RUANG VEKTOR REAL. Kania Evita Dewi

Transkripsi

1 RUANG VEKTOR REAL Kni Eit Dewi

2 Definisi Vektor dlh besrn yng mempnyi rh. Notsi: Notsi pnjng ektor: k j i ˆ ˆ ˆ Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st

3 Opersi ektor Penjmlhn ntr ektor Mislkn dn dlh ektor ektor didefinisikn yng berd di rng yng sm mk ektor n n

4 Opersi Vektor Perklin ektor. Perklin dengn sklr k Perklin ektor dengn sklr k k didefinisikn sebgi ektor yng pnjngny k kli pnjng ektor dengn rh Jik k > serh dengn Jik k < berlwnn rh dengn k k k k k k n

5 Rng Vektor Mislkn w V dn k l R V diktkn RngVektor jik terpenhi ksiom:. V V.. w w. V V 5. V V 6. k R V k V k l kl k k k k l k l.

6 LATIHAN. Misl V=R dlh himpnn ektor-ektor yng didefinisikn sebgi berikt ' ' ' ' y y y y y k y k. Misl R b b M V dengn penmbhn mtriks dn perklin sklr dn

7 SUBRUANG Jik S dlh himpnn bgin tidk kosong dri st rng ektor V dn S memenhi syrt-syrt berikt ini mk berlk: ) k S jik S Untk sebrng sklr k b) S jik S Mk S disebt sbrng dri V

8 LATIHAN Cek pkh himpnn berikt sbrng.. Sem ektor yng berbentk. Mtriks. Sem ektor yng berbentk Z d c b d c b M R S c b c b S

9 Definisi Kombinsi linier Sebh ektro w dinmkn kombinsi linier ektor-ektor dri r jik ektor tersebt dpt ditlis dlm bentk w k k... k r r dimn k k k r dlh sklr

10 contoh Tentknlh kombinsi linier dn d b c

11 Definisi merentng Jik r dlh ektor-ektor pd rng ektor V dn jik msing-msing ektor pd V dpt dinytkn sebgi kombinsi linier r mk dpt diktkn ektorektor ini merentng.

12 contoh Tentkn pkh ektor-ektor yng diberikn dibwh ini merentng R b d c

13 Definisi Bebs linier Jik S = { r } dlh himpnn ektor mk persmn ektor k k... k r r Mempnyi pling sedikit st pemechn ykni k k... kr Jik ini dlh st-stny pemechn mk S dinmkn himpnn bebs linier. Tetpi jik d solsi lin mk S diktkn himpnn tk bebs linier.

14 teorem Himpnn S dengn d ektor t lebih dlh. Tk bebs linier jik dn hny jik pling tidk st dintr ektor S dpt dinytkn sebgi kombinsi linier dri ektor S linny. b. Bebs linier jik dn hny jik tidk d ektor S yng dpt dinytkn sebgi kombinsi linier dlm ektor S linny.

15 teorem. Jik sebh himpnn mengndng ektor nol mk himpnn it tk bebs linier. b. Sebh himpnn yng mempnyi persis d ektor tkbebs linier jik dn hny jik slh st ektor dlh perklin ektor linny dengn sklr.

16 contoh Yng mnkh dintr himpnn-himpnn ektor berikt pd R berbentk tk bebs linier? d b c

17 Definisi BASIS Jik V dlh sebrng rng ektor dn S = { r} merpkn himpnn berhingg dri ektor-ektor pd V mk S dinmkn bsis ntk V jik. S bebs linier b. S merentng V NB: Bsis ntk setip rng ektor tidk tnggl

18 contoh Jelskn mengp himpnn-himpnn ektor dibwh ini bkn merpkn bsis ntk rngn yng ditnjkkn. M ntk R ntk 6. R ntk 7. E D C B A c b

19 Definisi dimensi Dimensi dlh rng ektor V yng berdimensi berhingg didefinisikn sebgi bnykny ektor pd bsis ntk V. Cttn: Rng ektor nol mempnyi dimensi nol

20 teorem. Jik S = { n } dlh sebh himpnn n ektor bebs linier pd sebh rng V yng berdimensi n mk S dlh sebh bsis ntk V. b. Jik S = { n } dlh sebh himpnn n yng merentng rng V yng berdimensi n mk S dlh sebh bsis ntk V.

21 contoh Tentknlh dimensi dn bsis ntk rng pemechn sistem berikt z y z y z y z y d c b d c b d c b d c b

22 Vektor Koordint Mislkn V dlh rng ektor dengn bsis B = { n } dn V Vektor Koordint B k k k n terhdp bsis B dlh: dimn k k... Vektor koordint terhdp st bsis tertent dlh tnggl k n n

23 Contoh Tentkn ektor koordint 5 terhdp bsis 5 B

24 Ltihn ektor koordint Tentkn ektor koordint terhdp bsis: B B'

25 Mtriks trnsisi Mislkn B = {b b b n } dn U = { n } bsis ntk rng ektorv. Mtriks trnsisi dri B ke U dlh P b b b U U Dn memenhi persmn P U B n U

26 Contoh. Crilh mtriks trnsisi dri perbhn bsis ke dimn b. Jik 7 dn 5 tentkn U

27 Ltihn mtriks trnsisi. Tentkn mtriks trnsisi dri bsis { } ke { }. MislknV = { } dn U = { } dnv dn U dlh bsis R dimn. Tentkn mtriks trnsisi dri bsis U kev b. Jik tentkn ektor koordint terhdp bsis U 7 6

28 Rnk dn nlits Jik A dlh mtriks mn mk sbrng Rm yng direntng oleh ektor-ektor bris dri A disebt rng bris dri A. Sbrng dri Rn yng direntng oleh ektor-ektor kolom dri A disebt rng kolom dri A. Rng penyelesin dri sistem persmn homogen A dlh sbrng dri Rn disebt rng nll/rng kosong dri A dinotsikn N(A)

29 Contoh Misl A Tentkn ektor bris dn ektor kolom mtriks A

30 Teorem. Opersi bris elementer tidk mengbh rng bris sebh mtriks. Vektor-ektor bris tknol berbentk eselon bris dri mtriks A membentk bsis ntk rng kolom A. NB: ntk rng bris trnspose rng kolom

31 Contoh Misl A 6 8 Tentkn bsis ntk rng bris dn rng kolom

32 Definisi Dimensi rng bris t rng kolom mtriks A dinmkn rnk A dn dinytkn dengn rnk(a). Nlits dlh dimensi dri rng nol. Pd mmny jmlh rnk dn nlits kn sell sm dengn bnyk kolom dri mtriks.

33 Contoh Tentkn bsis dn dimensi dri rng kosong A jik d A 5 b. A

34 Contoh Tentkn bsis dri rng yng direntng oleh ektor-ektor berikt ini!