I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
|
|
- Irwan Hartanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu observasi yang berguna dalam bidang komputasi di tahun 1970 adalah observasi terhadap permasalahan relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange merupakan tokoh ahli ilmu sains dan astronomi dari Italia yang menemukan masalah relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange lahir pada tahun 1736 di kota Turin, Italia. Kontribusi yang telah diberikan oleh Josep Louis Lagrange pada bidang ilmu matematik, di antaranya analisis teori bilangan dan mekanika celestial. Relaksasi Lagrange merupakan suatu metode yang banyak digunakan dalam aplikasi pemrograman matematik. Fisher (2004) mengemukakan, bahwa pada tahun 1955 metode Lagrange digunakan pada permasalahan optimisasi diskret yaitu capital budgeting oleh Lorie Savage. Pendekatan relaksasi Lagrange oleh Held dan Karp di tahun 1970 berlandaskan pada masalah minimum spanning tree untuk menyelesaikan kasus traveling salesman problem. Selain itu, Fisher dan Shapiro di tahun 1973 menyelesaikan permasalahan penjadwalan dan masalah integer programming (IP) dengan metode relaksasi Lagrange. Sejak itu, daftar pengaplikasian relaksasi Lagrange terus berkembang, di antaranya masalah penentuan lokasi, penugasan, pemartisian, knapsack, pendistribusian produk dalam skala besar, rute kendaraan dan perancangan sistem perakitan (lihat Fisher 2004). Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian integer programming dengan metode relaksasi Lagrange, dengan rujukan utama adalah Fisher ML (1985). Ada beberapa metode yang telah dikembangkan untuk mencari solusi pengali Lagrange dari permasalahan relaksasi Lagrange pada model integer programming, di antaranya metode subgradien dan metode branch and bound (Fisher 1985). Pada pembahasan ini, solusi pengali Lagrange dari permasalahan relaksasi Lagrange ditentukan dengan menggunakan pendekatan metode subgradien. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini meliputi: 1. memformulasikan relaksasi Lagrange dari suatu integer programming (IP); 2. menyelesaikan masalah relaksasi Lagrange dengan metode subgradien; 3. membandingkan penyelesaian IP dengan relaksasi Lagrange dan penyelesaian IP dengan pemrograman linear relaksasi. II LANDASAN TEORI Untuk memahami masalah relaksasi Lagrange dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa pengertian / konsep berikut ini. 2.1 Pemrograman Linear Salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait konsep pemrograman linear di antaranya adalah fungsi linear dan pertidaksamaan linear. Definisi 1 (Fungsi Linear) Misalkan menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel. Fungsi dikatakan linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta,. Sebagai contoh, merupakan fungsi linear, sedangkan bukan fungsi linear. Jika fungsi linear dan! sembarang bilangan, maka! merupakan persamaan linear. Definisi 2 (Pertidaksamaan Linear) Untuk sembarang fungsi linear dan sembarang bilangan!, pertidaksamaan "! dan #! adalah pertidaksamaan linear. Pemrograman linear (PL) atau linear programming adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut. a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif. b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap
2 2 kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear. c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel $ pembatasan tanda menentukan $ harus taknegatif % # & atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign). Solusi PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3 (Bentuk Standar PL) Pemrograman linear min ' ( ) * terhadap +*, (2.1) * # - dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan * dan ( vektor-vektor berukuran, vektor, berukuran. dan + matriks berukuran./ yang disebut sebagai matriks kendala, dengan. ". (Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) /. Solusi Pemrograman Linear Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan satu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam pengembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar. Pada masalah PL (2.1), vektor * yang memenuhi kendala +*, disebut solusi PL (2.1). Misalkan matriks + dapat dinyatakan sebagai +0 1, dengan 0 adalah matriks taksingular berukuran./. yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan 1 merupakan matriks berukuran./2. yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks 0 disebut matriks basis PL (2.1). Misalkan * dapat dinyatakan sebagai vektor * 3 * 0 * 1 4, dengan * 0 adalah vektor basis dan * 1 adalah vektor variabel nonbasis, maka +*, dapat dinyatakan sebagai +* * 0 1* 1,. (2.2) Karena matriks 0 adalah matriks taksingular, maka0 memiliki invers, sehingga dari (2.2) * 0 dapat dinyatakan sebagai * , * 1. (2.3) Definisi 4 (Solusi Basis) Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut: i. solusi tersebut memenuhi kendala pada PL; ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear. (Nash & Sofer 1996) Menurut Garfinkel & Nemhauser (1972), solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi * ,, * 1 -. Definisi 5 (Solusi Basis Fisibel) Vektor * disebut solusi basis fisibel jika * merupakan solusi basis dan * # -. (Nash & Sofer 1996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan pada Contoh 1. Contoh 1 Misalkan diberikan PL (2.4) berikut: min terhadap 2 : 2 (2.4) ; < : < # &, maka dari PL (2.4) diperoleh 2 & & : + = 2 & & > dan,= >. & & & < Misalkan dipilih * 0 : <? dan * 1?, maka matriks basisnya adalah & & 0= & & >@ & & Nilai vektor variabel nonbasis ditentukan dengan vektor nol sehingga * 1 & & A. Dengan menggunakan matriks basis di atas, maka diperoleh * 0 0 B8,: < A (2.5)
3 3 Solusi (2.5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (2.4) dan kolomkolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (2.5) yaitu 0, bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (2.5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. PL (2.1) dapat dinyatakan dalam bentuk * 0 dan * 1 sebagai berikut: min ' ( 0 ) * 0 ( 1 ) * 1 terhadap 0* 0 1* 1, (2.6) * #-, dengan ( 0 vektor koefisien variabel basis pada fungsi objektif dan ( 1 vektor koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif. Jika persamaan (2.3) disubstitusikan pada fungsi objektif PL (2.6), maka diperoleh 9 ( 0 ) 0 B8,20 B8 1* 1 ( 1 ) * 1 ( 0 ) 0 B8,C( 1 ) 2( 0 ) 0 B8 1D* 1. Hal yang juga penting dalam konsep pemrograman linear adalah daerah fisibel dan solusi optimum yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 6 (Daerah Fisibel) Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Definisi 7 (Solusi Optimum) Pada masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Pada masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. 2.2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf Sebelum membahas fungsi konveks dan fungsi konkaf, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 8 (Himpunan Konveks) Misalkan S menyatakan himpunan titik. Himpunan S adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan sembarang titik-titik dalam S seluruhnya termuat dalam S, atau dengan perkataan lain himpunan E F G dikatakan himpunan konveks jika untuk setiap * 8 * H I E berlaku * 8 2* H I E, dengan I J&K@ Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks diberikan pada gambar di bawah ini. Gambar 1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks. Pada Gambar 1, lingkaran (i) dan persegi panjang (ii) merupakan himpunan konveks, sedangkan bidang (iii) dan cincin (iv) bukan himpunan konveks. Konsep fungsi konveks dan fungsi konkaf yang digunakan pada karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini. Definisi 9 (Fungsi Konveks) Misalkan LE M G, dengan E himpunan konveks yang takkosong di G. Fungsi dikatakan konveks di E jika * 8 2* H " * 8 2* H untuk setiap * 8 * H I E dan untuk setiap I J&K@ Ilustrasi: (i) (iii) 2 (ii) (iv) Gambar 2 Ilustrasi fungsi konveks. Definisi 10 (Fungsi Konkaf ) Misalkan LE M G, dengan E himpunan konveks yang takkosong di G. Fungsi dikatakan konkaf di E jika
4 4 * 8 2* H # * 8 2* H untuk setiap * 8 * H I E dan untuk setiap I J&K@ Ilustrasi: 2 Gambar 3 Ilustrasi fungsi konkaf. Berikut ini disampaikan cara memeriksa kekonkafan dan kekonveksan suatu fungsi dengan menggunakan fungsi turunan keduanya. Teorema 1 Jika terdiferensialkan dua kali pada N, maka fungsi konkaf pada N jika dan hanya jika OO "& untuk setiap I N. Jika OO P & untuk setiap I N, maka dikatakan fungsi konkaf sempurna (strictly concave). Sebagai catatan, teorema ini juga berlaku untuk fungsi konveks dengan mengganti tanda pertaksamaan " pada fungsi turunan keduanya dengan #, sedangkan untuk konveks sempurna dengan mengganti tanda pertaksamaan P dengan Q. Ilustrasi dari Teorema 1 diberikan pada Contoh 2 & 3 berikut ini. Contoh 2 Misalkan diberikan fungsi 2, maka OO 2 P & untuk setiap bilangan real. Jadi, fungsi ini konkaf sempurna (strictly concave). Contoh 3 Misalkan diberikan fungsi, maka OO # & untuk setiap bilangan real. Jadi, merupakan fungsi konveks. Berikut ini disampaikan cara memeriksa kekonkafan dan kekonveksan suatu fungsi banyak variabel dengan menggunakan matriks Hesse. Teorema 2 digunakan untuk memeriksa kedefinitan matriks Hesse, sedangkan Teorema 3 untuk memeriksa kekonkafan atau kekonveksan suatu fungsi. Sebelum membahas Teorema 2 & 3, terlebih dahulu akan disampaikan mengenai matriks simetrik dan minor utama yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 11 (Matriks Simetrik) Suatu matriks + berorde / disebut simetrik jika + A +. (Leon 1998) Keterangan: + A menyatakan transpos dari matriks +. Definisi 12 (Minor Utama) Misalkan + matriks simetrik berukuran /. Minor utama (principal minor) ke-k dari +, dilambangkan dengan R, adalah determinan dari anak matriks + yang diperoleh dengan menghilangkan 2 baris dan 2 kolom terakhir dari matriks +. Teorema 2 Misalkan + matriks simetrik berukuran / dan misalkan R adalah minor utama ke- dari matriks + untuk " ", maka 1. + definit positif jika dan hanya jika R Q & 2. + definit negatif jika dan hanya jika 2 R Q 3. jika R Q &, R Q &..., R B Q&, R & maka + semidefinit positif. 4. jika 2 R Q & untuk 2, dan R & maka +semidefinit negatif. Berikut ini diberikan contoh memeriksa kedefinitan matriks Hesse dari fungsi. Misalkan adalah fungsi dari variabel (dituliskan dengan * ) dan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu, maka gradien fungsi adalah W* V W [ UW*Z S* U W Z U Z U X Z W* T W Y dan matriks Hesse dari fungsi adalah
5 o 5 V \ ] * U T ^`a_ ^`_^`a X ^`b^`a ^`a^`_ ^` X ^`b^`_ ^`a^`b c ^`_^`b X Z ^`b_ Y Contoh 4 Misalkan diberikan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: * 2, dengan * I G. Gradien dan matriks Hesse fungsi adalah S* d 2 2 e dan 2 2 \ ] Dengan menggunakan minor utama dari \ ] yaitu R 2 P& 2 2 R f 2 2 f &, maka 2 R Q & dan R &. Menurut Teorema 2, maka \ ] semidefinit negatif. Teorema 3 Misalkan * mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu pada suatu himpunan konveks buka g di Jika 1. matriks Hesse \ ] * dari adalah semidefinit negatif pada g, maka * adalah fungsi konkaf pada g, 2. matriks Hesse \ ] * dari adalah definit negatif pada g, maka * adalah fungsi konkaf sempurna pada g@ Catatan: 1. Definisi Himpunan Buka Himpunan h F G dikatakan terbuka di G jika * I h, terdapat bilangan i Q & sehingga j I G yang memenuhi k*2jk Pi adalah juga anggota h. (Bartle 1976) Sebagai catatan: Di G, k k didefinisikan sebagai l. 2. Teorema ini juga berlaku untuk fungsi konveks dengan mengganti negatif pada kedefinitan matriks \ ] dengan positif. Contoh 5 Misalkan diberikan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut * 2, dengan * I G. Dari Contoh 4 diketahui bahwa matriks \ ] semidefinit negatif, dan menurut Teorema 3 maka merupakan fungsi konkaf. Berikut ini diberikan hubungan kekonkafan fungsi dan turunannya untuk fungsi satu variabel. Teorema 4 (Hubungan Kekonkafan dan Turunan) Jika fungsi terdiferensialkan pada selang N, maka merupakan fungsi konkaf pada N jika dan hanya jika garis singgung grafik fungsi selalu terletak di bawah atau pada grafik fungsi, dengan perkataan lain " O Ilustrasi: q p O 2 2 p Gambar 4 Ilustrasi fungsi konkaf pada Teorema 4. Berikut ini diberikan hubungan antara fungsi linear sesepenggal dengan fungsi konkaf / konveks. Definisi 13 (Fungsi Linear Sesepenggal) Fungsi linear sesepenggal (piecewise linear) merupakan fungsi yang terdiri atas sepenggal-sepenggal fungsi linear. (Wikipedia 2009) Contoh 6 (Fungsi Linear Sesepenggal) : n P m n " " 2: n r 2 Fungsi merupakan fungsi linear sesepenggal. Grafik fungsi diberikan pada gambar berikut ini.
6 o : : 5 2 < & Gambar 5 Fungsi linear sesepenggal. Teorema 5 Misalkan LG M G, dengan * stu vw x yz v *2{ v, maka adalah fungsi konkaf. Bukti: Misalkan * 8 * H I G, * } * 8 2 * H, dan C* ~ D z v~ * ~ 2{ v~ untuk, maka * } z v * } 2{ v z v * 8 2* H 2{ v Cz v * 8 2{ v D2Cz v * H 2{ v D@ Karena * stu %w x yz v *2{ v, maka z v * 8 2{ v #z v * 8 2{ v dan z v * H 2{ v #z v * H 2{ v, sehingga * } Cz v * 8 2{ v D 2z v * H 2{ v # Cz v * 8 2{ v D2z v * H 2{ v * 8 2* H. Ini berarti * 8 2* H # * 8 2* H. Jadi, * stu %w x yz v *2{ v adalah fungsi konkaf. (Nemhauser & Wolsey 1999) Contoh 7 (Fungsi Konkaf Linear Sesepenggal) min 2 ; &. Menurut Teorema 5, merupakan fungsi konkaf. Fungsi juga merupakan fungsi linear sesepenggal. Jadi merupakan fungsi konkaf linear sesepenggal dengan n P n " " o 2 ; & n Grafik fungsi diberikan pada Gambar 6 yang ditandai dengan garis tebal. Gambar 6 Fungsi konkaf linear sesepenggal. Teorema 6 Misalkan LG M G, dengan * sƒ6 %w x yz v *2{ v, maka adalah fungsi konveks. (Nemhauser & Wolsey 1999) Pembuktian Teorema 6 serupa dengan Teorema 5 dengan mengganti tanda pertaksamaan. Contoh 8 (Fungsi Konveks Linear Sesepenggal) maxy&& :: &2 untuk suatu #&. Menurut Teorema 6, merupakan fungsi konveks. Fungsi juga merupakan fungsi linear sesepenggal. Jadi, merupakan fungsi konveks linear sesepenggal dengan &2 n& " P m& n " " < & n Q <@ Grafik fungsi diberikan pada Gambar 7 yang ditandai dengan garis tebal & & :: & Gambar 7 Fungsi konveks linear sesepenggal.
7 7 2.3 Dualitas Pemrograman Linear Menurut Nemhauser & Wolsey (1999), dualitas pemrograman linear berkaitan dengan sepasang masalah PL. Salah satu dari sepasang masalah PL ini disebut masalah primal dan lainnya masalah dual. Masalah dual dan primal berkaitan erat sedemikian sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya. Masalah dual adalah sebuah masalah PL yang diturunkan dari masalah PL primal dengan mengikuti kaidah-kaidah berikut: 1. untuk setiap kendala pada masalah primal terdapat suatu variabel masalah dual; 2. untuk setiap variabel masalah primal terdapat suatu kendala masalah dual; 3. koefisien dari sebuah variabel pada kendala masalah primal membentuk koefisien yang terdapat pada ruas kiri kendala masalah dual yang bersesuaian dan koefisien fungsi objektif dari variabel terkait menjadi ruas kanan kendala masalah dual. (Taha 1996) Secara ringkas, hubungan antara variabel keputusan dan kendala pada masalah primal dan masalah dual diberikan dalam tabel berikut. Tabel 1 Hubungan antara variabel keputusan dan kendala pada masalah primal dan masalah dual Kendala Variabel PRIMAL Minimisasi #! % "! %! % DUAL Maksimisasi #& "& tandanya tidak dibatasi #& " % "& # $ tandanya tidak $ dibatasi Keterangan:! $ dan $ menyatakan suatu bilangan Variabel Kendala Misalkan suatu masalah PL primal dinyatakan sebagai berikut: min 9 ( ) * terhadap +* #, (P) * #-, maka dual dari masalah (P) adalah max, ) terhadap + ) " ( # -, (D) dengan ( dan * vektor-vektor berukuran, dan vektor-vektor berukuran., dan + matriks berukuran./. Contoh dualitas pemrograman linear diberikan sebagai berikut. Contoh 9 (Dualitas Pemrograman Linear) Misalkan diberikan masalah primal sebagai berikut: min 9 < terhadap 2 # 2 " (2.7) : 2 ˆ # &, takterbatas, dan "&, maka dual dari masalah (2.7) adalah max p p ˆp terhadap p p p " < 2p p :p p 2p 2p # p # &, p " &, p takterbatas. 2.4 Integer Programming Integer programming (IP) atau pemrograman integer adalah suatu pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Model integer programming biasanya dipilih untuk permasalahan yang variabel-variabelnya tidak dimungkinkan bertipe bilangan tidak bulat, misalnya variabel yang menyatakan banyaknya orang. Solusi integer programming dapat diselesaikan dengan banyak cara, di antaranya dengan menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi. Salah satu cara yang cukup efektif untuk menyelesaikan integer programming adalah dengan mengaplikasikan algoritme branch and bound. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming, dan jika hanya sebagian yang harus berupa integer disebut mixed integer programming. Jika IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1, maka disebut 0-1 IP. (Garfinkel & Nemhauser 1972) 2.5 Pemrograman Linear Relaksasi Konsep pemrograman linear relaksasi atau PL-relaksasi diberikan dalam definisi berikut ini.
8 o 8 Definisi 14 (Pemrograman Linear Relaksasi) Pemrograman linear relaksasi atau sering disebut PL-relaksasi merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer pada setiap variabelnya. Pada masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai objektif IP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP. (Winston 1995) Contoh 10 (Pemrograman PL-Relaksasi) Misalkan diberikan pemrograman integer sebagai berikut: max 9 : terhadap " < & " < (2.8) # & integer. Jika kendala integer dihilangkan, maka PLrelaksasi dari masalah IP (2.8) yaitu max 9 : terhadap " < & " < # &. Solusi optimum dan yang diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 1). Jadi batas atas nilai objektif IP (2.8) adalah Daerah yang diarsir pada Gambar 8 merupakan daerah fisibel PL-relaksasi masalah IP (2.8). Gambar 8 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (2.8). Keterangan: = solusi optimum PL-relaksasi IP (2.8) = titik-titik fisibel bagi IP (2.8) 2.6 Metode Penalti Metode penalti merupakan suatu metode untuk menemukan solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Misalkan diberikan masalah minimisasi berkendala pertaksamaan tutsšs ƒu*œž ƒ ƒ qm % * " & u ƒu$. ƒu* Solusi masalah q dapat dihampiri dari solusi masalah takberkendala q O yaitu meminimumkan * untuk * I, dengan * diperoleh dari * dan kendala yang ada dengan cara sebagai berikut: 1. * mengandung suku penalti yang akan menaikkan nilai bila melanggar kendala $ * " &. 2. minimizer dari * (yaitu* ) di dekat daerah kefisibelan dan * mendekati minimizer dari masalah q. Fungsi objektif dari q O untuk menghampiri masalah q adalah x * * % * dengan % * dinamakan fungsi penalti nilai mutlak dan disebut parameter penalti, atau %w q * * J % *K dengan J % *K dinamakan fungsi penalti Courant-Beltrami asalkan dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu. 2.7 Metode Gradien Metode gradien merupakan suatu metode untuk menemukan solusi hampiran dari masalah pemrograman takberkendala. Metode gradien ini terdiri dari beberapa metode di antaranya metode steepest descent dan metode conjugate gradient. Pada pembahasan ini, metode gradien yang digunakan adalah metode steepest descent. Konsep dari metode steepest descent diberikan berikut ini. Misalkan * adalah fungsi di G dengan turunan parsial pertama yang kontinu dan misalkan * š I G. Maka barisan steepest descent * œ dengan titik awal * š untuk meminimumkan fungsi * didefinisikan sebagai * * 2 SC* D, dengan adalah #& yang meminimumkan fungsi x %w 3* 2SC* D4.
9 9 2.8 Subgradien dan Subdiferensial Berikut ini diberikan konsep subgradien dan subdiferensial yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 15 (Subgradien) Misalkan E himpunan konveks yang takkosong di G dan LG M G merupakan fungsi konkaf, maka vektor ž I G disebut subgradien dari di * I G jika untuk semua * I G * "* ž*2*. (Nemhauser & Wolsey 1999) Sebagai catatan, definisi ini juga berlaku untuk fungsi konveks dengan mengganti tanda pertaksamaan " dengan #. Ilustrasi: Gambar 9 Ilustrasi subgradien pada fungsi konkaf Definisi 16 (Subdiferensial) Subdiferensial dari di * adalah himpunan semua subgradien dari di * yang dinyatakan dengan W* 2 yžl* " * ž*2* * I G. Jika W* Ÿ, maka disebut tersubdiferensialkan di *. (Nemhauser & Wolsey 1999) Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi di G. Contoh Akan ditentukan subgradien dari fungsi di titik. Untuk setiap I G: 2 # & 2 # & 2 2 "& 2 " 2 2 " 22 "22. Jadi, 2 adalah subgradien dari 2 di. Ini berarti 2 I W. Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi di G. Contoh 12 Misalkan diberikan fungsi sebagai berikut: * 2 dengan* I Akan ditentukan subgradien dari di titik 3 4. Untuk setiap I G : 2J 2 K " & 2J 2 K " & 2J K " & 2 22 " & 2 " " " A d 2 2 e. Jadi, ž 2 2 A adalah subgradien dari * 2 di 3 4. Ini berarti 2 2 A I W 3 4. Berikut ini diberikan cara lain untuk menentukan subgradien dari fungsi konveks atau konkaf yang terturunkan. Teorema 7 Jika LG M G adalah fungsi konkaf dan terturunkan di *, maka W* S* adalah gradien yang merupakan satu-satunya subgradien. Sebaliknya, jika adalah fungsi konkaf dan W* yž, maka terturunkan di * dan ž (Boyd & Vandenberghe 2007) Sebagai catatan, teorema tersebut juga berlaku untuk fungsi konveks.
10 10 Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi di G dengan fungsi terturunkan. Contoh 13 2 seperti pada Contoh 11. Dari Contoh 2 telah ditunjukkan bahwa adalah fungsi konkaf. Karena O 2 selalu ada untuk setiap I G, maka terturunkan di setiap I G. Menurut Teorema 7, O 2 adalah subgradien dari di, dan merupakan satu-satunya subgradien dari di. Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi di G dengan fungsi yang terturunkan. Contoh 14 Misalkan diberikan fungsi sebagai berikut: * 2 dengan* I G seperti pada Contoh 12. Dari Contoh 5 telah ditunjukkan bahwa adalah fungsi konkaf. Karena S* d 2 2 e selalu ada untuk setiap IG, maka terturunkan di setiap I G. Menurut Teorema 7, ž S 3 4 d2 2 e adalah satu-satunya subgradien dari di 3 4. Pada bagian ini akan dibahas subgradien untuk salah satu jenis fungsi linear sesepenggal. Teorema 8 Jika diberikan fungsi LG M G dengan * stu %w x yz v *2{ v dan N* y$l* z v * 2{ v, maka z v adalah subgradien dari di *, $ I Bukti: Jika $ I N*, maka * z v * 2{ v. Akan ditunjukkan * z v *2* #* untuk $ I N*. * z v *2* z v * 2{ v z v *2z v * z v *2{ v #* C ƒžuƒ*ƒ ƒ ƒ stu %w x yz v *2{ v D. Jadi z v *2* #*, * I G. Ini berarti z v I G merupakan subgradien dari di *, $ I N*. Karena z v I G merupakan subgradien dari di *, maka z v I W*. (Nemhauser & Wolsey 1999) Sebagai catatan, teorema ini juga berlaku untuk kasus * sƒ6 %w x yz v *2{ v, dan bukti pernyataan tersebut dilakukan dengan cara serupa dengan mengganti tanda pertaksamaan # dengan ". Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi linear sesepenggal. Contoh 15 min 2 ; &. Akan ditentukan subgradien dan subdiferensial dari fungsi di titik,, dan :. Grafik fungsi diberikan pada Gambar 10 yang ditandai dengan garis tebal Gambar 10 Fungsi linear sesepenggal pada Contoh 15. Pada fungsi ini,,! &,,!, dan 2 ;,! &. Jika, maka N N y. Menurut Teorema 8, dan adalah subgradien dari di sehingga subdiferensial dari di adalah W y. Jika, maka N N y. Menurut Teorema 8, dan 2 ; adalah subgradien dari di sehingga subdiferensial dari di adalah W 2 ;. 5 2 < & Jika :, maka N N: y. Menurut Teorema 8, 2 ; adalah subgradien dari di : sehingga subdiferensial dari di : adalah W: 2 ;. Perhatikan bahwa 2; adalah satu-satunya subgradien dari di :.
PENYELESAIAN MASALAH INTEGER PROGRAMMING DENGAN METODE RELAKSASI LAGRANGE YUSEP MAULANA
PENYELESAIAN MASALAH INTEGER PROGRAMMING DENGAN METODE RELAKSASI LAGRANGE YUSEP MAULANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 ABSTRACT
Lebih terperinciIII RELAKSASI LAGRANGE
III RELAKSASI LAGRANGE Relaksasi Lagrange merupakan salah satu metode yang terus dikembangkan dalam aplikasi pemrograman matematik. Sebagian besar konsep teoretis dari banyak aplikasi menggunakan metode
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. suatu fungsi dalam variabel-variabel. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta,.
II LANDASAN TEORI Pada pembuatan model penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan, diperlukan pemahaman beberapa teori yang digunakan di dalam penyelesaiannya,
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah penentuan rute bus karyawan mendapat perhatian dari para peneliti selama lebih kurang 30 tahun belakangan ini. Masalah optimisasi rute bus karyawan secara matematis
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kamar darurat (Emergency Room/ER) adalah tempat yang sangat penting peranannya pada rumah sakit. Aktivitas yang cukup padat mengharuskan kamar darurat selalu dijaga oleh
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Semakin tingginya mobilitas penduduk di suatu negara terutama di kota besar tentulah memiliki banyak permasalahan, mulai dari kemacetan yang tak terselesaikan hingga moda
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar elakang Sepak bola merupakan olahraga yang populer di seluruh dunia termasuk di Indonesia. Sepak bola sebenarnya memiliki perangkat-perangkat penting yang harus ada dalam penyelenggaraannya,
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sukarelawan adalah seseorang atau sekelompok orang yang secara ikhlas karena panggilan nuraninya memberikan apa yang dimilikinya tanpa mengharapkan imbalan. Sukarelawan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bencana alam merupakan interupsi signifikan terhadap kegiatan operasional sehari-hari yang bersifat normal dan berkesinambungan. Interupsi ini dapat menyebabkan entitas
Lebih terperincisejumlah variabel keputusan; fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut sebagai fungsi objektif, Ax = b, dengan = dapat
sejumlah variabel keputusan; fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut sebagai fungsi objektif nilai variabel-variabel keputusannya memenuhi suatu himpunan kendala yang berupa persamaan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
0 I PEDAHULUA. Latar Belakang Peternakan didefinisikan sebagai suatu usaha untuk membudidayakan hewan ternak. Jika dilihat dari enis hewan yang diternakkan, terdapat berbagai enis peternakan, salah satunya
Lebih terperinciII TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf Definisi 1 (Graf, Graf Berarah dan Graf Takberarah) 2.2 Linear Programming
4 II TINJAUAN PUSTAKA Untuk memahami permasalahan yang berhubungan dengan penentuan rute optimal kendaraan dalam mendistribusikan barang serta menentukan solusinya maka diperlukan beberapa konsep teori
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
8 I PENDAHULUAN Latar elakang Pendistribusian suatu barang merupakan persoalan yang sering diumpai baik oleh pemerintah maupun oleh produsen Dalam pelaksanaannya sering kali dihadapkan pada berbagai masalah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI (ITDP 2007)
2 II LADASA EORI Untuk membuat model optimasi penadwalan bus ransakarta diperlukan pemahaman beberapa teori. erikut ini akan dibahas satu per satu. 2.1 Penadwalan 2.1.1 Definisi Penadwalan Penadwalan merupakan
Lebih terperincikita menggunakan variabel semu untuk memulai pemecahan, dan meninggalkannya setelah misi terpenuhi
Lecture 4: (B) Supaya terdapat penyelesaian basis awal yang fisibel, pada kendala berbentuk = dan perlu ditambahkan variabel semu (artificial variable) pada ruas kiri bentuk standarnya, untuk siap ke tabel
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Manajemen operasi suatu industri penerbangan merupakan suatu permasalahan Operations Research yang kompleks Secara umum, perusahaan dihadapkan pada berbagai persoalan dalam
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
BAB 3 METODE PENELITIAN Pada bab ini, akan dijelaskan metode-metode yang penulis gunakan dalam penelitian ini. Adapun metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah Metode Simpleks dan Metode Branch
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Air merupakan bagian penting dari sumber daya alam yang mempunyai karakteristik unik, karena air bersifat terbarukan dan dinamis. Ini artinya sumber utama air yang berupa
Lebih terperinciOPTIMASI (Pemrograman Non Linear)
OPTIMASI (Pemrograman Non Linear) 3 SKS PILIHAN Arrival Rince Putri, 013 1 Silabus I. Pendahuluan 1. Perkuliahan: Silabus, Referensi, Penilaian. Pengantar Optimasi 3. Riview Differential Calculus II. Dasar-Dasar
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Riset Operasi Masalah pengoptimalan timbul sejak adanya usaha untuk menggunakan pendekatan ilmiah dalam memecahkan masalah manajemen suatu organisasi. Sebenarnya kegiatan yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukkan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
0 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Obek Kaian.. Universitas Terbuka Universitas Terbuka (UT) yang diresmikan oleh Presiden RI pada tanggal 4 September 984 sebagai universitas negeri yang ke-45 dengan Keputusan
Lebih terperinciSyarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciKOMBINASI PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DAN METODE BRANCH AND BOUND PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS BILANGAN BULAT MURNI
Jurnal LOG!K@ Jilid 7 No 1 2017 Hal 52-60 ISSN 1978 8568 KOMBINASI PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DAN METODE BRANCH AND BOUND PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS BILANGAN BULAT MURNI Khoerunisa dan Muhaza
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Beberapa isu yang merebak akhir-akhir ini menunukkan bahwa pertumbuhan umlah penduduk di dunia yang saat ini mencapai sekitar 6.8 milyar berdampak pada aktivitasaktivitas
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear
BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah-langkah penyelesaiannya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model
Lebih terperinciPENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS BERBASIS DUAL ARIYANTO PAMUNGKAS
PENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS BERBASIS DUAL ARIYANTO PAMUNGKAS DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciPENGOPTIMUMAN BERBASIS DUAL MASALAH PENJADWALAN TIGA HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS NUR HADI
PENGOPTIMUMAN BERBASIS DUAL MASALAH PENJADWALAN TIGA HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS NUR HADI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP OPTIMASI LINEAR MUHAMAD AVENDI
PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP OPTIMASI LINEAR MUHAMAD AVENDI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciBAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER. Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika
BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER 2.1 Program Linier Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimalkan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Menurut Sitorus, Parlin (1997), Program Linier merupakan suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu suatu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Sistem Persamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Linear
5 BAB II LANDASAN TEORI A Sistem Persamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Linear Persamaan linear adalah bentuk kalimat terbuka yang memuat variabel dengan derajat tertinggi adalah satu Sedangkan sistem
Lebih terperinciMetode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
Lebih terperinciMODEL INPUT-OUTPUT DALAM MASALAH NETWORK FLOW DWI PUTRI EFESIA
MODEL INPUT-OUTPUT DALAM MASALAH NETWORK FLOW DWI PUTRI EFESIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 ix ABSTRAK DWI PUTRI EFESIA Model
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan di
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemrograman Linier (Linear Programming) Pemrograman linier (linear programming) merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan
Lebih terperinciMETODE BIG M. Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tapi juga oleh pertidakasamaan dan/atau persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai surplus
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Menurut Aminudin (2005), program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan
Lebih terperinciIII MODEL PENJADWALAN
3 Ax = B N x B x = Bx B + Nx N = b. (5) N Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (5) x B dapat dinyatakan sebagai: x B = B 1 b B 1 Nx N. (6) Kemudian fungsi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. masalah fuzzy linear programming untuk optimasi hasil produksi pada bab
BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai program linear, konsep himpunan fuzzy, program linear fuzzy dan metode Mehar untuk membahas penyelesaian masalah fuzzy linear programming untuk
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming Linear Programming (LP) merupakan metode yang digunakan untuk mencapai hasil terbaik (optimal) seperti keuntungan maksimum atau biaya minimum dalam model matematika
Lebih terperinciBAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS
BAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS 6.1 Teori Dualitas Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya.
Lebih terperinciPemrograman Linier (3)
Pemrograman Linier () Metode Big-M Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia Pada model PL di mana semua kendala memiliki relasi, variabel basis pada solusi awal (tabel simpleks awal) adalah Z dan semua
Lebih terperinciBAB IV. METODE SIMPLEKS
BAB IV. METODE SIMPLEKS Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi
Lebih terperinciTeori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application)
Teori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application) Kuliah 6 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Teori dualitas 2 Metode simpleks dual TI2231 Penelitian Operasional I 2
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier dalam produksi.. 2.1 Teori
Lebih terperinciPENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING
Jurnal Manajemen Informatika dan Teknik Komputer Volume, Nomor, Oktober 05 PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING Havid Syafwan Program Studi Manajemen Informatika
Lebih terperinciBAB II METODE SIMPLEKS
BAB II METODE SIMPLEKS 2.1 Pengantar Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Saat ini semakin banyak permasalahan pada kehidupan sehari-hari yang memerlukan pendekatan optimisasi dalam penyelesaiannya. Sebagai contoh, misalkan sebuah perusahaan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non Linier Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Perencanaan Produksi
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Perencanaan Produksi Produksi yang dalam bahasa inggris disebut production adalah keseluruhan proses yang dilakukan untuk menghasilkan produk atau jasa Produk yang dihasilkan sebagai
Lebih terperinciBentuk Standar. max. min
Teori Dualitas 2 Konsep Dualitas Setiap permasalahan LP mempunyai hubungan dengan permasalahan LP lain Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP primal 3
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming 2.1.1 Model Linier Programming Pemrograman linier adalah sebuah model matematik untuk menjelaskan suatu persoalan optimasi. Istilah linier menunjukkan bahwa
Lebih terperinciBAB III. METODE SIMPLEKS
BAB III. METODE SIMPLEKS 3.1. PENGANTAR Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya
Lebih terperinciMetode Simpleks M U H L I S T A H I R
Metode Simpleks M U H L I S T A H I R PENDAHULUAN Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan
Lebih terperinciBAB IV PEMBAHASAN. optimasi biaya produksi pada home industry susu kedelai Pak Ahmadi
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dipaparkan tentang penerapan model nonlinear untuk optimasi biaya produksi pada home industry susu kedelai Pak Ahmadi menggunakan pendekatan pengali lagrange dan pemrograman
Lebih terperinciBAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL
BAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL HUBUNGAN PRIMAL-DUAL Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik dari primal PL tertentu. Setiap permasalahan primal selalu mempunyai pasangan
Lebih terperinciModel Optimisasi dan Pemrograman Linear
Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Program Linier Penyelesaian program linear dengan algoritma interior point dapat merupakan sebuah penyelesaian persoalan yang kompleks. Permasalahan dalam program linier mungkin
Lebih terperinciDual Pada Masalah Maksimum Baku
Dual Pada Masalah Maksimum aku Setiap masalah program linear terkait dengan masalah dualnya. Kita mulai dengan motivasi masalah ekonomi terhadap dual masalah maksimum baku. Sebuah industri rumah tangga
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Dalam pemecahannya, matematika memegang
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciPENENTUAN LOKASI DALAM MANAJEMEN HUTAN
PENENTUAN LOKASI DALAM MANAJEMEN HUTAN Oleh : KABUL EKA PRIANA G54102023 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006 ABSTRAK KABUL EKA PRIANA. Penentuan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciModul 8. PENELITIAN OPERASIONAL INTEGER PROGRAMMING. Oleh : Eliyani PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
Modul 8. PENELITIAN OPERASIONAL INTEGER PROGRAMMING Oleh : Eliyani PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA 2007 2 PENDAHULUAN Salah
Lebih terperinciMETODE STEEPEST DESCENT DENGAN UKURAN LANGKAH BARU UNTUK PENGOPTIMUMAN NIRKENDALA DJIHAD WUNGGULI
1 METODE STEEPEST DESCENT DENGAN UKURAN LANGKAH BARU UNTUK PENGOPTIMUMAN NIRKENDALA DJIHAD WUNGGULI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015 2 3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti pengertian persediaan, metode program linier. 2.1. Persediaan 2.1.1. Pengertian
Lebih terperinci12/15/2014. Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat? Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer.
1 PEMROGRAMAN LINEAR BULAT (INTEGER LINEAR PROGRAMMING - ILP) Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat? METODE SIMPLEKS Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer. 2 1 INTEGER LINEAR PROGRAMMING
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program
BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program linear, metode simpleks, dan program linear fuzzy untuk membahas penyelesaian masalah menggunakan metode fuzzy
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Model Matematika Model matematika adalah suatu rumusan matematika (dapat berbentuk persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang ketika
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu tujuan dari industri atau perusahaan adalah menciptakan laba yang maksimal. Salah satu bentuk usahanya adalah dengan memaksimumkan hasil produksi atau meminimumkan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Program linier merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan, seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan
Lebih terperinciPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fenny Basuki NIM: 831143 PROGRAM
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa definisi dan teori yang akan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa definisi dan teori yang akan digunakan pada pembahasan berdasarkan literatur yang relevan. A. Program Linear Model Program Linear (MPL) merupakan
Lebih terperinciPEMROGRAMAN LINEAR I KOMANG SUGIARTHA
PEMROGRAMAN LINEAR I KOMANG SUGIARTHA DEFINISI PEMROGRAMAN LINEAR Pemrograman Linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
Lebih terperinciPENJADWALAN KERETA API MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER DWI SETIANTO
PENJADWALAN KERETA API MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER DWI SETIANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK DWI SETIANTO.
Lebih terperinciFungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tetapi juga oleh pertidaksamaan dan/atau persamaan =. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan
Fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tetapi juga oleh pertidaksamaan dan/atau persamaan =. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai variabel surplus, tidak ada variabel slack.
Lebih terperinciZ = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2. Persoalan Primal (asli) Persoalan Dual (kebalikan dari primal)
Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode atau langkah-langkahnya sama. Saat membuat bentuk standar : Jika kendala
Lebih terperincimempunyai tak berhingga banyak solusi.
Lecture 4: A. Introduction Jika suatu masalah LP hanya melibatkan 2 kegiatan (variabel keputu-san) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi, jika melibatkan lebih dari 2 kegiatan, maka
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER
METODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER Dian Wirdasari Abstrak Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pemrograman linear (PL) ialah salah satu teknik dari riset operasi untuk
BAB II LANDASAN TEORI A. Pemrograman Linear Pemrograman linear (PL) ialah salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimasi (maksimum atau minimum) dengan menggunakan persamaan dan
Lebih terperinciPROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL. Pertemuan 6
PROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL Pertemuan 6 Pengantar Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Integer 2.1.1 Definisi Program Integer Program Integer adalah program linier (Linear Programming) di mana variabelvariabelnya bertipe integer(bulat). Program Integerdigunakan
Lebih terperincia. untuk (n+1) genap: terjadi ekstrem, dan jika (ii) f (x ) > 0, maka f(x) mencapai minimum di titik x.
Lecture I: Introduction A. Masalah Optimisasi Dalam kehidupan sehari-hari, manusia cenderung untuk berprinsip ekonomi, yaitu dengan sumber daya terbatas dapat memperoleh hasil sebanyak-banyaknya. Banyak
Lebih terperinciAlgoritma Simpleks Dan Analisis Kepekaan
Modul 1 Algoritma Simpleks Dan Analisis Kepekaan Prof. Bambang Soedijono P PENDAHULUAN ada Modul 1 ini dibahas metode penyelesaian suatu masalah program linear. Pada umumnya masalah program linear mengkaitkan
Lebih terperinciMASALAH PENGOPTIMUMAN MULTIKRITERIA DALAM PENJADWALAN TENAGA SUKARELAWAN DI DAERAH BENCANA ALBRIAN WEDHASWARA MURTANTO
MASALAH PENGOPTIMUMAN MULTIKRITERIA DALAM PENJADWALAN TENAGA SUKARELAWAN DI DAERAH BENCANA ALBRIAN WEDHASWARA MURTANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciPembahasan Soal. Pak Anang SELEKSI NASIONAL MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS.
Pembahasan Soal SELEKSI NASIONAL MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SNMPTN 011
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan didiskusikan tentang istilah-istilah, teorema-teorema yang akan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan didiskusikan tentang istilah-istilah, teorema-teorema yang akan digunakan dalam penelitian ini. 2.1 Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang memiliki karakteristik
Lebih terperinci