UNIVERSITAS INDONESIA MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS IDU TESIS IFFATUL MARDHIYAH

Transkripsi

1 UNVERTA NDONEA MODEL MATEMATKA PENYEBARAN NFEK HV PADA KOMUNTA DU TE FFATUL MARDHYAH FAKULTA MATEMATKA DAN LMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM TUD MATEMATKA DEPOK JUN Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

2 UNVERTA NDONEA MODEL MATEMATKA PENYEBARAN NFEK HV PADA KOMUNTA DU TE Diajuan sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Magister ains FFATUL MARDHYAH FAKULTA MATEMATKA DAN LMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM TUD MATEMATKA DEPOK JUN Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

3 Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

4 Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

5 KATA PENGANTAR egala puji hanya bagi Allah WT atas semua asih sayang dan arunia-nya yang ta berhingga epada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaian dengan bai. halawat serta salam penulis sampaian pada suri tauladan manusia Nabi Muhammad AW. Penulis menyadari bahwa penyusunan tesis ini tida terlepas dari peranan dorongan bantuan dan doa dari banya piha. Dengan penuh rasa syuur dan hormat penulis ingin menyampaian ucapan terima asih epada :. Bapa Dr. Hengi Tasman selau pembimbing penulis yang selalu sabar dan semangat dalam membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaian tesis ini dengan bai.. aepul Manap sebagai suami yang selalu menduung memahami dan mencurahan asih sayang yang ta berhingga epada penulis dalam segala hal menuju ebahagiaan dunia dan ahirat. 3. Bapa Amar Nurmansyah dan Mama Atiah Royani orang tua penulis yang sangat mencintai dan menyayangi penulis dengan doa perjuangan dan dorongannya selama hidup penulis tanpa batas. 4. Muhammad Fata lmathter dan mily Farha lmathter edua buah hati penulis yang menjadian hidup penulis lebih bahagia dunia untu ahirat. 5. Ade Rahmatullah dan Nur Azizah adi penulis yang selalu menduung dan mendoaan penulis. 6. bu artimah dan Bapa Djupri mertua penulis yang memberian duungan dan doanya epada penulis. 7. Patric Centurioni dan Wahyu Hidayat adi ipar penulis yang iut menduung penulis. 8. eluruh anggota eluarga yang selalu mendoaan penulis. 9. eluruh dosen Departemen Matematia U atas segala ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis. iv Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

6 . eluruh staf dan aryawan Departemen Matematia U yang telah banya membantu penulis dalam mengurus administrasi.. eluruh piha dalam Pusat tudi Komputasi Matematia (PKM) Universitas Gunadarma terutama Bapa uryadi Harmanto selau Pure bu Ernastuti dan Bapa Edi uirman.. Erlyene Dwiseta sahabat terbai dari masa ana-ana hingga dewasa penulis terimaasih atas semua enangan yang indah selama hidup penulis. 3. Anggota PKM angatan ; Dewi Putrie Lestari lmiyati ari Desti Riminarsih Feni Andriani Nurma Nugraha Achmad Fahrurozi dan Rifi Kosasih sahabat seperjuangan yang selalu berbagi sua dan dua saling menduung dan saling mendoaan. 4. eluruh sahabat penulis matematia U angatan 4 yang masih terus menduung penulis dalam menyelesaian tesis ini. 5. Anggota PKM angatan ; Dina ndarti as ri Wahyuni Aini uri Talita Nola Marina Murni Tri Handia d. 6. eluruh mahasiswa A tahun ajaran / yang menjadian hidup penulis penuh warna dalam mengajar di Universitas Gunadarma. 7. Piha lain yang mungin penulis lupa sebutan yang telah memberian bantuan dan dorongan epada penulis. Penulis menyadari bahwa masih banya eurangan pada tugas ahir ini. Oleh arena itu penulis mohon maaf jia terdapat esalahan atau eurangan. Ahir ata semoga tesis ini dapat bermanfaat. Depo Juni Penulis ffatul Mardhiyah v Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

7 Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

8 ABTRAK Nama : ffatul Mardhiyah Program tudi : Matematia Judul : Model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU HV (Human mmunodeficiency Virus) merupaan virus infesi berbahaya yang tida dapat disembuhan. Penularan infesi HV melalui jarum sunti rentan terjadi dalam omunitas pecandu naroba sunti (njecting Drug Users / DU) yang saling berbagi jarum sunti dalam grup sahabat. Penulisan ini membahas perilau penyebaran infesi HV pada omunitas DU melalui model matematia berdasaran model lasi epidemi R (usceptibles nfectious Recovered). Model menggunaan asumsi bahwa pecandu yang menyadari sudah mengidap AD tida iut berbagi jarum sunti dalam omunitas DU. Model penyebaran infesi HV pada omunitas DU memperhatian euatan infesi dengan meanisme pertuaran jarum sunti. Untu menganalisa perilau penyebaran infesi HV pada omunitas DU model dianalisa dengan menentuan basic reproduction ratio ( ) dan dua titi esetimbangan yaitu titi esetimbangan bebas infesi dan titi esetimbangan epidemi. Analisa sistem dinami dilauan dengan menganalisa basic reproduction ratio ( ) untu menentuan estabilan dari titi esetimbangan bebas infesi dengan menggunaan teorema estabilan global Lyapunov dan estabilan titi esetimbangan epidemi dengan teorema estabilan loal dan diduung oleh riteria Bendion-Dulac. Hasil penelitian menunjuan bahwa infesi HV mewabah pada omunitas DU jia sedangan jia maa infesi HV tida mewabah pada omunitas DU. Kata Kunci : infesi HV omunitas DU model epidemi R euatan infesi basic reproduction ratio titi esetimbangan bebas infesi titi esetimbangan epidemi estabilan global Lyapunov estabilan loal riteria Bendion-Dulac. iii+67 halaman ; 3 gambar; 6 tabel; 3 lampiran Daftar Pustaa : (989-6) vii Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

9 ABTRACK Name : ffatul Mardhiyah Program tudy : Mathematics Title : A Mathematical Model for Transmission of HV nfection in DU Community Human immunodeficiency Virus (HV) is a dangerous infection virus that cannot be recovered. The spreading of HV infection through drug injecting equipment (DE) is susceptible for njecting Drug Users (DU) Community who shared drug injecting equipment for the friendship group. This paper eplains the behavior of HV transmission among community of DU through by mathematical models based on classical epidemic models R (usceptibles nfectious Recovered). Model uses assumption that the users who aware suffered AD will not share drug injecting equipment among DU community. Models for HV transmission among DU community notice the mechanism of echange of a drug injecting equipment. To analyze the behavior of HV transmission among DU community models is going to be analyze by determine the basic reproduction ratio and two equilibriums which are disease-free equilibrium and epidemic equilibrium. Dynamic system analysis can be done by analyze of basic reproduction ratio to determine the stability of disease-free equilibrium by Lyapunov global stable theorem and the stability of epidemic equilibrium by local stable theorem with Bendion-Dulac criterion. As the results of this paper nfection of HV become an epidemic on DU community if whereas HV is not an epidemic on DU community if. Key Words : HV infection DU community classical epidemic models R force of infection basic reproduction ratio dynamic system disease-free equilibrium epidemic equilibrium Lyapunov global stability local stability Bendion-Dulac criterion. iii+67 pages ; 3 pictures; 6 tables; 3 attachments Bibliography : (989-6) viii Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

10 DAFTAR HALAMAN JUDUL.. HALAMAN PERNYATAAN ORNALTA... HALAMAN PENGEAHAN... KATA PENGANTAR... HALAMAN PERETUJUAN PUBLKA KARYA LMAH... ABTRAK... ABTRACK DAFTAR... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPRAN... i ii iii iv vi vii viii i i ii iii. PENDAHULUAN... Latar Belaang Masalah..... Perumusan Masalah Tujuan Penulisan.... LANDAAN TEOR.. istem Persamaan Diferensial.. istem Persamaan Diferensial Linier.. istem Persamaan Diferensial Nonlinier... Kesetimbangan dan Kestabilan..3 Probabilitas Probabilitas Bersyarat.4 Distribusi Poisson Proses Poisson....5 Basic Reproduction Ratio.. 3. MODEL MATEMATKA PENYEBARAN NFEK HV PADA KOMUNTA DU 3. Pembentuan Model Keuatan nfesi Analisa Kualitatif Model Basic Reproduction Ratio Kesetimbangan dan Kestabilan Model Titi Kesetimbangan Bebas nfesi Titi Kesetimbangan Epidemi Kestabilan Titi Kesetimbangan Model i Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

11 4. MULA MODEL MATEMATKA PENYEBARAN NFEK HV PADA KOMUNTA DU imulasi : Dinamia 4. imulasi : Potret Fase pada saat imulasi 3 : Potret Fase pada saat KEMPULAN DAN ARAN.. 5. Kesimpulan 5. aran.. DAFTAR PUTAKA Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

12 DAFTAR GAMBAR Gambar. (a) Titi esetimbangan stabil Gambar. (b) Titi esetimbangan stabil asimtoti Gambar. (a) tabil Lyapunov Gambar. (b) tabil asimtoti Lyapunov..... Gambar 3. Diagram penyebaran infesi HV pada omunitas DU. Gambar 4. Dinamia pada populasi pecandu susceptibles... Gambar 4. Dinamia pada populasi pecandu infectious... Gambar 4.3 Jumlah populasi susceptibles terhadap watu saat. Gambar 4.4 Jumlah populasi infectious terhadap watu saat. Gambar 4.5 Potret fase susceptibles dan infectious dalam omunitas DU saat. Gambar 4.6 Jumlah populasi susceptibles terhadap watu saat Gambar 4.7 Jumlah populasi infectious terhadap watu saat Gambar 4.8 Potret fase susceptibles dan infectious dalam omunitas DU saat i Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

13 DAFTAR TABEL Tabel 3. Variabel dan parameter model Tabel 4. Nilai parameter pada simulasi Tabel 4. Penurunan ( ) terhadap dalam presentase. Tabel 4.3 Kenaian ( ) terhadap dalam presentase. Tabel 4.4 Nilai parameter pada simulasi..... Tabel 4.5 Nilai parameter pada simulasi ii Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

14 DAFTAR LAMPRAN Lampiran ource Code simulasi : Dinamia ( ) Lampiran ource Code simulasi : Potret Fase pada saat.. Lampiran 3 ource Code simulasi 3 : Potret Fase pada saat iii Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

15 BAB PENDAHULUAN. Latar Belaang Masalah HV (Human mmunodeficiency Virus) adalah virus yang sangat berbahaya arena merupaan virus yang mematian dan mudah menyebar. Virus yang mematian ini menyerang sistem eebalan tubuh manusia yang terinfesi dan membuat tubuh ehilangan emampuan untu melawan penyait sehingga tubuh lebih rentan terhadap penyait. Virus HV menyerang limfosit CD4 (sel T) dan menghancuran sel-sel darah putih sehingga mempengaruhi sistem eebalan tubuh. etelah terjangit infesi HV cuup lama manusia yang terjangit infesi HV aan menderita penyait AD (Acquired mmunodeficiency yndrome). Kasus infesi HV dan penyait AD merupaan asus esehatan yang sudah lama terjadi namun hingga saat ini belum ditemuan obat untu menyembuhan penyait ini. Pertumbuhan virus HV dalam tubuh manusia sangatlah cepat di awal terserang infesi HV. etiap tahapan pertumbuhan virus HV dapat menimbulan gejala yang berbeda-beda. Gejala yang ditimbulan memilii ciri yang sama dengan gejala infesi virus lainnya sehingga membuat orang tida menyadari bahwa dirinya sudah terinfesi. nfesi HV menular e manusia lain melalui onta langsung dengan penderita seperti melalui hubungan ses donor darah dan pemaaian jarum sunti secara bergantian. Oleh arena itu HV dapat menyebar secara cepat di omunitas pecandu Naroba (Narotia dan Obat Terlarang) sunti dan pelau ses bebas. Pada penulisan ini dibahas model matematia untu penyebaran infesi HV di omunitas pecandu naroba sunti (DU / njecting Drug Users). Komunitas pecandu naroba sunti (DU) merupaan elompo beresio tinggi untu terena infesi HV. Pola hidup pecandu naroba sunti (DU) yang setia awan mendorong merea untu saling berbagi di antaranya saling berbagi jarum sunti (DE / Drug njecting Equipment). Grup dalam omunitas DU yang saling berbagi jarum sunti dinamaan sebagai grup "sahabat". Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

16 Pecandu yang terinfesi HV yang belum menyadari bahwa sudah terinfesi HV iut berbagi jarum sunti epada elomponya sehingga penyebaran HV di omunitas pecandu naroba sunti meningat. eitar 56 persen lai-lai dan 36 persen perempuan pecandu naroba sunti di ndonesia berbagi jarum sunti etia menyunti dan hanya 4 persen di antaranya merebus jarumnya sebelum digunaan embali (Hugo G. ). Model penyebaran infesi HV pada omunitas DU digunaan untu mengetahui laju penyebaran suatu wabah penyait dalam suatu populasi tertutup dan bersifat endemi. Oleh arena infesi HV sangat berbahaya hingga tida ada yang sembuh dari infesi HV maa model memperhatian tiga elompo individu yaitu elompo individu yang sehat namun rentan dan dapat terinfesi HV (susceptibles) atau disimbolan dengan elompo individu yang telah terinfesi HV (infectious / ) dan elompo individu yang sudah menderita penyait AD aibat infesi HV yang terlalu lama dengan simbol (AD). etiap penyait infesi memilii potensi penyebaran virus yang berbedabeda. Potensi penyebaran bisa dipengaruhi oleh ondisi udara ondisi manusia yang mudah terinfesi dan lain sebagainya. ebagai contoh penyait infesi cacar berpotensi menyebar sangat besar etia elompo ana bermain di udara bebas. Hal tersebut dapat membuat infesi cacar dari ana yang telah terinfesi menyebar cepat arena terbawa angin. Potensi penyebaran penyait infesi di lingungan elompo individu terinfesi dinamaan euatan infesi (force of infection). Pada penulisan ini dilauan analisis pada model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU. Berdasaran model matematia penyebaran HV pada omunitas DU aan dicari dua titi esetimbangan yaitu titi esetimbangan bebas infesi (disease-free equilibrium) dan titi esetimbangan epidemi (epidemic equilibrium). Pada edua titi tersebut aan dilauan pengujian estabilan berdasaran basic reproduction ratio untu mengamati penyebaran infesi HV pada omunitas DU. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

17 3. Perumusan Masalah Permasalahan yang dibahas pada tesis ini adalah bagaimana penyebaran infesi HV dengan euatan infesi yang dipengaruhi meanisme pertuaran jarum sunti pada omunitas DU..3 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan ini adalah memahami penyebaran infesi HV dengan euatan infesi yang dipengaruhi meanisme pertuaran jarum sunti pada omunitas DU melalui model matematia. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

18 BAB LANDAAN TEOR Pada bab ini dibahas mengenai landasan teori yang digunaan dalam tesis ini hususnya yang diperluan dalam Bab 3. Teori yang dibahas adalah teori yang menduung pembentuan dan analisis sistem dinami model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU (njecting Drug Users). Dalam bab ini dibahas mengenai sistem persamaan diferensial esetimbangan dan estabilan basic reproduction ratio teori probabilitas dan distribusi Poisson. Pembentuan model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU sangat beraitan erat dengan sistem persamaan diferensial. Untu menganalisa dinamia model pada eadaan setimbang diperluan teori-teori dalam sistem persamaan diferensial. elanjutnya pada bab ini perlu dibahas mengenai esetimbangan dan estabilan sistem. Dengan beberapa teorema estabilan sistem dapat lebih mudah diamati dinamianya secara loal maupun global. Dalam omunitas DU biasanya terbentu arater sosial antar pecandu naroba sunti (DU) sehingga memunginan merea membentu grup dalam omunitas DU. Pembentuan grup dalam omunitas DU berperan penting dalam euatan penyebaran infesi HV di alangan omunitas DU. Terdapat banya emunginan dalam pembentuan grup dan meanisme pertuaran jarum sunti dalam grup. Oleh arena itu dalam pembahasan tesis ini diperluan pembahasan mengenai teori probabilitas yang menyangut pembentuan grup dan meanisme pertuaran jarum sunti (DE) dalam omunitas DU. Pembentuan grup dalam omunitas DU merupaan ejadian disrit dengan banya percobaan yang diasumsian menuju ta hingga. Dengan demiian distribusi Poisson dibahas untu menjelasan proses terjadinya pembentuan grup dan uuran grup dalam omunitas DU. 4 Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

19 5. istem Persamaan Diferensial dengan Beriut ini diberian sistem persamaan diferensial Gt (.) d dt n n n t G : D merupaan fungsi ontinu di D. istem persamaan diferensial (.) diataan sistem persamaan autonomous jia variabel t dinyataan secara implisit sedangan jia variabel t dinyataan secara esplisit maa sistem (.) diataan sistem persamaan diferensial nonautonomous. istem persamaan diferensial autonomous dapat ditulis dalam bentu G(). (.) Apabila sistem (.) dapat ditulis dalam bentu a a... a n n a a... an n (.3) n an an... annn dengan a ij adalah bilangan riil maa sistem (.) merupaan sistem persamaan diferensial autonomous linier. Jia sistem (.) tida dapat dibuat seperti bentu linier di (.3) maa sistem (.) merupaan sistem persamaan diferensial autonomous nonlinier. istrm persamaan diferensial dapat menunjuan suatu dinamia (perubahan) dari suatu eadaan yang bergera atau mengalami perubahan. Oleh arena itu sistem persamaan diferensial dapat direpresentasian sebagai sistem dinami dari suatu eadaan yang diperhatian... istem Persamaan Diferensial Linier istem persamaan diferensial linier dapat dilihat dari bentu persamaannya. Misalan Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

20 6 a a a n a a an A (.4) n an an ann maa sistem persamaan diferensial autonomous linier dalam persamaan (.3) dapat ditulis sebagai A. (.5).. istem Persamaan Diferensial Nonlinier dengan Misalan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu dalam bentu Ft (.6) d dt n n n t F : D merupaan fungsi nonlinier yang ontinu dan terdiferensialan di D. Dalam penulisan ini variabel t dinyataan secara implisit sehingga sistem persamaan (.6) diataan sistem persamaan diferensial autonomous nonlinier dan ditulis F(). (.7). Kesetimbangan dan Kestabilan istem persamaan diferensial memilii perilau yang berbeda-beda di setiap titi namun terdapat titi esetimbangan etia sistem dalam eadaan setimbang (onstan). Melalui titi esetimbangan sistem dapat lebih mudah diamati perilau estabilannya. Definisi. (Titi Kesetimbangan) uatu titi n disebut titi esetimbangan dari sistem persamaan n F jia memenuhi persamaan F. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

21 7 Definisi. (Titi esetimbangan hiperboli) Titi n diataan titi esetimbangan hiperboli dari persamaan (.7) jia memenuhi persamaan F dan matris F F F Fn F F F F Fn Fn n n tida mempunyai nilai eigen yang bagian riilnya bernilai nol. n. Hal yang sangat terait dengan titi esetimbangan adalah estabilan dari titi tersebut. Kestabilan adalah bentu perilau sistem yang dilihat dari titi esetimbangan sistem. Beriut ini definisi mengenai estabilan titi esetimbangan. Definisi.3 (Kestabilan Titi Kesetimbangan) Misalan awal. adalah titi esetimbangan dari sistem F() dan adalah titi. diataan stabil jia untu setiap > terdapat ( ) > sedemiian sehingga untu setiap dari F() yang melalui solusi t pertidasamaan < n dengan < t untu setiap t. di t memenuhi. diataan stabil asimtoti jia sedemiian sehingga t stabil dan terdapat > r saat t untu semua yang memenuhi < r. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

22 8 3. diataan tida stabil jia terdapat suatu > sedemiian sehingga untu sebarang > terdapat sebuah < dan > dengan t sedemiian sehingga t >. F Berdasaran Definisi.3 dapat disimpulan bahwa sistem diataan stabil pada titi esetimbangan jia ondisi awal berada di seitar sejauh dengan adalah bilangan positif terecil maa sifat solusi sistem t berada di seitar titi esetimbangan berada sangat deat dengan esetimbangan. Jia ondisi awal dan solusi sistem cenderung mendeati titi maa sistem diataan stabil asimtoti. elain itu jia sifat solusi sistem menjauh dari titi esetimbangan ondisi awal maa sistem diataan tida stabil. Misalan adalah ondisi awal V adalah lingungan dari aibat perubahan ecil pada sejauh atau dapat ditulis V : V adalah lingungan dari semua solusi yang mungin : dan V. Dengan demiian sistem yang stabil dan stabil asimtoti dapat dijelasan melalui gambar beriut ini (a) (b) [ sumber : Gucenheimer J. & Holmes P. 983 ]. Gambar. (a) Titi esetimbangan stabil (b) Titi esetimbangan stabil asimtoti. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

23 9 Universitas ndonesia Untu menganalisa estabilan titi esetimbangan di seitar titi tersebut sistem persamaan nonlinier (.7) harus dilinieran terlebih dahulu. Hal ini dilauan untu menasir perilau elinieran sistem (.7) di seitar titi esetimbangan. Linierisasi istem Misalan adalah titi esetimbangan dari sistem persamaan (.7) yaitu ) ( F yang memilii espansi deret Taylor di titi yang secara matematis dapat ditulis F F F (.8) Oleh arena merupaan titi esetimbangan maa F. Dalam melinieran sistem persamaan (.7) suu pada (.8) yang mempunyai orde lebih besar dari satu dapat diabaian. Dengan demiian persamaan (.8) dapat ditulis. F F() (.9) Berdasaran persamaan (.7) dan (.9) diperoleh. F (.) Misalan y Ψ F dengan. F n n n n n n F F F F F F F F F Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

24 Persamaan (.) dapat ditulis y Ψ y (.) dengan matris Ψ disebut matris Jacobian dari sistem persamaan (.7) di titi. elanjutnya bagian ruas anan persamaan (.) disebut bagian linier dari fungsi nonlinier F di titi. Dengan demiian estabilitan titi esetimbangan dapat dilihat melalui bagian liniernya. Kestabilan titi esetimbangan dari persamaan (.7) dapat dianalisa dengan menggunaan nilai-nilai eigen dari matris Ψ yang merupaan solusi atau aar-aar arateristi dari persamaan arateristi det Ψ arateristi tersebut dapat ditulis dalam bentu n a a n n n a a. Persamaan dengan an an a a adalah onstanta dan aar-aar arateristinya adalah nilai eigen n. Nilai-nilai eigen tersebut dapat digunaan untu menentuan estabilan titi esetimbangan loal dari sistem persamaan (.7) sesuai dengan teorema beriut ini. Teorema. Jia matris Ψ pada sistem (.7) adalah matris oefisien dengan nilai eigen n maa titi esetimbangan. tabil jia Re i n i.... tabil asimtoti jia Re < i n 3. Tida stabil jia Re > dengan Re adalah bagian riil dari. dari sistem (.7) diataan : i... untu suatu Teorema. dapat digunaan untu menentuan estabilan loal suatu titi esetimbangan. Titi esetimbangan yang stabil atau stabil asimtoti hanya pada suatu daerah tertentu dalam lingungan solusi sistem diataan stabil loal atau stabil asimtoti loal. Titi esetimbangan diataan stabil global atau stabil asimtoti global jia titi esetimbangan tersebut stabil atau stabil asimtoti pada setiap lingungan solusi sistem. Beriut ini definisi solusi periodi pada sistem. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

25 Definisi.4 (olusi Periodi) Misalan merupaan solusi untu persamaan dan misalan terdapat bilangan positif terecil T sedemiian sehingga untu setiap maa disebut solusi periodi dari persamaan dengan periodenya T. e Jia a stabil asimtoti global maa solusi di seitar a cenderung menuju a. Namun jia terdapat solusi periodi pada sistem maa solusi yang berada di luar solusi periodi tida cenderung menuju a arena dibatasi oleh solusi periodi dalam sistem. Hal tersebut memberian esimpulan bahwa stabil asimtoti namun tida secara global. Misalan sistem persamaan (.7) didefinisian di a bersifat sehingga F dengan d : D dt t F dan memilii titi esetimbangan a yang stabil asimtoti loal. Beriut ini riteria yang menunjuan eberadaan solusi periodi dalam sistem persamaan (.7) pada. Kriteria. (Kriteria Bendion-Dulac) Misalan terdapat suatu fungsi yang ontinu dan terdiferensial : dan dengan sedemiian sehingga fungsi F F tida berubah tanda di. Jia tida ada perubahan tanda di maa tida terdapat solusi periodi dari sistem persamaan (.7) di daerah. elanjutnya untu menentuan estabilan global dari suatu titi esetimbangan sistem dapat dianalisa melalui estabilan Lyapunov. Dalam estabilan Lyapunov estabilan titi esetimbangan suatu sistem dapat diamati melalui fungsi definit positif n L : yang disebut sebagai fungsi Lyapunov. Pada penulisan ini fungsi Lyapunov digunaan untu mendetesi estabilan asimtoti secara global dalam penyelesaian sistem dinami. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

26 Definisi.5 (Kestabilan Lyapunov) Misalan sebarang solusi. adalah titi esetimbangan dari sistem. t F dan y adalah diataan stabil Lyapunov jia untu setiap > terdapat () > sedemiian sehingga untu setiap solusi lain y t dengan t yt < maa memenuhi pertidasamaan t yt < untu setiap t t t.. diataan stabil asimtoti jia onstanta > stabil Lyapunov dan terdapat b sedemiian sehingga jia t yt < b maa memenuhi t t lim y (Wiggins. 99). t Beriut ini gambaran estabilan Lyapunov dan stabil asimtoti Lyapunov. (a) (b) [ sumber : Wiggins. 99 ]. Gambar. (a) tabil Lyapunov (b) tabil asimtoti Lyapunov. Teorema. Misalan z titi esetimbangan untu sistem (.7) dan L : fungsi definit positif terdiferensialan pada lingungan maa n sedemiian sehingga a. jia z b. z L dan z L pada z L dengan z z z diataan stabil. elanjutnya merupaan z dalam himpunan Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

27 3 maa Jia c. jia memenuhi z L pada z ; z diataan stabil asimtoti dengan n L L z j (Hirsch dan male 974). z j j n maa pada asus c z diataan stabil asimtoti global..3 Probabilitas Misalan E merupaan suatu himpunan yang terdiri dari semua hasil yang mungin terjadi pada suatu percobaan aca. E disebut sebagai ruang contoh (sampel). elanjutnya untu setiap himpunan bagian E dari E didefinisian suatu fungsi probabilitas himpunan P dengan P (E) menyataan besar probabilitas (peluang) bahwa himpunan E merupaan hasil dari suatu percobaan aca. Jia E E... adalah himpunan-himpunan bagian dari himpunan E E3 maa dapat didefinisian fungsi himpunan probabilitas yaitu Definisi.6 Jia P (E) didefinisian untu suatu himpunan bagian dari himpunan E dan jia memenuhi (a) P ( E) (b) P ( E E E3 ) P( E) P( E ) P( E3) dengan himpunan E i i 3... sedemiian sehingga tida ada dua himpunan E i dan E j yang memilii satu anggota yang sama (yani E atau E i dan i E j E j merupaan ejadian saling lepas (c) P (E) i j ) maa P diataan fungsi himpunan probabilitas dari hasil percobaan aca (Hogg R.V. Allen T.C. 995). Kejadian E dan G diataan saling lepas jia E G yani jia E dan G tida dapat terjadi bersamaan. Misalan G G... merupaan G3 Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

28 4 ejadian saling lepas dengan Gi G j untu i j. Jia E G i dan G saling lepas maa berlau aturan penjumlahan :. P E G) P( E ) P( ) ( G.. P G PG i i i i Misalan G G... merupaan ejadian saling lepas dari ruang contoh G3 i maa berlau huum probabilitas total yaitu PE PE G sebarang ejadian E. i untu.3. Probabilitas Bersyarat Untu sebarang ejadian E dan G probabilitas bersyarat E diberian G ditulis E G P didefinisian dengan P E G P E G P G Berdasaran persamaan (.) diperoleh bahwa E G PE G PG. ; P (G) >. (.) P (.3) Misalan G G... merupaan ejadian saling lepas yaitu G untu G3 i G j i j maa menurut huum probabilitas total dan persamaan (.3) maa E PE G PG. P (.4) i elanjutnya ejadian E dan G G E PG i i diataan saling bebas jia P E G P E P sehingga berlau P( E G) P( E) P( G). atau.4 Distribusi Poisson Distribusi Poisson merupaan salah satu distribusi probabilitas disrit yang didasari oleh terjadinya percobaan Poisson. Percobaan Poisson adalah suatu percobaan yang menghasilan nilai-nilai yang disrit dari suatu variabel aca yang terjadi dalam suatu selang watu atau suatu daerah tertentu. Beriut ini ciriciri percobaan Poisson Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

29 5. banyanya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang watu atau daerah tertentu tida bergantung pada banyanya hasil percobaan yang terjadi pada suatu selang watu atau daerah tertentu yang berbeda. peluang terjadinya suatu percobaan dalam suatu selang watu yang singat atau daerah tertentu yang ecil sebanding dengan panjang selang watu atau besarnya daerah tertentu tersebut dan tida bergantung pada percobaan yang terjadi di luar selang watu atau di luar daerah tertentu tersebut 3. peluang terambilnya lebih dari hasil percobaan dalam suatu selang watu yang singat atau daerah tertentu yang ecil dapat diabaian. (Walpole R.E. 995) Misalan : N adalah banya percobaan dari populasi ejadian disrit adalah banyanya percobaan suses pada N percobaan dan p adalah probabilitas terjadinya percobaan suses dalam suatu percobaan ejadian disrit. Probabilitas terjadinya percobaan suses sebanya ali dalam N percobaan berdasaran pendeatan distribusi Binomial adalah N! Pp ( N) p! ( N )! ( p) N elanjutnya nilai harapan banyanya percobaan suses adalah N p sehingga diperoleh P / N N N!! N! N. N Untu uuran sampel N yang sangat besar probabilitas terjadinya percobaan N suses sebanya ali dalam N percobaan menjadi: P P N lim / N N lim N N N... N! N. N N N Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

30 6 lim N N.. e! e P ( )! N... N.. N! N N N Misalan G adalah variabel aca banyanya percobaan suses dalam suatu ejadian disrit. Dengan demiian terbentulah distribusi Poisson dengan parameter > untu variabel aca G dengan pmf (probability mass function) P G e! untu.... (.5) Oleh arena itu rata-rata atau nilai harapan dan variansi dari variabel aca G adalah e (.6)! E G G var[ G ]. (.7) Distribusi Poisson merupaan salah satu distribusi untu variabel aca yang disrit. Distribusi Poisson digunaan untu menentuan probabilitas dari percobaan suses yang ditentuan dan percobaan tersebut terjadi dalam suatu interval watu atau daerah tertentu. Percobaan suses yang diperhatian dalam distribusi Poisson adalah ejadian yang terjadi dalam percobaaan yang besar dan dilauan berulang ali sehingga N. elanjutnya dalam penulisan ini ejadian pembuatan grup omunitas DU merupaan percobaan disrit yang mengiuti distribusi Poisson..4. Proses Poisson Proses ejadian pembuatan grup dalam omunitas DU nilainya berubahubah secara tida pasti dan terait dengan watu. Oleh arena setiap variabel yang nilainya berubah-ubah secara tida pasti terait dengan watu diataan mengiuti proses stoasti maa pembahasan proses stoasti diperluan pada Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

31 7 bab ini. Misalan Gt adalah variabel aca dari suatu proses pada watu tt.... Definisi.7 Proses stoasti adalah olesi dari variabel aca G t dengan t adalah suatu parameter bergera pada himpunan indes T (Taylor H.M.. Karlin 998). Dengan demiian proses ejadian pembuatan grup omunitas DU yang merupaan percobaan Poisson yang mengiuti proses stoasti dapat diataan sebagai proses Poisson. Definisi.8 (Proses Poisson) uatu intensitas atau tingat proses Poisson > adalah sebuah nilai bilangan bulat proses stoasti t G ; t dengan. untu sebarang titi watu t < t < t < < tn dengan proses increments t Gt Gt Gt Gt Gt G... n n (.8) merupaan variabel aca saling bebas. untu s dan > sehingga 3. t variabel aca Gs t Gs berdistribusi Poisson t ( t) e P( G( s t) G( s) ) untu...! G (Taylor H.M.. Karlin 998). Berdasaran definisi proses Poisson di atas dapat dibutian bahwa E[ G( t)] t (.9) var[ G( t)] t. (.) Contoh. Para pelanggan suatu too datang menurut proses Poisson dengan tingat intensitas edatangan 4 orang per jam. Too tersebut bua pada puul 9. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

32 8 pagi. Berapaah probabilitas edatangan seorang pelanggan tiba puul 9.3 pagi dan terdapat total lima orang pelanggan tiba di too puul.3 pagi? Jawab: Misalan t : watu edatangan pelanggan terhitung seja puul 9. pagi (dalam jam) Gt : variabel aca jumlah total pelanggan pada watu t sedemiian sehingga puul 9. berorespondensi dengan t puul 9.3 berorespondensi dengan t 5 puul.3 berorespondensi dengan t. elanjutnya G G t G t G t G 5 G 5 5 dengan proses increments G G G G merupaan variabel aca saling bebas dan berdistribusi Poisson. Dengan demiian berdasaran definisi proses Poisson probabilitas edatangan seorang pelanggan tiba puul 9.3 pagi dan terdapat total lima orang pelanggan tiba di too puul.3 pagi ditulis 5 P G G 5 PG G 5 G G 4 e e 4(/) 4! 5 e 3 8 e 4() [4()] 4! Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

33 9.5 Basic Reproduction Ratio ( R ) Dalam pemodelan epidemi penyait terdapat uuran penyebaran penyait pada populasi yang diperhatian. Uuran (rasio) diperhatian untu menganalisa model penyebaran epidemi penyait dan selanjutnya disebut basic reproduction ratio. Pada subbab ini dijelasan mengenai pengertian dasar dan metode penentuan basic reproduction ratio yang dinotasian dengan R. Definisi.9 Basic reproduction ratio adalah rata-rata banyanya asus edua (individu infectious baru) yang disebaban satu individu yang terinfesi (infectious) selama masa terinfesinya dalam eseluruhan populasi susceptibles. Dalam penulisan ini basic reproduction ratio aan ditentuan dengan menggunaa metode operator generasi selanjutnya (the net generation operator). Dalam metode ini basic reproduction ratio ( R ) didefinisian sebagai radius spetral dari operator generasi selanjutnya. Definisi. (Radius petral) Misalan Φ adalah matris n n dan... n adalah nilai eigen dari matris Φ maa radius spetral dari matris Φ didefinisian sebagai:. Φ ma i... n i Metode Operator Generasi elanjutnya Metode operator generasi selanjutnya merupaan metode yang dilauan dengan cara mengelompoan populasi e dalam 3 elompo individu yaitu elompo individu yang tida terinfesi elompo individu terinfesi tetapi tida menularan dan elompo individu terinfesi dan menularan. Misalan. omponen X menyataan elas-elas individu yang tida terinfesi penyait yang sedang diobservasi. omponen Y menyataan elas-elas individu yang terinfesi penyait yang sedang diobservasi tetapi tida dapat menularan penyait tersebut Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

34 3. omponen Z menyataan elas-elas individu yang terinfesi penyait yang sedang diobservasi dan dapat menularan penyait tersebut. Dengan demiian model epidemi suatu penyait dapat ditulisan dalam bentu dx f ( X Y Z) dt dy g X Y Z dt dz h ( X Y Z) dt r s dengan X Y dan r ; dan X n Z ; s n h. Dalam metode operator generasi selanjutnya dimisalan rsn X V adalah titi esetimbangan bebas-infesi dari sistem (.) persamaan (.7) yang diperoleh dari persamaan f X g dan hx. elanjutnya diasumsian persamaan g Y Z diperoleh solusi Y g~ X Z beruuran n n ~ X gx. Φ h Z Misalan Φ dapat ditulisan dalam bentu Φ JQ X X sehingga. Oleh arena itu dapat diperoleh sebuah matris dengan J ( j ) dan Q adalah matris diagonal. Dengan demiian R ij didefinisian sebagai radius spetral dari matris Definisi. diperoleh R ρjq. JQ sehingga berdasaran Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

35 BAB 3 MODEL MATEMATKA PENYEBARAN NFEK HV PADA KOMUNTA DU Pada bab ini dibahas model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU (njecting Drug Users). Berdasaran penjelasan pada Bab aan dilauan analisa dinami terhadap model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU. ebelum melauan analisa dinami terhadap model penyebaran infesi HV pada omunitas DU dibahas mengenai pembentuan model. Pembentuan model didasari oleh asumsi yang sesuai dengan eadaan omunitas DU dan sifat infesi HV. Pada alur dinamia penyebaran infesi HV dalam omunitas DU terdapat fator euatan infesi. Fator euatan infesi memperhatian asumsiasumsi meanisme pertuaran jarum sunti yang menyebaban terjadinya penyebaran infesi HV di dalam omunitas DU. elanjutnya perilau sistem dinami dibahas dengan mengamati turunan parsial fungsi euatan infesi dan fator yang mempengaruhi laju perubahan populasi pada omunitas DU. Untu mengetahui pola penyebaran infesi HV omunitas DU melalui sistem dinami maa dicari basic reproduction ratio dan menentuan titi esetimbangan dari sistem dinami. Dengan demiian melalui titi esetimbangan dinamia penyebaran infesi HV pada omunitas DU dapat diamati dengan menentuan estabilannya melalui basic reproduction ratio. 3. Pembentuan Model Dalam penyebaran infesi HV pada omunitas DU omunitas tersebut diasumsian terdiri dari tiga elompo individu pecandu naroba yaitu : (t) : susceptibles : uuran populasi individu yang sehat namun rentan dan dapat terinfesi HV pada watu t selanjutnya disebut uuran populasi susceptibles pada saat t. (t) : infectious : uuran populasi individu yang telah terinfesi HV pada watu t Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

36 A(t) : AD : uuran populasi individu yang sudah mengidap penyait AD pada watu t. Pada penulisan ini diasumsian total uuran populasi atif pecandu dalam omunitas DU adalah. Dengan demiian probabilitas seorang sharer (pembagi jarum sunti) merupaan seorang pecandu terinfesi adalah. (3.) T o Asumsi Model Dalam pemodelan penyebaran infesi HV dalam omunitas DU terdapat fata yang diperhatian yani infesi HV tida dapat disembuhan sehingga dalam model tida diperhatian laju perubahan populasi pecandu yang sembuh (recovered). Model penyebaran infesi HV pada omunitas pecandu naroba sunti (DU) sesuai model lasi epidemi R menggunaan asumsi :. populasi pecandu tertutup (tida ada proses migrasi) yaitu tida ada pecandu yang masu maupun eluar dari omunitas pecandu naroba sunti (DU). infesi HV hanya menular melalui onta langsung dengan penderita 3. tida ada masa inubasi apabila terjadi proses penularan 4. pecandu yang menyadari sudah mengidap AD tida iut berbagi suntian dan tida bergabung dalam grup sahabat. Tabel 3. memuat variabel dan parameter yang digunaan dalam proses pembentuan model. Tabel 3. Variabel dan parameter model imbol Definisi simbol yarat atuan Uuran populasi pecandu susceptibles individu Uuran populasi pecandu infectious Uuran populasi pecandu yang sudah mengidap AD individu individu Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

37 3 Uuran total populasi pecandu atif dalam omunitas DU Laju pertambahan populasi DU dari manusia biasa menjadi pecandu naroba sunti (DU) Laju ematian alami DU per apita Laju perubahan dari terinfesi HV menjadi penyait AD per apita g Keuatan penyebaran infesi (force of infection) dalam omunitas DU Laju ematian alami pecandu yang mengidap AD per apita individu individu / watu /watu /watu g /watu /watu Proses penyebaran infesi HV di dalam omunitas DU diasumsian mengiuti diagram transmisi beriut. Λ g κ A μ μ μa δa Gambar 3. Diagram penyebaran infesi HV pada omunitas DU Penurunan model penyebaran infesi HV dalam omunitas DU adalah sebagai beriut.. Laju perubahan populasi susceptibles per satuan watu dipengaruhi oleh laju pertambahan populasi DU. Populasi susceptibles sepanjang watu t aan berurang aibat laju ematian alami pada pecandu susceptibles dan pengaruh euatan penyebaran infesi pada Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

38 4 pecandu susceptibles sehingga dapat ditulis. Laju perubahan populasi infectious per satuan watu dipengaruhi oleh pertambahan populasi infectious sepanjang watu t aibat euatan penyebaran infesi pada pecandu susceptibles. Berurangnya populasi infectious per satuan watu dipengaruhi fator laju ematian alami pada pecandu infectious dan laju perubahan status pecandu yang terinfesi HV menjadi pengidap AD pada populasi infectious sehingga dapat ditulis 3. Laju perubahan populasi AD per satuan watu dipengaruhi oleh pertambahan dan pengurangan populasi AD per satuan watu. Pertambahan populasi AD per satuan watu merupaan aibat laju perubahan status dari terinfesi HV menjadi pengidap AD terhadap populasi infectious. elain itu berurangnya populasi AD per satuan watu dipengaruhi oleh laju ematian alami pada populasi AD dan laju ematian alami pada pecandu AD sebagai individu pengidap AD sehingga dapat ditulis Dengan demiian model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU adalah sebagai beriut dengan d dt d dt d dt g( ) g( ) (3.) da A A dt menyataan laju perubahan populasi pecandu susceptibles terhadap watu t Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

39 5 d dt da dt menyataan laju perubahan populasi pecandu infectious terhadap watu t menyataan laju perubahan populasi pecandu yang sudah mengidap AD terhadap watu t. Berdasaran sistem persamaan (3.) diperoleh persamaan untu laju perubahan total populasi pecandu atif terhadap watu t yaitu dt dt o T. (3.3) o Oleh arena maa laju perubahan total populasi pecandu atif dapat ditulis sebagai. 3. Keuatan nfesi ( ) Keuatan infesi HV merupaan potensi penyebaran infesi HV dari elompo pecandu yang terinfesi HV (infectious) terhadap elompo pecandu yang susceptibles (rentan terserang infesi). Dalam penulisan ini euatan infesi HV memperhatian meanisme pertuaran jarum sunti di alangan pecandu naroba sunti (DU). Untu mendefinisian fungsi euatan infesi diberian beberapa asumsi meanisme pertuaran jarum sunti dalam suatu grup sahabat sebagai beriut. semua individu (pecandu) masu e dalam grup sahabat secara aca. uuran grup sahabat dinotasian dengan merupaan variabel aca berdistribusi Poisson dengan parameter. Jia maa posisi pecandu dinotasian dengan 3. setiap grup memperoleh satu jarum sunti baru (yang tida terinfesi) pada penyuntian pertama selanjutnya jarum sunti digunaan secara terurut oleh setiap anggota grup setelah itu jarum sunti dibuang 4. pembuatan grup seorang pecandu terjadi mengiuti proses Poisson dengan parameter dengan asumsi tanpa dipengaruhi oleh pembuatan grup pecandu lain Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

40 6 5. suatu jarum sunti diataan terinfesi jia jarum sunti tersebut telah digunaan oleh pecandu yang terinfesi 6. probabilitas seorang pecandu susceptibles e-i berpotensi membersihan jarum sunti terinfesi setelah digunaan (dimasuan e dalam tubuh) adalah dinotasian sebagai. Hal ini diarenaan darah terinfesi yang tersisa di ujung jarum sunti masu seluruhnya e dalam tubuh pecandu yang tida terinfesi tersebut 7. sebarang pecandu susceptibles yang menggunaan jarum sunti terinfesi diasumsian terinfesi HV tapi pecandu tersebut memunginan membuat jarum sunti menjadi "bersih" untu pecandu urutan selanjutnya 8. pecandu susceptibles menjadi terinfesi hanya diarenaan berbagi jarum sunti dalam grup sahabat 9. probabilitas seorang pecandu menjadi terinfesi (dan langsung dapat menularan) jia terdapat paparan HV adalah. ejadian pecandu e-i tida terinfesi saling bebas dengan ejadian pecandu e-i tida berpotensi membersihan jarum sunti dari sisa darah terinfesi. ejadian pecandu e-i terinfesi saling bebas dengan ejadian pecandu setelahnya (pecandu lain) tida terinfesi dan tida berpotensi membersihan jarum sunti dari sisa darah terinfesi. ejadian pecandu e-i adalah pecandu terinfesi dan dapat menularan infesi HV epada pecandu setelahnya saling lepas dengan ejadian pecandu yang lain. Berdasaran asumsi-asumsi di atas fungsi dari euatan infesi HV dalam grup sahabat pada omunitas DU dapat didefinisian sebagai beriut (3.4) dengan merupaan probabilitas seorang pecandu terpapar HV yani probabilitas bahwa seorang pecandu memasuan jarum sunti terinfesi e dalam tubuhnya. Dengan demiian dapat diataan sebagai potensi (penyebaran) seorang pecandu dalam grup sahabat dapat terena infesi HV Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

41 7 (dan langsung dapat menularan) setelah memasuan jarum sunti terinfesi e dalam tubuh pecandu dengan intensitas pembuatan grup sahabat per satuan watu. Misalan : : ejadian seorang pecandu menggunaan jarum sunti terinfesi : posisi urutan pecandu dalam berbagi jarum sunti dalam grupnya yang beruuran. Oleh arena itu probabilitas bahwa seorang pecandu memasuan jarum sunti terinfesi e dalam tubuhnya adalah ( ) P E P E G P G P G P E G R j P R j. (3.5) j Dalam hal ini hanya uuran grup yang lebih besar sama dengan dua ( ) yang relevan dalam pembentuan suatu grup yang memunginan dalam masalah penyebaran infesi. Berdasaran asumsi euatan infesi () uuran grup sahabat berdistribusi Poisson dengan fungsi probabilitas (p.m.f) e P G 3...! (3.6) dan adalah rata-rata uuran grup. Dalam grup sahabat setiap pecandu berada pada posisi berbeda dalam urutan penggunaan jarum sunti. etiap pecandu memilii emunginan yang sama untu berada pada posisi e-. Jia uuran grup adalah maa probabilitas bahwa seorang pecandu berada pada posisi e- adalah P R j 3... (3.7) Misalan seorang pecandu berada pada posisi e- dalam grup sahabat beruuran maa probabilitas seorang pecandu menggunaan jarum sunti terinfesi adalah j PE G R j P i Ui i dengan (3.8) Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

42 8 U adalah ejadian bahwa pecandu e- adalah pecandu yang terinfesi dan i j pecandu e h tida terinfesi sebelum menggunaan jarum sunti. h i dan tida "membersihan" jarum sunti yang terinfesi didefinisian sebagai ejadian pecandu e-i adalah pecandu terinfesi dan dapat menularan infesi HV epada pecandu setelahnya. Oleh arena asumsi euatan infesi (6) dan sesuai persamaan (3.) probabilitas dapat ditulis sebagai beriut dengan c h : c C h : P U j P C h i c c i h h c c c c c c i i i i j j c c c c c c i i i i j j P C P C P C P P C P P C P P C j i ji ejadian bahwa pecandu e h tida terinfesi ejadian bahwa pecandu e h tida mampu membersihan jarum sunti dari sisa darah yang terinfesi HV. Berdasaran teori probabilitas pada subbab dan asumsi euatan infesi () dan () persamaan probabilitas (3.8) dapat dijabaran sebagai beriut j P E G R j P U i i i j j j j P U P U P U P P U P P U j i j j j j j j + j i ji. Oleh arena itu probabilitas menggunaan jarum sunti terinfesi pada posisi pecandu e- dalam grup sahabat beruuran adalah Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

43 9 j i j i ji P E G R j. (3.9) Persamaan (3.9) dapat diselesaian dalam beberapa asus penjumlahan dengan menggunaan sifat deret geometri agar memenuhi persamaan (3.5). Untu mempermudah penyelesain persamaan (3.9) dimisalan.. Beriut ini asus-asus penjumlahan berdasaran persamaan (3.9). Kasus j i j i j i : j AB j j i j i j i i i j. Kasus j AB AB AB AB AB j : j j j j AB j j 3. Kasus 3 j j j AB AB j j j AB AB AB AB AB j i AB AB AB AB AB j i j i : j AB j ji ji j i j i j i j Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

44 3 j AB AB j AB j AB j AB AB AB AB AB AB 4. Kasus 4!! j j i j i j i : j j i! j j i j i j i j AB i AB! AB AB AB! AB! AB AB AB! AB! AB! e AB AB AB! AB! AB e e v e vab AB AB AB Berdasaran penjabaran beberapa asus penjumlahan di atas maa persamaan (3.5) dapat ditulis : PG PE G R( ) j PR j j Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

45 3 Universitas ndonesia e i j i j j i j! e i j i j j i j ) ( ) ( )! (.. AB AB e AB e AB e e AB AB e AB e e AB AB ) ( AB AB e AB AB ) (. (3.) Oleh arena adalah suatu probabilitas dan berdasaran persamaan (3.) persamaan (3.) dibatasi bahwa AB dengan AB AB. elanjutnya dapat diperoleh e ) ( ) ( ] )) ( [( ) )( ( e. (3.) Terlihat bahwa fungsi ) ( bergantung pada variabel dan melalui variabel pada persamaan (3.) yaitu probabilitas seorang pecandu merupaan pecandu yang terinfesi. Berdasaran (3.) fungsi ) ( dapat ditulis sebagai ) ( ~ ) ( (3.) dengan. ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ~ ) )( ( e Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

46 3 Universitas ndonesia 3.3 Analisa Kualitatif Model Pada penulisan tesis ini diasumsian bahwa pecandu naroba sunti (DU) yang menyadari sudah mengidap AD tida iut berbagi suntian dan tida bergabung dalam grup sahabat. Oleh arena itu model (3.) yang diperhatian hanyalah laju perubahan elompo pecandu susceptibles dan laju perubahan elompo pecandu infectious dengan daerah ontinu yani g F dt d ) ( ) ( (3.3) g F dt d ) ( ) (. (3.4) Untu setiap dengan dapat dimisalan ) ( ) ( (3.5) e ) ( ) )( (. ) ( )) ( ( ) )( ( e. (3.6) Berdasaran (3.4) persamaan (3.4) dapat ditulis : g F ) (. Misalan G untu (3.7) Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

47 33 G () e untu. elanjutnya persamaan (3.4) dapat ditulis (3.8) F ) G ( ). (3.9) ( Oleh arena F ( ) adalah laju perubahan populasi pecandu infectious per satuan watu maa berdasaran persamaan (3.9) dapat disimpulan bahwa G ( ) merupaan fator yang berpengaruh penting dalam menean laju pertambahan populasi pecandu infectious per satuan watu. Berdasaran sistem (3.3) dan (3.4) fungsi ( ) sangat berpengaruh dalam sistem dinami tersebut. Oleh arena itu turunan parsial terhadap variabel dan fungsi ( ) dan fungsi-fungsi lain yang berhubungan dengan sistem perlu diamati untu mempermudah analisa sistem. Turunan parsial ( ) Untu lebih mudah mengamati turunan parsial fungsi maa dapat dilihat dari persamaan sesuai (3.) sehingga dapat ditulis sebagai beriut ( ). e. Misalan. D. e AB AB e AB e vab. R e AB e AB vab 3. T AB AB e AB e vab R 4. W. AB T Oleh arena dan suatu probabilitas dan maa jelas bahwa a.. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

48 34 b. c. d.. Dengan demiian dapat disimpulan. D. e. R 3. T 4. W maa. Untu melihat tanda dari.. AB e dan AB AB AB AB e D 3. e R AB 4. e ABe T 5. AB 6. dapat dilihat dari bentu AB e ABe AB dengan 4 AB W AB e AB e vab. 4 4 AB Oleh arena itu turunan parsial ( ) terhadap diperoleh D W. W. D. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

49 35 Oleh arena esimpulan dan maa diperoleh dan (3.). (3.) Dengan demiian (3.) dan (3.) mengaibatan turunan parsial fungsi euatan infesi Turunan parsial ( ) g sesuai (3.4) adalah g Oleh arena ( ) ( ) dan perilau (bernilai positif atau negatif) dari turunan parsial lebih mudah dilihat melalui persamaan e ( )! j j i () ( ) dengan adalah g. maa untu melihat ji dan dapat. Dengan demiian turunan parsial ( ) terhadap j j i e ( )! j i ji. Oleh arena dan maa diperoleh esimpulan dan. Turunan parsial F ( ) Berdasaran (3.5) dan esimpulan bahwa maa Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

50 36 Universitas ndonesia sehingga. Oleh arena maa sehingga. Turunan parsial ) ( F pada persamaan (3.3) terhadap dan diperoleh... ) ( F Oleh arena maa. ) ( F Dengan demiian diperoleh esimpulan bahwa F dan (3.) F. (3.3) Turunan parsial ) ( G Berdasaran persamaan (3.7) maa turunan parsial ) ( G terhadap adalah ) ( G. Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

51 37 Oleh arena dan maa G ( ). elanjutnya turunan parsial G ( ) terhadap adalah G ( ). Berdasaran esimpulan sebelumnya bahwa G ( ). Dengan demiian disimpulan bahwa dan maa G ( ) dan (3.4) G ( ). (3.5) 3.4 Basic Reproduction Ratio Untu memahami penyebaran infesi HV melalui model matematia dapat dilauan dengan melauan analisa dinamia pada model matematia (3.3) dan (3.4). Analisa dinamia pada model matematia penyebaran infesi HV pada omunitas DU dimasudan untu mengetahui pada nilai batasan mana yang mampu mempengaruhi penyebaran infesi HV pada omunitas DU. Nilai batasan yang dimasud dalam penulisan ini adalah basic reproduction ratio yaitu nilai yang menunjuan apaah penyebaran infesi HV menjadi epidemi atau tida pada omunitas DU. Berdasaran landasan teori pada subbab.4 pada asus ini X Y dan Z ; maa dengan mencari solusi persamaan (3.3) dan (3.4) diperoleh V μ. d Berdasaran asumsi Y diperoleh dt Y h F dan ~ g g~ g μ κ F sesuai Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

52 38 Universitas ndonesia dan κ μ g g h ~. Misalan ~ g h dan sehingga berdasaran metode operator generasi selanjutnya dalam menentuan diperluan informasi beriut ini θ e θ θ μ g θ. Dengan demiian dapat ditulisan dalam bentu μ μ g κ μ μ θ e θ ) θ μ λα θ κ μ θ e θ θ λα θ. Oleh arena dapat ditulisan dalam bentu Q J dengan θ e θ θ λα J θ dan μ Q maa sesuai definisi radius spetral diperoleh. κ μ θ e θ θ λα JQ ρ R θ Dengan demiian basic reproduction ratio untu sistem persamaan (3.3) dan (3.4) adalah θ e θ θ κ μ λα R θ. (3.6) 3.5 Kesetimbangan dan Kestabilan Model istem dinami (3.3) dan (3.4) memilii perilau sistem yang berbedabeda di setiap titinya. Untu melihat perilau sistem dinami dapat diamati Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

53 39 melalui titi solusi dalam eadaan setimbang (onstan). olusi sistem dalam eadaan setimbang disebut sebagai titi esetimbangan. elanjutnya pengamatan sistem aibat perubahan pada ondisi awal dapat lebih mudah diamati melalui titi esetimbangannya. istem persamaan (3.3) dan (3.4) merupaan model epidemi penyait infesi sedemiian sehingga titi esetimbangan yang diperhatian adalah titi esetimbangan bebas infesi dan titi esetimbangan epidemi. Titi esetimbangan bebas infesi merupaan titi esetimbangan pada saat tida terdapat anggota omunitas DU yang terinfesi atau. Titi esetimbangan epidemi adalah titi yang menunjuan jumlah pecandu susceptibles dan jumlah pecandu infectious pada eadaan setimbang terjadinya epidemi dalam omunitas DU dengan Titi Kesetimbangan Bebas nfesi Pada enyataannya eadaan yang diharapan dalam suatu omunitas DU adalah eadaan saat tida ada pecandu yang terinfesi dalam omunitas sehingga penyebaran infesi HV tida mewabah dalam omunitas DU. elanjutnya pada subbab ini dibahas pencarian titi esetimbangan bebas infesi untu mengamati perilau sistem (3.3) dan (3.4). Untu mencari titi esetimbangan bebas infesi sesuai Definisi.3 g F (3.7) F g. (3.8) Berdasaran persamaan (3.9) dan (3.8) persamaan (3.8) dapat ditulis G F dan memperoleh solusi atau G arena itu untu memperoleh titi esetimbangan bebas infesi dipilih solusi. Dengan mensubtitusi e dalam persamaan (3.7) maa g. Oleh arena g infesi maa diperoleh artinya tida ada euatan dengan. Dengan demiian titi esetimbangan bebas infesi untu sistem (3.3) dan (3.4) adalah. Oleh Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

54 4 z. Pada saat tida ada elompo pecandu yang terinfesi HV lagi dalam omunitas DU jumlah pecandu yang tida terinfesi namun rentan terhadap infesi HV terdapat sebanya. Dengan demiian eadaan bebas infesi pada omunitas DU tercapai saat tida ada pecandu infectious dan jumlah pecandu yang susceptibles berbanding lurus dengan tingat pertambahan pecandu baru yang susceptibles namun berbanding terbali dengan tingat alami ematian pecandu Titi Kesetimbangan Epidemi elain memperhatian leta titi esetimbangan bebas infesi dalam menganalisa sistem dinami (3.3) dan (3.4) diperluan analisa sistem di titi esetimbangan epidemi. Titi esetimbangan epidemi diperoleh dengan cara yang sama dengan mencari titi esetimbangan bebas infesi yaitu dengan mencari solusi persamaan (3.7) dan (3.8) dengan. Berdasaran (3.7) diperoleh g (3.9) sehingga diperoleh solusi. Oleh arena maa diperoleh solusi <. Berdasaran solusi - dan dan mengaibatan maa diperoleh. (3.3) Dengan demiian titi esetimbangan epidemi untu sistem dinami (3.3) dan (3.4) adalah Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

55 4 z dengan dan Kestabilan Titi Kesetimbangan Model Untu menganalisa perilau penyebaran infesi HV pada omunitas DU diperluan analisa estabilan titi-titi esetimbangan sistem dengan memperhatian uuran (rasio) penyebaran yaitu basic reproduction ratio. Analisa estabilan pada titi esetimbangan dilauan untu mengamati perilau sistem di seitar titi esetimbangan tersebut. Jia terjadi perubahan pada ondisi awal sistem maa sistem aan stabil di titi esetimbangannya yang stabil. elanjutnya dilihat estabilan titi-titi esetimbangan untu sistem persamaan (3.3) dan (3.4) melalui teorema beriut ini. Teorema 3. (a) Jia R maa titi esetimbangan bebas infesi z merupaan satu-satunya solusi titi esetimbangan untu sistem (3.3) dan (3.4). elanjutnya titi z diataan stabil asimtoti global (Globally Asymptotically table / GA) pada daerah. (b) Jia R > maa titi solusi z diataan tida stabil dan sistem (3.3) dan (3.4) memilii titi esetimbangan lain yaitu z ( ) dengan μ. elanjutnya titi z diataan stabil asimtoti global pada daerah. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

56 4 Buti 3. ebelum membutian Teorema 3. aan dibutian R G( ). (3.3) Pertama persamaan G ( ) dijabaran berdasaran (3.8) yaitu : e G ( ). (3.3) Aan dibutian jia R maa G ( ). e R e e Berdasaran (3.3) maa terbuti jia Aan dibutian jia G ( ) maa R. G R maa ( ) [ ()] e. G. ( ) [ ()] e ( ) [ ()] e ( ) Berdasaran (3.6) maa terbuti jia G ( ) maa R. Dengan demiian terbuti R G( ).. (a) Pada enyataannya saat R daerah tida memilii urva fungsi d d diferensial (isocline). Hal tersebut berdasaran persamaan (3.8) dt dt terjadi jia dan hanya jia dan G ( ). elanjutnya aan dibutian titi esetimbangan bebas infesi esetimbangan untu sistem (3.3) dan (3.4) etia R. z adalah satu-satunya titi Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

57 43 Misalan pada sistem persamaan (3.3) dan (3.4) terdapat titi esetimbangan lain yaitu z dengan asumsi z z dan. Oleh arena z adalah titi esetimbangan untu sistem persamaan (3.3) dan (3.4) maa berdasaran Definisi.3 z. Dengan demiian Fz F F g dan F G F. Berdasaran persamaan (3.5) G aibat (3.3) berlau z memenuhi persamaan yang artinya merupaan fungsi turun untu dan G ( ). (3.33) Dengan asumsi G maa G aibatnya solusi F hanya dipenuhi oleh solusi dan menyebaban. Hal ini ontradisi dengan asumsi esimpulan bahwa z z. Dengan demiian terbuti bahwa dan sehingga diperoleh z merupaan satusatunya titi esetimbangan untu sistem persamaan (3.3) dan (3.4) saat R. elanjutnya aan dilihat sifat estabilan titi esetimbangan bebas infesi z pada daerah. Untu membutian bahwa z bersifat stabil asimtoti global maa aan digunaan teorema estabilan Lyapunov. Didefinisian suatu fungsi yang definit positif L Fungsi L dengan L :. diataan sebagai fungsi Lyapunov sedemiian sehingga L L L F F F G G. Dalam menentuan estabilan global L G z sesuai Teorema. fungsi aan dilihat perilau (tanda positif atau negatif) pada saat Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

58 44 z. Oleh arena saat R berlau (3.33) maa berlau dan G ( ) pada z. Dengan demiian L dan z a. z b. z L pada z Berdasaran Teorema. persamaan (3.3) dan (3.4). L untu z z dan yaitu saat dan. z diataan stabil asimtoti global untu sistem b) Berdasaran (3.3) saat R G berlau ontraposisi yaitu R (3.34) sehingga pada asus ini edua isocline terdefinisi di daerah. Hal tersebut beraitan erat dengan penentuan estabilan titi-titi esetimbangan. Dalam menentuan estabilan loal z dan z dapat dilauan dengan mencari nilai eigen dari matris oefisien sistem persamaan (3.3) dan (3.4) sesuai Teorema.. Dalam hal ini matris oefisien sistem merupaan matris Jacobian sistem persamaan (3.3) dan (3.4) yaitu Ψ z Ψ z F z F z. F z F z Dengan demiian nilai eigen diperoleh dengan mencari solusi arateristi det Ψz F z. F z F z. F z F F z F z z F z F z. F z. istem persamaan (3.3) dan (3.4) merupaan sistem persamaan (3.35) diferensial nonlinier. Oleh arena penjelasan pada subbab. elinieran sistem (3.3) dan (3.4) di seitar titi esetimbangan mengamati matris Jacobian Ψ z dan Ψ z estabilan loal titi esetimbangan bebas infesi z dan z dapat ditasir dengan. elanjutnya untu menentuan z aan dicari solusi Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

59 45 arateristi (3.35). Oleh arena F z F z F z dan F z G arateristi persamaan (3.35) adalah maa diperoleh aar-aar dan G. Oleh arena terdapat nilai eigen yang positif maa berdasaran Teorema. titi esetimbangan bebas infesi elanjutnya eberadaan estabilan titi epidemi R. z diataan tida stabil pada saat z dapat dilihat pada subbab 3.5. dan z pada saat R dengan aan ditentuan dengan cara yang sama dengan menentuan etidastabilan z. Oleh arena d urva diferensial (isocline) terdefinisi di daerah dan dt maa d solusi dt hanya dipenuhi oleh (3.3) (3.4) (3.5) diperoleh F F z. G z z. G z Hal tersebut mengaibatan det G. Berdasaran persamaan (3.). dan Ψz F z. F z F z. F z Ψz F z F z trace. Oleh arena itu persamaan arateristi (3.35) pada titi aar-aar arateristi b b 4ac a dengan a Ψz z b trace c detψ dan b b 4ac. dan z memperoleh Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

60 46 Dengan demiian dan. Berdasaran Teorema. z diataan stabil asimtoti loal. elanjutnya aan diperisa apaah terdapat solusi periodi yang mungin membatasi estabilan asimtoti z pada sistem di daerah. Untu mengetahui eberadaan solusi periodi pada sistem aan digunaan riteria Bendion-Dulac pada Kriteria (.). Misalan didefinisian sebuah fungsi yang ontinu dan diferensiabel (3.) dan (3.5) diperoleh dengan : sedemiian sehingga berdasaran F F F G <. Berdasaran Kriteria (.) diperoleh esimpulan bahwa sistem dinami (3.3) dan (3.4) tida memilii solusi periodi di daerah. Oleh arena tida ada solusi periodi di daerah estabilan asimtoti maa disimpulan asimtoti global di daerah. maa tida ada yang membatasi daerah z. Oleh arena itu sesuai definisi estabilan asimtoti z tida hanya stabil asimtoti loal tetapi z bersifat stabil Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

61 BAB 4 MULA MODEL MATEMATKA PENYEBARAN NFEK HV PADA KOMUNTA DU Pada bab ini dibahas tiga simulasi. imulasi pertama membahas dinamia terhadap populasi pecandu susceptibles dan infectious. Pada simulasi edua dan etiga dibahas dinami penyebaran infesi HV pada omunitas DU dengan memperhatian estabilan titi esetimbangannya. imulasi ini bertujuan memberian gambaran mengenai dinamia penyebaran infesi HV dalam omunitas DU melalui gambar dinamia dan potret fase dengan memperhatian basic reproduction ratio. imulasi dan model dibahas dengan menggunaan software MATLAB dengan source code simulasi dapat dilihat pada Lampiran tesis ini. 4. imulasi : Dinamia Dinamia sangat penting untu dietahui arena fungsi merupaan bagian terpenting dalam sistem dinami penyebaran infesi HV pada omunitas DU. Mengamati dinamia bertujuan untu mempermudah memahami perilau sistem dinami (3.3) dan (3.4). Beriut ini nilai parameter yang digunaan untu mengamati dinamia probabilitas seorang pecandu terinfesi HV. Tabel 4. Nilai parameter pada simulasi Parameter Nilai Parameter 8 47 Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

62 48 Berdasaran Tabel 4. fungsi probabilitas (3.) dapat dinyataan sebagai 8 9 e. (4.) 8 8 Pertama digambaran mengenai dinamia probabilitas terpapar HV dalam omunitas DU berdasaran populasi pecandu susceptibles dan populasi pecandu infectious. Beriut ini gambar yang menunjuan dinamia pada populasi susceptibles dengan tiga asus jumlah infectious yang tetap yani dan 6.. Gambar 4. Dinamia pada populasi susceptibles. Tabel 4. menunjuan pengamatan nilai pada tiga asus jumlah susceptibles yani saat susceptibles berjumlah. 6. dan.. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

63 49 Tabel 4. Penurunan terhadap dalam persentase Jumlah infectious Penurunan (%) 594 % 34 % 56 % Jumlah susceptibles Penurunan (%) 373 % 3 % 48 % elisih penurunan (%) Keterangan :. ij i j % 694 % 6 % Berdasaran Tabel 4. diperoleh esimpulan bahwa dengan jumlah pecandu infectious tetap semain banya jumlah pecandu susceptibles maa semain ecil probabilitas pecandu memasuan jarum sunti terinfesi e dalam tubuhnya. Hal ini sesuai dengan urva 4.. Nilai fungsi yang ditunjuan pada Gambar berurang seiring bertambahnya jumlah susceptibles dengan selisih penurunan nilai berbeda-beda sesuai dengan pertambahan jumlah infectious. emain ecil jumlah pecandu infectious maa semain tajam penurunan urva yani mencapai selisih penurunan %. Dengan demiian Gambar 4. menunjuan bahwa fungsi merupaan fungsi turun terhadap populasi pecandu susceptibles sesuai dengan (3.). Hal tersebut mengaibatan fungsi laju perubahan susceptibles terhadap watu F juga merupaan fungsi turun terhadap populasi susceptibles dan fungsi G dan F merupaan fungsi nai terhadap populasi susceptibles sesuai dengan persamaan (3.) dan (3.4). Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

64 5 Jia jumlah pecandu infectious besar maa probabilitas pecandu terpapar HV semain meningat dengan jumlah pecandu susceptibles yang tetap. Hal ini dapat ditunjuan oleh gambar dinamia probabilitas terpapar HV pada populasi pecandu infectious dengan jumlah susceptibles tetap yani dan 6. sebagai beriut. Gambar 4. Dinamia pada populasi infectious. Tabel 4.3 Kenaian terhadap dalam persentase Jumlah susceptibles Jumlah infectious Kenaian (%) Kenaian (%) 3.3 % 98 % 554 % 54 % 9 % 7859 % elisih enaian (%) Keterangan : ij i j % 683 % 38 % Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

65 5 Tabel 4.3 menunjuan bahwa fungsi merupaan fungsi nai terhadap populasi pecandu infectious sesuai dengan Gambar 4. dan persamaan (3.). Nilai fungsi bertambah seiring bertambahnya jumlah infectious dengan selisih enaian nilai yang berbeda-beda sesuai dengan pertambahan jumlah susceptibles. emain ecil jumlah pecandu susceptibles maa semain tajam enaian urva Fungsi nai dan G F yani mencapai selisih enaian sebesar 38%. terhadap populasi infectious mengaibatan fungsi merupaan fungsi turun terhadap populasi infectious sesuai persamaan (3.3) dan (3.5). Dengan demiian dapat disimpulan bahwa dinamia mempengaruhi perilau sistem dinami penyebaran infesi HV pada omunitas DU. 4. imulasi : Potret Fase pada saat R Potret fase merupaan gambar yang menunjuan hubungan antara populasi susceptibles dan populasi infectious dalam penyebaran infesi HV pada omunitas DU. Perilau sistem dinami penyebaran infesi HV pada omunitas DU ditunjuan melalui potret fase dengan menentuan nilai parameter terlebih dahulu. Tabel 4.4 Nilai parameter pada simulasi Parameter Nilai Parameter pecandu/tahun 9 /tahun 5 /tahun /tahun 6 8 Berdasaran Tabel 4.4 sistem dinami (3.3) dan (3.4) dapat dinyataan sebagai d dt d dt F ( ) 9 g( ) (4.) F ( ) g( ) 9 5 (4.3) Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

66 5 dengan g 8 7 dan R e 8 6 Beriut ini potret fase populasi pecandu susceptibles terhadap watu dengan. dan adalah tahun.. dalam hal ini satuan watu yang digunaan Gambar 4.3 Jumlah populasi susceptibles terhadap watu saat R. Gambar 4.3 menunjuan pada saat nilai basic reproduction ratio lebih ecil dari jumlah populasi susceptibles semain menuju titi esetimbangannya yaitu menuju nilai 7 seiring dengan berjalannya watu. etelah tahun jumlah populasi pecandu susceptibles mulai stabil dan tida mengalami perubahan. Beriut ini potret fase populasi pecandu infectious terhadap watu dengan. dan.. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

67 53 Gambar 4.4 Jumlah populasi infectious terhadap watu saat R. Berdasaran Gambar 4.4 pada watu e-6 jumlah populasi infectious menurun menuju nilai setimbang bebas infesi yaitu tida ada pecandu infectious dalam omunitas DU. Hal tersebut terjadi diarenaan basic reproduction ratio lebih ecil dari. elanjutnya diberian potret fase yang menunjuan hubungan jumlah populasi pecandu susceptibles dan jumlah populasi pecandu infectious. Berdasaran Gambar 4.3 dan Gambar 4.4 teramati bahwa pada saat R populasi susceptibles stabil saat jumlah susceptibles cenderung mencapai 7 dan populasi infectious stabil saat jumlah infectious mencapai. Hal ini sesuai dengan Teorema 3.. Dengan demiian dapat digambaran dinamia edua populasi tersebut melalui potret fase beriut ini. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

68 54 Keterangan :. : dan :. dan : 5 dan 4. 6 Gambar 4.5 Potret fase susceptibles dan infectious dalam omunitas DU saat R. Potret fase di Gambar 4.5 menunjuan bahwa perubahan ondisi awal tida mempengaruhi perilau sistem persamaan (4.) dan (4.3) yaitu tetap menuju e titi esetimbangan bebas infesinya yaitu titi 7. Hal ini diarenaan untu nilai R titi esetimbangan tersebut stabil asimtoti global. elanjutnya dibandingan dengan potret fase sistem dinami (3.3) dan (3.4) pada saat R. 4.3 imulasi 3 : Potret fase pada saat R Beriut ini nilai-nilai parameter untu simulasi e-3 model Tabel 4.5 Nilai parameter pada simulasi 3 Parameter Nilai Parameter pecandu/tahun 9 /tahun Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

69 55 5 /tahun 6 /tahun 8 Berdasaran Tabel 4.5 sistem dinami (3.3) dan (3.4) dapat dinyataan sebagai d dt d dt F ( ) 9 g( ) (4.4) F ( ) g( ) 9 5 (4.5) dengan g dan e 8 8 R 586. Beriut ini potret fase populasi pecandu susceptibles terhadap watu dengan. dan.. Gambar 4.6 Jumlah populasi susceptibles terhadap watu saat R. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

70 56 Gambar 4.6 menunjuan pada saat basic reproduction ratio lebih besar dari jumlah populasi susceptibles menuju titi esetimbangan epideminya menuju nilai 9 seiring dengan berjalannya watu. Pada tahun e-4 jumlah populasi pecandu susceptibles mulai stabil dan tida mengalami perubahan. Oleh arena 9 maa dapat ditentuan 36. Hal ini sesuai dengan (3.3) pada Bab 3. elanjutnya digambaran potret fase populasi pecandu infectious terhadap watu dengan. dan.. Gambar 4.7 Jumlah populasi infectious terhadap watu saat R. Berdasaran Gambar 4.7 dalam watu yang relatif sama jumlah populasi infectious menuju nilai setimbang epidemi yaitu 36. Jumlah populasi pecandu infectious mulai stabil dan tida mengalami perubahan setelah 4 tahun. elanjutnya perilau sistem saat R dapat diamati dari Gambar 4.6 dan Gambar 4.7. Berdasaran edua gambar tersebut teramati bahwa jia R jumlah susceptibles stabil saat 9 dan jumlah infectious stabil saat 36. Oleh arena itu perilau sistem dinami pada edua populasi tersebut dapat digambaran melalui potret fase saat R. Beriut ini potret fase yang Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U

71 57 menunjuan hubungan jumlah populasi pecandu susceptibles dan jumlah populasi pecandu infectious saat R. Keterangan :. : dan :. dan : 5 dan 4. 6 Gambar 4.8 Potret fase susceptibles dan infectious dalam omunitas DU saat R. Potret fase pada Gambar 4.8 menunjuan bahwa bagaimanapun ondisi awal pada omunitas DU dan oleh arena R maa sistem persamaan (4.4) dan (4.5) selalu menuju e titi esetimbangan epideminya yaitu titi 936. Dengan demiian dapat disimpulan bahwa jia R maa infesi HV mewabah pada omunitas DU. Berdasaran simulasi potret fase pada Bab 4 ini diperoleh esimpulan bahwa penyebaran infesi HV pada omunitas DU sangat dipengaruhi oleh ondisi sosial yang dinotasian oleh parameter dan. eluruh parameter tersebut menentuan nilai R. Parameter yang mungin diamati adalah parameter yaitu laju perubahan dari terinfesi HV menjadi penyait AD. Universitas ndonesia Model matematia... ffatul Mardhiyah FMPA U