p n ii dan (Ross 996) Definisi 38 (Periode, Periodik, dan Aperiodik). Suau sae i disebu memiliki periode d n ika pii 0 unuk semua n yang idak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bula erbesar yang memenuhi sifa ini. Dengan kaa lain, suau sae i disebu memiliki periode d ika d adalah persekuuan pembagi erbesar bagi n n sehingga pii 0.. Suau sae dengan periode sama dengan sau disebu aperiodik, sedangkan sae dengan periode lebih besar dari dua disebu periodik. (Ross 996) Definisi 39 (Posiive Recurren dan Null Recurren) Suau sae disebu berulang posiif (posiive recurren) ika sae ersebu adalah berulang (recurren) sera berlaku: ika proses dimulai dari sae i maka nilai harapan dari waku sampai proses ersebu kembali ke sae i adalah bilangan erhingga (finie). Sae recurren yang idak posiive recurren disebu null recurren. (Ross 996) Definisi 40 (Ergodic) Ranai Markov yang posiive recurren dan aperiodik disebu ergodic. (Ross 996) eorema 4 (Ranai Markov Ergodic ak ereduksi) Unuk Ranai Markov ergodic ak ereduksi lim p n i. n i ada dan nilainya ak erganung pada n i lim p,. n adalah solusi unik ak negaif dari N p dan. i i N (Ross 996) Definisi 4 (Vekor Peluang Seady Sae) Vekor peluang,, 3,..., N yang seiap komponennya menyaakan bahwa proses akan beruru-uru berada pada sae,,4,..., N unuk n di mana N P S P S S i P S i i N i i p P S i disebu vekor peluang seady sae aau sebaran seady sae. Karena adalah vekor peluang, maka harus memenuhi syara bahwa semua unsurnya adalah bilangan ak negaif sera umah semua unsurnya adalah sama dengan sau. Sebaran seady sae sering uga

16 7 disebu sebaran sasioner aau sebaran seimbang (equilibrum disribuion) dari Ranai Markov yang bersangkuan. (Ross 996) Definisi 4 (Symmeric Mean Absolue Percenage Error) Symmeric Mean Absolue Percenage Error (SMAPE) adalah sebuah ukuran keakuraan berdasarkan persenase gala yang biasanya didefinisikan sebagai beriku: n A F SMAPE = n ( A F ) / di mana A adalah daa asli sedangkan F adalah daa duga. Berbeda dengan MAPE (Mean Absolue Percenage Error) yang idak memiliki baas aas maupun baas bawah, SMAPE memiliki keduanya. Kisaran nilai SMAPE berdasarkan rumus di aas berada pada renang 0% hingga 00%. Pada kenyaaannya, kisaran dari 0% hingga 00% dianggap lebih bisa menginerpreasikan keakuraan sesungguhnya, sehingga pada prakeknya rumus di bawah ini lebih sering digunakan: n A F SMAPE = n ( A F) (sumber:hp://en.wikipedia.org/wiki/smape) Algorima Expecaion Maximizaion Misalkan P ; adalah himpunan ukuran peluang yang erdefinisi pada, dan koninu absolu erhadap P 0. Misalkan Y. Fungsi likelihood yang digunakan unuk menghiung penduga parameer berdasarkan informasi Y adalah dp L E0 Y. dp0 Maximum Likelihood Esimaor (MLE) didefinisikan oleh ˆ arg max L. Umumnya MLE suli dihiung secara langsung. Oleh karena iu algorima Expecaion Maximizaion (EM) memberikan suau meode aproksimasi berulang. Langkahlangkah dalam meode ersebu adalah:. Se nilai awal parameer ˆk dengan k 0.. Se dan hiung, dengan ˆk dp, E log Y. dp 3. Cari ˆk arg max arg max,. 4. Gani k dengan k dan ulangi langkah sampai dengan 4 hingga krieria heninya ercapai. g x log x. Karena urunan Misalkan kedua dari gx selalu posiif, g x log x maka 0, x 0, x gx merupakan fungsi konveks. Berdasarkan keaksamaan Jensen, karena log x merupakan fungsi konveks maka dapa dihasilkan barisan ˆ ; 0 k k yang merupakan fungsi likelihood yang ak urun. Lema : log L ˆ ˆ k log L k, Buki: Didefinisikan k k i dengan dp i dp maka k aau k i i, k i, k i 3... k dp dp dp dp 3... dp dp dp dp dp dp i, k 0 k k 0 dp k dp k 0 Dengan cara serupa diperoleh dp k k dp sera sehingga k dp k. 0 k dp k k

17 8 log L ˆ log ˆ k L k dpˆ dpˆ k k log E0 Y log E0 Y dp0 dp0 log E Y log E Y k k E Y 0 0 log log k ˆ k k k k log Eˆ k Y k k dp k log Eˆ Y. k dp k Berdasarkan keaksamaan Jensen diperoleh dp dp k k log E ˆ Y E ˆ log Y k k dp dp k k aau dp log ˆ log ˆ k L k L k E ˆ log Y. k dp k Hasil kedua ruas pada persamaan log L ˆ ˆ k log L k, akan bernilai sama ika dan hanya ika k Benuk, bersyara. ˆ ˆ. disebu Pseudo Likelihood k

18 MODEL HIDDEN MARKOV Pengerian Model Hidden Markov dan Karakerisiknya Model Hidden Markov erdiri dari pasangan sae S yang merupakan penyebab keadian yang idak diamai dan proses observasinya Y. Misalkan S adalah ranai Markov yang idak diamai dengan ruang sae,,3,..., N. Jika S berada pada sae, maka proses yang diamai Y mempunyai sebaran normal N Pasangan S, Y,. disebu model hidden Markov. Fungsi kerapaan peluang dari Y dengan syara peubah acak S bernilai adalah y f y S ; exp () unuk,,..., N. Dalam hal ini adalah vekor dari parameer populasi yang memua,, 3,..., N dan,, 3,..., N. Peubah yang idak diamai S diduga elah dibangkikan oleh beberapa sebaran peluang, di mana peluang ak bersyara S dinoasikan dengan, P S ; unuk,,..., N. () Peluang,, 3,..., N uga ermasuk dalam sehingga didefinisikan sebagai,...,,,...,,,...,. N N N Peluang dari keadian bersama S dan Y yang berada pada inerval cd, dapa diperoleh dengan menginegralkan P y, S ; f y S ; P S ; (3) sehingga dari persamaan (), (), dan (3) diperoleh y P y, S ; exp. (4) Fungsi kerapaan peluang ak bersyara dari Y diperoleh dengan menumlahkan persamaan (4) unuk semua kemungkinan nilai N ;, ;. f y P y S (5) merupakan peubah yang idak Karena S diamai, persamaan (5) merupakan fungsi kerapaan yang relevan unuk menggambarkan daa yang diamai sebenarnya Y. Jika Y bersifa bebas sokasik idenik maka log-likelihood unuk daa yang diamai dapa dihiung dari log f y; f y;... f y ; log f y ;. (6) Penduga kemungkinan maksimum dari diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (6) dengan kendala... N dan 0 unuk,,..., N. Hal ersebu dapa diperoleh dengan menggunakan algorima EM. Seelah diperoleh penduga bagi dapa dikeahui peluang eradinya suau keadian Y sera dapa disimpulkan sae mana yang paling memungkinkan menadi penyebab eradinya suau keadian. Dari definisi peluang bersyara diperoleh P y, S ; PS y; f y ; f f y S ;. y ; (7) Dikeahuinya parameer populasi memungkinkan menggunakan persamaan () dan (5) unuk menghiung persamaan (7) unuk seiap pengamaan Y pada conoh. Hal ini menunukkan bahwa ika diberikan daa yang diamai, maka sae yang paling berpengaruh unuk pengamaan pada waku adalah sae. Penduga Kemungkinan Maksimum dan Algorima EM Penduga maksimum likelihood ˆ dapa diperoleh dengan memaksimumkan log f y ; dengan kendala... N. Unuk menyelesaikan

19 0 permasalahan ini digunakan meode Lagrange sebagai beriku: J... N log f y ;.... Berdasarkan persamaan (8) diperoleh f y ; ( ) y exp f y S ;, N (8) (9) ; ( y ) y f y exp y P y, S ;, (0) f y ( ) ; y exp f y ; y exp 3 y y exp. 4 y y exp 4 y 4 P y, S ;, f f y S;, y ; () y P y, S ;, f y ; (3) y 4 f y ; P y, S ;. (4) Berdasarkan (7), persamaan () sampai dengan (4) bisa diuliskan sebagai: PS y f f y ; PS y ; y ; f ;, y f y ; P S y ; y ; y PS y;, (5) (6) y 4 f y ; f y ; P S y ; y P S y ;. 4 Unuk mencari nilai ˆ ˆ,, dan ˆ (7) yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka urunan perama dari persamaan Lagrange (8) harus sama dengan nol, yaiu J y P S y; 0 y PS y ; PS y ; sehingga diperoleh ˆ Selanunya J 0 4 y ; ˆ P S y. P S y ; ˆ (8) y P S y; 0 y P S y ; 0 y PS y ; PS y ; sehingga diperoleh

20 y PS y ; P S y ; Semenara iu J PS y ; 0 PS y ; 0 P S y ;.. (9) (0) Dari persamaan di aas, unuk,,..., N diperoleh ; ; P S y P S N y N. yang mengakibakan. Jika dimasukkan ke dalam persamaan (0) maka sehingga diperoleh ^ P S y ; ^ PS y;. () PS y; sama dengan sau ika pengamaan berada pada sae dan sama dengan nol ika pengamaan berada pada sae selainnya. Maka penduga raa-raa unuk sae pada persamaan (8) akan sama dengan nilai raa-raa dari y unuk pengamaan yang dikeahui berasal dari sae. Pada kasus yang lebih umum di mana PS y ; berada di anara dan unuk beberapa pengamaan, penduga ˆ adalah bobo raa-raa dari semua pengamaan, di mana bobo unuk seiap pengamaan Y sepadan dengan peluang bahwa pengamaan pada waku elah dibangkikan oleh sae. Kemungkinan lainnya pengamaan berasal dari sae,,bobo yang lebih besar memperlihakan bahwa pengamaan berada pada penduga ˆ. Dengan cara yang sama, ˆ adalah bobo raa-raa kuadra sandar deviasi unuk Y dari ˆ. Karena persamaan (8), (9), dan () ak linear, maka idak mungkin menyelesaikannya secara analiik bagi ˆ sebagai fungsi dari Y, Y,..., Y. Sehingga unuk mencari penduga kemungkinan maksimum akan lebih mudah ika menggunakan alorima ieraif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. MODEL DERE WAKU HIDDEN MARKOV EMPA WAKU SEBELUMNYA Model Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya Pada bab ini akan dibahas model Hidden Markov yang merupakan dere waku dengan benuk sebagai beriku: 3 Y3 4 Y 4 s s Y Y Y s s s 3 4 dengan: N 0, bebas sokasik idenik - -,,,, 3, dan 4 konsana real () - Y proses yang diamai dan bernilai skalar - S ranai Markov dengan ruang sae S, -,,,, 3, 4, p - p P mariks peluang ransisi p p Dalam kasus ini Y idak hanya berganung pada dan eapi uga S S, berganung pada S, S3, dan S. 4 Agar eap memenuhi sifa Markov, perlu didefinisikan peubah baru S dengan keenuan-keenuan sebagai beriku:

21 S, ika S, S, S, S, dan S, ika S, S, S, S, dan S 3, ika dan S, S, S, S3, S 4, ika dan S, S, S, S3, S 5, ika S, S, S, S, dan S ika dan 6, S, S, S, S 3, S ika dan 7, S, S, S, S3, S ika dan 8, S, S, S, S3, S ika dan 9, S, S, S, S3, S ika dan 0, S, S, S, S3, S ika dan, S, S, S, S3, S ika dan, S, S, S, S3, S ika dan 3, S, S, S, S3, S 4, ika dan S, S, S, S3, S 5, ika dan S, S, S, S 3, S 6, ika S, S, S, S, dan S 7, ika S, S, S, S, dan S 8, ika S, S, S, S, dan S 9, ika S, S, S, S, dan S 0, ika S, S, S, S, dan S, ika S, S, S, S, dan S, ika dan S, S, S, S3, S S 3, ika S, S, S, S, dan S 4, ika S, S, S, S, dan S 5, ika S 6, ika S, S, S, S, dan S, S, S, S, dan S 7, ika S, S, S, S, dan S 8, ika S 9, ika S, S, S, S, dan S, S, S, S, dan S 30, ika S, S, S, S, dan S 3, ika S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S, S, S, S, dan 3 S 3, ika S, S, S, S, dan 3 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 (3)

22 3 Lema : S merupakan ranai Markov dengan ruang sae {,,3,4,...,3,3} dan mariks ransisi: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 0 0 P p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Buki liha Lampiran. Selanunya, karena N 0, bagi sebagai beriku: F y P y bebas sokasik idenik maka dapa diperoleh fungsi sebaran 0 y exp d 0 y exp d. 0 Berdasarkan persamaan (4) diperoleh fungsi sebaran bagi Y : F y P Y y Y s s s 3 s4 s s s s s 3 s 4 P Y Y Y Y y P y Y Y Y Y Misalkan s s s 3 3 s 4 4 s v y Y Y Y Y maka 3 4 (4)

23 4 F y d v Y exp 0 dan f y F y Y Y y v v exp y y Y s Y s Y Y s s 3 s4 exp. (6) Misalkan Y adalah medan-σ yang lengkap dan dibangun oleh Y, Y,..., Y. Kumpulan fungsi kerapaan ersebu dalam vekor 3 dilambangkan dengan, sehingga diperoleh: f y S, Y ; f y S, Y ; f y S 3, Y ; y Y Y 3 Y 3 4 Y 4 exp y Y Y 3 Y 3 4 Y 4 exp y Y Y 3 Y 3 4 Y 4 exp dengan penggunaan dan disesuaikan dengan definisi sae di poin (3). Misalkan ˆ melambangkan vekor 3 merepresenasikan P S Y ; dan PS Y ; f y S, Y ; PS Y ; f y S, Y ; P S 3 Y ; f y S 3, Y ; ˆ. ;, ;. (5) (7) di mana elemen ke- pada vekor melambangkan perkalian elemen per elemen, maka Berdasarkan (8), dapa diuliskan: P S Y P y S Y P S Y f y S Y, ;,, ; PY ; PS, Y ;,, Y ; PY ;, ;. P y S P y S Y (8)

24 5 Sehingga diperoleh: f y Y ; ' ˆ 3 ;, ; P S Y f y S Y ;, ; ;, ; PS 3 Y ; f y S 3, Y ; P S Y f y S Y P S Y f y S Y ; P S Y y Y Y Y Y exp ; P S Y y Y Y Y Y exp 3 ; P S Y y Y Y Y Y exp (30) (9) Jika persamaan (9) dibagi dengan persamaan (30) maka diperoleh Py, S Y ; Py, S Y ; PY ; f y Y ; f Y ; f y, Y ; P y, S, Y ; f y, Y ; P S y, Y ; P S Y ;. Sehingga diperoleh P y, S Y ; PS Y ; f y Y ; ˆ ˆ. Fungsi log-likelihood ' ˆ unuk daa yang diamai log f y Y ; f y3 Y ; f y Y ; log f y Y ;. y dapa dihiung dengan cara (3) (3) (33) Salah sau pendekaan yang digunakan unuk memilih nilai awal bagi ˆ membua ˆ 0 memenuhi sifa ergodic, yaiu Lampiran. adalah dengan sama dengan vekor peluang ak bersyara ' 3 3 yang P dan 3, seperi yang erera pada

25 6 Pendugaan Parameer Model Penduga kemungkinan maksimum bagi diperoleh dengan memaksimumkan f y Y log ;. Dengan membua urunan perama dari log-likelihood erhadap parameer sama dengan nol, maka diperoleh: 3 V M ( M ) VM 33 ( M ) ˆ, ˆ, 3 KM 33 3 VM 3 Vu (, ) g(, ) ˆ, 3 V u (, ) 3 Vu4 (, ) g(, ) ^ ˆ 4, 3 V u (, ) Vu (, ) g(, ) Vu3(, ) g(, ) ˆ, ˆ 3 3, 3 V u (, ) V u (, ) 3 3 V g(, ) V. 3 3 Keerangan: PS Y ; f y S, Y ; - V f y Y ; y y y y y g y B y B y B3 3 y 3 B4 4 y 4 B5 - M =,, { , , , -+ +, , -+ +, , -+,-+ + +, -+ +, -+ +, -+, , -+,-+, , + + +, + +, + +, + +,, +,,,0} , + +, +, +,, + +, +, y 8 & 7 4 u (, ) y lainnya 4 & 9 & y 7 0 & 5 8 u(, ) y lainnya & 5 6 & 9 0 & 3 4 & y & & 5 6 & 9 30 u3(, ) y 3 lainnya y 4 unuk ganil u4(, ) y 4 unuk genap Buki liha Lampiran 3.

26 7 Karena persamaan ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ,, 3, 4, dan yang diperoleh ak-linerar, unuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi digunakan algorime ieraif, yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai beriku: Langkah : enukan banyaknya daa () yang akan diamai sera enukan uga nilai y0, y, y,, y dan mariks ransisi p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 0 0 P p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Beri nilai awal bagi ˆ yang dilambangkan dengan ˆ,, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ,. m ˆ ˆ ˆ 3 4 Langkah : Cari fungsi kerapaan peluang bersyara bagi y unuk seiap,,, dengan cara y y y 3 y 3 4 y 4 exp f y S, Y ; y y y 3 y 3 4 y 4 f y S, Y ; exp f y S 3, Y ; y y y 3 y 3 4 y 4 exp Langkah 3: Penarikan kesimpulan opimal dan peramalan unuk seiap waku pada conoh dapa diperoleh melalui ierasi : 3.. enukan nilai awal bagi ˆ yang dilambangkan dengan ˆ Beri nilai awal i

27 Unuk i, cari nilai dari f y Y ; ' ˆ ;, ; ;, ; PS 3 Y ; f y S 3, Y ; P S Y f y S Y P S Y f y S Y P S ˆ Y ; ˆ ˆ ; ˆ P S Y ' ˆ P S 3 ˆ Y ; P S ˆ Y ; ˆ ˆ P S Y ; ˆ P. P S ˆ 3 Y ; i i 3.4. Ulangi mulai dari langkah (3.3). Sop ika Lanukan ke langkah 4. Langkah 4: Misalkan PS Y ; f y S, Y ; V f y Y ; y y y y y g, y B y B y B y B y B, M = { , , , -+ +, , -+ +, , -+,-+ + +, -+ +, -+ +, -+, , -+,-+, , + + +, + +, + +, + +,, +,,,0} , + +, +, +,, + +, +, y 8 & 7 4 u (, ) y lainnya 4 & 9 & y 7 0 & 5 8 u(, ) y lainnya & 5 6 & 9 0 & 3 4 & y & & 5 6 & 9 30 u3(, ) y 3 lainnya y 4 unuk ganil u4(, ) y 4 unuk genap Cari nilai dari ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ,, 3, 4, dan.

28 9 Langkah 5: Beri nama parameer yang dihasilkan pada langkah 4 dengan ˆ m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ,,,,, ˆ. Langkah 6: Cari P yang baru, yaiu: ˆ ˆ '. ˆ ˆ P pˆ i P S, S i Y ; ˆ P S P S, S i Y ; ˆ ˆ Y ; ˆ, PS Y PS Y P S Y P S i Y P S Y P S S i Y P S Y P S S i P S Y pˆ ˆ i pi ˆ ˆ i pi ˆ i N ˆ ˆi pi ˆ ˆ 3 4 Langkah 7: Ulangi mulai dari langkah. Gunakan parameer yang sudah dihasilkan unuk mencari nilai harapan bagi nilai ukar rupiah yang akan daang. E Y S, Y ; 3 4 Y Y Y Y s s s s E Y Y , ; s Y Y S Y s s s s Yˆ E Y Y ; y. f y Y ; dy N y. f y S, Y ; P S Y ; dy N N, ; ; f y S Y P S Y dy ˆ E Y S, Y ;

29 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV EMPA WAKU SEBELUMNYA Daa Inpu Daa inpu y yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika yang diambil dari sius yang diraa-raakan per minggu. Daa diakses pada Mei 0. Daa berkisar anara bulan Febuari 998 hingga April 0. Daa berumlah 58. Grafik daa disaikan pada Gambar. (Liha lampiran 4) y Rp minggu Gambar. Grafik Perubahan Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika Per Minggu Sumber : Sebagaimana yang erliha pada Gambar, nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika cukup sabil di angka 9000-an dari minggu ke-00 dan minggu ke-30, sedangkan di renang waku lainnya mengalami pergerakan yang signifikan. Pergerakan paling drasis ampak eradi di sepuluh minggu perama. Pada saa iu Indonesia sedang dilanda keidaksabilan poliik usai Soeharo auh. Indonesia memasuki era baru secara cepa. Revolusi eradi. Keidaksiapan dari beberapa pihak menyebabkan sekor-sekor erenu mengalami kemunduran yang memprihainkan. Salah saunya adalah sekor perekonomian yang bisa diliha elas pada pergerakan nilai ukar Rupiah erhadap Dollar saa iu. Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika. Perubahan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika secara drasis bisa dipengaruhi oleh beberapa hal anara lain perganian sisem pemerinahan, kondusif idaknya kondisi keamanan, naik-urunnya harga minyak dunia. Hal-hal ersebu bisa saa eradi lagi di suau waku di masa depan dalam kondisi yang serupa yang Akibanya, kondisi perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika pada saa iu sanga mungkin memiliki kemiripan dengan yang pernah eradi. Meskipun idak dapa dikeahui kapan epanya hal iu bisa eradi, namun kemungkinan unuk iu ada. Dengan kaa lain, peluang iu ada. Oleh karena iu, fenomena ini bisa didekai oleh sebuah proses sokasik. Penyebab-penyebab perubahan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika ersebu pada akhirnya idak diadikan obek observasi seperi halnya perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar iu sendiri. Dalam karya ilmiah ini, hal-hal ersebu hanya diyakini sebagai hal-hal yang memberikan pengaruh erhadap daa observasi namun ak cukup pening unuk dielusuri secara spesifik. Dalam

30 karya ilmiah ini, hal-hal ersebu merupakan bagian yang ada namun ak dikemukakan, sesuau yang ersembunyi, hidden, sehingga dengan mengasumsikan bahwa penyebabpenyebab ersebu uga membenuk suau ranai Markov, fenomena ini bisa didekai oleh konsep Hidden Markov. Pada kasus ini,, Y N adalah raa-raa nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika per minggu dan S N adalah penyebab-penyebab, keadian yang ak diamai, sebuah himpunan sae dengan ruang sae yang dalam karya ilmiah ini dibaasi sebanyak. Banyaknya daa observasi sendiri adalah 58. Pendugaan dimulai dengan daa ke-5, sebab daa ke- hingga ke-4 diadikan nilai awal unuk model yang ada. Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya Model hidden Markov yang digunakan adalah: Y s Y Y s Y s s 3 4Y 4 s Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai awal 4548, , 46 yang menyaakan bahwa nilai pada saa penyebab keadian sae e adalah 4.548,6 dan nilai saa e adalah 5.454,46, 0, ,88787 nilai awal bagi adalah, dan 0,8595 0, 983 nilai awal bagi adalah 065,3. Dengan menggunakan algorime EM, didapakan nilai akhir dari parameer yang memaksimumkan 0.05,80 peluang adalah ˆ, 9.345, 6 0, ˆ 0, 7493, dan ˆ 6.44, 76. Nilai 0, ,39089 Symmeric Mean Absolue Percenage Error (SMAPE) yang diperoleh sebesar,%. Nilai gala maksimum absolu adalah 9,6% dan nilai gala minimum absolu adalah 0,0036% (selengkapnya bisa diliha di lampiran 6). Nilai-nilai ini menunukkan bahwa model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya cukup berhasil menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika yang diperoleh dari daa yang ada. Gambaran lebih elas bisa diliha di Gambar. Hasil yang cukup baik ini sesungguhnya sangalah dipengaruhi oleh nilai-nilai awal yang disebukan sebelumnya. Pemberian nilai-nilai awal yang berbeda akan memberikan perubahan pada hasil. Inilah salah sau masalah uama keika mendekai sebuah fenomena dengan model hidden Markov. Dalam karya ilmiah ini, dengan banuan Mahemaica 7, dibua sebuah fungsi unuk membangkikan nilai-nilai awal yang naninya akan erus bergerak (berubah) seiring berambahnya ierasi sebagai beriku: peluangawal n_ : Module a, b, c, SeedRandom n ; a RandomReal ; b RandomReal ; c a, b, a, b nilaiawal n_ : Module a, b, c, d, e, f, g, SeedRandom n ; a RandomReal ; b RandomReal ; c RandomReal ; d RandomReal ; e RandomReal ; f RandomReal ; g a, b, c, d, e, f Nilai n sebagai inpu kedua fungsi ersebu bergerak erus menerus dari hingga didapakan nilai SMAPE yang diinginkan. Seperi elah dielaskan sebelumnya, pemberian nilai-nilai awal ini sanga berpengaruh erhadap hasil. Salah sau indikaor hasil yang diliha adalah SMAPE. Beberapa kasus unuk nilainilai awal erenu besera SMAPE yang mengikuinya bisa diliha pada abel. Semenara iu pada Gambar diampilkan persenase gala unuk iap nilai duga bagi y(), ampak bahwa meskipun ada beberapa persenase gala yang nilainya cukup inggi, namun sebagian besar persenase gala berada pada kisaran 0%. Banyaknya persenase gala yang nilainya di aas 0% hanya 3 aau,95% dari banyaknya persenase gala yang ada (liha lampiran 6). Ini berari sebanyak 5 aau 98,05% persenase gala berada pada kisaran yang baik dan iu merupakan salah sau indikaor lain yang menunukkan bahwa model hidden Markov empa waku sebelumnya berhasil menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dengan baik.

31 n p p GalMax 9,93% 5,6% 9,6% GalMin 0,008% 0,003% 0,0036% MAPE,59%,3%,0% y Rp y Rp y Rp Grafik Nilai ukar IDR-USD minggu minggu Nilai Duga Model Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya abel. Pengaruh Nilai Awal pada Hasil minggu ampak bahwa nilai awal yang berbeda akan berakiba pada MAPE dan grafik yang berbeda. Karena iulah, nilai awal merupakan salah sau fakor krusial dalam sebuah model hidden Markov. Semenara iu, masing-masing grafik menunukkan bahwa diri mereka sebenarnya sudah cukup layak merepresenasikan apa yang diinginkan si model. Adapun dipilihnya grafik pada kolom keiga sebagai hasil bagi karya ilmiah ini adalah karena keakuraan yang melebihi grafik lainnya. Apabila program pencarian nilai awal erus dilanukan, idak menuup kemungkinan diemukan grafik yang memiliki keakuraan yang lebih baik lagi.

32 3 y Rp SMAPE, Nilai ukar IDR-USD Nilai Duga Model Dere Waku Hidden Markov Empa Waku Sebelumnya minggu Gambar. Grafik Nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dan Nilai Dugaan Model Dere waku hidden Markov Empa Waku Sebelumnya. Gambar 3. Persenase Gala dari SMAPE unuk iap Nilai Duga bagi y(), Perbandingan dengan Model Dere Waku Hidden Markov iga Waku Sebelumnya Meskipun model dere waku hidden Markov empa waku sebelumnya sudah bisa melakukan pendugaan nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Amerika dengan baik, namun masih belum lebih baik daripada model dere waku hidden Markov iga waku sebelumnya.