RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY

Transkripsi

1 RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY Siti Robiatul Adawiyah 1, Rade Sulaima 2 1 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, robby_adaw@yahoo.com 1, sulaimarade@yahoo.com 2 ABSTRAK Terdapat perbedaa atara operasi peumlaha da perkalia pada ruag vektor umum da ruag vektor dari matriks fuzzy. Yag dimaksud dega matriks fuzzy adalah matriks yag eleme-elemeya merupaka bilaga fuzzy, yaki bilaga atara 0 sampai 1. Semua matriks fuzzy merupaka matriks, amu sebarag matriks belum tetu matriks fuzzy. Pada ruag vektor fuzzy, operasi peumlaha merupaka supremum dari elemeeleme pada matriks yag bersesuaia. Hal ii berbeda dega peumlaha pada ruag vektor umum. Dari perbedaa tersebut, peelitia ii bertuua utuk megetahui kosep ruag vektor matriks fuzzy pada ruag vektor matriks fuzzy da diperkealka beberapa sifat pada ruag vektor matriks fuzzy. Berdasarka pada pembuktia dari operasi peumlaha da perkalia dari matriks fuzzy, diperoleh kesimpula bahwa dega operasi peumlaha da perkalia skalar matriks fuzzy merupaka ruag vektor fuzzy yag haya memeuhi 9 teorema-teorema pada ruag vektor umum. Kata kuci: operasi peumlaha da perkalia, matriks fuzzy, ruag vektor fuzzy, hasil kali dalam, orm. PENDAHULUAN Pada tahu 2010 seorag ahli matematika memperkealka tetag ruag vektor fuzzy dari matriks fuzzy. Himpua fuzzy merupaka himpua yag aggota-aggotaya dalam selag iterval [0,1]. Pada ruag vektor dari matriks fuzzy, peumlaha vektor didefiisika sebagai peumlaha matriks fuzzy da perkalia skalar vektor didefiisika sebagai perkalia skalar matriks fuzzy. Peumlaha matriks fuzzy tidak seperti peumlaha pada matriks pada umumya. Misalka A da B adalah matriks fuzzy m x, A Bdidefiisika sebagai maksimum dari eleme-eleme yag bersesuaia dari matriks A da matriks B. Sedagka pada ruag vektor umum, peumlaha vektor didefiisika sebagai peumlaha matriks da perkalia skalar didefiisika sebagai perkalia skalar matriks. Dari peelasa megeai perbedaa megeai operasi peumlaha da perkalia pada ruag matriks umum da matriks fuzzy tersebut, pada lah ii aka dibahas tetag Ruag Vektor Matriks Fuzzy. KAJIAN TEORI 2.1 Matrik Defiisi Sebuah matriks adalah susua segi empat siku-siku dari bilaga-bilaga yag diatur dalam baris da kolom. Matriks disaika sebagai berikut: a11 a12 a1 A ai, i 1,2,, m 1,2,, am1 am2 am Setiap matriks yag memiliki baris da kolom sama disebut matriks persegi (square matrice). Defiisi Misalka A ( a i ) da B ( b i ) merupaka dua matriks berukura m. Jumlah matriks A da B ditulis A + B adalah matriks berukura m dega elemeya merupaka umlah eleme yag seletak dari kedua matriks, dega A B ( a b ) Matriks-matriks yag ukuraya berbeda tidak bisa ditambahka. (Woo Setya Budh1995) i i 1

2 Defiisi Jika B adalah sebarag matriks, B aka meyataka hasil kali 1 B. Jika A da B adalah dua matriks yag ukuraya sama, A B didefiisika dega A B = A + ( B) (Woo Setya Budh1995) Defiisi Jika A adalah sebuah matriks da k adalah suatu skalar, hasil kali (product) ka adalah matriks yag diperoleh dega megalika masig- masig eleme dari A oleh k. Defiisi Misalka matriks A = a i yag berukura m p da matriks B = b i yag berukura r. Hasil perkalia matriks C=AB terdefiisi ika p = r da matriks C = c i berukura m dega eleme-eleme c a b a b a b a b, dega i ik k i1 1 i2 2 i k1 i1,2,, m da = 1,2,,. 2.2 Ruag Vektor Defiisi Misalka V himpua tak kosog yag dilegkapi dega operasi umlah da perkalia skalar ( bilaga real) dega aggota V. Artiya, diberika dua eleme u da v di V da bilaga real s, kemudia umlah u + v da perkalia skalar su didefiisika da terletak di V uga. Kemudia V dega kedua operasi ii disebut ruag vektor ika kedua operasi tersebut memeuhi sifat: Utuk setiap u, v, w V da k, l R 1. Jika u da v adalah vektor pada V, u + v V 2. u + v = v + u 3. u + v + w = u + v + w 4. 0 V 0 + u = u + 0 = u 5. u V, u V u + u = u + u = 0 6. Jika k adalah sebarag skalar da u V, ku V 7. k u + v = ku + kv 8. k + l u = ku + lu 9. k lu = kl u 10. 1u = u (Woo Setya Budh 1995) Defiisi Misalka V suatu ruag vektor real. Suatu hasil kali dalam di V adalah suatu pemetaa dari V V ke bilaga real, biasaya dilambagka sebagai,, yag memeuhi: i. u, v = v, u utuk setiap u, v V. ii. ku, v = k u, v utuk setiap u, v V da k R. iii. u + v, w = u, w + v, w utuk setiap u, v, w V. iv. u, u 0 utuk setiap u V da u, u = 0 ika da haya ika u = 0. (Woo Setya Budh 1995) Ruag vektor yag dilegkapi dega hasil kali dalam disebut ruag hasil kali dalam. Defiisi Suatu orm di sebuah ruag vektor real V adalah pemetaa dari V ke himpua bilaga real, biasaya dilambagka dega yag memeuh i. v 0 utuk setiap v V, da v = 0 ika da haya ika v = 0 ii. kv = k v utuk setiap skalar k da v V iii. u + v u + v utuk setiap u, v V. Defiisi Jika F: V W adalah sebuah pemetaa dari ruag vector V ke ruag vector W, F disebut trasformasi liier (liear trasformatio) ika: a. F( u v) F u F v, u, v V b. F ku = kf u, u V, k R. Jika W = V F disebut Operator Liier 2.3 Himpua Defiisi Himpua (himpua klasik) adalah kumpula obek yag terdefiisi dega elas. Artiya ika kita meuuk suatu obek, dapat ditetuka apakah obek itu masuk pada kumpula tersebut atau tidak. (Masriyah, 2007) 2.4 Himpua Fuzzy Defiisi Misalka X adalah himpua semesta(himpua klasik), himpua fuzzy A (x, f x : x X) dega 0 f (x) 1. (Setiad 2009)

3 PEMBAHASAN 3.1 Matriks Fuzzy Defiisi Misal a11 a12 a1 A, ai R adalah am1 am 1 am matriks orde m. Jika ai 0,1, i 1,2,..., m da {1,2,..., A disebut matriks fuzzy. (V. Kadasamy, 2007) Defiisi Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m x, utuk sebarag dua aggota A = a i da B = b i V m, A + B = sup a i, b i ai, bi i 1,2,., m, 1,2,.,. (V. Kadasamy, 2007) Pada operasi peumlaha matriks memeuhi beberapa sifat, a) Komutatif Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m x, utuk sebarag aggota A BV, mx A B B A sup{ a11, b11} sup{ a12, b12 } sup{ a1, b1 sup{ a21, b21} sup{ a22, b22} sup{ a, b2 A B sup{ am 1, bm 1} sup{ am2, bm 2} sup{ am, bm sup{ b11, a11} sup{ b12, a12} sup{ b1, a1 sup{ b21, a21} sup{ b22, a22} sup{ b2, a2 sup{ bm 1, am 1} sup{ bm 2, am2} sup{ bm, am = B + A Jadi pada operasi peumlaha matriks fuzzy memeuhi sifat komutatif. b) Asosiatif Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m, utuk sebarag aggota A = a i, B = (b i ), C = (c i ) V mx, ( A B) C A B C, dimaa ai, bi, ci [0,1]. ( A B) C sup{sup{ a11, b11 }, c11} sup{sup{ a12, b12 }, c12 } sup{sup{ a1, b1, c1 sup{sup{ a21, b21}, c21} sup{sup{ a22, b22}, c22} sup{sup{ a, b2, c2 sup{sup{ am 1, bm 1}, cm 1} sup{sup{ am, bm 2}, cm } sup{sup{ am, bm, c m } 2 2 sup{ a11,sup{ b11, c11}} sup{ a12,sup{ b12, c12 }} sup{ a1,sup{ b1, c1 } sup{ a21,sup{ b21, c21}} sup{ a22,sup{ b22, c22}} sup{ a,sup{ b2, c2} sup{ am 1,sup{ bm 1, cm 1}} sup{ am2,sup{ bm 2, cm2}} sup{ am,sup{ bm, cm} = A + B + C Jadi pada operasi peumlaha matriks fuzzy memeuhi sifat asosiatif. Defiisi Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m x, utuk sebarag aggota A = (a i ) V mx da suatu skalar k [0,1], ka (if{ k, a }) k, a dimaa a i [0,1] (S. Paayappa, 2010) i Pada perkalia skalar dua matriks berlaku sifat distributif k A + B = ka + kb Bukti peryataa di atas adalah sebagai berikut: Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m x, utuk sebarag aggota A ( a ), B ( b ) V da suatu skalar i i mx. k [0,1], ka (if{ k, ai}) k, ai dimaa a, b [0,1] i i i Aka dibuktika bahwa k A B ka kb if{ k,sup{ a, b }} if{ k,sup{ a, b }} if{ k,sup{ a, b }} if{ k,sup{ a, b }} if{ k,sup{ a, b }} if{ k,sup{ a, b }} k A B if{ k,sup{ a, b }} m1 m1 if{ k,sup{ a, b }} m2 if{ k,sup{ a, b }} m m 2 m if{ k,( a b )} if{ k,( a b )} if{ k,( a b )} if{ k,( a b )} if{ k,( a b )} if{ k,( a b )} if{ k,( am bm )} if{ k,( am bm )} if{ k,( am bm )} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ k, b }} {if{ k, a } if{ kb, }} m1 m1 m2 m2 m m if{ k, a } 11 if{ k, a } 12 if{ k, a } if{ k, b } 11 if{ k, b } 12 if{ k, b } if{ k, a } if{ k, a } if{ k, a } if{ k, b } if{ k, b } if{ k, b } if{ k, a } if{ k, a } if{ k, a } if{ k, b } if{ k, b } i m1 m2 m f{ kb, } m1 m2 m = ka + kb Jadi perkalia skalar dua matriks berlaku sifat distributi Defiisi Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m x, utuk sebarag dua aggota A = a i da B = b i V mx.

4 sup if, (, ) ik k ik k A B a b a b dimaa. a, b [0,1] i (V. Kadasamy, 2007) i 3.2 Ruag Vektor Matriks Fuzzy Defiisi Misalka V m adalah himpua semua matriks fuzzy m A ai B bi da C ci Vm. Ruag vektor matriks fuzzy adalah sistem yag terdiri dari himpua matriks fuzzy V m dega operasi peumlaha da perkalia skalar matriks fuzzy dega skalar k [0, 1]. (S. Paayappa, 2010) Defiisi Hasil kali dalam atara dua eleme A = a i da B = b i V mx didefiisika sebagai A, B = a i b i. (2). Operasi ii memeuhi beberapa kodisi berikut, 1. A, B = B, A 2. ka, B = k A, B, k 0,1 3. A + B, C = A, C + B, C, C V m 4. A, A = 0 ika da haya ika A = 0. (S. Paayappa, 2007) Bukti : 1. A, B = B, A A, B = a i b i i k if{ a11, b11} if{ a12, b12 } if{ a1, b1 if{ a21, b21} if{ a22, b22} if{ a, b2 if{ am 1, bm 1} if{ am2, bm 2} if{ am, bm if{ b11, a11} if{ b12, a12} if{ b1, a1 if{ b21, a21} if{ b22, a22} if{ b2, a2 if{ bm 1, am 1} if{ bm 2, am2} if{ bm, am = b i a i = B, A 2. ka, B = k A, B, k 0,1 ka, B = ka i b i if{if{ k, a11}, b11} if{if{ k, a12}, b12 } if{if{ k, a1, b1,} if{if{ k, a21}, b21} if{if{ k, a22}, b22} if{if{ k, a2, b2,} if{if{ k, am 1}, bm 1} if{if{ k, am }, bm } if{if{ k, am, bm } 2 2 if{ k,if{ a11, b11} if{ k,if{ a12, b12 } if{ k,if{ a1, b1 if{ k,if{ a21, b21} if{ k,if{ a22, b22} if{ k,if{ a2, b2 if{ k,if{ am, bm 1} if{ k,if{ am, bm } if{ k,if{ am, bm } if{ a11, b11} if{ a12, b12 } if{ a1, b1 if{ a, b } if{ a, b } if{ a, b } if{ am 1, bm 1} if{ am2, bm 2} if{ am, bm k = k A, B 3. A + B, C = A, C + B, C, C V m A + B, C = c i (sup{a i, b i }) if{ c11,sup{ a11, b11} if{ c12,sup{ a12, b12 } if{ c1,sup{ a1, b1 if{ c21,sup{ a21, b21} if{ c22,sup{ a22, b22} if{ c2,sup{ a2, b2 if{ cm,sup{ am, bm 1} if{ cm,sup{ am, bm } if{ cm,sup{ am, bm supif{ c11, a11},if{ c11, b11} supif{ c12, a12},if{ c12, b12 } supif{ c1, a1,if{ c1, b supif{ c21, a },if{ c21, b21} supif{ c, a22},if{ c22, b22} supif{ c, a2 },if{ c, b2 supif{ cm 1, am 1},if{ cm 1, bm 1} supif{ cm2, am2},if{ cm2, bm 2} supif{ cm, am,if{ cm, bm if{ c11, a11} if{ c11, b11} if{ c12, a12} if{ c12, b12 } if{ c1, a1 if{ c1, b1 if{ c21, a21} if{ c21, b21} if{ c22, a22} if{ c22, b22} if{ c, a2 if{ c, b2 if{ cm 1, am 1} if{ cm 1, bm 1} if{ cm, am } if{ cm, bm 2} if{ cm, am if{ cm, bm = c i a i + c i b i = A, C + B, C A + B, C = A, C + B, C 4. A, A = 0 A = 0 A, A = a i a i mi{ a11, a11} mi{ a12, a12} mi{ a1, a1 mi{ a21, a21} mi{ a22, a22} mi{ a, a2 mi{ am 1, am 1} mi{ am2, am2} mi{ am, am A, A = 0 A = 0 mi{ a11, a11} mi{ a12, a12} mi{ a1, a1 mi{ a21, a21} mi{ a22, a22} mi{ a, a2 0 mi{ am 1, am 1} mi{ am2, am2} mi{ am, am Sehigga diperoleh a = 0, dega kata lai vektor A = 0 A = 0 A, A = 0 A = 0 Jika 0 0 0, A Sehigga diperoleh A, A = 0

5 Berdasar pembuktia dari dua sisi A, A = 0 A = 0. V mx bersama hasil kali dalam pada persamaa 2 disebut ruag hasil kali dalam fuzzy. Defiisi Norm utuk setiap eleme A V m didefiisika sebagai A = A, A.. (3). Operasi pada persamaa 3 memeuhi beberapa kodisi berikut i. 0 A 1, A = 0 A = 0 ii. ka = k A, k [0,1] iii. A + B A + B. (S. Paayappa, 2007) i. 0 A 1, A = 0 A = 0 A = 0 A = 0 A = 0 A, A = 0 (a i a i ) = 0 if{ a11, a11} if{ a12, a12} if{ a1, a1 if{ a21, a21} if{ a22, a22} if{ a, a2 if{ am 1, am 1} if{ am2, am2} if{ am, am a11 a12 a1 0 am1 am2 am A = 0 A = 0 A = 0 A = A A = A, A = (a i a i ) if{ a11, a11} if{ a12, a12} if{ a1, a1 if{ a21, a21} if{ a22, a22} if{ a, a2 if{ am 1, am 1} if{ am2, am2} if{ am, am a11 a12 a1 am1 am2 am A = 0 ii ka = k A, k [0,1] ka = ka, ka iii = = (ka i ka i ) (ka i ) = ka i = k A, A = k A ka = k A A + B A + B A + B = A + B, A + B = ((a i b i ) (a i b i )) (a i b i ) = (a i ) (b i ) = A, A + B, B = A + B A + B A + B V mx dega orm diatas disebut ruag vektor fuzzy berorm. Defiisi Misal V mx sebuah ruag vektor fuzzy berorm dari matriks fuzzy. Pemetaa T dari V mx pada diriya sediri disebut operator liier fuzzy ika utuk setiap A, B V m da k [0,1] memeuhi: i. T A + B = T A + T(B) ii. T ka = kt(a) (S. Paayappa, 2007) Proposisi 3.1 Misalka V mx sebuah ruag vektor fuzzy berorm. Maka L(V mx ) himpua semua operator liier yag memetaka V mx ke diriya merupaka ruag vektor fuzzy dega peumlaha serta perkalia fuzzyya didefiisika sebagai berikut (i) T 1 + T 2 A = T 1 A + T 2 (A) (ii) αt 1 A = αt 1 A Utuk setiap T 1, T 2 L(V mx ), A V mx da α [0,1] Dibawah ii aka dituukka bahwa L(V mx ) merupaka ruag vektor fuzzy, 1. Operasi peumlaha bersifat tertutup Jika T 1, T 2 L(V mx ) da A, B V mx (T 1 + T 2 ) L(V mx ). Utuk meuukka bahwa (T 1 + T 2 ) L(V mx ) harus memeuhi dua sifat berikut, (T 1 + T 2 ) A + B = (T 1 + T 2 ) A + (T 1 + T 2 )(B) (T 1 + T 2 ) A + B = T 1 A + B + T 2 (A + B) = T 1 A + T 1 B + T 2 A + T 2 (B)

6 = (T 1 + T 2 ) A + (T 1 + T 2 ) B (T 1 + T 2 ) ka = k(t 1 + T 2 )(A) (T 1 + T 2 ) ka = (T 1 ) ka + T 2 (ka) = kt 1 A + kt 2 (A) = k(t 1 + T 2 ) A Karea dua sifat diatas terpeuhi (T 1 + T 2 ) L(V mx ) 2. Operasi peumlaha besifat komutatif Jika T 1, T 2 L(V mx ),da A V mx, (T 1 + T 2 ) A = (T 2 + T 1 )(A). (T 1 + T 2 ) A = T 1 (A) + T 2 A T 2 A + T 1 (A) = (T 2 + T 1 ) A 3. Operasi peumlaha bersifat asosiatif Jika T 1, T 2, T 3 L(V mx ),da A V mx, T 1 A + T 2 + T 3 A = (T 1 + T 2 ) A + (T 3 ) A. T 1 A + T 2 + T 3 A = T 1 A + T 2 A + T 3 (A) = T 1 A + T 2 A + T 3 (A) = T 1 A + T 2 A + T 3 (A) = (T 1 + T 2 ) A + T 3 A 4. Sifat idetitas Ada 0 dalam LV ( mx ), sedemikia higga 0 T( A) T( A) 0 T( A) utuk semua T( A) L( V mx ). 0 + T A = T A + 0 = T A 5. Sifat ivers Tidak terpeuhi. 6. Perkalia skalar bersifat tertutup Jika T 1 L(V mx ), A, B V mx da α [0,1] αt 1 L(V mx ). Utuk meuukka bahwa αt 1 L(V mx ) harus memeuhi dua sifat berikut, αt 1 A + B = αt 1 A + αt 1 (B) αt 1 A + B = α T 1 A + T 1 (B) = αt 1 A + αt 1 B αt 1 ka = k(αt 1 (A)) αt 1 ka = α(kt 1 A ) = αkt 1 A = kαt 1 A = k αt 1 A Karea dua sifat diatas terpeuhi αt 1 L(V mx ) 7. Perkalia skalar bersifat distributif terhadap operasi peumlaha Jika T 1, T 2 L(V mx ), A V mx da α [0,1] α(t 1 + T 2 ) A = αt 1 A + αt 2 A α(t 1 + T 2 ) A = α(t 1 A + T 2 A ) = αt 1 A + αt 2 A 8. Perkalia skalar bersifat distributif terhadap operasi peumlaha Jika T 1 L(V mx ), A V mx da α, β [0,1] α + β T 1 A = αt 1 A + βt 1 A α + β T 1 A = (αt 1 + βt 1 )(A) = αt 1 A + βt 1 A 9. Perkalia skalar bersifat assosiatif Jika T 1 L(V mx ), A V mx da α, β [0,1] α(βt 1 (A)) = (αβ)t 1 A α(βt 1 (A)) = αβ(t 1 A ) = (αβ)t 1 A 10. Perkalia dega skalar 1 Jika T 1 L(V mx ), A V mx da 1 [0,1] 1T 1 A = T 1 A 1T 1 A = T 1 1 A = T 1 A Berdasarka defiisi ruag vektor 2.2.1, sifat ivers tidak terpeuhi karea batasa skalar. Maka L(V mx ) himpua semua operator liier yag memetaka V mx ke diriya merupaka ruag vector fuzzy. Berdasar proposisi 3.1 ada beberapa sifat-sifat berikut : (i) αβ T 1 = α(βt 1 ) (sifat asosiatif pada perkalia skalar) (ii) α + β T 1 = αt 1 + βt 1 (sifat distributif pada perkalia skalar) (iii) α T 1 + T 2 = αt 1 + αt 2 (sifat distributif pada perkalia skalar) (iv) T = T 1 (sifat idetitas) SIMPULAN Kesimpula yag diperoleh dari lah ii yaitu bahwa operasi peumlaha da perkalia skalar matriks fuzzy dega skalar k [0, 1] membetuk ruag vektor fuzzy yag haya memeuhi 9 teorema ruag vektor umum. SARAN Dalam skripsi ii haya dibahas kosep ruag vector matriks fuzzy. Oleh karea itu, peulis memberika sara kepada pembaca yag tertarik pada permasalaha ii utuk meelaska tetag operator liier pada ruag vector matriks fuzzy.

7 DAFTAR PUSTAKA [1] Ato, Howard Alabar Liier Elemeter, diteremahka oleh: Patur Silaba, Ph. D. da Drs. I. Nyoma Susila, M. Sc.. Jakarta: Erlagga. [2] Ato, H., da Rorres, C., 2004, Alabar Liier Elemeter. Edisi kedelapa, ilid 1. Jakarta: Erlagga [3] Arifi, Achmad Alabar Liier. Edisi kedua. Badug: ITB [4] Budhi W. Setya Alabar Liier. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. [5] Kadasam W. B. Vasatha, Smaradache, F., da Ilatheral, K Elemetary Fuzzy Matrix Theory Ad Fuzzy Models For Social Scietists. (olie). ( Diakses taggal 06 September 2012, am WIB). [6] Masriyah Pegatar Dasar Matematika. Surabaya: Uesa Press. [7] Paayappa, S Fuzzy Liier Operator o Vektor Spaces of Fuzzy Matrices. (olie). ( Diakses taggal 13 Oktober 2012, am WIB) [8] Setiadi Himpua da Logika Samar Serta Aplikasiya. Yogyakarta: Graha Ilmu.