PEMODELAN ALJABAR MAX-PLUS DAN EVALUASI KINERJA JARINGAN ANTRIAN FORK-JOIN TAKSIKLIK DENGAN KAPASITAS PENYANGGA TAKHINGGA INTISARI

Transkripsi

1 Jurnal Maemaa, Vol, No,, 8 PEMODELAN ALJABAR MAX-PLUS DAN EVALUASI KINERJA JARINGAN ANTRIAN FORK-JOIN TAKSIKLIK DENGAN KAPASITAS PENYANGGA TAKHINGGA M ANDY RUDHITO, SRI WAHYUNI, ARI SUPARWANTO, DAN F SUSILO Mahasswa S Maemaa FMIPA UGM an Saff Pengaar FKIP Unversas Sanaa Dharma, Yogyaara, Jurusan Maemaa, FMIPA Unversas Gaah Maa, Yogyaara Jurusan Maemaa, FST Unversas Sanaa Dharma,Yogyaara Emal : ruho@saffusac, swahyun@ugmac, ar_suparwano@yahoocom, fsuslo@saffusac INTISARI Maalah n membahas enang pemoelan an penenuan wau penyelesaan slus cycle) layanan arngan anran for-on asl engan apasas penyangga ahngga, engan menggunaan alabar -plus Hasl pembahasan menunuan bahwa nama arngan anran for-on asl engan apasas penyangga ahngga apa moelan e alam suau persamaan mars aas alabar -plus Dapa unuan pula bahwa wau slus layanan arngan anran merupaan egennla -plus ar mars paa persamaan ersebusfslslflsfslflflsflsflsflsllll Kaa unc: alabar -plus, egennla -plus, arngan anran for-on, wau penyelesaan slus layanan MAX-PLUS ALGEBRA MODELLING AND PERFORMANCE EVALUATION OF QUEUEING NONCYCLIC FORK-JOIN NETWORK WITH INFITE BUFFER CAPACITY M ANDY RUDHITO, SRI WAHYUNI, ARI SUPARWANTO, DAN F SUSILO PhD Suens a Mahemacs Deparmen,FMIPA, UGM an Lecurer a FKIP, Sanaa Dharma Unversy, Yogyaara, Mahemacs Deparmen, FMIPA, Gaah Maa Unversy, Yogyaara Mahemacs Deparmen, FST, Sanaa Dharma Unversy,Yogyaara Emal : ruho@saffusac, swahyun@ugmac, ar_suparwano@yahoocom, fsuslo@saffusac ABSTRACT Ths paper ams o moel an eermne he servce cycle compleon me of noncyclc for-on ueueng newors wh nfne buffer capacy, usng -plus algebra The fnng show ha he ynamcs of he noncyclc for-on ueung newors wh nfne buffer capacy can be moele no a marx euaon over -plus algebra We can also show ha he servce cycle compleon me of ueung newors s a -plus egenvalues of he marx n he euaonsllslslsllsllllllllllllllllllllll Keywors: -plus algebra, -plus egenvalues, for-on ueueng newors, servce cycle compleon me PENDAHULUAN Jarngan for-on merupaan salah sau ssem anran yang memungnan pelanggan cusomer) erpecah mena beberapa bagan, an gabung embal mena sau seelah pelanggan melalu ssem ersebu Ssem seper n banya umpa paa proses prous alam nusr, pengrman pesan alam arngan omunas, an pemrosesan aa alam ssem ompuer mulprosesor Sebaga gambaran alam arngan omunas, pesan erpecah mena pae-pae yang sampaan melalu alur 8 erpsah, emuan gabungan embal uuan arngan ersebu hngga peroleh pesan seper semula Dalam pembahasan arngan anran apa asumsan bahwa apasas penyangga buffer) ahngga aau berhngga Pemoelan nama arngan engan menggunaan alabar -plus apa memberan esrps yang lebh ompa an erpau Baccell e al, 99) D sampng u pemoelan n uga memuahan alam hal ompuas numernya Pemoelan arngan anran engan menggunaan alabar -plus elah mula

2 Ruho, Wahyun, Suparwano, an Suslo 9 bahas alam Krvuln 99, 99, 996a, 996b) Dalam Krvuln 99) elah bahas pemoelan unu anran ens G/G/ Pemoelan an evaluas nera, yang melpu wau ssem pelanggan an wau unggu pelanggan, unu ssem anran anem elah bahas alam Krvuln 99) Dalam leraur ersebu pembahasan secara espls baru bahas unu ssem anran anem engan apasas penyangga ahngga Dalam Krvuln 996a) unu arngan anran for-on asl engan apasas penyangga ahngga elah beran persamaan nama eaaan sae ynamc euaon) secara espls, an ssem anran anem panang sebaga eaan hususnya Persamaan eaaan nam secara espls unu arngan anran for-on asl engan apasas penyangga berhngga elah beran alam Krvuln 996b) Pemoelan yang lauan alam Krvuln 996a, 996b), asumsan bahwa paa wau awal arngan beroperas, penyangga a selalu osong Maalah n aan membahas pemoelan an nera performance) arngan anran for-on asl engan apasas penyangga ahngga, engan ons paa awal arngan beroperas, penyangga alam eaaan osong Pemoelan lauan engan peneaan alabar -plus Knera arngan yang bahas aalah analss wau penyelesaan slus layanan arngan anran aan engan egennlaalabar -plus ALJABAR MAX-PLUS DAN TEORI GRAF Dalam bagan n bahas onsep asar alabar -plus an aannya engan eor graf yang aan gunaan alam pembahasan unu bagan-bagan selanunya Maer lebh lengap apa lha paa Baccell e al 99), Krvuln 996b), an Ruho ) Dberan R : R { } engan R aalah hmpunan semua blangan real an : Paa R efnsan operas beru: a,b R, a b : a, b) an a b : a + b R,, ) merupaan semgelanggang omuaf empoen engan elemen neral an elemen sauan e, yau bahwa a,b R berlau: a b b a, a b) c a b c), a a a b) c a b c), a e a + a + a e a a a v) a b) c a c) b c), a b c) a b) a c) v) a b b a an a a a Lebh lanu R,, ) merupaan semlapangan semfel), yau bahwa R,, ) merupaan semgelanggang semgelanggang) omuaf engan ons unu seap a R erapa a sehngga berlau a a) R : R,, ) sebu engan alabar -plus, yang selanunya cuup ulsan engan R Dalam hal uruan pengoperasan a ana urang a ulsan), operas mempunya proras yang lebh ngg ar paa operas Panga ar elemen x R noasan engan x efnsan sebaga beru: x : an x : x an efnsan pula : an x, :, unu,, Operas an paa R aas apa perluas unu operas-operas mars alam m n R Khususnya unu mars alam R efnsan A B) A B an A B) A B n Defnsan mars E R,, a E ) :, a an mars R, ) : m n unu seap an R,, ) merupaan semgelanggang semrng) empoen engan elemen neral mars an elemen sauan mars E Panga ar mars A nxn R alam alabar -plus efnsan engan A E n an A A A unu,, Selanunya aba sfa empoen operas, unu seap A nxn R berlau E A) E A A Suau graf berarah G efnsan sebaga suau pasangan G V, A) engan V aalah suau hmpunan berhngga aosong yang anggoanya sebu an A aalah suau hmpunan pasangan eruru - Anggoa A sebu busur Suau lnasan alam graf berarah G aalah suau barsan berhngga busur, ),, ),, l, l ) engan,

3 Pemoelan Alabar Max-plus an Evaluas Knera Jarngan Anran For-Jon Tasl engan Kapasas Penyangga Tahngga + ) A unu suau l Ν hmpunan semua blangan asl, an,,, l Unu suau lnasan ρ, panang lnasan ρ efnsan sebaga banya busur yang menyusun ρ an noasan engan ρ Suau lnasan sebu sru a l awal an ahrnya sama Sru elemener aalah sru yang -nya muncul a lebh ar seal, ecual awal yang muncul epa ua al Suau graf berarah G V, A) engan V {,,,, n} aaan erhubung ua a unu seap, V,, erapa suau lnasan ar e Suau graf yang memua sru sebu graf sl, seangan suau graf yang a memua sru sebu graf asl Unu seap graf berarah G V, A) engan n, efnsan suau mars G R, yang sebu engan mars eampngan ar graf berarah G, engan unsur-unsurnya aalah, a, A; G, a, A Dberan graf berarah G V, A) engan V {,,, p} Graf berarah G aaan berbobo a seap busur, A awanan engan suau blangan real A Blangan real A sebu bobo busur,, noasan engan w, Dalam penyaannya engan gambar unu graf berarah berbobo, busur ber label engan bobonya R Defnsan graf preseen ar mars A aalah graf berarah berbobo GA) V, A) engan V {,,, n}, A {, w, ) A } Perhaan sebalnya bahwa unu seap graf berarah berbobo G V, A) selalu apa efnsan suau mars A R, engan w,, a, A A, a, A Jelas bahwa graf berarah berbobo ersebu merupaan graf preseen ar A Dberan graf berarah berbobo G V, A) engan V {,,, n} Bobo suau lnasan ρ l efnsan sebaga umlahan bobo busur-busur yang menyusun ρ Bobo lnasan ρ noasan engan ρ Unu mars A R, bobo suau lnasan lnasan ρ L l alam graf preseen GA) aalah ρ w A, + A, +L + w A l, l Bobo raa-raa lnasan ρ, noasan engan ρ, efnsan sebaga ρ l ρ w Beru beran suau nerpreas alam eor graf unu panga mars A R alam alabar -plus Dberan A R Ja Ν, maa unsur e-s ar mars s,,l n A, +,,L n seap s, Karena A, A aalah A ) A, + L + A, + A, ) A, + L + + A s, A, + L+ s ) unu A, ) s aalah bobo lnasan engan panang engan sebaga awal an s sebaga ahrnya alam GA), maa A ) aalah bobo masmum semua s lnasan alam GA) engan panang, engan sebaga awal an s sebaga ahrnya Ja a aa lnasan engan panang ar e s, maa bobo masmum efnsan sama engan Searang perhaan bobo raa-raa masmum sru elemener, engan masmum ambl aas semua sru elemener alam graf Dberan A R engan graf preseennya G A) V, E ) Bobo masmum ar semua sru engan panang engan sebaga awal an ahr alam GA) ulsan sebaga A ) Masmum ar bobo masmum semua sru engan panang engan sebaga awal an ahr alam GA) aas seluruh aalah A n A ) yang apa ulsan sebaga race ) an raaraanya aalah / ) race A ) Kemuan ambl masmum aas sru engan panang n, yau aas semua sru elemener, peroleh suau rumus unu bobo raa-raa masmum sru elemener alam GA) noasan engan λ A)), sebaga beru: λ A) [/) race A ) ] Suau sru alam graf G sebu sru rs a bobo raa-raanya sama engan bobo raa-raa masmum sru elemener alam G Suau graf yang err ar semua sru rs ar graf G sebu graf rs ar G an noasan engan G c Beru beran efns an eorema yang pembuannya apa lha alam Ruho ) Teorema Baccell, e al, ) Dberan A R Ja semua sru alam GA) mempunya bobo nonposf, maa p p n, A p E A L A n m n

4 Ruho, Wahyun, Suparwano, an Suslo Bu : lha Baccell e al ) aau Ruho ) Berasaran Teorema aas efnsan operas bnang ) unu mars beru n Defns Baccell, eal, ) Dberan A R engan semua sru alam GA) mempunya bobo nonposf Defnsan A * n : E A L A A n+ L an A + : A A * Defns Egennla an egenveor alabar plus) Dberan A R Salar λ R sebu egennla alabar -plus mars A a erapa suau veor v R n engan v n sehngga A v λ v Veor v ersebu sebu egenveor alabar -plus mars A yang bersesuaan engan λ Beru eorema yang memberan essens egennla alabar -plus unu seap A R Teorema Baccell, e al, ) Dberan A R Salar λ A), yau bobo raa-raa masmum sru elemener alam GA), merupaan suau egennla alabar -plus mars A Bu: lha Baccell, e al, ) aau Ruho ) Dalam Ruho ) elasan bahwa a menyusun busur alam sru rs ρ alam GA) *, maa olom e- mars B merupaan egenveor yang bersesuaan engan egennla λ A), engan B λ A) A, an B * E B L B n Beru beran suau eorema yang memberan syara perlu egennlaalabar -plus suau mars Teorema Baccell, eal, ) Dberan A R Ja salar λ R, merupaan egennla alabar -plus mars A, maa λ merupaan bobo raa-raa suau sru alam GA) Dar Teorema an apa smpulan bahwa unu A R, λ A) merupaan egennla alabar -plus masmum mars A Beru beran lema-lema yang aan melanas pembahasan selanunya Lema Ja A R aalah mars eampngan graf berarah asl G, maa A, unu semua > p, engan p aalah panang lnasan erpanang ar G Bu: Perhaan bahwa unu mars eampngan aas, unsur e-s ar mars A s,,, L n A ) A aalah + A + L+ A ),, s, unu seap s, Perhaan bahwa A ) a s an hanya a aa senya sau lnasan engan panang, engan s sebaga awal an sebaga ahrnya Anaan graf berarah aas sl, maa selalu apa bua lnasan paa suau srunya engan panang berapa pun Hal n beraba bahwa A, unu semua,, Ja a graf berarah G aas asl, maa A, unu semua > p, engan p aalah panang lnasan erpanangnya Lema Dberan A R an b R n engan unsur-unsurnya posf aau sama engan Ja graf, engan mars A merupaan mars eampngannya, asl, maa persamaan x A x b mempunya penyelesaan unggal Lebh lanu penyelesaan beran oleh x E A) p b, engan p aalah panang lnasan erpanang alam graf ersebu Bu: Dengan mensubsusan x paa persamaan aas sebanya al > p) peroleh Subsus e- : x A A x b ) b A x A b b A x E A) b Subsus e- : x A x E A A ) b Bu: lha Baccell, e al ) aau Ruho ) Subsus e- : A + x x E A L Mengnga graf aas asl maa unu semua > p, sehngga peroleh A ) b A,

5 Pemoelan Alabar Max-plus an Evaluas Knera Jarngan Anran For-Jon Tasl engan Kapasas Penyangga Tahngga p x E A L A ) b E A) p b Dar proses mencar penenuan penyelesaan aas nampa bahwa penyelesaan ersebu unggal MODEL JARINGAN ANTRIAN FORK-JOIN TAKSIKLIK Pengeran enang arngan anran for-on beru mengu alam Krvuln ) Dperhaan suau arngan engan n pelayan unggal sngle-server) an pelanggan elas unggal sngle-class) Sruur arngan anran n apa nyaaan engan graf berarah asl G N, A) engan busur yang enuan oleh rue ranss pelanggan Unu seap N, efnsan hmpunan penahulu preecessors) an penerus successors) beruru-uru engan P {, A ) an S {, A ) Unu seap N err ar sebuah pelayan an penyangga engan apasas ahngga yang beera engan prnsp Frs-In Frs-Ou FIFO) Paa wau-awal arngan beera asumsan bahwa pelayan bebas pelanggan, penyangga unu semua engan P alam eaaan osong, seangan penyangga yang a mempunya penahulu P ) mempunya ahngga banya pelanggan Operas for paa awal seap al layanan sebuah pelanggan selesa an peroleh beberapa pelanggan baru unu anran berunya Banyanya pelanggan baru yang muncul paa sebanya alam S Pelanggan-pelanggan baru n secara serena mennggalan an menuu - S secara erpsah Operas on paa era saa pelanggan-pelanggan aang e, a hanya menunggu penyangga, eap uga menunggu senya sau pelanggan ar seap P aang Segera seelah pelanggan aang, bersama sau pelanggan ar seap penahulunya, merea bersau mena sau pelanggan an masu alam penyangga alam pelayan berunya Dalam pengoperasan arngan n asumsan bahwa perpnahan pelanggan anar a memerluan wau Msalan a ) menyaaan wau eaangan pelanggan e- paa, ) menyaaan wau eberangaan pelanggan e- paa, an menyaaan lama wau layanan unu pelanggan e- paa pelayan Dasumsan arngan mula beroperas paa nol wau, yau bahwa ) an ) unu semua <,,, n Dnama anran paa apa nyaaan engan ) + a ), + )), ) )), a P φ, a ) P ), a P φ Dengan noas alabar -plus persamaan ) an ) apa ulsan sebaga beru ) a ) ) ) a ), a P φ, ) P,, a P φ ) Msalan ) [ ), ),, n )] T, a) [ a ), a ),, a n )] T an T O n Persamaan ) an ) aas apa ulsan mena ) T a) T ) ) a) G ), 6) engan mars G yang unsur-unsur aalah, a P ; G, unu yang lan Perhaan bahwa G merupaan mars eampngan ar graf suur arngan anran Dar persamaan ) an 6) apa ulsan persamaan ) T G ) T ) ) Teorema 6 Dberan arngan anran for-on a sl engan graf sruur arngannya yang mempunya panang lnasan erpanang p an mars eampngan G Persamaan eaaan espls arngan ersebu aalah ) A) ), 8) engan A) E T G)) p T Bu: Dar hasl paa persamaan ) apa ulsan ) T G) ) T )) Karena G aalah mars eampngan graf asl engan panang lnasan p, maa menuru Lema, G unu semua > p Abanya T G)) unu semua > p Selanunya menuru Lema, persamaan n mempunya penyelesaan ) E T G)) p T )) E T G)) p T ) )) Conoh Jarngan anran for-on asl engan n perlhaan alam Gambar beru

6 Ruho, Wahyun, Suparwano, an Suslo Gambar Mars eampngan ar graf paa arngan aas aalah G Nampa bahwa panang lnasan erpanangnya aalah p Dar persamaan 8) peroleh persamaan eaaan ) A) ), engan A) E T G)) T E T G) T G) ) T ) Msalan lama wau layanan unu pelanggan e- paa pelayan aalah sebaga beru:,,, an, maa peroleh A) 8 6 Sehngga unu, peroleh ) ) ) ) ) 8 6, ) ) ) ) ) Dengan menggunaan program Malab, peroleh perhungan hngga, seper alam Tabel beru EVALUASI KINERJA JARINGAN ANTRIAN Dperhaan wau penunasan slus layanan arngan sebaga barsan slus layanan: slus eperama mula saa wau awal, an berahr segera seelah semua pelayan alam arngan menunasan layanan eperamanya, slus eua berahr segera seelah semua pelayan alam arngan menunasan layanan euanya, an seerusnya Dengan eman wau penunasan slus e- paa aalah ), sehngga wau penunasan slus e- paa arngan apa nyaaan sebaga ) engan ),,, n an,,, Selanunya wau slus layanan arngan apa nyaaan engan: γ )) lm Conoh : Dar hasl alam Conoh paa Tabel nampa bahwa wau penunasan slus e- ar arngan ersebu aalah ) Perhungan secara numer mengena γ ar Conoh, peroleh hasl seper alam Tabel beru Nampa alam conoh n bahwa nla γ )) lm )) lm Dengan menggunaan program Malab apa enuan bahwa egennla alabar -plus masmum mars A aalah λ A) an egenveor yang bersesuaan aalah [ ] T Secara umum sfa yang muncul paa conohconoh aas beran alam eorema beru n Teorema Jarngan anran for-on asl apasas penyangga ahngga, engan persamaan eaaan espls arngan ersebu aalah )

7 Pemoelan Alabar Max-plus an Evaluas Knera Jarngan Anran For-Jon Tasl engan Kapasas Penyangga Tahngga A) ),,,, mempunya wau penunasan slus layanan γ lm )) λ A)), yau egennla -plus masmum mars A) ersebu Bu: Perhaan bahwa ) A) ) A) A-) A) A)) ) Karena alam ulsan n asumsan bahwa A) A) A) an ), maa ) an A ) [ A ), sehngga ] ) { [ A )]} Bobo raa-raa masmum sru elemener alam graf preseen mars A ersebu n λ A) / ) race A ) ), yang merupaan egennla alabar -plus masmum mars A Oleh arena u berlau A v * λ )) v *, unu suau egenveor v * Hal n beraba A ) v * ) A λ A)) v * ), engan v * ) Veor v * ) v * uga merupaan egenveor yang beraan engan egenveor λ A) aas, engan v * ) v * ) Selanunya peroleh bahwa ) [ A ) ] sehngga ) λ A)) λ ) λ )) Dengan eman peroleh bahwa γ lm )) lm λ A )) lm A A)) )) Tabel Hasl Perhungan ) Tabel Hasl Perhungan γ /, 6,6 6, 6,,8,,6,6,,,,8,6, /,,,,,,,,,9,9,9,9,9,9,8

8 Ruho, Wahyun, Suparwano, an Suslo DAFTAR PUSTAKA Bacell, F, e al 99 Synchronzaon an Lneary New Yor: John Wley & Sons Krvuln, NK, 99 Usng Max-Algebra Lnear Moels n he Represenaon of Queueng Sysems Proc h SIAM Conf on Apple Lnear Algebra, Snowbr, AT June -8, 99 6 Krvuln, NK, 99 A Max-Algebra Approach o Moelng an Smulaon of Tanem Queueng Sysems Mahemacal an Compuer Moellng ): Krvuln, NK, 996a The Max-Plus Algebra Approach n Moellng of Queueng Newors Proc 996 SCS Summer Compuer Smulaon Conference SCSC-96) July - The Socey for Compuer Smulaon, 8 9 Krvuln, NK, 996b Max-Plus Algebra Moels of Queueng Newors Proc Inern Worshop WODES 96 Unv of Enburgh, UK Aug 9-, 996 IEEE: Lonon 6 8 Krvuln, NK, Algebrac Moellng an Performance Evaluaon, of Acyclc For- Jon Queueng Newors Avances n Sochasc Smulaon Mehos Brhauser Boson 6 8 Ruho, Any Ssem Lnear Max-Plus Wau-Invaran Tess Magser Maemaa Program Pascasarana Unversas Gaah Maa Yogyaara