KAJIAN METODE BERBASIS MODEL PADA ANALISIS KELOMPOK DENGAN PERANGKAT LUNAK MCLUST

Transkripsi

1 KAJIAN METODE BERBASIS MODEL PADA ANALISIS KELOMPOK DENGAN PERANGKAT LUNAK MCLUST Timbul Pardede Jurusan Statisti FMIPA, Universitas Terbua ABSTRAK Metode Ward dan metode K-rataan adalah metode elompo yang teni-teni pengelompoannya hanya memperhatian uuran jara antar obje-obje pengamatan tanpa mempertimbangan aspe statistinya. Metode elompo berbasis model adalah metode elompo yang didasaran pada aspe statisti, yaitu riteria emunginan masimum. Metode elompo berbasis model mempunyai sepuluh model dengan berbagai macam sifat geometris. Penyeatan data dilauan dengan menggunaan algoritma Espetasi-Masimum (EM), emudian dengan pendeatan Bayesian Information Criterion (BIC) diperoleh model terbai. Penelitian ini bertujuan untu mengaji efetivitas dari sepuluh metode berbasis model dan emudian membandingan hasil pengelompoannya dengan metode Ward dan metode K-rataan. Penelitian ini menggunaan data simulasi yang dibangitan melali program R versi.4. dan dianalisis dengan menggunaan program Mclust versi 4.0 dengan interface program R. Hasil penelitian menunjuan bahwa metode elompo berbasis model lebih efetif memisahan elompo-elompo yang saling tumpang tindih dibandingan dengan metode gerombol Ward dan K-rataan. Kata unci: Metode Ward, Metode K-mean, Metode berdasran model, Algoritma EM, BIC ABSTRACT Ward method and K-mean method are clustering method in which grouping only base on distance measure among observed objects, without considering statistical aspects. Modelbased clustering is a method that use statistical aspects, as its theoretical basis i.e. probability maximum criterion. This model has ten models with a variety of geometrical characteristics. Data partition is conducted by utilizing EM (expectation-maximization) algorithm. Then by using Bayesian Information Criterion (BIC) the best model is obtained. This research aimed to assess the effectiveness of ten models from the model-based clustereng and then to compare result of grouping methods between model-based clustering with Ward clustering and K-mean clustering. This study used simulated data and applied data. Simulated data are generated with the R programs versions.4.. Proses analysis was performed by using the Mclust programs vesions 4.0 with an interface the R programs versions.4.. The results showed that model-based clustering was more effective in separating the condition of one separate group and two overlap groups than ward clustering and K-mean clustering. Keywords: EM algorithm, BIC, K-mean clustering method, model-based clustering method, Ward clustering method

2 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model Analisis elompo (cluster analysis) merupaan salah satu analisis statisti multivariat yang bertujuan untu mengelompoan suatu obje amatan menjadi beberapa elompo obje amatan berdasaran arateristi variabel-variabel yang dimilii, sedemiian sehingga obje-obje yang terleta dalam elompo yang sama cenderung mempunyai arateristi yang lebih homogen dibandingan dengan obje-obje pada elompo yang berbeda. Pengelompoan obje amatan dilauan berdasaran uuran emiripan atau etidamiripan. Semain tinggi emiripan dua obje amatan maa semain tinggi peluang untu dielompoan dalam suatu elompo, sebalinya semain tinggi etidamiripannya maa semain rendah peluang untu dielompoan dalam suatu elompo. Anderberg (97) mengemuaan, terdapat beberapa metode elompo yang dapat dibedaan berdasaran proses algoritma yang dilauan, diantaranya teni yang berdasaran uuran jara sebagai basis pengelompoannya. Metode elompo berbasis uuran jara ini terdiri atas metode elompo berhirari dan metode elompo ta berhirari. Metode elompo berhirari, antara lain metode pautan tunggal (single linage), metode pautan lengap (complete linage), metode pautan rataan (average linage), metode terpusat (centroid), dan metode Ward (Ward's method). Adapun metode elompo ta berhirari, misalnya metode K-rataan. Metode elompo ini memilii teni yang berbeda dalam proses pembentuan elompo, namun teni-teni tersebut hanya memperhatian uuran jara antar obje amatan. Metode-metode ini belum mempertimbangan adanya aspe statisti. Mc. Lachlan dan Basford (988) memberian suatu pendeatan dengan memperhatian sebaran data yaitu analisis elompo berbasis model (model-based). Metode elompo berbasis model merupaan suatu algoritma elompo dengan menggunaan analisis yang didasaran pada aspe statisti di dalam menganalisis hasil elompo. Fraley dan Raftery (998) mengidentifiasi, enam model yang digunaan untu mengelompoan obje amatan dengan berbagai sifat geometris yang diperoleh melalui omponen Gauss dengan parameter yang berbeda-beda. Pendeatan data dilauan dengan menggunaan masimum lielihood melalui algoritma Espetasi-Masimum (EM), emudian dengan pendeatan model Bayes berdasaran Bayesian Information Criterion (BIC) diperoleh model terbai. Pardede (008), menggunaan enam model dengan metode berbasis model untu membandingan metode elompo berbasis model dengan metode elompo K-rataan. Kesimpulan yang diperoleh adalah metode berbasis model lebih bai dibandingan metode K-rataan, aan tetapi pada ondisi elompo yang saling tumpang tindih metode berbasis model dengan enam model belum mampu memisahan obje-obje amatan. Fraley dan Raftery (999) telah mengidentifiasi delapan model pada metode elompo berbasis model yang digunaan untu mengelompoan obje-obje amatan. Pada tahun 00, Fraley dan Raftery telah mengidentifiasi sepuluh model untu mengelompoan obje-obje amatan. Berdasaran paparan di atas, artiel ini mengaji analisis elompo berbasis model dengan sepuluh model yang telah diidentifiasi oleh Fraley dan Raftery (00).Selanjutnya hasil analisis elompo berbasis model ini dibandingan dengan hasil analisis elompo metode K-rataan dan metode Ward. Dari hasil analisis diperoleh efetivitas sepuluh model pada metode berbasis model, metode Ward dan metode K-rataan dalam mengelompoan obje-obje. Metode Kelompo Ward Pada metode elompo berhirari dengan penggabungan dianggap bahwa pada awalnya tiap-tiap obje amatan diperlauan sebagai satu elompo, sehingga jumlah elompo yang ada sama dengan jumlah obje amatan. Kemudian menghitung jara antar elompo dengan elompo 85

3 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, lainnya, dilanjutan dengan menggabungan dua elompo terdeat menjadi satu elompo baru. Langah beriutnya jara antara elompo baru dengan elompo lainnya dihitung embali. Prosedur ini diulang terus hingga terbentu suatu diagram pohon yang hanya terdiri atas satu elompo yang beranggotaan semua obje amatan. Hasil elompo metode berhirari membentu diagram pohon (tree diagram) atau dendrogram yang menggambaran pengelompoan obje-obje amatan. Salah satu metode dari metode elompo berhirari dengan penggabungan adalah metode Ward. Metode Ward didasaran pada riteria jumlah uadrat antara dua elompo untu seluruh variabel. n n n i n j n, n n n n n n n n n dengan i j i j i j nilai oefisien,, dan 4 sebagai fator pembobot d d d d d d ( i, j) i j ij 4 i j Metode Kelompo K-rataan Salah satu metode ta berhirari yang paling sering digunaan adalah metode elompo K- rataan. Metode ini merupaan metode elompo yang menyeat obje amatan e dalam elompo. Metode ini pada umumnya digunaan pada data yang beruuran relatif besar. Macqueen dalam Johnson dan Wichern (007) menggambaran algoritma elompo untu menyelesi n unit data e dalam elompo adalah berdasaran edeatan pusat (rataan) yang disusun dengan tahapan beriut:. Pilih unit data pertama yang digunaan sebagai pusat elompo awal.. Gabungan setiap (n-) data yang merupaan sisa anggota e pusat elompo terdeat, emudian dihitung masing-masing pusat (rataan) elompo baru yang terbentu dari hasil penggabungan.. Setelah semua data digabungan pada tahap, pusat elompo yang terbentu dijadian sebuah titi pusat elompo, emudian lauan penggabungan embali dari setiap unit data e dalam titi pusat terdeat. 4. Lauan etiga tahapan di atas secara berulang hingga diperoleh suatu elompo yang onvergen. Kelompo yang onvergen ditandai dengan adanya titi pusat yang tetap dan tida ada lagi perubahan anggota di antara elompo. Metode Kelompo Berbasis Model Pada analisis elompo berbasis model, diasumsian bahwa data dibangitan dari sebaran peluang campuran dengan setiap subpopulasi mewaili suatu elompo yang berbeda (Fraley & Raftery, 998). Misalnya y y, y,..., yn variabel aca ganda p, dengan p menyataan dimensi data dan n menyataan banyanya obje amatan yang dianggap berasal dari campuran G subpopulasi G, G,..., Gg dengan fungsi epeatan campurannya adalah: G f y f y θ ; y Ω () mix 86

4 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model dengan f y θ : fungsi epeatan G, yaitu subpopulasi e- dengan vetor parameter θ yang tida dietahui dan : proporsi data yang berasal dari subpopulasi e-i dengan G i dan 0. i Dengan asumsi y y, y,..., yn bebas stoasti dan identi, dan fungsi f i j y θ merupaan fungsi epeatan campuran obje amatan y i dari elompo e- maa fungsi epeatan sebaran campuran (mixture lielihood) pada persamaan () adalah : n G Lmix (... G;... G y) f yi () i dengan f yi adalah fungsi epeatan variabel campuran normal ganda (Gauss) dengan parameter terdiri atas vetor rataan dan matris ovariansi ' y y, yang dinyataan exp i i dalam bentu: f ( yi ; ). p Dengan demiian fungsi epeatan sebaran campuran (mixture lielihood) ganda dengan parameter vetor rataan dan matris ovariansi dapat ditulis dalam bentu: ' y y mix G i i () p i L n G exp ( ;... ; ;... y) Pada metode elompo berbasis model, diasumsian bahwa data dibangitan dengan fungsi epeatan variabel campuran normal ganda yang dicirian oleh elompo-elompo yang berpusat di seitar. Karateristi geometri (bentu, volume, dan orientasi) dihitung dari matris ovariansi (Fraley & Raftery, 00). Branfield & Raftery (99) mengembangan metode elompo berbasis model dengan memparameterisasian setiap matris ovariansi melalui suu-suu deomposisi nilai ciri dalam bentu: D A D (4) dengan : D : matris vetor ciri, yang menjelasan orientasi dari omponen e-, A : matris diagonal dengan masing-masing unsurnya proporsional terhadap nilai ciri dari, yang menjelasan bentu, : aar ciri terbesar dari, yang menjelasan volume. Pencirian sebaran geometri (orientasi, volume, dan bentu) diperoleh dari berbagai macam bentu elompo, atau terbatas pada elompo yang sama dan matris varians untu semua omponen bisa 87

5 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, sama atau bervariasi. Tabel menunjuan matris ovariansi ganda dan interpretasi geometri (Fraley & Raftery, 00). j untu model campuran normal Tabel. Matris Kovariasi dan Interpretasi Geometri pada Model Campuran Normal Ganda Volume Bentu Orientasi Tebaran Simbol j Geometri Mclust I Sama Sama - Spherical EII I Berbeda Sama - Spherical VII A Sama Sama Sumbu oordinat Diagonal EEI Berbeda Sama Sumbu oordinat Diagonal VEI A A Sama Berbeda Sumbu oordinat Diagonal EVI A Berbeda Berbeda Sumbu oordinat Diagonal VVI DAD Sama Sama Sama Ellipsoidal EEE D AD Sama Sama Berbeda Ellipsoidal EEV D AD Berbeda Sama Berbeda Ellipsoidal VEV D A D Berbeda Berbeda Berbeda Ellipsoidal VVV Sumber: (Fraley & Raftery, 00) Algoritma EM (Expectation-Maximum) Algoritma EM merupaan metode perhitungan iterasi terhadap masalah pendugaan emunginan masimum parameter pada data tida lengap (Dempster, Laird, and Rubin, 977). x y, z, dengan y data i Algoritma EM pada elompo data lengap diasumsian menjadi i i i teramati dan z i data yang tida teramati (missing). Apabila x i adalah data yang berdistribusi bebas dan identi menurut distribusi peluang f dengan parameter θ maa fungsi lielihood data lengap adalah L C( xi ) f j xi n i. Selanjutnya jia peluang variabel husus tida teramati dan tergantung pada pengamatan data y dan buan z maa fungsi lielihood data lengap menjadi: L O( y ) L C( x )dz (5) Penduga masimum lielihood (MLE) untu paramater θ didasaran pada proses pemasimuman data pengamatan L ( y ). z O Pada EM untu model campuran, data lengap diasumsian, z, z,..., z i i i ig merupaan data yang tida teramati, yaitu, xi G z i ; i,..., n ;,..., g 0, lainnya. x y z dengan i i i (6) 88

6 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model dengan asumsi bahwa setiap z i bebas dan identi menurut sebaran multinomial dari G ategori dengan peluang,,..., G dan fungsi epeatan y i terhadap i fungsi log-lielihood data lengap (complete-data log-lielihood) adalah : n G L( θ,,z x) z log f x i i i i G z adalah f yi (7) Bila f xi merupaan model campuran sebaran normal ganda yaitu f xi f xi ; ganda adalah: zi, maa, maa fungsi log-lielihood data lengap pada model campuran normal n G i i i i L( θ,,z x) z log f x ; (8) Dengan menggunaan algoritma EM, yaitu tahap E untu pendugaan dan tahap M untu pemasimuman, maa iterasi tahap E model campuran normal ganda diperoleh f y i, z i ; i,..., n ;,..., G G j f j yi j, j j Sedangan tahap M adalah untu memasimalan persamaan (8) terhadap z i tetap pada nilai yang dihitung pada tahap E. (9) dan θ dengan Pemilihan Model Pengelompoan dengan Fator Bayes Pada analisis elompo masalah yang paling sering menjadi pertanyaan adalah bagaimana menentuan metode elompo yang digunaan dan berapa jumlah elompo yang tepat. Seringali para pengguna statisti melauan coba-coba (trial and error) untu mendapatan hasil yang bermana atau yang dapat diinterpretasian sesuai dengan masalah ajiannya. Fraley & Raftery (998) melauan pendeatan model campuran melalui fator Bayes dengan sistematia pemilihannya tida hanya untu parameterisasi model (metode elompo yang digunaan), tetapi juga banyanya elompo. Pendeatan yang digunaan adalah dengan pendeatan BIC (Bayesian Information Criterion) dengan formulasi sebagai beriut: ^ log P y M log P y, M -V log( n) BIC dengan P y M : integrasi lielihood untu model M, ^ P y, M : masimum lielihood campuran untu model M, V : banyanya parameter bebas yang diduga pada model M, 89

7 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, : dugaan emunginan masimum untu parameter pada model M. Nilai BIC terbesar mengindiasian bahwa model tersebut adalah model paling laya. METODE Sumber data yang digunaan adalah data simulasi dari himpunan campuran normal ganda yang dibangitan dengan menggunaan fungsi mvnorm pada perangat luna program R ver.4.. Kriteria data simulasi yang dibangitan mengacu pada Pardede (008), yani data yang dibangitan dari sebaran campuran normal ganda yang terdiri atas tiga elompo dengan tiga variabel dan jumlah amatan tiap elompo adalah 50, 00, dan 50. Ketiga elompo yang dibangitan dibuat dalam tiga macam ondisi, yaitu () etiga elompo saling terpisah, () satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih, dan () etiga elompo saling tumpang tindih. Untu etiga ondisi data, digunaan tiga jenis uuran jara antara dua pusat elompo, yang disesuaian dengan jauh deatnya jara antara vetor rataan elompo. Selain itu, untu melihat pengaruh tingat orelasi antarvariabel terhadap hasil ahir elompo, maa dicobaan juga tiga jenis tingat orelasi. Pola-pola data simulasi secara lengap disajian pada Tabel. Tabel. Pola Data Simulasi yang Aan Dibangitan Jenis pengelompoan Jara antar dua pusat elompo dan nilai variansi tiap variabel Ketiga elompo saling Deat, Sedang, Jauh terpisah σ,σ,σ (variansi ecil) Satu terpisah, dua Deat, Sedang, Jauh tumpang tindih σ,σ,σ 5 (variansi berbeda) Ketiga elompo saling Deat, Sedang, Jauh tumpang tindih σ 5,σ 5,σ 5 (variansi besar) Sumber: (Pardede, 008) Tingat orelasi antar variabel Rendah (0.) Sedang (0.5) Tinggi (0.8) Rendah (0.) Sedang (0.5) Tinggi (0.8) Rendah (0.) Sedang (0.5) Tinggi (0.7) Banya data tiap elompo Hasil data simulasi dilauan tahapan analisis sebagai beriut:. Dilauan analisis elompo dengan menggunaan perangat luna R ver.4. untu metode Ward dan metode K-rataan. Untu metode berbasis model, analisis elompo dilauan dengan menggunaan paet program Mclust ver 4.0 dengan interface perangat luna R ver.4. (open source).. Untu metode berbasis model, hitung nilai BIC pada setiap model. Nilai BIC terbesar mengindiasian bahwa model tersebut adalah model yang paling laya.. Hitung persentase salah pengelompoan dari setiap elompo pada masing-masing metode, emudian hasilnya dibandingan dengan pengelompoan yang sebenarnya (ditentuan saat simulasi). 4. Persentase salah pengelompoan yang terecil menunjuan bahwa metode yang digunaan lebih bai. 90

8 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model HASIL DAN PEMBAHASAN Data simulasi yang dibangitan terdiri atas 8 asus data dengan setiap asus data simulasi terdiri atas tiga elompo. Semua asus data dibedaan atas ondisi elompo yani jara antarpusat elompo dengan variansi setiap variabel sama atau berbeda pada setiap elompo, tingat orelasi, dan juga banya data. Kondisi Ketiga Kelompo Saling Terpisah Pada asus data simulasi dengan ondisi pengelompoan etiga elompo saling terpisah menunjuan bahwa hasil pengelompoan yang diperoleh dengan metode Ward, metode K-rataan, dan metode berbasis model dapat mengelompoan obje-obje amatan secara tepat dan sesuai dengan pengelompoan yang sebenarnya. Hal ini dintunjuan dengan nilai persentase salah pengelompoan pada metode Ward, metode K-rataan, dan metode berbasis model adalah 0%. Hal ini disebaban oleh variansi dari masing-masing elompo cenderung ecil sehingga setiap objeobje amatan cenderung mengelompo di seitar vetor rataan elompo seperti terlihat pada Gambar Gambar. Matris plot data simulasi untu ondisi etiga elompo saling terpisah dengan jara pusat elompo deat, variansi cenderung ecil, tingat orelasi rendah, dan n=50 Hasil elompo dengan metode berbasis model pada Gambar menunjuan bahwa dari 0 model yang dicobaan, model yang paling laya yang didasaran pada nilai BIC paling besar, yaitu model EII dengan nilai BIC = -65,769; model EEE dengan nilai BIC = ; dan model VII dengan nilai BIC = Nilai BIC yang paling besar dari tiga model yang paling laya terdapat pada model EII dengan nilai BIC = -65,769 maa model terbai terdapat pada model EII. 9

9 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, Gambar. Plot dan hasil elompo metode berbasis model untu ondisi etiga elompo saling terpisah dengan jara pusat elompo deat dan variansi cenderung ecil, tingat orelasi rendah, dan banya data n=50. Dari 7 asus simulasi dengan ondisi etiga elompo saling terpisah, model terbai terdapat pada model EEE yang tebaran datanya berbentu ellipsoidal, ecuali pada ondisi banya data n=50 dengan tingat orelasi rendah (0,) dan jara antar pusat elompo deat, sedang, jauh menghasilan model terbai EII yang berbentu Spherical, dan pada tingat orelasi sedang (0,5) menghasilan model terbai EEV yang berbentu ellipsoidal. Nilai BIC dan model terbai pada metode berbasis model disajian pada Tabel. Persentase salah pengelompoan elompo tida terpengaruh terhadap tingat orelasi antarvariabel dan banya obje amatan pada tiap elompo. Tabel. Nilai BIC dan Model Terbai pada Metode Kelompo Berbasis Model Ketiga elompo satu elompo terpisah, Keiga elompo saling Jara antar Banya Tingat saling terpisah dua elompo tindih tumpang tindih pusat data orelasi σ,σ,σ σ,σ,σ 5 σ 5,σ 5,σ 5 elompo Nilai BIC Model Nilai BIC Model Nilai BIC Model Deat (d=5.099) Sedang (d=7.48) Jauh (d= 9.899) Deat (d=5.099) Sedang (d=7.48) Jauh (d= 9.899) Rendah -65,769 EII -6,695 EEI -786,649 VII Sedang -578,400 EEE -05,98 EEE -740,56 EII Tinggi -4, EEE -86,0 EEE -69,69 EEE Rendah -657,665 EII -7,900 EEE -88, VII Sedang -578,746 EEE -06,9 EEE -86,904 EII Tinggi -4, EEE -86,045 EEE -76,08 EEE Rendah -657,665 EII -48,996 EEE -96,89 EII Sedang -578,746 EEV -06,576 EEE -95,486 EII Tinggi -4, EEE -86,045 EEE -764,566 EEE Rendah -64,6 EEE -4.05,786 EEE -5595,077 EII Sedang -09,097 EEE -408,48 EEE -5489,04 EII Tinggi -6,66 EEE -587,805 EEE -5,99 EEE Rendah -68, EEE -46,587 EEE -5709,5 EII Sedang -09, EEE -4058,44 EEE -567,9 EII Tinggi -6,66 EEE -.587,89 EEE -540,80 EEE Rendah -68, EEE -4,654 EEE -58,0 VII Sedang -09, EEE -4058,876 EEE -5799,674 EEV Tinggi -6,66 EEE -587,89 EEE -5486,6 EEE 9

10 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model Tabel. Lanjutan Banya data 50 Jara antar pusat elompo Deat (d=5.099) Sedang (d=7.48) Jauh (d= 9.899) Tingat Ketiga elompo saling terpisah satu elompo terpisah, dua elompo tindih Keiga elompo saling tumpang tindih orelasi σ,σ,σ σ,σ,σ 5 σ 5,σ 5,σ 5 Nilai BIC Model Nilai BIC Model Nilai BIC Model Rendah -4858,88 EEE -6,69 EEE -849,897 VII Sedang -460,9 EEE -6009,74 EEE -897,45 EII Tinggi -896,98 EEE -600,87 EEE -78,4 EEE Rendah -4865,95 EEE -5698,84 EEE -857,46 EII Sedang -460,796 EEE -6047,875 EEE -84,45 EEE Tinggi -896,98 EEE -544,670 EEE ,47 EEE Rendah -4865,95 EEE -6,66 EEE -876,84 EII Sedang -460,796 EEE -605,76 EEE -86,4 EEE Tinggi -896,98 EEE -544,69 EEE -886,77 EEE Kondisi Satu Kelompo Terpisah dan Dua Kelompo Tumpang Tindih Untu asus data simulasi dengan satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih disajian pada Gambar dengan ondisi jara antarpusat elompo sedang (d=7.48), variansi etiga elompo adalah σ,σ,σ 5, tingat orelasi antarvariabel rendah (0.), dan banya amatan tiap elompo adalah n= Gambar. Matris plot data simulasi untu ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih dengan jara sedang, variansi σ,σ,σ 5, tingat orelasi sedang, dan n=00. Hasil pengelompoan dengan metode Ward diperoleh hasil bahwa dari 00 obje amatan pada elompo terdapat obje amatan masu e dalam elompo, dari 00 obje amatan pada elompo terdapat 6 obje amatan masu e dalam elompo, dan dari 00 obje amatan pada elompo terdapat obje amatan masu e elompo (Gambar 4). Persentase salah pengelompoannya adalah 9,00%. 9

11 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, Cluster Dendrogram Height dist(asus40) hclust (*, "ward") Gambar 4. Dendogram hasil pengelompoan metode Ward dengan ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih dengan jara sedang, variansi σ,σ,σ 5, tingat orelasi sedang, dan n=00. Pada metode K-rataan, hasil pengelompoan yang diperoleh adalah pada elompo terdapat 0 obje amatan masu e dalam elompo dan obje amatan masu e dalam elompo dan hanya 57 obje amatan yang dengan tepat masu e dalam elompo. Untu elompo, terdapat 50 obje amatan masu e dalam elompo dan 5 obje amatan masu e dalam elompo, dan hanya 5 obje amatan dengan tepat masu e dalam elompo. Hal ini menunjuan bahwa lebih dari 50% obje amatan tida terelompo pada tempatnya (Gambar 5). Gambar 5. Plot hasil pengelompoan metode K rataan dengan ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih dengan jara sedang, variansi σ,σ,σ 5, tingat orelasi sedang, dan n=00. Pada metode berbasis model, dari 0 model yang dicobaan terdapat tiga model yang paling laya, yani model EEE ( elompo) dengan nilai BIC = ; model EEI ( elompo) dengan nilai BIC = ; dan model EEE (4 elompo) dengan nilai BIC = Model terbai dari tiga model yang paling laya terdapat nilai BIC yang paling besar yaitu pada model EEE (Gambar 6). 94

12 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model Gambar 6. Plot dan hasil pengelompoan metode berbasis model dengan ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih dengan jara pusat elompo sedang, variansi σ,σ,σ 5, tingat orelasi sedang dan n=00. Untu metode berbasis model, dari 7 asus simulasi pada ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih menghasilan model yang sama untu setiap asus yaitu model EEE yang tebaran datanya berbentu ellipsoidal. Kecuali pada ondisi jara antarpusat elompo deat, banya data n=50 dan tingat orelasi sedang menghasil model EEV (ellipsoidal) sebagai model terbai. Nilai BIC dan Model terbai pada metode berbasis model disajian pada Tabel. Untu 7 asus dengan ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo saling tumpang tindih diperoleh hasil bahwa persentase salah pengelompoan pada metode berbasis model jauh lebih ecil dibandingan dengan metode Ward dan metode K-rataan. Hal ini menunjuan bahwa metode berbasis model lebih cenderung dapat memisahan etiga elompo dibandingan dua metode elompo lainnya. Persentase salah pengelompoan pada ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih disajian pada Tabel 4. Tabel 4. Persentase Salah Pengelompoan pada Kondisi Satu Kelompo Terpisah dan Dua Kelompo Saling Tumpang Tindih. Jara antar n=50 n=00 n=50 pusat Metode Tingat Korelasi Tingat Korelasi Tingat Korelasi elompo Rendah Sedang Tinggi Rendah Sedang Tinggi Rendah Sedang Tinggi Ward 56,00% 4,00% 58,67% 55,67% 5,00% 56,% 5,00% 5,78% 4,00% Deat K-rataan 64,00% 58,67% 54,00% 56,67% 57,67% 55,67% 60,67% 60,00% 56,89% Model 6,67% 0,67% 0,67%,%,00% 0,00% 4,44%,67%,% Ward 4,00%,% 7,% 9,00% 6,00%,00% 7,78% 0,44%,% Sedang K-rataan,%,00% 5,% 55,67% 9,% 7,67% 4,44% 50,% 45,% Model,00% 0,00% 0,00%,% 0,00% 0,00% 0,89% 0,% 0,00% Ward,% 9,% 0,67% 50,67% 0,00% 0,00% 0,44% 0,00% 0,00% Jauh K-rataan 4,67% 4,67% 0,00% 55,67%,67% 0,67%,%,%,78% Model 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Ditinjau dari jara antarpusat elompo, terjadi penurunan persentase salah pengelompoan dengan semain jauh jara antar pusat elompo untu etiga metode elompo, yang disajian pada Gambar 7. Penurunan salah persentase pengelompoan ini disebaban oleh uuran jara 95

13 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, antarvetor rataan elompo yang relatif main jauh untu semua ondisi, sehingga obje-obje amatan aan semain mengelompo di seitar vetor rataannya. (a) (b) (c) Gambar 7. Plot persentase salah pengelompoan pada uuran jara dengan tingat orelasi (a)rendah, (b)sedang, dan (c)tinggi dengan n=50. Untu tingat orelasi rendah, sedang, dan tinggi menunjuan bahwa pada metode berbasis model terjadi penurunan persentase salah pengelompoan dari tingat orelasi rendah e tingat orelasi tinggi, walaupun penurunan ini hampir tida ada perbedaan yang berarti. Hal ini menunjuan bahwa tingat orelasi yang berbeda tida berpengaruh secara signifian pada ondisi elompo pada ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih (Gambar 8). (a) (b) (c) Gambar 8. Persentase salah pengelompoan yang didasaran pada tingat orelasi dengan uuran jara (a) deat, (b) sedang, dan (c) jauh dengan banya data n=00. (a) (b) (c) Gambar 9. Persentase salah pengelompoan didasaran pada banyanya data dengan tingat orelasi (a) rendah, (b) sedang, dan (c) tinggi dengan jara antar pusat elompo deat. 96

14 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model Ditinjau dari banya obje amatan, banya amatan tiap elompo n= 50 mempunyai pola persentase salah pengelompoan yang tida jauh berbeda dengan obje amatan tiap elompo sebesar 00 dan 50. Hal ini berarti bahwa banya amatan tiap elompo tida berpengaruh terhadap hasil elompo (Gambar 9). Dari hasil pengelompoan etiga metode elompo yang dibandingan dengan ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih menunjuan bahwa metode berbasis model lebih efetif dalam memisahan elompo-elompo elompo dibandingan metode Ward dan metode K-rataan. Ketiga Kelompo Saling Tumpang Tindih Pada Gambar 0 disajian data dengan ondisi jara antarpusat elompo sedang (d=7.48) dengan variansi etiga elompo adalah σ 5,σ 5,σ 5, tingat orelasi antar variabel sedang (0.5), dan n=50. Secara visual matris plot pada Gambar 0 menggambaran ondisi etiga elompo saling tumpang tindih. Secara eseluruhan dari 7 asus simulasi pada ondisi etiga elompo saling tumpang tindih, etiga metode elompo tida mampu memisahan elompo yang saling tumpang tindih. Metode berbasis model menghasilan model yang bervariasi pada setiap asus simulasi, yani model dengan tebaran datanya berbentu spherical (VII, EII) dan model yang tebaran datanya berbentu ellipsoidal (EEE, EEV). Tingat orelasi rendah dan sedang menghasilan model VII dan EII, sedangan tingat orelasi tinggi menghasilan model EEE. Nilai BIC dan Model terbai pada metode berbasis model disajian pada Tabel. Pada tingat orelasi tinggi dengan jara antar pusat elompo relatif sedang dan jauh, persentase salah pengelompoan lebih rendah bila dibandingan dengan metode Ward dan metode K-rataan. Namun pada tingat orelasi rendah dan tingat orelasi sedang, metode berbasis model tida mampu memisahan elompo yang saling tumpang tindih, bahan sebagian besar persentase salah pengelompoannya lebih besar dibandingan dengan metode Ward dan metode K-rataan. Hal ini disebaban oleh obje amatannya mengelompo pada satu elompo, sehingga secara geometris dari 0 model pada metode berbasis model tida mampu memisahan elompo yang saling tumpang tindih. Bahan metode berbasis model ini menganjuran bahwa aan lebih efetif jia pengelompoannya dibentu dalam satu atau dua atau empat elompo Gambar 0. Matris plot data untu ondisi etiga elompo saling tumpang tindih, jara sedang, variansi σ 5,σ 5,σ 5, tingat orelasi sedang, dan n=50. 97

15 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, Pada ondisi etiga elompo saling tumpang tindih, perbedaan banya obje amatan tiap elompo tida berpengaruh terhadap persentase salah pengelompoannya, bai pada tingat orelasi maupun pada jara antar pusat elompo (Gambar ). (a) (b) (c) Gambar. Plot persentase salah pengelompoan didasaran pada banyanya data dengan tingat orelasi (a) rendah, (b) sedang, dan (c) tinggi dan jara deat. Ditinjau dari jara antar pusat elompo, terjadi penurunan persentase salah pengelompoan dengan semain jauh jara antar pusat elompo untu etiga metode elompo bai bai pada tingat orelasi maupun pada banya obje amatan tiap elompo. Hal ini dapat dilihat berdasaran persentase salah pengelompoan yang dihasilan, yang disajian pada Gambar. (a) (b) (c) Gambar. Persentase salah pengelompoan didasaran pada uuran jara dengan tingat orelasi (a) rendah, (b) sedang, dan (c) tinggi dengan n=00. 80% 60% 40% 0% 0% Rendah Sedang Tinggi Korelasi Ward K-mean Model 80% 60% 40% 0% 0% Rendah Sedang Tinggi Korelasi Ward K-mean Model 60% 40% 0% 0% Rendah Sedang Tinggi Korelasi Ward K-mean Model (a) (b) (c) Gambar. Plot persentase salah pengelompoan yang didasaran pada tingat orelasi dengan jara (a) deat, (b) sedang, dan (c) jauh dan n=00. 98

16 Pardede, Kajian Metode Berbasis Model Untu tingat orelasi rendah, sedang, dan tinggi menunjuan bahwa pada metode berbasis model terjadi penurunan persentase salah pengelompoan dari tingat orelasi rendah e tingat orelasi tinggi. Hal ini menunjuan bahwa tingat orelasi yang berbeda berpengaruh secara signifian pada ondisi elompo pada ondisi etiga elompo saling tumpang tindih (Gambar ). Dari hasil pengelompoan etiga metode elompo yang dibandingan dengan ondisi etiga elompo saling tumpang tindih menunjuan bahwa metode berbasis model lebih efetif memisahan elompo yang saling tumpang tindih apabila tingat orelasi tinggi dan jara antarpusat elompo relatif sedang dan jauh. Tabel 5. Persentase salah pengelompoan pada ondisi etiga elompo saling tumpang tindih Jara n=50 n=00 n=50 antar Metode Tingat Korelasi Tingat Korelasi Tingat Korelasi pusat elompo Rendah Sedang Tinggi Rendah Sedang Tinggi Rendah Sedang Tinggi Ward 60,00% 6,00% 6,% 64,67% 6,00% 6,% 58,89% 6,% 57,56% Deat K-rataan 59,% 60,67% 6,67% 6,% 65,67% 64,67% 56,67% 6,% 6,78% Model 64,67% 67,% 4,% 64,00% 6,67% 6,67% 58,89% 6,89% 58,44% Ward 5,% 46,00% 48,67% 6,67% 54,% 59,% 4,% 57,% 60,00% Sedang K-rataan 45,% 5,67% 65,% 46,67% 5,% 6,00% 47,% 5,% 64,67% Model 54,00% 64,67%,00% 55,00% 60,% 9,00% 6,%,78% 8,00% Ward 40,00% 4,% 4,00% 49,00% 5,67% 4,% 0,00% 49,56%,56% Jauh K-rataan 48,67% 4,% 44,67%,00% 4,% 45,00%,56% 45,% 45,78% Model 4,00%,67%,% 8,67% 6,00% 0,00% 8,89% 4,44%,78% Sebalinya, apabila tingat orelasi tinggi dengan jara antarpusat elompo relatif deat dan juga pada tingat orelasi rendah dan sedang dengan jara antar pusat elompo deat, sedang dan jauh, etiga metode yang dibandingan tida efetif dalam memisahan elompo yang tumpang tindih. Persentase salah pengelompoan pada ondisi etiga elompo saling tumpang tindih secara lengap disajian pada Tabel 5. SIMPULAN Berdasaran penelitian ini, dihasilan beberapa esimpulan. sebagai beriut : Uuran data pada tiap elompo tida berpengaruh terhadap hasil persentase salah pengelompoan yang dihasilan. Pada uuran jara, semain jauh jara antarpusat elompo dengan variansi yang tetap maa persentase salah pengelompoan yang dihasilan semain ecil.pada metode berbasis model, semain besar tingat orelasi antarvariabel maa persentase salah pengelompoan yang dihasilan semain ecil, sedangan pada metode Ward dan K-rataan, persentase salah pengelompoan yang dihasilan sangat bervariasi. Untu ondisi etiga elompo saling terpisah, etiga metode yang dibandingan memberian hasil pengelompoan yang sama dan sesuai dengan hasil pengelompoan sebenarnya. Untu ondisi satu elompo terpisah dan dua elompo tumpang tindih, metode berbasis model memberian hasil yang lebih bai dibandingan dengan metode Ward dan metode K-rataan. Untu ondisi etiga elompo saling tumpang tindih dengan tingat orelasi tinggi dan jara antarpusat elompo sedang dan jauh, hasil pengelompoan berbasis model lebih bai dibandingan dengan metode Ward dan metode K-rataan. Sedangan untu tingat orelasi tinggi dengan jara antarpusat elompo relatif deat, maupun tingat orelasi rendah dan sedang dengan 99

17 Jurnal Matematia, Sains, dan Tenologi, Volume 4 Nomor, September 0, jara antar pusat elompo deat, sedang dan jauh, etiga metode elompo tida cuup efetif memisahan etiga elompo yang saling tumpang tindih. REFERENSI Anderberg, M.R. (97). Cluster analysis for applications, New Yor: Academic Press Branfield, J. D. & Raftery, A. E. (99) Model-based gaussian and non-gaussian clustering. Biometrics, 49, Dempster, A. P., Laird, N. M., & Rubin D. B. (977). Maximum lielihood from incomplete data via the EM algorithm, J. R. Statistics Society B, 9, -8. Fraley, C. & Raftery A.E. (998). How many cluster? Which clustering method? Answer via modelbased cluster analysis. The Computer Journal, 4, Fraley, C. & Raftery, A. E. (999). MCLUST:Software for model-based clustering analysis. Journal of Classifications,6, Fraley, C. & Raftery, A. E. (00). MCLUST: Software for rvlodel-based clustering, density estimation and discriminant analysis. Technical Report 45, University of Washington, Department of Statistics. Fraley C, & Raftery A. E. (00). Mclust version for R: Normal mixture modeling and model-based clustering. Technical Report 504. University of Washington, Department of Statistics. Johnson, R. A. & Wichern, D. W. (007). Applied multivariate statistical analysis, (6 th Ed). New Jersey: Prentice-Hall. Mc Lachlan, G.J. & Basford, K. E. (988). Mixture models: Inference and applications to clustering. New Yor: Marcel Deer. Pardede,T. (008). Perbandingan Metode Berbasis Model (Model-Based) dengan Metode Metode K- rataan dalam Analsis Gugus. Jurnal Sigma, Sains dan Tenologi, (),