Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Transkripsi

1 Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta

2 Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh : p(): Jumlah bilaga bulat positif dari 1 sampai adalah ( + 1)/2. Buktika p() bear! 2

3 Cotoh laiya: 1. Setiap bilaga bulat positif ( 2) dapat diyataka sebagai perkalia dari (satu atau lebih) bilaga prima. 2. Utuk semua 1, adalah kelipata Utuk membayar biaya pos sebesar se dolar ( 8) selalu dapat diguaka haya peragko 3 se da 5 se dolar. 4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat taga dega tamu laiya haya sekali. Jika ada orag tamu maka jumlah jabat taga yag terjadi adalah ( +1)/2. 5. Bayakya himpua bagia yag dapat dibetuk dari sebuah himpua yag beraggotaka eleme adalah 2 3

4 Iduksi matematik merupaka tekik pembuktia yag baku di dalam matematika. Melalui iduksi matematik kita dapat meguragi lagkah-lagkah pembuktia bahwa semua bilaga bulat termasuk ke dalam suatu himpua kebeara dega haya sejumlah lagkah terbatas. 4

5 Prisip Iduksi Sederhaa. Misalka p() adalah peryataa perihal bilaga bulat positif da kita igi membuktika bahwa p() bear utuk semua bilaga bulat positif. Utuk membuktika peryataa ii, kita haya perlu meujukka bahwa: 1. p(1) bear, da 2. jika p() bear maka p( + 1) juga bear, utuk semua bilaga bulat positif 1, 5

6 Lagkah 1 diamaka basis iduksi, sedagka lagkah 2 diamaka lagkah iduksi. Lagkah iduksi berisi asumsi (adaia) yag meyataka bahwa p() bear. Asumsi tersebut diamaka hipotesis iduksi. Bila kita sudah meujukka kedua lagkah tersebut bear maka kita sudah membuktika bahwa p() bear utuk semua bilaga bulat positif. 6

7 Iduksi matematik berlaku seperti efek domio. 7

8 8

9 Cotoh 1. Guaka iduksi matematik utuk membuktika bahwa jumlah buah bilaga gajil positif pertama adalah 2. Peyelesaia: (i) Basis iduksi: Utuk = 1, jumlah satu buah bilaga gajil positif pertama adalah 1 2 = 1. Ii bear karea jumlah satu buah bilaga gajil positif pertama adalah 1. 9

10 (ii) Lagkah iduksi: Adaika p() bear, yaitu peryataa (2 1) = 2 adalah bear (hipotesis iduksi) [catatlah bahwa bilaga gajil positif ke- adalah (2 1)]. Kita harus memperlihatka bahwa p( +1) juga bear, yaitu (2 1) + (2 + 1) = ( + 1) 2 juga bear. Hal ii dapat kita tujukka sebagai berikut: (2 1) + (2 + 1) = [ (2 1)] + (2 + 1) = 2 + (2 + 1) = = ( + 1) 2 Karea lagkah basis da lagkah iduksi keduaya telah diperlihatka bear, maka jumlah buah bilaga gajil positif pertama adalah 2. 10

11 Prisip Iduksi yag Dirampatka Misalka p() adalah peryataa perihal bilaga bulat da kita igi membuktika bahwa p() bear utuk semua bilaga bulat 0. Utuk membuktika ii, kita haya perlu meujukka bahwa: 1. p( 0 ) bear, da 2. jika p() bear maka p(+1) juga bear, utuk semua bilaga bulat 0, 11

12 Cotoh 2. Utuk semua bilaga bulat tidak-egatif, buktika dega iduksi matematik bahwa = Peyelesaia: (i) Basis iduksi. Utuk = 0 (bilaga bulat tidak egatif pertama), kita peroleh: 2 0 = Ii jelas bear, sebab 2 0 = 1 = = = 2 1 = 1 12

13 (ii) Lagkah iduksi. Adaika bahwa p() bear, yaitu = adalah bear (hipotesis iduksi). Kita harus meujukka bahwa p( +1) juga bear, yaitu = 2 (+1) juga bear. Ii kita tujukka sebagai berikut: = ( ) = (2 +1 1) (hipotesis iduksi) = ( ) 1 = ( ) 1 = = 2 (+1) Karea lagkah 1 da 2 keduaya telah diperlihatka bear, maka utuk semua bilaga bulat tidak-egatif, terbukti bahwa =

14 Latiha Cotoh 3. Buktika dega iduksi matematik bahwa pada sebuah himpua beraggotaka eleme, bayakya himpua bagia yag dapat dibetuk dari himpua tersebut adalah 2. 14

15 Cotoh 5. Buktika peryataa Utuk membayar biaya pos sebesar se ( 8) selalu dapat diguaka haya peragko 3 se da peragko 5 se bear. Peyelesaia: (i) Basis iduksi. Utuk membayar biaya pos 8 se dapat diguaka 1 buah peragko 3 se da 1 buah peragka 5 se saja. Ii jelas bear. 15

16 (ii) Lagkah iduksi. Adaika p() bear, yaitu utuk membayar biaya pos sebesar ( 8) se dapat diguaka peragko 3 se da 5 se (hipotesis iduksi). Kita harus meujukka bahwa p( +1) juga bear, yaitu utuk membayar biaya pos sebesar + 1 se juga dapat megguaka peragko 3 se da peragko 5 se. Ada dua kemugkia yag perlu diperiksa: (a) Kemugkia pertama, misalka kita membayar biaya pos seilai se dega sedikitya satu peragko 5 se. Dega meggati satu buah peragko 5 se dega dua buah peragko 3 se, aka diperoleh susua peragko seilai + (b) 1 se. Kemugkia kedua, jika tidak ada peragko 5 se yag diguaka, biaya pos seilai se megguaka peragko 3 se semuaya. Karea 8, setidakya harus diguaka tiga buah peragko 3 se. Dega meggati tiga buah peragko 3 se dega 2 buah peragko 5 se, aka dihasilka ilai peragko + 1 se. 16

17 Latiha Cotoh 6. Sebuah ATM (Ajuga Tuai Madiri) haya meyediaka pecaha uag Rp ,- da Rp , -. Kelipata uag berapakah yag dapat dikeluarka oleh ATM tersebut? Buktika jawaba ada dega iduksi matematik. 17

18 Prisip Iduksi Kuat Misalka p() adalah peryataa perihal bilaga bulat da kita igi membuktika bahwa p() bear utuk semua bilaga bulat 0. Utuk membuktika ii, kita haya perlu meujukka bahwa: 1. p( 0 ) bear, da 2. jika p( 0 ), p( 0 +1),, p() bear maka p(+1) juga bear utuk semua bilaga bulat 0,. 18

19 Cotoh 7. Bilaga bulat positif disebut prima jika da haya jika bilaga bulat tersebut habis dibagi dega 1 da diriya sediri. Kita igi membuktika bahwa setiap bilaga bulat positif ( 2) dapat diyataka sebagai perkalia dari (satu atau lebih) bilaga prima. Buktika dega prisip iduksi kuat. Peyelesaia: Basis iduksi. Jika = 2, maka 2 sediri adalah bilaga prima da di sii 2 dapat diyataka sebagai perkalia dari satu buah bilaga prima, yaitu diriya sediri. 19

20 Lagkah iduksi. Misalka peryataa bahwa bilaga 2, 3,, dapat diyataka sebagai perkalia (satu atau lebih) bilaga prima adalah bear (hipotesis iduksi). Kita perlu meujukka bahwa + 1 juga dapat diyataka sebagai perkalia bilaga prima. Ada dua kemugkia ilai + 1: (a) Jika + 1 sediri bilaga prima, maka jelas ia dapat diyataka sebagai perkalia satu atau lebih bilaga prima. (b) Jika + 1 buka bilaga prima, maka terdapat bilaga bulat positif a yag membagi habis + 1 tapa sisa. Dega kata lai, ( + 1)/ a = b atau ( + 1) = ab yag dalam hal ii, 2 a b. Meurut hipotesis iduksi, a da b dapat diyataka sebagai perkalia satu atau lebih bilaga prima. Ii berarti, + 1 jelas dapat diyataka sebagai perkalia bilaga prima, karea + 1 = ab. Karea lagkah (i) da (ii) sudah ditujukka bear, maka terbukti bahwa setiap bilaga bulat positif ( 2) dapat diyataka sebagai perkalia dari (satu atau lebih) bilaga prima. 20

21 Cotoh 8. [LIU85] Teka-teki susu potoga gambar (jigsaw puzzle) terdiri dari sejumlah potoga (bagia) gambar (lihat Gambar). Dua atau lebih potoga dapat disatuka utuk membetuk potoga yag lebih besar. Lebih tepatya, kita guaka istilah blok bagi satu potoga gambar. Blok-blok dega batas yag cocok dapat disatuka membetuk blok yag lai yag lebih besar. Akhirya, jika semua potoga telah disatuka mejadi satu buah blok, teka-teki susu gambar itu dikataka telah dipecahka. Meggabugka dua buah blok dega batas yag cocok dihitug sebagai satu lagkah. Guaka prisip iduksi kuat utuk membuktika bahwa utuk suatu teka-teki susu gambar dega potoga, selalu diperluka 1 lagkah utuk memecahka teki-teki itu. 21

22 22

23 Peyelesaia: (i) Basis iduksi. Utuk teka-teki susu gambar dega satu potoga, tidak diperluka lagkah apa-apa utuk memecahka teka-teki itu. 23

24 (ii) Lagkah iduksi. Misalka peryataa bahwa utuk tekateki dega potoga ( = 1, 2, 3,, k) diperluka sejumlah 1 lagkah utuk memecahka teka-teki itu adalah bear (hipotesis iduksi). Kita harus membuktika bahwa utuk + 1 potoga diperluka lagkah. Bagilah + 1 potoga mejadi dua buah blok satu dega 1 potoga da satu lagi dega 2 potoga, da = + 1. Utuk lagkah terakhir yag memecahka teka-teki ii, dua buah blok disatuka sehigga membetuk satu blok besar. Meurut hipotesis iduksi, diperluka 1-1 lagkah utuk meyatuka blok yag satu da 2 1 lagkah utuk meyatuka blok yag lai. Digabugka dega lagkah terakhir yag meyatuka kedua blok tersebut, maka bayakya lagkah adalah ( 1 1) + ( 2 1) + 1 lagkah terakhir = ( ) = =. Karea lagkah (i) da (ii) sudah diperlihatka bear maka terbukti bahwa suatu teka-teki susu gambar dega potoga, selalu diperluka - 1 lagkah utuk memecahka teki-teki itu. 24

25 Cotoh 9. Tujukka apa yag salah dari pembuktia di bawah ii yag meyimpulka bahwa semua kuda berwara sama? Misalka P() adalah peryataa bahwa semua kuda di dalam sebuah himpua berwara sama (i) Basis iduksi: jika kuda di dalam himpua haya seekor, jelaslah P(1) bear. (ii) Lagkah iduksi: adaika bahwa semua kuda di dalam himpua ekor kuda berwara sama adalah bear. Tijau utuk himpua dega + 1 kuda; omori kuda-kuda tersebut dega 1, 2, 3,,, +1. Tijau dua himpua, yaitu ekor kuda yag pertama (1, 2, ) harus berwara sama, da ekor kuda yag terakhir (2, 3,,, +1) juga harus berwara sama. Karea himpua kuda pertama da himpua kuda terakhir beririsa, maka semua +1 kuda harus berwara sama. Ii membuktika bahwa P(+1) bear. 25

26 Peyelesaia: lagkah iduksi tidak bear jika + 1 = 2, sebab dua himpua (yag masig-masig beraggotaka = 1 eleme) tidak beririsa. 26

27 27 SOAL LATIHAN Buktika utuk >=1 3 2) 1)( ( 1) (... 3(4) 2(3) 1(2) 1 1) ( (4) 1 2(3) 1 1(2) 1 4 3) 2)( 1)( ( 2) 1)( (... 3(4)(5) 2(3)(4) 1(2)(3) 1 1) 1)(2 ( (7) 1 3(5) 1 1(3) 1

28 1. Buktika dega iduksi matematika 1(1!)+2(2!) + 3(3!)+ + (!)=(+1)! (2-1) 2 = (2-1)(2+1) 3 28

29 SOAL LATIHAN 1. Buktika dega iduksi matematika 1(1!)+2(2!) + 3(3!)+ + (!)=(+1)!-1 2. Buktika bahwa habis dibagi tiga utuk setiap bilaga 1 3. Buktika bahwa habis dibagi tiga utuk setiap bilaga 1 4. Tujukka bahwa utuk sembarag bilaga bulat positif, (11) +2 + (12) 2+1 Selalu habis dibagi

30 Referesi Muir, Rialdi. (Buku Teks Ilmu Komputer) Matematika Diskrit. Iformatika badug. Badug.2001 Muir, Rialdi, Materi Kuliah Matematika Diskrit ITB /Matdis/matdis.htm