HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

Transkripsi

1 HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA ASIH DEWI LESTARI DEVI BUDHI HARMINI FITRIYANI SUPRIHATIN PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN Tahun 2010

2 SUB RUANG VEKTOR Sebuah ruang vektor mungkin saja dapat berada di dalam ruang vektor lainnya. Bidangbidang yang melewati titik asal adalah ruang vektor yang terletak di dalam ruang vektor R 3. Definisi 4.3 Suatu sub himpunan W dan suatu ruang vektor V disebut sub ruang dari V jika W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang terdefinisi pada V. Suatu himpunan W yang terdiri dari satu atau lebih vektor dan suatu sub ruang V disebut tertutup terhadap penjumlahan jika syarat a. pada teorema 4 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian skalar jika syarat b. berlaku. Jadi teorema 4 menyatakan bahwa W adalah sub ruang dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar. Definisi 4.4 Suatu vektor W disebut suatu kombinasi linier dari vektor-vektor v 1,v 2,..v n. Jika dapat dinyatakan dalam bentuk : w = k 1 v 1 + k 2 v k r v r Dimana k 1,k 2,..k r adalah skalar. Jika r = 1 maka persamaan definisi di atas akan tereduksi menjadi w = k 1 v 1 yaitu, w adalah kombinasi linier dari suatu vektor tunggal v 1 jika w merupakan kelipatan skalar dari v 1. Merentang Jika v 1,v 2,.v r adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V, maka umumnya beberapa vektor pada V mungkin merupakan kombinasi linier dari v 1,v 2,.v r dan vektor lainnya mungkin tidak. Definisi 4.5 Jika S = { v 1,v 2,.v r } adalah suatu himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vector V, maka sub ruang W dari V yang terdiri dari semua kombinasi linier vektor-vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang oleh v 1,v 2,.v r dan vektor-vektor v 1,v 2,.v r merentang W. Untuk menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan S = { v 1,v 2,.v r } dapat dituliskan : W = rentang ( S ) atau W = rentang { v 1,v 2,.v r }

3 PERTANYAAN 1.Yetik : Apa bedanya ruang vektor dan sub ruang vektor? Jawab : Ruang vektor terdiri dari vektor-vektor sedangkan su ruang vektor adalah bagian dari ruang vektor. 2. Joko : Tunjukkan vector-vektor solusi dari suatu system linier yang homogen membentuk ruang vektor yang disebut ruang solusi ( teorema 4.5)! Jawab : Akan dibuktikan dengan menggunakan 10 aksioma ruang vector. Ax = 0 Misalkan : x 1 dan x 2 penyelesaian Ax 1 = 0 dan Ax 2 = 0 Bukti : Aksioma 1 : Akan dibuktikan x 1 + x 2 himpunan penyelesaian yaitu : A ( x 1 + x 2 ) = 0 A ( x 1 + x 2 ) = Ax 1 + Ax 2 = = 0 ( Terbukti ) Aksioma 2 : Akan dibuktikan x 1 + x 2 = x 2 + x 1 ( Terbukti ) Aksioma 3 : Akan dibuktikan x 1 + ( x 2 + x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) + x 3 x 1 + ( x 2 + x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 = ( x 1 + x 2 ) + x 3 ( Terbukti ) Aksioma 4 : Akan dibuktikan vector nol = ( 0,0 ) dan vector x 0 + x = ( 0,0 ) + ( x 1 + x 2 ) = ( 0 + x 1, 0 + x 2 ) = ( x 1, x 2 ) = x

4 x + 0 = ( x 1, x 2 ) + ( 0,0 ) = ( x 1 + 0, x ) = ( x 1, x 2 ) = x ( Terbukti ) Aksioma 5 : Akan dibuktikan : Ambil x V sebarang sehingga x = ( x 1 + x 2 ) terdapat -x = ( -x 1, -x 2 ) Sehingga x + ( -x ) = ( x 1, x 2 ) + ( -x 1, -x 2 ) = ( x 1 x 1, x 2 x 2 ) = ( 0,0 ) = 0 ( -x ) + x = ( -x 1, -x 2 ) + ( x 1, x 2 ) = ( -x 1 + x 1, -x 2 + x 2 ) = ( 0,0 ) = 0 Sehingga x + (-x ) = (-x) + x = 0 ( Terbukti ) Aksioma 6 : Akan dibuktikan, jika x Hp maka kx 1 juga Hp dengan k sembarang scalar A (kx ) = k (Ax ) = k. 0 = 0 (Terbukti ) Aksioma 8 : Akan dibuktikan, Bukti : ( k + l ) x = ( k + l ) ( x 1, x 2 ) = ( ( k + l ) x 1, ( k + l ) x 2 ) = ( kx 1 +lx 1, kx 2 +lx 2 ) = ( kx 1, kx 2 ) + ( lx 1, lx 2 ) = k ( x 1, x 2 ) + l (x 1, x 2 ) = kx + lx ( Terbukti )

5 Aksioma 9 : Akan dibuktikan k ( lx ) = kl ( x ) Bukti : ( kl )x = ( kl ) ( x 1,x 2 ) = ( kl ) x 1, ( kl ) x 2 ) k ( lx ) = k ( l ( x 1, x 2 ) = k ( lx 1, lx 2 ) = klx 1, klx 2 ( Terbukti ) Aksioma 10 : Akan dibuktikan 1x = x Bukti : 1x = 1 ( x 1, x 2 ) = ( x 1, x 2 ) x = ( x 1, x 2 ) 1 x = x ( Terbukti ) Jadi terbukti bahwa x 1 + x 2 dan k x adalah Vektor Solusi. 3. Yudhi : Bagaimana cara memeriksa soal 4d halaman 160? Jawab : Diketahui : u = ( 1, 2, -2 ) v = ( -1, 3, 1 ) w = ( 0, 0, 0 ) Ditanya : W merupakan kombinasi linier? Jawab : w = k 1 u + k 2 v (0,0, 0 ) = k 1 ( 1, 2, -2 ) + k 2 ( -1, 3, 1 ) = k 1 k 2, 2k 1 + 3k 2, -2k 1 + k 2 Subsitusi: k 1 k 2 = 0

6 k 1 = k 2 2k 1 + 3k 2 = 0 2k 2 + 3k 2 = 0 5k 2 = 0 k 2 = 0, k 1 = k Sehingga W = k 1 u + k 2 v dengan k 1 = k 2 = 0 4. Hartik : Bagaimana mencari penyelesaian dari soal 8a halaman 161? Jawab : Diketahui: v 1 = (2, -2, 2) v 2 = (2, 0, 3) v 3 = ( 1, 1, 1) Misal vector sembarang b = ( b 1, b 2, b 3 ) pada R 3 b =k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 dari vector-vektor v 1, v 2, v 3 Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponennya menghasilkan ( b 1, b 2, b 3, ) = k 1 ( 2, -2, 2 ) + k 2 ( 2, 0,3 ) + k 3 ( 1, 1, 1 ) = (2k 1, -2k 1, 2k 1 ) + ( 2k 2, 0, 3k 2 ) + ( k 3,k 3,k 3 ) = ( 2k 1 + 2k 2 + k 3, -2k k 3, 2k 1 + 3k 2 + k 3 ) Menghasilkan suatu persamaan : 2k 1 + 2k 2 + k 3 = b 1-2k k 3 = b 2 2k 1 + 3k 2 + k 3 = b 3 Sistem ini konsisten untuk semua nilai b 1, b 2, b 3 jika dan hanya jika matriks koefisiennya memiliki determinan tak nol, maka

7 Dengan menggunakan Sarrus menghasilkan determinan : = (-2) (-2).2 = = 8 12 = - 4 Karena determinan tak nol maka soal diatas merentang di R 3.