MODEL SISTEM ANTRIAN

Transkripsi

1 BB V MODEL SISTEM TRI ada teori antrian, suatu model antrian digunaan untu memperiraan suatu situasi antrian sesungguhnya, sehingga elauan antrian dapat dianalisa secara matemati. Dengan model sistem antrian maa aan dimunginan untu menentuan uuran performansi pada ondisi steady, antara lain termasu: Jumlah rata-rata pelanggan yang berada dalam antrian atau sistem, Watu rata-rata dalam antrian atau sistem, Distribusi statisti dari umlah pelanggan dan watu dalam antrian, robabilitas antrian penuh atau osong, dan robabilitas mendapatan sistem dalam suatu ondisi tertentu. Uuran-uuran performansi tersebut sangat penting sebagai isu atau problem yang disebaban oleh situasi antrian yang biasanya terait dengan masalah epuasan pelanggan terhadap layanan. nalisa terhadap model antrian yang tepat aan memunginan penyebab antrian dapat diidentifiasi dan aibat-aibatnya dapat diminimisasi. Secara umum, model-model antrian sendiri dapat direpresentasian dengan menggunaan notasi Kendall sebagai beriut : Dimana : /B/S/K//Dis adalah distribusi watu antar edatangan B adalah distribusi watu layanan S adalah umlah dari sever K adalah apasitas sistem adalah populasi penduduan ( yang sedang melauan penduduan ) Dis adalah asumsi dari disiplin layanan Umumnya, 3 parameter terahir diabaian, sehingga notasi hanya terdiri dari /B/S dan diasumsian bahwa K = infinitely (= ), = infinitely, dan Dis = FIFO. otasi standar yang sering digunaan untu distribusi ( atau B) adalah: UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 1

2 M untu suatu distribusi Marovian (eponential) E κ untu suatu distribusi Erlang dengan fase κ D untu distribusi (onstan) Degenerate (atau Deterministic) G untu distribusi General (arbitrary) H untu suatu distribusi hase-type Sebagai contoh, "G/D/1" aan mengindiasian suatu proses edatangan General (bisa apa pun), suatu proses layanan Deterministic (constant time) dan suatu server tunggal (single). ada sistem switching, implementasi sistem antrian memunginan pelanggan-pelanggan yang belum terlayani untu antri sampai tersedianya sarana (resources) untu proses pelayanan. Ini berarti bahwa ia level intensitas trafi melebihi apasitas yang tersedia, maa panggilan dari pelanggan yang tida dapat dilayani tida harus langsung hilang; tapi dibuat menunggu sampai dapat dilayani. Model sistem antrian dapat diilustrasian secara sederhana pada gambar 5.1. Disiplin suatu antrian ditentuan oleh cara sistem switching menangani panggilan. Secara umum ada empat disiplin antrian yang dienal, yaitu: First in first out rinsip disiplin ini, hanya satu pelanggan yang dapat dilayani pada suatu watu tertentu dan pelanggan yang sudah menunggu paling lama yang aan dilayani lebih dulu. Last in first out ada disiplin ini hanya satu pelanggan uga yang dapat dilayani pada suatu watu tertentu, tapi pelanggan dengan watu menunggu paling pende yang aan dilayani lebih dulu. Erlang (trafi yang ditawaran) antrian server Gambar 5.1 Model sistem antrian. UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 2

3 rocessor sharing elanggan-pelanggan aan dilayani secara sama. Kapasitas aringan dibagi (shared) diantara para pelanggan dan para pelanggan secara efetif aan mengalami delay yang sama. riority elanggan dengan prioritas tinggi aan dilayani lebih dulu. roses antrian ditangani oleh sistem prosesor perangat switching dan dapat dimodelan dengan menggunaan persamaan ondisi. Sistem antrian biasanya menggunaan suatu bentu persamaan ondisi tertentu yang dienal sebagai Marov chain yang menadi model sistem pada setiap ondisi. Trafi yang datang e sistem di-model-an dengan suatu distribusi oisson dan menadi subye dari asumsi sistem antrian Erlang, yaitu : 1. ure-chance traffic Kelahiran dan ematian panggilan bersifat random dan eadian-eadiannya bersifat independent. 2. Statistical equilibrium robabilitas dalam sistem tida berubah. 3. Full availability Semua trafi yang datang dapat di-routing-an e semua pelanggan lainnya dalam aringan. 4. Congestion di clear an segera setelah server-server bebas. sumsi (1) sampai (3) merupaan fator umum pada sistem rugi. Dalam hal ini, asumsi (2) mengimpliasian bahwa (, trafi yang ditawaran, dan, apasitas server sistem switching). Jia, maa panggilanpanggilan aan masu e sistem dengan rate yang auh lebih besar dibanding eluarnya. Sebagai hasilnya, panang antrian secara ontinyu aan bertambah e arah tida terhingga (infinity). Ini berarti tida teradi eseimbangan statisti (statistical equilibrium). Jia merupaan umlah total panggilan dalam sistem, maa ia < panggilan-panggilan aan dapat dilayani semuanya dan tida teradi delay. pabila >, ia semua server sibu maa panggilan-panggilan yang datang pada saat itu aan mengalami delay. Jadi aan ada panggilan yang dilayani dan panggilan dalam antrian. Jia Tida ada antrian dan perilau sistem sama dengan sistem rugi tanpa congestion. Dimana UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 3

4 Jia () = )! (0 untu 0... (5-1) robabilitas dari suatu panggilan datang pada suatu periode watu yang sangat pende, δt, dari persamaan terdahulu di bab 2, yaitu probabilitas suatu panggilan datang yang dinyataan dengan (a) = δt / h dimana h adalah watu penduduan rata-rata. Maa, probabilitas suatu transisi dari panggilan 1 e pada sistem selama δt, dapat dinyataan dengan (-1 ) = (-1) δt / h Karena semua server sibu, hanya panggilan yang sedang dilayani yang aan diterminasi, sehingga probabilitas panggilan berahir (ending) dapat dinyataan dengan (e) = δt / h dan probabilitas suatu transisi dari e -1 adalah ( -1) = () (e) = () δt / h Untu eseimbangan statisti, (-1 ) = ( -1), adi dan () δt / h = (-1) δt / h () = ( 1)... (5-2) Tetapi arena maa () = )! (0 (persamaan (5-1)) UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 4

5 1 (+1) = ( ) (0).! 2 (+2) = ( ) (0) 2.! dan seterusnya... Maa, secara umum untu : ( ) (0) (0)... (5-3).!! Jia tida ada batasan untu panang antrian, maa dapat mempunyai nilai antara 0 sampai (infinity). Jadi 0 ( ) 1 Selanutnya, dari persamaan (5-1) dan (5-3) : 1 1 m (0) 0!! m0... (5-4) dimana m = -. Karena / 1, maa m0 m (0) 0! 1! 1 Sehingga didapat 1 1. (0)... (5-5)!( ) 0! Dalam hal ini, persamaan (5-1) dan (5-3) tergantung pada apaah atau, dimana (0) adalah berdasaran persamaan (5-5). Ini dienal sebagai Distribusi Erlang Kedua (Second Erlang Distribution). UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 5

6 UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 6 robabilitas Delay Delay teradi ia semua server sibu, misal >. Berdasaran pesamaan (5-3), probabilitas bahwa setidanya ada panggilan dalam sistem (dimana > ) dinyataan dengan : ) ( ) ( (0)! (0)! dimana =. Sehingga : 1 1 (0)! ) ( (0)!... (5-6) robabilitas delay adalah D = ( > ). Jadi (0)! D... (5-7) ) (, 2 E Yang menyataan probabilitas delay untu sistem dengan apasitas server dan penawaran trafi Erlang, dimana (0) berasal dari persamaan (5-5). Formula ini, untu E 2, (), dienal sebagai Rumus Tunggu Erlang (Erlang Delay Formula). Jia diperhatian embali persamaan (4-16) untu n =, dapat ditulis E () = E 1, () = i i i 0!!... (5-8)

7 Dari persamaan (5-5), (5-7) dan (5-8), dengan beberapa langah matematis aan didapatan hubungan antara E 1, () dan E 2, () sebagai beriut : E 2, E1, ( ) ( ) 1 (1 E1, ( ))... (5-9) Dengan memperhatian persamaan (4-22), dimana E 1, () = -Y/ atau E 1, () = R... (5-10) Dimana R merupaan selisih antara trafi yang ditawaran dengan trafi yang dapat diolah oleh sistem = merupaan trafi yang hilang atau tida dapat dimuat/diolah oleh sistem. Substitusi persamaan (5-10) e persamaan (5-9) aan menghasilan persamaan pratis : D E 2, ( ) R. ( R)... (5-11) Kapasitas ntrian Terbatas Secara pratis, sistem tida dapat diimplementasian dengan umlah antrian ta terbatas (infinity). Karenanya, bila antrian sudah penuh, panggilan yang datang beriutnya aan dihilangan. Jia antrian dibatasi hanya sampai Q panggilan, maa < Q +, sehingga dari penurunan persamaan (5-4) didapat 1 1 Q m (0) 0!! m0, adi : Q (0) 0!! 1... (5-12) Dalam hal ini, ia probabilitas ruginya ecil, maa esalahan pada penggunaan persamaan (5-5) dapat diabaian. robabilitas ruginya sendiri dapat diestimasi UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 7

8 dengan terlebih dahulu mengasumsian bahwa apasitas antrian adalah ta terbatas dan dilauan perhitungan ( > Q+), hasilnya : Q ( Q ) (0)! Q D... (5-13) Beberapa ersamaan ratis Lain : ersamaan (5-3) sampai dengan (5-7) aan menadi dasar pada persamaan-persamaan beriut : 1. Jumlah panggilan rata-rata dalam sistem : (i) Ketia teradi delay (harus menunggu), umlah panggilan rata-rata adalah '... (5-14) (ii) Rata-rata terhadap seluruh watu, umlah panggilan rata-rata adalah E2, ( ) atau D... (5-15) 2. anang antrian rata-rata: (i) Ketia teradi delay, panang antrian rata-rata adalah q' '... (5-16) (ii) anang antrian rata-rata terhadap seluruh watu q q'. D E 2, ( ) atau q D... (5-17) 3. Watu tunggu rata-rata (mean delay time) etia disiplin antriannya first in first out (FIFO) : UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 8

9 (i) (ii) Ketia teradi delay, watu tunggu rata-ratanya adalah h T '... (5-18) dimana h adalah watu penduduan rata-rata. Watu tunggu rata-rata terhadap seluruh watu T E ( ). T'. ' atau 2, D T h T D.... (5-19) 4. robabilitas menunggu pada antrian dengan disiplin FIFO : Karena watu penduduan mempunyai suatu distribusi probabilitas dengan esponensial negatif, maa untu watu tunggu T D : (i) Ketia teradi delay, probabilitas menunggu lebih lama dari watu t adalah : (ii) ( T t / T ' D t) e... (5-20) robabilitas terhadap seluruh watu ( T t / T ' D t) E2, ( ). e atau... (5-21) t / T ' D. e Formula untu ', q', dan T ' diperluan arena etia E 2, () ecil, delay (watu tunggu) yang teradi biasanya auh lebih besar dari T '. Formula-formula ini uga digunaan sebagai dasar untu situasi antrian yang lebih omple, misal, untu watu penduduan yang onstan (buan merupaan distribusi esponensial negatif), layanan random (tida termasu disiplin antrian FIFO) dan antrian dengan prioritas. ntrian Dengan rioritas : Seauh ini telah dibahas model antrian pada sistem lasi, dimana semua proses trafi mengiuti proses elahiran dan ematian (birth and death process). ada sistem-sistem dengan tipe trafi yang berbeda, maa perlu diapliasian prioritas diantara elas-elas yang berbeda. Sebagai contoh asus, dapat diamati antrian M/G/1 (notasi Kendall) dengan tipe trafi r ( contoh, tipe-tipe pelanggan). Tipe pelanggan i datang dengan model edatangan (stream) oisson dengan rate edatangan λ i, i = 1,2, UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 9

10 ..., r. Watu layanan rata-rata dinyataan dengan S i. Trafi yang ditawaran dari stream i adalah i = λ i S i. elanggan tipe 1 mempunyai prioritas paling tinggi, pelanggan tipe 2 mempunyai prioritas edua, dan seterusnya. Dalam hal ini, secara basis ada 2 tipe prioritas : 1. rioritas onpreemptive : layanan yang sedang beralan untu pelanggan yang prioritasnya lebih rendah tida diinterupsi oleh pelangganpelanggan yang prioritasnya lebih tinggi, tetapi merea harus menunggu sampai layanan untu pelanggan-pelanggan dengan prioritas lebih rendah tersebut selesai diproses. 2. rioritas reemtive-resume : layanan yang sedang beralan aan diinterupsi oleh edatangan pelanggan dengan prioritas lebih tinggi. Kemudian baru layanan dari pelanggan dengan prioritas lebih rendah dilanutan mulai dari titi saat dimana teradinya interupsi. (i). rioritas onpreemtive Jia dinotasian W i dan L i masing-masing sebagai watu rata-rata dalam antrian pelanggan tipe i dan umlah pelanggan tipe i yang menunggu dalam antrian, dimana i = 1,2,..., r. Semua pelanggan dibagi dalam elas-elas prioritas r. Watu layanan dan watu residual (sisa) untu pelanggan tipe i masing-masing dinyataan dengan S i dan R i. Maa watu tunggu untu pelanggan-pelanggan (misal tipe 1) dengan prioritas paling tinggi dapat dinyataan dengan W i = L q 1 S 1 + r R 1... (5-22) Suatu relasi yang sangat penting antara umlah rata-rata pelanggan dalam sistem L, watu tunda (tinggal) rata-rata T, dan umlah rata-rata pelanggan memasui (datang) e sistem λ, dapat dinyataan dengan huum Little sebagai L = λ T. Dengan mengapliasian huum Little e suatu antrian (tanpa server) aan memberian hubungan sebagai beriut L q 1 = λ W i... (5-23) UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 10

11 Dengan mengombinasian edua persamaan terahir, aan didapat watu tunggu rata-rata untu elas prioritas paling tinggi : W i = r 1 R (5-24) enentuan dari watu tunggu minimum dari pelanggan-pelanggan dengan prioritas lebih rendah lebih sulit. Biasanya dilauan dengan cara membagi watu tunggu ini dalam porsi-porsi seperti diperlihatan pada gambar 5.2. orsi pertama s 1 adalah umlah wor yang terait dengan pelanggan yang dalam layanan dan semua pelanggan-pelanggan lain bai dengan prioritas sama atau lebih tinggi yang datang pada antrian. orsi edua s 2 adalah umlah dari wor dengan prioritas yang lebih tinggi yang datang selama s 1. orsi etiga s 3 adalah umlah dari wor dengan prioritas yang lebih tinggi yang datang selama s 2, dan seterusnya, sehingga watu tunggunya adalah W i = E(s 1 + s 2 + s ) = 1 s... (5-25) Karena setiap elas mempunyai trafi yang ditawaran sebesar, aan lebih mudah ditunuan bahwa untu pelanggan-pelanggan tipe i, hubungan antar porsi watu yang berurutannya dapat dinyataan sebagai : Wor (watu) S 1 S 2 S 3 Kedatangan dari pelanggan-pelanggan tipe 1 watu Gambar 5.2. Watu tunggu dari pelanggan tipe 2. UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 11

12 E(s +1 ) = ( i-1 ) E(s )... (5-26) Menggunaan persamaan (5-26) untu setiap trafi tipe i, aan didapat progresi geometri dari porsi-porsi watu sebagai beriut : E(s +1 ) = ( i-1 ) E(s 1 ), =0,1,2, (5-27) Dari persamaan (5-25) dan (5-27), maa dapat diperoleh watu tunggu rata-rata dari tipe trafi i : W i = 1 ( 1 E( s1)... 2 i1 i r q L S ( 1 2 R... i1 )... (5-28) Menggunaan persamaan (5-24) dan (5-28) di atas, secara langsung dapat ditunuan bahwa R W i = ( (... ) r i 1 2 i1 dengan i = 1,2,..., r... (5-29) Sehinggga didapat watu tunda untu tipe trafi i adalah T i = W i + S 1... (5-30) (ii). rioritas reemtive Delay layanan untu prioritas preemtive mengiuti analisa untu prioritas non-preemtive. Watu tunggu W i dari tipe trafi i dialulasi menggunaan persamaan (5-29) seperti untu non-preemtive, dimana untu hal ini umlah total wor pada sistem tida tergantung epada permintaan dimana pelanggan-pelanggan dilayani, tetapi yang berbeda adalah watu tundanya (soourn time), sehingga dengan bereferensi persamaan (5-28) aan didapat T i = W i + S 1 ( i 1) i, i = 1,2,..., r... (5-31) UJI/REKYS TRFIK TELEKOMUIKSI/BB V Halaman 12