SEGMETASI BAYESIAN HIRARKI UNTUK MODEL AR STASIONER KONSTAN PER SEGMEN MENGGUNAKAN ALGORITMA REVERSIBLE JUMP MCMC

Transkripsi

1 Semnar Nasonal Ssem Informas Indonesa, - 4 Desember 03 SEGMETASI BAYESIAN HIRARKI UNTUK MODEL AR STASIONER KONSTAN PER SEGMEN MENGGUNAKAN ALGORITMA REVERSIBLE JUMP MCMC Suparman Penddan Maemaa FKIP UAD Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH Warungboo Yogyaara Telp : E-mal : suparmancc@yahoo.co.d Absra Maalah n membahasmasalahsegmenasdaa dalamerangabayesandengan menggunaansamplng reversbeljumpmcmc.daadmodelanolehmodel auoregresf onsan sepoong dem sepoong, d mana banyanya segmen,orde danoefsen prosesarunu seap segmenda deahu. Algormareversble jump MCMCemudan dgunaanunu menghaslan sampelyang ddsrbusansesua dengan dsrbusposerorgabungan darparameer yang da deahu. Sampel nmemungnanunu menghungbeberapa furmenar dardsrbusposeror.knerjameoden dlusraslan denganbeberapahaslsmulas. Dar hasl smulas menunjuan bahwa algorma reversble jump MCMC dapa mengesmas parameer model AR sasoner onsan per segmen dengan ba. Kaa Kunc: Bayesan, Reversble jump MCMC, segmenas, AR. Absrac Ths paper addresses he problem of he daa segmenaon whn a Bayesan framewor by usng reversble jump MCMC samplng. The daa s modeled by pecewse consan Auoregressve AR processes where he numbers of segmens, he me of abrup, he order and he coeffcens of he AR processes for each segmen are unnown. The reversble jump MCMC algorhm s hen used o generae samples dsrbued accordng o he jon poseror dsrbuon of he unnown parameers. These samples allow o compue some neresng feaures of he a poseror dsrbuon. The performance of he hs mehodology s llusraed va several smulaon resuls.the resuls of smulaon show ha he reversble jump MCMC algorhm can esmae he parameers of pecewse consan auoregressve well. Keywords : Bayesan, Reversble jump MCMC, segmenaon, AR.. PENDAHULUAN Model auoregresf AR sasoner onsan per segmen merupaan model yang serng dgunaan unu memodelan berbaga jens daa. Daa ndes Dow-Jones, daa ndes harga onsumen IHK dan daa laju nflas merupaan dua conoh daa rl yang dapa dmodelan oleh model AR sasoner onsan per segmen. Apabla model AR sasoner onsan per segmen dcocoan erhadap daa rl, umumnya parameer model da deahu. Parameer model d sn melpu : banyanya segmen, wau erjadnya perubahan model AR dan parameer model AR unu ap-ap segmen. Parameer model AR melpu : orde, oefsen dan varans gangguan sohas. Pendeaan yang dgunaan dalam penelan n adalah pendeaan Bayesan. Parameer model dpermbangan sebaga varabel random yang mempunya dsrbus erenu. Dsrbus n denal sebaga dsrbus pror. Dsrbus pror dar parameer model dan fungs emungnan dar snyal dombnasan unu mendapaan dsrbus poseror dar parameer model. Esmas Bayesan ddasaran pada dsrbus poseror. Dsrbus poseror mempunya benu yang sanga rum menyebaban penenuan esmaor da dapa dlauan secara anals. Unu mengaas masalah n, dgunaan algorma reversble jump Marov Chan Mone Carlo MCMC. Uraan dalam arel n dsusun sebaga beru. Dalam Ses, dbahas meode yang mencaup model AR Sasoner onsan per segmen, pendeaan Bayesan, algorme reversble jump MCMC dan penurunan rumus. Sedangan hasl dan dsus djelasan dalam Ses 3. Dalam ses 3 duraan mplemenas dar algorma reversble jump MCMC pada daa síness dan daa rl. Ahrnya esmpulan dar hasl penelan dsajan dalam Ses 4.. METODE Copyrgh 03 SESINDO

2 579. MODEL AR STASIONER KONSTAN PER SEGMEN Msalan X, X,, X n adalah daa. Daa n daaan mempunya model AR onsan per segmen dengan banyanya segmen = 0,,, max apabla unu =,,, n daa ersebu memenuh persamaan sohas beru [] : X Z,, X,,,, 0,,, j,, j j d mana d bawah asums segmen : adalah wau erjadnya perubahan model AR e-, dengan onvens, 0 dan n dan unu ap-ap segmen e- : 0,,,, dan,, adalah orde dan oefsen model AR yang bersesuaan dengan,, segmen e-. Z adalah nla gangguan sohas pada saa yang bersesuaan dengan segmen e-. Z dmodelan sebaga dsrbus normal dengan mean 0 dan varans. Selanjunya model AR e- =0,,, dsebu sasoner ja dan hanya ja persamaan suu banya b, j,, j b bernla nol unu nla b d luar lngaran dengan jar-jar sama dengan sau [3]. Apabla banyanya segmen dasumsan deahu, wau erjadnya perubahan model AR dasumsan deahu dan orde yang dasumsan deahu, maa permasalahan nferens model AR onsan per segmen menjad permasalahan denfas orde dan esmas parameer model AR unu ap-ap segmen. Apabla orde model AR dasumsan deahu, maa permasalahan denfas orde model AR dan esmas parameer model AR menjad permasalahan esmas parameer model AR. Esmas parameer model AR dapa dlauan dengan menggunaan berbaga meode. Meode-meode ersebu danaranya dusulan oleh [0], [3], [] dan [3]. Meode Bayesan dgunaan unu mengesmas parameer AR [0]. Sedangan ega penel lannya, [3], [] dan [3], menggunaan Meode Kemungnan Masmum unu mengesmas parameer model AR. Selanjunya meode denfas orde dan esmas parameer model AR dusulan oleh []. Dalam penelan n, banyanya segmen dan orde model AR unu masng-masng segmen dasumsan da deahu. Algorma reversble jump MCMC [4] dgunaan unu mendees banyanya segmen, loas perubahan model AR, mengdenfas orde model AR dan mengesmas parameer model AR secara bersamaan dalam sau ahap. Unu mengaas masalah hperparameer yang muncul, dadops Bayesan hrars [9]. Knerja algorma yang dusulan aan duj dengan menggunaan daa sness.. METODE BAYESIAN HIRARKI Andaan s x,x, x n max mas, s x, x, deahu dan,,{ }, 0 x mas adalah suau realsas dar model AR onsan per segmen. Ja nla dapa duls urang lebh sebaga beru : Unu, s exp mas 0,, n., maa fungs emungnan dar s 0,, x G j Msalan S adalah daerah sasonaras. Dengan menggunaan ransformas F :,, I,,, 3, maa model AR X Z sasoner ja dan hanya ja,,,, []. Apabla, maa fungs emungnan dapa duls embal sebaga :,,,, 0, s exp 0 x,, x G j Penenuan dsrbus pror unu parameer-parameer ersebu d aas adalah sebaga beru : a Banyanya segmen berdsrbus Bnomal dengan parameer C mas mas j x j 4 Copyrgh 03 SESINDO

3 580 b Poss berdsrbus ndes genap dar sas eruru + yang dambl seragam anpa pengembalan dalam {,,,n }. c Orde p berdsrbusan seragam dalam { 0,,,p }, mas. p d Unu orde p denuan erlebh dahulu, veor oefsen,, berdsrbusan seragam pada nerval, p. e Varans berdsrbusan nvers gamma dengan parameer / dan / : / / /, exp / / D sn parameer dasumsan berdsrbus seragam pada nerval 0,, nla dambl sama dengan dan parameer dasumsan berdsrbus Jeffrey. Sehngga dsrbus pror unu parameer dan H,, H, dapa dnyaaan sebaga : H,H,, 5 Menuru Teorema Bayes, maa dsrbus a poseror unu parameer H dan H dapa dnyaaan sebaga : H,H s s H H,H 6 Dsrbus a poseror merupaan gabungan dar fungs emungnan dan dsrbus pror yang a asumsan sebelum sampel dambl. Dalam asus n, dsrbus a poseror H,H s mempunya benu yang sanga rum sehngga da dapa dselesaan secara anals. Unu mengaas masalah ersebu, dusulan meode reversble jump MCMC..3 METODE REVERSIBLE JUMP MCMC Msalan M = H, H. Secara umum, meode MCMC merupaan suau meode samplng, yau dengan cara membua rana Marov homogen M,M,, M yang memenuh sfa aperod dan rredubel [8] m sedeman hngga M,M,, M dapa dpermbangan sebaga varabel aca yang mengu dsrbus m H,H s. Dengan deman M,M,, M dapa dgunaan sebaga sarana unu menasr m parameer M. Unu merealsasan u dadops algorma Gbbs Hbrda [8] yang erdr dar dua ahap : ahap, smulas dsrbus H H,s dan ahap, smulas dsrbus H H,s Copyrgh 03 SESINDO Dsrbus H H,s mempunya benu espls. Sehngga Algorma Gbbs dapa dgunaan unu mensmulasan dsrbus H H,s. Dsrbus margnal poseror dar H dapa dulsan sebaga : H H,s B, mas G, 0 Sebalnya, dsrbus H H,s da mempunya benu espls. Sehngga smulas esa da mungn dlauan. Unu u, dusulan algorma hbrda, yang mengabungan algorma Reversble Jump MCMC [4] dengan algorma Gbbs, unu mensmulasan dsrbus H H,s. Algorma Reversble Jump MCMC merupaan rampaan dar algorma Meropols-Hasngs [7]; [6]. Algorma hbrda n erdr p p dar ga ahap : smulas,,p, H,s, smulas p,, H,s dan smulas p,,p,,h,s. Karena harga dan p da deahu maa pada Tahap. dan Tahap. dgunaan Algorma reversble jump MCMC. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Sebaga lusras, a aan menerapan meode n unu mengdenfas orde dan menasr parameer daa sness. Algorma reversble jump MCMC dgunaan unu mengesmas banyanya segmen, wau erjadnya perubahan model AR, orde model AR unu masng-masng segmen, dan oefsen model AR unu masng-masng model AR sera varans gangguan sohas yang bersesuaaan. Unu eperluan u, algorma reversble jump MCMC dmplemenasan eras dengan perode pemanasan 0000 eras. Nla orde mas dbaas masmum 0 sehngga p mas = 0.

4 58 3. Daa Sness Gambar merupaan daa sness dengan model AR onsan per segmen yang dbua menuru persamaan d aas. Gambar : Daa sness model AR onsan per segmen Gambar : Hsogram dar banyanya segmen Pembuaan snyal sness dlauan dengan menggunaan bahasa pemograman MATLAB [5], dengan jumlah daa n = 500, = 4 dan wau erjadnya perubahan model AR adalah 75,50, 50, 400. Sedangan orde, oefsen, dan gangguan sohas model AR unu masng-masng segmen dnyaaan dalam Tabel. Tabel : Nla parameer model Segmen e-,4 p p,, 4, , -0.79, 0,34 0,5 -.54, , , , 0.99, 0.64, , , -0.83, Berdasaran daa dalam Gambar, selanjunya parameer model desmas dengan menggunaan reversble jump MCMC. Hsogram dar dsajan pada Gambar. Haslnya adalah ˆ 4. Hsogram unu yang bersesuaan dengan nla ˆ 4 dberan pada Gambar 3. Haslnya adalah ˆ 75,50, 50, 400. Hasl segmenas dsajan dalam Gambar 4. Gambar 3 : Hsogram wau erjadnya perubahan Model Hsogram unu orde yang bersesuaan dengan nla 4 Gambar 4 : Segmenas daa ˆ dan dberan pada Gambar 5-9. Copyrgh 03 SESINDO

5 58 Gambar 5 : Hsogram orde segmen e-0 Gambar 6 : Hsogram orde segmen e- Gambar 7 : Hsogram orde segmen e- Gambar 8 : Hsogram orde segmen e-3 Gambar 9 : Hsogram orde segmen e-4 Gambar 0 : Daa real model AR Sedangan hasl esmas dar oefsen dan smpangan bau gangguan sohas ap-ap segmen duls dalam Tabel. Tabel : Esmaor unu orde, oefsen dan smpangan bau gangguan sohas. Segmen e- ˆ,4 pˆ pˆ,4, 4 ˆ, , -0.76, , , 0.93, 0.6, , -0.79, Berdasaran oupu dar algorma, pada daa Gambar erbag aas 5 segmen. Pada segmen perama =,,..., 74 daa bermodel AR3, segmen edua = 75, 76,..., 49 daa bermodel AR, segmen ega Copyrgh 03 SESINDO

6 583 = 50, 5,..., 49 daa bermodel AR, segmen eempa = 50, 5,..., 399 daa bermodel AR 4 dan segmen elma = 40, 40,..., 499 daa bermodel AR Daa Rl Gambar merupaan snyal rl berupa evolus ndes Dow-Jones [3]. Berdasaran daa dalam Gambar, selanjunya parameer model desmas dengan menggunaan reversble jump MCMC. Hsogram dar dsajan pada Gambar. Haslnya adalah ˆ 0. Gambar : Hsogram dar banyanya segmen Gambar : Hsogram orde segmen e-0 ˆ maa da ada esmas unu loas. Sehngga hsogram unu wau erjadnya ˆ dan dberan Oleh arena 0 perubahan model adalah da ada. Hsogram unu orde yang bersesuaan dengan nla 0 pada Gambar.Hasl esmas unu oefsen dan smpangan bau gangguan sohas duls dalam Tabel 3. Tabel 3 : Esmaor unu orde, oefsen dan smpangan bau gangguan sohas. Segmen e- ˆ pˆ,0,0, 0 ˆ, pˆ 4. SIMPULAN DAN SARAN Uraan d aas, merupaan ajan eor enang algorma reversble jump MCMC dan penerapannya pada nferens model AR onsan per segmen. Dengan membandngan anara nla parameer dan nla esmasnya dar daa sness menunjuan bahwa algorma reversble jump MCMC dapa menasr parameer-parameer u dengan ba. Esmaor unu orde, oefsen, dan gangguan sohas model AR unu masng-masng segmen dsajan dalam Tabel. Sebaga conoh mplemenas, algorma reversble jump MCMC derapan pada daa rl. Penelan n mash dapa dperluas dan dembangan dengan cara mengganan onsep AR onsan per segmen dengan onsep ARMA auoregressve movng average onsan per segmen. 5. DAFTAR PUSTAKA [] Barndorff-Nelsen, O. and Schou, G On he paramerzaon of auoregressve models byparal auocorrelaon, J. Mulvar. Anal., Vol. 3, [] Box, G.E.P., Jenns, G.M. and Rensel, G.C Tme Seres Analyss : Forecasng and Conrol,Prence Hall, New Jersey. [3] Brocwell, P.J. and Davs, R.A. 99. Tmes Seres : Theory and Mehods, Sprnger, New Yor. [4] Green, P.J Reversble Jump Marov Chan Mone Carlo Compuaon and Bayesan ModelDeermnaon, Bomera, Vol. 8, [5] Hanselman, D. and Llefeld, B Malab, Pearson Educaon Asa and And. [6] Hasngs, W.K Mone Carlo samplng mehods usng Marov chans and her applcaons, Bomera, Vol. 57, [7] Meropols, N., Rosenbluh, A.W., Teller, A.H. and Teller, E Euaons of sae calculaons by fas copung machnes, Journal Chemcal Physcs, Vol, [8] Rober, C.P., 996. Méhodes de Mone Carlo par Chaînes de Marov, Economca. [9] Rober, C.P., 999. The Bayesan Choce. A Decson-Theorec Movaon, Sprnger Texs n Sascs. Copyrgh 03 SESINDO

7 584 [0] Shaarawy, S. and Broemelng, L Bayesan nferences and forecass wh movng averages processes. Commun. Sas. Theory Meh., 35, [] Suparman and Dosy, M 00. Bayesan Segmenaon of Pecewse Consan Movng-Average Processes usng Reversble Jump MCMC MehodsProc. Of he 7 h Indonesan Suden s Scenfc Meeng, pp , Berln Germany. [] Suparman 006 Idenfas dan esmas Bayesan herar dalam runun wau AR dengan menggunaan algorma SA, Jurnal Paar, Vol. 7 No. hal [3] Suparman dan Soejoe, Z Bayesan Esmaon of ARMA Tme Seres Models, Jurnal WKSI, Vol. No. 3 hal Copyrgh 03 SESINDO