PENERAPAN PROGRAM DINAMIS UNTUK MENGHITUNG ANGKA FIBONACCI DAN KOEFISIEN BINOMIAL

Transkripsi

1 PENERAPAN PROGRAM DINAMIS UNTUK MENGHITUNG ANGKA FIBONACCI DAN KOEFISIEN BINOMIAL Reisha Humaira NIM Program Studi Teni Informatia Institut Tenologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung if15047@students.if.itb.ac.id ABSTRAK Maalah ini membahas tentang implementasi program dinamis (dynamic programming). Pembahasan pada maalah ini diteanan pada penghitungan anga Fibonacci dan oefisien binomial dengan program dinamis. Anga Fibonacci dan oefisien binomial merupaan bilangan yang mengandung unsur perulangan (reursif). Secara naif, ita bisa menghitung anga Fibonacci dan oefisien binomial dengan algoritma reursif, sesuai dengan definisi masing-masing bilangan itu. Namun, jia ita perhatian lebih jauh, penggunaan algoritma reursif untu edua persoalan ini justru sangat tida efisien. Kalulasi yang sama erap dilauan berulang ali. Hal ini aan memperlambat watu omputasi untu nilai-nilai yang besar. reursif yang dipaai untu menghitung anga Fibonacci dan oefisien binomial memilii omplesitas yang esponensial. Dengan program dinamis, ita bisa meredusi hal ini sehingga ahirnya diperoleh omplesitas algoritma penyelesaian yang linear. Kalulasi berulang seperti disebutan tadi bisa dihilangan. Kata unci: dynamic programming, Fibonacci number, binomial coefficient. 1. PENDAHULUAN Program dinamis (dynamic programming) yang ditemuan oleh Richard Bellman pada tahun 1953 merupaan suatu metode penyelesaian masalah di mana solusi persoalan dapat dipandang sebagai serangaian eputusan yang saling beraitan. Program dinamis merupaan salah satu metode yang mangus yang biasanya digunaan untu menyederhanaan persoalanpersoalan reursif. Seperti halnya algoritma greedy, program dinamis juga merupaan suatu ancangan untu menyelesaian masalah optimasi. Hanya saja, pada metode greedy hanya satu rangaian eputusan yang pernah dihasilan, sedangan dengan program dinamis lebih dari satu rangaian eputusan. Program dinamis fous pada bagian permasalahan yang tumpang-tindih (overlapping subproblems). Rangaian eputusan dibuat dengan prinsip optimalitas (optimal substructure), di mana solusi optimal dari bagian solusi permasalahan bisa digunaan untu menemuan solusi optimal untu masalah secara eseluruhan. Penerapan program dinamis ini sangat luas. Di antaranya, yang sederhana, adalah untu menghitung anga Fibonacci dan oefisien binomial. Juga terdapat sejumlah algoritma lain yang didasaran pada program dinamis, seperti algoritma Coce-Younger-Kasami (CYK) untu menentuan apaah suatu string dapat diterima suatu context-free grammar, algoritma Viterbi untu model hidden Marov, algoritma Earley untu chart parser, algoritma Needleman-Wunsch yang dipaai dalam bioinformati, algoritma Floyd's All-Pairs untu mencari lintasan terpende, algoritma Selinger untu optimasi query suatu basis data, algoritma De Boor untu evaluasi urva B-spline, dan lain-lain. 2. PROGRAM DINAMIS UNTUK MENGHITUNG ANGKA FIBONACCI Salah satu bentu apliasi nyata dari program dinamis adalah pada penghitungan anga Fibonacci. Program dinamis adalah suatu alternatif untu menghitung anga Fibonacci dengan lebih cepat, menggantian algoritma reursif yang sangat tida efisien. 2.1 Anga Fibonacci Dalam matematia, anga Fibonacci didefinisian sebagai hubungan perulangan sebagai beriut. Maalah IF2251 Strategi Algoritmi Tahun 2007 Halaman 1 dari 5

2 0, n = 0 F(n) = 1, n = 1 F(n 1) + F(n 2), n > 1 Jadi, suatu anga adalah penjumlahan dari dua anga sebelumnya. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , Anga Fibonacci memilii satu sifat menari. Jia ita membagi satu anga dalam deret tersebut dengan anga sebelumnya, aan didapat sebuah anga hasil pembagian yang besarnya sangat mendeati satu sama lain. Nyatanya, anga ini bernilai tetap setelah anga e- 13 dalam deret tersebut. Anga ini dienal sebagai golden ratio (phi) di mana Anga Fibonacci juga memilii sifat identitas: 1. F(n + 1) = F(n) + F(n 1) 2. F(0) + F(1) + F(2) + + F(n) = F(n + 2) 1 3. F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + + n F(n) = n F(n + 2) F(n + 3) F(0) 2 + F(1) 2 + F(2) F(n) 2 = F(n) F(n + 1) dan T(n) = T(n 1) + T(n 2) T(1) = T(2) = c di mana c adalah suatu onstanta. Karena itu, T(n) = c F(n) Johannes Kepler memperoleh bahwa sehingga T(n) = O(F(n)) = O(1, n ) Fungsi yang sederhana ini ternyata mempunyai omplesitas watu yang esponensial. Tentunya algoritma seperti di atas dapat dipaai, hanya saja sangat tida mangus untu nilai n yang besar. Bisa ita lihat, bahwa Fibonacci(n+1) harus melauan seluruh perhitungan dari Fibonacci(n) dan Fibonacci(n 1). Dan di dalamnya ada omputasi yang sama yang dilauan secara berulang-ulang. Sebagai gambaran, pemanggilan fungsi Fibbonacci untu menghitung anga Fibonacci eenam bisa digambaran dengan pohon seperti beriut. 2.2 Penerapan Program Dinamis Dari definisi anga Fibonacci sendiri, ita bisa membuat suatu algoritma reursif untu menghitung anga Fibonacci seperti beriut. { Menghitung anga Fibonacci yang e-n secara reursif. Untu anga yang lebih besar, tipe data bisa diganti dengan LongInteger atau yang lain. Masuan: n Keluaran: anga Fibonacci e-n if n=0 then if n=1 then return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2) Jia T(n) adalah watu yang untu menghitung F(n) di mana F(n) adalah anga Fibonacci yang e-n, maa dengan memaai fungsi di atas jelaslah bahwa Gambar 1 Pohon pemanggilan fungsi Fibonacci Simpul pohon menyataan n, sedangan anga yang berwarna merah menyataan urutan pemanggilan fungsi Dari gambar di atas terlihat bahwa semua daun dari pohon memilii nilai 0 atau 1, dan penjumlahan dari nilai pada semua daun ini adalah hasil ahir (nilai yang diembalian fungsi). Jadi, untu setiap n, jumlah daun dari pohon pemanggilan fungsi Fibonacci itu adalah nilai anga Fibonacci itu sendiri. Tentu saja hal ini membutuhan watu omputasi yang luar biasa besar. Sebagai contoh, untu n = 50, aan dilauan Fibonacci(50) = pemanggilan fungsi reursif Fibonacci. Dengan program dinamis, ita bisa memperbaii algoritma reursif di atas, sehingga omputasi menjadi lebih efisien. Kita bisa menggunaan edua ancangan Maalah IF2251 Strategi Algoritmi Tahun 2007 Halaman 2 dari 5

3 (approach) yang ada pada program dinamis: top-down dan bottom-up. Penyelesaian dengan edua ancangan itu dijelasan sebagai beriut. 1. Dengan top-down approach Di sini ita menggunaan sebuah array, misalan array Fib yang beruuran n, di mana Fib[i] berisi anga Fibonacci yang e-(i+1). nya seperti beriut. { Menghitung anga Fibonacci yang e-n dengan program dinamis maju. Masuan: n Keluaran: anga Fibonacci e-n i : integer Fib : array [1..n] of integer if n=0 then if n=1 or n=2 then Fib[1] 1 Fib[2] 1 for i 3 to n do Fib[i] Fib[i-1] + Fib[i-2] return Fib[i] prevf 0 currf 1 for i 2 to n do newf prevf + currf prevf currf currf newf return currf Kedua pendeatan tersebut memilii omplesitas yang sama, yaitu O(n). Komplesitas yang linear dan tentunya ini jauh lebih bai dibandingan dengan algoritma reursif. Bedanya hanya terleta pada memori yang digunaan, di mana dengan pendeatan top-down, ita butuh memori yang lebih banya untu array. Dengan program dinamis, ahirnya ita bisa menghilangan alulasi yang ada pada subpohon pemanggilan fungsi. Hal ini digambaran seperti beriut. Dengan cara ini, ita bisa memperoleh nilai Fib[3], Fib[4], dan seterusnya; ita senantiasa menyimpan nilai-nilai itu e dalam array. Ketia loop berahir, fungsi aan mengembalian elemen terahir array yang merupaan anga Fibonacci e-n yang dihitung. 2. Dengan bottom-up approach Di sini ita menghitung nilai Fibonacci yang lebih ecil terlebih dahulu, lalu mengalulasian nilai yang lebih besar dari nilai-nilai yang diperoleh sebelumnya. Ini perbaian dari ancangan sebelumnya, di mana array-nya ita hilangan. nya seperti beriut. { Menghitung anga Fibonacci yang e-n dengan program dinamis mundur. Masuan: n Keluaran: anga Fibonacci e-n i : integer prevf, currf, newf : integer Gambar 2 Pohon pemanggilan fungsi Fibonacci Subpohon 'dipangas' Simpul-simpul yang ditandai dengan ota biru adalah nilai-nilai yang sudah dihitung sebelumnya, sehingga pemanggilan fungsi pada bagian tersebut bisa di-sip. 3. PROGRAM DINAMIS UNTUK MENGHITUNG KOEFISIEN BINOMIAL 3.1 Koefisien Binomial Dalam matematia, terutama ombinatorial, oefisien binomial dari suatu bilangan asli n dan bilangan integer adalah jumlah ombinasi yang ada. Dengan ata lain, jia diberian n buah benda, jumlah cara memilih buah bola yang berbeda sama dengan oefisien binomial. Maalah IF2251 Strategi Algoritmi Tahun 2007 Halaman 3 dari 5

4 Koefisien binomial didefinisian sebagai beriut. untu n 0 dan T(n,) = O(n ) Dengan algoritma di atas, banya omputasi yang sama yang dilauan berulang-ulang. Sebagai contoh, perhitungan C(5,3) digambaran dengan pohon seperti beriut. C(5,3) untu < 0 atau > n. Untu nilai n dan non-negatif, diperoleh n = n 1 1 n 1 +, 0 < < n 1, =0 atau =n Koefisien binomial ditulisan dengan notasi. Notasi ini diperenalan oleh Albert von Ettinghausen pada tahun 1826, mesipun bilangan ini telah dienal berabad-abad sebelumnya. Notasi lainnya yang biasa digunaan seperti C(n, ), n C atau C n (C untu combination). 3.2 Penerapan Program Dinamis Dari definisi oefisien binomial, ita bisa membuat suatu algoritma seperti beriut. secara reursif. Untu anga yang lebih besar, tipe data bisa diganti dengan LongInteger atau yang lain. Keluaran: oefisien binomial (n,) if n< or <0 then if =0 or =n then return Binomial(n-1,-1) + Binomial(n-1,) Komplesitas algoritma di atas adalah T(n,) = T(n 1, 1) + T(n, ) atau C(4,2) Gambar 3 Pohon pemanggilan fungsi Binomial Seperti halnya pada penghitungan anga Fibonacci, ita bisa memperbaii algoritma di atas dengan program dinamis. Prinsip yang dipaai yaitu: a. Buat matris beruuran (n+1) (+1) untu menyimpan hasil perhitungan. b. Inisialisasi matris dengan terecil dari instansiasi persoalan c. Set elemen matris (tentunya dengan urutan yang tepat) menggunaan hasil yang telah dihitung sebelumnya. Setiap elemen itu tepat dihitung satu ali saja. d. Nilai ahir hasil perhitungan adalah solusi dari persoalan. e. Di sini ita mengimplementasian iteratif, buan reursif. Jelasnya sebagai beriut. 1. Dengan top-down approach nya seperti beriut. dengan program dinamis maju. Keluaran: oefisien binomial (n,) i,j : integer Bin : array [1..n+1][1..+1] of integer {inisialisasi matrisa for j 1 to +1 do Bin[i][j] 0 C(4,3) C(3,1) C(3,2) C(3,2) C(3,3) Maalah IF2251 Strategi Algoritmi Tahun 2007 Halaman 4 dari 5

5 {menghitung oefisien binomial if n= or =0 then if Bin[n+1][+1]>0 then Bin[n+1][+1] Binomial[n][] + Binomial[n][-1] 2. Dengan bottom-up approach nya seperti beriut. dengan program dinamis mundur. Keluaran: oefisien binomial (n,) i,j : integer Bin : array [1..n+1][1..+1] of integer {inisialisasi matrisa for j 1 to +1 do Bin [i][j] 0 {menghitung oefisien binomial for j 1 to (Min(i,)+1) do if j=0 or j= then Bin[i][j] 1 Bin[i][j] Bin[i-1][j-1] + Bin[i-1][j] Kedua pendeatan tersebut memilii omplesitas yang sama yaitu O(n), atau pada asus terburu (=n/2) omplesitasnya O(n 2 ). Komplesitas ini tentu lebih bai dibandingan dengan algoritma reursif. 4. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat dimbil dari pembahasan di atas adalah: 1. reursif ternyata sangat tida mangus dipaai untu menghitung anga Fibonacci dan oefisien binomial, arena ada bagian dari persoalan yang rangap. Masudnya sejumlah alulasi yang sama dilauan berulang-ulang. Ini tentunya berbeda dengan penggunaan reursif untu menghitung fatorial, arena pada fatorial alulasi tepat dilauan seali untu setiap bagian persoalan. 2. Program dinamis mampu menghindari terjadinya alulasi berulang itu dengan membangun solusi dari bagian persoalan tepat seali saja. 3. Penggunaan program dinamis untu menghitung anga Fibonacci dan oefisien binomial ternyata jauh lebih mangus. REFERENSI [1] Algorithmist. (2007). Dynamic Programming. algorithmist.com/index.php/dynamic_programming. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 10:57. [2] Chen, Jeff; Morgan, Tom. (2006). The Citizen s Guide to Dynamic Programming. lectures/dpfinal.pdf. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 12:16. [3] Morris, John. (2007). Data Structures and Algorithms: Dynamic Algorithms. software/alganim/dynamic.html. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 14:28. [4] Munir, Rinaldi. (2007). Ditat Kuliah IF2251 Strategi Algoritmi. Program Studi Teni Informatia, Institut Tenologi Bandung. [5] PED. (2007). Dynamic Programming. csc.liv.ac.u/~ped/teachadmin/algor/dyprog.html. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 14:04. [6] Siena, Steven. (2007). Introduction to Dynamic Programming. newlectures/lecture16.pdf. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 14:06. [7] Steenbergen, Martijn van. (2005). Dynamic Programming. DynProg.pdf. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 12:11. [8] Wiiboos. (2007). Algorithms/Dynamic Programming. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 10:52. [9] Wiipedia. (2007). Binomial Coefficient. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 14:08. [10] Wiipedia. (2007). Dynamic Programming. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 11:10. [11] Wiipedia. (2007). Fibonacci Number. Tanggal ases: 22 Mei 2007 puul 10:46. Maalah IF2251 Strategi Algoritmi Tahun 2007 Halaman 5 dari 5