Teorema Pohon Matriks Untuk Menentukan Banyaknya Pohon Rentangan Graf Bipartisi Komplit (K m,n )

Transkripsi

1 Teorema Poho Matriks Utuk Meetuka Bayakya Poho Retaga Graf Bipartisi Komplit (K m, ) Novia Dwi Rahmawati Uiversitas Hasyim Asy ari Jombag oviadwi_rahmawati87@yahoo.co.id Abstract This research aims to observes paig tree umber of complete bipartite graph (Km,) by matrix-tree theorem.this research was usig library research method which the step are:(1)drawig complete bipartite graph (Km,) where m= 1,,3,4,ad; ()Determii adjacecy matrix ad degree matrix of complete bipartite graph (Km,); (3)Observig the differet betwee degree matrix ad adjacecy matrix (laplacia matrix) from complete bipartite graph (Km,); (4)Observig cofactor value of laplacia matrix from complete bipartite graph (Km,); (5)Observig spaig tree umber patter from complete bipartite graph (Km,); (6)Formig the formula withi theorem; (7)Provig the theorem. The results of this research are as follows that the geeral form spaig tree umber icomplete bipartite graph(km,) with m=1,,3,4, 1 ad m, N where is: τ(k m, ) = m 1. m 1 Keywords: complete bipartite graph, the matrix-tree theorem, cofactor, spaig tree Abstrak Peelitia ii bertujua utuk meetuka betuk umum bayakya poho retaga pada graf bipartisi komplit (K m, ) dega megguaka teorema poho matriks. Peelitia ii adalah peelitia pustaka (library research) dega lagkah-lagkah peelitia sebagai berikut: (1) Meggambar graf bipartisi komplit (K m, ) dega m = 1,, 3, 4, 1 da m, N; () Meetuka matriks adjacecy(k m, ) da matriks derajat dari graf bipartisi komplit; (3) Mecari ilai selisih dari matrik derajat da matriks adjacecy (matriks laplacia) dari graf bipartisi komplit; (4) Mecari ilai kofaktor dari matriks laplacia dari graf bipartisi komplit; (5) Melihat pola bayakya poho retaga dari graf bipartisi komplit; (6) Merumuska pola ke dalam teorema; (7) Membuktika teorema. Peelitia ii meujukka bahwa betuk umum bayakya poho retaga pada graf bipartisi komplit (Km,) dega m = 1,, 3, 4, 1 da m, Nadalah τ(k m, ) = m 1 m 1. Kata Kuci: graf bipartisi komplit, teorema poho matriks, kofaktor, poho retaga

2 88 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 PENDAHULUAN Alam semesta memuat betuk-betuk da kosep matematika, meskipu alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isiya diciptaka Allah dega ukura-ukura yag cermat da teliti, dega perhituga-perhituga yag mapa, da dega rumus-rumus serta persamaa yag seimbag da rapi. 1 Allah berfirma dalam Al Qur a surat Al Qamar / 54 ayat 49: ي إ ن ا ي اا Sesugguhya kami meciptaka segala sesuatu meurut ukura (Q.S. Al-Qamar / 54: 49). Dari segi bahasa kata tersebut dapat berarti kadar tertetu yag tidak bertambah atau berkurag, atau berarti kuasa. Tetapi karea ayat tersebut berbicara tetag segala sesuatu yag berada dalam kuasa Allah, maka adalah lebih tepat memahamiya dalam arti ketetua da sistem yag telah ditetapka terhadap segala sesuatu. Tidak haya terbatas pada salah satu aspekya saja. Mausia misalya, telah ada kadar yag ditetapka Allah bagiya. Dalam ayat lai juga disebutka: ا ي ي يذ ي ل ال ذ ي ل ي الل اا اا ا اا ي ال ي ي ا ي ي ا ت ي ي ا ا ي ا ل ا Yag kepuyaa-nya-lah kerajaa lagit da bumi, da dia tidak mempuyai aak, da tidak ada sekutu bagiya dalam kekuasaa (Nya),da dia Telah meciptaka segala sesuatu, da dia meetapka ukura-ukuraya dega serapi-rapiya (Q.S. Al- Furqaa / 5: ). 1 Abdusysyakir, Ketika Kyai Megajar Matematika, (Malag: UIN Malag Press, 007), hlm. 79. Shihab, M. Quraish, Tafsir Al-Misbah Volume 13 Pesa, Kesa & Keserasia Al Qur a, (Ciputat: Letera Hati, 003), hlm. 48.

3 Novia Dwi Rahmawati : Teorema Poho Matriks 89 Ayat di atas mejelaska bahwa segala sesuatu yag ada di alam ii ada ukuraya, ada hituga-hitugaya, ada rumusya, atau ada persamaaya. Ahli matematika atau fisika tidak membuat suatu rumus sedikitpu. Mereka haya meemuka rumus atau persamaa, sehigga rumus-rumus yag ada sekarag buka diciptaka mausia sediri, tetapi sudah disediaka. Mausia haya meemuka da meyimbolka dalam bahasa matematika. 3 Dewasa ii semaki bayak mucul pegguaa model matematika maupu pealara matematika sebagai alat batu dalam meyelesaika permasalaha yag dihadapi dalam berbagai disipli ilmu. Teori graf merupaka salah satu cabag matematika yag petig da bayak mafaatya karea teori-teoriya dapat diterapka utuk memecahka masalah dalam kehidupa sehari-hari. Dega megkaji da megaalisa model atau rumusa teori graf dapat diperlihatka peraa da keguaaya dalam memecahka permasalaha. Permasalaha yag dirumuska dega teori graf dibuat sederhaa, yaitu diambil aspek-aspek yag diperluka da dibuag aspek-aspek laiya. 4 Salah satu materi dalam teori graf adalah poho (tree). Poho (tree) didefiisika sebagai graf tak-berarah terhubug yag tidak memuat sirkuit. Meurut defiisi tersebut, ada dua sifat petig pada poho (tree) yaitu terhubug da tidak memuat sirkuit. 5 Misalka G graf da H subgraf dari G.H disebut subgraf retaga (spaig subgraph) dari graf G jika order H sama dega order G, atau dega kata lai jika V(H)=V(G). Subgraf retaga H dari graf G dapat dega mudah diperoleh dega cara meghapus satu atau lebih dari sisi di G. Dega demikia, jika F adalah himpua bagia dari E(G), maka graf G F pasti merupaka subgraf retaga dari G. 6 Berkaita dega subgraf retaga, maka permasalaha yag mearik utuk dikaji adalah meetuka bayakya subgraf retaga yag berbetuk poho dari suatu graf, yag dikeal dega sebuta bayakya poho retaga (spaig tree umber). 3 Abdusysyakir, Ketika Kyai Megajar Matematika, (Malag: UIN Malag Press, 007), hlm Purwato, Matematika Diskrit, (Malag: IKIP Malag, 1998), hlm.1. 5 Chartrad, Gary da Lesiak. Graphs ad Digraphs, (Califoria: Greg Hubit Bookwords, 1986), p Op.cit.p.8.

4 90 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 Misalka G graf dega order p (p 1) da ukura q serta himpua titik V ( G)=v 1,v,...,v p. Matriks keterhubuga titik (atau matriks keterhubuga) dari graf G, diotasika dega A(G), adalah matriks (pxp) dega usur pada baris ke-i da kolom ke-j berilai 1 jika titik v i terhubug lagsug dega titik v j serta berilai 0 jika titik v i tidak terhubug lagsug dega titik v j. Dega kata lai, matriks adjacecy dapat ditulis A( G) = [ ij ],1 i,j p, dega: a ij = 1, jika v i v j E(G) 0, jika v i v j E(G) Matriks keterhubuga suatu graf G adalah matriks simetri dega usur 0 da 1 da memuat ilai 0 pada diagoal utamaya. 7 Matriks derajat dari matriks G, diotasika dega D(G), adalah matriks diagoal yag eleme baris ke-i da kolom ke-i adalah derajat dari v i,i= 1,,3,...,p Jika D( G)=[d ij ],1 i, j p,maka d ii = degv da d ij = 0 utuk i j. MatriksT(G)=D(G)-A(G), disebut matriks Laplacia da sebarag kofaktor dari T(G) sama bayakya poho retaga (spaig tree umber) pada G, yaitu τ(g). 8 Utuk meetuka poho retaga dari suatu graf terhubug, biasaya dilakuka dega cara meghapus sisi-sisi sehigga graf tersebut tidak lagi megadug sikel. Aka tetapi, cara ii memerluka waktu yag lama, sehigga diperluka suatu cara atau rumusa baku utuk meetuka bayakya poho retaga dari suatu graf, yaitu dega cara direpresetasika dalam betuk matriks. Betuk graf yag diyataka dalam suatu matriks kemudia diselesaika dega metodemetode yag berlaku pada matriks. 7 Op.cit.p.4. 8 Agarsso, G. da Greelaw, R, Graph Teory : Modelig, Applicatios, ad Alghoritms, (New Jersey: Pearso Pretice Hall, 007), p.11.

5 Novia Dwi Rahmawati : Teorema Poho Matriks 91 Berdasarka pertayaa peelitia, maka tujua peelitia ii adalah utuk meetuka bayakya poho retaga pada graf bipartisi komplit K m, dega teorema poho matriks. Peelitia ii adalah peelitia pustaka (library research) dega lagkah-lagkah peelitia sebagai berikut: 1)Meggambar graf bipartisi komplit (K m, ) dega m = 1,, 3, 4, 1 da m, N; )Meetuka matriks adjacecy (K m, ) da matriks derajat dari graf bipartisi komplit; 3)Mecari ilai selisih dari matrik derajat da matriks adjacecy (matriks laplacia) dari graf bipartisi komplit; 4)Mecari ilai kofaktor dari matrik laplacia dari graf bipartisi komplit; 5)Melihat pola bayakya poho retaga dari graf bipartisi komplit; 6) Merumuska pola ke dalam teorema; 7) Membuktika teorema. HASIL DAN PEMBAHASAN Defiisi 1 Sisi e ( u, v) dikataka meghubugka titik u da v. Jika e ( u, v) adalah sisi dari graf G, maka u da v disebut terhubug lagsug (adjaced), u da e serta v da e disebut terkait lagsug (icidet). Utuk selajutya, sisi e ( u, v) aka ditulis e uv. 9 Dari defiisi di atas, maka dapat digambarka sebagai berikut: u e v 1 v v Shafa Marwah Gambar 1 Graf G dega Sisi e u, v Karea e u, v Meghubugka Titik u da v sisi di G, maka u da v disebut terhubug lagsug (adjacet). Sedagka e da u serta e da v disebut terkait lagsug (icidet). Dalam Islam, defiisi adjacet da icidet dapat direpresetasika utuk meggambarka peristiwa Sa i dalam ibadah 9 Chartrad, Gary da Lesiak. Graphs ad Digraphs, (Califoria: Greg Hubit Bookwords, 1986), p. 4.

6 9 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 haji. Dalam Al-Qura dijelaska dalam surat Al-Baqarah / ayat 158 yag berbuyi: ي ع ائ ال ي ح ج ال يب ي ي يت أ ا ا يع ال ج اح ع يي إ ن الص ف ا ا ال ي ي ا ة ا ع يي ا ا ي ت ي يي ا ن ال أ ين Sa i merupaka salah satu ruku haji da umrah, dilakuka setelah selesai melakuka thawaf. Sa i adalah lari kecil-kecil yag dilakuka atara bukit Shafa da Marwa. Terkait dega kejadia diatas, maka kejadia tersebut dapat direpresetasika pada graf yag terdiri dari titik da 1 sisi. Gambar Represetasi Graf Terhadap Ibadah Sa i Dari Gambar 1 diatas merupaka salah satu cotoh dari betuk graf komplit K yag terdiri dari dua titik da satu sisi. Titik-titikya adalah bukit shafa da marwa sedagka sisiya adalah perjalaa sa i itu sediri. Jadi bukit shafa ( v 1 ) dega perjala sa i (sisi) adalah icidet sedagka bukit Shafa ( v 1 ) bukit Marwa ( v ) adalah adjacet. Defiisi Graf bipartisi komplit (complete bipartite graph) adalah Graf bipartisi dega himpua partisi X da Y sehigga masigmasig titik di X dihubugka dega masig-masig titik di Y oleh tepat satu sisi. Jika X m da Y, maka graf bipartisi tersebut diyataka dega K 10 m,. 10 Purwato, Matematika Diskrit, (Malag: IKIP Malag, 1998), hlm..

7 Novia Dwi Rahmawati : Teorema Poho Matriks 93 Cotoh: v 1 v v v 1 v 3 v3 v v v 3 1 u 1 u 1 u u u 1 u 3 K 1,3 K,3 K 3,3 Gambar 3 Graf Bipartisi Komplit Pada Gambar 3 aka dijelaska sebagai berikut: K 1,3 adalah graf bipartisi komplit dega X { u 1 }, X 1 Y v, v, }, Y 3 { 1 v3 K,3 adalah graf bipartisi komplit dega X u 1, u }, X 1 { Y v, v, }, Y 3 { 1 v3 K 3,3 adalah graf bipartisi komplit dega X u, u, }, X 1 { 1 u3 Y v, v, }, Y 3 { 1 v3 Dalam Islam, defiisi graf bipartisi komplit dapat dipresetasika utuk meggambarka ruku Islam yag mejadi dasar bagi umat Islam. Ruku Islam mejadi ladasa operasioal dari Ruku Ima. Belum cukup dikataka berima haya dega megerjaka Ruku Islam tapa ada upaya utuk meegakkaya. Ruku Islam merupaka traiig/pelatiha bagi orag mukmi meuju mardhotillah/keridhoa Allah SWT. Syahadat adalah agreemet (perjajia) atara seorag muslim dega Allah SWT [7:17]. Seseorag yag telah meyataka Laa

8 94 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 ilaaha ilallaah berarti telah siap utuk fight (bertarug) melawa segala betuk ilah di luar Allah SWT di di dalam kehidupaya [9:]. Shalat adalah traiig sebagai latiha agar setiap muslim di dalam kehidupaya adalah dalam ragka sujud (beribadah) kepada Allah SWT [6:16]. Zakat adalah traiig, yaitu sebagai latiha agar megifakka hartaya, karea setiap harta seorag muslim adalah milik Allah SWT [57:7, 59:7]. Egkau ambil zakat itu dari orag-orag kaya mereka da egkau kembalika kepada orag-orag fakir mereka (HR Mutafaqu alahi). Shaum adalah traiig, yaitu sebagai latiha pegedalia kebiasaa pada jasmai, yaitu maka da mium da ruhai, yaitu hawa afsu [:185]. Haji adalah traiig, yaitu sebagai latiha dalam pegorbaa jiwa da harta di jala Allah SWT, megamalka persatua da persamaa derajat dega sesama mausia [:7-8]. Ruku Islam dapat direpresetasika dalam suatu graf yag terdiri dari 6 titik yag dipartisi mejadi bagia, da masig-masig titik pada suatu partisi terhubug lagsug dega semua titik pada partisi yag lai. Ruku Islam Syahadat Shalat Zakat Puasa Haji Gambar 4 Represetasi Graf Terhadap Ruku Islam Dari Gambar 4 di atas merupaka salah satu cotoh dari betuk graf bipartisi komplit K 1,5 yag terdiri dari dari 6 titik yag dipartisi mejadi bagia, da masig-masig titik pada suatu partisi terhubug lagsug dega semua titik pada partisi yag lai. Titik yag terletak pada partisi pertama adalah Ruku Islam, sedagka titik-titik yag terletak pada partisi kedua adalah Syahadat, Shalat, Zakat, Puasa da Haji.

9 Novia Dwi Rahmawati : Teorema Poho Matriks 95 Teorema: Misal K m, graf bipartisi komplit dega m, N, maka bayakya poho retaga dari graf bipartisi komplit K m, adalah: K m, = m 1. m 1 Bukti: Graf bipartisi komplit (K m, ) dega m, N dapat digambar sebagai berikut: v 1 v v 3 v u 1 u u 3 u m Gambar 5 Graf Bipartisi Komplit K m, Misal K m, adalah graf bipartisi komplit dega m, N, maka matriks adjacecy dari graf bipartisi komplit K m,. u 1 u u 3 u m v 1 v v 3 v

10 96 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 AK m, 0 0 0u u u u m v v v v Matriks derajat dari graf bipartisi komplit K m, D K m, u u 0 0 u u m v 1 0 m v 0 0 m v m v m Setelah medapatka betuk matriks adjacecy da matriks derajat maka aka dicari matriks laplacia da ilai kofaktor C 11 matriks laplacia dari matriks-matriks tersebut, yaitu dega megguaka persamaa: T G = D G A G

11 Novia Dwi Rahmawati : Teorema Poho Matriks TG ( ) m m m m = m m m m Jadi didapatka matriks laplacia bagi m, adalah m m m m

12 98 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 Dega bayakya kolom adalah m da bayakya baris m atau matriks dega orde m Setelah medapatka matriks laplacia maka selajutya aka dicari ilai kofaktor C11 dari matriks laplacia, yaitu: C 11 = (-1) 1+1 det (M 11 ) C11dari m m m m = 1 det m m m m Dega bayakya kolom adalah m1da bayakya baris m 1 atau matriks dega orde m 1 Melalui operasi baris elemeter, M 11 direduksi mejadi matriks segitiga atas diperoleh,

13 Novia Dwi Rahmawati : Teorema Poho Matriks m ( m 1) ( m 1) ( m 1) ( m 1) m ( m 1) m ( m 1) m ( m 1) m m ( m 1) m ( m 1) m ( m 1) 3 m 3( m 1) m m ( m 1) m ( m1) m m ( m ( ) m m ( m 1) m m ( m ( 1)) m Dimaa det M 11 tidak lai adalah hasil perkalia diagoal matriks segitiga atas tersebut. Jadi, Det M 11 =.... m ( m 3 1). m ( m 1) m. m 3( m 1) m. = m ( m 1) m ( m 1) m. m ( m ( 1)) m m 1 1. m m ( m 1) m Jadi terbukti bahwa bayakya poho retaga (K m, ) = 1 m m 1. PENUTUP Simpula Segala sesuatu yag ada di alam ii ada ukuraya, ada hitugahitugaya, ada rumusya, atau ada persamaaya. Betuk umum bayakya poho retaga pada graf bipartisi komplit (K m, ) dega 1 da m, N adalah: K m, = m 1. m 1 Dalam Islam, defiisi adjacet da icidet dapat direpresetasika utuk meggambarka peristiwa Sa i dalam ibadah haji.

14 100 Fokus : Jural Kajia Keislama da Kemasyarakata, Vol.1, No. 01, 016 DAFTAR PUSTAKA Abdusysyakir. Ketika Kyai Megajar Matematika. Malag. UIN Malag Press, 007. Agarsso, G. da Greelaw, R. Graph Teory : Modelig, Applicatios, ad Alghoritms. New Jersey:Pearso Pretice Hall, 007. Chartrad, Gary da Lesiak. Graphs ad Digraphs. Califoria: Greg Hubit Bookwords, Purwato. Matematika Diskrit. Malag: IKIP Malag, Shihab, M. Quraish. Tafsir Al-Misbah Volume 13 Pesa, Kesa & KeserasiaAl Qur a. Ciputat: Letera Hati, 003.