Kesesuaian Metode Regresi Nonparametrik Spline, B-spline, dan P-spline dalam Menduga Kurva Regresi

Transkripsi

1 Laporan Penelitian Lanjut idang Ilmu Kesesuaian Metode Regresi Nonparametri Spline, spline, dan Pspline dalam Menduga Kurva Regresi Oleh: Dra. Harmi Sugiarti, M.Si Pusat Penelitian dan Pengabdian epada Masyaraat UNIVERSITAS TERUKA 0

2 LEMAR PENGESAHAN Laporan Penelitian Lembaga Penelitian dan Pengabdian epada Masyaraat UT. a. Judul Penelitian : Kesesuaian Metode Regresi Nonparametri Spline,spline dan Pspline dalam Menduga Kurva Regresi b. idang Penelitian : idang Ilmu c. Klasifiasi Penelitian : Penelitian Lanjut d. idang Ilmu : Statistia. Ketua Peneliti a. Nama : Dra. Harmi Sugiarti, M.Si b. NIP : c. Golongan Kepangatan : III/d d. Jabatan Aademi : Letor e. Faultas/ Unit Kerja : FMIPA 3. Anggota Tim Peneliti a. Jumlah Anggota : b. Nama/Unit Kerja : 4. Lama Penelitian : 9 (sembilan bulan 5. iaya Penelitian : Rp , (tiga puluh juta rupiah 6. Sumber iaya : LPPM UT Pondo Cabe, 3 Desember 0 Mengetahui, Dean FMIPAUT Ketua Peneliti, Dr. Nuraini Soleiman,M.Ed Dra. Harmi Sugiarti, M.Si NIP NIP Mengetahui, Ketua LPPM UT Menyetujui, Kepala Pusat Keilmuan LPPMUT Dra. Dewi A.Padmo Putri, MA. Ph.D Dra. Endang Nugraheni, M.Ed,M.Si NIP NIP i

3 RINGKASAN Analisis regresi merupaan salah satu analisis dalam statistia yang sangat sering digunaan untu memperlihatan hubungan dan pengaruh variabel preditor (variabel bebas terhadap variabel respon (variabel ta bebas. Jia model yang diasumsian benar, maa pendugaan parametri sangat efisien. Namun, jia model yang diasumsian tida benar, maa dapat menyebaban interpretasi data yang menyesatan. Selain itu, model parametri juga mempunyai eterbatasan untu menduga pergeraan data yang tida diharapan, sehingga diperluan pendugaan yang bersifat nonparametri. Metode regresi nonparametri yang dapat digunaan untu menduga urva regresi antara lain dengan menggunaan pendeatan regresi spline. Regresi spline adalah pendeatan e arah plot data dengan tetap memperhitungan emulusan urva. Spline adalah penduga yang diperoleh dengan meminimuman penalized least square, yaitu riteria pendugaan yang menggabungan goodnessoffit dengan emulusan urva, dimana edua uuran ini diatur oleh suatu parameter pemulusan. asis fungsi yang digunaan dalam pendeatan regresi spline adalah truncated dan spline. Pemilihan model optimal (terbai menggunaan riteria Mean Squared Error (MSE atau Generalized Cross Validation (GCV dan tasiran parameter menggunaan metode uadrat terecil. Penelitian ini bertujuan untu mengaji dan mengevaluasi penduga pada urva regresi linear, uadrati, maupun ubi dengan pendeatan model spline, spline, dan Pspline pada data simulasi dan data terapan. Data simulasi dibangitan dan diolah dengan bantuan program R versi.4.. Data terapan diperoleh dari SRSUT berupa Inde Prestasi (IP pada semester satu dan lama studi mahasiswa PS Statistia FMIPA Universitas Terbua yang lulus pada masa ujian 989. sampai dengan 0.. Data bangitan sebanya 00 pengamatan berpasangan menunjuan bahwa pendeatan model spline dengan basis truncated memberian performa yang bai dalam memodelan data bai untu penduga urva spline linear, uadrati, dan ubi pada not,, 3 3. Sebagaimana ditunjuan ii

4 pada Gambar, tampa bahwa performa tasiran fungsi spline linear, uadrati, dan ubi pada not putusputus.,, 3 3 mendeati garis sesungguhnya (garis Gambar. Kurva Spline Data Simulasi Pendeatan model spline dengan basis spline menunjuan bahwa penduga urva spline linear, uadrati, dan ubi pada not,, 3 3 mempunyai performa yang bai dalam memodelan data seperti ditunjuan pada Gambar. Gambar. Kurva spline Data Simulasi Pendeatan model smoothing spline dengan basis spline menunjuan bahwa penduga urva Pspline dengan menggunaan sebanya 6 not merupaan model dengan performa yang optimal seperti ditunjuan pada Gambar 3. iii

5 Gambar 3. Kurva PSpline Data Simulasi erdasaran data terapan sebanya 835 mahasiswa Program Studi Statistia FMIPA Universitas Terbua yang lulus pada masa ujian 989. sampai dengan 0., pendeatan model spline dengan basis truncated pada data terapan menunjuan bahwa penduga urva spline linear, uadrati, dan ubi pada berbagai not mempunyai performa yang urang bai dalam memodelan data seperti disajian pada Gambar 4. Gambar 4. Kurva Spline Data Terapan iv

6 Pendeatan model spline dengan basis spline untu data terapan menunjuan bahwa penduga urva spline linear, uadrati, dan ubi pada berbagai not mempunyai performa yang urang bai dalam memodelan data seperti disajian pada Gambar 5. Gambar 5. Kurva spline Data Terapan Performa model Pspline menunjuan bahwa penduga urva Pspline dengan menggunaan berbagai jumlah not mempunyai performa yang urang bai dalam memodelan data seperti disajian pada Gambar 6. Gambar 6. Kurva Pspline Data Terapan v

7 Kesesuaian Metode Regresi Nonparametri Spline, spline dan Pspline dalam Menduga Kurva Abstract Regression modeling with nonparametric regression method is required as an alternative method of standard methods (parametric regression method to obtain a more accurate model when there is assumption true model violation. There are several nonparametric regression methods that can be used, including the spline methods. This study aims to assess performance of the spline basis method with truncated (spline method, spline method with spline basis (spline, and penalized spline method with spline basis (Pspline. This study used simulated data and applied data. Simulated data are generated and processed with the R programs version.4.. Applied data are obtained from the SRSUT with the first grade point and life time study for Statistics Department students in periods. ase on the 00 paired observations from generated data and the generalized cross validation (GCV and mean squared error (MSE criterion, the spline method and spline method with three nots have good performance to fit the data, while the Pspline method have optimal performance when 0 nots are used. ase on 835 paired observations from real data, there is not significantly different performance of the spline method, spline method, and the Pspline method. Keywords: spline methods, nonparametric regression vi

8 DAFTAR ISI Halaman LEMAR PENGESAHAN... i RINGKASAN... ii ASTRAK... vi DAFTAR ISI... vii A I. PENDAHULUAN A. Latar elaang.... Perumusan Masalah C. Tujuan Penelitian... 3 D. Manfaat Penelitian... 3 A II. TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Nonparametri Spline Regresi Nonparametri Spline C. Regresi Nonparametri PSpline D. Kriteria Asimtoti... 8 A III. METODE PENELITIAN A. Desain Penelitian Data... 9 C. Tahapan Analisis A IV. HASIL DAN PEMAHASAN A. Hasil Simulasi Hasil Terapan A V. KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA IODATA vii

9 A I PENDAHULUAN A. LATAR ELAKANG Analisis regresi merupaan salah satu analisis dalam statistia yang sangat sering digunaan untu memperlihatan hubungan dan pengaruh variabel preditor (variabel bebas terhadap variabel respon (variabel ta bebas. Misalan y adalah variabel respon dan x adalah variabel preditor, secara umum hubungan antara x dan y untu n pengamatan dapat ditulis sebagai y f ( x, i,... n dengan adalah sesatan random dan i i i ( f x i merupaan urva regresi. Pendeatan yang sering digunaan untu menduga urva regresi ( f x i adalah pendeatan parametri, dimana diasumsian bahwa bentu fungsi dari f( x i dapat digambaran secara lengap oleh satu set parameter. Pada pendeatan parametri, urva regresi dapat diwaili oleh model parametri atau bias dari tasirannya berupa nilai yang dapat diabaian (Hardle, 990. Jia model yang diasumsian benar, maa pendugaan parametri sangat efisien. Jia model yang diasumsian tida benar, maa dapat menyebaban interpretasi data yang menyesatan. Selain itu, model parametri juga mempunyai eterbatasan untu menduga pergeraan data yang tida diharapan. eberapa ajian telah dilauan untu mengetahui tingat efisiensi metode parametri, diantaranya adalah tingat efisiensi metode M, metode LMS, dan metode OLS pada regresi robust. Hasil ajian untu data yang tida memenuhi asumsi, hususnya data mengandung pencilan, menunjuan bahwa metode LMS memberian nilai oefisien determinasi yang lebih onsisten dibanding metode OLS dan metode M (Sugiarti & Megawarni, 00. Selain itu, ajian juga dilauan untu mengetahui inerja metode LTS sebagai metode alternatif dibanding metode OLS, metode M, dan metode LMS dalam menasir oefisien garis regresi jia data mengandung pencilan. Hasil ajian menunjuan bahwa pada data yang mengandung pencilan, metode LTS mempunyai inerja yang tida jauh berbeda dengan metode robust lainnya (metode M dan metode LMS dalam menasir oefisien garis regresi (Sugiarti & Megawarni, 0.

10 Jia dilihat dari hasil ajian yang telah dilauan, metode robust yang digunaan dalam model parametri cuup bai untu digunaan. Namun, penggunaan metode robust pada data terapan/real masih dianggap urang menjelasan hubungan yang ada diantara peubahpeubah. Hal ini mungin disebaban arena pola hubungan yang ada dalam model tida dapat dijelasan hanya dengan asumsi hubungan linear, sementara hubungan uadrati dan ubi tida terjelasan oleh model yang ada, dengan ata lain informasi tentang bentu ( f x i tida ada. Tida adanya informasi tentang bentu ( f x i mengaibatan penggunaan model parametri dianggap urang pas dan dianggap perlu untu melauan ajian dengan pendeatan nonparametri. Sebagaimana disebutan dalam Euban (999, jia tida ada informasi apapun tentang bentu ( f x i, maa dapat digunaan pendeatan nonparametri. Pendeatan nonparametri dianggap lebih flesibel dibanding pendeatan parametri, arena pendeatan nonparametri tida tergantung pada asumsi bentu urva tertentu, dalam hal ini f( x i diasumsian termuat dalam ruang fungsi berdimensi ta berhingga. Selain itu, pada pendeatan regresi nonparametri, data diharapan dapat mencari bentu tasirannya sendiri. Metode regresi nonparametri yang dapat digunaan untu menduga urva regresi antara lain dengan menggunaan pendeatan regresi spline. Regresi spline adalah pendeatan e arah plot data dengan tetap memperhitungan emulusan urva. Spline adalah penduga yang diperoleh dengan meminimuman penalized least square, yaitu riteria pendugaan yang menggabungan goodnessoffit dengan emulusan urva, dimana edua uuran ini diatur oleh suatu parameter pemulusan. Wahba (990 menunjuan bahwa spline memilii sifatsifat statisti yang berguna dan perlu dipertimbangan sebagai satu metode untu menganalisis hubungan regresi. asis fungsi yang digunaan dalam pendeatan regresi spline adalah truncated dan spline. Pemilihan model optimal (terbai menggunaan riteria Mean Squared Error (MSE atau Generalized Cross Validation (GCV dan tasiran parameter menggunaan metode uadrat terecil.

11 eberapa ajian tentang model nonparametri telah dilauan, diantaranya penggunaan spline dalam memodelan nilai ujian masu terhadap IPK mahasiswa Jurusan Desain Komuniasi Visual Universitas Kristen Petra Surabaya (udiantara, I.N. d, 006. Selain itu, ajian tentang regresi nonparametri juga dilauan pada spline dengan menggunaan berbagai fator pemulus (Lee, 004 dan (Adisantoso,00. Dalam penelitian ini aan diaji penggunaan regresi spline dalam memodelan IP semester pertama terhadap lama studi mahasiswa Program Studi Statistia FMIPA Universitas Terbua.. PERUMUSAN MASALAH erdasaran uraian di atas, permasalahan dalam penelitian ini dapat dirumusan sebagai beriut:. agaimana menentuan penduga pada urva regresi linear, uadrati, maupun ubi dengan pendeatan model spline, spline, dan Pspline.. agaimana mengevaluasi esesuaian urva regresi dengan pendeatan model spline spline, dan Pspline untu data simulasi dan data terapan. C. TUJUAN PENELITIAN erdasaran perumusan masalah diatas, penelitian ini bertujuan untu:. Mengaji penduga pada urva regresi dengan pendeatan model spline, spline, dan Pspline.. Mengevaluasi esesuaian model spline, spline, dan Pspline untu data simulasi dan data terapan. D. MANFAAT PENELITIAN Hasil penelitian ini diharapan dapat memberian masuan yang lebih jelas bagi pratisi atau pengguna statisti tentang spline, spline, dan Pspline sehingga dapat menentuan penggunaan pendeatan spline, spline, dan P spline dengan tepat. Manfaat lain dari penerapan metode pada data terapan diharapan dapat digunaan sebagai rujuan dalam penelitian yang sesuai serta dapat digunaan sebagai dasar pengambilan ebijaan dalam pelayanan 3

12 emahasiswaan dan peningatan prestasi aademi mahasiswa FMIPA Universitas Terbua. 4

13 A II TINJAUAN PUSTAKA A. REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE Jia diamati nilainilai variabel respon Y dan variabel bebas X yang telah ditentuan, diperoleh hasil pengamatan berpasangan ( x, y, ( x, y,..., ( x, y secara umum hubungan antara X dan Y untu n pengamatan dapat ditulis sebagai beriut: y f ( x, i,... n ( i i i dengan adalah sesatan random yang bersifat identi, independen dengan nilai n n tengah nol dan variansi sama dengan ; fungsi ( f x i adalah urva regresi yang diasumsian tida dietahui bentunya dan mulus (smooth dalam arti ontinu dan differensiabel, dengan pemilihan ruang fungsi berdasaran sifat emulusan pada fungsi f( x i tersebut. Fungsi diataan smooth secara geometri jia gradiennya berubah tida terlalu cepat, sehingga dapat menggunaan suatu titi yang berada diseitar titi tersebut sebagai tasirannya. erdasaran onsep tersebut, misalan f adalah fungsi smooth dalam arti f termuat dalam suatu ruang fungsi Sobolev m m ( m [, ] /,,,..., ontinu absolut pada, W a b f f f f f f L a b, dengan ( m f adalah fungsi turunan e m dan L, uadratnya terintegral pada interval b ( m a ab, L a, b f [ f ( x] dt (Euban, 999. a b adalah himpunan fungsi yang atau dapat dinyataan sebagai: Pendeatan spline urva dibentu berdasaran titititi not yang emudian saling dihubungan. Kurva pendeatannya bisa urva interpolasi polinomial, urva ezier, urva spline (Lyche dan Moren, 008. Spline merupaan salah satu jenis piecewise polinomial, yaitu polinomial yang memilii sifat tersegmen, dimana segmensegmen polinomial yang berbeda digabungan bersama pada notnot dengan suatu cara yang menjamin sifat ontinuitas tertentu. Sifat tersegmen ini memberian flesibilitas lebih dari polinomial biasa, 5

14 sehingga memunginannya untu menyesuaian diri secara lebih efetif terhadap arateristi loal yaitu suatu fungsi atau data. Spline didefinisian sebagai polinomial tersegmen (piecewise polinomial yang memilii sejumlah batasan ontinuitas yang masimum sehingga spline merupaan polinomial tersegmen termulus yang mungin saja masih mempunyai sifat tersegmen. Fungsi spline berorde m dengan satu variabel bebas dan basis truncated adalah sembarang fungsi yang secara umum dapat disajian dalam bentu: m K r m 0 r m j j ( r j E( y f ( x x ( x dengan basis truncated yani: ( x m j m j ( x ; x 0 ; x j j (3 dengan j adalah not e j dari variabel x, j,,3,..., K dan K banyanya not (Euban, 999. Knot adalah suatu titi fous dalam fungsi spline sedemiian sehingga urva yang dibentu tersegmen pada titi tersebut. Spline orde m dengan not pada nilainilai tertentu misalnya disebut sebagai fungsi f, mempunyai sifatsifat sebagai beriut: ( Fungsi f adalah suatu polinomial tersegmen dengan orde m pada sub interval antar not yang berurutan j, j. ( Fungsi f memilii sejumlah m turunan yang ontinu. (3 Fungsi f memilii turunan e m yang merupaan fungsi step dengan lompatan pada masingmasing not yang berurutan,,..., K. (4 Nilai penduga parameter square (OLS, yaitu: diperoleh dengan metode ordinary least dengan ˆ X X X Y (4 X K m m m m m m m m K x x x x x x x x x x x x m m m m n n n n n n K x x x x x x 6

15 Fungsi basis truncated spline mempunyai elemahan pada saat orde spline main tinggi dan vetor not yang main besar, yani aan membentu matris dalam perhitungan yang hampir singular, sehingga emunginan ada sebuah persamaan spline yang tida dapat diselesaian. Dalam Euban (999 disebutan bahwa salah satu uuran performa atas penduga urva regresi yang dapat digunaan adalah mean squared error (MSE yang didefinisian sebagai: n MSE yi fˆ( xi n i (5. REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE Fungsi basis lain yang dapat digunaan dan ondisinya dianggap lebih bai dari basis truncated adalah basis spline (Euban, 999. ai dan tidanya sebuah model regresi nonparametri, sangat dipengaruhi oleh fungsi basis yang digunaan untu pendeatan. eberapa penelitian banya menggunaan basis truncated dan spline untu menyelesaian masalah. otella dan Shariff (003 meneanan sifatsifat spline, misalnya adanya algoritma untu mengevaluasi spline yang lebih efisien, serta spline mempunyai sifat ringas. Lyche dan Moren (008 menyataan spline mempunyai sifat antara lain local nots, local support, positivity, piecewise polynomial, special values, dan smoothness. Jia d menyataan derajat polinomial nonnegatif dan ( j adalah not yang berurut, maa spline pada mempunyai sifat: ( local nots, yani jd, hanya bergantung pada not j, j, j,..., jd. ( local support, jia ada x berada di luar interval j, jd maa jd, ( x 0 hususnya jia j jd maa jd, ( x 0. (3 positivity, jia j, jd x maa jd, ( x 0 dan interval tertutup. j, jd diataan support dari jd, (4 piecewise polynomial, Spline jd, dapat ditulis sebagai: jd j, d j, d,0 j ( x ( x ( x dengan setiap, ( x adalah polinomial derajat d jd 7

16 (5 special values, jia z j j... jd jd maa, ( z jd dan, ( z 0 id untu i j (6 smoothness, jia terdapat z sebanya t ali diantara j, j, j,..., jd maa derivatif e jd, 0,,...,d t dari 0, jia jd, aan ontinu pada z. j jd s( x, jia j jd dan j jd ( x s ( x, jia dan s( x s( x, untu yang lainnya j jd j jd x s ( x ( x j jd, jd j x s ( x ( x jd j, d jd j j,0, x [ j, j ( x 0, x [ j, j Dalam udiantara (006 disebutan bahwa urva regresi berorde m basis Spline dengan not pada,,..., K secara umum dapat ditulis dalam bentu: Km dan f ( x j, ( x (6 j j m m dengan, ( x merupaan basis spline. Fungsi spline secara reursif j m m didefinisian sebagai: x x ( x ( x ( x j jm j, m j, m j, m j m j j m j (7 dengan j,, x[ j, j ( x 0, untu x yang lainnya Guna membangun fungsi spline orde m, diperluan tambahan not sebanya m yaitu: ( m, ( m,...,, 0,,,..., K, K,..., Km dengan... a dan K K... Km b, biasanya a nilai ( m ( m 0 adalah minimum nilai x dan b adalah masimum nilai x. Pada fungsi basis 8

17 spline linear ( m dengan K not, diperluan tambahan m 4 not yaitu 0 a, b, dan banyanya not menjadi K K K. Koefisien,,..., m K pada urva regresi f ( x j jm, m( x dapat ditasir dengan metode OLS, yaitu meminimuman jumlah uadrat sisaan: n i e y fˆ( x (8 sehingga diperoleh: i i ˆ (x (x (x Y (9 Km j dengan (x adalah matris beruuran n( m K m, m( x m, m( x K, m( x m, m( x m, m( x K, m( x (x (0 m, m( xn m, m( xn K, m( xn Sebagai contoh, fungsi basis spline linear ( m dengan K not pada dan nilai x [0,4] dapat dibangun sebagai beriut. Fungi basis spline linear memerluan tambahan m 4 not yaitu dan, sehingga not menjadi 0,, 4. Selanjutnya matris 0 3 (x beruuran n 3 aan dibentu sebagai:, ( x 0, ( x, ( x,( x 0, ( x, ( x (x,( x 0, ( x, ( x, ( xn 0, ( xn, ( xn asis: x x x0 x ( x ( x ( x ( x ( x,, 0,, 0, Karena: 0 0 maa (, x 0 (sifat local support 0, sehingga:, 0 x ( x 0, untu x yang lainnya 9

18 , x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya asis: x 0 x x0 4x 0, ( x 0, ( x, ( x 0, ( x, ( x Karena: maa: 0,,, 0 x ( x 0, untu x yang lainnya, x 4 ( x 0, untu x yang lainnya 0, ( x x ; 0 x 4 x ; x 4 asis: x 3 x x 4x, ( x, ( x, ( x, ( x, ( x Karena: maa (, x 0 (sifat local support 3 4,, x 4 ( x 0, untu x yang lainnya sehingga: 0 ; 0 x x, ( x ; x 4 0 ; untu x yang lainnya Fungsi basis spline uadrati ( m 3 dengan K not pada dan nilai x [0,4] memerluan tambahan m 6 not yaitu 0 0 dan ; sehingga not menjadi 0 0,, dan matris (x beruuran n 4 sebagai beriut: 0

19 ,3 ( x,3( x 0,3 ( x,3 ( x,3( x,3( x 0,3 ( x,3 ( x (x,3( x,3( x 0,3 ( x,3 ( x,3 ( xn,3( xn 0,3 ( xn,3 ( xn asis: x x x0 x ( x ( x ( x ( x ( x,3,,,, Karena: 0 0 maa (, x 0 (sifat local support, sehingga:,3 x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya asis: x x x0 4x ( x ( x ( x ( x ( x,3, 0,, 0, Karena:, x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya 0, ( x x ; 0 x 4 x ; x 4 sehingga: x x 4x x ; 0 x 4,3( x 4x 4x ; x ; x lainnya asis: x 0 3 x x0 4x 0,3 ( x 0, ( x, ( x 0, ( x, ( x Karena:

20 0, ( x x ; 0 x 4 x ; x 4 0 ; 0 x x, ( x ; x 4 0 ; untu x yang lainnya sehingga: x x ; 0 x 4 0,3 ( x x 4 x 4 x x ; x ; x lainnya asis: x 4 x x 4x,3 ( x, ( x, ( x, ( x, ( x Karena: maa (, x 0 (sifat local support ; 0 x x, ( x ; x 4 0 ; untu x yang lainnya sehingga: 0 ; 0 x x x,3 ( x ; x 4 0 ; x lainnya Fungsi basis spline ubi ( m 4 dengan K not pada dan nilai x [0,4] memerluan tambahan m 8 not sehingga not menjadi 0,, 4 dan matris (x beruuran n sebagai beriut:

21 (x 3,4( x,4( x,4( x 0,4 ( x,4 ( x 3,4 ( x,4( x,4( x 0,4 ( x,4 ( x 3,4( x,4( x,4( x 0,4 ( x,4 ( x 3,4 ( xn,4( xn,4( xn 0,4 ( xn,4 ( xn asis: x x x0 x ( x ( x ( x ( x ( x 3 3,4 3,3,3 3,3, Karena: maa ( x 3,3 0 (sifat local support,3 sehingga: asis: Karena: 3,4 x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya 3 x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya x x x0 4x ( x ( x ( x ( x ( x,4,3,3,3, ,3 x ; 0 x ( x 0 ; x lainnya x x 4x x ; 0 x 4,3( x 4x 4x ; x ; x lainnya sehingga: x x 4 x x x 4 x x ; 0 x 4 4 ; x ; x lainnya,4( x 4x 4x 4x asis: x x x0 4x ( x ( x ( x ( x ( x 3,4,3 0,3,3 0,

22 Karena: x x 4x x ; 0 x 4,3( x 4x 4x ; x ; x lainnya x x ; 0 x 4 0,3 ( x x 4 x 4 x x ; x ; x lainnya sehingga: x x x 4 x x 4 x x x ; 0 x ,4( x x 4 x 4 x 4 x x 4 x 4 x x ; x ; x lainnya asis: x 0 4 x x 0 4 x 0,4 ( x 0,3 ( x,3 ( x 0,3( x,3( x Karena: x x ; 0 x 4 0,3 ( x x 4 x 4 x x ; x ; x lainnya 0 ; 0 x x,3( x ; x 4 0 ; x lainnya sehingga: x x x ; 0 x 4 4 0,4 ( x x x 4 x 4 x x 4 x x ; x ; x lainnya 4

23 asis: x 5 x x 4 x,4 ( x,3 ( x,3( x,3 ( x,3( x Karena: 5 0 maa (,3 x 0 (sifat local support 0 ; 0 x x,3( x ; x 4 0 ; x lainnya sehingga: 0 ; 0 x 3 x,4( x ; x 4 0 ; x lainnya C. REGRESI NONPARAMETRIK PSPLINE Dalam Ruppert (003 disebutan bahwa penggunaan not yang relatif besar aan mempengaruhi emulusan model, sehingga diperluan suatu metode yang tetap mempertahanan banya not tetapi membatasi pengaruhnya. Selain itu, penggunaan not yang relatif besar aan menghasilan penduga urva regresi yang lebih bervariasi dalam memetaan data. Hasil yang sediit flesibel dapat diperoleh dengan menambahan penalty pada derivatif e dua dari tasiran urva sehingga diperoleh fungsi penalized least square (PLS: n PLS( ( y ˆ( i f xi f ( x dx n i ( dengan n ( y ˆ i f ( xi n i menyataan ratarata uadrat sisaan, ( f x dx menyataan roughness penalty, yaitu uuran pemulusan dalam memetaan data, dan 0 adalah parameter pemulus yang mengontrol eseimbangan antara esesuaian terhadap data (goodness of fit dan emulusan urva (penalty. Nilai yang besar (mendeati aan memberian bobot emulusan urva yang besar dan mempunyai variansi yang ecil. Spline yang paling umum digunaan adalah potongan spline ubi ( m 4. Jia,,..., K adalah umpulan titi yang diurutan sebagai not, 5

24 maa spline ubi adalah fungsi ontinu ( f x i sedemiian sehingga ( f x i adalah polinomial ubi yang melalui (, K dan ( f x i mempunyai turunan pertama dan e dua yang ontinu pada not tersebut. Suatu spline linear yang melewati batas not disebut natural spline. Fungsi ˆ( f x i yang meminimuman PLS( dengan penalty f ( x dx adalah spline ubi natural dengan not pada titititi data dan penasir ˆ( f x i disebut smoothing spline. Fungsi basis yang digunaan dalam ajian ini adalah spline dengan matris (x beruuran n(4 K, yaitu: (x 3,4( x,4( x,4( x 0,4 ( x,4 ( x 3,4 ( x,4( x,4( x 0,4 ( x,4 ( x 3,4( x,4( x,4( x 0,4 ( x,4 ( x 3,4 ( xn,4( xn,4( xn 0,4 ( xn,4 ( xn dengan basis: x x ( x ( x ( x j j4 j,4 j,3 j,3 j3 j j4 j ( dan j,, x[ j, j ( x 0, untu x yang lainnya Fungsi PLS pada Persamaan ( dapat ditulis dalam bentu matris: PLS( Y Y (3 dengan ij j( x i dan ( j j x ( x dx. Nilai yang meminimuman PLS ( pada Persamaan (3 adalah: ˆ Y (4 Smoothing spline f ˆ( x i adalah penghalus linear sehingga f ˆ( x dapat dinyataan i sebagai n fˆ( x ( x y untu pembobot ( x i. Secara husus, matris i i i i penghalus L dapat dinyataan sebagai: L (5 dan vetor Ŷ adalah nilai tasiran yang dinyataan sebagai: Ŷ LY (6 6

25 Jia dilauan regresi linear sederhana dari Ŷ terhadap maa matris hat menjadi L dan nilai tasiran Ŷ aan menginterpolasi data amatan. Pengaruh pada Persamaan (5 adalah menyusutan oefisien regresi menjadi suatu subspace yang menghasilan dugaan penghalus. Derajat ebebasan yang efetif didefinisian sebagai tr( L n yang mempunyai nilai sama dengan banyanya parameter pada persamaan regresi parametri. Parameter penghalus dipilih dengan cara meminimuman nilai generalized cross validation (GCV yang didefinisian sebagai: GCV( n ( y ˆ( ˆ( i f x n i yi f x i i MSE ( v i (7 n n n tr( L n tr( I L n Nilai penghalus dapat dibedaan menjadi spar dan, dimana 0spar dan nilai diperoleh sebagai: r dengan (3 56 spar tr( r tr( (8 Nilai penghalus spar yang mendeati satu aan memberian f ˆ( x i sebagai garis linear, sedangan untu nilai spar mendeati nol aan memberian fˆ( x i sebagai interpolasi. Nilai penghalus yang sangat besar aan menghasilan bentu urva yang sangat halus, dan sebalinya nilai menghasilan urva yang asar (Ruppert, 003. yang ecil aan Dalam Wibowo (0 disebutan bahwa untu memperoleh penasir spline pada dasarnya terdapat dua pendeatan optimasi, yaitu penasir spline yang diperoleh berdasaran optimasi penalized least square (PLS dan penasir spline yang diperoleh berdasaran optimasi least square (LS dengan menggunaan fungsi eluarga yang memuat titititi nots. Apabila penasir spline diperoleh berdasaran optimasi PLS, maa persoalan utama dalam penasiran adalah pemilihan parameter penghalus yang optimal. Jia penasir spline diperoleh dengan optimasi LS, maa persoalan utama dalam penasiran adalah pemilihan titititi not yang optimal. Adapun pemilihan parameter penghalus dan pemilihan titititi not yang optimal dapat menggunaan riteria GVC, dimana GCV yang minimum aan memberian parameter penghalus atau titi not yang optimal (Euban,

26 D. KRITERIA ASIMTOTIK Kriteria asimtoti digunaan untu mencari sifatsifat penasir dengan uuran sampel n menuju ta hingga. Misalan T l x, x,..., x merupaan n n n barisan penasir yang onsisten sederhana untu jia untu berlau: lim PT ( 0, 0 (9 n n Dari pertidasamaan Chebysev diperoleh: P( T ( / n E Tn (0 Jia T l x, x,..., x maa: merupaan penasir ta bias untu yaitu n n n n n n ET ( n P( T E( T / Var( T / ( erdasaran Persamaan (8, T l x, x,..., x n n n merupaan penasir onsisten untu parameter Graybill dan oes, 974. jia lim Var( T 0 dan lim bias( T 0 (Mood, n n n n 8

27 A III METODE PENELITIAN A. DESAIN PENELITIAN Tujuan, data, metode, dan alat yang digunaan dalam penelitian ini disajian dalam diagram beriut. Tujuan Mengaji penduga pada urva regresidengan pendeatan model spline, spline, dan Pspline. Mengevaluasi esesuaian model spline, spline, dan Pspline untu data simulasi dan data terapan. Data Data Simulasi Data Terapan Metode Analisis Regresi Nonparametri. DATA Guna memudahan pemahaman tentang ajian metode yang ada, digunaan dua macam data, yaitu:. Data simulasi, berupa data bangitan yang diperoleh dengan bantuan Software Program R versi.4. (R Development Core Team, 0. Strutur data dengan pola linear, uadrati, dan ubi diperoleh dengan membangitan sebanya 00 pasang data ( xy,, dengan peubah bebas berdistribusi uniform (0 x dan galat berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 0,05.. Data terapan berupa data seunder, yani Inde Prestasi (IP pada semester satu dan lama studi mahasiswa PS Statistia FMIPA Universitas Terbua yang lulus pada masa ujian 989. sampai dengan 0.. ( x 9

28 C. TAHAPAN ANALISIS Adapun langahlangah yang aan dilauan dalam penelitian ini adalah:. Mengaji penduga pada urva regresi dengan pendeatan model spline dengan langahlangah: a. Membangitan data simulasi sebagai variabel preditor ( x sebanya 00 dengan berdistribusi uniform (0 x dan galat ~ NIID (0; 0,05. b. Mendesripsian pola hubungan antara variabel respon variabel preditor (. x c. Menentuan jumlah titi not dan leta titi not. d. Menghitung nilai tasiran parameter. e. Menghitung nilai MSE. ( y terhadap f. Menentuan titi not dan orde not yang menghasian nilai MSE terecil untu setiap model. g. Membuat model regresi nonparametri spline berdasaran titi not dan orde not yang menghasilan nilai MSE terecil.. Mengaji penduga pada urva regresi dengan pendeatan model spline dengan langahlangah: a. Membuat fungsi basis spline yani matris jm, ; j,,..., K m berdasaran data simulasi berpasangan yang telah dibangitan. b. Menentuan jumlah titi not dan leta titi not. c. Menghitung nilai tasiran parameter. d. Menghitung nilai MSE. e. Menentuan titi not dan orde not yang menghasian nilai MSE. terecil untu setiap model. f. Membuat model regresi nonparametri spline berdasaran titi not dan orde not yang menghasilan nilai MSE terecil. 0

29 3. Mengaji penduga pada urva regresi dengan pendeatan model Pspline dengan langahlangah: j K m secara a. Membuat fungsi basis yani matris jm, ;,,..., iteratif berdasaran data simulasi berpasangan yang telah dibangitan. b. Menghitung tr( r tr( dengan ( x ( x dx. j j (3 c. Menentuan nilai penghalus r dengan nilai 0spar, dan spar spar d. Menentuan matris penghalus e. Menghitung tasiran parameter f. Menghitung nilai GCV. L dan v tr( L. ˆ Y. g. Menentuan nilai GCV terecil untu setiap model. h. Membuat model regresi nonparametri Pspline berdasaran titi not dan orde not yang menghasilan nilai GCV terecil. i. Membandingan nilai MSE dan GCV dari model spline, spline, dan P spline. 4. Mendapatan model regresi nonparametri menggunaan pendeatan spline, spline, dan Pspline dari data real berupa Inde Prestasi (IP pada semester satu dan IPK elulusan mahasiswa PS Statistia yang lulus pada masa ujian 989. sampai dengan 0. dengan langahlangah : a. Menghitung nilai tasiran dari model spline, spline, dan Pspline. b. Melauan pengujian signifiansi oefisien regresi secara parsial dan simultan. c. Menyimpulan dan menginterpretasian hasil tasiran.

30 A IV HASIL DAN PEMAHASAN A. HASIL SIMULASI. Spline dengan asis Truncated erdasaran data simulasi peubah bebas ( x berdistribusi uniform (0 x dan galat berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 0,05 beruuran 00 diperoleh peubah ta bebas ( y 3 dengan fungsi ysin( x. Plot antara peubah x dan y dapat dilihat pada Gambar dan garis putusputus menunjuan persamaan garis sesungguhnya. Gambar. Plot x dan y Selanjutnya, dengan memperhatian pola hubungan variabel respon y terhadap variabel preditor bebas pada interval tertentu. Jia digunaan titi x tampa bahwa ada perubahan pola dari peubah 0,3 sebagai not, maa tasiran parameter fungsi spline berorde dua (linear dengan basis truncated adalah: f ˆ( x 0,85 3,09 x 4,408( x 0,3 dengan nilai MSE 0,04. Selain tasiran parameter yang diperoleh sangat signifian, secara simultan model ini signifian pada 5% seperti ditunjuan pada Tabel beriut.

31 Tabel. Tasiran Fungsi Spline Linear dengan not 0,3 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE Intercept * E x e06 *** x0, e07 *** Jia digunaan titi 0,3 dan 0,6 sebagai not, maa tasiran fungsi spline linear adalah: f ˆ( x 0,043 0,579 x,50( x 0,3 8,058( x 0,6 dengan nilai MSE 0,053. Secara parsial tasiran untu parameter intercept dan peubah x tida signifian pada 5%, tetapi tasiran parameter secara simultan sangat signifian dan nilai MSE yang diperoleh lebih ecil dibanding pada model sebelumnya seperti ditunjuan pada Tabel. Tabel. Tasiran Fungsi Spline Linear dengan not 0,3 dan 0,6 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE Intercept <.e x x0, e05 *** x0, < e6 *** Selanjutnya jia digunaan tiga not yaitu maa aan diperoleh tasiran fungsi spline linear: 0,3, 0,6, dan 3 0,9, f ˆ( x 0,06 0,396 x 3,36( x 0,3 0,704( x 0,6,699( x 0,9. Mesipun secara parsial, tasiran parameternya untu intercept dan peubah tida signifian, namun secara simultan, model ini signifian dengan nilai MSE 0,03. Secara lengap, tasiran fungsi dan urva tasiran fungsi spline linear untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Tabel 3 dan Gambar beriut. asis Tabel 3. Tasiran Fungsi Spline Linear dengan Knot 0,3, 0,6, dan 3 0,9 Coef SD(coef Intercept x x0, e4 *** Pr(> t R F pvalue MSE <.e x 3

32 x0, < e6 *** x0, < e6 *** Pada Gambar tampa bahwa tasiran fungsi spline linear dengan tiga not lebih sesuai atau mendeati garis sesungguhnya (garis putusputus dibanding tasiran fungsi spline linear dengan satu atau dua not. Gambar. Kurva Spline Linear Tasiran fungsi spline berorde tiga (uadrati dengan menggunaan satu not 0,3 adalah f ˆ( x 0,0 3,444 x,79x,557( x 0,3 dengan MSE 0,078. Pada Tabel 4 dapat dilihat bahwa secara parsial, tasiran parameter untu semua peubah (ecuali intercept signifian pada 5% dan secara simultan model ini sangat signifian. Jia dibandingan dengan tasiran fungsi spline linear dengan dua not atau tiga not, tasiran fungsi spline uadrati dengan satu not mempunyai nilai MSE yang lebih besar. Hal ini memberian indiasi bahwa tasiran fungsi spline uadrati dengan satu not masih belum optimal, sehingga perlu dicoba untu menentuan tasiran fungsi spline uadrati dengan dua not dan tiga not. asis Tabel 4. Tasiran Fungsi Spline Kuadrati dengan Knot Coef SD(coef Intercept x ** x^ e06 *** (x0,3^ e *** 0,3 Pr(> t R F pvalue MSE <.e

33 Tasiran fungsi spline uadrati dengan dua not 0,3 dan 0,6 adalah f ˆ( x 0,03 3,058 x,67 x 9,59( x 0,3,87( x 0,6 dengan MSE 0,079. Tida jauh berbeda dengan tasiran fungsi spline uadrati menggunaan satu not, pada Tabel 5 dapat dilihat bahwa secara parsial, tasiran parameter fungsi spline uadrati dengan dua not (ecuali intercept signifian pada 5% dan secara simultan model ini sangat signifian. Tabel 5. Tasiran Fungsi Spline Kuadrati dengan Knot asis Coef SD(coef intercept x * x^ *** (x0,3^ e05 *** (x0,6^ ,3 dan 0,6 Pr(> t R F pvalue MSE <.e Selanjutnya pada Tabel 6 dapat dilihat bahwa tasiran fungsi spline uadrati dengan tiga not 0,3, 0,6 dan 3 0,9 adalah: f ˆ( x 0,039,477 x 6,767 x 8,047( x 0,3 6,433( x 0,6 305,744( x 0,9 dengan MSE 0,05. Tida jauh berbeda dengan tasiran fungsi spline uadrati sebelumnya, secara parsial, tasiran parameter fungsi spline uadrati dengan tiga not (ecuali intercept signifian pada 5% dan secara simultan model sangat signifian. Namun, fungsi spline uadrati dengan tiga not mempunyai nilai MSE yang paling ecil diantara fungsi spline sebelumnya. Hal ini memberian indiasi bahwa fungsi spline uadrati dengan tiga not mempunyai performa yang paling bagus diantara fungsi spline sebelumnya. Tabel 6. Tasiran Fungsi Spline Kuadrati dengan Knot 0,3, 0,6, dan 3 0,9 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE intercept <.e x * x^ e06 *** (x0,3^ *** (x0,6^ < e6 *** 5

34 (x0,9^ < e6 *** Kurva tasiran fungsi spline uadrati untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar 3 beriut. Pada Gambar 3 tampa bahwa tasiran fungsi spline uadrati dengan tiga not lebih mendeati garis sesungguhnya (garis putusputus dibanding tasiran fungsi spline uadrati dengan satu atau dua not. Gambar 3. Kurva Spline Kuadrati Tasiran fungsi spline orde empat (ubi dengan menggunaan satu not 0,3 adalah f 3 3 ˆ( x 0,4 5,45 x 3,96 x 39,84 x 34,93( x 0,3 dan MSE 0,085 seperti ditunjuan pada Tabel 7. Secara parsial, tasiran parameter untu semua peubah (ecuali intercept signifian pada 5% dan secara simultan model ini sangat signifian. Jia dibandingan dengan tasiran fungsi spline uadrati, tasiran fungsi spline ubi dengan satu not mempunyai nilai MSE yang lebih besar. Hal ini memberian indiasi bahwa performa fungsi spline ubi dengan satu not masih belum optimal, sehingga perlu dicoba untu menentuan tasiran fungsi spline ubi dengan dua not dan tiga not. asis Tabel 7. Tasiran Fungsi Spline Kubi dengan Knot Coef SD(coef Intercept x * x^ ** x^ * (x0,3^ ,3 Pr(> t R F pvalue MSE <.e

35 0,6 Tasiran fungsi spline ubi dengan menggunaan dua not dapat dilihat pada Tabel 8 yaitu: 0,3 f ˆ( x 0,6+6,40 x 4,347 x 74,35 x 43,566( x 0,3 49,97( x 0,6 dan dan MSE 0,05. Secara parsial, tasiran parameter untu semua peubah (ecuali intercept signifian pada 5% dan secara simultan model ini sangat signifian. Jia dibandingan dengan tasiran fungsi spline uadrati dengan tiga not, tasiran fungsi spline ubi dengan dua not mempunyai nilai MSE yang lebih besar. Hal ini memberian indiasi bahwa performa fungsi spline ubi dengan dua not masih belum optimal. Tabel 8. Tasiran Fungsi Spline Kubi dengan Knot 0,3 dan 0,6 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE Intercept <.e x *** x^ e06 *** x^ e09 *** (x0,3^ e5 *** (x0,6^ < e6 *** Tasiran fungsi spline ubi dengan menggunaan tiga not 0,6 dan 3 0,9 dapat dilihat pada Tabel 9 yaitu: 0,3, f ˆ( x 0,45+3,67 x,506x 44,04x 9,634( x 0,3 75,30( x 0,6 03,96( x 0, dan MSE 0,03. Secara parsial, tasiran parameter untu semua peubah signifian pada 5% dan secara simultan model ini sangat signifian. Jia dibandingan dengan tasiran fungsi spline uadrati dengan tiga not, tasiran fungsi spline ubi dengan dua not mempunyai nilai MSE yang hampir sama. Hal ini memberian indiasi bahwa performa fungsi spline ubi dengan tiga not sudah optimal. Tabel 9. Tasiran Fungsi Spline Kubi dengan Knot 0,3, 0,6 dan 3 0,9 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE Intercept * 7 <.e x ** x^ *** 7

36 x^ e06 ***.6686 (x0,3^ e *** (x0,6^ e3 *** (x0,9^3 < e6 *** Kurva tasiran fungsi spline ubi untu satu not 0,3, untu dua not 0, 3; 0,6, dan untu tiga not 0,3; 0,6; 0,9 dapat 3 dilihat pada Gambar 4 beriut. Pada Gambar 4 tampa bahwa tasiran fungsi spline ubi dengan tiga not yang paling mendeati garis sesungguhnya (garis putusputus dibanding tasiran fungsi spline ubi dengan satu atau dua not. Gambar 4. Kurva Spline Kubi Secara gabungan, urva tasiran fungsi spline linear, uadrati, dan ubi untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar 5. Gambar 5. Kurva Spline Linear, Kuadrati, dan Kubi Jia dilihat dari Gambar 5, urva tasiran fungsi spline linear, uadrati, dan ubi untu tiga not 0,3; 0,6 dan 3 0,9 lebih mendeati urva sesungguhnya. Lebih husus lagi, urva tasiran fungsi spline uadrati dan 8

37 ubi untu tiga not 0,3; 0,6 dan sama bainya. 3 0,9 mempunyai performa yang. spline Kurva spline orde dua (linear dengan fungsi basis spline dan satu not yaitu 0,3 mempunyai tiga oefisien basis yang harus ditasir. Jia,, 0,,, merupaan basis spline linear dengan satu not, maa tasiran urva regresi adalah: f ˆ( x 0,365 ( x,04 ( x 0,067 ( x dengan, 0,, MSE 0,7. Secara parsial tasiran untu semua oefisien signifian pada 5% ecuali oefisien basis,, tetapi secara simultan sangat signifian seperti ditunjuan pada Tabel 0. Tabel 0. Tasiran Fungsi spline Linear dengan Knot 0,3 asis, 0,, Coef SD(coef * e06 *** Pr(> t R F pvalue MSE E Pada Tabel dapat dilihat tasiran urva spline linear dengan 0,6 sebagai not serta basis,, 0,,,,, yaitu: 0,3 dan f ˆ( x 0,05 ( x 0,6 ( x,4 ( x,03 ( x dengan nilai, 0,,, MSE 0,055. Secara parsial, tasiran untu oefisien basis, dan 0, tida signifian pada 5%, tetapi secara simultan sangat signifian dan nilai MSE yang diperoleh lebih ecil dibanding urva spline linear dengan satu not. Tabel. Tasiran Fungsi spline Linear dengan Knot 0,3 dan 0,6 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE , <.e , , < e6 ***, e5 *** 9

38 Kurva spline linear dengan tiga not 0,3, 0,6, dan 3 0,9 mempunyai lima basis yaitu,, 0,,,,,, 3, dan tasirannya dapat dilihat pada Tabel, yaitu: f ˆ( x 0,034 ( x 0,0 ( x,63 ( x 0,830 ( x 0,6 ( x, 0,,, 3, dengan MSE 0,030. Secara parsial, tasiran untu oefisien basis, dan 0, tida signifian pada 5%, tetapi secara simultan sangat signifian dan nilai MSE yang diperoleh lebih ecil dibanding urva spline linear dengan satu dan dua not, sehingga performa urva spline linear dengan tiga not cuup bai. asis, 0,,, 3, Tabel. Tasiran Fungsi spline Linear dengan Knot, 0,6, dan 3 0,9 0,3 Coef SD(coef <e6 *** <e6 *** * Pr(> t R F pvalue MSE <.e Kurva tasiran spline linear untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar 6 beriut. Tampa bahwa tasiran fungsi spline linear dengan tiga not lebih mendeati urva sesungguhnya. Gambar 6. Kurva spline Linear 30

39 Kurva spline orde tiga (uadrati dengan satu not yaitu 0,3 mempunyai empat oefisien basis yang harus ditasir. Jia,,,,3,3 0,3,3 merupaan basis spline uadrati dengan satu not, maa tasiran urva spline dapat dilihat pada Tabel 3, yaitu: f ˆ( x 0,40,3 ( x 0, 495,3 ( x,6 ( x,376 ( x dan MSE 0,083. Secara simultan, tasiran oefisien 0,3,3 basis spline signifian pada 5% tetapi secara parsial tasiran oefisien basis,3 tida signifian. asis,3,3 0,3,3 Tabel 3. Tasiran Fungsi spline Kuadrati dengan Knot Coef SD(coef * < e6 *** e *** Kurva spline uadrati dengan dua not 0,3 Pr(> t R F pvalue MSE <.e ,3 dan 0,6 mempunyai lima oefisien basis yang harus ditasir yaitu oefisien untu basis,,,,. Pada Tabel 4 dapat dilihat tasiran urvanya adalah:,3,3 0,3,3,3 f ˆ( x 0,40 ( x 0,495 ( x 0,775 ( x 0,333 ( x,376 ( x dan,3,3 0,3,3,3 nilai MSE 0,084 yang tida jauh berbeda dengan urva spline uadrati satu not 0,3. Secara simultan, tasiran oefisien basis spline signifian pada 5%tetapi secara parsial tasiran oefisien basis,3 dan,3 tida signifian. Tabel 4. Tasiran Fungsi spline Kuadrati dengan Knot asis Coef SD(coef, * 0, e06 ***,3, , e *** 0,3 dan 0,6 Pr(> t R F pvalue MSE <.e

40 3 0,9 Kurva spline uadrati dengan tiga not yaitu 0,3, 0,6, dan mempunyai enam basis yaitu:,3,,3, 0,3,,3,,3, 3,3. Tabel 5 menunjuan tasiran urva spline adalah: fˆ( x 0, 05 ( x 0, 43 ( x 0, 60 ( x 0, 965 ( x, 696 ( x,3,3 0,3,3,3 0, 057 ( x 3,3 dan MSE 0, 05. Secara simultan, tasiran oefisien basis spline signifian pada 5% tetapi secara parsial tasiran oefisien basis,3 dan 3,3 tida signifian. Nilai MSE yang diperoleh lebih ecil dibanding urva spline uadrati dengan satu not dan dua not, sehingga performa urva spline uadrati dengan tiga not lebih bai dibanding urva spline uadrati dengan satu dan dua not. Tabel 5. Tasiran Fungsi spline Kuadrati dengan Knot 0,3, 0,6, dan 3 0,9 asis,3 Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE <.e6 0.05, * 0, e5 ***, < e6 ***, < e6 *** 3, Kurva tasiran spline uadrati untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar 7. Tampa bahwa tasiran fungsi spline uadrati dengan tiga not lebih mendeati urva sesungguhnya (garis putusputus. 3

41 Gambar 7. Kurva spline Kuadrati Kurva spline orde empat (ubi dengan satu not yaitu 0,3 mempunyai lima oefisien basis yang harus ditasir. Tabel 6. Tasiran Fungsi spline Kubi dengan Knot 0,3 asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE <.e * *** 3,4,4,4 0,4, * e09 ***,,,, dan merupaan basis spline ubi dengan satu Jia 3,4,4,4 0,4,4 not, maa tasiran urva spline dapat dilihat pada Tabel 6, yaitu: f ˆ( x 0,7 ( x 0,587 ( x 0,947 ( x 0,74 ( x,430 ( x 3,4,4,4 0,4,4 dan MSE 0, 09. Secara simultan, tasiran oefisien basis spline signifian pada 5% tetapi secara parsial tasiran oefisien basis 3,4 tida signifian. Kurva spline ubi dengan dua not yaitu 0,3 dan 0,6 mempunyai enam basis 3,4,,4,,4, 0,4,,4,,4 dan tasiran urvanya dapat dilihat pada Tabel 7, yaitu: f ˆ( x 0,0 3,4 ( x 0,56,4 ( x 0, 48 ( x, 683 ( x, 35 ( x 0, 374 ( x MSE,4 0,4,4,4 dan 0,033. Secara simultan, tasiran oefisien basis spline signifian pada 5% tetapi secara parsial tasiran oefisien basis 3,4 tida signifian. 33

42 Tabel 7. Tasiran Fungsi spline Kubi dengan Knot asis 3,4,4,4 0,4,4,4 Coef SD(coef ** *** < e6 *** e *** * 0,3 dan 0,6 Pr(> t R F pvalue MSE <.e ,9 Kurva spline ubi dengan tiga not yaitu 0,3, 0,6, dan mempunyai tujuh basis yaitu: 3,4,,4,,4, 0,4,,4,,4, 3,4. Tabel 8 menunjuan tasiran urva spline adalah: fˆ( x 0,37 ( x 0,350 ( x 0,68 ( x,897 ( x 0,093 ( x 3,4,4,4 0,4,4,339 ( x 0,74 ( x,4 3,4 dan MSE 0, 03. Secara simultan, tasiran oefisien basis signifian pada 5% tetapi secara parsial tasiran oefisien basis 3,4 dan,4 tida signifian. Nilai MSE yang diperoleh lebih ecil dibanding urva spline ubi dengan satu not dan dua not, sehingga performa urva spline ubi dengan tiga not lebih bai dibanding urva spline ubi dengan satu not dan dua not. Tabel 8. Tasiran Fungsi spline Kubi dengan Knot 0,3, 0,6, dan 3 0,9 SD(coef asis Coef 3, **, ** < e6 ***,4 0,4,4, < e6 *** Pr(> t R F pvalue MSE <.e

43 3, * Kurva tasiran spline ubi untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar 8 beriut. Tampa bahwa tasiran fungsi spline ubi dengan tiga not lebih mendeati urva sesungguhnya (garis putusputus. Gambar 8. Kurva spline Kubi Secara gabungan, urva tasiran spline linear, uadrati, dan ubi untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar 9. Kurva spline uadrati dan spline ubi untu tiga not 0,3; 0,6; 3 0,9 yang paling mendeati urva sesungguhnya, dengan ata lain urva tasiran fungsi spline uadrati dan ubi untu tiga not 0,3; 0,6; 3 0,9 mempunyai performa yang paling bai. Gambar 9. Kurva Spline Linear, Kuadrati, dan Kubi 35

44 3. Pspline Penggunaan fungsi basis spline pada smoothing spline orde empat (ubi dengan empat not (dua not interior aan memberian enam tasiran oefisien basis. Pada Tabel 9 dapat dilihat, tasiran fungsi Pspline adalah: f ˆ( x 0,64 ( x 0, 68 ( x 0, 570 ( x, 56 ( x,849 ( x 3,4,4,4 0,4,4 0,,4 ( x dengan nilai GCV 0,0 dan titi dan sebagai not interior. Tabel 9. Tasiran Fungsi Pspline dengan empat not asis Coef GCV ,4,4,4 0,4,4, Selanjutnya tasiran fungsi Pspline dengan sepuluh not (delapan not interior dapat dilihat pada Tabel 0. Tasiran fungsi Pspline dengan sepuluh not adalah: fˆ( x 0,047 ( x 0,000 ( x 0,07 ( x 0,50 ( x 0,066 ( x 3,4,4,4 0,4,4 0, 599 ( x 0,9 ( x,08 ( x 0, ( x, 348 ( x,4 3,4 4,4 5,4 6,4 0,88 ( x 0,04 ( x 7,4 8,4 dengan nilai GCV 0,003 dan titititi , , , , , 0.704, , dan sebagai not interior. Nilai GCV 0,003 yang diperoleh jauh lebih ecil dibanding nilai GCV pada fungsi Pspline dengan empat not, sehingga performa fungsi Pspline dengan sepuluh not lebih bai dibanding fungsi Pspline dengan empat not. Tabel 0. Tasiran Fungsi Pspline dengan sepuluh not asis Coef GCV , ,4 5.90E05 Knot 3.8E E 06 Knot

45 ,4 0,4,4,4 3,4 4, , ,4 7,4 8, Dengan cara yang sama, tasiran fungsi Pspline dengan 5 not adalah: f ˆ( x 0,04 ( x 0,040 ( x 0,04 ( x... 0, 438 ( x 0,084 ( x 3,4,4,4,4 3,4 dengan nilai GCV 0,003 dan titititi , , ,..., sebagai not interior. Nilai GCV 0,003 yang diperoleh tida berbeda dengan nilai GCV pada fungsi Pspline dengan 0 not, sehingga performa fungsi Pspline 5 not sama dengan fungsi Pspline 0 not. Kurva tasiran Pspline untu empat not, sepuluh not, dan dua puluh lima not dapat dilihat pada Gambar 0 beriut. Tampa bahwa tasiran fungsi Pspline dengan sepuluh not dan dua puluh lima not lebih mendeati urva sesungguhnya (garis putusputus. Tasiran fungsi Pspline optimal diperoleh dengan 6 not yaitu: f ˆ( x 0,039 ( x 0,039 ( x 0,038 ( x... 0,084 ( x dengan 3,4,4,4 6,4 nilai GCV 0,003 dan titititi , ,..., sebagai not interior. 37

46 Gambar 0. Kurva PSpline 38

47 . HASIL TERAPAN. Spline dengan asis Truncated erdasaran data terapan sebanya 835 mahasiswa Program Studi Statistia FMIPA Universitas Terbua yang lulus pada masa ujian 989. sampai dengan 0., diperoleh plot Inde Prestasi (IP pada semester pertama sebagai variabel preditor dan lama studi sebagai variabel respon seperti pada Gambar beriut. Gambar. Plot IP dan Lama Studi Selanjutnya, dengan memperhatian pola hubungan lama studi terhadap Inde Prestasi (IP pada semester pertama yang sangat aca, aan dicoba untu menentuan tasiran fungsi spline berorde dua (linear dengan basis truncated pada titi sebagai not. erdasaran data terapan yang ada, diperoleh tasiran fungsi spline linearnya adalah: f ˆ( x,,380 IP,57 ( IP dengan nilai MSE 39,03. ai secara simultan maupun parsial, tasiran parameter yang diperoleh tida signifian pada 5% seperti ditunjuan pada Tabel. Tabel. Tasiran Fungsi Spline Linear dengan not asis Coef SD(coef Pr(> t R F pvalue MSE Intercept..6e *** IP IP

48 Jia digunaan titi, sebagai not, maa tasiran fungsi spline linear dengan basis truncated adalah: f ˆ( x 0,736,00 IP,843( IP,05( IP dengan nilai MSE 39,05. ai secara simultan maupun parsial, tasiran parameter yang diperoleh tida signifian pada 5% seperti ditunjuan pada Tabel. asis Intercept Tabel. Tasiran Fungsi Spline Linear dengan not, Coef SD(coef.987 Pr(> t R F pvalue MSE 8.58e08 *** IP IP IP Selanjutnya jia digunaan titi,, 3 3 sebagai not, maa tasiran fungsi spline linear dengan basis truncated adalah: f ˆ( x 0,6,30 IP 3,386( IP,8( IP,3( IP 3 dengan nilai MSE 38,988. ai secara simultan maupun parsial, tasiran parameter yang diperoleh tida signifian pada 5% seperti ditunjuan pada Tabel 3. Tabel 3. Tasiran Fungsi Spline Linear dengan not,, 3 3 Intercept asis Coef SD(coef.988 Pr(> t R F pvalue MSE.8e07 *** IP IP IP IP Kurva tasiran spline linear untu satu not, dua not, dan tiga not dapat dilihat pada Gambar beriut. Tampa bahwa tasiran fungsi spline linear dengan satu not, dua not, dan tiga not tida terlalu jauh berbeda satu dengan lainnya, sehingga perlu dicoba spline uadrati dan ubi. 40