BAB III MODUL INJEKTIF

Transkripsi

1 BAB III ODUL INJEKTIF Bab n adalah bab yang palng pentng arena bab n bers mula dar hal-hal dasar mengena modul njet sampa sat-sat stmewanya yang tda dml oleh modul lan yang tda njet, yang merupaan ous pembahasan tugas ahr n. 3.. odul Injet Dalam subbab n dbahas dens dan sat-sat dasar dar modul njet. Selan tu, dbahas pula Krtera Baer yang menyederhanaan rtera suatu modul merupaan modul njet. Dens 3.. Suatu modul E dataan njet ja untu sebarang modul A B dan untu sebarang homomorsma µ : A E, terdapat perluasan µ : B E yang memenuh µ A = µ. A B µ µ E

2 Beberapa contoh modul njet antara lan modul { } modul / atas. odul { } 0, modul atas, dan 0 njet arena untu sebarang modul A B dan sebarang homomorsma µ :A { 0 }, dmana ( a) 0 a A B, dapat dperluas menjad :B { } µ =, untu setap µ 0, dmana µ memetaan seluruh anggota B e 0. Dengan deman, untu setap a A B, µ a = 0 = µ a, sehngga µ A = µ. Sedangan untu modul atas dan modul / atas, enjetannya dapat dtunjuan menggunaan dsblty yang aan dbahas pada subbab selanjutnya. Lemma 3.2. Untu setap modul atas R, I, njet untu setap I I, njet. But ( ). salan A B, maa terdapat pemetaan α : A B. Ambl sebarang homomorsma β : A. Karena terdapat pemetaan j : yang merupaan embeddng dan π : yang merupaan proyes yang salng ners, maa terdapat jβ : A. Karena njet, maa terdapat γ : B yang merupaan perluasan dar jβ d B yang memenuh γα = j β, maa ddapat pemetaan : B π γα = π ( γα ) = π ( j β ) = ( j ) = β = β π γ. Aan dtunjuan π γα = β. π β (asosat) 2

3 α A B β γ j π Karena π γα = β, ta dapat memlh π γ : B yang merupaan perluasan dar β d B yang memenuh π γ A = β.dengan deman, njet, untu setap I. But ( ). salan A B, maa terdapat pemetaan α : A B. Ambl sebarang homomorsma β : A. Karena terdapat pemetaan j : yang merupaan embeddng dan π : yang merupaan proyes yang salng ners, maa terdapat π β : A. Karena njet, maa terdapat pemetaan : B γ yang merupaan perluasan dar π β d B yang memenuh γα = πβ, maa ddapat pemetaan jγ : B. Aan dtunjuan jγα = β. j γα = j ( γα ) = j ( π β ) = ( ) = β = β j π β (asosat) Karena jγα = β, ta dapat memlh jγ : B yang merupaan perluasan dar β d B yang memenuh jγ A = β. Dengan deman njet. I 3

4 α A γ B β j π Abat 3.3. Suu langsung dar modul njet juga njet. But. salan njet. salan pula A B, maa terdapat pemetaan α : A B. Ambl sebarang homomorsma β : A. Terdapat pemetaan j : yang merupaan embeddng dan π : yang merupaan proyes. Karena, maa π :, juga jβ : A. Karena njet, maa terdapat pemetaan γ : B yang merupaan perluasan dar j β d B yang memenuh γα = ddapat pemetaan π γ : B. Aan dtunjuan π γα = β. π γα = π ( γα ) = π ( j β ) = ( j ) = β = β π β (asosat) j β, sehngga Karena π γα = β, ta dapat memlh π γ : B yang merupaan perluasan dar β d B yang memenuh π γ A = β. Dengan deman njet. α A β B γ j π 4

5 Proposs 3.4. salan : N E N dan E sebarang modul. salan juga sebarang homomorsma, maa terdapat perluasan masmal dar d. But. salan perluasan dar d adalah pasangan terurut ( V, g) dengan N V dan g : V E yang memenuh g N { } =. salan S = ( V, g) adalah hmpunan semua perluasan dar d yang terurut parsal dengan ( ) ( urutan V, g V2, g2) ja V V2 dan Lemma Zorn (2.5), aan dtunjuan bahwa 2. S arena N N dan N { } 2. Ambl sebarang (, ) { (, ) } S g V = g. Dengan menggunaan meml elemen masmal. =, sehngga ( N, ) S. L= V g S yang terurut total. Kemudan bentu ( V g ) W = V V g L, maa V W, untu setap, L. Ambl sebarang x W, maa terdapat ( V g ) L sedeman sehngga x V., Densan hw : E dengan h( x) = g ( x). Berdasaran pendensan tersebut, terlhat bahwa h merupaan perluasan dar g, arena hv = g. Aan tetap, h belum tentu terdens dengan ba. Oleh arena tu, selanjutnya aan dtunjuan bahwa h terdens dengan ba. salan terdapat ( ) ( ) V, g, P, g L sedeman sehngga x V W dan x P W, juga ( ) = ( ) dan h( x) = g ( x). Karena (, ),(, ) h x g x p V g P g L yang merupaan hmpunan terurut total, maa terdapat dua asus, yatu ( V g) ( ( Pg, p) ( V, g). Ja ( V g) ( p ( ) = ( ) g x g x Ja ( Pg ) ( ( ) = ( ) g x g x p.., P, g p ) dan, P, gp ), maa x V P dan gp V = g, maa, p V, g ), maa x P V dan g P = g p, maa 5

6 Dar edua asus tersebut ddapat g ( x) g ( x) dengan dar L. p =. Dengan deman, ( ) = ( ) terdens dengan ba, dan (, ) h x g x hw : E Wh merupaan batas atas 3. Karena N V dan V W, maa N W. Selan tu, untu x N, h( x) ( x) =, maa hn =, maa ( Wh, ) S. Berdasaran Lemma Zorn (2.5),, 2, dan 3, maa maa meml perluasan masmal d. S meml elemen masmal, Klam 3.5. salan modul anan atas R. Ambl sebarang x, emudan densan L : R, L : r xr, untu setap r R. Untu sebarang submodul V, prapeta dar V, maa x x < x { } L V = x V = r Rxr V R merupaan. 2. x V deal anan R dan x V x V = R. But (). Karena V subgrup, maa 0 V. Plh r = R, maa ( ) ( ) L r = L 0 = x0 = 0 V x x R R dan dan 0 R x V x V 0 R. Ambl sebarang ab, x V R, maa xa, xb V. Karena xb + x( b) = x( b b) = x0= 0, maa x( b) adalah ners dar xb. Karena ners bersat tunggal, maa x( b) = xb V. Perhatan bahwa x( a b) = xa+ x( b). Karena xa, x( b) V dan V grup, maa x( a b) = xa+ x( b) V, sehngga a b x V. Dengan deman, ( x V, ) + subgrup dar (, ) a x V R dan r R, maa ( ) ( ) ( ) modul anan atas R, maa x( ar) ( xa) r V a x V R dan r R. Dengan deman, x R +. Kemudan, ambl sebarang L ar = x ar = xa r. Karena xa V dan V =, sehngga ar x V, untu setap x V deal anan dar R. 6

7 But (2). Berdasaran dens x V { r Rxr V} =, jelas x R. Ambl sebarang x V dan r R, maa ( ) L r = xr. Karena V modul anan atas R, x maa xr V, maa r x V, untu setap r R, maa x V = R. Berut n dens lan dar modul njet. Krtera Baer. salan E modul anan atas R, maa pernyataan berut ealen. E njet, 2. untu setap deal anan B R dan sebarang homomorsma ϕ : B E, terdapat ϕ : RR E yang memenuh ϕ B = ϕ, dan 3. untu setap deal anan B R dan sebarang homomorsma ϕ : B E, terdapat y E, sedeman sehngga ϕ b= yb, untu setap b B. But ( 2). Jelas berdasaran dens modul njet, yatu suatu modul E njet ja untu setap modul A B dan sebarang homomorsma µ : A E, terdapat perluasan µ : B E yang memenuh µ A = µ. Karena hal tersebut berlau untu sebarang A berlau juga untu setap deal anan B B dan sebarang homomorsma µ : A E, maa R dan homomorsma ϕ : B E. Dengan deman terdapat ϕ : RR E yang memenuh ϕ B = ϕ. (2 3). Plh y = ϕ E dengan = R. Ambl sebarang b B R, maa ( ) ( ) ϕb= ϕb= ϕ b = ϕ b= yb. ( 3 ). salan submodul N < dan : N E. Ingn ddapat g: E yang memenuh gn =. salan g: V E, dengan N V dan gn = perluasan masmal dar. 7

8 Ja V =, maa terdapat g: E yang memenuh gn =, maa E njet. But selesa. c Andaan V, ambl sebarang x \ V = V dan { } = =. Kemudan, densan ϕ b= g( xb) B x V b Rxb V, untu setap b B dengan ϕ : B E, g: V E, dan Lx : B V, maa ϕ = glx dengan gl : B E. Coba perluas g menjad g : V + xr E. Densan x ( ) g + xr = g+ xr. Fungs g terdens dengan ba ja + xr = ' + xr', untu setap, ' V dan rr, ' R mengabatan. salan g( + xr) = g( ' + xr' ) + xr = ' + xr', untu setap, ' V dan rr, ' R, maa + xr = ' + xr' ' = xr' ( xr) = xr' + x( r) = x( r' r). Karena, ' V, maa ' V, maa x r r V, maa r' r B. ( ' ) ( ) g( ' ) = g x( r' r) g g' = ϕ ( r' r) = y( r' r) = yr ' yr g + yr = g' + yr ' g ( + xr) = g( ' + xr' ) maa ( ), g + xr = g+ yr terdens dengan ba. Ambl sebarang V V xr, maa + ( ) g = g + x0 = g + y0= g + 0= g, untu setap V V + xr, maa gv = g. Dengan deman, terdapat perluasan g d. Hal n ontrads dengan pernyataan bahwa g perluasan masmal dar d 8

9 , maa pengandaan V salah. Jad, haruslah V bahwa E njet. =, dan ta dapatan Contoh 3.6. Berut n adalah beberapa contoh modul njet. modul { 0 } atas gelanggang R, 2. modul atas, dan 3. modul / atas. odul { 0 } njet arena untu sebarang A < B dan homomorsma { } ϕ :A 0, setap a A dpetaan e 0 oleh ϕ. Ambl suatu homomorsma { } ϕ :B 0, maa setap b B dpetaan oleh ϕ e 0, termasu setap a A B, maa ϕa= ϕa, maa ϕ A = ϕ. Contoh edua aan dbutan dengan menggunaan sat dsblty yang aan dbahas pada Subbab 3.2. Begtu juga dengan contoh etga, contoh etga njet dabatan oleh contoh edua Dsblty Subbab n pentng untu dbahas arena sangat beratan erat dengan sat-sat modul njet. Dalam subbab n aan dbahas sebuah teorema yang sangat pentng dan berhubungan dengan subbab selanjutnya, yatu 3.3 Injecte Hulls. Dens 3.7. Suatu modul atas R dataan generalzed dsble ja untu setap ( a, ) R memenuh sedeman sehngga a, terdapat x yang = xa. Syarat a merupaan syarat perlu arena ja a, maa terdapat a' a, tetap a' x. Ambl sebarang, maa 9

10 ( ) ( ) xa a' = x aa' = x0= 0 a', maa xa untu setap x. Untu = 0 dan a = 0, syarat a terpenuh arena a = R dan = R, sehngga a. Dens 3.8. salan suatu modul atas daerah ntegral dsble ja untu setap ( a, ) R { } = xa. R, maa \ 0 terdapat x yang memenuh Proposs 3.9. Pada Dens 3.8, syarat a otomats terpenuh. tda perlu arena secara But. Karena R daerah ntegral, maa { 0} bahwa { 0}, maa a terpenuh. a =, untu setap a R. Jelas Konseuens 3.0. salan modul atas daerah ntegral R, maa pernyataanpernyataan berut berlau. dsble generalzed dsble, 2. dsble / N dsble, dengan N merupaan subgrup normal dar, dan 3. Ja dsble oleh a R\ { 0}, maa dsble oleh a secara tunggal, yatu ja = xa dan = ya, maa x = y. But () ( ). Karena dsble, maa jelas bahwa untu setap ( a, ) R dengan a, = xa. But () ( ). Karena R daerah ntegral, maa untu setap (, ) a R, berlau a, sehngga arena generalzed dsble, maa terdapat x yang memenuh = xa. Dengan deman, dsble. 20

11 But (2). salan submodul N <, maa N+ / N, untu setap. Ambl sebarang N+ / N dan a R. Karena dsble, maa terdapat x sedeman sehngga = xa. Searang ( N + = N + xa= N + x) a. Abatnya / N dsble. But (3). salan = xa dan = ya untu suatu x, y xa = ya, maa xa ya = ya ya ( x ) Karena ( x y) a { 0} y a = 0. =, maa x = y. Ja dsble oleh a = 0, maa = x0= 0. Karena = 0 dan a = 0, maa = xa untu setap x, maa dsble oleh a secara tda tunggal. Obseras 3.. salan modul atas gelanggang deal utama R, maa njet generalzed dsble. But ( ). Ambl sebarang a R dan. Bentu deal anan ar R. Densan ( ) ( ) ϕ : ar, dengan ϕ a =. Ambl sebarang r R, maa ϕ ar = ϕa r = r. Aan dtunjuan ϕ terdens dengan ba. salan ar ar, untu suatu rr, R, maa = Karena ar = ar ar ar = ar ar ar + a( r ) a r r = 0 ( ) = 0. ( ) a r r = 0, maa r r a. Konds a djamn ada arena R daerah ntegral. Karena r r, maa 2

12 ( r r ) = 0 r + ( r ) = 0 r r = 0 Karena r r + r = 0 + r r + 0 = r r = r ϕ = ϕ ( ar ). ( ar) ( ) ( ) ϕ ar = ϕ ar, maa ϕ terdens dengan ba. Karena njet, maa terdapat : R ϕ sedeman sehngga ϕ( ar) ϕ( ar) =, untu setap ar ar R. Plh x = ϕ dengan = R, maa ( ) ( ) = ϕa= ϕa= ϕ a = ϕ a= xa, maa generalzed dsble. But ( ). Ambl sebarang I deal anan d R, maa I = ar, untu suatu a R. salan ϕ : ar, dengan ϕ a =, untu suatu. Ambl sebarang r a, maa ar = 0. Karena ϕ homomorsma, maa ( ϕ ) ϕ( ) ϕ0 0, maa r r = a r = ar = =, sehngga a. Karena generalzed dsble, maa terdapat x sedeman sehngga = xa. Densan ϕ = L : R, dengan ϕ r = xr, untu setap r R. Ambl sebarang ar ar R, maa x ϕ( ) ( ) ( ) ϕ ar = ϕ, dengan deman njet. ar = x ar = xa r = r = ϕ( ar), maa Konseuens 3.2. salan modul atas daerah deal utama njet dsble. D, maa 22

13 But ( ). Karena njet dan R gelanggang deal utama, maa generalzed dsble. Karena generalzed dsble dan R daerah ntegral, maa dsble. But ( ). Karena dsble dan R daerah ntegral, maa generalzed dsble. Karena generalzed dsble dan R gelanggang deal utama, maa njet. Kta aan gunaan Konseuens 3.2 n untu menunjuan enjetan dar Contoh modul atas dan Contoh modul / atas. Gelanggang merupaan daerah ntegral, yatu untu setap ab, R dengan a 0 dan b 0, maa ab 0. Selan tu, gelanggang juga merupaan gelanggang deal utama, arena semua dealnya hanya dbangun oleh satu elemen, dengan deman merupaan daerah deal utama. Semua deal dar berupa n, untu suatu n. Selanjutnya aan dtunjuan bahwa dsble. Ambl m sebarang = dengan mn,, dengan n 0 dan a. Karena n m m m m a gelanggang, maa na. Plh x =, maa = = = = m a na n n n a na. m Karena terdapat x = yang memenuh = xa, maa dsble. na Berdasaran 3.3, maa njet. Contoh modul / atas njet arena modul atas njet. Berdasaran Lemma 3.2., modul / atas njet. Lemma 3.3. salan Q modul atas daerah deal utama R dan Q dsble, maa berlau pernyataan-pernyataan berut.. Untu sebarang subgrup normal K Q, Q/ K njet. 23

14 2. Untu X sebarang hmpunan ndes, maa untu setap X, Q dan Q, dsble. But (). Karena Q dsble dan R daerah ntegral, maa Q/ K dsble. Karena Q/ K dsble dan R daerah ntegral, maa Q/ K generalzed dsble. Karena njet. Q/ K generalzed dsble dan R gelanggang deal utama, maa Q/ K But (2). Karena Q dsble dan R daerah ntegral, maa Q generalzed dsble. Karena Q generalzed dsble dan R gelanggang deal utama, maa Q njet, maa untu sebarang hmpunan ndes X dan untu setap X, Q dan Q njet. Karena Q dan Q njet dan R gelanggang deal utama, maa dan Q generalzed dsble. Karena Q dan Q generalzed dsble dan R daerah ntegral, maa Q dan Q dsble. Q Konstrus 3.4. salan. Hom ( R, D) D grup abel, R gelanggang, dan abr,, R. merupaan modul atas gelanggang R dengan peralan dan a R, dengan R yatu a Hom ( R, D), untu setap Hom ( R, D) dengan ( a) ( r) = (ar ), untu setap r R. 2. salan ε : Hom ( R, D) D, ( ) (, ), : Hom R D R D., untu setap 3. salan modul atas R, g: Hom ( R D) m, g[ m]: R D, maa berlau,. Ambl sebarang g homomorsma { g[ ma] }( b) = { g[ m] }( ab) 24

15 But ( ). Karena m, a R, dan modul atas R, maa ma, maa gma [ ] Hom ( RD, ), maa { g[ ma] }( b) { g[ ma] a}( b) { g[ m] }( ab) berdasaran (). = =, gm [ ] Hom ( RD, ) But ( ). Karena, maa { g[ ma] }( b) = { g[ m] }( ab) = { g[ m] a}( b), maa [ ] [ ] aan dtunjuan bahwa g[ m m ] g[ m ] g[ m ] Ambl sebarang Karena m, m2 2 2 gma= gm a. Kemudan, + = +, untu setap m, m. dan b R, maa { g[ m + m2] }( b) = { g ( m+ m2) }( b) homomorsma. = { g[ ] }(( m+ m2) b ) = { g[ ] }( mb + m2b ) = { g[ ] }( mb ) + { g[ ] }( m2b) = { g[ m] }( b) + { g[ m2] }( b) = { g[ m] }( b) + { g[ m2] }( b) = { g[ m] + g[ m2] }( b) 2 b sebarang, maa g[ m + m ] = g[ m ] + g[ m ]. Oleh arena tu, g salan N modul atas R, msalan ψ : N D homomorsma. Densan :N Hom ( R, D) ψ, untu setap n N dengan { ψ [ n ]}( b ) ψ ( nb ) =., dmana [ ] ψ n : R D Lemma 3.5. Berdasaran onstrus 3.4, maa pernyataan-pernayataan berut berlau. ε homomorsma, 25

16 2. 3. ψ homomorsma, dan εψ = ψ. But (). Ambl sebarang Hom ( R, D) dan r R. Karena Hom ( R, D) modul atas gelanggang R, maa r Hom ( R, D), maa ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε( ) ε r = r = r = r = r = r = r. Kemudan, aan dtunjuan bahwa ε( ) ε( ) ε( ) Ambl + = +, untu setap, Hom R, D. 2 2 sebarang, 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) Hom R, D, maa ε + = + = + = ε + ε. Oleh arena tu, ε merupaan homorsma. But (2).Berdasaran 3.4.4, [ ] { ψ } ψ (( ) ) ψ ( ( )) ψ [ ] { }( ) na = na b = n ab = n ab. Karena ψ [ n] homomorsma, maa { ψ [ na] }( b) = { ψ [ n] }( ab) = {( ψ [ n] ) a}( b), maa ψ [ ] { } { } ( ψ [ ]) Kemudan, aan dtunjuan bahwa [ ] ψ n n ψ [ n ] ψ [ n ] n, n2 Karena N. Ambl sebarang n, n2 2 2 N dan r R, maa { ψ [ n+ n2] }( r) = ψ (( n+ n2) r) = ψ ( nr+ nr) 2 = ψ ( nr) + ψ ( nr) na = n a. + = +, untu setap 2 = { ψ [ n ]}( ) { r + ψ [ n2] }( r) = { ψ [ n ] + ψ [ n2] }( r ) r sebarang, maa [ ] ψ n + n = ψ [ n ] + ψ [ n ]. Oleh arena tu, ψ merupaan homomorsma

17 But (3). Ambl sebarang n N { }( ) [ ] ( ) [ ], maa [ ] ( { }( ) ( ) ( ) n = n = n = n = n, maa εψ ε ψ ψ ψ ψ ψ n Hom R, D), maa εψ = ψ. Teorema 3.6. salan D grup abel dsble, maa Hom ( R, D) njet. But. salan dan N modul atas R dan N. salan juga g : HomZ ( R, D), ε : Hom Z ( R, D) D homomorsma dengan ε () = ( ), untu setap HomZ ( R, D). Karena D grup abel dsble, maa D njet, berdasaran Proposs 2.7. Oleh arena tu, untu setap homomorsma : N, terdapat ψ : N D sepert pada Konstrus 3.4 dan Lemma 3.5 sedeman sehngga ε g = ψ. Sepert pada Konstrus 3.4, terdapat homomorsma ψ [ n] : R D dengan { ψ [ n ]}( b ) ψ ( nb ) dan =, untu setap n N b R. Aan dtunjuan bahwa ψ = g. Ambl sebarang m, maa ( )( m) =ψ [ ( m) ] HomZ ( R, D) { ψ [ ( m) ]}( r) = ψ ( ( m) r) ψ. Kemudan ambl sebarang r R, maa = ψ ( ( mr) ) = ψ ( mr) = ε g( mr) = ε ( g[ mr] ) = { g [ mr] }( ) = { g [ m ] r}( ) = { g [ m] }( r) = { [ m] }( r) g. 27

18 Hom g ψ ( R, D) N D Karena r sebarang, maa [ ( m) ] = g[ m] abatnya Hom ( R, D) ε ψ ψ. Karena m sebarang, maa ψ = g, njet. Abat 3.7. Setap modul merupaan submodul dar suatu modul njet. But. Untu sebarang modul atas gelanggang R, dmana D, dengan D merupaan grup abel dsble, pemetaan l: Hom ( R, D) ddensan oleh m l : R D dmana untu setap a R m dtunjuan bahwa l: l dtunjuan terlebh dahulu bahwa, ( ) l a = ma D. Aan m merupaan somorsma. Pertama-tama aan homomorsma modul, yatu mengawetan operas penjumlahan dan peralan salar. Ambl sebarang abr,, R, maa { l( ma+ nb) }{ r} = lma+ nb ( r) l = ( ma + ) nb r = ( ma) r + ( ) nb r = m( ar) + n( br) = l ( ar) + l ( br) m = { l a}( r) + { l b}( r) m = { l a+ l b}( r) Karena { l( ma nb) }{ r} { lm a ln b}( r) ( ) m n n n l, l l m n dan + = +, untu setap r R, maa l ma+ nb = l a+ l b, maa l merupaan homomorsma. Jelas bahwa l: l m n epmorsma. Kemudan, aan dtunjuan bahwa l satu-satu. 28

19 Karena l homomorsma, maa cuup dtunjuan bahwa Int ( l ) = { 0}. Jelas bahwa { 0} Int () l arena l homomorsma. Ambl sebarang () x Int l, maa lx sebarang r merupaan pemetaan nol yang memetaan semua anggota R, maa lx ( r) = 0 R e 0. Ambl Karena xr = 0 r adalah sebarang anggota R, maa 0 ( ) { 0} x =, maa Int () l {} 0, maa Int l =, maa l: l merupaan somorsma, maa l Hom ( R, D). Aan dtunjuan bahwa l adalah submodul dar Hom ( R, D). Ambl sebarang lm H om ( R, D) dan ar, R, maa { }( ) ( ) ( ) ( ) l a r = l ar = m ar = ma r. Karena modul atas R, maa ma, m sehngga { } m ma m { l a}( r) ( ma) r l ( r) m = = ma. Karena r sebarang, maa l a = l l yang menyebaban l merupaan submodul dar Hom ( R, D). Karena l merupaan submodul dar modul njet, maa juga merupaan submodul dar suatu modul njet. Abat 3.8. njet ja dan hanya ja merupaan suu langsung dar setap modul yang memuat sebaga submodul. But ( ). salan submodul < N dan njet, maa ungs denttas : dperluas menjad ρ : N yang memenuh ρ j = dengan j : N e merupaan pemetaan nlus. Karena terdapat pemetaan nlus dar N, maa merupaan suu langsung dar N. N = T, untu suatu submodul T < N, maa 29

20 But ( ). Berdasaran Teorema 3.7, terdapat modul njet E sedeman sehngga submodul dar E. Berdasaran hpotess, E = T, untu suatu T E. Karena E njet dan berdasaran Abat 3.3, maa njet Injecte Hulls Pada subbab n aan dtunjuan bahwa njecte hull ada dan dml oleh setap modul yang merupaan tujuan utama dar tugas ahr n. Dens 3.9. salan modul anan atas R dan V. Submodul V dsebut submodul esensal dar ja untu setap A dan A 0, maa V A 0. odul dsebut perluasan esensal dar V. Ja V, maa dsebut perluasan esensal sejat dar V dan submodul V dsebut submodul esensal sejat dar. Dens salan dsebut perluasan esensal masmal mutla dar A buan submodul dar lan P tda esensal. N esensal dan N < P dengan N P. odul N ja terdapat A P dengan N sedeman sehngga A= 0, atau dengan ata Sat < tda esensal arena untu setap A dan A 0, A 0= 0. Sat esensal arena untu setap A dan A 0, A = A 0. Sat V < esensal dan V < W < V < W dan W < esensal. But. Ambl sebarang A< W < dengan A 0. Karena V < esensal, maa V A 0, maa V < W esensal. Ambl sebarang B. Karena V < 30

21 esensal, maa B V 0. Karena V < W, maa B V B W. Karena B V 0, maa B W 0, maa W < esensal. Sat V < W dan W < esensal V < esensal. But. Ambl sebarang A. Karena W < esensal, maa W A 0. Ambl sebarang sebarang x W A, dengan x 0, maa x W dan x A. Ambl r R. Karena W < dan A, maa xr W dan xr A, maa xr W A, maa W A W <. Karena V < W, maa V W =V, maa V A= ( V W) A= V ( W A). Karena W A W maa V A V ( W A) 0 =, maa V < esensal. dan V <W esensal, Sat < N esensal untu setap N dan 0, R 0. But ( ). Ambl sebarang N, dengan 0, maa { } R = r r R N. Ambl sebarang r R dan a R, maa ( ) ( ) r a = ra R, maa R N. Karena < N esensal, maa R 0. But ( ). Ambl sebarang V N dengan 0 V. Ambl sebarang V dengan 0, maa R V, maa R V. Karena R 0, maa V 0, maa < N esensal. Sat salan < N, maa sat-sat berut berlau. salan L { VV N} = ranta terurut lner dar V N sedeman sehngga untu setap V L berlau V esensal. 2. Terdapat perluasan esensal masmal dar d N. esensal, maa { V L} 3

22 But (). Karena esensal, maa L Ambl sebarang A { V L}, maa terdapat V V L N. dan { } L sedeman sehngga V A. Karena V A, maa V A. Karena V esensal, maa V 0. Abatnya A 0 dan { V L} esensal. But (2). But (). Pembutan n aan menggunaan Lemma Zorn dan hasl dar. Karena esensal, maa L, maa L. 2. Ambl sebarang V L, maa dar L. V { V L }, maa { V L} 3. Karena { V L} esensal, maa { } V L L. Oleh arena tu, meml perluasan esensal masmal d N batas atas Lemma salan < N esensal dan ϕ : E monomorsma modul atas R, maa ϕ : N E perluasan ϕ d N ϕ satu-satu But. Pertama-tama aan dtunjuan bahwa Int ( ) Int ( ϕ ) N. Ambl sebarang a Int( ϕ ) ϕ ( a) = 0, maa ϕ( ) ϕ( ) 0 ar = a r = r 0 dan r R ϕ N. Jelas bahwa. Karena a Int( ϕ ) =, maa ar Int ( ϕ ), maa. Dengan deman, Int ( ϕ ) bersat tertutup terhadap peralan dengan gelanggang R dan Int ( ϕ ) N. Kemudan aan dtunjuan bahwa Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) Aan dtunjuan bahwa Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) Int ϕ ( ϕ ). Ambl sebarang ( ϕ ) =.. Jelas bahwa a Int. Karena ϕ = ϕ, maa ( a) = ϕ( a) = 0, maa a Int( ϕ ), maa Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) dan Int ( ϕ ) Int ( ϕ ), maa Int ( ϕ ) Int ( ϕ ).. Karena 32

23 Aan dtunjuan bahwa Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) a Int( ϕ ), maa a dan a Int( ϕ ) ϕ. Ambl sebarang. Karena ϕ = ϕ, maa ( a) = ϕ( a) = 0, maa a Int( ϕ ), maa Int ( ϕ ) Int ( ϕ ). Karena Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) dan Int ( ϕ ) Int ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ), maa Int = Int. Kemudan, arena ϕ monomorsma, maa ( ϕ) ( ϕ) 0 Int = Int =. Karena N satu-satu. < esensal, maa Int ( ϕ ) = 0, maa ϕ Sat Ja V < dan W < esensal, maa V W < juga esensal. But. Ambl sebarang A <, maa A ( V W) = ( A V) W. Karena V < esensal, maa A V 0. Karena W < esensal, maa ( ) ( ) 0, maa V W A V W = A V W < esensal. Sat salan < N ' dan < N ". salan pula µ : N' N" adalah somorsma yang memenuh µ =, maa < N ' esensal < N " esensal But. Karena µ somorsma, maa terdapat somorsma merupaan ners dar A N" oleh arena Karena µ : N" N' yang µ. Ambl sebarang A N", maa A N". Peta µ adalah µ ( A) µ ( ) µ = ( A) = µ ( A ) µ monomorsma. Karena N ' µ monomorsma dan µ ( A) ( ( A) ) ( ) < esensal, maa µ A 0. 0, maa µ µ 0 ( ) µ ( ) µ µ ( A) 0, 33

24 A 0, maa < N " esensal. Sat salan N, maa N merupaan perluasan esensal masmal mutla dar ja dan hanya ja N tda meml perluasan esensal sejat. But ( ). Pembutan n aan menggunaan metode ontraposs, sehngga hpotessnya menjad ja N meml perluasan esensal sejat, maa N buan perluasan esensal masmal mutla dar. salan N < P esensal dengan N P. Karena N dan N < P esensal, maa < P esensal. Abatnya N buan perluasan esensal masmal mutla dar. But ( ). Pembutan n pun aan menggunaan metode ontraposs, sehngga hpotessnya menjad ja N buan perluasan esensal masmal mutla dar, maa N meml perluasan esensal sejat. Karena N buan perluasan esensal masmal mutla dar, maa terdapat hmpunan P sedeman sehngga N < P dengan N P dan < P esensal. Karena < P esensal dan N < P, maa N < P esensal. Karena N < P esensal dan N P, maa P merupaan perluasan esensal sejat dar N. Lemma 3.3. salan masmal yang memenuh T 0 < E dan 0. salan T E adalah submodul =, maa ( ) / / T T E T esensal. But. Pembutan Lemma n aan menggunaan metode ontrads. Andaan ( T)/ T E/ T tda esensal, maa terdapat K E dengan T < K sedeman sehngga { T} K/ T E Abatnya ( T) K = T, ( ) < /T dan ( T) / T ( K/ T) { T} =. K T K = T, dan K. 34

25 Dengan deman, K T = 0 dan K 0 =. Karena K/ T { T}, maa K T. Hal n ontrads dengan pernyataan bahwa T submodul masmal yang memenuh T = 0. Jad, pengandaan bahwa ( T)/ T E/ T tda esensal salah, haruslah ( T) / T E/ T esensal. Proposs salan sebarang modul dan 0, maa njet tda meml perluasan esensal sejat But ( ). salan V esensal. Karena njet, maa V = T, untu suatu T V. Karena T = 0 dan V esensal, maa T = 0. Abatnya, = V. Jad, tda meml perluasan esensal sejat. But ( ). salan E dengan E njet. odul E njet djamn ada oleh Abat 3.7. salan T memenuh T 0. Berdasaran Lemma 3.3, < E adalah submodul masmal yang = ( ) / / T T E T esensal. Karena hal tersebut dan tda meml perluasan esensal masmal, maa ( T)/ T = E/ T, maa T = E. Karena E njet, maa berdasaran Abat 3.3, njet. Proposs Setap modul meml perluasan esensal masmal mutla. But. salan Abat 3.8. salan E dengan E njet. odul E njet djamn ada oleh N perluasan esensal masmal dar N E dan N tda meml perluasan esensal sejat d dtunjuan bahwa salan d E, sehngga E. Aan N merupaan perluasan esensal masmal mutla dar. N N' dengan N' E dan N ' esensal. salan pula : N E yatu ( n) = n, untu setap n N. Pemetaan merupaan adalah nlus yang satu-satu. Karena E njet, maa terdapat µ : N' E sedeman 35

26 sehngga µ N =. Karena : N E satu-satu, maa berdasaran Lemma 3.28, µ : N' E juga satu-satu. Abatnya, µ : N' µ N E satu-satu pada. N N' µ µ µ N µ N' E Karena N ' esensal dan terdapat somorsma µ : N' µ N, maa µ N ' esensal. Karena N perluasan esensal masmal dar d E, maa N = µ N'. Aan dtunjuan bahwa N = N'. Jelas bahwa N N'. Ambl sebarang n' N', maa µ ( n' ) µ N' = N N'. Karena µ ( n' ) N, maa ( ( n' )) = ( n '). Karena µ satu-satu, maa ( n' ) µ µ µ µ = n'. Karena µ n' N, maa n' N. Abatnya, N' N. Karena N N' dan N' N, maa N = N'. Jad, N perluasan esensal masmal mutla dar meml perluasan esensal masmal mutla. ( ). Dengan ata lan, Abat salan sebarang modul dan I modul njet yang memuat. Ja N perluasan esensal masmal dar d I, maa. N merupaan perluasan esensal masmal mutla dar 2. N njet. dan But (). But sepert pada pembutan Proposs But (2). Berdasaran But (), maa N merupaan perluasan esensal masmal mutla dar. Abatnya, N tda meml perluasan esensal sejat. Berdasaran Proposs 3.33, maa N njet. Dens odul njet dan ja N adalah perluasan njet mnmal dar K < N dengan K N, maa K tda njet. ja N 36

27 Teorema salan N, maa pernyataan-pernyataan berut ealen. N perluasan esensal masmal mutla dar, 2. N perluasan esensal dar dan N njet, dan 3. N perluasan njet mnmal dar. But ( 2). Jelas N esensal. Berdasaran Abat 3.35, maa N njet. (2 3). salan terdapat E modul njet sedeman sehngga E N. Karena E njet dan E N, maa N = E E', untu suatu E' N, berdasaran Abat 3.7. Karena Karena E' N esensal, maa E E' esensal. E E' = 0 dan E, maa E' = 0. Karena N esensal dan N, maa E ' = 0. Abatnya, N = E. Dengan deman, N perluasan njet mnmal dar. (3 ). Karena sehngga N ' N dan N njet, maa terdapat N' N sedeman perluasan esensal masmal mutla dar. Berdasaran Abat 3.35, maa N ' njet. Karena N perluasan njet mnmal dar, maa N = N'. Jad, N perluasan esensal masmal mutla dar. Dens Untu suatu modul, modul N yang memenuh Teorema 3.37 dsebut njecte hull dar. Abat salan maa E G. E dan G eduanya njecte hull dar, But. Karena E njet, maa untu setap homomorsma : E, terdapat homomorsma : G E yang merupaan perluasan dar. Begtu 2 37

28 juga untu setap homomorsma 3 : G, arena G njet, maa terdapat : E G yang merupaan perluasan dar 4 3. Berut n adalah lustrasnya. 3 4 E G 2 Karena E njet, maa = 2 3 dan arena njet, maa 3 = 4. Aan dbutan bahwa dan. Perhatan bahwa 2 4 = 4 2 = = ( 4 ) = ( ) 2 4 Begtu juga sebalnya ) 2 4 = =. 4 = 3 4 ( 2 3 = 3 ( ) = 3 G 4 2 =. Karena dan, maa adalah ners dar dan sebalnya 2 4 = 4 2 = juga adalah ners dar. Karena meml ners, maa dan adalah somorsma. Karena terdapat somorsma dar E e G, maa E G. 38