BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai ladasa teori utuk peulisa tesis ii 21 Struktur Aljabar Defiisi 211 Operasi Bier Operasi bier pada suatu himpua S adalah suatu fugsi dari S S yag membawa setiap (a,b) S S ke a b S yag uik Jadi (a,b) a b Karea a b juga berada dalam S maka dikataka S tertutup di bawah operasi Defiisi 212 Grup ( Aliatiigtyas 2002) Struktur aljabar G dega operasi bier disebut grup jika memeuhi aksiomaaksioma berikut ii: 1 operasi bersifat assosiatif ( z = y,,, 2 ada usur idetitas e, sehigga berlaku e, 3 utuk setiap ada usur -1 sehigga -1 = -1 = e Defiisi 213 Subgrup (Aliatiigtyas 2002) Misalka G grup da H Maka H disebut subgrup dari G jika H grup di bawah operasi bier yag sama dega G( otasi: H ) (Aliatiigtyas 2002) Teorema 214 ( teorema Lagrage) Jika G grup higga da H adalah subgrup G, maka order dari H membagi order dari G (Aliatiigtyas 2002) Defiisi 214 ield Suatu himpua yag padaya didefiisika operasi jumlah (+) da operasi kali () disebut field, otasi (, +, ), jika memeuhi sifat-sifat berikut: 1 (, + ) merupaka grup komutatif terhadap +, yaitu memeuhi sifat-sifat:

2 4 a Assosiatif: (,,, b mempuyai usur idetitas: (! 0 0 0, c Setiap usur dari mempuyai ivers:!, 0, 0, dalam hal ii d Ko mutatif:, 2 (, ), dimaa = \ 0, merupaka grup komutatif terhadap, bersifat: a Assosiatif:,,, b mempuyai usur idetitas: (! c Setiap usur dari mempuyai ivers:( ) (! ) 1, dalam hal ii da d : (,, 3 Berlaku sifat distributif terhadap + :,, atau (Guritma 2005) 215 Defiisi iite ield Suatu field dikataka berhigga (fiite field) jika himpuaya memiliki bayak eleme yag berhigga Order adalah bayakya aggota (Meezes et al 1997) 22 Aljabar liear Defiisi 221: Ruag Vektor Misalka merupaka field higga dega order Himpua tak kosog V (dega pejumlaha vektor da perkalia skalar oleh eleme ) merupaka ruag vektor dari jika utuk semua u, v V da utuk semua λ, μ, maka berlaku: 1 u + v V 2 ( u+ v) + w= u+ ( v+ w) 3 usur 0 V dimaa 0+ v= v= v+ 0, v V 4, dimaa ( ) 0 ( ) u V u V u+ u = = u + u 5 u+ v= v+ u 6 λ v V

3 5 λ u+ v = λ u+ λ v 7 ( ) 8 ( λ + μ) u = λu + μ u 9 ( λμ ) u = λ ( μ u) 10 Jika 1 merupaka usur idetitas utuk perkalia di maka 1u =u Defiisi 222: Pejumlaha Vektor da Perkalia Skalar di Misalka (Lig & Xig 2004) merupaka himpua dari vektor-vektor dega pajag usur-usurya merupaka eleme dari yag, yaitu: = { u, u, u, K, u } u ; i Misalka pula v = ( v, v, K, v ) { v v v }, w ( w w K w ) λ 1 2,,K, r 1 2 = 1, 2,,, da maka pejumlaha vektor di didefiisika sebagai ( u+ w= v + w, v + w, K, v + w ( ) sebagai λ v = λv, λv, K, λv 1 2 ), sedagka perkalia skalar didefiisika (Lig & Xig 2004) Defiisi 223: Subruag (Subspace) Suatu himpua tak kosog C dari ruag vektor V merupaka subruag (ruag bagia) dari V jika C merupaka ruag vektor da memiliki sifat pejumlaha vektor da perkalia vektor yag sama dega V (Lig & Xig 2004) Defiisi 224: Kombiasi Liear Misalka V merupaka ruag vektor atas, λi sembarag, maka λ1u1+ λ2u2+k + λrur merupaka kombiasi liear dari u1, u2, K, ur eleme V (Lig & Xig 2004) Defiisi 225: Bebas Liear Misalka V merupaka ruag vektor terhadap, himpua vektor { v1, v2, K, vr } dalam V dikataka salig bebas liear jika λ v + λ v 2 + K+ λ v = 0 λ = λ = K= λ = 0, tak bebas liear jika, r r 1 2 r λ1v1+ λ2v2+ K + λrvr = 0 λi 0

4 6 Defiisi 226: Retag Liear Misalka V merupaka ruag vektor atas da himpua tak kosog dari V Retag liear dari { λ1 1 λ + K + λk k i } S = v + 2 v 2 v ; λ Jika S = Defiisi 227: Basis S = { v v K v } S 1 2 (Lig & Xig 2004),,, k merupaka didefiisika sebagai maka didefiisika S = { 0 } (Lig & Xig 2004) Misalka V merupaka ruag vektor dari Himpua tak kosog { } B= v1, v2, K, vk dari V dikataka basis utuk V jika V = B da B bebas liear = 1, 2, K, k basis utuk V, maka sembarag vektor v V dapat Misalka B { v v v } diyataka sebagai kombiasi liear dari vektor B Teorema 221 Misalka V merupaka ruag vektor atas k i V memiliki eleme ii k 1 1 V memiliki ( k! i= 0 Defiisi 228: Hasil Kali Skalar k i ) basis yag berbeda secara uik Jika dim( V) Misalka = (,, K, ), = (,, K, ) V v v v W w w w = k, maka: (Lig & Xig 2004) product) dari V da W didefiisika sebagai V W = vw 1 1+ v2w2 + K + vw Defiisi 229: Kompleme Orthogoal Misalka = (,,, ), = (,,, ) V v v K v W w w K w Hasil kali skalar (dot i Vektor V da W dikataka salig tegak lurus (orthogoal) jika V W = 0 ii Misalka S merupaka himpua bagia dari Kompleme orthogoal dari S, yaitu S didefiisika sebagai S = { v v s = 0, s S} Jika S =, maka didefiisika S = Jika S merupaka subruag dari ruag vektor, maka S merupaka subruag dari ruag vektor da S = S (Lig & Xig 2004)

5 7 Teorema 222 Diberika ruag vektor dim ( S ) dim( S ) + = Misalka S himpua bagia dari Maka (Lig S, Xig C 2004) 23 Model Aljabar Kode Liear Misalka meotasika vektor berdimesi atas field bier 2= {0,1} Kode liear bier dega pajag didefiisika sebagai sub ruag C dari Aggota suatu kode disebut dega kata kode (codeword) Kode liear C dega pajag da dimesi k diamaka kode liear dega parameter [, k] Jika jarak miimum d diketahui maka C diyataka sebagai kode liear dega parameter [,kd ] Setiap kata kode dalam kode liear C memiliki pajag tetap disebut blok yag terbagi mejadi dua bagia yaitu: simbol pesa da simbol cek Dimesi k merupaka pajag dari simbol pesa Meurut Mac Williams da Sloae (1981) setiap kode aka memiliki kata kode sebayak 2 k Defiisi 231 Jarak (Hammig distace) atara dua vektor,y, diotasika d(,y), adalah bayakya posisi digit dari da y dimaa simbol mereka berbeda Jarak miimum (miimum hammig distace) dari suatu kode liear C didefiisika: d(c) = mi { d(,y),y C, y } Defiisi 232 Bobot (Hammig weight) dari suatu vektor, diotasika, adalah bayakya simbol takol dalam Bobot miimum (miimum hammig weight ) dari suatu kode C didefiisika: mi {, 0 } Berdasarka defiisi 231 da 232 maka diperoleh d(,y)= ebagai ilustrasi, di dalam ruag, jika =10011 da y =11010, maka d(,y) = Proposisi 231 Jarak miimum dari suatu kode liear C adalah bobot miimum dari sembarag kata kode tak ol

6 8 Bukti Perhatika bahwa karea C liear, maka d(c) = mi { d(,y ),y C, y } = mi {,y C, y } = mi ) z C, z 0 } = ( terbukti ) Defiisi 233 Ort ogoal dari C (dibaca : kode dual dari C ), otasi, didefiisika = {y y = 0 utuk setiap C } Dimaa adalah produk dalam stadar pad a yag didefiisika sebagai : y =, = (,, ), y = (,, ) Dega demikia, jika C berdimesi k, maka berdimesi r = - k 24 Matriks Cek Paritas Suatu matriks H berukura r yag semua barisya merupaka suatu basis utuk disebut matriks cek paritas ( parity check matri ) dari C Pegertia matrik paritas ii berimplikasi pada pedefiisia kode liear yag berkaita dega cara kostruksiya, yaitu C = { H = 0 } Dega kata lai, C adalah ker ( H) Megkostruksi ( membuat ) kode liear dega pajag da k sama artiya dega medefiisika matriks cek paritas seperti yag dimaksud diatas Di sampig itu matriks cek paritas berfugsi megubah pesa mejadi katakode, dega kata lai ia merupaka parameter didalam ekodig 25 Ekodig Kode Liear diilustrasika misalya k Ekodig kode liear dega megguaka matriks cek paritas H, sebagai berikut Diberika blok simbol pesa dega pajag k u= uu 1 2 u, k aka diekode mejadi kata kode = 12 dimaa dega megguaka matriks cek paritas H yag telah didefiisika sebelumya Maka, pertama kali didefiisika =, =, = da diikuti dega pedefiisia r ( k) = simbol cek yag k k

7 9 ilaiya bergatug pada ilai simbol pesa Ketergatuga ii ditetuka oleh H dega meyelesaika SPL homoge berikut: 1 0 T 2 0 H = 0 H = M M 0 Utuk memudahka peyelesaia, matriks A biasaya diberika dalam betuk stadar, yaitu ( ) H= A I r Dega A adalah matriks bier berukura r k, da I r adalah matriks idetitas berukura r r Jika matriks H belum berbetuk stadar, maka dilakuka operasi baris / kolom elemeter utuk medapatka matriks ekivale stadarya Berikut ii diilustrasika proses kalkulasi ekodig dega megguaka H Didefiisika matriks cek paritas H berikut: H= Dari ukura H diperoleh =6, k =3, sehigga k = 3 Terlihat bahwa H mempuyai betuk stadar dega Pesa A= u= aka diekode mejadi = Hal ii dimulai dari uuu = u, = u, = u, T kemudia 4, 5, 6 dipilih sehigga memeuhi H = 0, sehigga diperoleh Sistem Persamaa Liear (SPL) + + = 0, = 0, =

8 10 da disebut SPL cek paritas Misalya pesa 3 = 0, da dari SPL diperoleh = 1= 1, = 1= 1, = 1 1= 1+ 1= 0 u= 110, maka 1 = 1, 2 = 1, Ii berarti H megubah pesa u= 110 mejadi katakode = Secara keseluruha, karea k = 3, maka ada 3 2 = 8 pesa berbeda yag bertidak sebagai iput dalam ekodig, sehigga H medefiisika kode C dega aggota 8 katakode C = {000000, , , , , , , } Selai megguaka matriks cek paritas H, utuk megkostruksi C juga dapat megguaka matriks geerator dari C, biasaya diotasika dega G Semua baris dari G merupaka basis utuk C Akibatya G berukura k da setiap kata kode merupaka kombiasi liear dari semua vektor baris dari G, dega kata lai C = Spa({,, }) Dimaa {,, } adalah himpua semua baris dari G, hubuga atara H da G dapat diyataka dalam persamaa berikut: G H T = HG T 26 Dasar-dasar kostruksi kode 261 Peambaha pada matriks cek paritas (Addig a overall parity check/etedig a code) Misalka C adalah suatu kode liear bier dega parameter [ kd,, ] yag beberapa kata kode ya berbobot gajil Dari kode tersebut aka dibetuk kode baru Ĉ dega meambahka bit "0" di akhir kata kode yag berbobot geap, da bit "1" di akhir kata kode yag berbobot gajil Dega peambaha ii, jarak tiap pasag kata kode mejadi geap Jika jarak miimum kode C gajil, maka kode yag baru memiliki jarak miimum d + 1, sehigga Ĉ memiliki parameter [ + 1, k, d+ 1] Secara umum, proses peambaha simbol pada matriks cek paritas disebut sebagai etedig a code (Williams & Sloae 1981)

9 Pemotoga kode dega cara meghapus koordiat tertetu (Pucturig a code by deletig coordiates) Misalka C adalah suatu kode liear Proses pemotoga kode (pucturig) merupaka ivers/kebalika dari proses memperluas kode (etedig a code) Proses ii meghapus satu atau lebih koordiat dari setiap kata kode Ketika suatu koordiat dihapus, pajag da jarak miimum dari kode aka berkurag satu (amu, pada kasus tertetu, ada kalaya jarak miimum tetap) Dega kata lai, jika kode awal C memiliki parameter [ kd,, ], kode yag baru * C memiliki parameter [ 1, k, d 1] (Williams & Sloae 1981) 263 Peghapusa dega cara meghilagka beberapa kata kode (Epurgatig by thowig away codewords) Misalka kode liear bier C memiliki parameter [ kd,, ] da memiliki kata kode dega bobot gajil da geap Kata kode dega bobot gajil dapat dihapus utuk medapatka kode baru dega parameter [ k, 1, d' ] Pada umumya d' > d (Williams & Sloae 1981) 264 Memperbesar suatu kode dega cara meambahka kata kode baru ( Augmetig by addig ew codeword) Salah satu cara utuk memperbesar suatu kode adalah dega cara meambahka satu baris vektor 1 pada matriks geerator Jika C adalah suatu kode dega parameter [ kd,, ] da tidak memiliki kata kode 1 (vektor satu), a kode yag telah diperbesar berbetuk C = C 1+ C ( a) ( ) ( ) ( C megadug/memiliki kata kode dari kode C beserta komplemeya) Dega d ( a) demikia { d d } = mi, ' ( a) C memiliki parameter, d ' = bobot terbesar dari kata kode di C ( a) k, + 1, d, dega (Williams & Sloae 1981)

10 Memperpajag suatu kode dega meambahka simbol pesa (Legtheig by addig message symbols) Utuk memperpajag suatu kode liear C, dapat dilakuka dega cara meambahka kata kode baru, yaitu vektor 1 (augmetig a code) Setelah itu, dilajutka dega memperluas (etedig) kode sebayak satu bit Proses ii aka meambah satu simbol pesa (Williams & Sloae 1981) 266 Memperpedek kode (Shorteig a code) Memperpedek kode merupaka ivers/kebalika dari proses memperpajag suatu kode (legth a code) Utuk memperpedek suatu kode, diambil kata kode yag dimulai dega 1 = 0 (symbol pertama = 0) Selajutya koordiat dari 1 dihapus Proses seperti ii disebut megambil cross-sectio dari suatu kode (takig a cross-sectio of the code) (Williams & Sloae 1981)