III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

Transkripsi

1 BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari masalah yag berkaita dega deret, 3. meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega deret da peafsiraya. Pegatar Sumber: serpog.files.wordpress Gambar 3. Perumaha Jika Ada puya tabuga, maka Ada igi megetahui berapa besar tabuga Ada pada akhir tahu. Juga apabila orag tua Ada megambil kredit utuk perumaha atau kedaraa, tetuya Ada igi megetahui berapa besar agsura da sisa kredit setelah selama waktu tertetu. Agar Ada dapat meyelesaika persoala-persoala di atas, maka Ada harus memahami isi dari bab ii dega baik. Setelah mempelajari bab ii, Ada diharapka dapat memahami sifat-sifat barisa da deret aritmetika serta barisa da deret geometri, yag selajutya dapat merumuska masalah-masalah yata yag model matematikaya berbetuk deret, meyelesaika modelya, da meafsirka hasil yag diperoleh. BAB III ~ Barisa da Deret 99

2 Utuk meujag pecapaia tujua tersebut di atas, di dalam bab ii aka disajika berturut-turut pegertia barisa da deret, barisa aritmetika, deret aritmetika, pegertia barisa geometri, deret geometri, da deret geometri tak higga, otasi sigma, da pembuktia dega iduksi matematika. Sebagai prasyarat utuk mempelajari bab ii, Ada harus paham operasi-operasi pada sistem bilaga real beserta sifat-sifatya. 3. Pegertia Barisa da Deret Apabila kita berkedaraa di jala yag meghubugka dua kota besar serig dijumpai tugu-tugu kecil yag ditulisi suatu bilaga yag meujukka jarak atara tempat tugu itu berada dega kota yag aka kita tuju. Bilaga tersebut aka berkurag satu setiap kita meempuh jarak satu kilometer. Demikia juga, jika kita berjala-jala di suatu perumaha, maka kita aka mejumpai barisa bilaga yag meujukka omor rumah. Serig didapati omoromor geap utuk rumah-rumah di sebelah kaa jala da omor-omor gajil utuk rumah-rumah di sebelah kiri jala. Nomor-omor tersebut meujukka adaya susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Jika diperhatika omoromor rumah di sebelah kaa jala, maka didapat bahwa omor pertama adalah, omor yag ke dua adalah 4, omor ke tiga adalah 6, da seterusya. Dega demikia terdapat suatu pemetaa atara bilaga asli dega bilaga geap. Di dalam subbab ii aka dibahas suatu fugsi khusus yag daerah asalya himpua bilaga asli ( ) da daerah hasilya adalah himpua bagia (subset) dari himpua bilaga real ( ). Defiisi 3. Yag dimaksud dega barisa bilaga real adalah suatu fugsi yag daerah asalya himpua bilaga asli da daerah hasilya adalah himpua bagia dari. Dega kata lai, barisa bilaga real adalah susua bilaga real yag dibetuk meurut atura tertetu. Jelas atura tetetu yag dimaksud adalah defiisi dari fugsiya. Sekarag perhatika suatu fugsi yag dirumuska sebagai berikut. f () :, dega f() = 3 + Utuk: = f() = 3 + = 4 = f() = 3 + = 7 = 3 f(3) = = 0 M = f() = 3 + M Jadi, utuk =,, 3,...,,... kita medapatka ilai fugsi f(), f(), f(3),... f(),... atau dalam hal ii 4, 7, 0,..., (3 + ),.... Utuk selajutya, peulisa ilai fugsi f(), f(), f(3),..., f(),..., serig dituliska dega otasi f, f, f 3,..., f,.... Susua bilaga di atas merupaka cotoh suatu barisa. Utuk barisa di atas, diketahui bahwa suku ke- adalah f = 4, suku ke- adalah f = 7, suku ke-3 adalah f 3 = 0,..., suku ke- adalah f = Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

3 Terdapat beberapa metode utuk meggambarka suatu barisa, atara lai:. Metode pertama dega medaftar beberapa suku pertama higga atura utuk meetuka suku berikutya jelas. Sebagai cotoh, barisa (7,, 5, 9, 3,...) adalah barisa yag suku ke--ya adalah (4 + 3), sedagka barisa (,, 4, 8,...) adalah barisa yag suku ke--ya adalah.. Metode kedua adalah dega meuliska rumus utuk suku ke- dari barisaya. Sebagai cotoh, utuk barisa (3, 5, 7, 9,...) dapat dituliska sebagai (u ) dega u = + atau dapat dituliska dega ( + ). 3. Metode ketiga adalah dega memberika suku pertamaya, da suku ke-( + ) ditetuka sebagai fugsi dari suku pertamaya. Sebagai cotoh, utuk barisa bilaga Fiboacci diberika oleh (u ) dega u =, u =, da u + = u + u - utuk. Jika dituliska dega cara medaftar barisa Fiboacci ii dapat dituliska dega (,,, 3, 5,...). Dega kata lai, barisa Fiboacci adalah barisa bilaga yag setiap suku sesudah suku kedua merupaka jumlah dari dua suku yag medahuluiya. Karea pada dasarya barisa merupaka fugsi, maka kita mempuyai defiisi utuk kesamaa dua barisa. Defiisi 3. Dua barisa, (u ) da (v ), dikataka sama, ditulis dega (u ) = (v ), jika u = v utuk semua bilaga asli. Utuk barisa tak higga (u ), kita aka memperhatika jumlah dari semua suku dari barisa tak higga (u ). u + u + u u +... Defiisi 3.3 Jika (u ) merupaka suatu barisa bilaga real, maka betuk: u + u + u u +... disebut deret tak higga. Bilaga u disebut suku ke- dari deret da bilaga: S = u + u + u u disebut jumlah buah suku pertama dari deret. Utuk memahami pegertia barisa da deret lebih medalam, berikut ii diberika beberapa cotoh barisa da deret. Cotoh 3.. Jika diberika suatu susua bilaga,,, L,, L 3 maka susua bilaga ii merupaka barisa dega suku umum (suku ke-) adalah, sedagka betuk jumlaha bilaga-bilaga ii adalah: BAB III ~ Barisa da Deret 0

4 + + + L+ + 3 L adalah suatu deret tak higga, dega suku ke- adalah da jumlah buah suku pertama adalah: S = L+ 3 Jadi, utuk deret ii diperoleh suku ke-5 adalah, da jumlah 5 buah suku pertama 5 adalah: S 5 = L+ 3 5 Cotoh 3.. Jika diberika susua bilaga:,,,,,,..., maka susua bilaga ii merupaka barisa da betuk: + ( ) + + ( ) + + ( ) +... adalah suatu deret tak higga dega suku ke- adalah jika gajil da jika geap, da jumlah suku pertama adalah 0 jika geap da jika gajil. Cotoh 3..3 Tuliska tiga suku lagi dari setiap barisa yag diberika berikut ii, kemudia tetuka rumus suku ke-. a. 5, 7, 9,... b., 0, 00, c. Peyelesaia:,,, 4 6 L a. Tiga suku berikutya dari barisa tersebut adalah, 3, 5, sedagka rumus utuk suku ke- adalah u = + 3. b. Tiga suku berikutya utuk barisa tersebut adalah.000, 0.000, , sedagka rumus utuk suku ke- adalah u = 0. c. Tiga suku berikutya utuk barisa tersebut adalah,,, sedagka rumus 8 0 utuk suku ke- adalah u =. Cotoh 3..4 Tuliska tiga suku pertama dari barisa yag diketahui rumus suku ke- berikut ii. a. u = 3 + b. u = c. u = ( + ) Peyelesaia: a. Diketahui u = 3 +, maka diperoleh: u = 3() + = 4, u = 3() + = 7, da u 3 = 3(3) + = 0. b. Diketahui u =, maka diperoleh: u = () = 0, u = () = 3, da u 3 = (3) = 8. c. Diketahui u = ( + ), maka diperoleh: u = ( + ) =, u = ( + ) = 6, da u 3 = 3(3 + ) =. 0 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

5 Cotoh 3..5 Rumus suku ke- dari suatu barisa adalah u =. a. Tuliska tiga suku pertamaya. b. Bilaga 48 merupaka suku yag ke berapa? Peyelesaia: a. Diketahui u =, maka diperoleh: u = () () = = - u = () () = 4 4 = 0 u 3 = (3) (3) = 9 6 = 3 b. Diketahui u = 48, berarti = 48 atau 48 = 0. Dega cara pemfaktora diperoleh ( + 8) ( 6) = 0. Ii berarti, = 8 atau = 6. Karea suatu bilaga asli, maka diperoleh = 6. Jadi, 48 adalah suku ke-6. Latiha 3.. Tuliska tiga suku berikutya dari barisa bilaga berikut ii. a. 5, 5, 5, 35,... d., 3, 5, 8,,... b. 50, 5, 00, 75,... e., 4, 9, 5,... c.,,,,... f.,, 4, 8, 6,.... Tuliska tiga suku berikutya dari barisa Fiboacci berikut ii. a. 3, 5, 8, 3,... d. 5, 0, 5, 5,... b. 0,,,,... e., 7, 9, 6,... c.,, 0,,... f. 5, 5, 0, 5, Tuliska rumus suku ke- dari barisa berikut ii. a. 6,, 6,,... d., 5, 0, 7,... b. 0,, 6,,... e.,,,, K c. 4, 8,, 6,... f. 0,, 0,, Diketahui barisa dega rumus suku ke- adalah u = + +. a. Tuliska empat suku pertamaya. b. Bilaga 00 merupaka suku yag ke berapa dari barisa tersebut? 5. Diketahui barisa dega rumus suku ke- adalah u = 3. a. Tuliska empat suku pertamaya. b. Bilaga 43 merupaka suku yag ke berapa dari barisa tersebut? 6. Dari barisa yag dituliska rumus suku ke- berikut ii, tetuka u, u 0, da u. a. u = 4 + 3d. u = + b. u = 5 3e. u = c. u = 3 f. u = ( ) BAB III ~ Barisa da Deret 03

6 7. Diketahui barisa dega rumus suku ke- adalah u = - 6. a. Tuliska empat suku pertamaya. b. Suku ke berapakah sama dega ol? c. Tetuka S, S 3, da S 5. (Igat: S = u + u + u u ) 8. Diketahui barisa dega rumus suku ke- adalah u = - 3. a. Tuliska empat suku pertamaya. b. Mugkika barisa tersebut mempuyai suku ol? c. Tetuka S, S 3, da S Dega megguaka paket komputer pegolah agka MS Excel, tetuka suku ke- sampai suku ke-00 dari barisa yag suku ke- diyataka dalam betuk: u = + Kemudia tetuka juga jumlah 00 suku pertama. 0. Guaka komputer pegolah agka MS Excel utuk membuat data barisa :, da kemudia tetuka bilaga asli k sehigga setiap k, berlaku x 0, Barisa Aritmetika Di dalam subbab sebelumya telah dijelaska pegertia barisa da deret, sekarag kita aka membahas barisa yag mempuyai sifat-sifat khusus, yag aka disebut dega barisa aritmetika. Defiisi 3.4 Suatu barisa u, u, u 3,..., u,... disebut barisa aritmetika, jika dipeuhi u u = u 3 u = u 4 u 3 =... = u u - =.... Selisih yag tetap ii disebut beda (b) dari barisa arimatika, berarti b = u u -. Dega kata lai, barisa aritmetika adalah barisa bilaga yag mempuyai selisih atau beda atara suku-suku yag beruruta tetap. Barisa aritmetika serig juga disebut barisa hitug. Berikut ii diberika beberapa cotoh barisa aritmetika da barisa yag buka barisa aritmetika. Cotoh 3.. Barisa, 4, 6, 8,... merupaka barisa aritmetika karea u u = u 3 u = u 4 u 3 =... dega beda b = u u =. Barisa 5, 0, 5, 0,... juga merupaka barisa aritmetika dega beda, b = 0 5 = 5. Tetapi, barisa, 0,, 0,... buka merupaka barisa aritmetika karea u u = tidak sama dega u 3 u =. Demika juga barisa,, 4, 7,,... buka barisa aritmetika karea u u = tidak sama dega u 3 u =. 04 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

7 Berdasarka defiisi di atas, jika u = a, maka betuk umum dari suatu barisa aritmetika dapat ditulis sebagai: u = a u = a + b u 3 = a + b u 4 = a + 3b M u = a + ( )b dega suku ke- adalah u = a + (-)b. Karea a = u, maka betuk umum suku ke- adalah: u = u + ( )b Apabila bayak sukuya berhigga, maka kita dapat meetuka sifat-sifat yag lebih khusus, yaitu jika bayak sukuya gajil, maka bayak sukuya dapat diyataka dega ( + ), utuk suatu bilaga asli. Akibatya, kita dapat meetuka suku tegahya, yaitu: u t = u + = u + b = (u + u + ) Sedagka jika bayak sukuya geap, maka bayak sukuya dapat diyataka dega, utuk suatu bilaga asli, da utuk kasus ii diperoleh hubuga: u + u = u + u = = u + u + Berikut ii diberika beberapa cotoh meetuka suku ke- barisa aritmetika jika diketahui suku pertama da bedaya. Cotoh 3.. Tetuka suku ke-5 dari barisa aritmetika: 3,, 5, 9,.... Peyelesaia: Dari barisa aritmetika yag diberika diketahui bahwa u = a = 3 da b = ( 3) = 4. Suku ke-5 dapat ditetuka sebagai berikut. u 50 = u + (5 ) 4 = = 97 Cotoh 3..3 Diberika suatu barisa aritmetika: 6, 0, 4,.... Suku yag ke berapakah merupaka bilaga ol? Peyelesaia: Dari barisa yag diberika diketahui u = 6 da b = 0 6 = 6. Jika diketahui u = 0, maka diperoleh: u = 0 u + ( )b = ( )( 6) = = 0 6 = 3 = 3 6 = Jadi, suku ke- adalah bilaga ol atau u = 0. BAB III ~ Barisa da Deret 05

8 Cotoh 3..4 Dari suatu barisa aritmetika yag bayak sukuya gajil diketahui bahwa u 5 = 8, u t = 4, da suku yag terakhir adalah 6. Tetuka bayak suku da barisa tersebut. Peyelesaia: Karea bayak sukuya gajil, maka bayak sukuya dapat diyataka dega ( + ), sehigga suku terakhirya dapat dituliska dega u + = a + b da suku tegahya dapat dituliska: u t = a + b. Akibatya, diperoleh hubuga-hubuga: a + b = 6 a + b = 8 _ a = Diperoleh a =. Selajutya dari u 5 = 8, diperoleh a + 4b = 8 da akibatya 4b = 8 atau b = 4. Kemudia dari a + b = 4, diperoleh + 4 = 4 atau = 3. Jadi, bayak suku dari barisa tersebut adalah 3 + = 7 da barisa tersebut adalah:, 6, 0, 4, 8,, 6 Cotoh 3..5 Diketahui bahwa tiga bilaga membetuk tiga suku pertama dari suatu barisa aritmetika. Jumlah ketiga bilaga tersebut adalah 4 da hasil kaliya 440. Tetuka bilaga-bilaga itu. Peyelesaia: Misalka bilaga-bilaga itu adalah p b, p, p + b. Dari soal, diketahui: (i) (p b) + p + (p + b) = 4 3p = 4 p = 8 (ii) (p b) (p) (p + b) = 440 p(p b ) = (64 b ) = b = 55 b 9 = 0 (b 3)(b + 3) = 0 b = 3 atau b = 3 Utuk p = 8 da b = 3, diperoleh barisa aritmetika 5, 8,,.... Utuk p = 8 da b = 3, diperoleh barisa aritmetika, 8, 5,.... Tugas Kelompok Pada Cotoh 3..5, kita juga dapat memisalka tiga bilagaya adalah a, a + b, a + b, tetapi perhitugaya tidak aka sederhaa jika kita memisalka p b, p, p + b (Silaka diskusi dega tema Ada). Ada dapat juga memisalka tiga bilaga tersebut adalah x, y, da z, tetapi pemisala ii aka meghasilka perhituga yag lebih rumit lagi. Dari kasus ii dapat dimegerti bahwa tiga bilaga, s, t, da u, membetuk barisa aritmetika jika berlaku t = s + u. Dega cara yag sama, empat bilaga, s, t, u, da v, membetuk barisa aritmetika jika berlaku s + u = t + v (Buktika dalam kelompok diskusi Ada). 06 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

9 Latiha 3.. Selidikilah apakah barisa berikut ii merupaka barisa aritmetika atau buka (berika pejelasa). a., 3, 5, 7,... d., 0,, 0,... b. 4, 7, 0, 3,... e., 4, 9, 6,... c. 50, 40, 30, 0,... f. 5,, 3, 7,.... Tetuka beda dari barisa aritmetika berikut ii. a. 4, 9, 4, 9,... d. 75, 00, 5, 50,... b. 8, 5,,,... e. 3,,,0, K 4 4 c. 5,, 3, 7,... f. a, a, 3a, 4a, Tuliska rumus umum suku ke- dari barisa aritmetika yag disajika pada o.. 4. Tetuka suku ke-0 da suku ke-5 dari masig-masig barisa aritmetika berikut. a. 7, 0, 3, 6,... d. 3 0,,,, 4 4 K b. 5, 3,,,... e. 3a, 5a, 7a, 9a,... c. 5, 0, 5, 0,... f. p + q, p + 3q, p + 5q, p + 7q, Dari suatu barisa aritmetika diketahui bahwa suku ke-8 adalah 5 da suku ke- adalah 45. Tetuka suku pertama da beda dari barisa tersebut, kemudia tetuka juga barisaya. 6. Dari suatu barisa aritmetika diketahui bahwa suku ke-5 adalah 3 da suku ke-0 adalah. Tetuka suku ke-0 dari barisa aritmetika tersebut. 7. Diketahui bahwa tiga bilaga membetuk tiga suku pertama dari suatu barisa aritmetika. Jumlah ketiga bilaga tersebut adalah 60 da hasil kaliya Tetuka bilaga-bilaga itu. 8. Suku ke-5 dari suatu barisa aritmetika adalah 6, jumlah tiga suku pertamaya adalah. Tetuka beda da suku ke-0 dari barisa tersebut. 9. Tetuka x apabila bilaga-bilaga berikut membetuk suatu barisa aritmetika. a. x, x +, da 5x c. x +, 3x, da 5x x + 3 b. 3x, 3x +, da 4x 3 0. Dalam sebuah barisa aritmetika diketahui u = 3, u = 87, da u 6 + u 7 = 39. Tetuka beda (b),, da u Deret Aritmetika Di dalam subbab sebelumya telah dijelaska beda atara barisa da deret, juga telah dibahas barisa aritmetika. Pada subbab ii aka dibahas deret aritmetika atau deret hitug dega bayak suku higga. Dalam hal ii aka dihitug jumlah ke- dari suatu deret aritmetika, sehigga kita haya meghitug jumlah suku pertama, S. BAB III ~ Barisa da Deret 07

10 Defiisi 3.5 Jika u, u, u 3,..., u,... merupaka barisa aritmetika, maka betuk: u + u + u u +... disebut deret aritmetika. Jika jumlah ke- dari deret tersebut diotasika dega S, maka S = u + u + u u. Jika suku pertama, u = a da beda dari deret aritmetika tersebut b = u u, maka S dapat dituliska sebagai: S = a + a + b + a + b a + ( )b + a + ( )b atau S = a +( )b + a + ( )b + a + ( 3)b a + b + a + S = a + (-)b + a + (-)b + a + (-)b a + (-)b + a + ( )b = {a + ( )b} Jadi, a a b u u S = { + + ( ) } atau S = { + } Dega cara seperti di atas, juga diperoleh: S = u + u + u u - + u S - = u + u + u u - Jadi, dapat disimpulka bahwa S S - = u Cotoh 3.3. Tetuka suku ke-6 da jumlah ke-6 dari deret aritmetika berikut Peyelesaia: Dari deret aritmetika tersebut diketahui bahwa a = 5, b = 8 5 = 3, da = 6, sehigga diperoleh u 6 = a + (6-)b = 5 + 5(3) = = 80. Akibatya, 6 S 6 = { 6} u + u = 3(5 + 80) = 3(85) =.05 Cotoh 3.3. Tetuka jumlah semua bilaga bulat di atara 50 da 500 yag habis dibagi 6. Peyelesaia: Bilaga-bilaga tersebut adalah 54, 60, 66, 7,..., 49, 498. Jadi, yag ditayaka adalah S = Dari deret ii, diperoleh suku pertamaya a = 54, u = 498, da beda b = = 6. Dari hubuga u = a + ( )b, diperoleh 498 = 54 + ( )6 atau 6 = 450, sehigga bayakya suku adalah = 75. Jadi, S 75 = 75 ( ) = 75(76) = Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

11 Cotoh Dalam sebuah deret aritmetika diketahui bahwa suku ke-3 adalah, jumlah suku ke-5 da ke-7 adalah 30. Tetuka jumlah 0 suku yag pertama. Peyelesaia: Dari yag diketahui, diperoleh hubuga: u 3 = a + b = a + 4b = 4 u 5 + u 7 = 30 (a + 4b) + (a + 6b) = 30 a + 0b = 30 6b = atau b = Selajutya, diperoleh a + b = atau a = + 4 = 5. Jumlah sepuluh suku yag pertama adalah: S 0 = (0){ (0 )( )} = 5(50 8) = 5(3) = 60 Cotoh a. Carilah jumlah bilaga asli atara da 00 yag habis dibagi 9. b. Carilah juga jumlah bilaga asli atara da 00 yag tidak habis dibagi 9. Peyelesaia: a. Bilaga-bilaga asli atara da 00 yag habis dibagi 9 adalah: 9, 8, 7,..., 99 Bilaga-bilaga itu membetuk barisa aritmetika da apabila dijumlahka aka membetuk deret aritmetika. Dalam hal ii, diketahui a = 9, b = 9, da u = 99, dega u suku terakhir. Lagkah pertama harus dicari lebih dahulu bayakya bilaga atau. Perhatika bahwa: u = 99 a + ( )b = ( )9 = 99 9 = 99 = Jadi, bayakya bilaga atara da 00 yag habis dibagi 9 adalah. Akibatya dega megguaka rumus jumlah suku pertama, diperoleh: S = { } = ()(54) = 594 Jadi, diperoleh = 594. b. Jumlah bilaga-bilaga asli atara da 00 yag tidak habis dibagi 9 adalah: S = ( ) ( ) Kita telah meghitug di bagia (a) bahwa: = 594 Sekarag misalka = p. Perhatika bahwa jumlaha tersebut merupaka deret aritmetika dega suku pertama, beda, da suku terakhir 99. Jumlah dari deret tersebut adalah: p = (a + u ) = 98 ( + 99) = (49) (0) = Jadi, jumlah bilaga-bilaga asli atara da 00 yag tidak habis dibagi 9 adalah: S = ( ) ( ) = = BAB III ~ Barisa da Deret 09

12 Aalisis. Suku ke- dari setiap deret aritmetika merupaka fugsi liear dari da jumlah ke- dari setiap deret aritmetika merupaka fugsi kuadrat dari. Hal ii dapat ditujukka sebagai berikut. u = a + ( )b = b + (a b) merupaka fugsi liear dari da S = {u + u } = {a + b + (a b)} = b + (a b) merupaka fugsi kuadrat dari. Apabila dalam sebuah barisa suku ke- merupaka fugsi liear dari, maka barisa itu merupaka barisa aritmetika. Bukti: Karea suku ke- merupaka fugsi liear dari, maka u dapat diyataka dalam betuk: u = p + q da u = p( ) + q. Akibatya, u u = p. Jadi, selisih dua suku yag beruruta tak bergatug pada. Ii berarti, deretya merupaka deret aritmetika dega beda, b = p. 3. Apabila jumlah suku ke- merupaka fugsi kuadrat dari yag tidak mempuyai suku kostata, maka deret ii merupaka deret aritmetika. Bukti: Karea S merupaka fugsi kuadrat dari yag tidak mempuyai suku kostata, maka S dapat diyataka dalam betuk: S = p + q da S = p( ) + q( ) = p( + ) + q q Akibatya, S S = p + q p + p p q + q = p + (q p) Padahal S S - = u. Jadi, u merupaka fugsi liear dari, da berdasarka catata sebelumya dapat disimpulka bahwa deretya merupaka deret aritmetika. Latiha 3.3. Maakah yag merupaka deret aritmetika dari deret berikut ii? a d b e c f. + ( ) + + ( ) Tetuka jumlah setiap deret aritmetika berikut ii. a d. 7, 4,,,... sampai 0 suku b e. 8, 3, 8, 3,... sampai suku c. 9, 6, 3, 0, 3,..., 30 f ,... sampai 30 suku 0 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

13 3. Tetuka ilai, jika diketahui: a = 0 c. + ( ) + + ( ) ( ) = 0 b = 0 d = Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku pertamaya adalah 6, bedaya 4, da jumlahya 60. a. Tetuka bayakya suku dari deret aritmetika tersebut. b. Tetuka suku terakhirya. c. Tetuka suku ke a. Buatlah daftar bilaga-bilaga kelipata 3 atara 00 da 500. b. Jika bilaga-bilaga tersebut dijumlahka aka membetuk deret jeis apa? c. Tetuka suku pertama deret tersebut. d. Tetuka beda deret tersebut. e. Tetuka suku terakhir deret tersebut. f. Tetuka bayakya suku deret tersebut. g. Tetuka jumlah bilaga-bilaga tersebut. 6. Carilah jumlah dari: a. bilaga asli atara 00 da.000 yag habis dibagi 8 b. bilaga asli atara 00 da.000 yag tidak habis dibagi 8 c. bilaga asli atara 00 da.000 yag geap da habis dibagi 5 7. Dari sebuah deret aritmetika diketahui S = +. Hituglah: a. suku pertama dari deret tersebut b. beda dari deret tersebut c. suku ke- dari deret tersebut d. suku ke-0 dari deret tersebut 8. Seorag pegawai dega gaji permulaa Rp ,00 per bula da setiap bula medapat keaika gaji sebesar Rp5.000,00 selama satu tahu pertama. Tuliska suatu deret utuk meujukka jumlah gaji dalam satu tahu pertama tersebut, da kemudia hituglah jumlah deret tersebut. 9. Suatu perusahaa memproduksi.000 satua barag pada tahu pertama. Setiap tahu perusahaa meaikka produksiya sebesar 00 satua barag. Hituglah besarya produksi pada tahu ke-0, da kemudia tetuka bayakya hasil produksi selama 0 tahu tersebut. 0. Suatu perusahaa televisi memproduksi uit televisi pada tahu pertama. Perusahaa tersebut setiap tahu megalami peurua produksi sebesar 500 uit. Kapa perusahaa tersebut tidak memproduksi lagi? 3.4 Barisa Geometri Berbeda dega barisa aritmetika yag mempuyai beda atau selisih yag tetap, berikut ii aka disajika barisa geometri. Defiisi 3.4. Barisa geometri adalah barisa bilaga yag atara dua suku beruruta mempuyai pembadig (rasio) tetap. Rasio dilambagka dega r. BAB III ~ Barisa da Deret

14 Jika barisa u, u, u 3,..., u,... merupaka barisa geometri, maka berlaku: u u3 u4 u = = = L= = L = kostata u u u3 u Kostata ii yag disebut pembadig (rasio) dari deret geometri tersebut, yag selajutya diotasika dega r. Jika suku pertama, u dari deret geometri diyataka dega a da rasio dega r, maka diperoleh: u = a = ar 0 u = r u u = r a = ar u 3 = r u u 3 = r ar = ar u 4 = r u 3 u 4 = r ar = ar 3 da seterusya. Jadi, betuk baku barisa geometri adalah: a, ar, ar, ar 3,, ar -,... Betuk baku suku ke- dari barisa geometri adalah: dega: u = suku ke- r = rasio a = suku pertama u = ar - Cotoh 3.4. Diberika barisa geometri: 4, 8, 6,.... Tetuka rasio (r) da suku ke-8 (u 8 ). Peyelesaia: u Rasio (r) = u =, sedagka suku ke-8 (u ) = 4 8 ()7 = 4(8) = 5. Cotoh 3.4. Diketahui bahwa suku ke- dari suatu barisa geometri adalah u = 5 -. Tetuka rasio dari barisa geometri ii, da kemudia tetuka suku ke-7. Peyelesaia: u Karea u = 5, maka u = 5. Akibatya, rasio (r) = =. u Suku pertama dari barisa ii adalah a = u = 5 = 5 = 5, sedagka suku ke-7 dari barisa geometri ii adalah: u 7 = a r 7 = 5 6 =5(64) = 30 Cotoh Dari suatu barisa geometri diketahui bahwa suku keempatya adalah pertamaya adalah 4. Tetuka rasio da barisa tersebut. Peyelesaia: da suku Diketahui u = a = 4 da u 4 =. Akibatya, ar3 = atau 4r3 =. Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

15 Jadi, r 3 = 8 atau r =. Barisa geometri yag ditayaka adalah 4,,,,.... Cotoh Tiga buah bilaga merupaka tiga suku pertama dari suatu barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga tersebut adalah 8 da hasil kali tiga bilaga tersebut adalah 5. Tetuka tiga bilaga tersebut. Peyelesaia: Misalka bilaga-bilaga tersebut adalah: a, a, ar r Dari yag diketahui, diperoleh:. a r, a, ar = 5 a3 = 5 a 3 = 8 3 a = 8. a r + a + ar = r = 8 r 8 + 8r + 8r = 8r 8r 0r + 8 = 0 r 5r + = 0 (r )(r ) = 0 r = atau r = Utuk a = 8 da r =, diperoleh tiga bilaga tersebut adalah: 6, 8, 4 Utuk a = 8 da r =, diperoleh tiga bilaga tersebut adalah: 4, 8, 6 Catata: Perhatika bahwa dalam Cotoh 3.4.4, kita tidak megambil pemisala a, ar, ar. Siswa yag peasara tetag hal ii dapat mecoba dega pemisala ii, tetu aka diperoleh perhituga yag tidak sesederhaa jika kita memisalka a, a, ar r Dega kasus ii dapat dimegerti bahwa tiga bilaga, a, b, da c, membetuk barisa geometri jika berlaku b = ac (Badigka dega a = a r ar). BAB III ~ Barisa da Deret 3

16 Cotoh Tetuka ilai k agar bilaga k 3, k, da k + membetuk tiga suku pertama dari barisa geometri. Peyelesaia: Bilaga k 3, k, da k + membetuk barisa geometri, jika: (k ) = (k 3)(k + ) k k + = k 5k 3 k 3k 4 = 0 (k + )(k 4) = 0 k = atau k = 4 Utuk k =, diperoleh barisa geometri: 4,,,.... Utuk k = 4, diperoleh barisa geometri:, 3, 9,.... Cotoh Sebuah perusahaa pada tahu pertama memproduksi.000 uit barag. Setiap tahu perusahaa tersebut meaikka produksiya sebesar 5%. Berapakah bayakya produksi perusahaa tersebut pada tahu ke-5? Peyelesaia: Produksi tahu pertama =.000 uit. Produksi tahu kedua adalah ( %.000) = Produksi tahu ketiga adalah: % = Produksi tahu keempat adalah: % = = Produksi tahu kelima adalah: % = = = Bayakya produksi perusahaa tersebut membetuk suatu barisa geometri sebagai berikut..000, , , , , Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

17 Latiha 3.4. Tetuka maa yag merupaka barisa geometri dari barisa berikut. a., 4, 8, 6,... d.,, 4, 8,... b., 3, 5, 7,... e.,,,,... c..000, 00, 0,,... f.,, 4, 4,.... Tetuka rasio da rumus suku ke- dari barisa geometri berikut ii. a. 8, 64, 3, 6,... d. 3, 6,, 4,... b.,,,,... e. 0, 00,.000, 0.000,... c.,,, 4,... f., 3, 9, 7, Tetuka suku pertama, rasio, da suku ke-0 dari barisa geometri yag disajika dalam betuk rumus suku ke- berikut ii. a. u = 3 d. u = 5 b. u = 5 e. u = 0 c. u = ( ) f. u = 4. Tiga buah bilaga merupaka tiga suku pertama dari suatu barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga itu adalah 63 da hasil kaliya adalah.78. Tetuka bilaga-bilaga tersebut. 5. Tetuka ilai x agar tiga bilaga, x + 4, 3x + 3, da 7x +, merupaka tiga suku pertama dari suatu barisa geometri, kemudia tetuka suku ke-0 dari barisa tersebut. 6. Diketahui bahwa bayakya peduduk Idoesia pada tahu 000 adalah 0 juta. Setiap tahu peduduk Idoesia bertambah 3%. Berapakah bayakya peduduk Idoesia pada tahu 00? 7. Sebuah tabuga sebesar Rp ,00 medapatka buga 0% setiap tahu. Berapakah besarya tabuga tersebut setelah 0 tahu? 8. Sebuah perusahaa pada tahu pertama memproduksi sebayak.000 uit barag. Setiap tahu perusahaa tersebut megalami peurua produksi sebesar 0%. Pada tahu ke berapakah perusahaa tersebut haya memproduksi kurag dari 00 uit barag? 3.5 Deret Geometri Seperti halya deret aritmetika diperoleh dari pejumlaha bilaga-bilaga di dalam barisa aritmetika, defiisi utuk deret geometri juga serupa. Defiisi 3.5. Jika u, u, u 3,..., u,... merupaka barisa geometri, maka betuk jumlaha: u + u + u u +... disebut deret geometri. BAB III ~ Barisa da Deret 5

18 Karea betuk baku barisa geometri diyataka dalam betuk: a, ar, ar, ar 3,..., ar -,..., maka betuk baku utuk deret geometri diyataka sebagai: a + ar + ar + ar ar +... Jika jumlah buah suku pertama deret geometri diyataka dega S, maka rumus utuk S adalah: a( r ) S =, r da r < r atau ar ( ) S =, r da r > r dega: S : jumlah buah suku pertama a : suku pertama r : rasio : omor suku Rumus jumlah buah suku pertama tersebut dapat dituruka dari perhituga berikut. S = a + ar + ar + ar ar - + ar - rs = ar + ar + ar ar - + ar - + ar S rs = a ar (-r)s = a( r ) Jadi, a( r ) S =, r r a( r ) Apabila pembilag da peyebut dari S =, r dikalika dega, diperoleh: r ar ( ) S =, r r Cotoh 3.5. Tetuka S 0 dari deret geometri: 3, 6,, 4,.... Peyelesaia: Dari yag diketahui, diperoleh bahwa a = 3 da rasio r =. Jumlah 0 suku pertama dari deret ii adalah: 0 3( ) S 0 = = 3(.04 ) = Cotoh 3.5. Tiga buah bilaga merupaka barisa geometri, yag jumlahya sama dega 65. Jika suku tegahya sama dega 5, tetuka bilaga-bilaga tersebut. Peyelesaia: Misalka bilaga-bilaga tersebut adalah a, ar, ar. Diketahui bahwa ar = 5 da a + ar + ar = 65, akibatya a + ar = 50 da a = 5 5. Selajutya, r r + 5r = 50 atau 3 + 3r = 0. r 6 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

19 Jadi, diperoleh persamaa: 3r 0r + 3 = 0 atau (3r )(r 3) = 0. Ii berarti, r = 3 r atau r = 3. Utuk r = 3, diperoleh barisa geometri: 45, 5, 5. r Utuk r = 3, diperoleh barisa geometri: 5, 5, 45. Cotoh Jumlah suku dari suatu deret adalah S = 5. a. Tujukka bahwa deret tersebut merupaka deret geometri. b. Tetuka suku pertama, rasio, da suku ke-5. Peyelesaia: a. Dari rumus S, diperoleh bahwa: S = 5 da S = 5 Dari hubuga u = S S, diperoleh: u = (5 ) (5 ) = 5 5 = 5 (5 ) = 4 5 Akibatya, Karea u u u u 4 5 = 4 5 = 5 merupaka bilaga yag tetap, maka deret tersebut merupaka deret geometri. b. Suku pertama, u = = 4 = 4. u Rasio, r = = 5. u Suku ke-5, u 5 = ar 5 = = 4 65 =.500. Cotoh Tiap-tiap awal bula, Ai meabug uag di bak sebesar Rp ,00. Bak tersebut memberika buga sebesar % setiap bula. Pada akhir bula ke-0, semua uag Ai diambil. Berapakah uag Ai tersebut? Peyelesaia: Uag Ai pada akhir bula pertama adalah: S = % = ( + 0,0) = (,0) Uag Ai pada akhir bula kedua adalah: S = (,0)+ % (,0) = (,0) ( + 0,0) = (,0 +,0 ) Dega cara serupa diperoleh bahwa uag Ai pada akhir bula kesepuluh adalah: S 0 = (,0 +,0 +,0 3 +, ,0 0 ) Perhatika bahwa jumlaha:,0 +,0 +, ,0 0 merupaka deret geometri dega suku pertama, a = da rasio, r =,0. BAB III ~ Barisa da Deret 7

20 Akibatya, 0,0(,0 ) S 0 = ,0 = ,68754 (lihat daftar buga tabel III) =.6.87,54 Jadi, jumlah uag Ai pada akhir bula ke-0 adalah Rp.6.87,54. Tugas Madiri Dega megguaka paket pegolah agka Microsoft Excel, buatlah tabel kodisi keuaga Ai, pada Cotoh 3.5.4, setiap awal bula da akhir bulaya. Latiha 3.5. Tetuka maa yag merupaka deret geometri dari deret berikut. a d. + ( ) + + ( ) +... b e c f Tetuka rasio da suku ke-0 dari deret geometri berikut ii. a d b e.,0 +,0 +, c f Suku pertama da suku ketiga dari suatu deret geometri adalah 8 da 9. Tetuka suku ke-8 da jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut. 4. Suku ke-4 da suku ke-9 dari suatu deret geometri adalah 8 da 56. Tetuka suku pertama, rasio, suku ke-, da jumlah suku pertama dari deret tersebut. 5. Dari suatu deret geometri diketahui bahwa jumlah dua suku pertama adalah da jumlah empat suku pertama adalah 93. Tetuka suku ke-8 da jumlah 8 suku pertama. 6. Diketahui bahwa jumlah suku pertama dari suatu deret adalah S =. a. Buktika bahwa deret tersebut merupaka deret geometri. b. Berapakah suku pertama, rasio, da suku ke-8 deret tersebut. 7. Tiap-tiap awal bula, Hasa meabug uag di bak sebesar Rp00.000,00. Bak tersebut memberika buga sebesar 3% setiap bula. Pada akhir bula ke-8, semua uag Hasa diambil. Berapakah jumlah uag Hasa tersebut? 8. Sebuah perusahaa pada tahu pertama memproduksi sebayak.000 uit barag. Setiap tahu perusahaa tersebut megalami peurua produksi sebesar 0%. Berapakah total produksi perusahaa tersebut pada 0 tahu pertama? 8 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

21 3.6 Deret Geometri Koverge Pertama-tama kita perhatika barisa-barisa geometri berikut ii..,, 4, 8, ,,,,.... 3, 9, 7, 8, , 0,,, Barisa () mempuyai rasio, sehigga suku-suku dari barisa tersebut semaki membesar. - Barisa () mempuyai rasio ( 3) (ilai mutlak dari rasio adalah 3), sehigga ilai mutlak dari suku-suku barisa tersebut juga semaki membesar. - Barisa (3) mempuyai rasio, sehigga suku-suku dari barisa tersebut semaki kecil. - Barisa (4) mempuyai rasio, ilai mutlak dari rasio adalah 0 ilai mutlak dari suku-suku barisa tersebut semaki kecil. 0, sehigga Barisa () da barisa () yag ilai mutlak suku-sukuya semaki membesar disebut barisa diverge, sedagka barisa (3) da (4) yag ilai mutlak suku-sukuya semaki kecil disebut barisa koverge. Dari cotoh-cotoh seperti di atas, dapat disimpulka bahwa agar barisa geometri merupaka barisa koverge, maka ilai mutlak dari rasioya harus lebih kecil. Dari barisa koverge dapat dibetuk deret koverge. Pada deret koverge, jumlah semua suku tidak aka melebihi suatu harga tertetu, walaupu bayakya suku tak higga. Sekarag kita perhatika deret geometri berikut L L Deret ii mempuyai suku pertama, a = da rasio, r =. Jumlah suku pertama dari deret ii adalah: S = = Diketahui bahwa =, = 3 4, = 8,... ilaiya semaki kecil jika diambil semaki besar. Selisih atara dega 0 dapat diambil sekecil-kecilya. Deret geometri yag demikia disebut deret koverge. Dari keteraga di atas, dapat disimpulka bahwa suatu deret geometri tak higga dikataka koverge, jika r < da r 0. Jumlah deret geometri tak higga yag koverge ii adalah: S = a r BAB III ~ Barisa da Deret 9

22 Cotoh 3.6. Hituglah jumlah dari deret geometri yag koverge berikut. a b L 3 9 Peyelesaia: a. Dari barisa yag diberika diketahui a = 6 da r = <. Jadi, jumlah dari deret geometri tak higga tersebut adalah: S = a r 6 = = 3 b. Dari barisa yag diberika diketahui bahwa a = 3 da r =. 3 Jadi, jumlah dari deret geometri tak higga tersebut adalah: a 3 9 S = = = r 5 3 Cotoh 3.6. Suku pertama dari suatu deret geometri tak higga adalah 3 da jumlahya sampai tak berhigga suku adalah 6. Carilah rasio, da kemudia tujukka deret geometri tak higga tersebut. Peyelesaia: Diketahui S = a r = 6 dega a = 3, sehigga diperoleh hubuga: 3 r = 6 6 6r = 3 6r = 3 r = Jadi, rasio dari deret geometri tak higga tersebut adalah, sedagka deret yag ditayaka adalah: Cotoh Rumus suku ke- dari deret geometri adalah u = 3. Tetuka terkecil sedemikia higga S - S < 0,00. 0 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

23 Peyelesaia: Dari soal tersebut diketahui a = u = da u = 3. Akibatya, rasioya adalah r = 3. Selajutya, juga diperoleh: da S = a r = 3 = 3 Akhirya, da S = a( r ) 3 = r 3 = 3 3 S S = = 3 S S < 0, < < > 500 > 5(karea 3 5 = 43 da 3 6 = 79) > 6 Jadi, terkecil agar S - S < 0,00 adalah Latiha 3.6. Tujukka maa dari deret geometri tak higga berikut yag koverge da maa yag diverge. a d b e c f Hituglah S dari deret geometri tak higga berikut (bila ada) da berika pejelasa jika tidak ada. a d b.,0 + (,0) + (,0) 3 + (,0) e c f BAB III ~ Barisa da Deret

24 3. Rumus suku ke- dari suatu deret geometri adalah u = 5 +. Tetuka suku pertama, rasio, da jumlah tak higga suku dari deret geometri tersebut. 4. Suatu deret geometri tak higga diketahui mempuyai rasio, r = 3 da jumlah tak 4 berhigga sukuya adalah 6. Tetuka suku pertama da deret geometri tersebut. 5. Suatu deret geometri tak higga mempuyai suku pertama 8 da suku ke-5 adalah. Tetuka rasio da jumlah tak higga dari deret geometri tersebut Rumus suku ke- dari deret geometri adalah u = 4. Tetuka terkecil sedemikia higga S - S < 0, Sebuah bola dijatuhka dari ketiggia 3 m. Setelah mematul di taah, bola tersebut mecapai ketiggia 3 kali ketiggia sebelumya, begitu seterusya. Berapa meterkah 4 jarak yag ditempuh bola tersebut sampai berheti? 8. Di dalam sebuah persegi dega sisi 8 cm dibuat persegi kedua dega meghubugka titik-titik tegah sisi persegi pertama. Kemudia, dibuat persegi ketiga dega meghubugka titik-titik tegah sisi persegi kedua, begitu seterusya. Berapakah jumlah semua luas persegi yag dibuat? 3.7 Notasi Sigma Di dalam operasi pejumlaha serig dijumpai pejumlaha dari beberapa bilaga, sebagai cotoh jika kita igi megetahui jumlah dari 0 bilaga asli yag pertama, maka kita tuliska dega: Jika bilaga yag dijumlahka tidak terlalu bayak, cara peulisa di atas tidak aka meimbulka masalah, tetapi jika yag dijumlahka terlalu bayak, misal 00 bilaga, maka peulisa di atas tidak efisie da tidak praktis. Utuk kasus ii biasaya peulisaya disigkat dega meyisipka tada titik tiga.... Sebagai cotoh, jika kita aka meuliska jumlaha 00 bilaga asli yag pertama, maka kita tuliska dega: Dega cara yag sama peulisa 0 bilaga asli gajil pertama ditulis dega: dapat disigkat dega: Apabila yag dijumlahka buah bilaga asli geap pertama, maka peulisa sigkatya adalah: ( ) + Cara lai utuk meuliska suatu pejumlaha secara sigkat, selai dega meyisipka tada titik tiga... adalah dega megguaka tada sigma atau otasi sigma. Tada sigma dituliska dega lambag. Lambag ii merupaka huruf besar Yuai dari perkataa asig Sum yag artiya jumlah. Tada sigma bayak dijumpai pada pelajara-pelajara lai, seperti pada ekoomi da fisika. Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

25 Ketetua umum pegguaa otasi sigma didasarka pada defiisi berikut. ai = a + a + a a yag dibaca dega jumlah a i utuk i = sampai i =. dega: i adalah ideks pejumlaha adalah ideks pertama adalah ideks terakhir, dega adalah bilaga bulat positif Catata:. Ideks pertama dalam otasi sigma tidak harus da ideks terakhir boleh tak higga (lihat pada deret geometri tak higga).. Sebelum meuliska pejumlaha ke dalam otasi sigma perlu ditetuka lebih dahulu rumus umum suku ke- da ideks pertama serta ideks terakhir. Jika ilai a i di dalam otasi sama, utuk setiap i =,,...,, kataka a, maka: ai = a + a + a a = a Dalam hal ii, kita juga serig megguaka otasi sigma dega tidak megguaka ideks, sebagai cotoh: Cotoh L+ i Nyataka ke dalam otasi sigma dari beberapa pejumlaha berikut. a. u + u + u u 00 c. a + a + a 3 + a 4 + a a 5 b d.,0 +,0 +, ,0 0 Peyelesaia: a. Suku ke- dari pejumlaha tersebut adalah u, ideks pertama, da ideks terakhir adalah 00. Jadi, u + u + u u 00 = 00 ui b. Suku ke- dari pejumlaha tersebut adalah, ideks pertama, da ideks terakhir adalah 8. Jadi, = 8 c. Suku ke- dari pejumlaha tersebut adalah a, ideks pertama, da ideks terakhir adalah 5. Jadi, a + a + a 3 + a 4 + a a 5 = 5 i a BAB III ~ Barisa da Deret 3

26 d. Suku ke- dari pejumlaha tersebut adalah,0, ideks pertama, da ideks terakhir adalah 0. Jadi,,0 +,0 +, ,0 0 = Cotoh (,0) i Tuliska otasi sigma berikut ke dalam betuk pejumlaha biasa. a. 5 (5i + 3) b. Peyelesaia: 7 3 i c. 0,0 i a. b. c. 5 (5i + 3) = [5() + 3] + [5() + 3] + [5(3) + 3] + [5(4) + 3] + [5(5) + 3] 7 3 i = 0,0 i = = L+,0 3 0,0,0,0 Utuk meetuka ilai suatu pejumlaha perlu diigat kembali rumus jumlah suatu deret. Jika deretya merupaka deret aritmetika, maka rumus jumlah suku pertama adalah: S = ( a+ u ) dega a meyataka suku pertama dari deret aritmetika tersebut da u suku ke- dari deret itu. Selajutya, jika deretya merupaka deret geometri, maka rumus jumlah suku pertamaya adalah: a( r ) ar ( ) S =, r atau S r =, r r dega a meyataka suku pertama da r merupaka rasio dari deret geometri tersebut. Akhirya, jika deretya merupaka deret geometri tak higga yag koverge, maka jumlah tak higga sukuya adalah: a S = r Cotoh Tuliska otasi sigma berikut ke dalam pejumlaha biasa, da kemudia hituglah hasilya. a. b. 5 ( i + ) c. 5 (k+ ) k= d. 5 3 = k= i 4 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

27 Peyelesaia: a. b. c. d. 5 ( i + ) = = 60 5 (k+ ) k= = Jumlaha ii merupaka deret aritmetika dega suku pertama = 3, beda =, bayak suku = 5, da suku terakhir = 5, sehigga hasil jumlaha tersebut adalah: 5 S 5 = ( 35 + ) = 5 7 = = = Jumlaha ii merupaka deret geometri dega a = 3, r = 3, da = 4, sehigga hasil jumlaha tersebut adalah: k= i = L S 9 = 4 3(3 ) 3 = 380 = 0 Jumlaha ii merupaka deret geometri tak higga dega a = da r =, sehigga jumlah tak higga dari deret geometri ii adalah: Cotoh S = a r = = Hituglah: a. 0 i b. 0 i c. 0 3 i Peyelesaia: a. 0 i = 0(0 + ) = 55 b. 0 i = 0(0 + )(0 + ) 6 = 385 c. 0 3 i = 0 3 i 3 = 0(0 + ) = 3.05 = 3.04 BAB III ~ Barisa da Deret 5

28 Dega keyataa bahwa operasi pejumlaha bersifat liear, maka dapat ditujukka otasi sigma juga bersifat liear, berarti otasi sigma mempuyai sifatsifat:. kai = k ai. ( ai + bi) = ai + bi Latiha 3.7. Nyataka jumlaha berikut ke dalam otasi sigma. a d b e. c 3 + c 5 + c c 79 c f. f(x 50 ) + f(x ) + f(x 3 ) f(x 0 ). Nyataka otasi sigma berikut ke dalam pejumlaha biasa, da kemudia tetuka hasil pejumlahaya. 5 6 i a. (k ) d. ( ) 3 k= b. 6 ( + ) = e. 5 (+ 0,0) j j= c. k= 5 3 f. k= + k 6 5 k 3 k = 3. Selidiki deret-deret berikut apakah merupaka deret aritmetika, deret geometri, atau deret tak higga, kemudia tetuka jumlah dari deret tersebut. 0 0 a. (3) k d. b. c. k= 8 5 = k= 3 i = e. (k 3) k= 3 f. 0 (,03) j j= 4. Dega megguaka prisip iduksi matematika, buktika bahwa: a. i = = + ( ) b. 3 i = = + ( ) c. k a( r ) ar = a + ar + ar + L+ ar =, r k= 0 r 6 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

29 5. Hituglah: a. b. 0 ii ( 3 ) 00 (i 3) c. d. 0 ( k+ )(k+ 3 ) k= 0 3 ( i i ) 3.8 Pembuktia dega Iduksi Matematika Pada subbab ii kita aka membahas kebeara rumus utuk jumlah dari bilaga asli pertama, jumlah dari kuadrat bilaga asli pertama, da jumlah pagkat tiga bilaga asli pertama, yaitu:. i = = + ( ). i = = 3. 3 i = = ( + )(+ ) 6 + ( ) Utuk rumus-rumus yag kebearaya berlaku utuk setiap bilaga asli, kita dapat membuktika bahwa rumus-rumus ii bear dega megguaka Prisip Iduksi Matematika, yag megataka bahwa jika {P } merupaka barisa peryataa yag memeuhi kodisi: (i) P adalah peryataa bear (ii) kebeara P i megakibatka kebeara P i + maka P adalah peryataa bear utuk semua bilaga asli. Sekarag kita aka megguaka prisip iduksi matematika utuk membuktika rumus (). Utuk setiap bilaga asli, misalka P adalah peryataa: Kita perhatika bahwa: P : = merupaka peryataa yag bear. P : = ( + )( + ) 6 ( + )(+ ) 6 Sekarag diasumsika bahwa P i merupaka peryataa bear, sehigga berlaku: P i : i = ii ( + )(i+ ) 6 BAB III ~ Barisa da Deret 7

30 Dega kebeara P i, kemudia ditujukka bahwa P i + juga bear. Perhatika bahwa: i + (i + ) = ii ( + )(i+ ) + (i + ) 6 = (i + ) = (i + ) i + i+ 6i+ 6 6 i + 7i+ 6 6 ( i+ )( i+ )(i+ 3 ) = 6 Jadi, P i + juga bear. Akibatya, dega megguaka prisip iduksi matematika, maka dapat disimpulka bahwa P adalah peryataa bear utuk semua bilaga asli. Latiha 3.8. Dega megguaka prisip iduksi matematika, buktika bahwa: a = ( + ) d. + ( ) = b ( ) = e = ( ) c. + ( ) a( r ) = f. a + ar + ar ar =, r r. Dega megguaka prisip iduksi matematika, buktika bahwa: a. 3 habis dibagi 8 utuk setiap bilaga asli b. 5 habis dibagi 3 utuk setiap bilaga asli c. ( + ) ( + ) habis dibagi 6 utuk setiap bilaga asli d. ( + ) habis dibagi 4 utuk setiap bilaga asli e. 3 4 habis dibagi 80 utuk setiap bilaga asli 3. Dega megguaka prisip iduksi matematika, buktika bahwa: a. = c. = k= (k )(k+ ) + k= (3)(3) k k+ 3 + b. (5+ 3) (5k ) = k= 4. Dega megguaka prisip iduksi matematika, buktika bahwa: a b a. = a - + a - b + a -3 b ab - + b - a b b. c. + + a + b a+ b = a a - b + a - b ab - + b si α = cos α + cos 3α + cos 5α cos ( ) α. siα 8 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

31 5. Dega megguaka prisip iduksi matematika, buktika bahwa: a. utuk setiap bilaga asli b. utuk setiap bilaga asli c. 3 + utuk setiap bilaga asli. 3.9 Aplikasi Deret Aritmetika da Geometri Di dalam subbab ii aka dibahas beberapa permasalaha di dalam kehidupa sehari-hari yag model matematikaya berupa deret aritmetika atau deret geometri. Permasalaha I Seorag buruh di sebuah perusahaa meerima gaji permulaa Rp ,00 per bula. Setiap bula dia medapatka keaika gaji sebesar Rp0.000,00. Tuliska sebuah deret utuk meujukka jumlah pedapata dalam sepuluh bula pertama da jumlahka deret-deret itu? Pembahasa: Pedapata buruh tersebut merupaka barisa aritmetika dega: gaji permulaa = a = besar keaika gaji = b = sehigga deret aritmetika yag diperoleh adalah: da 0 S 0 = ( (0 ) 0.000) = 5( ) = Jadi, jumlah pedapata buruh tersebut dalam sepuluh bula pertama adalah Rp ,00. Permasalaha II Pada awal tahu 005, Tua Adi Prabowo meabug uag di bak sebesar Rp ,00. Setiap tahu Tua Adi Prabowo medapatka buga 0% dari sisa tabuga terakhir da buga tersebut selalu meambah tabuga terakhir. Berapa besarya tabuga Tua Adi Prabowo pada tahu 05? Pembahasa: Kita tidak dapat megguaka pegertia deret aritmetika ataupu deret geometri utuk meyelesaika kasus di atas. Utuk kasus yag terakhir ii aka dijelaska dalam uraia berikut Buga Tuggal da Buga Majemuk Di dalam kehidupa sehari-hari, kita serig mejumpai trasaksi pijammemijam uag, baik itu lewat bak ataupu lewat peroraga lagsug. Terdapat beberapa model atura yag diberlakuka di dalam proses pijammemijam tersebut. Sebagai cotoh, Pak Hasa memijam uag kepada Pak Ali sebesar Rp ,00. Kedua pihak telah membuat kesepakata bahwa setiap bula Pak Hasa aka memberika buga sebesar Rp00.000,00. Berapa yag harus dikembalika Pak Hasa, jika dia dapat meluasi utagya dalam 0 bula pertama? Tetu Pak Hasa harus megembalika pijama beserta bugaya sebesar Rp ,00 + Rp00.000,00 + Rp00.000,00 + Rp00.000, Rp00.000,00 (dega Rp00.000,00 sebayak 0 suku). BAB III ~ Barisa da Deret 9

32 Apabila dituliska dega otasi sigma adalah: = = = Perhituga buga semacam ii disebut perhituga buga tuggal atau buga tetap. Jadi, yag dimaksud dega buga tuggal adalah buga yag diberika setiap jagka waktu pijama tertetu yag besarya tetap. Sekarag badigka dega permasalaha berikut. Ibu Yuli meabug uag di sebuah bak sebesar Rp ,00. Setiap bula ibu Yuli medapatka buga sebesar % dari sisa tabuga terakhir da buga selalu ditambahka ke sisa tabuga terakhir. Berapa besar tabuga ibu Yuli setelah sepuluh bula pertama?. Setelah bula, tabuga tersebut aka mejadi: % = ( + %). Setelah bula, tabuga tersebut aka mejadi: ( + %) + % ( + %) = ( + %) 3. Setelah 3 bula, tabuga tersebut aka mejadi: ( + %) + % ( + %) = ( + %) 3 M M 0. Setelah 0 bula, tabuga tersebut aka mejadi: ( + %) 9 + % ( + %) 9 = ( + %) 0 Perhituga buga semacam ii disebut perhituga buga majemuk. Jadi, sebuah modal dikataka diberi buga majemuk jika setiap buga yag didapat pada setiap jagka waktu pemijama terus digabugka pada modalya utuk juga medapatka buga. a. Mecari Besar Modal Terakhir Berikut ii diberika rumus umum utuk suatu modal yag diberika buga majemuk sesudah periode pijama. Jika sebuah modal M rupiah dibugaka secara buga majemuk dega buga p% setiap tahu, maka: ) Sesudah tahu, modal tersebut aka mejadi: M + p M = M p ) Sesudah tahu, modal tersebut aka mejadi: M p p M p = p 00 p M + 00 = p M ) Sesudah 3 tahu, modal tersebut aka mejadi: M p p M p = = p p M p M Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

33 Akhirya setelah tahu, modal tersebut aka mejadi: p M = M + 00 p Jika dimisalka i =, maka besarya modal setelah tahu adalah: 00 M = M( + i) Utuk perhituga ( + i) dapat diguaka daftar logaritma atau daftar I yag terdapat dalam daftar buga. Jika diguaka daftar logaritma, maka ketelitiaya haya terbatas empat agka di belakag koma, sedagka jika diguaka daftar buga, ketelitiaya sampai delapa agka di belakag koma. Berikut ii diberika cotoh cara meghitug besar modal setelah periode pijama. Cotoh 3.9. Sebuah modal sebesar Rp ,00 dibugaka dega buga majemuk 5% utuk setiap tegah tahu. Berapakah besarya modal itu sesudah 0 tahu? Pembahasa: Dari soal tersebut diketahui bahwa: M = Rp ,00 i = 5% tiap tegah tahu = 0 (karea 0 tahu = 0 periode buga) Cara I Cara II diguaka daftar logaritma Modal sesudah 0 tahu (= 0 periode buga) adalah: M 0 = ( + 0,05) 0 log M 0 = log log (,05) log M 0 = 6 + log (0,0) (lihat daftar logaritma) log M 0 = 6 + 0,60 + 0,440 log M 0 = 7,06 M 0 = ,5 (lihat daftar atilogaritma) Jadi, besarya modal setelah 0 tahu adalah Rp ,00. diguaka daftar buga Modal sesudah 0 tahu (= 0 periode buga) adalah: M 0 = ( + 0,05) 0 = (,05) 0 = (,653977) (lihat daftar buga) = ,84 Jadi, besarya modal tersebut setelah 0 tahu adalah Rp ,84. BAB III ~ Barisa da Deret 3

34 Cotoh 3.9. Suatu modal sebesar Rp ,00 dibugaka selama 3 tahu 3 bula dega buga majemuk 5% utuk setiap setegah tahu. Berapakah ilai akhir modal tersebut? Peyelesaia: Dari soal tersebut diketahui bahwa: M = Rp ,00 i = 5% tiap tegah tahu = 6 (karea 3 tahu 3 bula = 6 periode buga) Di sii diambil 6 terlebih dahulu, kemudia dihitug dega daftar buga, sedagka yag dihitug dega buga tuggal. Modal tersebut setelah 3 tahu (6 periode buga) adalah: M 6 = ( + 0,05) 6 = (,05) 6 = (, ) (lihat daftar buga) = ,64 Modal tersebut setelah 3 tahu 3 bula ( 6 periode buga) adalah: M 6 = M 6 + 5% M 6 = ,64 + (0,5)(0,05)( ,64) = , ,39 = ,03 Jadi, modal tersebut setelah 3 tahu 3 bula adalah Rp ,03. Catata: Jika suatu modal M dibugaka dega dasar buga majemuk p% per periode buga, sedagka jagka waktuya adalah ( + r) periode buga, dega 0 < r <, maka: M + r = M + r p% M = M ( + r p%) = M( + p%) ( + r p%) Selajutya, jika p% = i, maka modal terakhir setelah dibugaka ( + r) periode buga adalah: M + r = M( + i) ( + r i) b. Mecari Besar Suku Buga Dari hubuga M = M( + i), jika tiga usur dari M, M, i, da diketahui, maka satu usur yag lai dapat dicari. Jadi, jika suatu modal awal diketahui da setelah jagka waktu tertetu diketahui ilai akhir modalya, maka besar persetase buga dapat dicari. 3 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

35 Berikut ii diberika cotoh cara meetuka besarya persetase buga. Cotoh Suatu modal yag besarya Rp ,00 dibugaka dega dasar buga majemuk. Sesudah 5 bula modal itu mejadi Rp ,00. Berapakah besar suku buga per bula? Peyelesaia: Dari soal tersebut diketahui bahwa: M = Rp ,00 = 5 M 5 = Rp ,00 Dari rumus M = M( + i), diperoleh: = ( + i) 5 ( + i) 5 = ( + i) 5 = log ( + i) = log 5 log 4 5 log ( + i) = 0,6990 0,60 5 log ( + i) = 0,0969 log ( + i) = 0,094 ( + i) =,046 i = 0,046 Jadi, besar persetase bugaya adalah 4,6% per bula. c. Mecari Lama Suatu Modal Dibugaka Jika usur M, i, da M dari M = M( + i) diketahui, maka kita dapat meetuka. Jika ilai tidak bulat, maka kita dapat megguaka rumus iterpolasi, tetapi dapat juga dihitug dega cara buga tuggal utuk sisa dari yag terdekat yag telah diketahui dari daftar buga. Cotoh Dalam berapa tahukah modal Rp ,00 mejadi Rp ,00 dega besar buga % tiap 6 bula? Peyelesaia: Dari soal tersebut diketahui bahwa: M = Rp ,00 M = Rp ,00 i = % Dari rumus M = M( + i), diperoleh: = ( + %) ( + %) = =,850 BAB III ~ Barisa da Deret 33

36 Jika dilihat dalam daftar buga aka didapat 30 < < 3. Jika = 30, maka: M 30 = ( + %) 30 = (.83658) = ,6 Padahal diketahui M = Rp ,00. Jadi, kelebiha buga Rp7.76,84 ii dihitug dega cara buga tuggal. Misalka kelebihaya x hari, maka x buga dalam x hari = ,6 = 7.76, sehigga diperoleh x = 65 (dibulatka) Jadi, modal di atas dibugaka selama 30 tegah tahu da 65 hari atau 5 tahu 65 hari. d. Mecari Nilai Tuai Dari rumus M = M( + i), jika diketahui M, i, da, maka kita dapat meetuka besarya modal awal atau ilai tuai M, yaitu: M M = ( + i ) Di sii M adalah harga modal pada permulaa perhituga, sehigga serig disebut dega ilai tuai atau harga kota. Utuk selajutya, ilai tuai M serig dituliska dega N t da besarya M sudah diketahui, sehigga ideks tidak perlu lagi. Akibatya, kita dapat meuliska M dega M saja. Jadi, rumus utuk ilai tuai serig dituliska dega: M N t = ( + i ) atau N t = M ( + i ) Dega ( ) utuk beberapa ilai i da beberapa ilai yag bulat dapat + i dilihat pada daftar buga. Berikut ii diberika suatu cotoh utuk meghitug ilai tuai suatu pijama jika besar pijama, suku buga, da lamaya pijama diketahui. Cotoh Carilah ilai tuai suatu pijama sebesar Rp ,00 yag harus dibayar setelah 5 tahu kemudia, jika besarya suku buga adalah 5% setiap tahu? Peyelesaia: Dari soal tersebut diketahui bahwa: M = Rp ,00 i = 5% = 5 sehigga ilai tuai pijama tersebut adalah: N t = M ( + i ) 34 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

37 3.9. Auitas = ,05 5 = , = ,7 Jadi, ilai tuai dari pijama sebesar Rp ,00 yag harus dibayar 5 tahu kemudia adalah Rp783.56,7. Yag dimaksud dega auitas adalah jumlah pembayara secara periodik yag tetap besarya da di dalamya sudah terhitug peluasa utag da bugaya. Hal ii berarti auitas terdiri atas dua bagia, yaitu bagia yag diguaka utuk meluasi pijama yag disebut agsura da bagia utuk membayar buga. Dalam setiap auitas, jumlah agsura da buga selalu tetap. Utuk memperjelas pegertia auitas di atas, perhatika cotoh berikut ii. Cotoh Pijama sebesar Rp ,00 aka diluasi dalam lima auitas tahua. Auitas pertama dibayar satu tahu setelah peerimaa pijama dega buga 4% per tahu. Tetuka besarya tiap auitas tersebut. Peyelesaia: Misalka besarya auitas adalah A. Jadi, pada saat: a. Auitas ke-, sisa pijama tiggal: (,04) A b. Auitas ke-, sisa pijama tiggal: { (,04) A} (,04) A = (,04) A(,04) A c. Auitas ke-3, sisa pijama tiggal: { (,04) A(,04) A} (,04) A = (,04) 3 A(,04) A(,04) A d. Auitas ke-4, sisa pijama tiggal: { (,04) 3 A(,04) A(,04) A} (,04) A = (,04) 4 A(,04) 3 A(,04) A(,04) A e. Auitas ke-5, sisa pijama tiggal: { (,04) 4 A(,04) 3 A(,04) A(,04) A} (,04) A = (,04) 5 A(,04) 4 A(,04) 3 A(,04) A(,04) A Pada saat auitas ke-5 pijama sudah luas, sehigga sisa pijama sama dega ol. Jadi, diperoleh hubuga: (,04) 5 A(,04) 4 A(,04) 3 A(,04) A(,04) A = (,04) 5 = A(,04) 4 + A(,04) 3 + A(,04) + A(,04) + A BAB III ~ Barisa da Deret 35

38 = = A ,04 (,04) (,04) (,04) (,04) 5 A = (,04) A = (,04) = A = (0,467) (lihat daftar buga) A = 4.67, Jadi, besarya auitas adalah Rp4.67,. Dega memperhatika Cotoh 3.9.6, sekarag aka dituruka rumus umum utuk mecari besarya auitas yag harus dibayar setiap periode buga. Jika pijama sebesar M aka diluasi dega kali auitas, da auitas pertama dibayar setelah satu periode buga dega suku buga yag diberlakuka adalah p% = i, maka besarya auitas adalah: A = M = ( + i) k k Cotoh Sebuah pijama sebesar Rp ,00 diluasi dalam 8 auitas, tiap satu tahu. Auitas pertama dibayar setelah tahu pijama. Tetuka besar auitas itu, jika suku buga yag berlaku 4% per tahu. Peyelesaia: Dari soal tersebut diketahui: M = Rp ,00 i = 0,04 = 8 Besarya auitas adalah: A = M k k= ( + i) = k= (,04) k = (0,485783) (lihat daftar buga) = ,66 Jadi, besarya auitas adalah Rp97.055, Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

39 Seperti telah dijelaska di awal subbab ii, dalam setiap auitas sudah termasuk di dalamya peluasa pijama da pembayara buga. Karea diberlakuka buga majemuk, maka buga dihitug berdasarka sisa pijama. Dega demikia, pembayara buga dalam tiap auitas tidak aka sama besarya, demikia juga bagia peluasa pijama. Pembayara buga dalam tiap auitas semaki lama semaki kecil da bagia peluasa pijama maki lama maki besar. Pertayaa berikutya, bagaimaa mecari rumus umum utuk peluasa? Berikut ii diberika cara mecari besarya peluasa setiap auitas. Misalka besarya pijama adalah M da besarya auitas A, serta suku buga yag berlaku i = p%. Jika peluasa pada auitas ke- = a, peluasa pada auitas ke- = a, peluasa pada auitas ke-3 = a 3, da seterusya, maka:. Pada akhir tahu ke- (pada auitas ), A = a + im da sisa pijama = M a. Pada akhir tahu ke-, A = a + i(m a) da sisa pijama = M a a 3. Pada akhir tahu ke-3, A = a 3 + i(m a a ) da sisa pijama = M a a a 3 da seterusya. Dari persamaa-persamaa di atas, diperoleh hubuga: a + im = a + i(m a ) a + im = a + im ia a = a ia a = a + ia a = a ( + i) da a + i(m a ) = a 3 + i(m a a ) a + im ia = a 3 + im ia ia a = a 3 ia a 3 = a + ia a 3 = a ( + i) a 3 = a ( + i) ( + i) karea a = a ( + i) a 3 = a ( + i). Dega cara serupa dapat ditarik kesimpula bahwa rumus umum utuk peluasa adalah: a = a ( + i) atau a = a ( + i) Cotoh Seseorag mempuyai pijama uag sebesar Rp ,00 yag aka diluasi dalam auitas tahua. Auitas pertama dibayar setahu setelah peerimaa pijama. Suku buga yag berlaku 3% setiap tahu. Tetuka: a. besarya auitas b. besarya peluasa pijama dalam auitas ke-9 c. besarya sisa pijama setelah auitas ke-9 BAB III ~ Barisa da Deret 37

40 Peyelesaia: a. Dari soal tersebut diketahui: M = Rp ,00 i = 0,03 =. Besarya auitas diperoleh dega rumus, yaitu: A = = M k k= ( + i) k= ( + 0,03) k = (0,004609) = 00.46,09 Jadi, besarya auitas adalah Rp00.46,09. b. Buga dalam auitas pertama adalah: b = 3% = Peluasa pijama dalam auitas pertama adalah: a = A b = 00.46, = 70.46,09 Akibatya, peluasa pijama dalam auitas ke-9 adalah: a 9 = a ( + i) 9 = 70.46,09 (,03) 8 = 70.46,09 (, ) = 89.59,7 Jadi, besarya peluasa pada auitas ke-9 adalah Rp89.59,7. c. Utuk mecari sisa pijama setelah auitas ke-9, dicari lebih dahulu besar buga pada auitas ke-0. Padahal besar buga pada auitas ke-0 sama dega auitas dikuragi peluasa ke-0. Jadi, lagkah yag pertama harus dicari lebih dahulu adalah peluasa ke-0. a 0 = a ( + i) 0 = 70.46,09 (,03) 9 = 70.46,09 (, ) = 9.937,05 b 0 = A a 0 = 00.46, ,05 = 8.55,04 Buga pada auitas ke-0 (b 0 ) ii dihitug dari sisa utag setelah auitas ke-9. Akibatya, b 0 = 3% sisa Sisa = 00 3 b 0 = ,04 38 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

41 = 8.55,04 = Jadi, sisa pijama setelah auitas ke-9 adalah Rp84.68,00. Latiha 3.9. Carilah ilai akhir sebuah modal sebesar Rp ,00 yag dibugaka dega buga majemuk dalam waktu 0 tahu, jika diperhitugka buga 6% per tahu.. Modal Rp ,00 dibugaka dega dasar buga majemuk per tahu. Setelah 0 tahu, modal tersebut mejadi Rp ,00. Berapa perse suku bugaya? 3. Sebuah modal ditabug di bak selama 5 tahu dega suku buga majemuk sebesar 6% per setegah tahu. Jika modal tersebut mejadi Rp ,00, berapakah modal awalya? 4. Modal disimpa pada sebuah bak selama 5 tahu dega buga majemuk 3 % per tahu da kemudia dipidahka ke bak lai dega suku buga 4% per tahu selama 6 tahu. Akhirya modal tersebut mejadi Rp ,00. Berapakah besar modal awal yag disimpa tersebut? 5. Sebuah utag sebesar Rp ,00 dega buga 4% diluasi dega auitas. Hituglah besarya tiap-tiap auitas. 6. Sebuah pijama sebesar Rp ,00 aka diagsur dega auitas tahua. Besarya tiap auitas Rp0.000,00. Berapakah lama pijama itu diagsur, jika suku buga yag berlaku adalah 3% per tahu? 7. Sebuah pijama sebesar Rp ,00 aka diluasi dega 0 auitas tahua. Auitas pertama dibayar setelah tahu. Suku buga yag berlaku 5% per tahu. Tetuka besar tiap auitas da sisa utag setelah dibayar auitas ke-8. Ragkuma. Barisa da Deret Aritmetika a. Pegertia Barisa Aritmetika Barisa u, u, u 3,... disebut barisa aritmetika, jika berlaku b = u u sama utuk setiap bilaga asli. Selajutya b diamaka beda dari barisa tersebut. b. Rumus Suku ke- Barisa Aritmetika Jika a merupaka suku pertama, b merupaka beda, da u suku ke-, maka: u = a + ( )b BAB III ~ Barisa da Deret 39

42 c. Deret Aritmetika Jika u, u, u 3,... merupaka barisa aritmetika, maka u + u + u disebut deret aritmetika. Jika a merupaka suku pertama, b merupaka beda, da S merupaka jumlah suku pertama, maka:. Barisa da Deret Geometri a. Pegertia Barisa Geometri [ a + ( ) b ] Barisa u, u, u 3,... disebut barisa geometri, jika berlaku r = u u sama utuk setiap bilaga asli. Selajutya r diamaka rasio dari barisa geometri tersebut. b. Rumus Suku ke- Barisa Geometri Jika a merupaka suku pertama, r merupaka rasio, da u suku ke-, maka: u = ar c. Deret Geometri Jika u, u, u 3,... merupaka barisa geometri, maka u + u + u disebut deret geometri. Jika a merupaka suku pertama, r merupaka rasio, da S merupaka jumlah suku pertama maka: ( ) ar S = r d. Deret geometri tak higga Agar suatu deret geometri tak higga koverge, maka r < da jumlahya adalah: a S = r 3. Notasi Sigma ui = u+ u u 4. Sifat-sifat Notasi Sigma a. b. c = c kui = k ui i = c. ( u + vi) ui + vi 40 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

43 5. Prisip Iduksi Matematika Misalka diberika suatu peryataa P utuk setiap bilaga asli. Utuk membuktika kebeara peryataa tersebut dilakuka lagkah-lagkah sebagai berikut. a. Dibuktika P bear utuk =. b. Diaggap peryataa P bear utuk = k, kemudia dibuktika peryataa P bear utuk = k +. Math Ifo Bayak ama yag dikaitka dega deret tak higga, atara lai: Newto, Leibiz, Beraulli, Taylor, Maclauri, Euler, da Lagrage, semuaya megguaka deret dalam karyaya. Tetapi, Cauchy merupaka orag pertama yag memberika defiisi yag tepat tetag kekovergea, kemudia Karl eierstrass melegkapi sifat-sifat dari deret fugsi da meyusu kebeara operasi-operasi yag terkait dega teori deret, khususya yag terkait dega itegrasi atara turua dega deret da itegral dega deret. eierstras adalah seorag pemikir metodis yag cermat. Ia bekerja dega keras pada kevalida yag legkap di semua matematika da meetapka pembakua-pembakua yag diakui da diguaka sampai sekarag. Sumber: Gambar 3. Karl eierstrass BAB III ~ Barisa da Deret 4

44 Uji Kompetesi A. Utuk soal omor sampai dega omor 5, pilihlah satu jawaba yag palig tepat! Kerjaka di buku tugas Ada!. Diketahui rumus suku ke- dari suatu barisa adalah U = + 5. Suku ke-6 dari barisa tersebut adalah.... A. D. 5 B. 7 E. 30 C. 8. Jika suatu barisa aritmetika diketahui suku pertamaya a = 5 da beda b = 3, maka suku ke-8 dari barisa aritmetika tersebut adalah.... A. 6 D. 0 B. 4 E. 7 C. 3. Diketahui barisa aritmetika dega U 5 = 3 da U 0 = 33. Nilai suku pertama da beda dari barisa aritmetika tersebut adalah.... A. 4 da 3D. 3da 4 B. 4 da 3E. 3da 4 C. 4 da 3 4. Diketahui barisa aritmetika dega jumlah suku pertamaya adalah S = 3. Suku ke-8 dari barisa tersebut adalah.... A. 0 D. 38 B. 3 E. 44 C Diketahui barisa aritmetika dega U 8 = 5 da U 3 = 0. Nilai suku pertama barisa tersebut adalah.... A. 8 D. B. 7 E. 0 C Tiga bilaga membetuk barisa aritmetika dega jumlah. Apabila hasil kali ketiga bilaga tersebut adalah 68, maka selisih atara bilaga terbesar dega yag terkecil adalah.... A. 0 D. 5 B. 8 E. 3 C Jika rasio dari suatu barisa geometri adalah 3 da suku ke-6 adalah 486, maka suku pertama barisa tersebut adalah.... A. 6 D. 3 B. 5 E. C. 4 4 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

45 8. Tiga buah bilaga merupaka tiga suku pertama dari suatu barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga tersebut adalah da hasil kali tiga bilaga tersebut 6. Selisih bilaga terbesar dega terkecil adalah.... A. 9 D. 3 B. 6 E. C Tiga bilaga, p 3, p, da p +, membetuk tiga suku pertama dari suatu barisa geometri. Jumlah lima suku pertama dari barisa tersebut adalah.... A. 8 D. B. 39 E. 8 C Setiap awal bula, Susi meabug sejumlah uag di bak dega besar yag selalu aik. Bula pertama meabug Rp0.000,00, bula kedua Rp.000,00 bula ketiga Rp4.000,00, da seterusya. Jumlah tabuga Susi setelah 0 bula tapa buga adalah.... A. Rp8.000,00 D. Rp80.000,00 B. Rp38.000,00 E. Rp ,00 C. Rp90.000,00. Jika diketahui bahwa x 0, x, x,..., x adalah titik-titik pada iterval [a,b] dega atura a = x 0 < x < x <... < x = b, maka ilai dari ( x ) A. a + b D. a b B. a E. b a C. b. Nilai dari deret: A. B. C i = adalah D. E. 3 i xi adalah Sebuah perusahaa yag memproduksi maia aak-aak, pada tahu pertama memproduksi.000 uit maia. Setiap tahu perusahaa tersebut meaikka produksiya sebesar 0%. Bayakya produksi perusahaa tersebut pada tahu ke-0 dapat diyataka sebagai.... A..000 (,) 0 D..000 (,) 9 B..000 (,0) 0 E C Diketahui deret geometri: + (x 5) + (x 5) Nilai x yag memeuhi agar deret tersebut koverge adalah.... A. < x < 3D. 4 < x < 6 B. < x < E. 3 < x < C. 6 < x < 4 BAB III ~ Barisa da Deret 43

46 5. Modal sebesar Rp ,00 diivestasika dega dasar buga majemuk sebesar 8% per tahu. Nilai akhir modal tersebut setelah 0 tahu adalah... rupiah. A. ( ,08) 9 D. ( ,08) 0 B (,08) 9 E (,08) 0 C (,08) B. Utuk soal omor 6 sampai dega omor 0, kerjaka dega lagkahlagkah yag tepat! 6. Suku ke- suatu barisa memiliki rumus: U = Guaka paket aplikasi pegolah agka MS Excel utuk meetuka: a. suku ke- higga suku ke-00 dari barisa tersebut b. jumlah 00 suku pertama dari barisa tersebut 7. Diketahui barisa aritmetika dega suku pertama da suku ke-0 adalah 6. Tetuka: a. beda da suku ke- dari barisa tersebut b. jumlah suku pertama dari barisa tersebut 8. Tetuka hasil dari jumlaha berikut. 0 a. ( i + i+ 5) b. F( x) ( ) 0 k F xk 9. Aita megivestasika modal sebesar Rp ,00 di sebuah bak yag megguaka sistem buga majemuk. Jika pihak bak memberika buga sebesar 0% per tahu, berapakah besar modal setelah 0 tahu? 0. Pak Ali memijam uag sebesar Rp ,00 di sebuah bak da aka diluasi dega auitas setiap akhir bula selama 30 bula. Suku buga yag berlaku di bak tersebut adalah % per bula. a. Tetuka besar auitas setiap bula. b. Tetuka besar agsura ke-0. c. Buatlah tabel recaa agsura tersebut dega megguaka paket aplikasi pegolah agka Microsoft Excel. Soal Aalisis. Mama berutag kepada Yayuk sebesar Rp00.000,00. Mama berjaji utuk megembalika utagya setiap bula Rp0.000,00 ditambah dega bugaya % per bula dari sisa pijamaya. Berapa jumlah buga yag dibayarka sampai utagya luas?. Selama 5 bula berturut-turut, jumlah peduduk Kota Damai berbetuk deret geometri. Pada tahu terakhir jumlah pedudukya 4 juta, sedagka jumlah tahu pertama da ketiga sama dega 4 juta. Berapakah jumlah peduduk Kota Damai pada tahu ke-4? 44 Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

47 Aktivitas Proyek Aktivitas Nama :... Taggal :... Kelas : XII Materi Pokok : Barisa da Deret Kelompok :... Semester : (dua) Kegiata : Memotog tali sehigga membetuk barisa aritmetika Tujua : Meetuka rumus suku ke- barisa aritmetika A. Alat da Baha yag Diguaka. Tali rafia dega pajag 875 cm 4. Alat pecatat. Metera 5. Buku catata 3. Gutig B. Cara Kerja. Buatlah kelompok yag terdiri dari 4 atau 5 siswa.. Tali aka dipotog mejadi 0 bagia, sehigga membetuk barisa aritmetika. 3. Aggap pajag tali sebagai jumlah suku pertama dari deret aritmetika. 4. Pertama, potoglah tali sepajag 0 cm. Aggap ii sebagai suku pertama dari barisa aritmetika. 5. Utuk memotog tali berikutya, tetapka dahulu ilai dari, a, da S. C. Aalisis. Dari hasil percobaa Ada, berapakah beda dari barisa aritmetika di atas?. Berapakah pajag potoga ke-0 tali itu? BAB III ~ Barisa da Deret 45