) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download ") didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,..."

Transkripsi

1 SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a, a,..., a da b merupaka kostata riil. Variabel-variabel dalam persamaa liier serigkali disebut sebagai faktor-faktor yag tidak diketahui. Perlu diperhatika bahwa persamaa liier tidak megadug hasil kali atau akar dari variabel. Seluruh variabel yag ada haya dalam betuk pagkat pertama da buka merupaka argume dari fugsi-fugsi trigoometri, logaritma, ataupu ekspoesial. Solusi dari persamaa liier ax ax... ax b adalah suatu uruta bilaga dari bilaga s, s,..., s sedemikia sehigga persamaa tersebut aka terpeuhi jika meyubstitusika x s, x s,..., x s. Kumpula semua solusi dari persamaa itu disebut himpua peyelesaia (himpua solusi). Sistem persamaa liier merupaka sejumlah tertetu persamaa liier dalam variabel x, x,..., x. Sebarag sistem m persamaa liier dega variabel dituliska sebagai berikut: a x a x... a x b a x a x... a x b a x a x... a x b m m m m dega x, x,..., x adalah faktor yag belum diketahui serta a da b dega subskrip merupaka kostata. Suatu sistem persamaa liier yag tidak memiliki solusi disebut tidak kosiste, sedagka jika terdapat palig tidak satu solusi dalam sistem disebut kosiste. Suatu sistem persamaa liier yag kosiste dapat memiliki tepat satu solusi atau memiliki takterhigga bayakya solusi. Iterpretasi megeai solusi dari suatu sistem persamaa liier dapat dilihat pada gambar-gambar berikut ii. Gambar. Iterpretasi geometri suatu sistem persamaa liier dega dua variabel MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes

2 Gambar. Iterpretasi geometri suatu sistem persamaa liier dega tiga variabel >> SISEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Suatu sistem persamaa liier disebut homoge jika semua betuk kostataya adalah 0, yaitu sistem ii memiliki betuk: a x a x... a x 0 a x a x... a x 0 a x a x... a x 0 m m m Setiap sistem persamaa liier homoge adalah kosiste karea semua sistem semacam ii memiliki solusi x 0, x 0,..., x 0. Solusi ii disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi lai, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi otrivial. Karea sistem liier homoge selalu memiliki solusi trivial, maka haya terdapat dua kemugkia utuk solusi-solusiya: sistem tersebut haya memiliki solusi trivial, sistem tersebut memiliki takterhigga bayakya solusi selai solusi trivialya. Ada satu kasus di maa sistem homoge bisa dipastika memiliki solusi otrivial, yaitu jika sistem tersebut melibatka lebih bayak variabel dibadigka dega bayakya persamaa liier yag ada. Sebagai cotoh, jika terdapat 3 persamaa dega 4 variabel, maka sistem tersebut memiliki solusi otrivial. MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes

3 . MARIKS Matriks adalah kelompok bilaga yag disusu dalam suatu jajara berbetuk persegi atau persegi pajag yag terdiri dari baris-baris da kolom-kolom. Nama dari suatu matriks biasaya dilambagka dega huruf kapital. Beberapa istilah dasar berkaita dega matriks yaitu: a. Baris suatu matriks adalah bagia susua bilaga yag dituliska medatar atau horisotal dalam matriks. b. Kolom suatu matriks adalah bagia yag dituliska tegak atau vertikal dalam matriks. c. Eleme / usur / etri suatu matriks adalah bilaga-bilaga (riil atau kompleks) yag meyusu matriks itu. d. Ordo adalah ukura suatu matriks yag ditetuka oleh bayakya baris kali bayakya kolom. otoh: matriks A memiliki baris da 3 kolom, maka ordo matriks itu adalah 3, da diotasika A 3. Secara umum, suatu matriks A dapat ditulis sebagai berikut: a ij meyataka etri matriks dega: i =,, 3,..., m j =,, 3,..., Jika megigika otasi yag sigkat, maka matriks di atas dapat ditulis sebagai: m a. Etri pada baris ke-i da kolom ke-j pada matriks A juga biasa diyataka dega simbol A = a ij. A ij sehigga ij Suatu matriks yag haya terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom (vektor kolom), semetara suatu matriks yag haya terdiri dari satu baris disebut matriks baris (vektor baris). Dua matriks dikataka sama (setara) jika kedua matriks memiliki ordo yag sama da etri-etri yag seletak (bersesuaia) mempuyai ilai yag sama. Dalam otasi matriks, jika A = [a ij ] da B = [b ij ] memiliki ordo yag sama, maka A = B jika da haya jika a ij = b ij utuk semua ilai i da j. >> OPERASI PADA MARIKS Jika A da B adalah matriks-matriks dega ordo yag sama, maka: - (A + B) adalah matriks yag diperoleh dega mejumlahka etri-etri pada A dega etri-etri yag bersesuaia pada B. MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 3

4 A B A B aij bij ij ij ij - (A B) adalah adalah matriks yag diperoleh dega meguragka etri-etri pada A dega etri-etri yag bersesuaia pada B. A B A B a b ij ij ij ij ij Perkalia skalar dega matriks yaitu: jika bilaga skalar k dikalika dega matriks A, maka kalika bilaga k dega semua etri pada A. Jika A = [a ij ], maka: ij k A ka ka ij Perkalia matriks dega matriks yaitu: jika matriks A berordo m q da matriks B berordo q, maka ( A B) adalah suatu matriks = [c ij ] berordo m yag etri-etriya diperoleh dari pejumlaha hasil kali etri-etri pada baris ke-i matriks A dega etri-etri pada kolom ke-j matriks B yag bersesuia, dega i,, 3,..., m da j,, 3,...,. Peryataa ii dapat ditulis sebagai berikut: c a b a b a b... a b ij ik kj i j i j i j k ij >> SIFA-SIFA ARIMEIKA MARIKS Dega megasumsika bahwa ordo matriks sedemikia rupa sehigga operasi-operasi tersebut yag disebutka dapat dilakuka, atura-atura aritmetika matriks berikut ii berlaku. Misalka pula a da b merupaka suatu skalar/kostata. (a) A B B A (Hukum komutatif dalam pejumlaha matriks) (b) A ( B ) ( A B) (Hukum asosiatif dalam pejumlaha matriks) (c) A( B) ( AB) (Hukum asosiatif dalam perkalia matriks) (d) A( B ) AB A (Hukum distributif kiri) (e) ( B ) A BA A (Hukum distributif kaa) (f) A( B ) AB A (g) ( B ) A BA A (h) a( B ) ab a (i) a( B ) ab a (j) ( a b) a b (k) ( a b) a b (l) a( b) ( ab) (m) a( B) ( ab) B( a) >> RANSPOS MARIKS Jika A adalah matriks berordo m, maka traspos dari A, diyataka dega A, didefiisika sebagai matriks m yag didapatka dega mempertukarka baris-baris da kolom-kolom dari A, sehigga kolom pertama dari A adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A adalah baris kedua dari A, da seterusya. A A ij ji MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 4

5 Jika ordo matriks sedemikia rupa sehigga operasi-operasi berikut dapat dilakuka, da k merupaka skalar sebarag, maka sifat-sifat traspos ii berlaku. (a) ( A ) A (b) ( A B) A B (c) ( A B) A B (d) ( ka) ka dega k adalah suatu kostata (e) ( AB) B A >> RAE SUAU MARIKS Jika A merupaka suatu matriks persegi, maka trace dari A yag diyataka dega tr(a), didefiisika sebagai jumlah etri-etri pada diagoal utama A. race dari matriks A tidak dapat didefiisika jika A bukalah matriks persegi. otoh: a a a A a a a a a a , B tr(a) = a + a + a 33 tr(b) = = >> MARIKS YANG DIPERBESAR Jika lokasi-lokasi dari +, x, da = dapat diigat, maka sistem persamaa liier yag terdiri dari m persamaa liier dega variabel a x a x... a x b a x a x... a x b a x a x... a x b m m m m dapat disigkat dega haya meuliska bilaga-bilagaya dalam betuk matriks sebagai berikut: a a a b a a a b a m a m a m bm Sebagai cotoh: x x x 9 3 x 4x 3x 3 3x 6x 5x MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 5

6 >> ELIMINASI GAUSS-JORDAN Elimiasi Gauss-Jorda ii lebih dikeal dega operasi baris elemeter (OBE). Lagkah-lagkah elimiasi Gauss-Jorda dalam suatu sistem persamaa liier adalah:. perhatika kolom palig kiri yag tidak seluruhya ol,. jika perlu, pertukarka baris palig atas dega baris lai utuk meempatka etri takol pada pucak yag diperoleh pada lagkah pertama, 3. jika etri yag kii berada pada pucak kolom yag diperoleh pada lagkah awal adalah a, kalika baris pertama dega /a sehigga terbetuk utama, 4. tambahka kelipata yag sesuai dari baris palig atas ke baris-baris di bawahya sehigga semua etri di bawah utama mejadi 0, 5. tutuplah baris palig atas da mulailah lagi dega lagkah pertama pada submatriks yag tersisa; lajutka lagkah ii higga seluruh matriks berada dalam betuk eselo baris, 6. mulai dega baris takol terakhir da bergerak ke atas, tambahka kelipata yag sesuai dari tiap baris ke baris di atasya utuk memperoleh ol di atas utama. otoh: x y z 9 x 4y 3z 3x 6y 5z ambahka kali baris pertama ke baris kedua utuk memperoleh: 9 9 x y z b b y 7z x 6y 5z 0 ambahka 3 kali baris pertama ke baris ketiga utuk memperoleh: 9 9 x y z y 7z b33b y z 7 Kalika baris kedua dega utuk memperoleh: b x y z 9 y 7 7 z 3y z 7 ambahka 3 kali baris kedua ke baris ketiga utuk memperoleh: 9 9 x y z y z b3 3b 0 0 z Kalika baris ketiga dega utuk memperoleh: MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 6

7 b x y z 9 y 7 7 z z 3 ambahka 7 kali baris ketiga ke baris kedua da kali baris ketiga ke baris pertama utuk memperoleh: 9 b b3 0 3 x y b b3 0 0 y z 3 ambahka kali baris kedua ke baris pertama utuk memperoleh: 0 3 b b 0 0 x y z 3 >> JENIS-JENIS MARIKS. Matriks baris Matriks baris adalah matriks yag haya terdiri dari dari satu baris. Sebagai cotoh: 0 ; 3 5 ; Matriks kolom Matriks kolom adalah matriks yag haya terdiri dari satu kolom. Sebagai cotoh: 3 7 ; ; Matriks ol Matriks ol adalah matriks yag seluruh etriya berupa bilaga 0. Sebagai cotoh: ; 0 0 ; Matriks persegi Matriks persegi adalah matriks yag bayakya baris sama dega bayakya kolom. Sebagai cotoh: ; Matriks idetitas Matriks idetitas (I ) adalah matriks persegi sedemikia sehigga aij 0 jika i j da a jika i j. Atau dega kata lai, matriks idetitas adalah matriks persegi yag eleme ij pada diagoal utamaya da eleme yag laiya semua 0. Sebagai cotoh: MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 7

8 0 0 = I ; = I 3 6. Matriks segitiga atas Suatu matriks persegi A [ a ij ] sedemikia sehigga aij 0 jika i j disebut matriks segitiga atas. Atau, dega kata lai, matriks segitiga atas adalah matriks yag semua etri di bawah diagoal utamaya merupaka bilaga ol. Sebagai cotoh: 7. Matriks segitiga bawah Suatu matriks persegi A [ a ij ] sedemikia sehigga aij 0 jika i j disebut matriks segitiga bawah. Atau, dega kata lai, matriks segitiga bawah adalah matriks yag semua etri di atas diagoal utamaya merupaka bilaga ol. Sebagai cotoh: 8. Matriks diagoal (kuasi-skalar) Matriks diagoal adalah matriks persegi sedemikia sehigga aij 0 jika i j = diag,, Matriks skalar Matriks skalar adalah matriks persegi sedemikia sehigga aij 0 jika i j da aij x (x merupaka suatu skalar) jika i j. Sebagai cotoh: = I (3) Matriks idempote Suatu matriks persegi disebut sebagai matriks idempotet jika 4 = Matriks ivolutorik Suatu matriks persegi disebut sebagai matriks ivolutorik jika 0 = A A A. Sebagai cotoh: I. Sebagai cotoh:. Matriks simetrik Suatu matriks persegi disebut simetrik jika A A. Sebagai cotoh: MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 8

9 Matriks simetrik-mirig Suatu matriks persegi disebut simetrik-mirig jika A A. Sebagai cotoh: >> MARIKS INVERS Jika A adalah matriks persegi, da jika terdapat matriks B yag ordoya sama dega matriks A sedemikia rupa sehigga AB = BA = I, maka A disebut matriks osigular (dapat dibalik) da B disebut sebagai matriks ivers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefiisika (atau dega kata lai, matriks A tidak mempuyai ivers), maka A diyataka sebagai matriks sigular. EOREMA Jika B da kedua-duaya adalah ivers dari matriks A, maka B =. eorema meyataka bahwa matriks yag dapat dibalik haya memiliki tepat satu ivers. EOREMA Matriks A = a b c d osigular jika ad bc 0, da iversya dapat dicari megguaka rumus berikut: A d b = ad bc c a d = ad bc c b ad bc a ad bc ad bc EOREMA 3 Jika A da B adalah matriks osigular da berordo sama, maka: a. AA A A I ; dimaa matriks I adalah matriks idetitas b. ( AB) B A c. d. ( BA) ( A ) A B EOREMA 4 A Jika A adalah matriks osigular, maka A juga merupaka matriks osigular da ( A ) ( A ) MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 9

10 L Suatu matriks A berordo m dikataka memiliki matriks ivers kiri A jika L A A I, da A disebut osigular kiri; dalam kasus ii, I haruslah berordo da L A haruslah berordo m. Semetara, suatu matriks A berordo m dikataka memiliki R R matriks ivers kaa A jika AA I, da A disebut osigular kaa; dalam kasus R ii, I haruslah berordo m m da A haruslah berordo m. EOREMA 5 Matriks ivers kiri (kaa) dari suatu matriks tidaklah bersifat tuggal. eorema 5 meyataka bahwa matriks ivers kiri (ataupu kaa) dari suatu matriks tidak haya memiliki tepat satu ivers kiri (ataupu ivers kaa), melaika memiliki bayak kemugkia. Perhatika cotoh berikut. A ; B 0 ; AB 0 0 ; BA A ; A Dari cotoh di atas, dapat dilihat bahwa matriks B da merupaka matriks ivers kiri dari matriks A, tetapi matriks A bukalah matriks ivers kaa dari matriks B maupu. L L Jadi, B A da A, tetapi B. EOREMA 6 Jika A adalah suatu matriks persegi da mempuyai suatu matriks ivers kiri L merupaka matriks osigular da A A R L. Akibatya, pastilah A A. Jika A adalah suatu matriks persegi da mempuyai suatu matriks ivers kaa R merupaka matriks osigular da A A L R. Akibatya, pastilah A A. L A, maka A R A, maka A >> MARIKS ELEMENER Jika matriks B dapat diperoleh dega melakuka sejumlah uruta operasi baris elemeter terhadap matriks A, maka kita dapat memperoleh kembali matriks A dari matriks B dega melakuka ivers dari operasi-operasi baris elemeter dalam uruta terbalik. Matriks A da B dikataka ekuivale baris jika masig-masig matriks dapat diperoleh dari satu sama laiya melalui sejumlah uruta operasi baris elemeter. MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 0

11 Selajutya aka dipelajari defiisi dari matriks tipe khusus yag dapat diguaka utuk melakuka operasi baris elemeter melalui perkalia matriks. Suatu matriks persegi disebut matriks elemeter jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks idetitas I dega melakuka operasi baris elemeter tuggal. Berikut ii terdapat empat matriks elemeter da operasi-operasi yag meghasilkaya. Ketika suatu matriks A dikalika dega sisi kiriya matriks elemeter pada E, dampakya adalah dilakukaya operasi baris elemeter terhadap A. Ii merupaka isi dari eorema 7 berikut. EOREMA 7 Jika matriks elemeter E diperoleh dega cara melakuka operasi baris elemeter tertetu terhadap I m, da jika A adalah matriks m, maka hasil kali EA adalah matriks yag dihasilka jika operasi yag sama dilakuka terhadap A. Sebagai cotoh, perhatika matriks berikut. 0 3 A Jika baris ketiga matriks tersebut dijumlah dega 3 kali baris pertama, maka aka diperoleh: b3 3b Matriks elemeter dari operasi b 3 3b terhadap matriks A adalah: E 0 0 b3 3b 3 0 Berdasarka eorema 7, diperoleh: EA merupaka matriks yag sama MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes

12 EOREMA 8 Setiap matriks elemeter merupaka matriks osigular (dapat dibalik), da iversya juga merupaka matriks elemeter. EOREMA 9 Jika A adalah matriks, maka persamaa-persamaa berikut adalah ekuivale. (a) A merupaka matriks osigular. (b) Ax = 0 haya memiliki solusi trivial. (c) Betuk eselo baris tereduksi dari A adalah I. (d) A dapat diyataka sebagai hasil kali dari matriks-matriks elemeter. Sebagai aplikasi dari eorema 9, dapat dicari metode utuk meetuka ivers dari suatu matriks osigular. E... E E E A I k 3 3 E... E E E A A I A k 3 E... E E E I A k Hal yag perlu diigat adalah, utuk mecari ivers dari matriks A osigular, harus dicari suatu uruta operasi baris elemeter yag mereduksi A mejadi idetitas da melakuka uruta operasi yag sama terhadap I utuk memperoleh A. Metode sederhaa utuk melakuka prosedur ii diberika pada cotoh berikut. otoh: etuka ivers dari 3 A ! A I I A b b b3 b b b b b 3b b 3b b b MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes

13 Jadi, A >> MINOR DAN KOFAKOR Jika A adalah suatu matriks persegi, maka mior dari etri a ij diyataka sebagai M ij da didefiisika sebagai determia dari submatriks yag tersisa setelah baris ke-i da kolom ke-j dihilagka dari A. Bilaga i+j M ij diyataka sebagai ij da disebut sebagai kofaktor dari etri a ij. otoh: Misalka 3 4 A Mior dari etri a adalah. etuka mior da kofaktor dari etri: a da a 3! Kofaktor dari a adalah Mior dari etri a 3 adalah ( ) M M 6 Kofaktor dari a 3 adalah ( ) M M Berdasarka cotoh di atas, perhatika bahwa kofaktor da mior dari suatu eleme a ij haya berbeda dalam tadaya, dimaa ij = ± M ij. Satu cara cepat utuk meetuka apakah tada + atau yag diguaka adalah dega megguaka fakta bahwa tada yag berkaita dega ij da M ij berada dalam baris ke-i da kolom ke-j dari susua papa catur berikut. Sebagai cotoh, M, M, 3 M3, 34 M34, da seterusya. MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 3

14 >> MARIKS KOFAKOR DAN MARIKS ADJOIN Jika A adalah matriks sebarag da ij adalah kofaktor dari a ij, maka matriks disebut matriks kofaktor dari A da diyataka sebagai cofac(a). raspos dari matriks ii disebut matriks adjoi dari A da diyataka sebagai adj(a). otoh: 3 Misalka A 6 3. etuka matriks kofaktor da matriks adjoi dari matriks A! 4 0 Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah Jadi, matriks kofaktor dari A adalah 6 6 cofac A da matriks adjoi A adalah 4 adj A MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 4

15 L A I H A N S O A L. Maakah dari persamaa berikut yag merupaka persamaa liier? a) x3y 7 d) x3 x 5 b) b x 3c e) 3a b c ac 5 p p 3p p 0 f) y log x c) 3 4. etukalah solusi utuk sistem persamaa liier berikut dega megguaka operasi baris elemeter. x x x 6 3 3x x x 4 3 7x 6x x Misalka A, B,, D, da E adalah matriks-matriks dega ordo berikut: A4 5, B4 5, 5, D4, E5 4 etuka apakah peryataa-peryataa berikut ii dapat didefiisika. Bagi yag dapat didefiisika, berika ordo matriks hasilya. a. BA d. E( A ) g. AB B b. E( A B) e. AE B h. ( A E) D c. A D f. E A 4. Selesaikalah a, b, c, da d pada persamaa matriks berikut. a b b c 8 3d c a 4d Misalka matriks M da N diberika sebagai berikut: M 3 ; N 3 Hituglah: a. MN c. M e. tr(m + N) b. NM d. tr(n) f. tr(3m) 6. Perhatika sistem persamaa liier berikut x y 3z 4 3x y 5z Utuk ilai a berapakah sistem ii: a. tidak memiliki solusi b. tepat satu solusi c. takterhigga bayakya solusi 4 x y ( a 4) z a MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 5

16 7. Utuk ilai berapakah, sistem persamaa liier homoge berikut: ( 3) x y 0 x ( 3) y 0 memiliki solusi otrivial? 8. Perhatika matriks-matriks berikut ii. A 3 etuka: a) A b) B c) ( AB) d) ( B A ) ; B 3 9. Perhatika matriks-matriks di bawah ii. 3 4 A ; 8 5 B ; etuka matriks-matriks elemeter E, E, E 3, da E 4 sedemikia rupa sehigga: a) E A B c) E3 A b) EB A d) E4 A 0. etuka ivers dari M !. etukalah matriks kofaktor da matriks adjoi dari matriks P berikut P MAEMAIKA INFORMAIKA - Srava hrisdes 6

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

RUANG BASIS SOLUSI. Ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah. Aljabar Linier DISUSUN OLEH : DONNA SEPTIAN CAHYA RINI (08411.

RUANG BASIS SOLUSI. Ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah. Aljabar Linier DISUSUN OLEH : DONNA SEPTIAN CAHYA RINI (08411. RUANG BASIS SOLUSI Ii disusu utuk memeuhi tugas mata kuliah Aljabar Liier DISUSUN OLEH : DONNA SEPIAN CAHYA RINI (08411.114) FIRIA ASUI (08411.133) NURUL AISYAH (08411.211) SULIS SEYOWAI (08411.260) SULISIANI

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari BB I PENDHULUN. Latar Belakag Masalah Struktur rig (gelaggag) R adalah suatu himpua R yag kepadaya didefiisika dua operasi bier yag disebut pejumlaha da pergadaa yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu, yaitu:

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1 Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY musthofa@uy.ac.id Abstrak Jika A matriks atas lapaga, maka pasti terdapat dega tuggal suatu matriks B yag

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitian Matrices

SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitian Matrices Jural Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitia Matrices LIDIA SALAKA 1, HENRY W. M. PATTY 2, MOZART WINSTON TALAKUA 3 1 Mahasiswa

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI 1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Persamaan Non-Linear

Persamaan Non-Linear Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP)

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

Energi Derajat Maksimal pada Graf Terhubung

Energi Derajat Maksimal pada Graf Terhubung Eergi Derajat Maksimal pada Graf Terhubug Destika Dwi Setyowidi, Lucia Ratasari S.Si, M.Si Program Studi Matematika Jurusa Matematika Uiversitas Dipoegoro Semarag ABSTRAK Graf G adalah pasaga himpua (V,

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2 Jural LOG!K@, Jilid 7, No, 7, Hal 46-5 ISSN 978 8568 GRU ERURU ARSIAL ADA MARIKS SIMERI BERUKURAN Irmatul Hasaah Uiversitas Islam Negeri Sulta Maulaa Hasauddi Bate Email: irmatulhasaah@uibateacid Abstract:

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN : Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali

Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali Jural Tekika ISSN : 285-859 Fakultas Tekik Uiversitas Islam Lamoga Volume No.2 Tahu 29 Kestabila Ragkaia Tertutup Waktu Kotiu Megguaka Metode Trasformasi Ke Betuk Kaoik Terkedali Suhariyato ) Dose Fakultas

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS BRISN PNGKT TERURUT MTRIKS PD LJBR MX PLUS Nurwa Jurusa Matematika FMIP Uiversitas Negeri Gorotalo E-mail: urwa_mat@ug.ac.id bstrak Diberika matriks R yag memeuhi = λ. Matriks adalah k + c c k taktereduksi

Lebih terperinci

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3 Matematika Terapa Dose : Zaid Romegar Mair ST. M.Cs Pertemua 3 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Koloel Wahid Udi Lk. I Kel. Kayuara Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id Tel.

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN : JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY Siti Robiatul Adawiyah 1, Rade Sulaima 2 1 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh

Lebih terperinci

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER FUZZY DENGAN BILANGAN FUZZY LINEAR REAL MENGGUNAKAN METODE SABIHA

PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER FUZZY DENGAN BILANGAN FUZZY LINEAR REAL MENGGUNAKAN METODE SABIHA PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER FUZZY DENGAN BILANGAN FUZZY LINEAR REAL MENGGUNAKAN METODE SABIHA Eky Pawestri Gita Asmara 1, Bambag Irawato, S.Si, M.Si 2, Lucia Ratasari, S.Si, M.Si Departeme Matematika

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2. II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3. BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

BAB III ESTIMASI PARAMETER MODEL DENGAN GS2SLS. Pada bab ini akan dibahas tentang bentuk model spasial lag sekaligus

BAB III ESTIMASI PARAMETER MODEL DENGAN GS2SLS. Pada bab ini akan dibahas tentang bentuk model spasial lag sekaligus BAB III ESTIMASI PARAMETER MODEL DENGAN GS2SLS Pada bab ii aka dibahas tetag betuk model spasial lag sekaligus spasial error da prosedur Geeralized Spatial Two Stage Least Squares (GS2SLS) utuk megestimasi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci